¡Descarga Formas Cuadráticas en Dos Variables: Definición, Tipos y Clasificación - Prof. Gómez y más Apuntes en PDF de Economía solo en Docsity! José María Martínez Mediano 1 FORMAS CUADRÁTICAS EN DOS VARIABLES Una forma cuadrática en dos variables es una función Definición f: D ⊂ R2 (x, y) R, 22 2),( cybxyaxyxf ++= , a, b, c e R Obsérvese que todos los términos son de segundo grado. En forma matricial: ( ) = y x cb ba yxyxf ,),( ⇔ xAxyxf t =),( La matriz = cb ba A , asociada a la forma cuadrática, es simétrica. Ejemplo: La forma cuadrática 22 3),( yxyxyxf +−= ⇔ ( ) − − = y x yxyxf 12/3 2/31 ,),( Tipos de formas cuadráticas La forma cuadrática 22 2),( cybxyaxyxf ++= se dice que es: • Definida positiva 0),( >yxf si para todo par (x, y) ≠ (0, 0); • Definida negativa 0),( <yxf si para todo par (x, y) ≠ (0, 0); • Semidefinida positiva 0),( ≥yxf si para todo par (x, y) ≠ (0, 0); • Semidefinida negativa 0),( ≤yxf si para todo par (x, y) ≠ (0, 0); • Indefinida ),( yxf si toma valores de distinto signo. Observación 22 2),( cybxyaxyxf ++=: En el punto (x, y) = (0, 0) el valor de es siempre 0, cualquiera que sean las constantes a, b, c, por eso en las definiciones anteriores se excluye el punto (0, 0). • La clasificación de una forma cuadrática se hace atendiendo a su signo. Algunas veces, la clasificación puede hacerse a partir de su expresión algebraica, o mediante transformaciones sencillas de ella. Los ejemplos que se dan a continuación sirven para entender la posterior clasificación de una forma cuadrática. Ejemplos: a) La forma cuadrática 222),( yxyxf += es definida positiva, pues la suma términos de potencia par es siempre positiva. (Salvo que (x, y) = (0, 0), que se excluye por definición.) b) La forma cuadrática 222),( yxyxf −−= es definida negativa: es la opuesta de la anterior. c) Las formas cuadráticas 22),( xyxf = y 2),( yyxf = son semidefinidas positivas. Es evidente que nunca son negativas, pero la primera se hace 0 en todos los puntos de coordenadas (0, t), y la segunda, en los puntos (t, 0), cualquiera que sea t. d) De manera análoga se observa que las formas cuadráticas 22),( xyxf −= y 2),( yyxf −= son semidefinidas negativas. José María Martínez Mediano 2 e) También es semidefinida positiva la forma cuadrática ( )2),( yxyxf += , pues, aunque nunca toma valores negativos, se anula en una infinidad de puntos: en todos los de coordenadas (t, –t). Por ejemplo en (2, –2) ≠ (0, 0), la función vale 0. f) 22),( yxyxf −= es indefinida, pues, por ejemplo, 08)1 ,3( >=f y 05)2 ,1( <−=−f . • A la vista de estos casos, generalizando, puede observarse: 1) Si a y c son positivos, todas las formas cuadráticas 22),( cyaxyxf += serán definidas positivas. Además, en (x, y) = (0, 0) toman el valor 0: 0)0,0( =f ; que obviamente es el mínimo valor que puede tomar. Por tanto, en (x, y) = (0, 0) la función 22),( cyaxyxf += tiene un mínimo. 2) Las formas del tipo 2),( axyxf = y 2),( cyyxf = , con a y c positivos, son semidefinidas positivas. Las primeras se hacen 0 en todos los puntos de la forma (0, t), y las segundas, en los puntos (t, 0), cualquiera que sea t. Todos esos puntos serán mínimos de esas funciones. También son semidefinidas positivas las formas cuadráticas del tipo ( )2),( qypxyxf += , para todos los valores de p y q. 3) De manera análoga, y también si a y c son positivos, las formas cuadráticas 22),( cyaxyxf −−= serán definidas negativas. Por tanto, en (x, y) = (0, 0) esas funciones tendrán un máximo. 4) Las del tipo 2),( axyxf −= y 2),( cyyxf −= , con a y c positivos, son semidefinidas negativas: nunca toman valores positivos. Las primeras se hacen 0 en todos los puntos de la forma (0, t), y las segundas, en los puntos (t, 0), cualquiera que sea t. Todos esos puntos serán máximos de esas funciones. 5) Las formas cuadráticas 22),( cyaxyxf −= , con a y c positivos, son indefinidas. Por ejemplo, en (1, 0) son mayores que 0; en (0, 1), menores que 0. Estas formas cuadráticas no tienen ni máximos ni mínimos. Como se sabe (teorema espectral), toda matriz simétrica es congruente con alguna matriz diagonal. Dicho de otra manera: toda matriz simétrica A es diagonalizable ortogonalmente. Clasificación de una forma cuadrática a partir de los autovalores de su matriz asociada Esto significa que toda matriz A, simétrica, es diagonalizable por congruencias; lo que equivale a decir 1−= CDCA , siendo C ortogonal y D diagonal. (Que la matriz C sea ortogonal significa que tCC =−1 .) Es interesante observar que si la matriz A fuese diagonal, λ λ == 2 1 0 0 DA , el carácter de la forma cuadrática λ λ = y x yxyxf 2 1 0 0 ) ,() ,( depende exclusivamente de los valores de λ1 y λ2 λ λ = y x yxyxf 2 1 0 0 ) ,() ,(. Esto es así ya que ⇔ 22 2 1) ,( yxyxf λ+λ= . Por tanto, y atendiendo a las observaciones hechas más arriba, se concluye lo dicho. Por ejemplo, si λ1 > 0 y λ2 > 0, la forma cuadrática será definida positiva.
