Apuntes sobre la investigación de operaciones, Apuntes de Desarrollo Humano

¡Descarga Apuntes sobre la investigación de operaciones y más Apuntes en PDF de Desarrollo Humano solo en Docsity! IMPORTANCIA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ¿Que es la investigación de operaciones? Un enfoque científico de la toma de decisiones que requiere la operación de sistemas organizacionales. La investigación de operaciones significa hacer investigación sobre las operaciones. ¿Que es la investigación de operaciones como disciplina? Es la aplicación por grupos interdisciplinarios del método científico a problemas relacionados al control de las soluciones o sistemas hombre-máquina, Que mejor sirva a los objetivos de la organización. ¿De dónde provino la investigación de operaciones? La primera actividad de Investigación de Operaciones se dio durante la Segunda Guerra Mundial en Gran Bretaña, donde la Administración Militar llamó a un grupo de científicos de distintas áreas del saber para que estudiaran los problemas tácticos y estratégicos asociados a la defensa del país. ¿Objetivo de I.O? Generar alternativas de solución, en otras palabras la I.O se resume en documentar sobre un proceso de transformación intencional, su objetivo es investigar sobre un problema identificarlo y justificarlo con el fin de generar alternativas de solución para poder decidir entre la más viable. Programación Lineal ¿Programación lineal? La Programación Lineal se aplica a modelos de optimización en los que las funciones objetivo y restricciones son estrictamente lineales. En realidad debido a su tremenda eficiencia de cálculo, la PL. Forma la columna vertebral de los algoritmos de solución para otros modelos de investigación de operaciones. -Variables y parámetros. Son incógnitas que deben determinarse resolviendo el modelo o problemas en cuestión mientras que los parámetros ya conocidos que relacionan a las variables de decisión con las restricciones, con la función objetivo y los parámetros del modelo, pueden ser deterministicos o probabilísticos. -Restricciones Son las limitaciones tecnológicas del sistema y las cuales pueden aparecer de forma implícita o explícita y estas a su vez restringen las variables de decisión a un rango de valores factibles. -Función Objetivo La función objetivo define la medida del sistema como una función matemática de las variables de decisión por lo que la solución óptima será aquella que produzca el mayor valor de la función objetivo sujeta a las restricciones. Un Granjero - Problema # 1: -Se observa el problema. Un granjero tiene 100 acres en los cuales puede sembrar dos cultivos. Dispone de $3000 a fin de cubrir el costo del sembrado. El granjero puede confiar en un total de 1350 hrs.-hombre destinadas a la recolección de los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por acre: Cultivos Costo de Plantar Demanda hrs.-hombre Utilidad Primero $20 5hrs. $100 Segundo $40 20hrs $300 -El analista reúne datos para estimar valores de los parámetros que fluyen en el problema de la organización Solución: X1 = La cantidad de producción del Primer cultivo en acres X2 = La cantidad de producción del Segundo cultivo en acre Max z = 100x1 + 300x2…………. (1) (el programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total). -Formular un modelo matemático para el problema. -Verificar el modelo. -Seleccionar una alternativa adecuada -Representar los resultados y conclusiones. Sujeto a: X1 +x2 < 100……….. (2) esta ecuación se debe a que solo tiene 100 acres para los cultivos. 5x1 + 20x2 < 1350…. (3) 6X1 + 12 X2 ≤ 120 8X1 + 4X2 ≤ 64 CNN x1, x2 > 0 Un Frutero - Problema # 5: Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km. de distancia él; Mayorista B a 300 Km., calcular cuántos contenedores habrá de comprar cada mayorista, con el objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado. Mayorista A Mayorista B Necesidades Mínimas Naranjas 8 2 16 Cajas Plátanos 1 1 5 Cajas Manzanas 2 7 20 Cajas Distancias 150 Km. 300 Km. Variables X1 – 8 cajas de naranjas 1 caja de plátanos 2 cajas de manzanas X2 – 2 cajas de naranjas 1 caja de plátanos 7 cajas de manzanas Restricciones 16 cajas de naranjas 5cajas de plátano 20 cajas de manzanas Función Objetivo 150 Km. 300 Km. Función Objetivo (Minimizar) F.O Min Z = 150x1 + 300x2 s.a 8x1 + 2x2 ≥ 16 X1 + x2 ≥ 5 2X1 + 7x2 ≥ 20 cnn X1, x2 ≥ 0 Compañía minera - Problema # 6: Una compañía tiene dos minas A produce diariamente 1 tonelada de carbón de antracita de alta calidad 2 toneladas de carbón de calidad media y 4 toneladas de carbón de baja calidad; la mina B produce 2 toneladas de cada de las tres clases. La compañía necesita 70 toneladas de carbón de alta calidad, 130 de calidad media y 150 de baja calidad los gastos diarios de la mina A ascienden a 150 dólares y los de la mina B a 200 dólares Cuantos días deberá trabajar en cada mina para que la función de sea mínima? Función Objetivo (Minimizar) F(X) = 150X + 200y Matematización Problemática Mina A Mina B Necesidades Mínimas Alta 1 2 70 Media 2 2 130 Baja 4 2 150 Coste Diario 150$ 200$ Variables X1 – 1ton. Alta calidad 2ton. Media calidad 4ton. Baja calidad X2 – 2ton. Alta calidad 2ton. Media calidad 2ton. Baja calidad Restricciones 70ton. Alta 130ton Media 150ton. Baja Función Objetivo $150dlls. $200dlls. F.O Min Z = 150x1 + 200x2 s.a X 1+ x2 ≥ 70 2X1 + 2x2 ≥ 130 4X 1+ 2x2 ≥ 150 cnn X1, x2 ≥ 0 Una Empresa Constructora - Problema # 7: Una empresa constructora dispone de dos tipos de camiones C1 y C2 y quiere transportar 100T de arena a una obra. Sabiendo que dispone de 6 camiones tipo C1 con capacidad para 15T y con un coste de 4000pts por viaje y de 10 camiones tipo C2 con una capacidad de 5T y con un coste de 3000pts por viaje. Variables X1 – 6 Camiones tipo C1 X2 – 10 Camiones tipo C2 Restricciones 15 ton 5 ton Función Objetivo $4000 pst. $3000 pst. (Minimizar) F.O Min. Z = 4000X1+3000X2 s.a 6X1 < 15 10X2 < 5 cnn x1, x2 > 0 Seguros Primo - Problema # 8: La compañía de seguros Primos está en proceso de introducir dos nuevas líneas de producción. Seguro de riesgo especial e hipotecas. Las ganancias esperadas es de $5.00 por el seguro de riesgo especial y $20 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes. Horas hombre por unidad Depto. Riesgo Especial Hipotecas Horas hombre disponible Suscripciones 3 2 2400 Administración 0 1 800 Reclamaciones 2 2 0 1200 Variables X1 – 3hrs suscripción 0hrs administración 2hrs reclamaciones X2 – 2hrs suscripción 1hr administración 0hrs reclamaciones Restricciones: 2400hrs. Disponibles 800hrs 1200hrs Función Objetivo: $5.00 $20 F.O Máx. Z = 5x1 + 20x2 s.a 3x1 + 2x2 < 2400 0x1 + x2 < 800 2x1 + 0x2 < 1200 cnn x1, x2 > 0 Un Fabricante - Problema # 9: Un Fabricante está tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos; mesas sillas. Se cuenta con 96 unidades de material y con 72 horas de mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 6 unidades de material cada una y requieren 12 horas de mano de obra por silla. El margen de contribución es el mismo para las sillas $5.00 por unidad. El fabricante prometió construir por lo menos 2 mesas. F.O $5x1 $50 Maximizar Variables X1 – 2hrs. 3hrs. X2 – 4hrs 2hrs Restricciones: 48hrs 36hrs. F.O Max z = 60 X1 + 50 X2 s.a 2 X1 + 4 X2 ≤ 48 3 X1 + 2 X2 ≤ 36 cnn X1, X2 ≥ 0 Compañia de Celulares - Problema # 13: Una compañía fabrica 2 tipos de celulares diferentes, para fabricarlos se utilizan 30 gr. De un producto A y 15 gr. De un producto B para el primer tipo. Para el segundo Tipo se utilizan 13 gr. Del producto A y 23 gr. Del producto B. la ganancia del primer celular es de $100 pesos y del segundo tipo de celular es de $75 pesos si cuanta con: 300 gr. Del Producto A 250 gr. Del Producto B ¿Cuántas cantidades de cada tipo de celular debe producir la compañía para maximizar sus ganancias? F.O $100 $75 Maximizar Variables X1 – 30gr. 13gr. X2 – 15gr. 23gr. Restricciones: 300gr. 250gr. F.O Max Z = 100 X1 + 75 X2 s.a 30 X1 + 13 X2 ≤ 300 15 X1 + 23 X2 ≤ 250 cnn. X1, X2 ≥ 0 Un Fabricante de Palillos - Problema #14: Un Fabricante de palillos de dientes produce dos clases de palillos, redondos, rectangulares, los departamentos de producción también son dos el de corte y el de empaque, el primero puede procesar 350 cajas de palillos redondos o 626 de palillos rectangulares por hora los dos, el departamento de empaque puede procesar 600 cajas de palillos redondos y 300 cajas de palillos rectangulares. La contribución de costo para la caja de palillos redondos es de $0.030 y pare la de rectangulares es de $0.040 y $0.045 respectivamente. Artículos o Productos (VARIABLES) Redondo = X1 Rectangulares = X2 Corte 350 c/hr (redondo) 625 c/hr (Rectangulares) Restricciones Empaque 600 c/hr (Redondo) 300 c/hr (Rectangulares) Costos $0.30 / Unidad $0.35/Unidad Utilidad $0.40 / Pieza $0.45/Pieza Producto Corte Empaque Costos Utilidad Redondo 350 c/hr 600 c/hr 0.30/ unidad 0.40/pza Rectangular 625 c/hr 300 c/hr 0.35/unidad 0.45/pza Totales 975 900 F.O Min Z= X1 X2 s.a Corte 1.350 X1 + 625 X2 = 975 Max Z = X1 X2 Empaque 2.600 X1 + 300 X2 = 900 Min Z = 0.30 X1 + 0.35 X2 (Costo) cnn. X1, X2 ≥ 0 Max Z = 0.40 X1 + 0.45 X2 (Utilidad) Un avión de Carga Problema # 15 - Un avión de carga tiene 3 compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero estos compartimentos tienen un límite tanto de peso como de espacio. Compartimiento Cap. De peso (Toneladas) Cap. De espacio (Pies Cúbicos) Delantero 12 7000 Central 18 9000 Trasero 10 5000 Para mantener el avión balanceado, es el peso de la carga de los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad se encuentra con oferta para los siguientes envíos para un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio disponible. Carga Peso (Toneladas) Volumen (Pies Cúbicos) Ganancias (Toneladas) 1 20 500 320 2 16 700 400 3 25 1000 360 4 13 400 290 F.O Max 350X1 + 400X2 + 360X3 + 290 X4 s.a 20X1 + 16X2 + 25X3 + 13X4 ≤ 12(d) 20X1 + 16x2 + 25X3 + 13X4 ≤ 18 (c) 20X1 + 16x2 + 25X3 + 13X4 ≤ 10 (t) 500X1 + 70X2 + 600X3 + 400X4 ≤ 7,000 500X1 + 70X2 + 600X3 + 400X4 ≤ 9,000 500X1 + 70X2 + 600X3 + 400X4 ≤ 5,000 cnn. X1, X2, X3, X4 ≥ 0 Compañía Gillette - Problema # 16: La compañía Gillette produce hojas para rasurar actualmente produce 2 tipos de hojas de rasurar de acero inoxidable y la de aluminio. La 1ra requiere para ser producida 8 unidades de acero al carbón t 2 unidades de aleaciones de ácido por cada 100 hojas mientras que la de aluminio requiere de 4 unidades de acero al carbón y 6 unidades de aleación de ácido para cada 100 hojas. Como resultado de un reciente estu8dio la compañía tiene un inventario de 24 mil unidades de acero al carbón y 10mi unidades de aleación de ácido, los cuales están disponibles para la producción de los 2 tipos de hojas que reportan en orden respectivo y por cada 100 hojas dicha compañía tiene una ganancia de 1 peso y 1.5 de utilidad respectivamente los cuales desea incrementar. F.O $1.00 $1.50 Maximizar Variables: X1 – 8u/acero 2u/al. Ácido X2 – 4u/acero 6u/al. Ácido Restricciones: 24,000u. 10,000u. F.O Max Z = 1X1 + 1.5 X2 s.a 8X1 + 4X2 ≤ 24000 2X1 + 6x2 ≤ 10000 y 60 hrs. Para sacar mil libras de dichas fibras contando con una disponibilidad de 6000 hrs. Mensualmente las ventas limitan las ventas de producción de F1 a un máximo de 23000 lb. Al mes. ¿Cuánto deberá de producirse de cada fibra en el fin de maximizar utilidades sabiendo que las contribuciones de las fibras F1 y F2 son 100 y 150 para cada mil Fibras respectivamente? F.O: $100 $150 Maximizar Variables: X1 – 20hrs 60hrs. 100hrs. X2 – 40hrs. 80hrs. 60hrs. Restricciones: 2000hrs 4800hrs 6000hrs. 23000lbs. F.O Maximizar 100X1 + 150 X2 s.a 20X1 + 40X2 ≤ 2000 60X1 + 80X2 ≤ 4800 100X1 + 60X2 ≤ 6000 X1 + X2 ≤ 23000 Cnn. X1, X2, ≥ 0 La Fabrica ACE - Problema # 21: La fabrica ACE tiene la opción de producir dos productos en periodos de actividad holgada. Para la próxima semana la producción se ha programado para que la maquina que muele este libre 20hrs. Y la mano de obra calificada tenga 16hrs. De tiempo disponible. El producto 1 requiere 8hrs. De tiempo maquina y 4hrs. De mano de obra calificada. El producto 1 Contribuye $7dlls. Por unidad a las utilidades y el producto 2 contribuye con $5dlls. Variables: Maquina P1 8hrs 4hrs Mano de obra P2 4Hrs 4hrs Restricciones: 20 hrs. 16 hrs. F.O. $7 dlls. $5 dlls. F.O. Máx. Z = 7x1+5x2 s.a 8x1+4x2<20 4x1+4x1<16 CNN x1, x2 La Main Snowmobil - Problema # 22:La main snowmobil company fabrica dos clases de maquinas, cada una requiere de una técnica diferente de fabricación. La máquina de lujo requiere de 18hrs. De mano de obra, 9 horas de prueba y produce una utilidad de $400 dlls. La maquina estándar requiere de 3 hrs. De mano de obra, 4 hrs. De prueba y produce una utilidad de $200 dlls. Se dispone de 800 hrs. Para mano de obra y 600 hrs. Para prueba cada mes. Se ha pronosticado que la demanda mensual para el modelo de lujo no es mas de 50 y de la maquina estándar no es mas de 150. La gerencia desea saber el número de maquinas de cada modelo, que deberá producirse para maximizar la utilidad total. Variables: X1 18hrs. 9hrs X2 3hrs 4hrs Restricciones: 800 hrs. Mano de obra 600 hrs. De prueba F.O. $400 dlls. $200 dlls. F.O Max Z= 400x1+200x2 S.a 18x1+3x2 < 800 9x1+4x2 < 600 CNN x1+x2 >0 Un Joyero - Problema # 23: Un joyero fabrica dos tipos de anillos: los anillos A1 precisan 1gramo de oro y 5 de plata vendiéndolos a $40 dlls. Cada uno. Para los anillos A2 emplea 1.5 gramos de oro y 1 gramo de plata y los vende a $50 dlls. El joyero dispone en su taller de 750 gramos de cada metal. ¿Calcular cuántos anillos debe fabricar de cada clase para obtener el máximo beneficio? Variables: A1 1 gramo de oro 5 gramo de plata A2 1.5 gramos de oro 1 gramo de plata Restricciones: 750 gramos c/metal F.O. $40 dlls. $50 dlls F.O Max Z = 40x1+50x2 S.a x1+1.5x2 < 750 5x1+x2 < 750 cnn x1+x2 > 0 Fabricación de Mobiliario - Problema # 24: Una empresa, especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas, produce cierto tipo de mesas y sillas que vende a 2000 pst. Y 3000 pst. Por unidad respectivamente. Desea saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente un operario para maximizar los ingresos teniéndose las siguientes restricciones: -El número total de unidades de los dos tipos no podrá exceder de 4 por día y operario. -Cada mesa requiere 2 hrs. Para su fabricación; cada silla 3 hrs. La jornada laboral máxima es de 10 hrs. -El material utilizado en cada mesa cuesta 400 pst. El utilizado en cada silla cuesta 200 pst. Cada operario dispone de 1200 pst. Diarias para material. Variables: X1 2 hrs. Mesas 400 pst X2 3 hrs. Sillas 200 pst. Restricciones: 4 unidades por día 10 hrs. Máximo de trabajo 1200 pst. F.O. 2000 pst. P/unidad 3000 pst. P/unidad F.O Max Z = 2000x1+3000x2 S.a 2x1+3x2 < 10 400x1+200x2 < 1200 X1+X2 < 0 cnn x1, x2 > 0 La Compañía IBM - Problema # 25: La compañía IBM produce 2 tipos de impresoras de lujo y la común la primera tiene un precio de $100 dlls. Y la común a un precio de $120 dll Para ello se cuenta con una capacidad de producción limitada ya que la primera impresora necesita de 3hrs. De mano de obra directa y 4hrs. Para el acabado, y la segunda maquina requiere de 6hrs. De mano de obra directa y 2hrs. De acabado. Cuantas impresoras y de que tipo hay que producir para maximizar las utilidades, IBM cuenta con 60hrs. De mano de obra y 32hrs. De acabado. Función Objetivo: Cnn x1, x2> 0 La Carnicería Village Butcher - Problema # 29:La carnicería village butcher, tradicionalmente hace un embutido de carne molida utilizando carne de res y de puerco, la molida de res contiene 80% de carne y 20% de grasa y cuesta .80dlls por libra. La molida de puerco contiene 68% de carne y 32% de grasa y cuesta .60dll. la libra. ¿Cuánto debe usar de cada clase de carne (res y puerco) para producir una línea de su embutido, si quiere minimizar el costo y mantener el contenido de grasa en no más del 25%. F.O: $.80dll. $.60dll. Variables: 80%------- 68% carne 20%------- 32% grasa Restricciones: 25% grasa F.O Min Z = .80x1 + .60x2 s.a 20x1 + 32x2 < 25 X1 + x2 = 0 cnn x1, x2 > 0 Una Empresa de Tarjetas Graficas - Problema # 30: Una empresa fabrica dos tipos de tarjetas gráficas, de 16Mb y 32Mb de memoria, respectivamente. Se utilizan dos máquinas que emplean 2 min. en fabricar las de 16Mb y 3 min. En fabricar las de 32Mb. La cadena de montaje sólo puede funcionar, como máximo, 300 minutos diarios. Además cada máquina tiene una capacidad máxima de fabricación diaria de 125 unidades, entre las cuales no puede haber más de 90 tarjetas de 16Mb ni más de 80 tarjetas de 32Mb, siendo el beneficio neto de las primeras de 45$ y el de las segundas de 60$. ¿Cuántas tarjetas de 16Mb y 32Mb deben fabricar diariamente cada máquina para que el beneficio sea máximo? F.O: X1 $45 X2 $60 Variables: 2 min. En fabricar 16 Mb 3 min., “ “ 32 Mb Restricciones: 300 min. Diarios 125 unidades 90 tarjetas 16 Mb 80 tarjetas 32 Mb F.O Máx. Z = 45X1+60X2 s.a 2X1+3X2 < 300 X1 + X2 < 125 X1 < 90 X2 < 80 cnn x1, x2 > 0 FORMULACION DE PROBLEMAS Problema 01: Una compañía elabora dos productos P1 y P2 cada uno requiere de componentes C1 y C2 la disponibilidad de componentes y precio de venta se muestra en el siguiente cuadro: Producto Componentes Precio de Venta (S/./Unidad) C1 C2 P1 1 2 4 P2 3 1 3 Dispone 15000 10000 Se pide formular el problema y optimizar el ingreso de ventas Solución 01: Xi = unidades del producto a producir (i = 1, 2) Función Objetivo: max Z = 4X1 + 3X2 Restricciones: X1 + 3X2 <= 15,000 2X1 + X2 <= 10,000 X1, X2 >= 0 Para el problema la función objetivo Z = 4X1 + 3X2 indica que X1 son la unidades del producto 1 cuyo precio de venta es 4 soles, X2 son la unidades del producto 2 cuyo precio de venta es 3 soles. Esta función llamada objetivo será óptima si consideramos las restricciones mencionadas, es decir las unidades del producto X1 más las unidades del producto X2 multiplicado por 3 debe ser menor que 15,000 unidades. Este problema busca encontrar una ecuación matemática que optimice el ingreso de ventas, es decir que sea más rentable eligiendo un número determinado de componentes para la elaboración de cada producto. Así mismo no sólo consiste en encontrar la fórmula matemática sino que está en función una serie de restricciones para que se logre la optimización. Problema 02: Las capacidades de producción del producto P de las fábricas A y B, los costos por unidad transportada a los centros de consumo C1 y C2 y las demandas de estos son como sigue: Fabrica Costos de Transporte (S/. / Unidad) Producción (Unidad) C1 C2 A 5 10 300 B 12 3 400 Demanda (Unidad) 250 350 Se pide formular el problema y minimizar el costo total de transporte Solución 02: Xij =unidades transportadas de la fábrica i (i = 1,2) al centro de consumo j (j = 1,2) Función Objetivo: mín Z = 5X11 + 10X12 + 12X21 + 3X22 Restricciones: Fábrica A: X11 + X12 <= 300 Fábrica B: X21 + X22 <= 400 Centro de Consumo C1: X11 + X21 >= 250 Centro de Consumo C2: X12 + X22 >= 350 Este problema nos pareció muy interesante incluirlo porque se trata de minimizar los costos de transporte mediante un modelo matemático considerando restricciones que se dan en la producción (capacidad de fábrica) y en la demanda. En la función objetivo se toma los costos unitarios por las unidades transportadas de cada fábrica hacia cada centro de consumo. Problema 03: La capacidad de producción de TEXTIL-PERU es de 900 unidades mensuales. Los costos unitarios de producción y el compromiso mensual de venta a EXPORT-PERU son como sigue: Mes Costo de Producción (S/. / unidades) Venta (Unidades) 1 100 300 2 150 350 3 200 400 Se pide formular el problema: Solución 03: Xi = Producción en el mes i (i=1,2,3) Función Objetivo: min Z = 100X1 + 150X2 +200X3 Restricciones: Mes 1: X1 <= 900 X1 >= 300 Mes 2: X2 <= 900 X1 + X2 >= 650 Mes 3: X3 <= 900 X1 + X2 + X3 >= 1050 El objetivo de este problema es minimizar los costos en función de una serie de restricciones (capacidad de producción y compromiso de venta). La función objetivo está en función al producto de lo costos unitarios y unidades a producir. En las restricciones se considera los compromisos de venta para cada mes. Problema 04: FLORANID S.A., es una empresa dedicada a la comercialización de abonos para plantas que emplea 3 tipos diferentes de ingredientes A, B y C, para conseguir 3 tipos de abonos 1, 2, y 3. En cuanto a los ingredientes, su disponibilidad es limitada y sus costos son los siguientes: INGREDIENTE CANTIDAD DISPONIBLE (kg) COSTOS (pts/kg) A 4.000 1.300 B 6.000 1.500 C 2.000 1.000 Los costos de los abonos son: Abono 1  2.000 pts/kg x1 = la Cantidad de güisqui de la marca regular en galones x2 = la Cantidad de güisqui de la marca súper en galones Max Z = 5x1 + 6x2 …….(1) Sujeto a: 1500x1 + 1000x2 < 3000 …….. (2) 2250x1 + 500x2 < 2000 ……….(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 Problema 06: (Mezcla) Una compañía vende dos mezclas diferentes de nueces. La mezcla más barata contiene un 80% de cacahuates y un 20% de nueces, mientras que las más cara contiene 50% de cada tipo. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos de cacahuates y 1200 kilos de nueces de sus fuentes de suministros. ¿Cuántos kilos de cada mezcla debería producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son de $ 10 por cada kilo de la mezcla más barata y de $ 15 por cada kilo de la mezcla más cara? MEZCLA CACAHUATE NUEZ GANANCIA POR SEMANA BARATA 80% 20% $10 POR KILO CARA 50% 50% $ 15 POR KILO Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de mezcla de la marca BARATA en kilogramos x2 = la Cantidad de mezcla de la marca CARA en kilogramos Max Z = 10x1 + 15x2 …….(1) Sujeto a: 1440x1 + 240x2 < 1800 …….. (2) 900x1 + 600x2 < 1200 ……….(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 Problema 07: (Decisiones sobre producción) Una compañía produce dos productos, A y B. Cada unida de A requiere 2 horas en cada máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada unidad de B demanda 4 horas en la primera máquina y 3 horas en la segunda máquina. Se dispone de 100 horas a la semana en la primera máquina y de 110 horas en la segunda máquina. Si la compañía obtiene una utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B ¿Cuánto deberá de producirse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total? PRODUCTO HRS MÁQUINA 1 HRS MÁQUINA 2 UTILIDAD A 2 5 $ 70 POR KILO B 4 3 $50 POR KILO Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 70x1 + 50x2 …….(1) Sujetos a: 2x1 + 4x2 < 100 ……... (2) 5x1 + 3x2 < 110 ……….(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 Problema 08: (Decisiones sobre producción) En el ejercicio anterior, suponga que se recibe una orden por 14 unidades de A a la semana. Si la orden debe cumplirse, determine el nuevo valor de la utilidad máxima. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 70x1 + 50x2 …….(1) Sujeto a: 2x1 + 4x2 < 100 …….. (2) 5x1 + 3x2 < 110 ……….(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 Problema 09: (Decisiones sobre Producción). Un fabricante produce dos productos, A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en tres máquina, como se indica a continuación: PRODUCTO HRS MÁQUINA 1 HRS MÁQUINA 2 HRS MÁQUINA 3 UTILIDAD A 2 4 3 $250 POR KILO B 5 1 2 $300 POR KILO Si los número de horas disponibles en las máquinas al mes son 200, 240 y 190 en el caso de la primera, segunda y tercera, respectivamente, determine cuántas unidades de cada producto deben producirse a fin de maximizar la utilidad total. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 250x1 + 300x2 …….(1) Sujeto a: 2x1 + 5x2 < 200 ……... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ……...(3) 3x1 + 2x2 < 190 ........... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 Problema 10: (Decisiones sobre producción) En el ejercicio anterior, suponga que una repentina baja en la demanda del mercado del producto A obliga a la compañía a incrementar su precio. Si la utilidad por cada unidad de A se incrementa a $600, determine el nuevo programa de producción que maximiza la utilidad total. Solución: PRODUCTO HRS MÁQUINA 1 HRS MÁQUINA 2 HRS MÁQUINA 3 UTILIDAD A 2 4 3 $600 POR KILO B 5 1 2 $300 POR KILO ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 250x1 + 300x2 …….(1) Sujeto a: 2x1 + 5x2 < 200 ……... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ……...(3) 3x1 + 2x2 < 190 ........... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 Problema 11: (Decisiones sobre producción) En el ejercicio 5, suponga que el fabricante es forzado por la competencia a reducir el margen de utilidad del producto B. ¿Cuánto puede bajar la utilidad de B antes de que el fabricante deba cambiar el programa de producción? (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total). Solución: PRODUCTO HRS MÁQUINA 1 HRS MÁQUINA 2 HRS MÁQUINA 3 UTILIDAD A 2 4 3 $600 POR KILO B 5 1 2 $ X POR KILO ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades pero en éste caso, debemos tomar en cuenta que se debe minimizar, ahora la UTILIDAD del PRODUCTO B, pues bien, se reduce la mitad de la utilidad por lo tanto queda: Max Z = 250x1 + 150x2 …….(1) (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total). Sujeto a: 2x1 + 5x2 < 200 ……... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ……...(3) 3x1 + 2x2 < 190 ........... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 Problema 12: (Decisiones sobre inversión) Un gerente de Finanzas tiene $ 1106 de un fondo de pensiones, parte de cual debe invertirse. El gerente tiene dos inversiones en mente, unos bonos conversadores que producen un 6% anual y unos bonos hipotecarios más efectivo que producen un 10% anual. De acuerdo con las regulaciones del gobierno, no más del 25% de la cantidad invertida puede estar en bonos hipotecarios. Más aún, lo mínimo que puede ponerse en bonos hipotecarios es de %100,000. Determine las cantidades de la dos inversiones que maximizarán la inversión total. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de la inversión en bonos conservadores x2 = la Cantidad de la inversión en bonos hipotecarios Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujetos a: (0.06)(1,000,000)x1 + (0.1)(1,000,000)x2 < (1,000,000)(0.25) ……... (2) x2 > 100,000 ……... (3) x1, x2 > 0 Problema 13: (Decisiones sobre plantación de cultivos) Un granjero tiene 100 acre pies en los cuales puede sembrar dos cultivos. Dispone de $ 3000 a fin de cubrir el costo del sembrado. El granjero puede confiar en un total de 1350 horas-hombre destinadas a la recolección de los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por acre: x2 = la Cantidad de vasos de segundo tamaño Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: x1 > 300…... (2) (al menos) x2 > 400 ......(3) x1 + x2 < 1200 .......(4) 9x1 + 6x2 < 62.8 .......(5) x1, x2 > 0 Problema 19: (Planeación Dietética) Una persona está pensando reemplazar en su dieta de la carne por frijoles de soya. Una onza de carne contiene un promedio de casi de 7 gramos de proteína mientras que una onza de frijoles de soya (verde) contiene casi 3 gramos de proteína. Si requiere que si consumo de proteína diaria que obtiene de la carne y de los frijoles de soya combinados debe ser al menos de 50 gramos. ¿Qué combinación de éstos nutrientes formarán un dieta aceptable? Solución: Variables: x1 = la Cantidad de Carne x2 = la Cantidad de Frijoles de Soya Min Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: 7x1 + 3x2 > 50 .......(5) x1, x2 > 0 Problema 20: (Ecología) Un estanque de peces los abastecen cada primavera con dos especias de peces S y T. Hay dos tipos de comida F1 y F2 disponibles en el estanque. El peso promedio de los peces y el requerimiento diario promedio de alimento para cada pez de cada especia está dado en el cuadro siguiente: Especies F1 F2 Peso Promedio S 2 Unidades 3 Unidades 3 libras T 3 Unidades 1 Unidades 2 libras If there are six hundred of F1 and three hundred of F2 everyday. How do you debit supply the pool for what the total weight of fishes are at least 400 pounds? Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE S) en Primavera en Unidades x2 = la Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE T) en Primavera en Unidades Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: 2x1 + 3x2 < 600 …….. (2) 3x1 + 1x2 < 300 ……….(3) 3x1 + 2x2 > 400 lo que queda Planteado x1, x2 > 0 Problema 21: Un granjero tiene 200 cerdos que consumen 90 libras de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones: Libras por Libra de Alimento Alimento Calcio Proteína Fibra Costo ($/lb) Maíz 0.001 0.09 0.02 0.2 Harina de Soya 0.002 0.6 0.06 0.6 Los requisitos de alimento de los cerdos son: 1. Cuando menos 1% de calcio 2. Por lo menos 30% de proteína 3. Máximo 5% de fibra Determine la mezcla de alimentos con el mínimo de costo por día Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimento x2 = la Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de Alimento Min Z = 0.2x1 + 0.6x2 …….(1) Sujetos a: 0.001x1 + 0.002x2 < (90)(0.01) …….. (2) 0.09x1 + 0.6x2 < (90)(0.3) ……….(3) 0.02x1 + 0.06x2 > (90)(0.05) .......... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 Problema 22: Un pequeño banco asigna un máximo de $20,000 para préstamos personales y para automóviles durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interés anual del 14% a préstamos personales y del 12% a préstamos para automóvil. Ambos tipos de préstamos se saldan en periodos de tres años. El monto de los préstamos para automóvil desde ser cuando menos de dos veces mayor que el de los préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales ¿Cómo deben asignarse los fondos? Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad Fondos de préstamos personales x2 = la Cantidad fondos de préstamos para automóvil Min Z = 0.2x1 + 0.6x2 …….(1) Sujetos a: (0.14)(20,000)x1 + (0.12)(20,000)x2 < 20000 …….. (2) x2 > (2)(0.14)(20,000) ……….(3) x1 > (0.01)(0.12)(20,000) .......... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 Problema 23: Una planta armadora de radios produce dos modelos HiFi-1 y HiFi-2 en la misma línea de ensamble. La línea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en la estaciones de trabajo son: Minutos por Unidad de Minutos por Unidad de Estación de Trabajo HiFi-1 HiFi-2 1 6 4 2 5 5 3 4 6 Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3 respectivamente. La compañía desea determinar las unidades diarias que se ensamblarán de HiFi-1 y HiFi-2 a fin de minimizar la suma de tiempos no usados (inactivos) en la tres estaciones. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad de Unidades Diarias de HiFi - 1 x2 = la Cantidad de Unidades Diarias de HiFi - 2 Min Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: 6x1 + 4x2 < (0.1)(480) …….. (2) 5x1 + 5x2 < (0.14)(480) ……….(3) 4x1 + 6x2 > (0.12)(480) .......... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 Problema 24: Una compañía de productos electrónicos, produce dos modelos de radio, cada uno en una línea de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 60 unidades y la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelos utiliza 10 piezas de ciertos componente electrónicos, en tanto que cada unidad del segundo modelos requiere ocho piezas del mismo componente. La disponibilidad diaria máxima del componente especial es de 800 piezas. La ganancia por unidad de modelos 1 y 2 es $30 y $ 20, respectivamente. Determine la producción diaria óptima de cada modelo de radio. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción del modelo 1 de Radio x2 = la Cantidad de producción del modelo 2 de Radio Max Z = 30x1 + 20x2 …….(1) Sujeto a: x1 < 60 …….. (2) 10x1 + 8x2 < 800 ……….(3) x2 < 75 .......... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 Problema 25: Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquina. El tiempo por máquina asignado a los productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son: Minutos Por Unidad Producto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Ganancia 1 10 6 8 $2 2 5 20 15 $3 Nota: Determine la combinación óptima de los productos. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad de Unidades del Producto 1 x2 = la Cantidad de Unidades del Producto 2 Min Z = 2x1 + 3x2 …….(1) Sujeto a: 10x1 + 5x2 < 10 …….. (2) 6x1 + 20x2 < 10 ……….(3) 8x1 + 15x2 < 10 .......... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 3x1 < 2x2 Problema 31: La señora Morales tiene una dieta a seguir, la cual reúne los siguientes requisitos alimenticios. Al menos 4 mg. de vitamina A Al menos 6 mg. de vitamina B A lo más 3 mg. de vitamina D Así mismo, la dieta está formada por pan, queso, buebo, y carne. La tabla siguiente nos da los requerimientos por vitamina en mg. así como el costo: Contenido en mg por gramo de producto PRODUCTO COSTO VITAMINA A VITAMINA B VITAMINA D PAN QUESO BUEBOS CARNE 40 31 19 53 0.20 0.15 0.15 0.30 0.18 0.10 0.40 0.35 0.10 0.14 0.15 0.16 Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad a comprar de PAN x2 = la Cantidad a comprar de QUESO x3 = la Cantidad a comprar de HUEVO x4 = la Cantidad a comprar de CARNE Min W = 40x1 + 31x2 + 19x3 + 53x4…….(1) Sujeto a: 0.20x1 + 0.15x2 + 0.15x3 + 0.30x4 > 4 0.18x1 + 0.10x2 + 0.40x3 + 0.35x4 > 6 0.10x1 + 0.14x2 + 0.15x3 + 0.16x4 > 3 x1, x2, x3, x4 > 0 Problema 32: (Inversiones) A Julio que es asesor de inversiones, se le presentan 4 proyectos con sus respectivos costos en un período de tres años, así como la utilidad total. El requiere maximizar la utilidad total disponiendo de $50,000; $24,000; y $30,000 en cada uno de los años siguientes: PROYECTO UTILIDAD TOTAL COSTO AÑO 1 COSTO AÑO 2 COSTO AÑO 3 X1 X2 X3 X4 100 90 75 80 6 2 9 5 14 8 19 2 5 14 18 9 Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimento x2 = la Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de Alimento Min Z = 0.2x1 + 0.6x2 …….(1) Sujeto a: 0.001x1 + 0.002x2 < (90)(0.01) …….. (2) 0.09x1 + 0.6x2 < (90)(0.3) ……….(3) 0.02x1 + 0.06x2 > (90)(0.05) .......... (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0 Disponibilidad: Las cantidades disponibles por año se asignan a las diferentes variables o proyectos bajo estas restricciones para optimizar o maximizar la utilidad total. Problema 33: Supóngase que el Banco de Crédito al Campesino tiene dos planes de inversión a saber: El primero en el programa de tierras de riego, el segundo en el programa de tierras de temporal. El primer programa regresa un 30% de la inversión al fin del año, mientras que el segundo plan regresa un 65% de la inversión, para el término de dos años. Los intereses recibidos en ambos planes son reinvertidos de nuevo en cualquiera de ambos planes. Formule el programa lineal que le permita al banco maximizar la inversión total en un sexenio, si la inversión es de $ 100 millones. Solución: ¿Qué es lo que vamos a MAXIMIZAR? xiR = la Cantidad de inversión de riesgo a una año i xiT = la Cantidad de inversión Temporal en 2 años i donde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Max Z = x1 + x2 + x3 + x4…….(1) Sujeto a: (RESTRICCIONES DE BALANCE) x1R + x1T < 100,000 x2R + x2T < 1.30x1R x3R + x3T < 1.30x2R + 1.65x1T x4R + x4T < 1.30x3R + 1.65x2T x5R + x5T < 1.30x4R + 1.65x3T x6R < 1.30x5R + 1.65x4T x1T, xR > 0 Problema 34: Una compañía de perfumes puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisión. Su presupuesto limita los gastos de publicidad a $1,500 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $15 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $90. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos dos veces más que la televisión. Los datos históricos muestran que cada minuto de publicidad por televisión generará en términos generales 30 veces más ventas que cada minuto de publicidad por radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisión. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Radio x2 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Televisor Max Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: 15x1 + 90x2 < 1500 …….. (2) x2 > (2)(x1) x1 > (30)(x2) ……….(3) x1, x2 > 0 Problema 35: Una Tienda de animales ha determinado que cada Hámster debería recibirla menos 70 unidades de proteína. 100 unidades de carbohidratos y 20 unidades de grasa. Si la tienda vende los seis tipos de alimentos mostrados en la tabla. ¿Qué mezcla de alimento satisface las necesidades a un costo mínimo para la tienda? Alimento Proteínas (Unidades / Onza) Carbohidratos (Unidades / Onza) Grasa (Unidades / Onza) Costo (Onza) A B 20 30 50 30 4 9 2 3 C D E F 40 40 45 30 20 25 50 20 11 10 9 10 5 6 8 8 Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad a mezclar de A x2 = la Cantidad a mezclar de B x3 = la Cantidad a mezclar de C x4 = la Cantidad a mezclar de D x5 = la Cantidad a mezclar de E x6 = la Cantidad a mezclar de F Min W = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 + 8x5 + 8x6…….(1) Sujeto a: 20x1 + 30x2 + 40x3 + 40x4 + 45x5 + 30x6 < 70 ......... PROTEÍNA 50x1 + 30x2 + 20x3 + 25x4 + 50x5 + 20x6 < 100 ------ CARBOHIDRATOS 4x1 + 9x2 + 11x3 + 10x4 + 9x5 + 10x6 < 20 ---------- GRASA x1, x2, x3, x4 > 0 Problema 35: Una compañía manufacturera local produce cuatro deferentes productos metálicos que deben maquinarse, pulirse y ensamblarse. La necesidades específicas de tiempo (en horas) para cada producto son las siguientes: Maquinado Pulido Ensamble Producto I Producto II Producto III Producto IV 3 2 2 4 1 1 2 3 2 1 2 1 La compañía dispone semalmente de 480 horas para maquinado, 400 horas para el pulido y 400 horas para el ensamble. Las ganancias unitarias por producto son $6, $4, $6 y $8 respectivamente. La compañía tiene un contrato con un distribuidor en el que se compromete a entregar semanalmente 50 unidades del producto 1 y 100 unidades de cualquier combinación de los productos II y III, según sea la producción, pero sólo un máximo de 25 unidades del producto IV. ¿cuántas unidades de cada producto debería fabricar semanalmente la compañía a fin de cumplir con todas las condiciones del contrato y maximizar la ganancia total? Considere que las piezas incompletas como un modelo de Programación Lineal. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad a fabricar del producto I x2 = la Cantidad a fabricar del producto II x3 = la Cantidad a fabricar del producto III x4 = la Cantidad a fabricar del producto IV Min W = 6x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4…….(1) Sujeto a: 3x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 < 480 1x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 < 400 2x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 < 400 x1 > 50 x2 + x3 > 100 x4 < 25 x1, x2, x3, x4 > 0 Se supone que al final de cada trimestre el 5% de las locomotoras debe mantenerse a reparación y el 5% quedan fuera de servicio. Formule un problema de programación lineal que permita determinar la combinación de políticas que debe tomar en cuenta la gerencias de F.F.C.C. para minimizar costos y satisfacer la demanda de locomotoras. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 1 x2 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 2 x3 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 3 Min W = 5,000,000x1 + 100,000x2 + 250,000x3 …….(1) Sujeto a: x1 + x2 + x3 < 100,000,000 750x1 + 800x2 + 780x3 > 650 x1 > (0.05)(750) x2 > (0.05)(800) x3 > (0.05)(780) x1, x2, x3, x4 > 0 Problema 40: Una compañía produce azúcar morena, azúcar blanca, azúcar pulverizada y melazas con el jarabe de la caña de azúcar. La compañía compra 4000 toneladas de jarabe a la semana y tiene un contrato para entregar un mínimo de 25 toneladas semanales de cada tipo de azúcar. El proceso de producción se inicia fabricando azúcar morena y melazas con el jarabe. Una tonelada de jarabe produce 0.3 toneladas de azúcar morena y 0.1 toneladas de melazas. Después el azúcar blanca se elabora procesando azúcar morena. Se requiere 1 tonelada de azúcar morena para producir 0.8 toneladas de azúcar blanca. Finalmente, el azúcar pulverizada se fabrica de la azúcar blanca por medio de un proceso de molido especial, que tiene 95% de eficiencia de conversión (1 tonelada de azúcar blanca produce 0.95 toneladas de azúcar pulverizada). Las utilidades por tonelada de azúcar morena, azúcar blanca, azúcar pulverizada y melazas son de 150, 200, 230, y 35 dólares, respectivamente. Formule el problema como un programa lineal. Solución: La producción de cada tipo de azúcar de acuerdo al proceso de producción se detalla a continuación por cada tonelada de material empleado. Producción por tn. az.morena melaza az.blanca az.pulverizada Jarabe (1tn) 0.3 0.1 Az. Morena (1tn) 0.8 Az. Blanca (1tn) 0.95 Determinamos las variables de decisión: Xi = producto obtenido (toneladas por semana), donde i: 1, 2, 3, 4; representa los diferentes tipos de productos. 1: azúcar morena, 2: melaza, 3: azúcar blanca, 4: azúcar pulverizada. Las restricciones: X1 / 0.3 + X2 / 0.1 <= 4000 (Restricción para tn. de jarabe) X1 >=25000 (Restricción para tn. de azúcar morena) X3 / 0.8 >= 25000 (Restricción para tn. de azúcar blanca) X4 / 0.95 >=25000 (Restricción para tn. de azúcar pulverizada) X1, X2, X3, X4 >=0 (Restricción de no negatividad) La función objetivo para maximizar las utilidades: f.o: max. z = 150X1 + 200X3 + 230X4 + 35X2 La estructura del modelo es la siguiente: Xi = producto obtenido (toneladas por semana) i: 1, 2, 3, 4 F.O Max z = 150X1 + 200X3 + 230X4 + 35X2 S.a: X1 / 0.3 + X2 / 0.1 <= 4000 (Restricción para tn. de jarabe) X1 >=25000 (Restricción para tn. de azúcar morena) X3 / 0.8 >= 25000 (Restricción para tn. de azúcar blanca) X4 / 0.95 >=25000 (Restricción para tn. de azúcar pulverizada) X1, X2, X3, X4 >=0 (Restricción de no negatividad) Problema 41: Cuatro productos se procesan en secuencia de dos maquinas. La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes al problema. Tiempo de fabricación por unidad (hora) Máquina Costo Prod. 1 Prod. 2 Prod. 3 Prod. 4 Capacidad ($) / hora (hora) 1 10 2 3 4 2 500 2 5 3 2 1 2 380 Precio de venta 65 70 55 45 Por unidad ($) Formular el modelo como un modelo de programación lineal. Solución: Determinamos las variables de decisión: Xij: unidades producidas por tipo de producto j: 1, 2, 3, 4. utilizando cada máquina i: 1, 2. Las restricciones: 2X11+ 3X12 + 4X13 + 2X14 <= 500 (Restricción de capacidad de la maq. 1) 3X21 + 2X22 + 1X23 + 2X24 <=380 (Restricción de capacidad de la maq. 2) La función objetivo para maximizar las utilidades: Max z = 65(X11 + X12) + 70(X12 + X22) + 55(X13 + X23) + 45(X14 + X24) - 10 (2X11 + 3X12 + 4X15 + 2X14) - 5(3X21 + 2X22 + 1X23 + 2X24) Simplificando: max z = 45X11 + 50X21 + 40X12 + 60X22 + 15X13 + 50X23 + 25X14 +35X24 La estructura del modelo es la siguiente: Xij: unidades producidas por tipo de producto j: 1, 2, 3, 4. Utilizando cada máquina i: 1, 2. F: O Max z = 45X11 + 50X21 + 40X12 + 60X22 + 15X13 + 50X23 + 25X14 +35X24 S.a: 2X11+ 3X12 + 4X13 + 2X14 <= 500 (Restricción de capacidad de la maq. 1) 3X21 + 2X22 + 1X23 + 2X24 <=380 (Restricción de capacidad de la maq. 2) X11, X12, X13, X14, X21, X22, X23, X24 >=0 (Restricción de no negatividad) Problema 42: Con rubíes y zafiros un empresario produce dos tipos de anillos. Un anillo tipo 1 requiere 2 rubíes, 3 zafiros y 1 hora de trabajo de un joyero. Un anillo tipo 2 requiere 3 rubíes, 2 zafiros y 2 horas de trabajo de un joyero. Cada anillo tipo 1 se vende a 400 dólares, y cada anillo tipo 2, a 500 dólares. Se pueden vender todos los anillos producidos. Actualmente, se dispone de 100 rubíes, 120 zafiros y 70 horas de trabajo de un joyero. Se puede comprar más rubíes a un costo de 100 dólares el rubí. La demanda del mercado requiere de una producción de por lo menos 20 anillos del tipo 1 y por lo menos 25 anillos del tipo 2. Formular el problema para maximizar la ganancia.} Solución: Requerimiento por unidad Tipo de anillo Disponibilidad Tipo 1 Tipo 2 Rubíes (unid) 2 3 Zafiros (unid) 3 2 Hrs-hombre 1 2 70 Precio ($/unid) 400 500 Demanda (unid) 20 25 Determinamos las variables de decisión: Xi: cantidad de anillos de tipo i = 1, 2 Las restricciones: 2X1 + 3X2 – X3 <= 100 (Restricción para la cantidad de rubíes) 3X1 + 2X2 <= 120 (Restricción para la cantidad de zafiros) X1 + 2X2 <= 70 (Restricción de horas de trabajo de un joyero) X1 >= 20 (Restricción para la demanda del tipo 1) X2 >= 25 (Restricción para la demanda del tipo 2) La función objetivo para maximizar las utilidades: Max z = 400X1 + 500X2 - 100X3 La estructura del modelo es la siguiente: Xi: cantidad de anillos de tipo i = 1, 2 F.O: Max z = 400X1 + 500X2 – 100X3 S.a: 2X1 + 3X2 – X3 <= 100 (Restricción para la cantidad de rubíes) 3X1 + 2X2 <= 120 (Restricción para la cantidad de zafiros) X1 + 2X2 <= 70 (Restricción de horas de trabajo de un joyero) X1 >= 20 (Restricción para la demanda del tipo 1) X2 >= 25 (Restricción para la demanda del tipo 2) X1, X2, X3 >=0 (Restricción de no negatividad) Problema 43: Para una jornada de 24 horas un hospital está requiriendo el siguiente personal para el área de enfermería, se define 6 turnos de 4 horas cada uno. Turno Número mínimo de personal 2:00 - 6:00 4 6:00 - 10:00 8 10:00 - 14:00 10 14:00 - 18:00 7 18:00 - 20:00 12 20:00 - 24:00 4 Los contratos laborales son de 8 horas consecutivas por día. El objetivo es encontrar el número menor de personas que cumplan con los requerimientos. Formule el problema como un modelo de programación lineal. Solución: Determinamos las variables de decisión: Xi = Cantidad de personal por cada turno i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.