Algebra - Transformaciones Lineales, Diapositivas de Álgebra Lineal

¡Descarga Algebra - Transformaciones Lineales y más Diapositivas en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! EA EMPLO 7-32 Representación matricial de una transformación de RF en F* x Observe (a manera de verificación) que Ahora se calculan el núcleo y la imagen de A. La forma escalonada por renglones de . Esta forma tiene tres pivotes, de manera que ya que pl ) + vd) = 3 mA)=3-3=0 y Esto significa que nu 1 = (0), im 7 = gen 4 , , pa HI) Uy ad) 3 | l O FLEMPLO 7.3.4 Representación matricial de una transformación cero Es fácil verificar que si Tes la transformación cero de [R”" — [R”. entonces A7 es la matriz cero dem < n. De igual manera, si Tes la transformación identidad de FR" — [R”, entonces dy = J,. (¡eE MELO 7-3.5 Representación matricial de una transformación cero Se vio en el ejemplo 7.1.8 de la página 483, que si Tes la función que rota a todo vector en [R* cos —sen él ] un ángulo É, entonces dy -( 0 0 sen cos 1 Teorema 7.3.3 Sean V un espacio vectorial de dimensión n, W un espacio vectorial de dimensión m y T: V=> W una transformación lineal. Sea B, = [v,, v,,...., y,) una base para V y sea B, = [W;¡, Wa, . -.., | una base para W. Entonces existe una matriz única Ay de m X n tal que (TX)y, = Ap e EJEMPLO 7.3.6 Representación matricial de una transformación de P, en P, Defina T: P, =P, por (Tp) = xp(x). Encuentre 4, y úsela para determinar el núcleo y la imagen de T. o Ps, se tiene (T(1)a =(0)a = ! AT a = (1) y, = o o 2 o y [Y EC, = 0), = o o 0 Así, Ap =| 4 " o 0.0.1 o o 0 Es evidente que p(4) = 3 y que una base para R, es o , : , o . Por lo tanto, im T = o o 1 gen (1,1, 1%. Como (4) = 3 — MA) = 0, se ve que nu T = 03). (OA MPO 3T Representación matricial de una transformación de P, en P, Defina T: P, => P, por Tía, + ax + ay + aj) = a, + aj. Calcule Az y utilicela para en- contrar el núcleo y la imagen de T. ailSolución Utilizando las bases estándar B =41l,x.0,enPiyB,= (1, en Ps, o o o 1 de inmediato se ve que (7(1)g2 =| 0 |, (T(<Da =|0 |, (TGDa =|0 | y (Tx Ya = O o 1 por lo que 4d, = . Es obvio que -q(A) = 2 y una base para R,es manera que im T = gen (1, a Entonces, rd) = 4 —2 = 2, y si dy O |, entonces ad =0 y as, = 0. O Por lo tanto, a y ey son arbitrarios y es una base para N,, de manera que [1,2% es una base para nu 7. ú EJEMPLO 7.3.9 La representación matricial de una transformación lineal respecto a dos bases no estándar en R? puede ser diagonal l2x+10y Sea la transformación lineal T: R* => A? definida por a dl ? ) Calcule A, con —=15x —13y respecto a las bases B, = B, = ( ) 2) ASolución Utilizando el procedimiento del problema anterior, encontramos la imagen de la base 5, bajo T y la expresamos en términos de la base B, para construir la representación TEA : > : : o AA, 2 o Por lo tanto, Ay = . o —3 Sea T: RR” una transformación lineal con representación matricial 4,. Ahora se demostra- rá que sí 4, es invertible, entonces Y se puede escribir como una sucesión de una o más trans- formaciones especiales, denominadas . , y Una es una transformación lineal que multiplica a la coordenada SS Xx EX p y 5] ma x de un vector en [* por una constante e > 1. Estoes YT ATA 1) fe fo) fo) co0 Entonces A o |- | y T| =| l , de manera que si 4, =| o 1) se tiene AJA |-(: 0) 01 E p (3, 0) e) bi e) Figura 7.6 Dos expansiones: a) $e comienza con este rectángulo. b) Expansión en la dirección de x con c= 2. O Expansión en la dirección de y con c= 4. De manera similar, una expansión a lo largo del eje y es una transformación lineal que multi- plica la coordenada y de todo vector en R? por una constante e > 1. Como antes, si T entonces la representación matricial de Tes 4, = Figura 7.8 Reflexión de un vector en R* respecto alarectax = y. a) (2,5) se obtiene reflejando (5, 2) respecto a la recta y=x. 6) (1, —4) se obtiene reflejan- do (—4, 1) respecto a la recta y = x. Si IS r(s)- () y JO) de manera quela representación matricial Xx de la transformación lineal que refleja a un vector en R? respecto a la recta x = pes A= Cortes 2. x . Un corte a lo largo del eje x es donde una transformación que toma al vector ] y lo convierte y tran dos cortes a lo largo del eje x. Sea Tun corte a lo largo del eje x. Entonces r(4) = 4) y r| o)> 0) de manera que la representación matricial de Tes Ay l :) Por ejemplo, en la figura 7.96), e = 2, asi Ay = ( 1) y x+cy en un nuevo vector A ) donde ces una constante diferente de cero. En la figura 7.9 se ilus- Observe que un corte a lo largo del eje x deja sin cambio a los vectores sobre el eje x (coorde- nada y = 0). Y (3,0) a) Figura 7.9 Dos cortes a lo largo del eje x aj Comenzamos con este rectángulo. 6) Corte a lo largo del eje xcon c= 2. £) Corte a lo largo del eje xcon <= —2, Transformaciones lineales especiales de Réen M AA See pe Expansión a lo largo del eje x Expansión a lo largo del eje y Compresión a lo largo del eje x Compresión a lo largo del eje y Transformaciones lineales especiales de Ren R? (continuación) Represenacó util e larrsomació 4 Reflexión respecto a la recta y = x Reflexión respecto al eje x Reflexión respecto al eje y Corte a lo largo del eje x Corte a lo largo del eje y > Teorema 7.3.6 Toda matriz elemental E de 2 < 2 es uno de los siguientes: La representación matricial de una expansión a lo largo del eje x o y La representación matricial de una compresión a lo largo del eje x 0 y La representación matricial de una reflexión respecto a la recta y = x La representación matricial de un corte a lo largo del eje x o y La representación matricial de una reflexión respecto del eje x o y El producto de la representación matricial de una reflexión respecto al eje xo y y la representación matricial de una expansión o compresión. mW Teorema 7.3.7 Sea T: R* ER? una transformación lineal tal que su representación matricial es inver- tible. Entonces Y se puede obtener como una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones.