Apuntes y documentos varios de matematica financiera, Apuntes de Matemática Financiera

¡Descarga Apuntes y documentos varios de matematica financiera y más Apuntes en PDF de Matemática Financiera solo en Docsity! Desarrollo de contenido Nombre de la asignatura Matemáticas Financieras Presentación Introducción a la asignatura (video general de la asignatura) Usar introducción del B2 Objetivo de la asignatura (Este objetivo se extrae del programa de cada asignatura) Plataforma: El objetivo de la asignatura es: Utilizar métodos matemáticos y herramientas computacionales, para la elaboración de modelos financieros básicos en el ámbito personal y empresarial. Foro de presentación . Plataforma: A continuación, se encuentra la actividad que debes realizar en este bloque. Haz clic en ella y realízala con apego a las instrucciones. ¡Bienvenido al foro de presentación! La finalidad de este foro es que conozcas a las personas con las que compartirás este entorno virtual. En él redactarás una breve presentación acerca de ti, comenzando por tu nombre, edad, algún aspecto personal que estés dispuesto a compartir (gustos, intereses, etc.), y las expectativas que tienes sobre este curso. Para tu participación en el foro, contempla: ● Extensión mínima de 15 líneas ● Redacción y ortografía Para añadir tu comentario haz clic en el botón “Agregar un nuevo tema de debate”, una vez concluido tu escrito haz clic en el botón “Publicar en el foro”. De manera respetuosa, comenta las aportaciones de tus compañeros. Tu participación es primordial para poder conocernos como grupo, y familiarizarte con el entorno y la dinámica del curso. Al finalizar haz clic en el título del bloque para regresar al curso y continúa con el Bloque 3. 1 Desarrollo de contenido Bloque 3. Anualidades anticipadas, vencidas y diferidas Introducción del Bloque En este tercer bloque conocerás las fórmulas aplicadas en cada situación financiera para determinar el valor de la renta, la tasa de interés y el plazo de la operación, así como su valor actual o presente y el monto futuro. Asimismo, sabrás en qué situaciones se aplican las anualidades anticipadas, vencidas y diferidas. Todos estos temas complementarán tus conocimientos en el ámbito personal y profesional. Desarrollo de contenido Plataforma: Haz clic en los siguientes apartados para revisar la información de este bloque. Al concluir la revisión de los temas, realiza tus actividades. Objetivo del bloque El objetivo del bloque es: Aplicar los tres tipos de anualidades en el momento indicado mediante el planteamiento de situaciones hipotéticas, con la finalidad es ampliar el conocimiento financiero del lector. 2 Desarrollo de contenido - Anualidad simple: es aquélla cuyo período de pago coincide con el período de capitalización de los intereses. Por ejemplo, hacer depósitos mensuales en una cuenta de ahorros que paga intereses capitalizables cada mes. - Anualidad general: es aquélla cuyo período de pago no coincide con el período de capitalización de los intereses. Por ejemplo, cuando se realizan depósitos quincenales en una cuenta de ahorros, cuyos intereses se capitalizan cada mes. 4. Por último, si se utiliza el momento de iniciación de la anualidad como criterio de clasificación, las anualidades pueden ser: - La anualidad inmediata es en la que no existe aplazamiento alguno de los pagos, es decir, los pagos se hacen desde el primer período. - La anualidad diferida significa que los pagos se aplazan por un cierto número de períodos. Por ejemplo, se compra hoy a crédito una impresora láser, que se pagará mediante 12 abonos mensuales, y el primer pago se llevará a cabo tres meses después de la compra. Los tipos de anualidades a estudiar en este bloque serán: - Las anualidades ciertas, simples, anticipadas e inmediatas, conocidas simplemente como anualidades anticipadas. - Las anualidades ciertas, simples, vencidas e inmediatas, conocidas simplemente como anualidades vencidas. - Las anualidades ciertas, simples, vencidas y diferidas, conocidas simplemente como anualidades diferidas. Anualidad anticipada Una anualidad anticipada se cubre al comienzo de cada período. Son ejemplos de anualidades anticipadas los pagos anuales (primas) de un seguro de vida, la renta de una casa u oficina, algunos planes de crédito que estipulan que los pagos deben efectuarse al comienzo de los períodos convenidos, etcétera (Vidaurri, 2008). La anualidad es simple cuando el período de capitalización coincide con el período de pago. La anualidad es inmediata porque los pagos se inician en el mismo período en que la operación se formaliza. 5 Desarrollo de contenido El siguiente ejemplo muestra cómo se calcula el monto o valor futuro de una anualidad anticipada. 2. Se depositan $3,000 al inicio de cada mes en un banco que paga 2% mensual capitalizable en forma mensual. ¿Cuál será el monto después de seis depósitos? Solución Si M representa el monto de la anualidad, se puede formar la siguiente ecuación: M = 3,000 (1.026 + 1.025 + 1.024 + 1.023 + 1.022 + 1.02) M = $19,302.85 El valor presente de la anualidad se puede obtener calculando el valor presente del monto, esto es: C = M / (1 + i) t = 19,302.85 / 1.026 = $17,140.38 El valor presente de una anualidad anticipada tiene las mismas interpretaciones que el valor presente de una anualidad vencida. 3. Francisco deposita $5,000 al inicio de cada mes en una cuenta de inversión. Si la tasa de interés es de 1% mensual capitalizable cada mes: a) ¿Cuál es el monto al cabo de tres años? b) ¿Cuál es el interés ganado en los tres años? c) Calcula el valor presente de la anualidad. Solución a) M = 5,000 [(1 + 0.01)36 – 1 / 0.01] (1 + 0.01) M = $217,538.24 b) I = M - C = 217,538.24 – (5,000) (36) = $37,538.24 c) VP = 5,000 [1 – (1 + 0.01)-36 / 0.01] (1 + 0.01) VP = $152,042.90 5. Dentro de seis años, la compañía fabricante de sartenes La Olla Exprés, S.A. de C.V. necesitará $7’000,000 para reemplazar maquinaria depreciada. A partir de este momento, ¿cuál será el importe del depósito trimestral que tendrá que hacer la empresa en un fondo de depreciación que paga 11.3% convertible cada trimestre, para acumular dicha cantidad 6 Desarrollo de contenido de dinero? Solución Debido a que se conoce el monto de una anualidad anticipada es necesario despejar A (anualidad) de la siguiente ecuación: M = A [(1 + i)n – 1 / i] (1 + i) A = Mi / [(1 + i)n – 1] (1 + i) A = (7’000,000) (0.113 / 4) / [(1 + 0.113 / 4)24 – 1] (1 + 0.113 / 4) A = $202,119.21 6. El beneficiario de una herencia puede optar por recibir $320,000 de inmediato o recibir 40 pagos iguales cada cuatro meses, el primero de ellos se hará de inmediato. ¿Cuál será el valor del pago cuatrimestral si el dinero está invertido al 11.55% anual? Solución Se despeja A de la siguiente ecuación, ya que se conoce el valor presente de una anualidad vencida. P = A [1 - (1 + i)-n / i] (1 + i) A = Pi / [1 - (1 + i)-n] (1 + i) A = (320,000) (0.1155 / 3) / [1 - (1 + 0.1155 / 3)-40] (1 + 0.1155 / 3) A = $15,222.36 Anualidades vencidas Las anualidades ciertas, simples, vencidas e inmediatas son una de las más utilizadas en el mundo financiero. Es común referirse a este tipo de anualidades como ‘anualidades vencidas’ u ‘ordinarias’ (Vidaurri, 2008). Las anualidades vencidas son aquellas que se pagan al finalizar el período en el que se formalizó la operación (UNAM, s.f.). 7. El monto de una anualidad vencida es el valor acumulado de una serie de pagos iguales efectuados al final de cada período de pago. A continuación, se presenta un ejemplo del cálculo del monto de una anualidad vencida. Supón que se depositan $5,000 al final de cada mes en un banco que paga una tasa de interés de 1.5% mensual capitalizable cada mes. ¿Cuál será el monto al cabo de seis meses? El diagrama de tiempo es el siguiente: 7 Desarrollo de contenido 10. Con referencia al ejemplo anterior, supón que el depósito de $3,500 mensuales se efectúa únicamente por cinco años y el resto de tiempo se depositan $4,000 mensuales con el fin de compensar la inflación. Calcula el monto final y el interés ganado. El problema se resuelve en dos partes: Primera parte Se calcula el monto de los $3,500 mensuales por cinco años (60 meses) M1 = 3,500[(1 + 0.007)60 – 1 / 0.007] = 259,868.14 Segunda parte Al final de los cinco años se tiene un monto, llamado M1, de $259,868.14 Para obtener el monto final M, se forma la siguiente ecuación de valor, tomando como fecha focal el final del mes 132. M = 259,868.14(1 + 0.007)72 + 3,500 [(1 + 0.007)72 – 1 / 0.007] M = 429,412.73 + 326,212.73 M = $755,625.46 En 11 años, el padre deposita un total de ($3,500 por mes) (60 meses) + (4,000) (72 meses). Por consiguiente, el interés ganado será: I = 755,625.46 - 498,000 I = 257,625.46 Hasta este momento se ha determinado el valor futuro de una anualidad vencida. Ahora se abordará el problema de agregar el valor presente o valor actual de una anualidad vencida. Repitiendo el diagrama, encontrarás que el valor presente lo representa el número cero, que significa el comienzo del plazo. El valor presente de una anualidad se define como la suma de los valores presentes de todos los pagos. 11. Supón que una persona va a liquidar una deuda mediante cuatro pagos mensuales vencidos de $1,183.72 cada uno, que incluyen intereses al 3% mensual con capitalización cada mes. Se desea obtener la suma del valor presente de la anualidad. 10 Desarrollo de contenido Solución Con base en el diagrama visto anteriormente, si la fecha focal se localiza en el momento actual, entonces se puede formar la siguiente ecuación de valor: VP = 1,183.72/1.03 + 1,183.72/1.032 + 1,183.72/1.033 + 1,183.72/1.034 La expresión también se puede escribir como: VP = 1,183.72(1.03)-1+1,183.72(1.03)-2+1,183.72(1.03)-3+1,183.72(1.03)-4 VP = $4,400 El valor presente o actual de cuatro pagos mensuales de $1,183.72 cada uno es $4,400. Se podría decir que $4,400 es el capital solicitado en préstamo por el deudor. El valor presente de una anualidad admite dos interpretaciones: Primera interpretación. Supón que en lugar de tener una deuda de $4,400, se tiene un capital de $4,400 que se depositará en una cuenta que paga 3% mensual capitalizable cada mes. Entonces, el valor presente se interpreta de la siguiente forma: $4,4000 depositados al 3% mensual capitalizable cada mes producirán un monto exactamente igual que el obtenido al depositar $1,183.72 cada mes, durante cuatro meses: M = 4,400(1 + 0.03)4 = $4,952.24 M = 1,183.72[((1 + 0.03)4 -1) / 0.03] = $4,952.24 Lo anterior indica que el valor presente de una anualidad se obtiene mediante la fórmula de interés compuesto, al calcular el valor presente del monto de la anualidad. Segunda interpretación. El valor presente de una anualidad se puede interpretar como la cantidad que se debe invertir en este momento para efectuar cierto número de retiros en el futuro, exactamente iguales a la anualidad Esto es, si una persona invierte en este momento $4,400 al 3% mensual capitalizable cada mes, entonces podrá retirar $1,183.72 cada mes, durante cuatro meses, al final de los cuales la cuenta estará en ceros. La fórmula general de una anualidad vencida es la siguiente: VP = A[(1 - (1 + i) –n )/ i] 11 Desarrollo de contenido 12. ¿Cuál es el valor presente de $10,000 depositados en una cuenta final de cada trimestre durante cuatro años, si la tasa de interés es de 14% capitalizable en forma trimestral? Solución A = 10,000 i = 14% anual = 14/4 = 3.5% trimestral n = (4 años) (4 trimestres por año) = 16 trimestres VP = 10,000 [ (1 – (1+0.035)-16 )/ 0.035] VP = 10,000 ((1 – 0.5767059117 )/ 0.035) VP = $120,941.17 13. Raquel desea jubilarse en este año y cree que una mensualidad de $18,000 durante los siguientes 20 años será suficiente para vivir bien. Si el fondo de retiro le da 9.5% anual capitalizable, ¿cuánto dinero debe tener ahorrado para retirar la cantidad deseada? Solución A = 18,000 i = 9.5% anual = (9.5/12)% mensual n = 240 meses VP =18,000 [[1-(0.095/12)-240] / (0.095/12)] VP =18,000(1-0.1506917942 / 0.00791666666) VP = $1’931,058.66 $1’931,058.66 depositados al 9.5% capitalizable cada mes producirán 240 pagos mensuales de $18,000 cada uno. La diferencia entre la cantidad total recibida a lo largo de los 20 años y el valor actual es el interés compuesto ganado. Interés compuesto ganado = (18,000)(240) - 1’931,058.66 Interés compuesto ganado = 4’320,000 - 1’931,058.66 Interés compuesto ganado = 2’388,941.34 13. ¿Cuántos depósitos quincenales de $1,602.77 deben hacerse para acumular un total de $100,000, si se ganan intereses de 11% capitalizable cada quincena? Solución En este problema se conoce la anualidad y el monto de ésta y se pide calcular n, la cual se calculará de la siguiente forma: 12 Desarrollo de contenido El período de gracia es de tres meses y el plazo de la anualidad de seis meses. Solución 1 Si se toma como fecha focal el comienzo del plazo de la anualidad, entonces se tiene la siguiente ecuación de valor. P(1 + 0.33/12)2 = 4,100 [(1 – (1+0.33/12)-6 ) / (0.33/12)] 1.05575625 P= 22,395.70379 P = 22,395.70379 / 1.05575625 P = 21,213 El interés pagado por el uso del crédito fue: I = (4,100)(6) – 21,213 = $3,387 Solución 2 Tomando como fecha focal el momento inicial o de convenio, se calcula el valor presente de la anualidad, el cual queda ubicado al principio del período en que se efectúa el primer pago, es decir, en el segundo mes del plazo total de la anualidad. Posteriormente, esta cantidad se traslada al momento inicial o de convenio. La ecuación de valor es el seguimiento: P = 4,100[(1 – (1+(0.33/12))-6 ) / (0.33/12)](1 + (0.33/12))-2 P = $21,213 REFERENCIAS Camargo, A., Pompa, M. R./UNAM. (s.f.). Licenciatura en Contaduría. Matemáticas Financieras. Recuperado de http://fcasua.contad.unam.mx/apuntes/interiores/docs/20172/conta duria/1/apunte/LC_1154_14116_A_MatematicasFinancieras.pdf Vidaurri, H. (2008). Matemáticas Financieras. (7ª ed.). México: Cengage Learning. 15 Desarrollo de contenido - Plataforma: A continuación, se presentan tres recursos digitales de contenido actual y de tendencias futuras que te proporcionarán una visión práctica del contenido y te ayudarán a complementar el estudio de los temas del bloque: ● Aponte, E. (2017). Anualidades Anticipadas. Matemáticas Financieras. [Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=iVMYdQF78Fk ● Aponte, E. (2017). Anualidad Diferida. Matemáticas Financieras [Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch? v=zNkbFRIhe9Q ● Organización Libertelia (2017). Anualidad Vencida vs. Anticipada. Matemáticas Financieras. [Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=gZO6DlCHY94 Infografía (síntesis o recapitulación) Plataforma: A continuación, se muestra una infografía la cual destaca los datos más importantes de los temas del bloque: Anualidades Pagos generalmente iguales realizados en intervalos iguales, pueden ser mensuales, quincenales, etcétera. Período de pago o renta Tiempo transcurrido entre dos pagos sucesivos. Plazo de la anualidad Tiempo transcurrido entre el primer período de pago y final del último pago. Clasificación ● Tiempo: cierta y contingente. ● Pagos: vencida y anticipada. ● Intereses: simple y general. ● Iniciación: inmediata y diferida. ⮚ Anualidades anticipadas Los pagos se llevan a cabo al inicio del período de pago convenido. Es simple si el período de capitalización coincide con el período de pago. La anualidad es inmediata al iniciar los pagos en el período en que la operación se formaliza. ⮚ Anualidades vencidas u ordinarias 16 Desarrollo de contenido Es el valor acumulado de una serie de pagos iguales efectuados al final de cada período de pago. ⮚ Anualidades diferidas Los pagos comienzan después de transcurrido un intervalo determinado, desde el momento en que la operación quedó formalizada. Posee un momento inicial y un período de gracia. 17 Desarrollo de contenido b) $230,000 c) $205,000 Solución: Valor de contado = E + A [(1 + i)-n / i] Valor de contado = $21,800 + $3432.36 [1 - (1+0.0066)-72 / 0.0066] Valor de contado = $21,800 + $196,199.83 = $218,000 4. Una empresa deposita $250,000 al inicio de cada semestre en un fondo de ahorro cuya tasa de interés es de 10% capitalizable semestralmente. ¿A cuánto asciende el monto al cabo de seis años? a) $5’325,080.71 b) $4’178,245.71 c) $5’003,234.71 Solución: M = A [(1 + i)n - 1 / i] (1 + i) M = $250,000 [(1 + 0.05)12 - 1 / 0.05] (1 + 0.05) M = $4’178,245.71 5. ¿Qué cantidad se debe depositar al inicio de cada bimestre durante 10 años para acumular 100,000 pesos, si la tasa de interés es de 7.44% anual capitalizable cada bimestre? a) 1,181.83 b) 1,218.83 c) 1,118.83 Solución: A= M×i [ (1+i )¿¿n−1](1+i)¿ A= $100,000×0.0124 [ (1+0.0124 )¿¿60−1](1+0.0124)¿ A= $1,240 [2.09473306588827−1](1.0124) A= $1,240 [2.09473306588827−1](1.0124) A= $1,240 [1.09473306588827 ](1.0124) 20 Desarrollo de contenido A= $1,240 1.1083053190528 A=$1,118.83 ❑ 0.6288946267774 6. El señor Corona tiene actualmente 30 años y es propietario de una empresa. Piensa jubilarse al reunir 10’000,000, mediante depósitos mensuales de $25,000. Si el dinero lo invierte al 10% anual e inicia los depósitos a partir de hoy, ¿a qué edad se jubilará? a) 45 años b) 43 años c) 44 años Solución: n= log [(M×iA )+1] log(1+ i) n= log [( 10,000,000×(0.1/12) 25,000 )+1] log(1+(0.1 /12)) n= log [( 10,000,000×(0.008333333) 25,000 )+1] log(1+(0.008333333)) n= log [( 83,3333.333325,000 )+1] log(1.008333333) n= log [3.33333333+1 ] log(1.008333333) n= log [4.33333333 ] log(1.008333333) n= 0.6368221 0.00360412 n=176.692603 Luego se divide este valor por el número de meses 176.692603/12 y obtenemos 14.7243836 años, por tanto, si el señor Corona tiene 30 años y reúne los $10,000,000 con las condiciones dadas en dicho tiempo tendrá aproximadamente 45 años. 21 Desarrollo de contenido 7. Un reloj que cuesta $14,700 de contado se compra a crédito mediante seis pagos quincenales iguales, el primer pago se hace de inmediato. Si la tasa de interés es de 34.8% compuesto cada quincena, obtén el valor del pago quincenal. a) 3,100.00 b) 2,539.00 c) 2,823.00 A = VPi / [1 - (1 + i)-n ] (1 + i) A = (14,700) (0.0145) / [1 – (1 + 0.0145)-6] (1 + 0.0145) A = $2,539.00 8. Calcula el valor presente de una renta trimestral de $25,000 durante cinco años, si el primer pago trimestral se realiza dentro de dos años y la tasa de interés es de 3.35% trimestral capitalizable cada trimestre. a) 267,765.00 b) 309,010.00 c ) 285,988.00 Solución Tomando como fecha focal el momento inicial, se calcula el valor presente de la anualidad. VP=A [(1−(1+i)−n)/(i)](1+i)−n VP=$25,000[(1– (1+0.0335)−20) /(0.0335)](1+0.0335)−7 ¿ VP=$25,000[(1−0.5173570609121) /0 .0335](1.0335)−7 ¿ VP=$25,000[0.4826429390879/0.0335](0.7940112087843) VP=$25,000[0.4826429390879/0.0335](0.7940112087843) VP=$25,000[14.407251913072](0.7940112087843) VP=$285,987.9876≈$ 285,988.00 9. Durante este mes, Mueblería San Pablo ofrece la promoción “Compre ahora y pague después”, que consiste en pagar el precio de todas las mercancías en ocho mensualidades, empezando cuatro meses después de la compra, ¿cuál será la mensualidad que deberá pagar la señora Claudia, si compró una lavadora en $5,520 y le cargan intereses de 3.54% mensual capitalizable cada mes? a) 892,86 22 Desarrollo de contenido 25 Desarrollo de contenido Actividad extra (segundo entregable con puntos extra a elección del estudiante) Actividad extra 1. Cuadro comparativo. Tipos de anualidad 2. Diferenciar los tipos de anualidad que existen mediante la identificación de las características de cada una de ellas para emplear este conocimiento en la vida cotidiana. 3. Elabora un cuadro comparativo en el que abordes las principales características de los tipos de anualidad que existen. Recuerda que tu trabajo debe contener: ● Datos de identificación: nombre, actividad, asignatura, licenciatura, etc. ● El concepto, las características, la utilidad de los tipos de anualidad en tu vida cotidiana y todos los datos que consideres relevantes. ● Recuerda que tus citas y referencias deben seguir la norma APA. ● Cuida tu redacción y las faltas ortográficas, pues de ello dependerá la evaluación de tu trabajo. ● Al finalizar, guarda tu trabajo en formato .docx para subirlo a la plataforma. ● Consulta la rúbrica para conocer a detalle los criterios de evaluación. Nota: No olvides consultar la rúbrica, para conocer los criterios que se van a evaluar. Plataforma: Instrucción de entrega Para tu entrega: ● Nombra tu archivo de la siguiente manera: primerapellido_primernombre_nombredelaactividad. Por ejemplo: perez_luis_Glosario. ● Al finalizar, sube tu trabajo a la plataforma para que el tutor lo evalúe y retroalimente. Para ello, da clic en Agregar entrega. Arrastra y suelta el archivo donde se indica y da clic en el botón Guardar cambios para finalizar la entrega. En caso de que no des clic en este último botón, el archivo no se guardará en la plataforma y no estará entregado. ● Para continuar haz clic en el título del bloque para regresar al curso. 26 Desarrollo de contenido 27 Desarrollo de contenido A= M×i (1+i )n (1+ i ) n −1 A= $600,000×(0.05)× (1+0.05 ) 20 (1+0.05 ) 20 −1 A= $600,000×0.05×2.65322977051444 2.65322977051444−1 A= 79,598.931154333 1.65322977051444 =$ 48,145.55 Se deben realizar 20 pagos anuales por $48,145.55 8. Se constituye una hipoteca sobre una casa por la cantidad de $12,000 al 7% de interés anual, a pagar en 12 años. Calcula la renta o anualidad a pagar. a) $1,510.82 b) $2,410.80 c) $1,410.82 d) $ 1,210.50 Retroalimentación: A= M×i (1+i )n (1+ i ) n −1 A= $12,000×(0.07)× (1+0.07 ) 12 (1+0.07 ) 12 −1 A= $12,000×0.07×2.2521915889608 2.2521915889608−1 A= 1,891.8409347271 1.2521915889608 =$ 1510.82 Se deben realizar 12 pagos anuales por $1,510.82 9. Una compañía vendedora de bienes inmuebles a plazos vende una casa en $73,550 al 5.5% de interés anual, amortizable en 30 años. ¿A cuánto ascenderá la anualidad a pagar? a) $5,070.63 b) $5,060.73 c) $4,060.63 d) $5,060.63 Retroalimentación: A= M×i (1+i )n (1+ i ) n −1 A= $73,550×(0.055)× (1+0.055 ) 30 (1+0.055 ) 30 −1 30 Desarrollo de contenido A= $73,550×0.055×4.9839512883951 4.9839512883951−1 A= 20,161.32894938 3.9839512883951 =$5,060.63 Se deben realizar 12 pagos anuales por $5,060.63 10. Un negocio generará $60,000 anualmente durante cinco años. ¿Cuál es el valor actual del negocio si el rendimiento del dinero es del 11% anual? a) $222,727.27 b) $262,722.30 c) $221,727.27 d) $296,727.72 Retroalimentación: VP=A [1− (1+i )−n i ] VP=$60,000[ 1−(1+0.11 ) −5 0.11 ] VP=$60,000[ 1−0.59350.11 ] VP=$60,000[ 0.40650.11 ] VP=$60,000 [3.6954 ]=$221,727.27 31