Algebra lumbreras - editorial completo, Apuntes de Álgebra

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pol' nJf7__iL'es n Cnli Ipo, Ivp/eJ_, DcscnJf_?s, Lei_J,j__ _' ,\_eT__ro,J. PJ_o.J_sorRs de JIJ,i'l'er._irJndp,_o_'ocnJJ r'oJl._ic'ros feoJó_i,_os, _?'4 _JJe In i__l__si4, _,rc /ln_í4 coJ,de12ado 4 C4Iileo, J,O i,,tee,_r_ e/pJ_u_J-Rs, c_ieJ7l Jiic'o eJ, s,r __isióJl d,l 7JJlJ1rrIo. DiscípIJlo de_1istórelcs. ,,opllede ncpptnJ- ,r,J ,J,lr Jld, eJl ,J7oz'iJJ,ieJ,ro, J_c_irJo poJ' le_?'es JJ,4/e,J,áric-ns J_, si,J eJJ7_nJgo, Ios sn_ios deI sigIo ,__C_l c-o17 iJ,__rJ_rJJ,eJllos dc ó_tir'r_ .?' c_íI,-Jr Iope Jfe?c'c_io1lr_/,du deJJl,lcJsrJ_r2,, rJlle es eI soI e7 _,rc esrá eJJ e_I c-,7Jr,-o deI J,J,iz_eJ_so ._' _J,p ln ._nJre,_R 9lo es 7r1J Ií_J/i_o c._rnJ,c_ndo. SiJ, eJJ,_n Jgo, pnJ_n In JI,n?'oJ-ín dc /os cJ-e.?'eJ,Jes po,lc1l /n l_eli_ió,l ''e1, pJ,tJ-cdicJJo ''. _ In JJll,,J1e dc CJisriJ1n de S,rec_in, e( __,_rpo de snbios _7re Jn J_odenba scx dispe/_srlpol' tor In _,rJ_opn, peJ_segl,irIos.J/-ecl_eJ,le1J,c1,repo/' Jn ,-o1,l,-n ,-e_oJ1Jln. PeJ-o Ius L_O,,tnctos eJlJJ_R c'ieJlIJiic'os seJ J,l,,Jtip/icnJ, _J_ncins rl lI,l nJ/ligo de DcscnJ1es, eJpndJ_e _'__erseJJJ,e, _,rieJ1 __e eJ,c_nJgn _e d,__ll,lcJiJ- /ns idens JJ,ns J__7_'o Ilrc'io/,nJnins, e,J,p,vn,,do pu_ Ins de GnJi Jeo+ I. Cn Ji/eo se iJ,sfnló e1, _Io,-e1lcirl e?J, I _j8_j. Se dPdicó n csrJJrJiaJ'pJ-iJlcipio__ de_J__JIíJJ7,des. II. I_Jpler, xJ-ncins n s,I psJJrrJio dc _!lrnJte, es(e dis,-ípJr lo dc Copé,1liL_o J__iJ,lel_pJ-Rtrl el JJ,o'_!iJJ,iel,to de Ios plnJ,pl4._.' Je__c'l_i_e1l lr,,n cJipsp gi/_n,lrJo r,IJ-ededoI- deI sol. lII. J7escnJ_es, iJItJ-od,r.io Jns JJlnteJJ,ríricns _JJ7 eI sPJ,u d_? /r___ cieJ,L'ir_s .?' In ,-e IixióJ,. I__ l,ei_1lih_, iJ7I,J__sndo poJ- _JI deJ-Rc_/Jo, In g_?o Iogír_, Ir_s 11JnfeJJlá/ic-ns _' In Jj/yso__n, dolnJo dc lr,r c._pjJ-irJ, e,lc'iL'Iopédico ,-_.JJ,ln In Dr_c'r/_jJJn de _esc_nJ1c._. _lr Jlro coJ, _!_'e1L_toJ, dcsnJ1-oJJn el c'IL',l Jo iJ J_j, J iresi9,,n l. I'_l_'l7_e: (iJrIJ1 /_:l7_'ic'lrJ_erlirr l_:JJ_i;lI(. __8_y (aa7_y__(_y__+x_5_x+5)xt_) (x_+y()_J ____ob___________l _ea__n2_t____e_l_n_3t_d_a___ob______c__6o__+_mat_3__o_ab__2rJ__e__t_8s_c(_pa__atbuNa_tne_++_dsN5tobt_a_J)___J_t__+o_2_sa_3__b__+_)t_e_/_5+F__am__t_t4bl_an+losl CAPiTULO l Eemlo_ s .2__ _ _ados p _ (c - 1 )_ + 3x + 3y debemos restar de a_ __ _ 2 32 5b _ (- Si a - a - p_ se ,educe a 6 x+ hallaf el va_o, de c, - 2a 2 + 5ab + I Resoluc16n: Ordenando: p _- (,.-_)x2+_+3y :_ -(3a'-5ab-l) _ --3a2+5ab+l '; 2 _ 3x _, 3 _--_ _ __ -- - _ _ _ -- -- _ N _. -- __ __ .. ._ _-_. ... N _. ..... _ ...... .. ... .. ._:' p_ __ c___5y2+6 ' t_ 2 De donde c _ _ _ 5 __ o t c __ 6 Otf8 fOr_8_ Del enunciado se tiene a2- E (3ab - 6J + (3d- - 8ab + 5) 1 EJempIo6 YecEuar __ a2_ __5ab_ _ +3a2 J - 8y- (- 7y- t(3y- 7x) _ (2y- 8x)J + 5x) _ a2 + 5ab + _ _ 3a2 ___uc_'6n: = - 2a2 + 5ab + l _ectuando por partes: _g,, _ (_7y _ _(3y_7x) _ (2y__)J + 5x) EiemPlO 8 _ SimßlinlCaf la eX_reSiÓn 3y_7x_2y+8x _E-3a-(b + E"a + (2a-b) -(-a+b)J+3b) +4aJ - =- _ Resolui6n: (x + y) Em pe2a,emos sim p_i Fi t_ _ _ _ _ 'emel""EeS ma" 'l^temO't eS deC'lf_ lOS afeCtadOS por los paréntesis. = - 8y _ ( -7y - x - y + 5x) _ __3a_ (b+ _ _a+(2 = _ 8y- (-8y+4x) ?b a+ 2a - b+ a = -_+_- 4x 2a -2b = - 4x - l-3a-jb+l2a-2bl+3b) + 4al 2 b+2a_2b+3b SUSt Caer a SUma e a _- y _ a - a + 2 a + 2 b = - l -3a - (2a+_b)+_al EFecluando la adici6n: 3ab- 6 =-l-a_2bJ =a+2_ 2 _ 8ab + _- 2 3 1 _E___a_0f_0(_0_03x_a_000_0__0_+_0___?_0___0t__0___0_____b____\0_0___0__)____2____c__0______0p_n_____3__)__o__+0(0_00l300)__00__00___0_000_0_03_00_0_00_00__0____0_0_0__0___0___________l___a___0_5___a___0_o_0______0____o_m0y____(0____0__0m_____________o+____o______+5_)_____000____a____(_0__0n____00__0_2n_n__h__t_mJ)____0_00500_0_+0_00_000o+02_000_00_0_0__0_b000_0_0_b_0__0m___0__0_(y_0_0_0m____)___0_+_0_________+__ob__o____n__nn___)_00y00on00000__0__0__0_0__0__0_00_0_0__0_o0__00__0___0__________0___l_________0____0_0oo0o_o0_o_____ _ R2p_a(ab+2__nym32ba_m_d_+____ndb2b2n_b_/As_3n3b)_(__ma_a_3nb_t3+_a+banmyan6_ba_+mbanbbm6na2)lg b lu mb reras Ed i tores Á /_u_rri_rcAcr_N Es necesario recordar aspectos esenciales de la multiplicación como: l. lqr de los Signos Ejemplo 3 (+)(+) = (+J (-) (+) = (-) Efectuar (a'm + bn')(a3b+mn + abmn_) (-) (_) (+) (+) (-) (-) Resolución: Dist_buyendo como se indica '''_ ____"'''_, ''''_,'''__,,', __'''',__ _,''_,''__,''''_,''_'__,'''', '''_,,_'0''''''''' ''' '_'_''_ __'''.'_'_'''''___'__' _ __'_'''_ _____*___' __"_ _'_e__%''__ ___' __'_'_____''''''__'__'_d_,___D _ _ _ _ _' _ _'' _0__ _ ' ' ^ ' ' ' '''_'__0, 0 ^ '_ - _ __ ^__. __ 0_, _. _..__, _: _ _ 0, __.. _..,.,. _'' '_, _..; '; _'' _:_ _ ^::._, ^';; ___, _ _,d'__d _0'_D, I. La muItiplicación de dos signos iguales __t.'D,0, resulta (+) '_,t?_DD__,,. _ IE. la multiplicacin de dos signos direrentes __g_DD_,,,_ resulta(-) . ______' _ 3_ _ _ e,_e0,., = a m. a +a-m.mn+a-m.a mn + 3a3_+3 3 _ 2, Propiedades de los Exponentes ' U ' ' a"'.a''= a sbm+a2 7 + a3b 2 2 + 3 7 3 (_e_ .b)'' = an.t_n = a m-n m n a _ 4+a 2mn5 mn mn a -a ' a_ßn_aK,nbß.n , . , ' _ ' . rO_lea OClaIV _ ' '''_ '_ n'_^^^ __^ _ ' -__^'__, ''_ ^^^_^^^^^^__' _ _ "_' " _ _ _, p,op,,e,,, Dl,s,n,bu,,-,a ___._.o,.,_00a .,Cb;___0J,000.._, ,(,_... .,,,,,___, _0 .,_,,,,_6.,. i? a(b m'''c) _.. ab ?' '.''''''''_c ^oD_ EjeInplo l_ mmn,na. ,_. ,,\m.,a._D 0 ,,d , ,_, , , _, , _, ,,0,.,,. ; _ ' D Multiplicar 2a2 por 3a3 Ejemplo l eSOlUCiÓn: __ 23__ 23__2+3__J \ ' E_emplo2 EJemplo 2 Efectuar la multiplicación de: 4 + 3 2 xm a2n Resolución: 3 4 Erectuando con(o_e se indica Re,o_uc__o_ (_ +_3)(_3_yJ __(_J(_)(_J _2 3 _y_a_yn 3 4 t _q J3_3 _ q 6 4 l_+m_+n2 =__-XY+ y__ ='-_y a __ _ERmul_p_____( __vy) _y ( _yy) _y (( _____(3_)_3(3_x+)t____))_t_(2+(_)53____)+l(8x)3__)18___8x CAPlTUlO l Nocionee pre_imi Eje_plo3 EJemplo6 Multiplicar 3_-5_+_ por _2_y4 _ectuar 3x(x+3)(x-2)(x+l) Re,o_uc__o_ n .. ReSoluCiÓn_ Mectuando por pa_es como se indica en l Il 3x2- +__(-2x3y4) ___. ' Aplicando _a propiedad distTibutiva: _ _ _ _Xt3J--3x+9X = _3.2_.___'+ 5.2_ ._y'_ 2_._y4 _ -6_y4+ Iox__ - 2_y7 ll. 3x(x+3) (x-2) 2 EJemplo_ ___caf2x+34 r5_7 =3_-6x2 +9x'_ l8x eSOlUCiÓn: =3_+3__ l8x Aplicando la propiedad distributiva conforme _se indica: 2 _ lII_ (_+3x -l8x)(xt l) (2x+3_) (5_-y) _ 4 +6 3x _3 __ 2x.5__7_x. +3_.5__3_ = lo_ _ 2m7 + _5_yt _ 3yj EJemplO 7 Reducir (x+5) (2x-3) - (2x+ l) (-K-4) Resolución: _emplo Aplicando la propiedad distributiva: ._1ultiplicar a'''+'' -_a'"_2a'_" por a'-2a Re,o_u,ión.. _ __ ' _ 4_ X+52x-3-2x+l X- ._átogamente con Forme se indica: . _ __ = (2x 2-3x+ 1ox- 15) - (2x '-8x+x__) = 2_+7x-l5_ (2.x-2-7x- 4) (d'2- 4à- 2à l) (a2- 2a) _ =hr+7x_l5__+7x+4 = l_-ll n;+_ 2_ m __ m+l 2 ,.__ 2a +4am 2a +2am+_ 2a De donde lo reducido es: I4x - l l __ an_+__+2 _ 2am+_ _ 2am+3 E_emplo8 m_t t _ni2 ed_ClC m-t _n__J + m+l _ a - a a 2X __ X-y _ X +Xy 2X-5y 33 __A_____x( ) (_x _2__x + 5_x_+_6_+ l8 A ________x_2 _ _l ___y_ __(_+___x2)(_6l l) Lu mb reras Ed itor_ lgebrg Entonces .0.,,.d.,,o..0.o,.d,....0d..,0o.p,..,.,o.,..,.0.....d..,,.,.,,...,.,..,..,...,..,....,,.. _'0__,_o0,,,, _ 5(x+3) '____0i0_____;___,_'_^000' '_._'_0._0.,__0_d_g_0'__0'''''_,a0_'_0', '-b _" b '' __ _6___,o, (3x_l)_ (x_l)_ (_-l)(x-l) _____oo_,,, EJemplo 6 Resoluc1ón: EFectuar 2 ;) x.+5 X+I+_y_1+_-_ x+l x-l x2_ x_l y+l (x-l)_+l) __ Resolución: 2 (x _ _J + 3 (x + l) x + 5 APliCandO el teOrema (V) (x + l) (x - l) x 2 _ _ (x+ I)_+ l) + (x- l)_- I) + _2xy (x_IJ_+I) (x'IJ_+'l) 2x - 2 + 3x + 3 + x + 5 plicando el teorema (IV) y e(ectuando: xy+x+y+ I +_-x-y+ l _2_ 2 _ 5x+I+x+_ 6X+ x-1)__l) (x-l)_+l) _ _ x2_I X+lX- Ejemplo7 6(x+l) _ 6 x3+ 5x2 _ lg (x-I)(x_I) x - 1 Reducir x+l_ 2 ReSOlUCiÓn : EjempIo 9 APliCandO el teOrema (VII) Se tiene Efectua, (x+ l) (x2 + 5x+6) _ (x'+5x2- I8) 2_, 2+5x+6 l +_, -, X + EFectuando las multiplicaciones obtendre- l +_X mOS: y 3+5x2+6x+x2+5x+6 x3 5x2 Resolución: x +5x+6 plicando el teorema VI_ en el numerador _. cuyo equjvale nte simpli F_cado denominadOr 2+__x+2q (x_3)(x+g) x+g x'__y2 _+5x+6 (x+3)(x+2) x+2 x2+y2 _ (x'+y'+2_)y Y+x (x ' +_' ')(x+y) Ejemplo8 Simplir_car x+l x_I I-x2 (x2+y2)(x+y) x2_y' 36 t_Hau_ _sRLc_p______oa___e__0___________p_____D_0_s__n___0_s____0____D__0_____o_t______________F_______f___u_0_______a0_0_0l______0______c______0c_p_(_____0___0_p________c__0_06____0___0_______l______l___0______on__po___o________>__)____p_______o___y___0__n___________e_________________a___ts______________2___0________t____p_________d______________6__p______e(/____________p__________________0______p____e_p___4__)_p____p_____s________)p_____________t__________l_paa______________t__2__________________(___________o_____________(_____________rm___p____________00____N______________p)________e_________00b________0___________________________s_____________e________________t_____________Nl__________l______a__N____p__________p_0__________n______p0_____0_0_______pa___p_____0___________n_p________________________________D______D__________________________t____tttt__N____________________________________t____________t_________t__________(_ ___x_2__2______)________x(__x___x__+____l__J_ __________ /______xr_____+_ ___ _x _ CAPlTULO l Nociones prelimjnares Ejemplo 10 Para el ejemplo, coMiderando la nota se _mpl,_F_car tiene en el denominador: X-2 2 x+2_2 x -_ x+2 x+2 x+2 x+2 Luego x_2 _ x_2 l xx+2 .nu_ se s_lm __lF,can erectuando las x + 2 x - 2 x(x_2) OpefaClOneS de abalO haCla am a. _ _ x-x_2 x2_x-2 '',__i_.'_,___ii__,____i_,iii____,i_.___,________.'__'_i___'___'0a'_'''_da'_____,o.ida____'_a0'_'_0__.0___.'_.,_,_,_,___,__,0___?,___0,_e.__.__,__,__0i_____,_e,_,_,_,,_,'_a0_0,0,___,0__,,'_,0'_,,'__,,_'_,_i_ + b + b a+ by ",_i0'''D_, x(x _ 2) _ x '__"__''__'''0_O__'0____!_00_'_._00_ _''___0_^ _P..__D.____'___'''^__'_____i^_______ c+x _+x _+x i'__,_ - x _ _________i_____/___________,_/__:___._____:,'__.'_,'_.'__:'v_'__:','_'_v''__''_''_._'_,:_.'''_,__ Y _ i__'',___, ,, _cuAcJoNEs 1 D_sR___ D_ INcóGNIrAs Se expondrá mediante eJemplos pr_cticos, utilizando expresiones que se considerarán bien _r_nidas. _rdar: ; a =b siysolosi a+c = b+c ; ;; a_b siysolosi a.c=b.c ;c_O :_: _mplo l Etemplo 2 x x _ De: u = a+(n_ l)r, despejar ''n' afXen -=--- 2 6 4 Resolución: ./ u = a+(n-l)r _ (n_l)r = u-a . _._cando todo o, 12 (12 es el m_,n_.mo (dividiendo ambos miembros enlre r) X_ X 2 6 4 lransponiendo términos 6x=2x-3 ' n'- 6x_2x =-3 dD_e_gam2e_(xppretls_ e3F o22o oo __p t_ggg2pr+3F d_dqgdt6n__r__b_(q. __(____l()_l ___)__ l +l Lumbreras Editores Á Ejemplo3 Ef l+a ab eCtUandO _= t2 2 3 X X'b De -=--- despejarp' F p' p setend,_ Resoluc_6n: l+a)x+b) =xab_x+ b +_ +__ xa& 2 2 3 t2 3 2 V De -_--- _ -+-_- f p' p f p p' Luego x+ax=xab-ab-b 2 Lue o _P + ___ t t __ _P t X l+a) '' b __a' l Fp p' t2 X a+ _ =_ ; Vaxta ax_a-l Ejemplo_ _o_n e __ v _ + _l t2 EJe_nplo 2 eS_eJe l. _ Despejaf _+_ _. v q-X Resoluc16n: de _a _N ua_dad. K _ a - I I. Despejando ''g'' _ +_-r r _q I 2 I 2 Q-X e=Vot+_g_ _ e-Vt=-gt 2 ^ 2 Re8oluc_'o_ luego es e u _. v a _ e n t e a _ +a-_ r+q _ a-l 2 2(e-Vot) Q_X K e_Vot)=gt _g_ 2 Iueeo __. Des _ando __v tt a -l r + 4 __ _a - l _ q_x K ultiplicandopor 2e__2vt+t2 _ 2vt_2e t2 O O a-l r +Q a-l- 2e_ t2 e On e ___ eeVandOa V=_ q-X 2_ aa- reSUltaqUe: EJemplo5 r + q a_ _ __ a-I I a ab b q-x k e: -+-__ deSpeJe x x x+b Resoluón: ". A c :' _eSpe}af P(X) de eCordar: ;' _=-_AD_BC :! _ B D _ _ :'.....................................;". c__ +X + 3 = 4 - 6_ - 5XP(X) 38 __ d) (_(5(_a_ _94_ _a_)_ _32__(____2a_6_ __ _)_ + eFJ)) ____( _ +___x22___)__2x_m+(_n_+_np4_++811)+__28__ _ CAPITULO l Noc;o,es p,e_im;,,,e, _. Simpli Flcar Ias siguie_tes expresiones: c) _+ C l+ I I 2bc 2 _ a b+c a a+3a a+ a-+_- a+2 4_a2 3a_6 4 2_ x b) _X Y+_X Y __ _X Y- __ Y j'x' 3 x_yx+y x_yx+y d X X_ 2 c)_a __a+ 3b3 _oa4 ab4 a+I a2+_ a4+_ a8 x_y) __(x_y) _ 2x2y2 +6xy (x_y) (x3_y'3) + 2x2y2 (a_I) (_ +a-3_) b4 8b ,b b_6 6bq _+ J _+a Y _ e)--;-+-_- _- b-2 b3_g b2+2b+g 2-b (4_b)2 __luar: n _J- p+I_J+_mP_ + '_x2(,+b)x+ab x2_c2 _) j _,x2_(a_-c)x+ac x2-b _ 5y _5 h _m 2+n' + 1 +2mn _m 2 +n'+2mn - l. + 1 b)X-3+_-__2X-I+- 22 j 2x-G __-3 m +n +mn _dr)))__l___c__a__3(Rr_mK6_o____xl)d+___b4x_7______b__(n___x)_l+_ax pqm_))))))(v_(_3x)(2_)___)((_(h_)())(_)b_)( ) Lu mbreras Ed itores Á_geb,a 7. De las igualdades siguientes, des_jar la _ M + 5y - _ x x incógnita _x: 3x + 5y + _ y ? a) _2a+X_(n_l) n __ 5 '_."' _ _ _1 +_l __1 +_l 2 __ x_a x+b x_a x-b b) 3{ IO_2_3x_2(x_5)I+7x} = 3x_4 Xta X-a a-t _ -'- k2+n2+m2x x-a x+a c) t_ a+X l __ - n oX+-gX_ 3 _ 2 4'_ 4_2 3 3 O X+ X_a+ba- V e)W_ 60d +v(t_x} 4+a2 3x4a2_4ga5b4 n m x_3 x_5 x+2 x+4__J_x__3_ + 2x= 50 g) y _- (b_)- (b_c)2-4hcx 2 ,) _+2_+2__a __ 2xy + 2x_?, (,,, y, _,) ,_ _ Ill I S -+-+-__ hJv__V l+--I xabx_a+b T x t) (x_y+?)' = 2+_++5, ' . a l V_ _ _ ___ _ _r_ u) _+_+_'- -- _+x?+Y?, (x, Y, __J __ N d P' X _ ___ _+3 2 4_2 i) X __- _ x2_4b2 b W _X +_fX =__X +fX 42