ARCHIVOS MATEMÁTICOS, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga ARCHIVOS MATEMÁTICOS y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity! LímitesCAPÍTULO 1 1.1 Introducción a límites Los temas estudiados en el capítulo anterior son parte de lo que se denomina precálcu- lo. Proporcionan los fundamentos para el cálculo, pero no son cálculo. Ahora estamos listos para una nueva idea importante, la noción de límite. Ésta es la idea que distingue al cálculo de otras ramas de las matemáticas. De hecho, podríamos definir cálculo de esta manera: El cálculo es el estudio de los límites. Problemas que conducen al concepto de límite El concepto de límite es primordial para muchos problemas en física, ingeniería y ciencias sociales. Básicamen- te, la pregunta es ésta: ¿qué le pasa con la función f(x) cuando x se acerca a alguna constante c? Existen variaciones de este tema, pero la idea básica es la misma en mu- chas circunstancias. Suponga que cuando un objeto se mueve de forma constante hacia adelante cono- cemos su posición en cualquier momento. Denotamos la posición en el instante t por s(t). ¿Qué tan rápido se está moviendo el objeto en el instante t = 1? Podemos utilizar la fórmula “distancias iguales a tiempos iguales” para determinar la rapidez (tasa de cambio de la posición) en cualquier intervalo de tiempo; en otras palabras A esto le llamamos la rapidez “promedio” en el intervalo, ya que sin importar qué tan pequeño sea el intervalo, nunca sabemos si la rapidez es constante en este intervalo. Por ejemplo, en el intervalo [1, 2], la rapidez promedio es en el intervalo [1, 1.2], la rapidez promedio es en el intervalo [1, 1.02], la rapidez prome- dio es etcétera ¿Qué tan rápido viaja el objeto en el instante t = 1? Para dar significado a esta rapidez “instantánea” debemos hablar acerca del límite de la ra- pidez promedio en intervalos cada vez más pequeños. Podemos determinar áreas de rectángulos y triángulos por medio de fórmulas de geometría; pero, ¿qué hay de regiones con fronteras curvas, como un círculo? Arquí- medes tuvo esta idea hace más de dos mil años. Imagine polígonos regulares inscritos en un círculo, como se muestra en la figura 1. Arquímedes determinó el área de un po- lígono regular con n lados, y tomando el polígono cada vez con más lados fue capaz de aproximar el área de un círculo a cualquier nivel de precisión. En otras palabras, el área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos inscritos cuando n (el número de lados del polígono) aumenta tanto como se quiera. Considere la gráfica de la función y = f(x), para a … x … b. Si la gráfica es una línea recta, la longitud de la curva es fácil de determinar mediante la fórmula de la distancia. Sin embargo, ¿qué sucede si la gráfica es curvada? Podemos determinar una gran can- tidad de puntos a lo largo de la curva y conectarlos con segmentos de recta, como se muestra en la figura 2. Si sumamos las longitudes de estos segmentos de recta, debemos obtener una suma que es aproximadamente la longitud de la curva. De hecho, por “lon- gitud de la curva” queremos decir el límite de la suma de las longitudes de estos seg- mentos de recta, cuando el número de éstos aumenta tanto como se desee. Los últimos tres párrafos describen situaciones que conducen al concepto de límite. Existen muchos otros y los estudiaremos a lo largo del texto. Iniciamos con una explica- ción intuitiva de límites. La definición precisa se da en la siguiente sección. s11.022 - s112 1.02 - 1 , s11.22 - s112 1.2 - 1 ; s122 - s112 2 - 1 ; rapidez = distancia tiempo 1.1 Introducción a límites 1.2 Estudio riguroso (formal) de límites 1.3 Teoremas de límites 1.4 Límites que involucran funciones trigonométricas 1.5 Límites al infinito; límites infinitos 1.6 Continuidad de funciones 1.7 Repaso P3 P2 P1 Figura 1 y x–2 6 25 42 20 15 10 5 Figura 2 56 Capítulo 1 Límites Una noción intuitiva Considere la función definida por Observe que no está definida en x = 1, ya que en este punto f (x) tiene la forma que carece de significado. Sin embargo, aún podemos preguntarnos qué le está sucediendo a f (x) cuando x se aproxima a 1. Con mayor precisión, ¿cuando x se aproxima a 1, f (x) se está aproximando a algún número específico? Para obtener la respuesta podemos ha- cer tres cosas: calcular algunos valores de f (x) para x cercana a 1; mostrar estos valores en un diagrama esquemático, y bosquejar la gráfica de y = f (x). Todo esto se ha hecho y los resultados se muestran en la figura 3. 0 0, f1x2 = x 3 - 1 x - 1 1 2 3 4 ← x y x f (x) f(x) Gráfica de y = x x y 3.813 3.310 3.030 3.003 2.997 2.970 2.710 2.313 0.75 0.9 0.99 0.999 1.001 1.01 1.1 1.25 x 1.25 1.1 1.01 1.001 ↓ 1.000 ↑ 0.999 0.99 0.9 0.75 3.813 3.310 3.030 3.003 ↓ ? ↑ 2.997 2.970 2.710 2.313 y = x – 1 x – 1 Tabla de valores Diagrama esquemático Figura 3 Toda la información que hemos reunido parece apuntar a la misma conclusión: f (x) se aproxima a 3 cuando x se aproxima a 1. En símbolos matemáticos, escribimos Esto se lee “el límite de cuando x tiende a 1 es 3”. Como buenos algebristas (es decir, conociendo cómo se factoriza una diferencia de cubos), podemos proporcionar más y mejor evidencia, Observe que (x - 1)>(x - 1) = 1 siempre que x Z 1. Esto justifica el segundo paso. El tercer paso parece razonable; pero posteriormente se hará una justificación rigurosa. Para asegurarnos de que estamos en el camino correcto, necesitamos tener una clara comprensión del significado de la palabra límite.A continuación haremos nuestro primer intento de una definición. = lím x:1 1x2 + x + 12 = 12 + 1 + 1 = 3 lím x:1 x3 - 1 x - 1 = lím x:1 1x - 121x2 + x + 12 x - 1 1x3 - 12>1x - 12 lím x:1 x3 - 1 x - 1 = 3 Sección 1.1 Introducción a límites 59 Teorema A si y sólo si y lím x: c+ f1x2 = L.lím x: c- f1x2 = Llím x: c f1x2 = L –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 1 2 3 4 y x lí x → –3 (x) = 2 lí x (x) = 4 lí – ) = 3 lí ) no existe.lí x → – f ( ) no existe. l x (x) = 2.5 Figura 10 Por lo tanto, mientras que no existe, es correcto escribir (véase la gráfica en la figura 7) Creemos que usted encontrará muy razonable el siguiente teorema. lím x:2- Œx œ = 1 y lím x:2+ Œx œ = 2 lím x: 2 Œx œ La figura 10 debe darle una comprensión adicional. Dos de los límites no existen, aunque todos, excepto uno de los límites unilaterales, existen. Revisión de conceptos 1. significa que f (x) está cerca de _____, cuando x está suficientemente cerca (pero es diferente) de _____. 2. Sea f (x) = (x2 - 9)>(x - 3) donde f (3) está indeterminada. Sin embargo, _____.lím x: 3 f1x2 = lím x: c f1x2 = L 3. significa que f (x) está cerca de _____ cuando x se aproxima a c por la _____. 4. Si y entonces _____.lím x: c + f1x2 = M,lím x: c- f1x2 = M lím x: c+ f1x2 = L Conjunto de problemas 1.1 En los problemas del 1 al 6 determine el límite que se indica. 1. 2. 3. 4. 5. 6. En los problemas del 7 al 18 determine el límite que se indica. En la mayoría de los casos, es buena idea usar primero un poco de álge- bra (véase el ejemplo 2). 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. lím t:7+ 21t - 723 t - 7 lím t:2 21t + 421t - 224 13t - 622 lím x:3 x2 - 9 x - 3 lím x:-t x2 - t2 x + t lím x:0 x4 + 2x3 - x2 x2 lím x:-1 x3 - 4x2 + x + 6 x + 1 lím t:-7 t2 + 4t - 21 t + 7 lím x:2 x2 - 4 x - 2 lím t:-1 1t2 - x22lím t:-1 1t2 - 12 lím x:-2 1x2 + 2t - 12lím x:-2 1x2 + 2x - 12 lím t:-1 11 - 2t2lím x:3 1x - 52 15. 16. 17. 18. En los problemas del 19 al 28 utilice una calculadora para encon- trar el límite indicado. Utilice una calculadora gráfica para trazar la función cerca del punto límite. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. lím u:p>2 2 - 2 sen u 3u lím x:p>4 1x - p>422 1tan x - 122 lím t:0 1 - cot t 1>tlímx:p 1 + sen1x - 3p>22 x - p lím x:3 x - sen1x - 32 - 3 x - 3 lím t:1 t2 - 1 sen1t - 12 lím x:0 11 - cos x22 x2 lím x:0 1x - sen x22 x2 lím t:0 1 - cos t 2t lím x:0 sen x 2x GC lím h:0 1x + h22 - x2 h lím h:0 12 + h22 - 4 h lím u:1 13u + 4212u - 223 1u - 122límx:3 x4 - 18x2 + 81 1x - 322 60 Capítulo 1 Límites 29. Para la función f que se grafica en la figura 11 determine el límite que se indica o el valor de la función, o establezca que el límite o el valor de la función no existe. (a) (b) (c) (d) (e) f (1) (f) (g) (h) (i) lim x:-1+ f1x2lím x:1+ f1x2lím x:1- f1x2 lím x:1 f1x2lím x:-1 f1x2 f1-12f1-32lím x:-3 f1x2 30. Siga las instrucciones del problema 29 para la función que se grafica en la figura 12. 31. Para la función que se grafica en la figura 13 determine el lími- te que se indica o el valor de la función, o bien, indique que no existe. (a) (b) f (3) (c) (d) (e) (f) lím x:3+ f1x2lím x:-3 f1x2lím x:-3+ f1x2 lím x:-3- f1x2f1-32 32. Para la función que se grafica en la figura 14 determine el lími- te que se indica o el valor de la función, o indique que no existe. (a) (b) (c) (d) (e) (f) f (1) 33. Bosqueje la gráfica de Luego determine cada uno de los siguientes o establezca que no existen. (a) (b) (c) f (1) (d) 34. Bosqueje la gráfica de Después determine cada uno de los siguientes o establezca que no existen. (a) (b) g(1) (c) (d) 35. Bosqueje la gráfica de luego encuentre cada uno de los siguientes o establezca que no existen. (a) f (0) (b) lím x:0 f1x2 f1x2 = x - Œx œ ; lím x:2+ g1x2lím x:2 g1x2 lím x:1 g1x2 g1x2 = c -x + 1x - 1 5 - x2 si x 6 1 si 1 6 x 6 2 si x Ú 2 lím x:1+ f1x2 lím x:1 f1x2lím x:0 f1x2 f1x2 = c -xx 1 + x si x 6 0 si 0 … x 6 1 si x Ú 1 lím x:1 f1x2f1-12 lím x:-1 f1x2lím x:-1+ f1x2lím x:-1- f1x2 (c) (d) 36. Siga las instrucciones del problema 35 para 37. Determine o establezca que no existe. 38. Evalúe Sugerencia: racionalice el numerador multiplicando el numerador y el denominador por 39. Sea Determine cada valor, si es posible. (a) (b) 40. Bosqueje, como mejor pueda, la gráfica de una función f que satisfaga todas las condiciones siguientes. (a) Su dominio es el intervalo [0, 4]. (b) (c) (d) (e) (f) 41. Sea ¿Para qué valores de a existe ? 42. La función ha sido cuidadosamente graficada, pero durante la noche un visitante misterioso cambió los valores de f en un millón de lugares diferentes. ¿Esto afecta al valor de en alguna a? Explique. 43. Determine cada uno de los siguientes límites o establezca que no existen. (a) (b) (c) (d) 44. Determine cada uno de los siguientes límites o establezca que no existen. (a) (b) (c) (d) 45. Determine cada uno de los siguientes límites o establezca que no existen. (a) (b) (c) (d) 46. Determine cada uno de los siguientes límites o establezca que no existen. (a) (b) (c) (d) Muchos paquetes de software tienen programas para calcular lí- mites, aunque usted debe ser cuidadoso porque no son infalibles. Para adquirir confianza en su programa, utilícelo para volver a calcular al- gunos límites en los problemas del 1 al 28. Después para cada uno de los siguientes determine el límite o establezca que no existe. 47. 48. 49. 50. lím x:0 ƒx ƒ xlím x:0 2 ƒx ƒ lím x:0+ xxlim x:0 1x CAS lím x:1.8 Œx œ >xlím x:1.8 Œx œ lím x:0+ Œx œ >xlím x:3 Œx œ >x lím x:3+ 1Œx œ + Œ -x œ2lím x:3- 1Œx œ + Œ -x œ2 lím x:0+ x2 Œ1>x œlím x:0+ x Œ1>x œ lím x:0+ Œx œ1-12Œ1>xœlím x:0+ x1-12Œ1>xœ lím x:0+ Œ1>x œlím x:1+ 2x - Œx œ lím x:1- c 1 x - 1 - 1 ƒx - 1 ƒ dlím x:1- x2 - ƒx - 1 ƒ - 1 ƒx - 1 ƒ lím x:1- ƒx - 1 ƒ x - 1 lím x:1 ƒx - 1 ƒ x - 1 lím x: a f1x2 f1x2 = x2 lím x: a f1x2 f1x2 = ex 2 si x es racional x4 si x es irracional lím x:3+ f1x2 = 1lím x:3- f1x2 = 2 lím x:2 f1x2 = 1lím x:1 f1x2 = 2 f102 = f112 = f122 = f132 = f142 = 1 lím x:0 f1x2lím x:1 f1x2 f1x2 = e x si x es racional -x si x es irracional 2x + 2 + 22. lím x: 0 A2x + 2 - 22 B>x. lím x: 1 1x2 - 12> ƒ x - 1 ƒ f1x2 = x> ƒx ƒ . lím x:1>2 f1x2lím x:0- f1x2 –3 –2 –1 1 2 1 2 3 y x –4 –3 –2 –1 1 2 1 2 3 y x Figura 11 Figura 12 –4 –3 –2 –1 1 2 4 1 –1 –2 – –4 2 3 y x 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 1 –1 –2 y x Figura 13 Figura 14 Sección 1.2 Estudio riguroso (formal) de límites 61 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. lim x:1+ 2 1 + 21>1x- 12 lim x:2- x2 - x - 2 ƒx - 2 ƒ lím x:0 x sen 2x sen1x22límx:1 x3 - 1 22x + 2 - 2 lím x:0 x cos11>x2lím x:0 cos11>x2 lím x:0 1sen 5x2>3xlím x:0 1sen 2x2>4x 59. Como los paquetes de software para cálculo encuentran por medio de un muestreo de algunos valores de f (x) para x cerca de a, pueden estar equivocados. Determine una función f para la que no exista, pero por la que su software obtenga un valor para el límite. Respuestas a la revisión de conceptos: 1. L; c 2. 6 3. L; derecha 4. lím x: c f1x2 = M lím x: 0 f1x2 lím x: a f1x2 CAS Si ahora preguntamos qué tan cerca debe estar x de 2 para garantizar que f (x) esté a menos de 0.01 de 12, la solución seguiría las mismas líneas y determinaríamos que x tendría que estar en un intervalo más pequeño al que se obtuvo anteriormente. Si que- remos que f (x) esté a menos de 0.001 de 12, necesitaríamos un intervalo que fuese aún más angosto. En este ejemplo, parece plausible que no importa cuán cercano queramos que f(x) esté de 12, podemos realizar esto tomando x suficientemente cercana a 2. Ahora precisamos la definición de límite. Precisando la definición Seguimos la tradición al utilizar las letras griegas e (épsilon) y d (delta) para representar números positivos arbitrarios (por lo regular pequeños). Decir que f(x) difiere de L en menos que e, significa que o de forma equivalente, Esto significa que f (x) se encuentra en el in- tervalo abierto , como se muestra en la gráfica de la figura 2.1L - e, L + e2 ƒf1x2 - L ƒ 6 e. L - e 6 f1x2 6 L + e, En la sección anterior dimos una definición informal de límite. A continuación damos otra ligeramente mejor, pero todavía informal, reformulando esa definición. Decir que significa que f(x) puede hacerse tan cercana como se desee a L siempre que x sea suficientemente cercana, pero no igual a c. El primer ejemplo ilustra este punto. n EJEMPLO 1 Utilice la gráfica de y = f(x) = 3x2 para determinar qué tan cercana debe estar x de 2 para garantizar que f(x) esté a no menos de 0.05 de 12. SOLUCIÓN Para que f (x) esté a menos de 0.05 de 12,debemos tener 11.95 6 f(x) 6 12.05. En la figura 1 se dibujaron las rectas y = 11.95 y y = 12.05. Si despejamos x de y = 3x2, obtenemos Por lo tanto, y La figura 1 indica que si entonces f (x) satisface 11.95 6 f (x) 6 12.05. Este intervalo para x es aproximadamente 1.99583 6 x 6 2.00416. De los dos extremos de este intervalo, el más cercano a 2 es el superior, 2.00416, y se encuen- tra a 0.00416 de 2. Por lo tanto, si x está a menos de 0.00416 de 2, entonces f(x) está a menos de 0.05 de 12. n 211.95>3 6 x 6 212.05>3 f A212.05>3 B = 12.05.f A211.95>3 B = 11.95x = 2y>3. lím x: c f1x2 = L 1.2 Estudio riguroso (formal) de límites Considere dos puntos a y b en la recta numérica. ¿Cuál es la distancia entre ellos? Si a 6 b, entonces b - a es la distancia; pero si b 6 a, entonces la distancia es a - b. Podemos combi- nar estos enunciados en uno y decir que la distancia es |b - a|. Esta inter- pretación geométrica del valor abso- luto de una diferencia, como la distancia entre dos puntos en una recta numérica, es importante en la comprensión de nuestra definición del límite. El valor absoluto como distancia –2 –1 1 2 3 y x 30 25 20 15 10 5 y = 3x2 1.6 1.8 2 2.42.2 y x 14 13 12 11 10 y = 3x2 y = 12.05 y = 11.95 1.98 1.99 2 2.032.022.01 y x 12.15 12.1 12.05 12 11.95 11.85 11.9 y = 3x2 y = 12.05 y = 11.95 11.95 3 12.05 3 Figura 1 64 Capítulo 1 Límites Por supuesto, si considera la gráfica de y = 3x - 7 (una recta con pendiente 3, como en la figura 5), sabe que para forzar a que 3x - 7 esté cerca de 5 tendría que hacer a x aún más próximo a 4 (más cercano por un factor de un tercio). n Mire la figura 6 y convénzase de que d = 2e sería una elección apropiada para d en la demostración de que n EJEMPLO 3 Demuestre que ANÁLISIS PRELIMINAR Estamos buscando una d tal que Ahora, para Esto indica que funcionará (véase la figura 7) DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea e 7 0 dada. Elegimos Entonces 6 d implica que La cancelación del factor es válida porque implica que y siempre que n n EJEMPLO 4 Demuestre que ANÁLISIS PRELIMINAR Queremos encontrar una d tal que Ahora Parece que funciona, con tal que (Observe que m podría ser positi- va o negativa, así que necesitamos conservar las barras de valor absoluto. Del capítulo 0 recuerde que ). DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea e 7 0 dada. Elegimos Entonces implica que Y en caso de que m = 0, cualquier d funcionará bien ya que Esto último es menor que e para toda x. n n EJEMPLO 5 Demuestre que si c 7 0 entonces ANÁLISIS PRELIMINAR Con respecto a la figura 8, debemos determinar una d tal que 0 6 ƒx - c ƒ 6 d Q ƒ 1x - 1c ƒ 6 e lím x: c 1x = 1c. ƒ 10x + b2 - 10c + b2 ƒ = ƒ 0 ƒ = 0 ƒ 1mx + b2 - 1mc + b2 ƒ = ƒmx - mc ƒ = ƒm ƒ ƒx - c ƒ 6 ƒm ƒ d = e 0 6 ƒx - c ƒ 6 d d = e> ƒm ƒ . ƒab ƒ = ƒa ƒ ƒb ƒ m Z 0.d = e> ƒm ƒ ƒ 1mx + b2 - 1mc + b2 ƒ = ƒmx - mc ƒ = ƒm1x - c2 ƒ = ƒm ƒ ƒx - c ƒ 0 6 ƒx - c ƒ 6 d Q ƒ 1mx + b2 - 1mc + b2 ƒ 6 e lím x: c 1mx + b2 = mc + b. x Z 2. x - 2 x - 2 = 1 x Z 2,0 6 ƒx - 2 ƒx - 2 = ƒ 21x - 22 ƒ = 2 ƒx - 2 ƒ 6 2d = e ` 2x 2 - 3x - 2 x - 2 - 5 ` = ` 12x + 121x - 22 x - 2 - 5 ` = ƒ 2x + 1 - 5 ƒ 0 6 ƒx - 2 ƒd = e>2. d = e>2 3 ƒ 12x + 12 - 5 ƒ 6 e 3 ƒ 21x - 22 ƒ 6 e 3 ƒ 2 ƒ ƒx - 2 ƒ 6 e 3 ƒx - 2 ƒ 6 e 2 ` 2x 2 - 3x - 2 x - 2 - 5 ` 6 e 3 ` 12x + 121x - 22 x - 2 - 5 ` 6 e x Z 2, 0 6 ƒx - 2 ƒ 6 d Q ` 2x 2 - 3x - 2 x - 2 - 5 ` 6 e lím x: 2 2x2 - 3x - 2 x - 2 = 5. lím x: 4 A 12 x + 3 B = 5. 1 2 3 4 5 –3 –2 –1 1 2 3 y x x – 7) = 5 y = 3x – 7 /3 /3 5 Figura 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 y x lí x → + 3) = 5 1 2 x + 3y = 5 Figura 6 1 2 3 4 1 2 3 y x lí x → 2 y = 2x – 2 2x x – 2 = 5 δ δ Figura 7 x f(x) x → c c δ δ  c= f(x) = x Figura 8 Sección 1.2 Estudio riguroso (formal) de límites 65 Ahora Para hacer lo último menor que e se requiere que tengamos DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea e 7 0 dada. Elegimos a Entonces implica que Aquí hay un punto técnico. Empezamos con pero podría suceder que c esté muy cercano a 0 sobre el eje x. Deberíamos insistir en que para que entonces implique que , de modo que esté definida. Así, para un rigor absoluto, elegimos d como el más pequeño entre c y n Nuestra demostración en el ejemplo 5 depende de la racionalización del numera- dor, un truco que con frecuencia es útil en cálculo. n EJEMPLO 6 Demuestre que ANÁLISIS PRELIMINAR Nuestra tarea es encontrar una d tal que Ahora El factor puede hacerse tan pequeño como queramos y sabemos que estará alrededor de 7. Por lo tanto, buscamos una cota superior para . Para hacer esto, primero convenimos en hacer Entonces implica que (desigualdad del triángulo) (La figura 9 ofrece una demostración alternativa de este hecho). Si también requeri- mos que entonces el producto será menor que e. DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea e 7 0 dada. Elegimos a esto es, elegimos a d como el más pequeño entre 1 y Entonces implica que n n EJEMPLO 7 Demuestre que DEMOSTRACIÓN Reproducimos la demostración en el ejemplo 6. Sea dada. Elegimos como Entonces implica que (Desigualdad del triángulo) n Aunque parezca increíblemente perspicaz, en el ejemplo 7 no sacamos a d “de la manga”. Simplemente, esta vez no le mostramos el análisis preliminar. 6 (1 + 2 ƒ c ƒ ) ƒx - c ƒ 6 11 + 2 ƒ c ƒ 2 # e 1 + 2 ƒ c ƒ = e … 1 ƒx - c ƒ + 2 ƒ c ƒ 2 ƒx - c ƒ ƒx2 - c2 ƒ = ƒx + c ƒ ƒx - c ƒ = ƒx - c + 2c ƒ ƒx - c ƒ 0 6 ƒx - c ƒ 6 dd = mín51, e>11 + 2 ƒ c ƒ 26. e 7 0 lím x: c x2 = c2. ƒ 1x2 + x - 52 - 7 ƒ = ƒx2 + x - 12 ƒ = ƒx + 4 ƒ ƒx - 3 ƒ 6 8 # e 8 = e 0 6 ƒx - 3 ƒ 6 de>8. d = mín51, e>86; ƒx + 4 ƒ ƒ x - 3 ƒd … e>8, 6 1 + 7 = 8 … ƒx - 3 ƒ + ƒ 7 ƒ ƒx + 4 ƒ = ƒx - 3 + 7 ƒ ƒx - 3 ƒ 6 dd … 1. ƒx + 4 ƒ ƒx + 4 ƒƒx - 3 ƒ ƒ 1x2 + x - 52 - 7 ƒ = ƒx2 + x - 12 ƒ = ƒx + 4 ƒ ƒx - 3 ƒ 0 6 ƒx - 3 ƒ 6 d Q ƒ 1x2 + x - 52 - 7 ƒ 6 e lím x: 3 1x2 + x - 52 = 7. e1c. 1xx 7 0ƒx - c ƒ 6 d d … c, c 7 0, = ƒx - c ƒ 1x + 1c … ƒx - c ƒ 1c 6 d 1c = e ƒ 1x - 1c ƒ = ` A1x - 1c B A1x + 1c B 1x + 1c ` = ` x - c 1x + 1c ` 0 6 ƒx - c ƒ 6 d d = e1c. ƒx - c ƒ 6 e1c. = ƒx - c ƒ 1x + 1c … ƒx - c ƒ 1c ƒ 1x - 1c ƒ = ` A1x - 1c B A1x + 1c B 1x + 1c ` = ` x - c 1x + 1c ` ) x 3 ) 1 ⇒ 2 < x < 4 ⇒ 6 < x + 4 < 8 ⇒ + 4 ) < 8 Figura 9 66 Capítulo 1 Límites n EJEMPLO 8 Demuestre que ANÁLISIS PRELIMINAR Estudie la figura 10. Debemos determinar una d tal que Ahora El factor es problemático, en especial si x está cerca de cero. Podemos acotar este factor si podemos mantener a x alejado de 0. Con ese fin, observe que de modo que Por lo tanto, si elegimos tenemos éxito en hacer Por último, si también pedimos que entonces DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea dada. Elegimos Entonces implica que n Límites unilaterales No se necesita mucha imaginación para dar las definiciones del límite por la derecha y del límite por la izquierda.e–d ` 1 x - 1 c ` = ` c - x xc ` = 1 ƒx ƒ # 1 ƒ c ƒ # ƒx - c ƒ 6 1 ƒ c ƒ >2 # 1 ƒ c ƒ # ec 2 2 = e 0 6 ƒx - c ƒ 6 d d = mín5 ƒ c ƒ >2, ec2>26.e 7 0 1 ƒx ƒ # 1 ƒ c ƒ # ƒx - c ƒ 6 1 ƒ c ƒ >2 # 1 ƒ c ƒ # ec 2 2 = e d … ec2>2, ƒx ƒ Ú ƒ c ƒ >2.d … ƒ c ƒ >2, ƒx ƒ Ú ƒ c ƒ - ƒx - c ƒ ƒ c ƒ = ƒ c - x + x ƒ … ƒ c - x ƒ + ƒx ƒ 1> ƒx ƒ ` 1 x - 1 c ` = ` c - x xc ` = 1 ƒx ƒ # 1 ƒ c ƒ # ƒx - c ƒ 0 6 ƒx - c ƒ 6 dQ ` 1 x - 1 c ` 6 e lím x: c 1 x = 1 c , c Z 0. Al lector le dejamos la definición para el límite por la izquierda. (Véase el pro- blema 5). El concepto presentado en esta sección es probablemente el tema más in- trincado y elusivo en un curso de cálculo. Le podría tomar algún tiempo entender este concepto, pero vale la pena. El cálculo es el estudio de límites, de modo que una cla- ra comprensión del concepto de límite es una meta valiosa. Por lo regular, el descubrimiento del cálculo se atribuye a Isaac Newton (1642-1727) y a Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), quienes trabajaron de manera inde- pendiente a finales de 1600. Aunque Newton y Leibniz, junto con sus sucesores, descu- brieron muchas propiedades del cálculo y se encontró que tiene muchas aplicaciones en las ciencias físicas, no fue sino hasta el siglo XIX que se propuso una definición pre- cisa de un límite.Augustin Louis Cauchy (1789-1857), un ingeniero y matemático fran- cés, dio esta definición: “Si los valores sucesivos atribuidos a la misma variable que se aproxima indefinidamente a un valor fijo, tal que ellos finalmente difieren de él por tan poco como uno quiera, este último es llamado el límite de todos los demás.” Incluso Cauchy, un maestro del rigor, fue un poco vago en su definición de límite. ¿Qué signifi- ca “valores sucesivos”? ¿Qué significa “finalmente difieren”? La frase “finalmente di- fieren de él por tan poco como uno quiera” contiene la semilla de la definición ,e–d e–d e–d f(x) x f (x 1 l x c 1 = 1 c δ δ Figura 10 Definición Límite por la derecha Decir que significa que para cada existe una correspondiente d 7 0, tal que 0 6 x - c 6 d Q ƒf1x2 - L ƒ 6 e e 7 0lím x: c+ f1x2 = L Sección 1.3 Teoremas de límites 69 n EJEMPLO 3 Determine SOLUCIÓN lím x: 4 2x2 + 9 x . n n EJEMPLO 4 Si y encuentre SOLUCIÓN lím x:3 Cf21x2 # 23 g1x2 D lím x: 3 g1x2 = 8,lím x: 3 f1x2 = 4 Recuerde que una función polinomial f tiene la forma mientras que una función racional f es el cociente de dos funciones polinomiales, esto es, f1x2 = anx n + an- 1x n- 1 + Á + a1x + a0 bmx m + bm- 1x m- 1 + Á + b1x + b0 f1x2 = anxn + an- 1xn- 1 + Á + a1x + a0 7 lím x 4 x 2 + 9 x = x2 + 9lím x 4 lím x x 4 = (x 2 + 9)lím x 4 4 = 4 1 lím x 2 + lím 9 x 4 x 4 4 = 4 1 x 4 8,1 9,2 x[ ] 2 + 9 = 4 1 4 2 + 9 = 4 5 2 lím [ f 2(x) x 3 6 g(x)] 3 = lím f 2(x) x 3 g(x) 3 3 lím x 3 = x 3 8,9 lím f (x)[ ] 2 g(x)lím x 3 8 32 = [4] = 32 Teorema B Teorema de sustitución Si f es una función polinomial o una función racional, entonces con tal que f(c) esté definida. En el caso de una función racional, esto significa que el valor del denominador en c no sea cero. lím x:c f1x2 = f1c2 La demostración del teorema B se obtiene con base en aplicaciones repetidas del teorema A. Observe que el teorema B nos permite encontrar límites de funciones poli- nomiales y racionales con la simple sustitución de c por x en toda la expresión, siempre y cuando el denominador de la función racional no sea cero en c. n EJEMPLO 5 Encuentre lím x: 2 7x5 - 10x4 - 13x + 6 3x2 - 6x - 8 . Cuando aplicamos el teorema B, teorema de sustitución, decimos que evaluamos el límite por sustitución. No todos los límites pueden evaluarse por sustitución; considere El teorema de sustitución no se apli- ca aquí, ya que el denominador es cero cuando x = 1, pero el límite sí existe. lim x:1 x2 - 1 x - 1 . Evaluación de un límite por “sustitución” n 70 Capítulo 1 Límites SOLUCIÓN n n EJEMPLO 6 Determine SOLUCIÓN No se aplican ni el teorema B ni la afirmación 7 del teorema A, ya que el límite del denominador es cero. Sin embargo, como el límite del numerador es 11, ve- mos que cuando x se aproxima a 1 estamos dividiendo un número cercano a 11 entre un número positivo cercano a cero. El resultado es un número positivo grande. De hecho, el número resultante puede hacerlo tan grande como quiera tomando a x suficientemen- te cercana a 1. Decimos que el límite no existe. (Más adelante, en este capítulo —véase la sección 1.5— nos permitiremos decir que el límite es +q). n En muchos casos no se puede aplicar el teorema B, ya que la sustitución de c pro- voca que el denominador se haga igual a 0. En casos como éste, en ocasiones sucede que la función se puede simplificar mediante la factorización. Por ejemplo, podemos escribir Debemos ser cuidadosos en este último paso. La fracción es igual a la del lado izquierdo del signo de igualdad sólo si x no es igual a 2. Si el lado izquier- do está indeterminado (ya que el denominador es 0), mientras que el lado derecho es igual a Esto plantea la pregunta acerca de si los límites son iguales. La respuesta se encuentra en el siguiente teorema. lím x: 2 x2 + 3x - 10 x2 + x - 6 y lím x: 2 x + 5 x + 3 12 + 52>12 + 32 = 7>5. x = 2, 1x + 52>1x + 32 x2 + 3x - 10 x2 + x - 6 = 1x - 221x + 52 1x - 221x + 32 = x + 5 x + 3 lím x: 1 x3 + 3x + 7 x2 - 2x + 1 = lím x: 1 x3 + 3x + 7 1x - 122 . lím x:2 7x5 - 10x4 - 13x + 6 3x2 - 6x - 8 = 71225 - 101224 - 13122 + 6 31222 - 6122 - 8 = - 11 2 Teorema C Si para toda x en un intervalo abierto que contenga a c, excepto po- siblemente en el mismo número c, y si existe entonces existe y lím x: c f1x2 = lím x: c g1x2. lím x: c f1x2lím x: c g1x2 f1x2 = g1x2 n EJEMPLO 7 Determine SOLUCIÓN n n EJEMPLO 8 Determine SOLUCIÓN No se aplica el teorema B porque el denominador es 0 cuando x = 2. Al sustituir x = 2 en el numerador también obtenemos 0, por lo que el cociente toma una forma carente de significado 0>0 en x = 2. Cuando esto suceda deberemos buscar algu- na simplificación algebraica, como la factorización. lím x:2 x2 + 3x - 10 x2 + x - 6 = lím x:2 1x - 221x + 52 1x - 221x + 32 = límx:2 x + 5 x + 3 = 7 5 lím x: 2 x2 + 3x - 10 x2 + x - 6 . lím x: 1 x - 1 1x - 1 = lím x: 1 A1x - 1 B A1x + 1 B 1x - 1 = lím x: 1 A1x + 1 B = 21 + 1 = 2 lím x: 1 x - 1 1x - 1 . Sección 1.3 Teoremas de límites 71 El paso de la segunda a la última igualdad se justifica por medio del teorema C, ya que para toda x, salvo para x = 2. Una vez que aplicamos el teorema C, podemos evaluar el límite por medio de sustitución (es decir, mediante la aplicación del teorema B). n Demostración del teorema A (opcional) No debe sorprenderse demasiado cuando le decimos que las demostraciones de algunas partes del teorema A son muy complicadas. Como consecuencia de esto, aquí sólo demostramos las primeras cinco partes y dejamos las otras al apéndice (sección A.2, teorema A). Para que se dé cuen- ta, podría intentar con los problemas 35 y 36. Demostraciones de las afirmaciones 1 y 2 Estas afirmaciones resultan de (véase el ejemplo 4 de la sección 1.2) utilizando primero m = 0 y luego m = 1, b = 0. n Demostración de la afirmación 3 Si k = 0, el resultado es trivial, así que supo- nemos que k Z 0. Sea e 7 0 dada. Por hipótesis, existe; llamemos L a su valor. Por definición de límite existe un número d, tal que Es seguro que algunos reclamarían que pongamos e>| k | en lugar de e al final de la desigualdad anterior. Bueno, ¿acaso e>| k | no es un número positivo? Sí. ¿Acaso la de- finición de límite no requiere que para cualquier número positivo exista una corres- pondiente d? Sí. Ahora, para una d así determinada (nuevamente por medio de un análisis prelimi- nar que no hemos mostrado aquí), aseguramos que 0 6 |x - c| 6 d implica que Esto muestra que n Demostración de la afirmación 4 Respecto a la figura 1. Sea y Si e es cualquier número positivo, entonces e>2 es positivo. Como existe un número positivo d1 tal que Como existe un número positivo d2, tal que Elegimos esto es, elegimos d como la más pequeña de d1 y d2. Enton- ces 0 6 | x - c | 6 d implica que En esta cadena, la primera desigualdad es la desigualdad del triángulo (véase la sección 0.2); la segunda resulta de la elección de d. Acabamos de demostrar que Por lo tanto, nlím x:c [f1x2 + g1x2] = L + M = lím x:c f1x2 + lím x:c g1x2 0 6 ƒx - c ƒ 6 d Q ƒf1x2 + g1x2 - 1L + M2 ƒ 6 e 6 e 2 + e 2 = e … ƒf1x2 - L ƒ + ƒg1x2 - M ƒ ƒf1x2 + g1x2 - 1L + M2 ƒ = ƒ [f1x2 - L] + [g1x2 - M] ƒ d = mín5d1, d26; 0 6 ƒx - c ƒ 6 d2 Q ƒg1x2 - M ƒ 6 e 2 lím x:c g1x2 = M, 0 6 ƒx - c ƒ 6 d1 Q ƒf1x2 - L ƒ 6 e 2 lím x:c f1x2 = L, lím x:c g1x2 = M. lím x:c f1x2 = L lím x:c kf1x2 = kL = k lím x:c f1x2 ƒkf1x2 - kL ƒ = ƒk ƒ ƒf1x2 - L ƒ 6 ƒk ƒ e ƒk ƒ = e 0 6 ƒx - c ƒ 6 d Q ƒf1x2 - L ƒ 6 e ƒk ƒ lím x:c f1x2 = mc + blím x: c 1mx + b2 (x - 2)(x + 5) (x - 2)(x + 3) = x + 5 x + 3 En un primer curso de cálculo, ¿cuán- tos teoremas deben demostrarse? Los profesores de matemáticas han discutido largo y tendido en torno a esto y acerca del balance correcto entre: n lógica e intuición n demostración y explicación n teoría y aplicación Un gran científico de hace mucho tiempo dio un sabio consejo. “Quien ama la práctica sin teoría es como el marinero que se embarca sin timón ni brújula y nunca sabe a dónde ir”. Leonardo da Vinci ¿Opcional? f + g g f y x 2 1 c = mín ( 1, 2) L ! ! /2 /2 M ! ! /2 /2 L + M ! ! Figura 1 74 Capítulo 1 Límites Demostración de la afirmación 1 Primero establecemos el caso especial en el que c = 0. Supóngase que t 7 0 y que los puntos A, B y P están definidos como en la figura 1. Entonces Pero | BP | = sen t y arco(AP) = t, de modo que Si t 6 0, entonces t 6 sen t 6 0. Así que podemos aplicar el teorema del emparedado (teorema 1.3D) y concluir que Para completar la demostración, también necesitaremos el resultado de que Ésta se deduce aplicando una identidad trigonométrica y el teorema 1.3A: Ahora, para demostrar que primero hacemos h = t - c de modo que h: 0 cuando t: c. Entonces n Demostración de la afirmación 2 Otra vez utilizamos la identidad junto con el teorema 1.3A. Si cos c 7 0, entonces para t cercano a c tenemos Por lo tanto, Por otra parte, si cos c 6 0, entonces para t cercano a c tenemos El caso c = 0 se trabajó en la demostración de la afirmación 1. n Las demostraciones de las demás afirmaciones se dejan como ejercicios. (Véanse los problemas 21 y 22). El teorema A puede utilizarse junto con el teorema 1.3A para evaluar otros límites. n EJEMPLO 1 Encuentre SOLUCIÓN n Dos límites importantes que no pueden evaluarse por sustitución son lím t:0 sen t t y lím t:0 1 - cos t t lím t:0 t2 cos t t + 1 = a lím t:0 t2 t + 1 b A lím t:0 cos t B = 0 # 1 = 0 lím t:0 t2 cos t t + 1 . = -2cos2 c = - ƒ cos c ƒ = cos c lím t:c cos t = lím t:c A -21 - sen2 t B = -21 - A lím t:c sen t B2 = -21 - sen2 c cos t = -21 - sen2 t. lím t:c cos t = lím t:c 21 - sen2 t = 21 - A lím t:c sen t B2 = 21 - sen2 c = cos c cos t = 21 - sen2 t. = 1sen c2112 + 1cos c2102 = sen c = 1sen c2 A lím h:0 cos h B + 1cos c2 A lím h:0 sen h B = lím h:0 1sen c cos h + cos c sen h2 1Addition Identity2 límt:c sen t = límh:0 sen1c + h2 lím t:c sen t = sen c, lím t:0 cos t = lím t:0 21 - sen2 t = 21 - A lím t:0 sen t B2 = 21 - 02 = 1 lím t:0 cos t = 1. lím t:0 sen t = 0. 0 6 sen t 6 t 0 6 ƒBP ƒ 6 ƒAP ƒ 6 arc1AP2 O 1 B A(1, 0) t P(cos t, sen t) (0, 1) y x Figura 1 Teorema A Límites de funciones trigonométricas Para todo número real c en el dominio de la función, 1. 2. 3. 4. 5. 6. lím t:c csc t = csc clím t:c sec t = sec c lím t:c cot t = cot clím t:c tan t = tan c lím t:c cos t = cos clím t:c sen t = sen c (Identi ad de la suma de ángulos) Sección 1.4 Límites que involucran funciones trigonométricas 75 O B A(1, 0) t P(cos t, sen t) (0, 1) y x C t Figura 2 Teorema B Límites trigonométricos especiales 1. 2. lím t:0 1 - cos t t = 0lím t:0 sen t t = 1 En la sección 1.1 encontramos el primero de estos límites, en donde conjeturamos que el límite era 1. Ahora demostramos que en verdad 1 es el límite. Demostración de la afirmación 1 En la demostración del teorema A de esta sección mostramos que Para -p>2 … t … p>2, t Z 0 (recuerde, no importa qué suceda en t = 0), dibuje el segmen- to de recta vertical BP y el arco circular BC, como se muestra en la figura 2. (Si t 6 0, entonces considere la región sombreada reflejada con respecto al eje x.) De la figura 2 se hace evidente que área(sector OBC) … área(¢OBP) … área(sector OAP) El área de un triángulo es un medio del producto de su base por la altura, y el área de un sector circular con ángulo central t y radio r es (véase el problema 42 de la sección 0.7). Al aplicar estos resultados a las tres regiones dadas que, después de multiplicar por 2 y dividir entre el número positivo | t |cos t, se obtiene Como la expresión (sen t)>t es positiva para -p>2 … t … p>2, t Z 0, tenemos | sen t | > | t | = (sen t)>t. Por lo tanto, Como estamos buscando el límite de la función de en medio y conocemos el límite de cada una de las funciones “exteriores”, esta doble desigualdad pide que apliquemos el teorema del emparedado. Cuando lo aplicamos, obtenemos n Demostración de la afirmación 2 El segundo límite se deduce con facilidad a partir del primero. Sólo multiplique el numerador y el denominador por (1 + cos t); esto da n Haremos uso explícito de estos dos límites en el capítulo 2. En este momento po- demos usarlos para evaluar otros límites. n EJEMPLO 2 Encuentre cada límite, (a) (b) (c) lím x:0 sen 4x tan x lím t:0 1 - cos t sen t lím x:0 sen 3x x = a lím t:0 sen t t b lím t:0 sen t lím t:0 11 + cos t2 = 1 # 0 2 = 0 = lím t:0 sen2 t t11 + cos t2 lím t:0 1 - cos t t = lím t:0 1 - cos t t # 1 + cos t 1 + cos t = lím t:0 1 - cos2 t t11 + cos t2 lím t:0 sen t t = 1 cos t … sen t t … 1 cos t cos t … ƒ sen t ƒ ƒ t ƒ … 1 cos t 1 2 1cos t22 ƒ t ƒ … 1 2 cos t ƒ sen t ƒ … 1 2 12 ƒ t ƒ 1 2 r 2 ƒ t ƒ lím t:0 cos t = 1 y lím t:0 sen t = 0 76 Capítulo 1 Límites y x 1 0.5 –0.5 –1 –1 1–0.5 0.5 y = ) x ) y = – ) x ) y = x cos(1/x) Figura 3 SOLUCIÓN (a) Aquí, el argumento de la función seno es 3x, no sólo x, como lo requiere el teorema B. Sea y = 3x. Entonces y: 0 si y sólo si x: 0, de modo que Por lo tanto, (b) (c) n n EJEMPLO 3 Haga un bosquejo de las gráficas de u(x) = | x |, l(x) = -| x | y f(x) = x cos(1>x). Utilice estas gráficas junto con el teorema del emparedado (teorema D de la sección 1.3) para determinar SOLUCIÓN Observe que cos(1>x) siempre está entre -1 y 1 y f(x) = x cos(1>x). Por lo tanto, x cos(1>x) siempre estará entre -x y x, si x es positiva y entre x y -x, si x es nega- tiva. En otras palabras, la gráfica de y = x cos(1>x) está entre las gráficas de y = | x | y y = -| x |, como se muestra en la figura 3. Sabemos que (véase el problema 27 de la sección 1.2) y como la gráfica de y = f(x) = x cos(1>x) está “emparedada” entre las gráficas de u(x) = | x | y l(x) = -| x |, ambas tienden a cero cuando x : 0 y podemos aplicar el teorema del emparedado para concluir que nlím x: 0 f1x2 = 0. lím x: 0 ƒx ƒ = lím x: 0 1- ƒx ƒ 2 = 0 lím x:0 f1x2. = 4 1 # 1 = 4 = 4lím x:0 sen 4x 4x a lím x:0 sen x x b a lím x:0 1 cos x b lím x:0 sen 4x tan x = lím x:0 4 sen 4x 4x sen x x cos x lím t:0 1 - cos t sen t = lím t:0 1 - cos t t sen t t = lím t:0 1 - cos t t lím t:0 sen t t = 0 1 = 0 lím x:0 sen 3x x = 3lím x:0 sen 3x 3x = 3 lím x:0 sen 3x 3x = lím y:0 sen y y = 1 lím x:0 sen 3x x = lím x:0 3 sen 3x 3x = 3lím x:0 sen 3x 3x Revisión de conceptos 1. _____. 2. _____.lím t:p>4 tan t = lím t:0 sen t = 3. El límite no puede evaluarse por sustitución porque ________. 4. = _____.lím t: 0 sen t t lím t: 0 sen t t Sección 1.5 Límites al infinito; límites infinitos 79 4 5 0 –2 –1–3 –1 21 3 4 3 2 1 y x f (x) = 2x3 x3 Figura 4 Definición Límite de una sucesión Sea an definida para todos los números naturales mayores o iguales que algún nú- mero c. Decimos que , si para cada e 7 0 existe un correspondiente núme- ro natural M, tal que n 7 M Q ƒ an - L ƒ 6 e lím n:q an = L an n 1 0.8 0.6 0.4 0.2 10 15 205 Figura 5 Definición Límite infinito Decimos que , si para cada número positivo M corresponde una d 7 0 tal que 0 6 x - c 6 d Q f1x2 7 M lím x: c+ f1x2 = q n EJEMPLO 3 Encuentre SOLUCIÓN La gráfica de f (x) = 2x3>(1 + x3) se muestra en la figura 4. Para encontrar el límite, divida el numerador y el denominador entre x3. n Límites de sucesiones El dominio para algunas funciones es el conjunto de los números naturales {1, 2, 3, . . .}. En esta situación, por lo regular escribimos an en lugar de a(n) para denotar al n-ésimo término de la sucesión, o {an} para denotar a toda la sucesión. Por ejemplo, podríamos definir la sucesión por medio de an = n>(n + 1). Considere lo que sucede cuando n se hace grande. Unos cuantos cálculos muestran que Pareciera que estos valores se aproximan a 1, de modo que sería razonable decir que para esta sucesión La siguiente definición proporciona significado a esta idea del límite de una sucesión. lím n:q an = 1. a1 = 1 2 , a2 = 2 3 , a3 = 3 4 , a4 = 4 5 , Á , a100 = 100 101 , Á lím x:- q 2x3 1 + x3 = lím x:- q 2 1>x3 + 1 = 2 0 + 1 = 2 lím x: - q 2x3 1 + x3 . Observe que esta definición es casi idéntica a la definición de La única diferencia es que ahora pedimos que el argumento de la función sea un número natu- ral. Como podríamos esperar, el teorema principal de los límites (teorema 1.3A) se cumple para las sucesiones. n EJEMPLO 4 Determine SOLUCIÓN La figura 5 muestra una gráfica de . Al aplicar el teorema 1.3A se obtiene n Necesitaremos el concepto de límite de una sucesión en la sección 3.7 y en el capí- tulo 4. Límites infinitos Considere la gráfica de f(x) = 1>(x - 2) que se muestra en la fi- gura 6. Cuando x se acerca a 2 por la izquierda, la función parece que disminuye sin co- ta. De forma análoga, cuando x se aproxima a 2 por la derecha, la función parece que aumenta sin cota. Por lo tanto, no tiene sentido hablar acerca de pero creemos que es razonable escribir Aquí está la definición precisa. lím x:2- 1 x - 2 = - q y lím x:2+ 1 x - 2 = q lím x: 2 1> 1x - 22, lím n:q A n + 1 n + 2 = a lím n:q n + 1 n + 2 b 1>2 = a lím n:q 1 + 1>n 1 + 2>n b 1>2 = a 1 + 0 1 + 0 b 1>2 = 1 A n + 1 n + 2 an = lím n:q A n + 1 n + 2 . lím x:q f1x2. 1 2 3 4 –2 –1 1 2 y x f (x) = 1 x – 2 Figura 6 80 Capítulo 1 Límites –1 1 2 3 1 2 3 y x f (x) = 1 (x – 1)2 Figura 7 En otras palabras, f(x) puede hacerse tan grande como deseemos (mayor que cualquier M que elijamos) tomando x lo suficientemente cerca, pero a la derecha de c. Existen definiciones correspondientes para (Véase los problemas 51 y 52). n EJEMPLO 5 Encuentre y SOLUCIÓN La gráfica de f(x) = 1>(x - 1)2 se muestra en la figura 7. Cuando x: 1+, el denominador permanece positivo pero tiende a cero, mientras que el numerador es 1 para toda x. Así, la razón 1>(x - 1)2 puede hacerse arbitrariamente grande restrin- giendo la cercanía de x respecto de 1, pero a la derecha de él. De manera análoga, cuan- do x: 1-, el denominador es positivo y puede hacerse arbitrariamente cercano a cero. Así, 1>(x - 1)2 puede hacerse arbitrariamente grande restringiendo a que x esté cerca de 1, pero a la izquierda de él. Por lo tanto, concluimos que Ya que ambos límites son q, también podríamos escribir n n EJEMPLO 6 Encuentre SOLUCIÓN Cuando x: 2+ vemos que x + 1 : 3, x - 3 : -1 y x - 2 : 0+; por lo tanto, el numera- dor se aproxima a 3, pero el denominador es negativo y tiende a cero. Concluimos que n Relación con las asíntotas Las asíntotas se estudiaron brevemente en la sec- ción 0.5, pero ahora podemos decir más acerca de ellas. La recta x = c es una asíntota vertical de la gráfica de y = f(x), si cualquiera de las siguientes cuatro proposiciones es verdadera. 1. 2. 3. 4. Así, en la figura 6 la recta x = 2 es una asíntota vertical. Del mismo modo, en el ejemplo 6 las rectas x = 2 y x = 3, aunque no se muestran gráficamente, son asíntotas verticales. De una forma similar, la recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de y = f(x) si se cumple La recta y = 0 es una asíntota horizontal en las figuras 6 y 7. n EJEMPLO 7 Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de y = f(x), si f1x2 = 2x x - 1 lím x:q f1x2 = b o lím x:- q f1x2 = b lím x:c- f1x2 = - qlím x:c- f1x2 = q lím x:c+ f1x2 = - qlím x:c+ f1x2 = q lím x:2+ x + 1 1x - 321x - 22 = - q lím x:2+ x + 1 x2 - 5x + 6 = lím x:2+ x + 1 1x - 321x - 22 lím x:2+ x + 1 x2 - 5x + 6 . lím x:1 1 1x - 122 = q lím x:1+ 1 1x - 122 = q y límx:1- 11x - 122 = q lím x: 1+ 1 1x - 122.límx: 1- 1 1x - 122 lím x:- q f1x2 = - q lím x: - q f1x2 = q lím x:q f1x2 = - q lím x:q f1x2 = q lím x:c- f1x2 = - q lím x:c- f1x2 = q lím x:c+ f1x2 = - q En las secciones anteriores pedimos que un límite sea igual a un número real. Por ejemplo, dijimos que no existe porque no se aproxima a un número real cuando x se aproxima a 2 por la derecha. Muchos matemáti- cos sostienen que este límite no existe, a pesar de que escribimos ; decir que el límite es q es describir la forma particular en que el límite no existe. Aquí utilizaremos la frase “existe en el sentido infinito” para describir tales límites. lím x:2+ 1 x - 2 = q 1> 1x - 22 lím x:2+ 1 x - 2 ¿Existen los límites infinitos? Sección 1.5 Límites al infinito; límites infinitos 81 –2 –1 2 3 4 1 3 4 x y f (x 2x x – 1 Figura 8 SOLUCIÓN Con frecuencia tenemos una asíntota vertical en un punto en donde el denominador es cero, y en este caso así es, ya que Por otra parte, y así y = 2 es una asíntota horizontal. La gráfica de y = 2x>(x - 1) se muestra en la fi- gura 8. n lím x:q 2x x - 1 = lím x:q 2 1 - 1>x = 2 y límx:- q 2x x - 1 = 2 lím x:1+ 2x x - 1 = q y lím x:1- 2x x - 1 = - q Revisión de conceptos 1. Decir que x:q significa que _____; decir que significa que _____. Dé sus respuestas en lenguaje informal. 2. Decir que significa que _____; decir que significa que _____. Dé sus respuestas en lenguaje informal. lím x: c- f1x2 = - q lím x: c+ f1x2 = q lím x:q f1x2 = L 3. Si entonces la recta _____ es una asíntota ______ de la gráfica de y = f(x). 4. Si entonces la recta ________ es una asínto- ta _______ de la gráfica de y = f(x). lím x: 6 + f1x2 = q , lím x:q f1x2 = 6, Conjunto de problemas 1.5 En los problemas del 1 al 42 determine los límites. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. Sugerencia: divida el numerador y el de- nominador entre x. Observe que, para 20. lím x:q 22x + 1 x + 4 21x2 + 32>x2. x 7 0, 2x2 + 3>x = lím x:q 2x + 1 2x2 + 3. lím n:q n n2 + 1 lím n:q n2 n + 1 lím n:q n2 n2 + 1 lím n:q n 2n + 1 lím x:q C x2 + x + 3 1x - 121x + 12límx:q C3 1 + 8x2 x2 + 4 lím x:q C3 px3 + 3x 22x3 + 7xlímx:q 32x3 + 3x 22x3 lím u:q sen2 u u 2 - 5 lím x:q 3x3 - x2 px3 - 5x2 lím u:- q pu 5 u 5 - 5u4 lím x:q x3 2x3 - 100x2 lím x:q x2 x2 - 8x + 15 lím x:q x2 1x - 5213 - x2 lím t:- q t t - 5 lím t:- q t2 7 - t2 lím x:q x2 5 - x3 lím x:q x x - 5 21. Sugerencia: multiplique y divida por 22. 23. Sugerencia: divida el numerador y el de- nominador entre y2. 24. donde a0 Z 0, b0 Z 0 y n es un número natural. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. lím x:0- Œ x œ x lím x:0+ Œ x œ x lím x:2+ x2 + 2x - 8 x2 - 4 lím x:3- x2 - x - 6 x - 3 lím u:1p>22 + pu cos u lím x:3- x3 x - 3 lím u:p + u 2 sen u lím x:5- x2 1x - 5213 - x2 lím x:23 5 + x2 5 - x3 lím t:3- t2 9 - t2 lím t:-3+ t2 - 9 t + 3 lím x:4+ x x - 4 lím n:q n2 2n3 + 2n + 1límn:q n 2n2 + 1 lím x:q a0x n + a1x n - 1 + Á + an - 1x + an b0x n + b1x n - 1 + Á + bn - 1x + bn , lím y: - q 9y3 + 1 y2 - 2y + 2 . lím x:q A2x2 + 2x - x B 22x2 - 5.22x2 + 3 + lím x:q A22x2 + 3 - 22x2 - 5 B . 84 Capítulo 1 Límites –2 –1–4 –3 1 2 3 4 1 2 3 4 y x f (x) = ) x ) Figura 3 1 2 3 4 5 1 2 3 y x f (x) =x Figura 4 Teorema B Continuidad de las funciones valor absoluto y raíz n-ésima La función valor absoluto es continua en todo número real c. Si n es impar, la función raíz n-ésima es continua en todo número real c; si n es par, la función raíz n-ésima es continua en todo número real positivo. Teorema C Continuidad en operaciones con funciones Si f y g son continuas en c, entonces también lo son kf, f + g, f - g, f ? g, f>g (con tal que g(c) Z 0), f n, (siempre que f(c) 7 0, si n es par).2n f Recuerde la función valor absoluto f(x) = | x |; su gráfica se muestra en la figura 3. Para x 6 0, f(x) = -x, es una función polinomial; para x 7 0, f(x) = x, es otra función po- linomial.Así, por el teorema A, |x| es continua en todos los números diferentes de cero. Pero (véase el problema 27 de la sección 1.2). Por lo tanto, | x | también es continua en cero por lo que es continua en todas partes. Por medio del teorema principal sobre límites (teorema 1.3A) siempre que c 7 0, cuando n es par. Esto significa que es continua en cada punto donde tiene sentido hablar acerca de continuidad. En particular, es continua en cada número real c 7 0 (véase la figura 4). Resumimos. f1x2 = 1x f1x2 = 1n x lím x:c 1n x = 2n lím x:c x = 1n c lím x:0 ƒx ƒ = 0 = ƒ0 ƒ Continuidad en operaciones con funciones ¿Las operaciones ordinarias entre funciones preservan la continuidad? Sí, de acuerdo con el teorema siguiente. En éste, f y g son funciones, k es una constante y n es un entero positivo. Demostración Todos estos resultados son consecuencias fáciles de los correspon- dientes hechos para límites del teorema 1.3A. Por ejemplo, ese teorema, combinado con el hecho de que f y g son continuas en c, produce Esto es precisamente lo que significa decir que f ? g es continua en c. n n EJEMPLO 2 ¿En qué números es conti- nua? SOLUCIÓN No necesitamos considerar números no positivos, ya que F no está defi- nida en tales números. Para cualquier número positivo, todas las funciones y x2 son continuas (teoremas A y B). Se deduce, con base en el teorema C, que y por último, son continuas en cada número positivo. n La continuidad de funciones trigonométricas se deduce del teorema 1.4A. 13 ƒx ƒ - x22 A1x + 13 x B 1x + 13 x,3 ƒx ƒ - x2,3 ƒx ƒ , ƒx ƒ , 13 x,1x, F1x2 = 13 ƒx ƒ - x22> A1x + 13 x B lím x:c f1x2g1x2 = lím x:c f1x2 # lím x:c g1x2 = f1c2g1c2 Teorema D Continuidad de funciones trigonométricas Las funciones seno y coseno son continuas en todo número real c. Las funciones tan x, cot x, sec x y csc x son continuas en todo número real c en sus dominios. Sección 1.6 Continuidad de funciones 85 Teorema E Teorema del límite de composición de funciones Si y si f es continua en L, entonces En particular, si g es continua en c y f es continua en g(c), entonces la composición f g es continua en c. lím x: c f1g1x22 = f A lím x: c g1x2 B = f1L2 lím x: c g1x2 = L x g g x) f ( (x)) f (L) L c f ))) ))) ))))) )))) ))) ))) ) ! 1 ! ) 2 Figura 6 Demostración El teorema 1.4A dice que para todo número real c en el dominio de la función y así sucesivamente para las seis funciones trigonométricas. Éstas son exactamente las condiciones requeridas para que estas funciones sean continuas en cada número real en sus respectivos dominios. n n EJEMPLO 3 Determine todos los puntos de discontinuidad de x Z 0, 1. Clasifique cada punto de discontinuidad como removible o no removible. SOLUCIÓN Mediante el teorema D, el numerador es continuo en todo número real. El denominador también es continuo en todo número real, pero cuando x = 0 o x = 1, el denominador es 0. Por lo tanto, con base en el teorema C, f es continua en todo nú- mero real, excepto x = 0 y x = 1. Como podríamos definir f(0) = 1 y, allí, la función sería continua. Por lo que x = 0 es una dis- continuidad removible. Además, como no existe forma de definir f(1) para hacer que f sea continua en x = 1. Por lo tanto, x = 1 es una discontinuidad no removible. Una gráfica de y = f(x) se muestra en la figura 5. n Existe otra operación con funciones, la composición, que será muy importante en el trabajo posterior. También preserva la continuidad. lím x:1 + sen x x(1 - x) = - q y lím x:1 - sen x x(1 - x) = q lím x:0 sen x x(1 - x) = lím x:0 sen x x # lím x:0 1 (1 - x) = (1)(1) = 1 f(x) = sen x x(1 - x) , lím x: c sen x = sen c, lím x: c cos x = cos c, Demostración del teorema E (opcional) Demostración Sea e 7 0 dada. Como f es continua en L existe una d1 7 0 corres- pondiente, tal que y así (véase la figura 6) Pero ya que para una d1 7 0 dada existe una correspondiente d2 7 0, tal que Cuando reunimos estos dos hechos, tenemos Esto demuestra que lím x:c f1g1x22 = f1L2 0 6 ƒx - c ƒ 6 d2 Q ƒf1g1x22 - f1L2 ƒ 6 e 0 6 ƒx - c ƒ 6 d2 Q ƒg1x2 - L ƒ 6 d1 lím x: c g1x2 = L, ƒg1x2 - L ƒ 6 d1 Q ƒf1g1x22 - f1L2 ƒ 6 e ƒ t - L ƒ 6 d1 Q ƒf1t2 - f1L2 ƒ 6 e 1 y x 2 1 –1 –2 π 2 y = sen x x(1 – x) π 2 π – Figura 5 86 Capítulo 1 Límites La segunda proposición en el teorema E se deduce de la observación de que si g es continua en c entonces L = g(c). n n EJEMPLO 4 Demuestre que h(x) = |x2 - 3x + 6| es continua en todo número real. SOLUCIÓN Sea f(x) = | x | y g(x) = x2 - 3x + 6. Ambas son continuas en cada número real y, por lo tanto, su composición también lo es. n n EJEMPLO 5 Demuestre que es continua excepto en 3 y -2. SOLUCIÓN Así, la función racional es continua excepto en 3 y -2 (teorema A). Del teorema D sabemos que la función se- no es continua en todo número real. Así, con base en el teorema E concluimos que, co- mo h(x) = sen(g(x)), h también es continua excepto en 3 y -2. n Continuidad en un intervalo Hasta el momento hemos estudiado continui- dad en un punto.Ahora, deseamos analizar la continuidad en un intervalo. La continui- dad en un intervalo tiene que significar continuidad en cada punto de ese intervalo. Esto es exactamente lo que significa para un intervalo abierto. Cuando consideramos un intervalo cerrado [a, b], nos enfrentamos a un problema. Podría ser que f incluso no esté definida a la izquierda de a (por ejemplo, esto ocurre para en a = 0), así que hablando estrictamente, no existe. Elegimos darle la vuelta a este problema diciendo que f es continua en [a, b] si es continua en ca- da punto de (a, b) y si y Resumimos esto en una definición formal. lím x: b- f1x2 = f1b2.lím x: a+ f1x2 = f1a2 lím x: a f1x2f1x2 = 1x g1x2 = x 4 - 3x + 1 x2 - x - 6 x2 - x - 6 = 1x - 321x + 22. h1x2 = sen x 4 - 3x + 1 x2 - x - 6 h1x2 = f1g1x22 = ƒx2 - 3x + 6 ƒ y x –1 1 2 3 4 5 6 Figura 7 Definición Continuidad en un intervalo La función f es continua por la derecha en a si y continua por la izquierda en b si Decimos que f es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto de ese intervalo. Es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b), continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b. lím x: b- f1x2 = f1b2. lím x: a+ f1x2 = f1a2 Por ejemplo, es correcto decir que f(x) = 1>x es continua en (0, 1) y que es continua en [0, 1]. n EJEMPLO 6 Mediante la definición anterior describa las propiedades de la continuidad de la función cuya gráfica está dibujada en la figura 7. SOLUCIÓN La función parece que es continua en los intervalos (-q, 0), (0, 3) y (5, q) y también en el intervalo cerrado [3, 5] n n EJEMPLO 7 ¿Cuál es el intervalo más grande sobre el cual la función definida por es continua?g1x2 = 24 - x2 g1x2 = 1x Sección 1.6 Continuidad de funciones 89 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10−2−4−6 y x 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10–2–4–6 12 y x Figura 13 Figura 14 17. A partir de la gráfica de h dada en la figura 14, indique los in- tervalos en los que h es continua. En los problemas del 18 al 23 la función dada no está definida en cier- to punto. ¿Cómo debe definirse para hacerla continua en ese punto? (Véase el ejemplo 1). 18. 19. 20. 21. 22. 23. En los problemas del 24 al 35, ¿en qué puntos, si los hay, las funciones son discontinuas? 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. Dibuje la gráfica de una función f que satisfaga todas las con- diciones siguientes. (a) Su dominio es (b) (c) Es discontinua en -1 y 1. (d) Es continua por la derecha en -1 y continua por la izquierda en 1. 37. Haga el bosquejo de la gráfica de una función que tenga do- minio [0, 2] y sea continua en [0, 2), pero no en [0, 2]. 38. Bosqueje la gráfica de una función que tenga dominio [0, 6] y sea continua en [0, 2] y en (2, 6], pero que no sea continua en [0, 6]. 39. Haga el bosquejo de la gráfica de una función que tenga do- minio [0, 6] y sea continua en (0, 6) pero no en [0, 6]. f1-22 = f1-12 = f112 = f122 = 1. [-2, 2]. g1t2 = Œ t + 12 œf1t2 = Œ t œ g1x2 = c x2 si x 6 0-x si 0 … x … 1 x si x 7 1 f1x2 = c x si x 6 0x2 si 0 … x … 1 2 - x si x 7 1 G1x2 = 1 24 - x2 F1x2 = 1 24 + x2 g1u2 = u 2 + ƒu - 1 ƒ 23 u + 1 f1u2 = 2u + 7 2u + 5 r1u2 = tan uh1u2 = ƒ sen u + cos u ƒ f1x2 = 33 - x 2 xp + 3x - 3p - x2 f1x2 = 3x + 71x - 3021x - p2 F1x2 = sen x 2 - 1 x + 1 f1x2 = x 4 + 2x2 - 3 x + 1 H1t2 = 1t - 1 t - 1 g1u2 = sen u u f1x2 = 2x 2 - 18 3 - x f1x2 = x 2 - 49 x - 7 40. Sea Dibuje la gráfica de esta función lo mejor que pueda y decida en dón- de es continua. En los problemas del 41 al 48 determine si la función es continua en el punto dado c. Si la función no es continua, determine si la discontinui- dad es removible o no removible. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. Una compañía de teléfonos celulares cobra $0.12 por hacer una llamada más $0.08 por minuto o fracción (por ejemplo, una llamada telefónica que dure 2 minutos y 5 segundos cuesta $0.12 + 3 * $0.08). Haga el bosquejo de una gráfica del costo de una llamada como función de la duración t de la llamada. Analice la continuidad de esta función. 50. Una compañía que renta automóviles cobra $20 por día, con 200 millas incluidas. Por cada 100 millas adicionales, o cualquier frac- ción de éstas, la compañía cobra $18. Haga el bosquejo de una gráfica del costo por la renta de un automóvil durante un día como función de las millas recorridas. Analice la continuidad de esta función. 51. Una compañía de taxis cobra $2.50 durante el primer cuarto de milla y $0.20 por cada de milla adicional. Haga un bosquejo del costo de un viaje en taxi como función del número de millas recorri- das. Analice la continuidad de esta función. 52. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que x3 + 3x - 2 = 0 tiene una solución real entre 0 y 1. 53. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que (cos t)t3 + 6 sen5t - 3 = 0 tiene una solución real entre 0 y 2p. 54. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que x3 - 7x2 + 14x - 8 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0, 5]. Haga un bosquejo de la gráfica de y = x3 - 7x2 + 14x - 8 en [0, 5]. En realidad, ¿cuántas soluciones tiene esta ecuación? 55. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que tiene una solución entre 0 y p>2. Haga un acerca- miento de la gráfica de para determinar un inter- valo que tenga longitud 0.1 y que contenga esta solución. 56. Demuestre que la ecuación x5 + 4x3 - 7x + 14 = 0 tiene al me- nos una solución real. 57. Pruebe que f es continua en c si y sólo si 58. Demuestre que si f es continua en c y f(c) 7 0, existe un inter- valo (c - d, c + d), tal que f(x) 7 0 en este intervalo. 59. Demuestre que si f es continua en [0, 1] y ahí satisface 0 … f(x) … 1, entonces f tiene un punto fijo; esto es, existe un número c en [0, 1], tal que f(c) = c. Sugerencia: aplique el teorema del valor inter- medio a g(x) = x - f(x). f1c2. lím t: 0 f1c + t2 = y = 1x - cos x 1x - cos x = 0 GC GC 1 8 f1x2 = 4 - x 2 - 1x ; c = 4f1x2 = sen 1 x ; c = 0 F1x2 = x sen 1 x ; c = 0g1x2 = L sen x x , x Z 0 0, x = 0 f1x2 = cos x x ; c = 0f1x2 = sen x x ; c = 0 f1x2 = x 2 - 100 x - 10 ; c = 10f1x2 = sen x; c = 0 f1x2 = e x si x es racional -x si x si es irracional 90 Capítulo 1 Límites y x D θ Figura 15 60. Encuentre los valores de a y b de modo que la siguiente fun- ción sea continua en todas partes. 61. Una liga estirada cubre el intervalo [0, 1]. Los extremos se sueltan y la liga se contrae de modo que cubre el intervalo [a, b] con a ≥ 0 y b … 1. Demuestre que esto resulta en un punto de la liga (en realidad exactamente un punto) que estará en donde estaba original- mente. Véase el problema 59. 62. Sea Entonces y f(2) = 1. ¿El teorema del valor intermedio implica la existencia de un número c entre -2 y 2, tal que f(c) = 0? Explique. 63. Iniciando a las 4 a. m., un excursionista escala lentamente ha- cia la cima de una montaña, a donde llega al mediodía.Al día siguien- te, regresa a por la misma ruta, iniciando a las 5 a. m.; a las 11 de la mañana llega al pie de la montaña. Demuestre que en algún punto a lo largo de la ruta su reloj mostraba la misma hora en ambos días. 64. Sea D una región acotada, pero arbitraria en el primer cua- drante. Dado un ángulo u, 0 … u … p>2, D puede ser circunscrita por medio de un rectángulo cuya base forme un ángulo u con el eje x, co- mo se muestra en la figura 15. Demuestre que para algún ángulo este rectángulo es un cuadrado. (Esto significa que cualquier región aco- tada puede ser encerrada dentro de un cuadrado). f1-22 = - 1 3 f1x2 = 1 x - 1 . f1x2 = c x + 1 si x 6 1ax + b si 1 … x 6 2 3x si x Ú 2 65. La fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre un objeto que tiene masa m y que se encuentra a una distancia r del centro de la Tierra es g1r2 = d GMmrR3 , si r 6 R GMm r2 , si r Ú R Aquí, G es la constante gravitacional, M es la masa de la Tierra y R es el radio de la Tierra. ¿Es g una función continua de r? 66. Suponga que f es continua en [a, b] y nunca es cero allí. ¿Es posible que f cambie de signo en [a, b]? Explique. 67. Sea f(x + y) = f(x) + f(y) para toda x y y, y suponga que f es continua en x = 0. (a) Demuestre que f es continua en todas partes. (b) Demuestre que existe una constante m, tal que f(t) = mt para to- da t (véase el problema 43 de la sección 0.5). 68. Pruebe que si f(x) es una función continua en un intervalo, entonces también lo es la función 69. Demuestre que si g(x) = |f(x)| es continua, no necesariamen- te es cierto que f(x) sea continua. 70. Sea f(x) = 0, si x es irracional, y sea f(x) = 1>q, si x es el núme- ro racional p>q en su mínima expresión (q 7 0). (a) Dibuje, lo mejor que pueda, la gráfica de f en (0, 1). (b) Demuestre que f es continua en cada número irracional en (0, 1), pero es discontinua en cada número racional en (0, 1). 71. Un bloque delgado en forma de triángulo equilátero con lado de longitud 1 unidad tiene su cara en la vertical del plano xy con un vértice en el origen. Bajo la influencia de la gravedad, girará alrededor de V hasta que un lado golpee el piso, en el eje x (véase la figura 16). Denótese con x la abscisa inicial del punto medio M, del lado opues- to a V, y sea f(x) la abscisa final de este punto. Suponga que el blo- que queda en equilibrio cuando M está directamente arriba de V. (a) Determine el dominio y rango de f. (b) En el dominio de f, ¿en dónde es discontinua? (c) Identifique cualesquiera puntos fijos de f (véase el problema 59). ƒf1x2 ƒ = 21f1x222. y x–1 x 0 1 M V V y x–1 f (x) 0 1 M Posición inicial Posición final Figura 16 Respuestas a la revisión de conceptos: 1. 2. To- dos los enteros 3. 4. a; b; f1c2 = W lím x:a + f1x2 = f1a2; lím x:b- f1x2 = f1b2 lím x:c f1x2 1.7 Repaso del capítulo Examen de conceptos A cada una de las siguientes aseveraciones responda con verdadero o falso. Justifique sus respuestas. 1. Si entonces 2. Si entonces 3. Si existe, entonces f(c) existe. 4. Si entonces para toda existe una d 7 0, tal que implica 5. Si f(c) no está definida, entonces no existe.lím x: c f1x2 ƒf1x2 ƒ 6 e.0 6 ƒx ƒ 6 d e 7 0lím x: 0 f1x2 = 0, lím x: c f1x2 f1c2 = L.lím x: c f1x2 = L, lím x: c f1x2 = L.f1c2 = L, 6. Las coordenadas del agujero en la gráfica de son (5, 10). 7. Si p(x) es un polinomio, entonces 8. no existe. 9. Para todo número real c, 10. tan x es continua en todo punto de su dominio. lím x: c tan x = tan c. lím x: 0 sen x x lím x: c p1x2 = p1c2. y = x2 - 25 x - 5 Sección 1.7 Repaso del capítulo 91 11. La función f(x) = 2 sen2x - cos x es continua en todos los nú- meros reales. 12. Si f es continua en c, entonces f(c) existe. 13. Si f es continua en el intervalo (1, 3), entonces f es continua en 2. 14. Si f es continua en [0, 4], entonces existe. 15. Si f es una función continua tal que A … f(x) … B para toda x, entonces existe y satisface 16. Si f es continua en (a, b), entonces para to- da c en (a, b). 17. 18. Si la recta y = 2 es una asíntota horizontal de la gráfica de y = f(x), entonces 19. La gráfica de y = tan x tiene muchas asíntotas horizontales. 20. La gráfica de tiene dos asíntotas verticales. 21. 22. Si entonces f es continua en x = c. 23. Si entonces f es continua en x = c. 24. La función es continua en x = 2.3. 25. Si entonces f(x) 6 1.001f(2) para toda x en algún intervalo que contenga a 2. 26. Si existe, entonces existen y . 27. Si 0 … f(x) … 3x2 + 2x4 para toda x, entonces 28. Si y entonces L = M. 29. Si f(x) Z g(x) para toda x, entonces 30. Si f(x) 6 10 para toda x y existe, entonces 31. Si entonces 32. Si f es continua y positiva en [a, b], entonces 1>f debe tomar todos los valores entre 1>f(a) y 1>f(b). Problemas de examen En los problemas del 1 al 22 encuentre los límites indicados o establez- ca que no existen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. lím x:1- ƒx - 1 ƒ x - 1 lím t:2- 1Œ t œ - t2 lím x:1>2+ Œ4x œlím x:0- ƒx ƒ x lím x:0 cos x x lím x:4 x - 4 1x - 2 lím y:1 y3 - 1 y2 - 1 lím x:0 tan x sen 2x lím z: 2 z2 - 4 z2 + z - 6 lím x: 2 1 - 2>x x2 - 4 lím u: 1 u + 1 u2 - 1 lím u: 1 u2 - 1 u - 1 lím u: 1 u2 - 1 u + 1 lím x: 2 x - 2 x + 2 lím x: a ƒf1x2 ƒ = ƒb ƒ .lím x: a f1x2 = b, lím x: 2 f1x2 6 10. lím x: 2 f1x2 lím x: c f1x2 Z lím x: c g1x2. lím x: a f1x2 = M,lím x: a f1x2 = L lím x: 0 f1x2 = 0. lím x: c g1x2 lím x: c f1x2lím x: c [f1x2 + g1x2] lím x: 2 f1x2 = f122 7 0, f1x2 = Œx>2 œ lím x: c f1x2 = f A lím x: c x B , lím x: c- f1x2 = lím x: c+ f1x2, lím t: 1+ 2t t - 1 = q . y = 1 x2 - 4 lím x:q f1x2 = 2. lím x:q sen x x = 1 lím x: c f1x2 = f1c2 A … lím x:q f1x2 … B.lím x:q f1x2 lím x: 0 f1x2 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. Por medio de argumentos e-d demuestre que 24. Sea Determine cada valor. (a) (b) (c) (d) 25. Con respecto a f del problema 24. (a) ¿Cuáles son los valores de x en los cuales f es discontinua? (b) ¿Cómo se debe definir f en x = -1 para hacer que sea continua allí? 26. Proporcione la definición e–d en cada caso. (a) (b) 27. Si y y si g es continua en x = 3, encuentre cada valor. (a) (b) (c) g(3) (d) (e) (f) 28. Dibuje la gráfica de una función f que satisfaga todas las con- diciones siguientes. (a) Su dominio es [0, 6]. (b) (c) f es continua, excepto en x = 2. (d) y 29. Sea Determine a y b de modo que f sea continua en todas partes. 30. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que la ecuación x5 - 4x3 - 3x + 1 = 0 tiene al menos una solución entre x = 2 y x = 3. En los problemas del 31 al 36 determina las ecuaciones de todas las asíntotas horizontales y verticales para la función dada. 31. 32. 33. 34. 35. 36. H1x2 = sen x x2 h1x2 = tan 2x G1x2 = x 3 x2 - 4 F1x2 = x 2 x2 - 1 g1x2 = x 2 x2 + 1 f1x2 = x x2 + 1 f1x2 = c -1 si x … 0ax + b si 0 6 x 6 1 1 si x Ú 1 lím x: 5+ f1x2 = 3.lím x: 2- f1x2 = 1 f102 = f122 = f142 = f162 = 2. lím x:3 ƒg1x2 - g132 ƒ f1x2límx:3 2f 21x2 - 8g1x2 lím x:3 g1f1x22 lím x:3 g1x2 x 2 - 9 x - 3 lím x:3 [2f1x2 - 4g1x2] lím x: 3 g1x2 = -2lím x: 3 f1x2 = 3 lím x:a- f1x2 = Llím u:a g1u2 = M lím x:-1 f1x2lím x:1- f1x2 lím x:1+ f1x2f(1) f1x2 = c x3 si x 6 -1x si -1 6 x 6 1 1 - x si x Ú 1 lím x: 3 12x + 12 = 7. lím x:0+ 1 + sen x x lím x:p>4- tan 2x lím x:0+ cos x x lím t:2 t + 2 1t - 222 lím t:q sen t t lím x:q x - 1 x + 2 lím x:0 1 - cos 2x 3x lím x:0 sen 5x 3x