Álgebra Lineal - Unidad V Transformaciones Lineales, Apuntes de Álgebra Lineal

¡Descarga Álgebra Lineal - Unidad V Transformaciones Lineales y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE JOCOTITLÁN CARRERA: Ingeniería en Sistemas Computacionales ASIGNATURA: Álgebra Lineal PROYECTO: Investigación de la Unidad V GRUPO: IC 0203 ALUMNOS: Jasson David Dávila Bartolo Itzel Pablo González Mariela Leandro Garduño Jocotitlán, Estado de México, 09 de Junio de 2021 2 ANTECEDENTES Al hacer un reencuentro de la historia de las Transformaciones Lineales, lo que se sabe al respecto es que, en 1830, Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851), Kronecker y Weierstrass, fueron los primeros en trabajar con la noción de las transformaciones lineales que comenzaban a surgir en esa época por los años de 1850 y 1860. Sin embargo quien tuvo más influencia, sobre el desarrollo de la noción de Transformación Lineal fue el Matemático Ferdinand George Frobenius(1849-1917). Tendió a evolucionar desde el siglo XVIII, gracias a los trabajos de Augustin Louis Cauchy. Weierstrass y Kronecker, entre otros, no obstante; no fue sino hasta 1918 que las transformaciones lineales adoptarían su forma actual de la mano del Matemático Aleman Hermann Weyl (1885-1955). Una vez establecidas las transformaciones lineales, comenzaron a tener grandes aplicaciones como, por ejemplo, transformar áreas de integración, en el caso de la transformación de variables. En la historia Morris Kline (1908-1992), los valores se originaron en el contexto de formas cuadráticas y en la mecánica celeste (movimiento de planetas) que se conocieron como raíces características de la llamada ecuación escalar. En 1740, Euler ya usaba de manera implícita los valores propios para describir d manera geométrica la forma cuadrática en tres variables. Por su parte en la década de 1760, Lagrange estudio un sistema de ecuaciones diferenciales del movimiento de los planetas de ahí dibujo una ecuación poli nominal de sexto grado, cuyas matrices eran valores propios de una matriz. En 1820, Cauchy se dio cuenta de la importancia de los valores propios para determinar los ejes principales de una forma cuadrática variables. No fue, sino que hasta 1840 Cauchy se convirtió en el primero en usar los términos valores característicos y ecuación característica para indicar los valores propios y la ecuación poli nominal básica. 5 INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES En el presente trabajo da a conocer acerca de las transformaciones lineales las cuales son una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector, en donde los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que perseveren en un ambiente de utilización útil y viable para cada transformación. Por otro lado, una transformación lineal se refiere a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las trasformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes, así como la aplicación en circuitos. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática. De este modo queremos dar a conocer la definición, así como sus propiedades de las transformaciones lineales, su imagen, el núcleo, su representación matricial y su aplicación. 6 5.1 Definición de Transformación Lineal Una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su condominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. O sea, una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones: F: V→W es una transformación lineal si y sólo si: Propiedad 1 La imagen del vector nulo del dominio 0V es el vector nulo del condominio 0w: T (0V)=0w Demostración: Donde hemos expresado a 0V como el producto del escalar 0 por cualquier vector del espacio vectorial V, hemos usado la segunda condición que debe cumplir una transformación lineal, y finalmente hemos vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector. Propiedad 2 La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v: T(–v)= –T(v) Demostración: La justificación de los pasos dados en la demostración es similar a la anterior. Propiedad 3 Consideremos r vectores del espacio vectorial V: v1,v2,…,vr ∈ V 7 Tomemos una combinación lineal en el dominio: Si aplicamos la transformación lineal F de V a W, teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta: Es decir que una transformación lineal «transporta» combinaciones lineales de V a W, conservando los escalares de la combinación lineal. Procedimiento general para desarrollar una Transformación Lineal Analizar si la siguiente función es una transformación lineal: Resolución Controlemos primero que el transformado del 0V sea el 0W. Para demostrar que es una transformación lineal tenemos que comprobar las condiciones dadas en la definición. 10 La forma de un vector del núcleo sería: La imagen la podemos obtener aplicando propiedades sobre la expresión que define la transformación lineal: Los vectores (1,0,2) (1,0,2) y (–2,0,–4)(–2,0,–4) son linealmente dependientes. Entonces tomamos uno de ellos para la base de la imagen: Finalmente podemos responder sobre las dimensiones de núcleo e imagen, porque hemos obtenido bases de estos subespacios: 11 5.3 Representación matricial de una Transformación Lineal. Si A es una matriz de m 3 n y T: n S m está definida por Tx 5 Ax, entoncesT es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de n en m existe una matriz A de m 3 n tal que Tx 5 Ax para todo x ∈ n. Este hecho es de gran utilidad. Como se dijo en la observación de la página 476, si Tx 5 Ax, entonces nu T 5 NA e Im T 5 RA. Más aun, ν(T) 5 dim nu T 5 ν(A) y ρ(T) 5 dim Im T 5 ρ(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de n S m determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx 5 Ax, se puede evaluar Tx para cualquier x en n mediante una simple multiplicación de matrices. Teorema 1 Sea T: n S m una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m 3 n, AT tal que Demostración Sea w1 5 Te1, w2 5 Te2, . . . , wn 5 Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w1, w2, . . . , wn y hagamos que AT denote también a la transformación de n S m, que multiplica un vector en n por AT. Si entonces 12 Teorema 2 Sea AT la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal T. Entonces I. Im T 5 Im A 5 CAT II. r(T) 5 r(AT) III. nu T 5 NAT IV. ν(T) 5 ν(AT) Representación matricial de una transformación de R3 en R3 Solución p(A) = p(T) = 1 e Im T = gen entonces v(T) = 2 Para encontrar NA = un T, se reduce por renglones para resolver el sistema Ax = 0 Estableciendo Esto significa que primero 15 El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj. Procedimiento para desarrollar una aplicación en las transformaciones lineales Como ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para la representación de la transformación lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano x-y a través de la recta y = (−2x / 3). El primer paso para esto es determinar los vectores base. Por lo tanto, podemos afirmar que Por lo tanto, podemos afirmar que, R2 es una transformación lineal, entonces podemos escribir que Dado que y pertenece a R2. Imagina que A: R2 La imagen de la matriz base determina la imagen de cualquier elemento. Por lo tanto la imagen de a través de y = (−2x/ 3) es determinada mediante la obtención de una recta que pasa por (1, 0) y es que es ortogonal a . Esto está dado por y = (3x/ 2) – (3/ 2). El punto donde las dos rectas, esto es, y = (3x/ 2) – (3/ 2) e y = (−2x/ 3) se intersectan se dado como (9/13, −6/13). Tomamos p¬1¬ para ser el punto de reflexión de a través de la recta dada. Este punto es simétrico respecto a (9/13, −6/13) por lo tanto, podemos escribir que, 16 Esto produce, de manera similar, la imagen del vector base resulta. Y tenemos la matriz de transformación lineal final como Aplicaciones: En álgebra lineal se usa para muchas cosas en la electrónica como: 1. La ley de ohm en otras palabras dice que en un gráfico de I en función de V se obtiene una recta que pasa por el origen con pendiente R, todo elemento que no cumpla con esa regla no se los llama óhmicos. 2. En teoría de circuitos, o análisis de modelos circuitales se hace uso de la resolución de ecuaciones de n variables y n incógnitas al aplicar el método de mallas o nodos. Mediante el método de las mallas es posible resolver circuitos con varias mallas y fuentes. Consiste en plantear las corrientes de cada malla como su intensidad por su resistencia y sumar o restar las intensidades por las resistencias relacionadas con mallas adyacentes 3. También para ver la respuesta en frecuencia a señales de uso frecuente, pero de forma indefinida, se suele hacer la ecuación de la i(t) mediante escalones unitarios y rampas. Frecuencia es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico. Ejemplos de ondas de distintas frecuencias; se observa la relación inversa con la longitud de onda. Para calcular la frecuencia de un suceso. Según el SI 17 (Sistema Internacional), la frecuencia se mide en hercios (Hz), en honor a Heinrich Rudolf Hertz. 4. El campo eléctrico y magnético como campos vectoriales sería imposible entenderlo sin pasar por álgebra lineal. Si estamos en una teoría no relativista, el campo eléctrico es un campo vectorial, es decir, es una aplicación lineal de R^3 sobre R^3, es decir, das tres números reales y te devuelve tres números reales. Es lo que comúnmente se conoce como vector.