Álgebra lineal, transformaciones lineales, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Álgebra lineal, transformaciones lineales y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! El teorema de Cayley-Hamilton XII Jornadas de ASEPUMA 1 EL TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Francisco Gómez García Universidad de Murcia RESUMEN El teorema de Cayley−Hamilton establece que cada matriz cuadrada A satisface su ecuación característica: Si p(λ) = det(Α−λΙ) es el polinomio característico de A, entonces p(A) es la matriz nula. Entre las diversas demostraciones del teorema hemos encontrado en R. Bellman (1965) una puramente algebraica, que es la que detallamos, con algún matiz, en nuestro trabajo. El interés de la demostración radica en la utilidad que puede tener para nuestros alumnos de primer curso, la exposición de un desarrollo lógico basado en sus conocimientos básicos de cálculo matricial. También es inmediato y puede ser igualmente útil calcular, a partir del teorema, la inversa de A, cuando A sea no singular. 1. TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Sea p(λ) = ( − 1) n λn+ cn−1 λn−1+ cn−2 λn−2+ ... + c2 λ2 + c1 λ + c0 el polinomio característico de una matriz A de orden n. Entonces p(A) = ( − 1) nΑn + cn−1 Αn−1 + cn−2 An−2 + ... + c1 A + c0 I es la matriz nula. Es decir, cada matriz cuadrada A satisface su ecuación característica p(A) = 0 . Francisco Gómez García Nota: A es una matriz de orden n con elementos en un cuerpo K; por tanto, los coeficientes ci del polinomio característico det(Α − λΙ) pertenecen a dicho cuerpo K . 2. DEMOSTRACIÓN Por las propiedades de las matrices se cumple que: (A − λI) Adj(A − λI) t = p(λ)I donde Adj(A − λI) t es la matriz traspuesta de la matriz de los adjuntos de los elementos respectivos de la matriz A − λI y p(λ) = det(Α − λΙ) es el polinomio característico de la matriz A. Si denotamos B(λ) = Adj(A − λI)t, entonces B(λ) es una matriz polinómica en λ, de grado n−1, que se puede escribir como: B(λ) = Βn−1 λn−1+ Βn−2 λn−2+ ... + Β2 λ2 + Β1 λ + Β0 donde cada Βi es una matriz de orden n, con elementos en el cuerpo K. Entonces el producto (A − λI) B(λ) vale: (A − λI) B(λ) = (A − λI )(Βn−1 λn−1+ Βn−2 λn−2+ ... + Β2 λ2 + Β1 λ + Β0) = − Bn−1 λn + (ΑΒn−1 − Βn−2) λn−1+(ΑΒn−2 − Βn−3) λn−2+ ... + (ΑΒ2 − Β1) λ2 + (ΑΒ1 − Β0) λ + Α Β0 Por otro lado p(λ) I es la matriz polinómica: p(λ) I = ( − 1) n I λn+ cn−1 I λn−1+ cn−2 I λn−2+ ... + c2 I λ2 + c1 I λ + c0 I Luego, igualando las matrices polinómicas, con elementos en el dominio K(λ), (A − λI) B(λ) = p(λ) I, se deduce que: − Βn−1 = ( − 1) n I ΑΒn−1 − Βn−2 = cn−1 I ΑΒn−2 − Βn−3 = cn−2 I 2 XII Jornadas de ASEPUMA ΑΒ2 − Β1 = c2 I ΑΒ1 − Β0 = c1 I Α Β0 = c0 I