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¡Descarga aprende algebra de boole y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity! C D A B C D AC AC D BC AC D + BC A + C B + 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 Álgebra booleana 5.1 Introducción 5.2 Expresiones booleanas 5.3 Propiedades de las expresiones booleanas 5.4 Optimización de expresiones booleanas 5.5 Compuertas lógicas 5.6 Aplicaciones del álgebra booleana 5.7 Resumen 5.8 Problemas CAPÍTULO V capitulo 5.indd 176 11/25/08 11:04:20 AM + C C + D F 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 A B C D A B C D AC AC D BC A 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 Objetivos • Aprender a simplifi car expresiones booleanas usando teoremas del álgebra booleana. • Aprender a simplifi car expresiones booleanas por medio de mapas de Karnaugh. • Representar expresiones booleanas por medio de bloques lógicos. Boole interpretó su sistema a la manera aristotélica, como un álgebra de clases y de sus propiedades, y al hacerlo amplió la antigua lógica de clases y la liberó de los límites del silogismo. Martin Gardner 177 capitulo 5.indd 177 12/1/08 1:26:05 PM 180 V. ÁLGEBRA BOOLEANA ALFAOMEGA La función booleana que equivale a la tabla de verdad anterior es: F = A′B′C′D + A′B′CD + AB′C′D + AB′CD + AB′CD′ Esto implica que el refresco será extraído de la banda de transpor- tación en cualquiera de los siguientes casos, ya que para cualquie- ra de ellos se tiene que F = 1: A = 0, B = 0, C = 0, D = 1 A = 0, B = 0, C = 1, D = 1 A = 1, B = 0, C = 0, D = 1 A = 1, B = 0, C = 1, D = 1 A = 1, B = 0, C = 1, D = 0 La función booleana indica solamente los casos en donde el refres- co será extraído, pero existen varios casos más en donde se deja- rá pasar porque cumple con los requisitos mínimos de calidad. Se puede decir que en general una expresión booleana es un sistema de símbolos que incluyen 0, 1, algunas variables y las operaciones lógicas. 5.3 Propiedades de las expresiones booleanas Las expresiones booleanas poseen las siguientes propiedades: a) Están compuestas de literales (A, B, C, ...) y cada una de ellas representa la señal de un sensor. Un ejemplo es F = A′BD + AB′CD. b) El valor de las señales o de la función sólo puede ser 0 o 1, falso o verdadero. c) Además de literales, en la expresión booleana se puede tener el valor de 0 o 1. Por ejemplo: F = A′BD1 + AB′CD + 0. 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 El álgebra booleana es un sistema al- gebraico que consiste en un conjunto B que contiene dos o más elementos y en el que están defi nidas dos opera- ciones, denominadas respectivamen- te “suma u operación OR” (+) y “producto u operación AND” (
), las cuales satisfacen las siguientes pro- piedades: 1) Existencia de neutros. En B exis- ten el elemento neutro de la suma (0) y el elemento neutro del pro- ducto (1), tales que para cualquier elemento x de B: x + 0 = x x
1 = x 2) Conmutatividad. Para cada x, y en B: x + y = y + x x
y = y
x 3) Asociatividad. Para cada x, y, z en B: x + (y + z) = (x + y) + z x
(y
z) = (x
y)
z 4) Distributividad. Para cada x, y, z en B: x + (y
z) = (x + y)
(x + z) x
(y + z) = (x
y) + (x
z) 5) Existencia de complementos. Para cada x en B existe un elemen- to x′, llamado complemento de x, tal que: x + x′ = 1 x
x′ = 0 Álgebra booleana capitulo 5.indd 180 11/25/08 11:04:28 AM ALFAOMEGA A partir de las propiedades de las ope- raciones del álgebra booleana se pue- den demostrar los siguientes teoremas. 1) Teorema 1. Idempotencia. x + x = x x
x = x 2) Teorema 2. Identidad de los ele- mentos 0 y 1. x + 1 = 1 x
0 = 0 3) Teorema 3. Absorción. x + (x
y) = x x
(x + y) = x 4) Teorema 4. Complemento de 0 y 1. 0′ = 1 1′ = 0 5) Teorema 5. Involución. (x′)′ = x 6) Teorema 6. Leyes de Morgan. (x + y)′ = x′
y′ (x
y)′ = x′ + y′ Teoremas del álgebra booleana d) Las literales de las expresiones booleanas pueden estar conec- tadas por medio de los operadores lógicos And (∧), Or (∨) y Not (′). El operador And es una multiplicación lógica que se indica por medio de un paréntesis, un punto o simplemente poniendo juntas las variables que se multiplican, por ejemplo el producto de A y B se expresa como (A)(B) = A
B = AB; el Or es una suma lógica que se indica con el signo +; y el operador Not es el com- plemento o negación de una señal que se indica por un apostro- fo (′). En la siguiente expresión se muestra la forma en que se representan los operadores: F = A′BD1 + AB′CD + 0 = A′ ∧ B ∧ D ∧ 1 ∨ A ∧ B′ ∧ C ∧ D ∨ 0 e) Es posible obtener el valor de una expresión booleana sustitu- yendo en cada una de las literales el valor de 0 o 1, teniendo en cuenta el comportamiento de los operadores lógicos. En las si- guientes tablas se muestra la manera en la que se aplica esta propiedad: A B A ∧ B = AB A B (A ∨ B) = A + B A A′ 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 Hay que tener presente que en álgebra booleana: 1 + 1 = 1 1 + 1 + 1 = 1 0 + 1 = 1 0 + 0 = 0 ya que el valor máximo es 1. f) Además de las operaciones básicas, también es posible aplicar la ley de De Morgan de forma semejante a como se aplica en teoría de conjuntos. El siguiente ejemplo muestra la aplicación de esta propiedad: (ABCD)′ = A′ + B′ + C′ + D′ (A + B + C + D)′ = A′ B′ C′ D′ And Or Not 5.3 PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONES BOOLEANAS 181 capitulo 5.indd 181 11/25/08 11:04:29 AM 182 V. ÁLGEBRA BOOLEANA ALFAOMEGA 5.4 Optimización de expresiones booleanas Cuando se plantea un problema, en general la expresión booleana obteni- da no necesariamente es la óptima, esto es, la más fácil, clara y sencilla de implementar utilizando compuertas lógicas. La expresión que resulta del planteamiento del problema puede ser simplifi cada empleando para ello teoremas y postulados del álgebra booleana o bien mapas de Karnaugh. 5.4.1 Simplifi cación de expresiones booleanas mediante teoremas del álgebra de Boole Los teoremas que se van a utilizar se derivan de los postulados del álgebra booleana, y permiten simplifi car las expresiones lógicas o transformarlas en otras que son equivalentes. Una expresión simplifi cada se puede imple- mentar con menos equipo y su circuito es más claro que el que correspon- de a la expresión no simplifi cada. A continuación se presenta una lista de teoremas, cada uno con su “dual”. En esta tabla A representa no sólo una variable, sino también un término o factor, o bien una expresión. Para obtener el “dual” de un teorema se convierte cada 0 (cero) en 1 (uno) y cada 1 (uno) en 0 (cero), los signos más (+) se convierten en paréntesis, Tabla 5.1 Teoremas del álgebra de Boole Número Teorema Dual 1a. 0A = 0 1 + A = 1 2a. 1A = A 0 + A = A 3a. AA = A A + A = A 4a. AA′ = 0 A + A′ = 1 5a. AB = BA A + B = B + A 6a. ABC = A(BC) A + B + C = A + (B + C) 7a. (AB...Z)′ = A′ + B′ +...+ Z′ (A + B +...+ Z)′ = A′B′...Z′ 8a. AB + AC = A(B + C) (A + B)(A + C) = A + BC 9a. AB + AB′ = A (A + B)(A + B′) = A 10a. A + AB = A A(A + B) = A 11a. A + A′B = A + B A(A′ + B) = AB 12a. CA + CA′B = CA + CB (C + A)(C + A′ + B) = (C + A)(C + B) 13a. AB + A′C + BC = AB + A′C (A + B)(A′ + C)(B + C) = (A + B)(A′ + C) capitulo 5.indd 182 11/25/08 11:04:29 AM ALFAOMEGA F = B′(D + D′AC) F = B′(D + AC) F = B′D + AB′C Es conveniente mencionar que con las funciones booleanas se pueden elaborar circuitos equivalentes tanto con la función booleana simplifi cada como con la que se obtuvo inicialmente, sin embargo el circuito lógico de la función booleana sin simplifi car será más grande, complejo y usará más equipo electrónico en su implementación. 5.4.2 Simplifi cación de expresiones booleanas usando mapas de Karnaugh El método del mapa de Karnaugh es un procedimiento simple y directo para minimizar las expresiones booleanas, y fue propuesto por Edward W. Veitch y modifi cado ligeramente por Maurice Karnaugh. El mapa representa un diagrama visual de todas las formas posibles en que se puede plantear una expresión booleana en forma normalizada. Al reconocer varios patrones se pueden obtener expresiones algebraicas alternas para la misma expresión, y de éstas se puede escoger la más simple, la cual en general es la que tiene el menor número de variables además de que esta expresión posiblemente no sea única. Las tablas o mapas se dividen en cierto número de casillas, dependiendo de la cantidad de variables que intervengan en la expresión. El núme - ro de casillas se puede calcular con la fórmula número de casillas = 2n en donde n es el número de variables. Así a una expresión de 2 variables le corresponderá un mapa de 4 casillas, a una de 3 variables un mapa de 8 casillas y así sucesivamente. Un minitérmino es aquel que forma parte de la expresión y que se puede escribir de la manera más simple formando lo que se conoce en álgebra elemental como un monomio. Por ejemplo, la expresión F = X′Y + XY consta de dos minitérminos, X′Y y XY, y como se muestra a continuación en las casillas respectivas de la tabla correspondiente se pone un 1 si el minitérmino se encuentra en la expresión o un 0 si no está: 5.4 OPTIMIZACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS 185 Maurice Karnaugh Fue Ingeniero de telecomunicaciones estadounidense graduado en la universi- dad de Yale en 1952 y director emérito del ICCC (International Council for Com- puter Communication). Trabajó como investigador en los Laboratorios Bell des- de 1952 a 1966 y en el centro de investi- gación de IBM de 1966 a 1993, desde 1975 es miembro del IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) por sus aportaciones sobre la utilización de métodos numéricos en las telecomunica- ciones y es el creador del método tabular o mapa de Karnaugh. Un mapa de Karnaugh (también cono- cido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como K-Mapa o KV- Mapa) es un diagrama utilizado para la minimización de funciones algebraicas booleanas y consiste en una serie de cua- drados cada uno de los cuales representa una línea de la tabla de verdad. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2N fi las, el mapa K correspondiente debe poseer también 2N cuadrados. Cada cuadrado contiene un 0 o un 1, dependiendo del valor que toma la función en cada fi la. Las tablas de Kar- naugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables. capitulo 5.indd 185 12/1/08 1:26:21 PM 186 V. ÁLGEBRA BOOLEANA ALFAOMEGA Y X 0 1 0 0 1 1 0 1 Para simplifi car la expresión, en la tabla se agrupan los 1 de casillas adya- centes en bloques cuadrados o rectangulares de 2, 4, 8, 16,..., 2n y se des- cartan las variables cuyo valor, 1 o 0, cambia de una casilla a otra. La regla es agrupar la información con el menor número posible de bloques ya que de cada uno de éstos se obtiene cuando menos una literal, y los bloques deben estar conformados por el mayor número de casillas porque entre más grande sea el número de casillas agrupadas por bloque, más simple será la expresión booleana resultante. En el mapa anterior la variable X no conserva su valor ya que en la prime- ra línea vale 0 y en la segunda 1, por lo tanto se elimina. Sin embargo, Y mantiene el valor de 1 en ambas casillas, ya que en este caso el bloque que agrupa la información se encuentra solamente en la columna de la derecha. De esta forma se obtiene que la expresión simplifi cada del mapa de Kar- naugh es F = Y. Como se ve, la simplifi cación anterior consiste en la aplicación de los pos- tulados del álgebra booleana, pero de manera gráfi ca. Para simplifi car una expresión que incluye tres variables se tiene que el mapa consta de 8 casillas. Hay que observar que la secuencia en que se coloca la expresión en la tabla no es la binaria ascendente, sino una de forma que solamente exista un cambio de 0 a 1 o de 1 a 0 a la vez, esto es, una en la que no debe cambiar más que un bit en cada paso. A esta forma de arreglar los bits se le llama código refl ejado. Ejemplo 5.4. Representar en un mapa de Karnaugh y determinar la expresión booleana simplifi cada de: F = XY′Z′ + XY′Z + XYZ′ + X′YZ′ capitulo 5.indd 186 11/25/08 11:04:31 AM ALFAOMEGA La solución es la siguiente: YZ X 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 En este caso se forman dos bloques, mismos que permiten eliminar una variable en cada uno de ellos de forma que la expresión simplifi cada es: F = XY′ + YZ′ En general se tiene que cuando el número de variables que integran la expresión booleana es impar, el número de fi las del mapa es menor que el número de columnas. También es conveniente ordenar las variables alfa- béticamente colocando las primeras variables como fi las y las restantes como columnas. Ejemplo 5.5. Como se muestra en el siguiente mapa, un 1 de una celda puede estar contenido en más de un bloque. YZ X 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 1 En el caso de esta tabla se tiene que la expresión booleana sin simplifi - car es: F = X′Y′Z + X′YZ + XY′Z + XYZ + XYZ′ la cual ya simplifi cada queda como: F = Z + XY 5.4 OPTIMIZACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS 187 capitulo 5.indd 187 11/25/08 11:04:32 AM 190 V. ÁLGEBRA BOOLEANA ALFAOMEGA Ejemplo 5.8. Simplifi car la expresión booleana F = A′B′C′D + A′B′C + CD + AB′CD + AB′CD′ y obtener la expresión simplifi cada en sumas de productos y en productos de sumas. Primero que nada se sabe que: A′B′C = A′B′CD′ + A′B′CD CD = A′B′CD + A′BCD + ABCD + AB′CD Usando la información, tanto los minitérminos que se complementaron con variables como los inicialmente completos, se tiene el siguiente mapa de Karnaugh: CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 01 1 11 1 10 1 1 Hay que observar cómo un 1 puede estar considerado en diferentes bloques, como ocurre con el que está en la posición 0011. En este mapa se tienen nuevamente 3 bloques, 2 de cuatro celdas y 1 de dos. Eliminando los que cambian de valor de una celda a otra se tiene que: F = B′C + CD + A′B′D Ésta es la expresión booleana simplifi cada en sumas de productos. capitulo 5.indd 190 11/25/08 11:04:33 AM ALFAOMEGA En el caso del “producto de sumas” se utiliza el mismo mapa de Karnaugh, pero en las celdas vacías se colocan ceros y se agrupa la información de manera semejante a cuando se tienen unos, como se muestra en el siguien- te mapa: CD AB 00 01 11 10 00 0 01 0 0 0 11 0 0 0 10 0 0 c b d a La información se agrupó en este caso en cuatro bloques de 4 celdas cada uno de ellos, y para evitar confusiones en su lectura se le asignó una letra a cada bloque de tal forma que se obtiene la siguiente expresión comple- mento debido a que se usaron las celdas de ceros y no las de unos: F′ = C′D′ + BD′ + BC′ + AC′ El asignarle una letra o número a un bloque permite ordenar mejor el re- sultado de tal forma que el primer término C′D′ es la lectura del bloque “a”, BD′ lo es del bloque “b” y así sucesivamente. El orden en que se asigne la letra no es importante, ya que puede variar de persona a persona. Complementando ambos miembros de la expresión booleana resulta que: (F′)′ = (C′D′ + BD′ + BC′ + AC′)′ Aplicando ahora la ley de De Morgan: F = (C + D) (B′ + D) (B′ + C) (A′ + C) Ésta es la expresión booleana simplifi cada en productos de sumas. Hay que observar que no es igual la expresión booleana simplifi cada en sumas de productos que la que se obtuvo en productos de sumas, sin embargo se puede decir que son lógicamente equivalentes. Esto se puede demostrar usando teoremas del álgebra booleana o bien elaborando las tablas de verdad correspondientes. 5.4 OPTIMIZACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS 191 capitulo 5.indd 191 11/25/08 11:04:33 AM 192 V. ÁLGEBRA BOOLEANA ALFAOMEGA A medida que crece el número de variables de la expresión booleana, se hace más complicado el mapa de Karnaugh ya que el número de celdas está dado por 2n. Un mapa de 5 variables es equivalente a dos mapas de 4, como se muestra a continuación. CDE AB 000 001 011 010 110 111 101 100 00 4 01 11 1 10 X 2 3 5 Cuanto crece el mapa, también se ve incrementada la cantidad de celdas adyacentes para agrupar la información. Por ejemplo, en un mapa de 4 variables una celda es adyacente a 4 celdas, mientras que en un mapa de 5 variables cada celda tiene 5 celdas adyacentes y así sucesivamente. En el mapa anterior la celda con sombreado oscuro es adyacente a las 5 celdas con sombreado más claro, la celda con la letra X es adyacente a las celdas numeradas con 1, 2, 3, 4, 5, de tal manera que cada celda se puede agrupar para formar un bloque de dos casillas, con cinco celdas más. CDE AB 000 001 011 010 110 111 10 1 100 00 01 11 10 capitulo 5.indd 192 11/25/08 11:04:34 AM ALFAOMEGA Ejemplo 5.10. Considérese el siguiente mapa de Karnaugh y determí- nese la expresión booleana más simple en sumas de productos y produc- tos de sumas. Se tiene que la expresión booleana simplifi cada en sumas de productos es: F = A′C′D′F′ + ACD′ + B′C′D′F′ + BC′D + CF Para obtener la expresión de productos de sumas se tiene la tabla si- guiente: 5.4 OPTIMIZACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS 195 DEF ABC 000 001 011 010 110 111 101 100 000 1 1 001 1 1 1 1 011 1 1 1 1 010 1 1 1 1 1 1 110 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 101 1 1 1 1 1 1 100 1 1 c a b e d capitulo 5.indd 195 11/25/08 11:04:34 AM 196 V. ÁLGEBRA BOOLEANA ALFAOMEGA A partir del mapa de Karnaugh se tiene la expresión F′ = A′CE′F′ + A′C′D′F + ABC′D′ + AB′C′F + B′C′D + A′CEF′ + ACDF′ Complementando ambos miembros de la igualdad y aplicando la ley de De Morgan resulta que F = (A + C′ + E + F)(A + C + D + F′)(A′ + B′ + C + D)(A′ + B + C + F′) (B + C + D′)(A + C′ + E′ + F)(A′ + C′ + D′ + F) En algunos mapas de Karnaugh la solución no es única, ya que a veces la información se puede agrupar de manera diferente. Lo que importa al simplifi car es obtener la expresión booleana simplifi cada óptima, indepen- dientemente de qué variables son eliminadas. Esto mismo puede suceder con los teoremas del álgebra booleana. DEF ABC 000 001 011 010 110 111 101 100 000 0 0 0 0 0 0 001 0 0 0 0 011 0 0 0 0 010 0 0 110 0 0 0 0 111 0 0 101 0 0 100 0 0 0 0 0 0 d b c f a e g capitulo 5.indd 196 11/25/08 11:04:35 AM ALFAOMEGA 5.5 Compuertas lógicas Un bloque lógico es una representación simbólica gráfi ca de una o más variables de entrada a un operador lógico, para obtener una señal deter- minada o resultado. Los símbolos varían de acuerdo con la rama donde se utilizan, o bien del fabricante. Cada bloque lógico representa un disposi- tivo que permite manipular la señal según el campo de acción: en mecá- nica se les llama válvulas (paso del aire o aceite); en electricidad apagadores, contactos (paso de corriente eléctrica); y en electrónica puer- tas o compuertas (paso de pulsos eléctricos). En este libro sólo se aborda- rán los símbolos usados en electrónica para la representación de las compuertas, ya que son los que interesan al área de la computación, sin embargo el tratamiento teórico por medio del álgebra booleana es válido para todos ellos independientemente del área. Tabla 5.2 Compuertas básicas Compuerta Símbolo O (Or) Y (And) No (Not) A B AB A B A + B A A′ A B AB′ + A′B Or-exclusivo (Xor) Las compuertas pueden recibir una o más señales de entrada. En la tabla 5.2, A y B son señales que entran a la compuerta y pueden tener un valor de 1 o 0 dependiendo de si existe o no la señal, la cual procede de un sensor o bien de la salida de una compuerta anterior. Esos valores de entrada generan una sola salida, que a su vez también es 0 o 1 depen- diendo de la compuerta de que se trate y de los valores de las señales de entrada. Para representar expresiones booleanas mediante compuertas lógicas es conveniente tener en cuenta las tablas de verdad de las compuertas bási- cas (operadores lógicos) Or, And y Not vistas en el capítulo de lógica matemática. 5.5 COMPUERTAS LÓGICAS 197 capitulo 5.indd 197 12/1/08 1:26:55 PM 200 V. ÁLGEBRA BOOLEANA ALFAOMEGA (A′D)′ (AC′)′ (AB)′ C′ A′ A B C D F = [(AB)′(AC′)′(A′ D)′ ]′ F = AB + AC′ + A′D Hay que observar que al fi nal se aplicó la ley de De Morgan para quitar la complementación del corchete y obtener el resultado. También se debe destacar que cuando entran dos o más señales a una compuerta Nand primero las multiplica y después complementa dicha multiplicación, pero cuando entra una señal sólo la complementa. Por otro lado, si no se hubieran hecho las operaciones necesarias para quitar el paréntesis y tener la expresión en sumas de productos, también se podría representar únicamente con compuertas Nand aunque esto al- gunas veces es un poco más complicado: F = A(B + C′) + A′D [A(B′C)′]′ A B C D F = A(B + C′) + A′D (A′D)′ A′ F = [[A(B′C)′]′(A′D)′]′ B′ (B′C)′ capitulo 5.indd 200 12/1/08 1:27:12 PM ALFAOMEGA De la misma manera, el bloque lógico Nor facilita su uso cuando la expre- sión se encuentra dada en productos de sumas. Ejemplo 5.13. Representar la expresión booleana F = (A + B′ + C)(B + C′ + D) usando sólo compuertas Nor. En este caso se tiene el siguiente esquema B′ C′ (A + B′ + C)′ (B + C′ + D)′ F = [(A + B′ + C)′ + (B + C′ + D)′]′ F = (A + B′ + C) (B + C′ + D) A B C D La misma expresión booleana representada con compuertas Nand queda- ría de la siguiente manera: F = (A + B′ + C)(B + C′ + D) [(A′BC′)′(B′CD′]′ (B′CD′)′ C′ (A′BC′)′ A′ B′ D′ F = (A′BC′)′(B′CD′)′ A B C D 5.5 COMPUERTAS LÓGICAS 201 capitulo 5.indd 201 11/25/08 11:04:37 AM 202 V. ÁLGEBRA BOOLEANA ALFAOMEGA Ejemplo 5.14. Considérese el siguiente circuito: – + B C B C′ A C D′ A′ F a) ¿Cuál es la expresión booleana sin simplifi car que representa dicho circuito? b) Simplifi car la expresión booleana usando teoremas del álgebra booleana. c) Por medio del mapa de Karnaugh simplifi car la expresión del in- ciso (a) y expresar el resultado en sumas de productos. d) ¿Cuál es la expresión simplifi cada en productos de sumas? e) Comprobar, por medio de una tabla de verdad, que la expresión booleana obtenida en el inciso (c) es lógicamente equivalente a la obtenida en el inciso (d). f) Representar el resultado del inciso (c) en un circuito lógico, usan- do para ello compuertas básicas. g) ¿Cuál es el circuito del inciso (c) basado en compuertas Nand exclusivamente? h) ¿Cuál es el circuito lógico del inciso (c) basado en compuertas Nor exclusivamente? La solución de cada inciso es la siguiente: a) La expresión booleana es F = AC′(C + D′) + BC(A′ + B) capitulo 5.indd 202 11/25/08 11:04:37 AM ALFAOMEGA A B C D A′ B′ C′ D′ AC′ AC′D′ BC AC′D′ + BC A + C B + C′ C + D′ F 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Aquí se observa que las columnas sombreadas concuerdan en todas sus líneas, por lo tanto esto demuestra que F = AC′D′ + BC es lógicamente equi- valente a F = (A + C)(B + C′)(C + D′). f) La expresión obtenida en el inciso (c) es F = AC′D′ + BC, y su re- presentación con compuertas básicas es: AC′D′ C′ D′ F = AC′D′ + BC BC A B C D 5.5 COMPUERTAS LÓGICAS 205 capitulo 5.indd 205 11/25/08 11:04:38 AM 206 V. ÁLGEBRA BOOLEANA ALFAOMEGA g) La representación de la expresión booleana F = AC′D′ + BC, sólo con compuertas Nand es la siguiente: Dʹ F = ACʹDʹ + BC Cʹ A B C D (ACʹDʹ)ʹ (BC)ʹ h) La representación de la expresión booleana F = AC′D′ + BC, sólo con compuertas Nor es la siguiente: (Bʹ + Cʹ)ʹ (Aʹ + C + D)ʹ Aʹ Bʹ A B C D Cʹ F = [(Aʹ + C + D)ʹ + (Bʹ + Cʹ)ʹ]ʹ F = ACʹDʹ + BC 5.6 Aplicaciones del álgebra booleana El álgebra booleana es una extensión de la lógica matemática, ya que uti- liza los mismos principios y operadores lógicos (and, or, not, xor, nand, nor) así como los mismos valores, y gracias a esto John Von Neuman pudo crear la computadora de la primera generación. capitulo 5.indd 206 11/25/08 11:04:38 AM ALFAOMEGA Los dispositivos con los que se implementan las funciones booleanas se llaman “compuertas”, y al combinarse han permitido inicialmente la crea- ción del “bulbo”, posteriormente la del “transistor” y actualmente la del “chip”, elementos con los cuales se construye todo tipo de aparato elec- trónico digital. La electrónica digital es una parte de la electrónica que maneja información codifi cada en dos únicos estados: “falso” y “verdadero”, o más común- mente 0 y 1. Electrónicamente se asigna a cada uno un voltaje o rango de voltaje determinado. Esta particularidad permite que, usando el álgebra booleana y con un sistema de numeración binario, se puedan realizar complejas operaciones lógicas o aritméticas sobre señales de entrada. La electrónica digital ha alcanzado una gran importancia debido a que se utiliza en el diseño de sistemas de automatización, robótica, etc., además de que constituye la piedra angular de las computadoras. Las computadoras llevan a cabo su trabajo por medio de un microproce- sador, el cual es un circuito de alta escala de integración (LSI) compuesto por muchos circuitos simples como fl ip-fl ops, contadores, decodifi cadores, comparadores, etc., todos en una misma pastilla de silicio en donde se utilizan compuertas del álgebra booleana para llevar a cabo las operacio- nes lógicas. Las microoperaciones que lleva a cabo el microprocesador se realizan en lenguaje binario a nivel bit. Por ejemplo, si A = 110010, B = 011011 enton- ces el resultado de llevar a cabo las siguientes operaciones en donde intervienen los operadores lógicos (∧, ∨, ⊕, ′) es: A ∧ B = 110010 ∧ 011011 = 010010 A ∨ B = 110010 ∨ 011011 = 111011 A ⊕ B = 110010 ⊕ 011011 = 101001 A′ = (110010)′ = 001101 Basada en el álgebra booleana, la unidad lógica aritmética (ALU: Arith- metic Logic Unit) es la parte del microprocesador que realiza las operacio- nes aritméticas y lógicas en los datos. Se sabe que toda computadora está integrada por las memorias ROM (Read Only Memory: Memoria de sólo lectura) y RAM (Random Access Memory: Memoria de acceso aleatorio). Cuando arranca una computadora, ésta debe saber qué hacer, lo cual implica que pueda correr un pequeño programa que le indique lo que debe realizar, qué programas debe ejecutar y en qué lugar debe comenzar. Esta información se guarda en un pequeño progra- ma de sólo lectura que recibe el nombre de ROM, el cual está en lenguaje binario y utiliza operadores lógicos del álgebra booleana para la manipu- lación de la información. La información en este caso se graba eléctrica- mente y se borra también de la misma manera. Este tipo de memoria se John von Neuman (1903-1957) Fue un matemático húngaro-estado uni- dense que realizó contribuciones im - por tantes en física cuántica, análisis funcional, teoría de conjuntos, informá- tica, economía, análisis numérico, hidro- dinámica, estadística y muchos otros campos de la mate mática. Fue pionero de la computadora di - gital moderna, trabajó con Eckert y Mau- chly en la Universidad de Pennsylvania y publicó un artículo acerca del almace- namiento de programas. El concepto de programa almacenado permitió la lectu- ra de un programa dentro de la memoria de la computadora, y después la ejecu- ción de las instrucciones del mismo sin tener que volverlas a escribir. La primera computadora en usar el citado concepto fue la llamada EDVAC (Electronic Discre- te Variable Automatic Computer), desa- rrollada por Von Neumann, Eckert y Mauchly. Los pro- gramas almacena- dos dieron a las computadoras fl exi- bilidad y confi abili- dad, haciéndolas más rápidas y menos su - jetas a errores que los programas me - cánicos. 5.6 APLICACIONES DEL ÁLGEBRA BOOLEANA 207 capitulo 5.indd 207 12/1/08 1:27:32 PM 210 V. ÁLGEBRA BOOLEANA ALFAOMEGA El método para simplifi car expresiones booleanas mediante mapas de Karnaugh consiste en representar la expresión booleana con n variables diferentes en una tabla de forma cuadrada o rectangular que tiene 2n celdas y que recibe el nombre de mapa de Karnaugh. La expresión booleana sim- plifi cada es el resultado de agrupar la información de celdas adyacentes en bloques rectangulares o cuadrados de 1, 2, 4, 8,…, 2n, y después leer la expresión conservando las variables que no cambian de valor de un reglón con respecto a otro o de una columna con relación a otra en cada uno de los bloques en que fue agrupada la información y eliminando las variables que sí sufren un cambio de valor de un renglón con respecto a otro o de una columna con relación a otra. Por último, esta función booleana simplifi cada, ya sea por teoremas o ma- pas de Karnaugh, se representa por medio de símbolos gráfi cos (bloques lógicos) de cada uno de los operadores lógicos and, or, not, xor, nand, nor y xnor, considerando que las compuertas más comunes son las nand y las nor, mismas que al combinarse permiten suplir las demás compuertas. 5.8 Problemas 5.1. Obtener la tabla de verdad para la siguiente expresión booleana: F = A′B′C′ + A′B′CD + A′BC + A′BC′D + ABC′ + ABC + AB′D + AB′C′D′ 5.2. Obtener la tabla de verdad para cada una de las siguientes expre- siones booleanas: a) F = A′B′C′D′ + A′B′CD′ + A′BC′D + A′BCD + ABC′D′ + ABCD′ + AB′C′D′ + AB′CD′ b) F = (A + BD′)(C′DB + AB′ + DA)′ c) F = [A′(BC + D′)′ + B′A] 5.3. Simplifi car las siguientes expresiones booleanas usando los teo- remas del álgebra booleana, y verifi car los resultados por medio de mapas de Karnaugh. a) F = A′B′D′ + A′BD′ + A′BD + ABD b) F = A′CD + ACD + A′B′D + A′B′C + AB′D + AB′CD′ c) F = A′B′C′D′ + A′B′CD′ + A′BC′D + A′BCD + ABC′D′ + ABCD′ + AB′C′D′ + AB′CD′ capitulo 5.indd 210 11/25/08 11:04:44 AM ALFAOMEGA d) F = A′B′C′D′E + A′B′C’DE + A′B′C′DE′ + A′BC + ABC + ABC′D′E′ + ABC′D′E + ABC′DE + AB′C′D′E + AB′C′DE + AB′CDE + AB′CD′E e) F = ((A+B)′ + C′ + D′)((AC)′ + (A + (BC)′)′ + D) f) F = A′B′C′D + A′B′CD + A′B′CD′ + A′BCD + ABCD′ + AB′C′D + AB′CD + AB′CD′ g) F = A′B′C′D′ + A′B′CD + A′B′CD′ + ABC′D + ABCD + ABCD′ + AB′C′D′ + AB′CD + AB′CD′ 5.4. Simplifi car las siguientes expresiones booleanas usando los teoremas del álgebra booleana y verifi car los resultados por medio de mapas de Karnaugh. a) F = A′B′C′D′ + A′B′CD + A′B′CD′ + A′BC′D + A′BCD + A′BCD′ + ABCD + ABCD′ + AB′C′D′ + AB′CD′ b) F = W′X′Y′Z′ + W′X′YZ + WXY′Z + WXYZ + WX′Y′Z′ + WX′Y′Z + WX′YZ + WX′YZ′ + W′XY′Z′ c) F = W′X′Y′Z + W′XY′Z′ + W′XYZ + W′XYZ′ + WXY′Z + WXYZ + WXYZ′ d) F = A′B′C′D′ + A′B′CD′ + A′BC′D′ + A′BCD′ + ABC′D′ + ABCD + ABCD′ + AB′CD + AB′CD′ e) F = A′B′C′D′ + A′B′CD + A′B′CD′ + A′BC′D + A′BCD + A′BCD′ + ABCD + ABCD′ + AB′C′D′ + AB′CD′ f) F = B′CD + ABC + A′BD′ + ABC′D′ + AB′C′D g) F = A′BC + BC′D′ + ABC + AB′C′D′ + AB′CD 5.5. En cada uno de los siguientes incisos obtener la expresión boolea- na simplifi cada en sumas de productos y en productos de sumas. Plantear el mapa y la agrupación correspondiente. 5.8 PROBLEMAS 211 a) CDE AB 000 001 011 010 110 111 101 100 00 1 1 01 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 10 1 1 capitulo 5.indd 211 11/25/08 11:04:44 AM 212 V. ÁLGEBRA BOOLEANA ALFAOMEGA c) CDE AB 000 001 011 010 110 111 101 100 00 1 1 1 01 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 d) CDE AB 000 001 011 010 110 111 101 100 00 1 1 1 01 1 1 11 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 e) CDE AB 000 001 011 010 110 111 101 100 00 1 1 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 b) CDE AB 000 001 011 010 110 111 101 100 00 1 1 1 1 1 1 1 01 1 1 1 11 1 1 1 1 1 10 1 1 1 capitulo 5.indd 212 11/25/08 11:04:45 AM ALFAOMEGA 5.11. Considérese el siguiente circuito lógico: A B C D a) Obtener la función booleana de salida (sin simplifi car). b) Obtener la función booleana simplifi cada en sumas de productos. c) Obtener la función booleana simplifi cada en productos de sumas. d) Elaborar la tabla de verdad que muestre que las expresio- nes booleanas obtenidas en los incisos (a) y (b) son lógica- mente equivalentes. e) Implementar el diagrama de la expresión booleana obteni- da en el inciso (b) usando exclusivamente compuertas Nand. f) Hacer el diagrama correspondiente de la expresión boolea- na obtenida en el inciso (c) usando exclusivamente com- puertas Nor. 5.12. En relación con los circuitos de cada uno de los incisos (i) a (v) obtener: a) La función booleana de salida. b) La función booleana más simple en sumas de productos. c) La función booleana simplifi cada en productos de sumas. d) La tabla de verdad que muestre que las expresiones boolea- nas obtenidas en los incisos (a), (b) y (c) son lógicamente equivalentes. e) El circuito lógico de la expresión booleana del inciso (b), con base en compuertas Nand exclusivamente. f) El circuito lógico de la expresión booleana obtenida en el inciso (c), a base de compuertas Nor exclusivamente. 5.8 PROBLEMAS 215 capitulo 5.indd 215 11/25/08 11:04:46 AM 216 V. ÁLGEBRA BOOLEANA ALFAOMEGA i) ii) iii) A B C D A B C D A B C D capitulo 5.indd 216 11/25/08 11:04:46 AM ALFAOMEGA iv) v) A B C D A B C D 5.8 PROBLEMAS 217 capitulo 5.indd 217 11/25/08 11:04:46 AM