Análisis modal for a 2DOF building, Ejercicios de Ingeniería Civil

¡Descarga Análisis modal for a 2DOF building y más Ejercicios en PDF de Ingeniería Civil solo en Docsity! SISTEMAS DE “N” GRADOS DE LIBERTAD. DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS DINÁMICOS EN ESTRUCTURA DE EDIFICACIÓN DE DOS FORJADOS. El análisis dinámico de un sistema o estructura implica el cálculo u obtención de una serie de parámetros que son exclusivos de cada estructura y que determinarán la respuesta del sistema frente a una acción exterior. Entre los parámetros dinámicos encontramos los siguientes: e Frecuencias modales, entre las que distinguimos la frecuencia natural y los posteriores harmónicos. + Las formas modales o modos asociados a cada frecuencia modal. + Masa equivalente asociada a cada modo. e Factores de participación. Aprovechando un modelo estructural que representa una edificio regular de dos niveles donde los forjados se suponen infinitamente rígidos, se procederá a desarrollar y justificar los parámetros dinámicos descritos anteriormente A) Modelo Estructural En la siguiente figura se muestran las caracteristicas del modelo estructural del pórtico principal del edificio de dos plantas. E => Ue 4.00 m El El 2d ul 400 m Her REI Por planta existen 2 pilares de acero cuya sección es del HEB-260, de peso propio despreciable. Cada planta tiene uma masa de 10000 kg y la rigidez de la estructura se resuelve por medio de la rigidez a flexión de los soportes. B) Rigidez a flexión de los pilares de la estructura: uE La estructura queda definida por dos únicos grados de libertad que son los desplazamientos horizontales de los forjados. La matriz de rigidez de la estructura puede obtenerse mediante la definición del concepto de rigidez. Para ello será necesario fijar en este caso un grado de libertad y aplicar un desplazamiento unidad en el otro grado de libertad. La respuesta de la estructura en cada grado de libertad y en cada elemento define las posiciones de la matriz de rigidez: En el caso que se aplique un desplazamiento unidad en el forjado superior y se fije el inferior se obtiene el siguiente esquema de fuerzas: E HE ké=ra uE F=K-u u=F=XK, u=1 u =- =-K, K2=F2 F=K —=— M2 =D C) Matriz de masa de la estructura Si suponemos de forma simplificadora que la masa de la estructura está concentrada en los niveles de forjado, y asumiendo que dicha masa no tiene inercia rotacional, la matriz de masa concentrada queda definida de la siguiente manera: M, 0 == (0 MI La matriz de masa es una matriz diagonal donde en los elementos no nulos de la misma indica la masa asociada a cada grado de libertad adoptado en el modelo: M= M, >1u, 0 EL 0 MI>u La matriz de masa de la estructura queda expresada de forma numérica como se indica a continuación: 10000 0 M > 0 10000 D) Obtención de frecuencias y modos de vibración El procedimiento para la obtención de las frecuencias de vibración de un sistema es el siguiente: e Después de aplicar una perturbación inicial al sistema se deja vibrar libremente. Este es igual que decir que las fuerzas dinámicas aplicadas son 0 f(t)=0. + Suponer el sistema No amortiguado o libre de amortiguamiento, es decir, que en la ecuación de equilibrio dinámico C=0. *e Suponer que el sistema en vibración sigue un movimiento harmónico simple. Se muestran a continuación las ecuaciones relacionadas con este procedimiento: mau(D+cu0+k-u(1)=E(0 c=0_y_F(1=0 mu(0+k-u(t)=0 La expresión anterior representa un sistema de ecuaciones diferenciales que se puede resolver de forma matricial: m 07 |u + k, —k, 4, 0 0 m, 5, —k, k +k, 5, 0 Si buscamos soluciones de la ecuación diferencial de la forma: u(t) =p-e u(0)=p-: 0-e” u(0)=$- (0) e” u(0O==4:0 0.2% Pasamos a sustituir en la expresión general de equilibrio dinámico: u()=p.e" m-$-0* ¿qa +k-p-e” =0 due" k=m:o*)=0 ¿-(k=m-0*)=0 La última expresión representa un sistema de ecuaciones lineales homogéneo donde además de la solución trivial, que los modos sean cero (0), también lo sea el siguiente determinante: lk—m-o*|=0 k ma? —k, Desarrollando y resolviendo el determinante: 1 0 —k, (%, +K,)-m, 0? =0, (k, mm 07) | (k, +k,)m,-0? ]+k? =0 Sustituyendo en la expresión los valores numéricos de nuestro problema particular: (k, m0? )-[ (kh, +k,)=m,-0? | ki? =0 (5.87-10 -1-10*-0?)-[11.74-10%-1-10*.0* | -(5.87-10%)? =0 sia=1 (5.87-10%—1-10*-4)-[11.74-10%—1-10*-2]-34.47-10 =0 68.91-10 -58.70-10?-4-117.10-10?-2+10%-2?-34.47-10? =0 10%. 4? -175.8-10”4+34.46-10? =0 A =22475>0 =15_ rad / sg 4, =15332> 0, =39.15_rad/ sg E) Factor de Participación y masa modal Otros dos conceptos importantes en el análisis dinámico es la masa modal y el factor de participación que se pasarán a describir en breve: FACTOR DE PARTICIPACIÓN De acuerdo a teoría el factor de participación se define como: T pm J T TT f M-, Donde el denominador de la expresión anterior recibe el nombre de masa modal asociada al modo y J, es el denominado vector de arrastre que nos indica que grados de libertad de la estructura se verán excitados frente al movimiento del suelo. De acuerdo al modelo adoptado los valores numéricos de estas expresiones son los siguientes: Con respecto a la masa movilizada en cada modo podemos decir lo siguiente: %_Masa_1=I rar 4 m-J=94.72% "m-J=5.28% Duíod-2 Q A tales efectos se ha realizado un programa mediante el entorno Matlab que a continuación se reproduce y con el que se verifican los resultados obtenidos anteriormente, además de la representación gráfica de los modos: F) Programa de Cálculo generado en entorno Matlab INPUT PROGRAMA “modos 2 CALCULO DE FRECUENCIAS, MODOS y “FACT. “DE PARTICIPACIÓN EN EDIFICIO DE 2 PLANTAS CON RIGIDEZ INFINITA EN FORJADOS Y RIGIDEZ KP=12E1/H"3 EN PILARES. VARIABLES kl,....,k2= rigidez a flexión pilaras cada planta ml,....,m2= masa cada piso ktotal= matriz de rigidez de la estructura Mtotal= matriz de masas diagonal, donde en cada elemento de la diagonal se concentra la masa de cada planta. %NOTA: El GDL 1 corresponde al techo de planta baja. cele Sergio Rodriguez Morales Enero-2014 clear %1. INTRODUCCIÓN DE DATOS apra 33 ges ("Rigidez a flexión pilares planta baja k2(N/m)_:") ("Rigidez a flexión pilares planta primera kl (N/m)_:') ("Masa forjado techo de planta baja m2 (kg)_:') (Masa forjado techo de planta primera ml (kg)_:") ("Introduce la altura de la primera planta hl (m ("Introduce la altura de la segunda planta h2 (m E %2. EMSAMBLAJE DE MATRICES DE RIGIDEZ Y MASAS SMATRIZ DE RIGIDEZ ktotal=[k1 kl; kl k1+k2] SMATRIZ DE MASAS mtotal=[m2 0; 0 ml] 3. OBTENCIÓN DE AUTOVALORES Y AUTOVECTORES E ee Matriz D diagonal con valores de autovalores Matriz V con columnas dando autovectores ee Poo =inv(mtotal) *ktotal v,d]=eig(A) e %FRecuencia modo 1 w_l=sqrt(d(1,1)) TI=2*pi/w_1 E *FRecuencia modo 2 w_2=sqrt(d(2,2)) T2=2*pi/w_2 4. FACTORES DE PARTICIPACIÓN Y MASA ASOCIADA ae ao EN Vector de Arrastre J=[1;1] E +Masa Total movilizada Mtmov=J '*mtotal*J “Definición MODO 1 mod_1=[v(1,2);w(1,1)] %Definición MODO 2 mod_2=[w(2,2);w(2,1)] *Factor de participación asociado al modo-1 _1=(mod_1'*mtotal*J) / (mod_1'*mtotal*mod_1) oe ta E SFactor de participación asociado al modo-2 _2=(mod_2'*mtotal*J) / (mod_2'*mtotal*mod_2) m +%lMasa Movilizada en el primer en el modo-1 Masa_mod_1=F_1* (mod_1'*mtotal*J) +%%s%Masa Movilizada en el primer en el modo-1 Masa_mod_2=F_2* (mod_2'*mtotal*J) %5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA MODOS %Modo 1+ Modo 2 figure(1) %Representación del primer modo x_1=0; x 2=v(2,1); 1; line([x_1 x_2], [y_1 y 21); x_2=v(2,1); ALLALIALNASASSASSSALNSASNLSSSSSSASSASNASSSSSSS % Resultados. Propiedades dinámicas estructura % ALLALIALNASASSASSSALNSASNLSSSSSSASSASNASSSSSSS ado fundamental Tl=_ TI= 0.4196 Factor de participación F1=_ Fi= -1.3764 Masa movilizada asociada al modo M1mod=_ Masa_mod_1= 1.8944e+004 ALLALIALNASASSASSSALNSASNLSSSSSSASSASNASSSSSSS e armónico T2=_ T2= 0.1603 Factor de participación F2=_ F2= 0.3249 Masa movilizada asociada al modo M1mod=_ Masa_mod_2= 1.0557e+003 ALLALIALNASASSASSSALNSASNLSSSSSSASSASNASSSSSSS Masa Total movilizada=_ Mtmov= 20000 % Masa Total movilizada Modo-1=_ por_mod_1= 94.7214 % Masa Total movilizada Modo-2=_ por_mod_2= 5.2786 X:-0.8507 Y:8 7 Ñ 6 5 pl X -0.5257 X: 0.8507 Y:4 Y:4 " > j > > A, 2 == Modo 1 Modo 1 NÑ r Modo 2 Ñ Y 1 Modo 2 o 1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 o 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Deformaciones Nótese que los valores de los vectores nodales no han sido normalizados a 1 por el programa, por lo que son distintos a los obtenidos en los apartados anteriores. No obstante, se puede comprobar que el resultado es correcto puesto que el cociente entre ambas componentes de cada modo aporta el mismo resultado en ambos casos.