algebra lineal 2020 unad, Ejercicios de Álgebra Lineal

¡Descarga algebra lineal 2020 unad y más Ejercicios en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos Algebra Lineal Arlet Johanna Jaimes Flórez : 60264463 Jorge Enrique Becerra:1098610281 Zulma Patricia Holguin: Carlos Alberto Vera: 1005040379 Freddy Alonso Herrera Tutor 100408_127 Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD) Algebra Lineal Abril 2020 Ejercicio 1: Conceptualización de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos. Descripción del ejercicio: Luego de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, se debe elaborar individualmente un mapa mental conforme al tema correspondiente al literal que previamente escogió para desarrollar. Las temáticas a considerar en los mapas mentales son las siguientes: A) Sistemas de ecuaciones lineales: Soluciones por Eliminación Gaussiana y Gauss Jordan (Definición, Caracterización, Semejanzas y Diferencias). Ejercicio 2: Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. Descripción del ejercicio 2 A) Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que lo representa y soluciónelo por medio del método de Gauss–Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*. John requiere saber el precio de venta por libra de café, de azúcar y de sal de una tienda americana. En la tabla informativa se cuantifica el valor en dólares que debe pagarse el primer, segundo y tercer día por comprar las cantidades especificadas de cada producto: Dí a 1 Dí a 2 Día 3 Café 2 3 1 Azúcar 1 2 4 Sal 4 3 3 Costo (Dólares ) 21 30 35 ¿Determine el precio en dólares a pagar por cada libra de café, azúcar y sal? Con la información de la Tabla, planteo la matriz inicial M=( 2 3 1 1 2 4 4 3 3 ) x=( 21 30 35) Hallo la matriz por el método de Gauss Jordan M=( 2 3 1 1 2 4 4 3 3 ) x=( 21 30 35) Mx=( 2 3 1 1 2 4 4 3 3 ⋮ 21 30 35) F 2 → ← F 1 Mx=( 1 2 4 2 3 1 4 3 3 ⋮ 30 21 35) 2 F 1−F 2 Mx=( 1 2 4 0 1 7 4 3 3 ⋮ 30 39 35) 4 F 1−F 3 Mx=( 1 2 4 0 1 7 0 5 13 ⋮ 30 39 85) 5 F 2−F 3 Mx=( 1 2 4 0 1 7 0 0 22 ⋮ 30 39 110) F 3∗( 122 ) Mx=( 1 2 4 0 1 7 0 0 1 ⋮ 30 39 5 ) −7 F 3+F 2 Mx=( 1 2 4 0 1 0 0 0 1 ⋮ 30 4 5 ) −4 F 3+F 1 Mx=( 1 2 0 0 1 0 0 0 1 ⋮ 10 4 5 ) −2 F 2+F 1 Mx=( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⋮ 2 4 5) El precio de venta por libra de cada producto es:  Café = 2 dólares  Azúcar = 4 dólares  Sal = 5 dólares COMPROBACIÓN B) Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que lo representa y soluciónelo por medio de la eliminación Gaussiana. Valide su resultado por medio de Geogebra*. Un hacendado compró para su finca 15 animales, entre los que se encuentran vacas, caballos y Asnos. La cantidad de kilos de hierba que consumen diario es la siguiente: cada vaca come doce kilos, cada Caballo come seis kilos y cada Asno cuatro kilos. El total de kilos de hierba por día es de 144 kilos y se sabe que el número de vacas es el quíntuple respecto al número de Caballos. ¿Cuántas Vacas, Caballos y Asnos compró el hacendado? Sea x la cantidad de vacas Sea y la cantidad de caballos Sea z la cantidad de asnos Se plantea la primera ecuación sabiendo que el total de animales es de 15. COMPROBACIÓN Archivo Edita Vista Opciones Herramientas Ventana Ayuda 3) ella-z sal < AAN EE E Cálculo Simbálica (CAS) 1%] y Vista Alaebraica 5=((1:1,10-6-8)(09.7) EE A , Lste 1111 1.11 22 [0-5 0) s=[(0-6 -8 o. 0.7) 0.0.7 1501041 2 | Determinantels] Lo xi= | -36 -6 -8 2 noo 7 J 1 15 1 v1:=(015,1,1)628,6-8)421.0.73 7 yi=[0 -36 -8 - e 0.21 7 a 15 1 1) 1.1 15 > —36 -6 -8 A= [0 -6 -36 2 0 7) 0. 0 21 4 | Determinanteic] - 420 5 | 420042 - 10 C) Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que lo representa y soluciónelo por medio de la Regla de Cramer. Valide su resultado por medio de Geogebra*. En un almacén de ropas hay trajes de color amarillo, azul y rojo. Se sabe que el número de trajes amarillo y azul es cinco veces el número de rojo. También los trajes amarillos son el triplo de los rojos y el total de trajes azules y rojos suman 30. ¿Determine la cantidad de trajes de cada color que se encuentran en el almacén de ropas? X=amarillo Y=Azul Z=Rojo { Y +Z=30 X=3Z X+Y=5Z Organizando { Y+Z=30 X−3Z=0 X+Y−5Z=0 ∆ s=| 011 10−3 11−5 011 10−3 |=(0+1−3 )− (0+0−5 )=−2+5=3 ∆ X=| 3011 00−3 01−5 3011 00−3 |=(0+0+0 )−(0−90+0 )=90 ∆ Y =| 0301 10−3 10−5 0301 10−3 |=(0+0−90 )−(0+0−150 )=−90+150=60 ∆ Z=| 0130 100 110 0130 100 |=(0+30+0 )−(0+0+0 )=30 X= ∆ X ∆ S = 90 3 =30 Y= ∆Y ∆ S = 60 3 =20 Z= ∆ Z ∆ S = 30 3 =10 RTA: Trajes de color amarillo= 30 Trajes de color azul= 20 Trajes de color rojo= 10 COMPROBACIÓN Planteo las Ecuaciones Paramétricas Reemplazo valores x=x1+t a x=−1+3 t y= y1+t b y=2−5 t Planteo las Ecuaciones Simétricas x−x1 a = y− y1 b x+1 3 = y−2 −5 Para encontrar otros puntos que se encuentren en la recta, le damos valores a t en las Ecuaciones Paramétricas Si t = 1 x=−1+3 (1) x=2 y=2−5(1) y=−3 COMPROBACIÓN a2) Pasa por los puntos A (3,1) y B (2, 2) Dado los puntos A y B A=(3,−1)=(x1 , y1) y B=(2, 2)=(x2 , y2) Hallo el vector director A⃗B Reemplazo valores A⃗B=(x2−x1) î+( y2− y1) ĵ A⃗B=(2−3) î+(2−(−1)) ĵ A⃗B=−1 î+3 ĵ A⃗B=(−1, 3)=(a , b) Planteo las Ecuaciones Paramétricas Reemplazo valores x=x1+t a x=3−1t y= y1+t b y=−1+3t Planteo las Ecuaciones Simétricas x−x1 a = y− y1 b x−3 −1 = y+1 3 Para encontrar otros puntos que se encuentren en la recta, le damos valores a t en las Ecuaciones Paramétricas Si t = 1 x=3−1(1) x=2 y=−1+3(1) y=2 COMPROBACIÓN a3) Pasa por A (1,5) y tiene por pendiente m = 3. El único punto que tenemos es (1, -5), que lo podemos asociar a (x1 , y1) y lógicamente m =  3, dicho de otra forma: x1=1 y1=−5 m=−3 Si la ecuación de la recta es: ( y− y1 )=m(x−x1) Reemplazando los valores en la fórmula: ( y−(−5))=−3(x−1) y+5=−3 x+3 De donde los nuevos valores son: x1=3 u⃗ = (12,16,-16) u⃗=k∗v⃗ (12,16 ,−16 )=k∗(12,16 ,−16) 12=12∗k= 12 12 =¿1 16=16∗k= 16 16 =¿1 −16=−16∗k= −16 −16 =¿1 Hallamos el Vector director (3,3,7 )+t (12,16 ,−16 ) =(−2,5 ,−6 )+s(12,16 ,−16) (3+12t,3+16t,7-16t) = (-2+12s,5+16s, -6-16s) 3+12t = -2+12s, 3+16t=5+16s, 7-16t= -6-16s 12t-12s = -2-3, 16t-16s=5-3, -16t+16s= -6-7 12t-12s = -5, 16t-16s=2, -16t+16s= -13 (-5,2,-13) son paralelas porque las coordenadas respectivas de sus vectores dirección son iguales. (12,16 ,−16) y porque el sistema de ecuaciones (12,16 ,−16 )=k∗(12,16 ,−16) tienen la mismas solución; 1 COMPROBACIÓN C) Demostrar si las rectas L1: x=8t+4, y=2t+2, z=4t+10 y L2: x=6t+8, y=2t+6, z=4t+12 Son o no ortogonales. L 1:{ x=4+8t y=2+2t z=10+4 t v́=(8,2,4) L 2:{ x=8+6 t y=6+2 t z=12+4 t ú=(6,2,4) v́ ∙ ú=0 Condición para saber si son ortogonales v́ ∙ ú=(8∗6 )+ (2∗2 )+( 4∗4 )=48+4+16=68 No son ortogonales porque su producto punto no es cero. D) Determine las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los putos (-1, -2, -3) y (6, -9, -8). Ecuación Vectorial M (−1,−2,−3 ) y S (6,−9,−8 ) . Tenemos como datos dos puntos de la recta, entonces los vectores M⃗S y S⃗M son paralelos a dicha recta. Elegimos uno de ellos como vector director: v⃗=M⃗S=(7,−7,−5) ( x , y , z )=(−1 ,−2 ,−3 )+∝ (7,−7,−5 ) ,∝∈R ecuación vectorial de la recta MS Ecuaciónes parametricas La ecuación vectorial de una recta es: ( x , y , z )=(−1 ,−2 ,−3 )+∝ (7,−7,−5 ) Por igualdad de vectores: { x=−1+∝7 y=−2+∝−7∝∈ z=−3+∝−5 R Éstas son las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta. Ecuaciones simetricas Consideremos la ecuación vectorial de la recta MS: ( x , y , z )=(−1 ,−2 ,−3 )+∝ (7,−7,−5 ) ,∝∈R Obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta por igualdad de vectores: COMPROBACIÓN B) Hallar la ecuación del conjunto de todos los puntos de intersección de los siguientes planos: {7 x− y+5 z=125x−2 y+10 z=58 Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan (7 −151 −210│ 125 58 ) Dividir F1/7 (1 −1/7 5 /71 −210 │ 125/7 58 ) Multiplicar F1*1-F2 (7 −1/75/71 −13/765 /7│ 125/7 281/7) Dividir F2/13 (7 −1/75/70 1−5 │ 125 /7 −281/13) Multiplicar F2*1/7+F1 (1 0 00 1−5 │ 192/13 −281/13) El sistema tiene múltiples soluciones. Teniendo los puntos P (7,-1,5), Q (1,-2,10), R (192/13,-281/13,0) se halla la ecuación. Formar los vectoresPQ → y PR → PQ → =[ 1−7 ] i+[−2−(−1)] j+ [ 10−5 ] k PQ → =−6 i−1 j+5k PR → =( 19213 −7) i+( −281 13 −(−1)) j+(0−5 ) k PR → = 101 13 i− 268 13 j−5k PQ → ∗PR → ( −6−1 5 101 13 − 268 13 −5) = i ((-1)·(-5) - 5·-268/13) - j ((-6)·(-5) - 5·101/13) + k ((-6)·-268/13 - (-1)·101/13) = i (5 + 1340/13) - j (30 – 505/13) + k (1608/13 + 101/13) = {1405/13i; 115/13j; 1709/13k} Utilizan Q se obtiene: 1405 13 ∗( x−1 )+ 115 13 ( y+2 )+ 1709 13 ( z−10 )=0 1405 13 x− 1405 13 + 115 13 y+ 141 13 + 1709 13 z− 1579 13 =0 1405 13 x+ 115 13 y+ 1709 13 z= 1405 13 − 141 13 + 1579 13 1405 13 x+ 115 13 y+ 1709 13 z= 2843 13 COMPROBACIÓN C ) Hallar la ecuación del plano  que contiene al punto A=(1,-3,2) y a la recta R= 3 x−1 2 = 2− y 3 = z+5 2 . R= 3 x 3 − 1 3 2 3 = −2+ y −3 = z+5 2 R= x− 1 3 2 3 = −2+ y −3 = z+5 2 ń=( 2 3 ,−3,2) v⃗=⟨ a , b , c ⟩ Vector director de la recta v⃗=n⃗1∗n⃗2 Vectores normales 1 : x−3 y+ z−1=0 2 :−4 x−2 y+6 z−10=0 n1=⟨ 1,−3,1 ⟩ n2=⟨−4,−2,6 ⟩ | i j k 1 −3 1 −4 −2 6| ¿ [−18−(−2 ) ] i− [6−(−4 ) ] j+[−2−12]k v=−16 i−10 j−14 k v= ⟨−16,−10,−14 ⟩ 16 v=⟨−1,−58 ,− 7 8 ⟩ Ecuaciones paramétricas de la recta { x=1− t {y= 2924 − 5 8 t {z=218 − 7 8 t RETROALIMENTACIÓN ARLET JOHANNA JAIMES RETROALIMENTACIÓN EJERCICIO B RETROALIMENTACIÓN El ejercicio 2 se encuentra bien planteado, y la solución de la matriz escalonada también se encuentra bien desarrollada en torma matemática. En la comprobación mediante el Geogebra, se encuentra bien desarrollado, pero se puede solucionar la matriz ampliada directamente como lo evidencio en la imagen adjunta. Ejercicio 3, literal B. RETROALIMENTACIÓN El ejercicio 3 se encuentra bien planteado, y la solución matemática también se encuentra bien desarrollada, sin embargo, para establecer si dos rectas en son paralelas basta con revisar sus vectores de dirección. Una vez se halla las ecuaciones paramétricas de las dos rectas, se pueden evidenciar que son iguales a ambos lados. Ejercicio 4, literal B. RETROALIMENTACIÓN En el ejercicio 4 cuando se plantean las ecuaciones, faltó validar si son paralelas o no, para plantear las ecuaciones de la recta donde se intersecten los puntos. JORGE ENRIQUE BECERRA RETROALIMENTACIÓN EJERCICIO A Arlet Johanna Jaimes Flórez Ejercicio 2 literal A. http://youtu.be/dv3wZ4F9GOg? hd=1 Jorge Enrique Becerra Ejercicio 2 Literal B https://www.youtube.com/watch? v=9kQdzjw2xT4&feature=youtu.be Zulma Patricia Holguín Carlos Alberto vera CUADRO DE ACTIVIDADES Nombre del Estudiant e Item Escogido Mapa mental Ejercicio 2 Ejercicio 3 Ejercicio 4 Video Retroalimentació n Arlet Johanna Jaimes A ok ok ok ok ok ok Jorge Enrique Becerra B Ok Ok Ok Ok Ok Ok Zulma Patricia Holguín C No Ok Ok Ok No OK Carlos Alberto vera D Ok Ok Ok Ok No No REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 68 a 79. Recuperado de:http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? ppg=77&docID=10584265&tm=1468967325440 Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 164 a 182. 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