Algebra - Transformaciones Lineales, Diapositivas de Álgebra Lineal

¡Descarga Algebra - Transformaciones Lineales y más Diapositivas en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! TRANSFORMACIONES LINEALES Mgr. Herbert Vizcarra Nina (D> Definición 7.1.1 Transformación lineal Sean Y y W espacios vectoriales reales Una transformación lineal T de Ven Wes una función que asigna a cada vector yv e Mun vector único Tv e W y que satisface, para cada u y ven Y y cada escalar ar, Tu + v= Tu+ Tv Tlíav)= a Tv Tres observaciones sobre notación l. Seescribe To F— W para indicar que T toma el espacio vectorial real Y y lo lleva al espacio vectorial real HF; esto es, Tes una función con YM eomo su dominio y un subconjunto de H como su imagen. ( EJEMPLO 7.1.4 La transformación cero Sean V y W espacios vectoriales y defina T: V= W por Tv = () para todo y en Y Entonces Tlv, +1) =0=0+0= Ty, + Tv, y Tlav) = 0 = a = aTv. En este caso, Tse denomina la translormación cero. ( EJEMPLO 7.1.5 La transformación identidad Sea Y un espacio vectorial y defina [: V= V por [y = y para todo y en Y Aquí es obvio que / es una transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad u operador identidad. e EJEMPLO 7.1.6 Transformación de reflexión XxX —x Sea T: R?—R? definida por r| 7) = : ) Es fácil verificar que Tes lineal. En términos geomé- tricos, T toma un vector en R? y lo refleja respecto al eje y (vea la figura 7.2). y y a) b) Figura 7.2 El vector (—x, y) es la reflexión respecto al eje y del vector (x, y). Sea Á una matriz de m X n y defina 7: RR" por Tx = Ax. Como Á(x + y) = Ax + Ay y A(ox) = «dx si x y y están en R", se observa que 7 es una transformación lineal, Entonces toda matriz A de m X 1 se puede utilizar para definir una transformación lineal de R' en R". En la sec- ción 7.3 se verá que se cumple el converso: toda transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar por una matriz. Ó EJEMPLO 7.1.9 Transformación de proyección ortogonal Sea H un subespacio de R". La transformación de proyección ortogonal P: Y => H se define por Py= pro) (115) Sea (0, U,, ...., 1,y una base ortonormal para H. Entonces de la definición 6.1.4, página 425, se tiene Py = (y +0Ju, + (y + u,)u, +++ (vo 0,)u, (7.1.7) Como (v, + 1) +0 = 1, +4 + y, uy (0v) + u = a(y + u), se ve que P es una transformación lineal. Dos operadores de proyección e EJEMPLO 7.1.10 x x Se define T: R9—=>|R? por T| y» . Entonces Y es el operador de proyección que toma un =| y o vector en el espacio de tres dimensiones y lo proyecta sobre el plano xy» De manera similar, x O | proyecta un vector en el espacio sobre el plano wz. Estas dos transformaciones se describen en la figura 7.4. Figura 7.4 a) Proyección sobre el plano xy. (856 bj) Proyección sobre el plano xz: plano 14 E) , (qEEMPLO 7.1.11 Operador de transposición Defina T: M,, > M,,,, por T(4) = A. Como (4 + B)' =4' + B' y (aA4)' = 0.4 , se ve que un T, denominado operador de transposición, es una transformación lineal. ú EJEMPLO 7.1.12 Operador integral Sea J: C[0, 1] —>H definida por ff = f. oo) dx. Para f, g e C[O, 1], como [Uco + gl x)]dx = ¡ f)jdx + f, g(%) dx y [¡afoax = af, FG) dx, se ve que Y es un operador lineal. Por ejemplo, J(x7)= z. Y se denomina operador integral. (q EJEMPLO 7.1.13 Operador diferencial Suponga que D: C'[0, 1] + C[0, 1] se define por Df = f”. Para f. g e C'"[0, 1], como(f + gy =f" + g yl(afY = af”, puede apreciarse que D es un operador lineal. D se denomina operador diferencial. y EJEMPLO 7.2.1 Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector 1 Sea T una transformación lineal de [R* en R”? y suponga que r[o)-( O 3 = - - Calcule 7 | —4 |. ¿M4 Solución Se tiene Entonces <> Teorema 7.2.3 Sea Yun espacio vectorial de dimensión finita con base B = (v;,, Ys, ---, V,). Sea W'un espacio vectorial que contiene los vectores W,. W>, ---> w,. Entonces existe una transfor- mación lineal única 7: V— Wtal que Tv, = w,parai=1,2,...,R1. Se define la función Y como sigue: Observación. En los teoremas 7.2.2 y 7.2.3 los vectores W;,, Ws, . . . , W, no tienen que ser inde- pendientes y, de hecho, ni siquiera tienen que ser distintos. Más aún, se hace hincapié en que los teoremas se cumplen si Mes cualquier espacio vectorial de dimensión finita, no sólo 1”. Observe también que la dimensión de Hno tiene que ser finita. Definición de una transformación lineal de FR? a EJEMPLO 7.2.2 e 4 3 en un subespacio de E Encuentre una transformación lineal de R? en el plano 45Solución Del ejemplo 5.5.3 de la página 333, se sabe que Wes un subespacio de di- 1 0 mensión dos de R3 con vectores básicos W, =| 2 | y w,=| 3 |. Utilizando la base estándar en 1 0 R, y, =(0) Y V =(3) se define la transformación lineal T por r(5)- 2 ly r(5)- 3 0 1 Entonces, como lo muestra el análisis que sigue al teorema 7.2.2, T está completamente determinada. Por ejemplo, Do De manera más general, A =| 2x+3y |. y € EJEMPLO 7.2.5 Núcleo e imagen de un operador de proyección xl |x Sea T: Ri > Ri definida por T| y |=| y |. z 0 Esto es (vea el ejemplo 7.1.10, página 484), T es el operador de proyección de R* en el plano xy. 0 Xx 0 |, entonces x=y=0, Así, nuT=4| y [:x=y=0,:26 Ry, es decir, el 0 - XxX Xx SsiT| y|=|y|=0= 0 Xx ejez,cim T=4| y (:2=07, es decir, el plano xy. Observe que dim nu 7 = 1 y dim im 7 = 2, (D> Definición 7.2.2 Nulidad y rango de una transformación lineal Si Tes una transformación lineal de Men W, entonces se define Nulidad de T = +(T) dim nu T (7.2.4) Rango de T = p(P) = dim im Y (7.2.5) Observación. En la sección 5.7 se definieron el rango, la imagen, el espacio nulo y la nulidad de una matriz. Según el ejemplo 7.1.7, toda matriz 4 dem X n da lugar a una transformación lineal 7: R" > R” definida por Tx = Ax. Es evidente quenu 7 =N,,¡imT=imA=C, v(T) = v(A) y p(T) = p(A). Entonces se ve que las definiciones de núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal son extensiones del espacio nulo, la imagen, la nulidad y el rango de una matriz, é EJEMPLO 7.2.6 Núcleo y nulidad de un operador de proyección Sea H un subespacio de [R” y sea Tv = proy ,, v. Es obvio que la im 7 = H. Del teorema 6.1.7 de la página 428, se tiene que toda y e Vsi v = h + p = proy,¿v + proy,,,v. Si Tv = 0, entonces h = 0, lo que significa que v = p e HH. Asíinu T = H”, p(T) = dim H, y v(T) = dim H* = n— p(T). qgaEmeto 7.2.7 Núcleo e imagen de un operador transpuesto Sea V = M,,, y defina T: M,,, —> M,,,, por T(4) = A' (vea el ejemplo 7.1.11, página 480). Si TA mn = A' =0, entonces A' es la matriz cero de n X m, por lo que A es la matriz cero de m X n. Asi, nu 7 = (0) y es claro que im 7 = M,,, Esto significa que (7) = 0 y p(T) = nm. GaEmPLo 7.2.8 Núcleo e imagen de una transformación de P, en P, Defina T: P, > P,por T(p) = T (ay + ayx + ax? + azxó) = ay + ayx + azx?. Entonces si T(p) = 0, ay + ayx + azx? = 0 para toda x, lo que implica que a, = a, = ca, = 0. Asi nu T = tp e Py: pGo) = ax eim T=P,,v(T)=1yp(T) =3.