Factorización de polinomios y identidades trigonométricas, Apuntes de Ingeniería Industrial

¡Descarga Factorización de polinomios y identidades trigonométricas y más Apuntes en PDF de Ingeniería Industrial solo en Docsity! Autores Departamento de Matemáticas Juan Manuel Delgado Sánchez, Patricia Dı́az Rosa, Mónica Esquivel Rosado, Antonio Lozano Palacio, Begoña Marchena González, Cándido Piñeiro Gómez, Ramón Rodŕıguez Álvarez, Enrique Serrano Aguilar e In- maculada Ventura Molina. Departamento de F́ısica Aplicada Juan Luis Aguado Casas, José Enrique Garćıa Ramos, Felipe Jiménez Blas, Francisco Pérez Bernal, José Rodŕıguez Quintero y Federico Vaca Galán. La impresión de este documento ha sido financiada dentro de las actuaciones del Plan de Me- jora de la Titulación de Ciencias Ambientales (Convocatoria 2006-08), en el Plan de Evaluación Institucional llevado a cabo por el PACU (Plan Andaluz de Calidad de las Universidades). Para aprender a bordar, primero hay que saber coser Juan Maŕıa Arzak Índice general 2.4. Resumen de fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3. Nociones de Geometŕıa Plana 35 3.1. Distancia entre dos puntos. Ecuación de la circunferencia. . . . . . . . . . . 36 3.2. Ecuación de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3. Pendiente de una recta. Rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4. Rectas perpendiculares. Cálculo de la recta perpendicular por un punto a una recta dada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5. Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6. Área de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.7. Punto medio de un segmento. Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.8. Ecuación de la elipse, hipérbola y parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.8.1. Estudio de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.8.2. Estudio de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.8.3. Estudio de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4. Las funciones elementales 53 4.1. Conceptos básicos sobre funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2. Algunas caracteŕısticas sobre funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4. Inversa de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.5. Estudio de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.5.1. Función polinómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.5.2. Función racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.5.3. Función irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.5.4. Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.5.5. Función logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.5.6. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Índice general Bibliograf́ıa 75 II F́ısica 77 5. Magnitudes f́ısicas y unidades 79 5.1. Magnitudes f́ısicas y su medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.2. Magnitudes fundamentales y derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.3. Sistemas de unidades, múltiplos y submúltiplos . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.4. Conversión de unidades y factores de conversión . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.5. Análisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.6. Notación cient́ıfica, cálculo de órdenes de magnitud y cifras significativas . 81 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6. Vectores 87 6.1. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.2. Vectores y escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.3. Vectores y sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.4. Cálculo del vector que une dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.5. Algunas propiedades de los vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.5.1. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.5.2. Opuesto de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.5.3. Resta de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.5.4. Producto de un vector por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.5.5. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.5.6. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.6. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7. Cálculo diferencial 95 7.1. Definición de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.2. Interpretación geométrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.3. Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Índice general 7.4. Derivadas y diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.5. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.5.1. Derivada de una suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.5.2. Derivada de un producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.5.3. Derivada de una función con un factor constante . . . . . . . . . . . 98 7.5.4. Derivada de un cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.5.5. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8. Cinemática 105 8.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.2. Sistema de referencia. Vector de posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.3. Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8.4. Movimiento bajo aceleración constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8.5. Movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9. Dinámica 113 9.1. Las leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 9.2. Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 9.3. Ejemplo: el problema de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 10.Trabajo y enerǵıa 119 10.1. Trabajo y potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 10.2. Enerǵıa cinética y teorema del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 10.3. Enerǵıa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 10.4. Principio de conservación de la enerǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 11.Otros principios de conservación 127 11.1. Cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Introducción Queridos alumnos: Estos apuntes, que no pretenden ser ni sustituir a ningún libro de texto, van dirigidos a aquellos de vosotros que por vez primera cursáis alguna asignatura de Matemáticas o F́ısica en la Facultad de Ciencias Experimentales; también a la mayoŕıa de repetidores. Se pretende que sirvan de gúıa para los mini-cursos que desde el curso académico 2007- 2008 se vienen impartiendo en esta Facultad. El origen de este mini-curso, cuáles son sus objetivos y cuál debeŕıa ser, a nuestro juicio, vuestra actitud ante el mismo son las cuestiones que motivan esta breve introducción. En ocasiones, los profesores de Matemáticas y F́ısica, nos quejamos de las dificultades que encontramos en nuestro trabajo y son muchas las veces que tenemos la sensación de predicar en el desierto. Rećıprocamente, muchos de vosotros tenéis, de vez en cuando, la sensación de que el profesor habla para una especie de “super-alumno”. Aunque entrar en un análisis pormenorizado de las causas que provocan estos desencuentros va más allá de las pretensiones de esta breve introducción, śı hay una cosa que está clara: por lo general, vuestra formación de carácter matemático y/o f́ısico es francamente deficitaria. Aśı las cosas, el riesgo de fracaso es alto pues, como suele decir Juan Maŕıa Arzak, “para aprender a bordar, primero hay que saber coser”. Si estamos de acuerdo en que hay un problema, la conclusión debeŕıa ser obvia: hay que intentar solucionarlo. Con este objetivo en mente se concibió este curso preparatorio. En él, intentaremos paliar la brecha existente entre el nivel teórico que debeŕıamos tener para cursar las asignaturas de matemáticas o f́ısica en la Facultad de Ciencias y el nivel que realmente tenemos. Estamos convencidos de que el camino que iniciáis, o continuáis, en la Facultad de Ciencias es un hermoso camino que merece ser hollado, de que aqúı tendréis la oportunidad real de formaros como cient́ıficos y de que el esfuerzo merece la pena. Es cierto que nuestro sistema educativo puede (y debe) ser criticado pero, al final, los problemas son nuestros y somos nosotros los que debemos solucionarlos. Endosar la causa de nuestras carencias a “lo mal” que lo hicieron nuestros educadores pasados puede ser cierto en muchos casos, pero no resuelve el problema. Este déficit inicial que padecemos puede y debe ser superado pero, para superarlo, sólo hay una receta: ¡trabajo! Parte I Matemáticas Caṕıtulo 1. Cálculo operacional 10 Si n es par y a < 0, no existe ráız n-ésima de a. Si n es impar, todo número real a 6= 0 tiene una única ráız n-ésima del mismo signo que a. Observemos que si n es impar y a > 0, entonces (− n √ a)n = −( n √ a)n = −a, lo que significa que n √ −a = − n √ a. Las consideraciones anteriores permiten en todos los cálculos que las ráıces se puedan transformar en otras cuyo radicando es positivo por lo que en adelante sólo nos referimos a radicales n √ a, con radicando a > 0 e ı́ndice n ∈ N. Propiedades Si a ∈ R, a > 0 y n, m ∈ N, se verifica que: 1) n √ ap · n √ bq = n √ ap · bq n √ ap · m √ bq = nm √ amp · bnq 2) n √ ap : n √ bq = n √ ap : bq n √ ap : m √ bq = nm √ amp : bnq 3) ( n √ a) p = n √ ap 4) m √ n √ a = mn √ a 5) n √ anb = a n √ b (sirve para extraer o introducir factores en un radical) Los radicales se pueden expresar como potencias de exponente fraccionario, n √ a = a 1 n , siéndoles de aplicación las propiedades de las potencias y, para los ı́ndices, la simplificación de fracciones produce radicales equivalentes y la reducción a común denominador radicales del mismo ı́ndice. Las expresiones radicales α n √ a y β m √ b se denominan semejantes si n = m y a = b. Se pueden efectuar sumas y restas de expresiones radicales semejantes. Ejemplo 1.2.1. 3 √ 24 + 7 3 √ 192− 2 3 √ 375− 3 √ 81 = 3 √ 23 · 3 + 7 3 √ 26 · 3− 2 3 √ 53 · 3− 3 √ 34 = 2 3 √ 3 + 22 · 7 3 √ 3− 2 · 5 3 √ 3− 3 3 √ 3 = (2 + 28− 10− 3) 3 √ 3 = 17 3 √ 3 Racionalizar una expresión fraccionaria en la que aparecen radicales en el denominador es transformarla en otra equivalente cuyo denominador no contenga ráıces. Los casos más habituales de racionalización son los siguientes: En el denominador aparece un factor radical de la forma n √ am con m < n: Se multiplican numerador y denominador de la fracción por n √ an−m. 1.3. Logaritmos 11 Ejemplos 1.2.2. 4 3 √ 2 = 4 √ 2 3 √ 2 · √ 2 = 4 √ 2 6 = 2 3 √ 2 6 5 √ 32 = 6 5 √ 33 5 √ 32 · 5 √ 33 = 6 5 √ 33 5 √ 35 = 6 5 √ 33 3 = 2 5 √ 33 En el denominador aparece una suma o una diferencia con ráıces cuadradas: Se multiplican numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador (el conjugado de la suma es la diferencia y viceversa). Ejemplos 1.2.3. 1 + √ 3 1− √ 3 = (1 + √ 3)(1 + √ 3) (1− √ 3)(1 + √ 3) = (1 + √ 3)2 12 − ( √ 3)2 = 4 + 2 √ 3 −2 = −2− √ 3 √ 6− 2√ 3 + √ 2 = ( √ 6− 2)( √ 3− √ 2) ( √ 3 + √ 2)( √ 3− √ 2) = √ 18− √ 12− 2 √ 3 + 2 √ 2 ( √ 3)2 − ( √ 2)2 = 5 √ 2− 4 √ 3 1.3. Logaritmos Si b > 0 y b 6= 1 se llama logaritmo en base b de a > 0 al exponente x ∈ R al que se debe elevar b para que dé como resultado a. Es decir logb a = x ⇔ bx = a. Propiedades 1) logb b = 1 y logb 1 = 0 2) logb(ac) = logb a + logb c 3) logb(a : c) = logb a− logb c 4) logb(a p) = p logb a 5) logb( n √ a) = 1 n logb a 6) logb a = logd a · logb d (Cambio de base). 1.4. Monomios y polinomios Monomio en la indeterminada x es toda expresión de la forma axn donde el número real a es el coeficiente y el número natural n su grado. Caṕıtulo 1. Cálculo operacional 12 Los monomios axn y bxm coinciden si a = b y n = m. Se pueden sumar o restar monomios del mismo grado: axn ± bxn = (a± b)xn. Se pueden multiplicar monomios arbitrarios: (axn) · (bxm) = (ab)xn+m. Si n ≥ m, (axn) : (bxm) = (a : b)xn−m. Polinomio es una suma indicada de monomios. El grado del polinomio es el grado de su monomio de mayor grado. El polinomio P (x) = anx n +an−1x n−1 + · · ·+a2x2 +a1x+a0, donde an 6= 0, es de grado n, su coeficiente principal es an y su término independiente es a0. División de polinomios: Si P (x) y Q(x) son polinomios con gr[P (x)] ≥ gr[Q(x)], existen C(x) y R(x), únicos, tales que P (x) = Q(x) · C(x) + R(x) y gr[R(x)] < gr[Q(x)] El grado de C(x) siempre es igual a la diferencia entre los grados de P (x) y Q(x). En el caso de ser R(x) ≡ 0, decimos que Q(x) es divisor de P (x) ó que P (x) es múltiplo de Q(x). Teorema del resto Si a ∈ R, el resto de dividir el polinomio P (x) por el binomio x − a es igual al valor numérico P (a). En particular, P (x) es divisible por x− a si y sólo si P (a) = 0. La regla de Ruffini permite hacer las divisiones del tipo P (x) : (x−a) con comodidad. Ejemplo: Si queremos dividir −x4 + 3x3 − 15x + 7 entre x + 2, por la regla de Ruffini procedemos aśı: -1 3 0 -15 7 -2 ↓ 2 -10 20 -10 -1 5 -10 5 ∣∣-3 de forma que el cociente de la división es −x3 + 5x2 − 10x + 5 y el resto es −3. 1.4.1. Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es descomponerlo en factores irreducibles de alguna de las formas (x− a) ó (px2 + qx + r) con q2− 4pr < 0. Para conseguirlo necesitamos hallar sus ráıces reales. Ráız (ó cero) de P (x) es todo a ∈ R tal que P (a) = 0 lo que, según hemos visto anteriormente, equivale a que (x− a) es un divisor de P (x). 1.6. Desigualdades. Propiedades 15 10) |x− y| ≥ ∣∣∣∣ |x| − |y| ∣∣∣∣ 11) |x| = c ⇒ x = ±c en particular |x| = |y| ⇒ x = ±y Notas: (1) |x| = √ x2, más general si n ∈ N es par, |x| = n √ xn. (2) |a − b| = |b − a| representa la distancia entre a y b. Por tanto el valor absoluto de un número representa la distancia del punto al origen. Observe que la distancia del 3 al origen es 3 unidades, |3| = 3, igualmente la distancia del punto -3 al origen es 3, | − 3| = 3. 1.6. Desigualdades. Propiedades Las siguientes propiedades se deducen de los axiomas de orden. Éstas nos serán útiles a la hora de trabajar con números reales, en especial con inecuaciones. 1) Propiedad transitiva. Si a < b y b < c entonces a < c. 2) Si a < b se tiene que a + c < b + c, para cualquier c ∈ R. 3) Si a < b y c > 0 se tiene que a · c < b · c. 4) Si a < b y c < 0 se tiene que a · c > b · c. 5) Si a < b es −a > −b. En particular si a < 0, es −a > 0. 6) Si a · b > 0 entonces a y b son o ambos positivos o ambos negativos. 7) Si a · b < 0 entonces a y b tienen signos opuestos. 1.7. Ecuaciones. Definiciones y propiedades básicas Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas. Hay muchas formas de clasificar las ecuaciones, una de ellas consiste en expresar el número de incógnitas. Ejemplo: 3x− 2y = 5 es una ecuación con dos incógnitas x e y. El grado de una ecuación con una incógnita y expresada a través de una igualdad polinómica coincide con el grado del polinomio. Ejemplo: 4x3 + 7x2 + 2 = 0 es una ecuación de grado 3. Caṕıtulo 1. Cálculo operacional 16 Resolver una ecuación consiste en hallar los valores que deben tomar las incógnitas para que la igualdad se cumpla. Ejemplo: x2 − 9 = 0 es una ecuación con una incógnita x y dos soluciones, x = −3; x = 3. Debemos tener cuidado ya que no todas las ecuaciones tienen solución. Ejemplo: En el conjunto de los números reales no existe x tal que x2 + 1 = 0 tenga solución. No debe confundirse ecuación con identidad. Ejemplo: La expresión x2−1 = (x+1)(x−1) no es una ecuación sino una identidad, ya que ésta se cumple de forma universal para cualquier valor de x que tomemos. Una sencilla técnica para comprobar que estamos ante una identidad consiste en pasar todos los términos a un solo miembro de la igualdad y obtendremos 0 = 0 (compruébese en el ejemplo). Propiedades que se usan en el proceso de resolución de ecuaciones: -> Regla 1: Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo número, se obtiene otra ecuación equivalente, esto es: a = b ⇔ a ± c = b ± c, siendo a, b y c números reales. -> Regla 2: Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por un número real distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente, esto es: a = b ⇔ a · c = b · c, siendo a, b, c 6= 0, números reales. -> Regla 3: Si el producto de dos números reales es igual a cero, entonces al menos uno de los números debe ser igual a cero, esto es: a · b = 0 ⇔ a = 0 ó b = 0, siendo a y b números reales. 1.7.1. Tipos de ecuación, técnicas de resolución y ejemplos i) Ecuación lineal con una incógnita y con coeficientes enteros. Técnica: pasamos la incógnita a un miembro de la igualdad y los coeficientes al otro, usando las reglas vistas en la sección anterior. Ejemplo: Resolver 3x− 44 = 2x− 35;⇒ 3x− 2x = 44− 35 ⇒ la solución es x = 9 ii) Ecuación lineal con una incógnita y con coeficientes racionales. Técnica: Multiplicamos la ecuación por el mı́nimo común múltiplo de los denomina- dores de los coeficientes y queda reducida al caso I). 1.7. Ecuaciones. Definiciones y propiedades básicas 17 Ejemplo: Resolver x− 3 6 + 2x− 1 3 = 5(x− 2) + 5; dado que m.c.m(3, 6) = 6, multi- plicamos la ecuación por 6, tenemos x−3+4x−2 = 30(x−2)+30 ⇒ x+4x−30x = 3 + 2− 60 + 30 ⇒ −25x = −25 ⇒ la solución es x = 1. iii) Ecuación con una incógnita, polinómica de segundo grado. Técnica: Se utiliza la fórmula de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 ⇒ x = −b± √ b2 − 4ac 2a , con a 6= 0. Ejemplo: Resolver 4x2 + 5x− 9 = 0. iv) Ecuación con una incógnita, polinómica de grado mayor o igual a tres. Técnica: Se pretende factorizar el polinomio, para ello podemos intentar hallar las ráıces aplicando la regla de Ruffini. v) Si la ecuación es bicuadrada, es decir de la forma ax4+bx2+c = 0 entonces la fórmula de la ecuación de segundo grado nos permite hallar la solución, previo cambio de variable. Ejemplo: x4 − 10x2 + 9 = 0, es una ecuación bicuadrada ⇒ x2 = 10± √ 64 2 ⇒ x2 = 9; x2 = 1 ⇒ las soluciones son: x = −3, x = −1, x = 1, x = 3. vi) Ecuación con radicales y con una incógnita. Técnica: Aunque no siempre es eficaz, se suele pasar la ráız a un miembro de la igualdad y se elevan ambos miembros de la igualdad al ı́ndice de la ráız. Hay que comprobar si las soluciones que se obtienen por este método son soluciones de la ecuación original. Ejemplo: Resolver x − 2 + √ x = 0, dejamos la ráız sola √ x = 2 − x, elevando al cuadrado x = 4− 4x + x2, resolviendo x = 4; x = 1, pero la única solución es x = 1 (compruébese). vii) Ecuación logaŕıtmica con una incógnita. Técnica: Se utilizan las propiedades básicas de los logaritmos junto a que si A > 0; B > 0 se tiene que ln(A) = ln(B) ⇔ A = B. Ejemplo: Resolver ln(x) + ln(100) = 2,⇒ ln(100x) = ln(e2) ⇒ x = e 2 100 . viii) Ecuación exponencial con una incógnita. Técnica: Se deben aplicar las propiedades de las exponenciales, teniendo además en cuenta que: Si a > 0 se tiene que ax = ay ⇔ x = y. Ejemplo: Resolver 2x+5 = 16,⇒ 2x+5 = 24,⇒ x + 5 = 4,⇒ la solución es x = −1. Caṕıtulo 1. Ejercicios y problemas 20 Ejercicios y problemas 1. Efectuar simplificando al máximo los resultados: a) (4 · 32 · 6−2)2 · (23 · 34)−1 (26 · 37)−3 · (64)3 b) ( −2− ( −1 2 )−3)−2 c) (a · b)2 · (a−3 · b3)3 (a · b2 · c3)−5 2. Efectuar simplificando al máximo los resultados: a) 4 √ 4 · 6 √ 8 · 8 √ 81 b) √ 2 · √ 3 √ 22 : 3 √√ 2 c) 5 √ 12 + √ 27− 8 √ 75 + √ 45 d) 3− 3 4 · 9 32 ( √ 3)−3 · √ 81 3. Racionalizar las siguientes expresiones: a) 3− 2 √ 3 2 √ 2 b) √ 3 + √ 2√ 3− √ 2 c) 4 √ 2 2 3 √ 4 d) 3 √ 2− √ 2√ 2− 2 e) 1 1 + √ 2 + √ 3 4. Efectuar simplificando al máximo los resultados: a) 4 √ x + 1 · 2 √ (x + 1)3 · 8 √ 1 (x + 1)7 b) 1 1− a · 3 √ 1 (a + 1)2 · 3 √ (1− a)2 c) − 3 √ −16− 3 √ −54− 3 √ −250 5. Mediante la definición, calcular los siguientes logaritmos: a) log2 32 b) log 1 2 32 c) log3 ( 1 3 ) d) log10 0 ′001 e) log 1 2 4 f) log 1 10 10 g) log√3 ( 1 9 ) 6. Calcular: a) log3 729− log2 128 + log5 125− log11 121 b) log3 1 3 + log2 1 8 − log4 1 16 + log5 1 25 c) ( 3log2 4 ) : log8 2 7. Expresar como un solo logaritmo en base 10: a) 3(log 5 + log 2)− log 2− log 7 b) 3 2 (1− log 5) + 1 2 log 2 c) 3 log 2− 1 + log 5 3 8. Efectuar las siguientes operaciones con polinomios: a) (3x− 2)3 b) (−x2 + √ 2x)(x2 + √ 2x) c) ( 2 3 x + 3x2 − 5x3 + 1 ) · ( 5− 2x + 1 2 x2 ) Caṕıtulo 1. Ejercicios y problemas 21 d) (3x2 − 2)(5x− 4)− [2x(x2 − 1)− (3x + 2)(5x2 + 4)] e) 2x[(3x− 4)− (2x + 1)]− (5x + 4)[2x(3x− 1) + 2x(x− 3)] 9. Hallar el cociente y el resto en las siguientes divisiones de polinomios: a) (7x5 + 4x4 − 3x3 − 12x2 + 5) : (x3 + 2x) b) (6x3 + 2x− 3) : (x− 5) c) (x4 − 5x2 + 1) : (x2 − 1) 10. Hallar el valor de m y n sabiendo que la división (x4−5x3+4x2+nx−m) : (x2−2x+3) es exacta. 11. Calcular m ∈ R para que a) (x3 − 3x + m) sea divisible por (x− 2). b) (2x3 + mx2 − x + 3) sea divisible por (2x + 3) 12. Calcular las ráıces enteras y fraccionarias de los polinomios siguientes y descompo- nerlos en factores: a) 4x3 − 20x2 − x + 5 b) x4 − 2x3 − 4x2 + 8x c) x5 − x d) 6x3 + 13x2 + x− 2 e) 8x3 − 62x2 − 17x + 8 f) 64x4 − 20x2 + 1 g) x4 + x3 − x2 − 11x + 10 13. ¿Qué sumando debemos añadir a 16x4 + 40x2 para obtener un cuadrado perfecto? 14. Desarrollar las siguientes potencias: a) (x− 1)5 b) ( x− 2 x2 )3 c) (2x + 3)4 d) ( 2x− 1 2x )6 e) (√ x + 1√ 2x )5 f) (2x− 1)2 15. Determinar el coeficiente de x30 en el desarrollo de ( 2x2 − 1 x )21 . ¿Aparece x7 en el desarrollo anterior? 16. En las siguientes operaciones con fracciones algebraicas, factorizar los polinomios convenientes, efectuar las operaciones indicadas y simplificar al máximo el resultado: a) 2 x3 − 1 − x 2 − x + 1 x− 1 + x + 1 x2 + x + 1 b) 2x2 + 5x− 3 x2 − 9 · 2x 2 − 5x− 3 4x2 − 8x− 5 c) x2 x2 + 1 − 4x 2 x4 − 1 − x 2 − x x3 + x2 + x + 1 d) ( 2− 3 x + 2 ) : ( 1 x− 1 + 1 x + 2 ) e) ( x + 1 x + √ 2 )( x + 1 x − √ 2 ) f) x2 x + 1 : [ x− (x2 − 1) : ( 1− 1 x )] Caṕıtulo 1. Ejercicios y problemas 22 17. Convertir cada una de las siguientes desigualdades en otra proposición equivalente sin valor absoluto: a) |2x− 1| > 1 b) |2− 5x| ≤ 3 c) 4− |1− x| ≤ 1 d) 2|x− 2| − 1 ≤ 2. 18. Escribir las siguientes proposiciones en términos de desigualdades y valores absolutos: a) x está a más de 3 unidades de −7. b) x está al menos a 3 unidades de 5. c) x dista de 7 en menos de 3 unidades. d) El número de horas que trabaja una máquina sin interrupciones, x, difiere de 12 en menos de 2 horas. 19. Describir y representar el conjunto determinado por cada una de las siguientes con- diciones: a) |x| < 1 b) |x| ≤ 3 c) |x| ≥ 1 d) |x| > 12 e) | − x| ≤ 2 f) |x| < −2 g) |x| ≥ −2 f) | − x| ≥ −2 20. Determinar si cada una de las siguientes igualdades es una ecuación o una identidad: a) (x− 2)2 = x2 − 4x + 4 b) (x− 3)(x + 3) = x2 − 9 + 6x c) (x− 3)2 + 5 = x− 4 Resolver las siguientes ecuaciones y sistemas de ecuaciones: 21. x− 5 6 − x 3 = x 12 + x + 2 4 22. x + 1 3 (x 2 − x 3 ) − 2x− 1 18 = 0 23. 12x2 + 15x− 18 = 0 24. x3 − 9x2 = 15− 23x 25. √ 2x− 5 = 1 + √ x− 3 26. √ −x + 2− 1 = 0.5 √ x + 6 27. 2x + 2x+1 − 24 = 0 28. 25x − 30 · 5x + 53 = 0 29. log10(x) + log10(50) = 3 Caṕıtulo 1. Ejercicios y problemas 25 64. Resolver las inecuaciones: a) 4x2 + 6x− 1 < 3x2 + 7x + 11 b) 3x3 + 36 ≤ x4 − 13x2 + 51x 65. Resolver la inecuación 4x (1 + x)2 ≥ 1 66. Resolver la inecuación √ 1 + x > √ 1− 2x Caṕıtulo 2 Trigonometŕıa 2.1. Medida de ángulos: el radián La Trigonometŕıa es la parte de la Matemática que se ocupa de la medida de los lados y ángulos de un triángulo a partir del conocimiento de algunas de estas medidas (trigonos es una palabra griega que significa triángulo). Un ángulo es una porción del plano limitada por dos semirrectas que parten de un mismo punto O, llamado vértice. Las semirrectas que lo delimitan se denominan lados del ángulo (Figura 2.1). O Figura 2.1: Un ejemplo de ángulo Para medir ángulos usaremos una medida adimensional cuya unidad se denomina radián. Supongamos que se desea medir el ángulo representado en la Figura 2.1. Para ello, con centro en O, trazamos un arco de circunferencia de radio r que intercepta con los lados en los puntos A y B (ver Figura 2.2). Si ` denota la longitud del arco de extremos A y B, tomaremos el cociente α = ` r como medida del ángulo y diremos que el ángulo mide α radianes. Un ángulo cuya medida es un radián es aquel que tiene la propiedad de que el radio r coincide con la longitud ` del arco de extremos A y B. Nótese que el radián es adimensional pues se trata de un cociente de dos longitudes. La medida de ángulos que acabamos de introducir no seŕıa consistente si pudiera ocurrir que al escoger otro radio r′, para trazar el arco de circunferencia con centro O, el cociente `′/r′ no coincidiera con `/r, donde `′ denota la longitud del arco de circunferencia de extremos A′ y B′ (Figura 2.3). Por tanto, antes de dar por buena la definición debemos probar que Caṕıtulo 2. Trigonometŕıa 30 Ejemplos a) Un arco correspondiente a cierto ángulo mide 12 cm y su radio 4 cm. ¿Cuántos radianes mide el ángulo? b) ¿Cuántos radianes mide un ángulo recto? c) Un ángulo mide 2.5 radianes. Si dibujamos un arco de radio 4 cm, ¿cuál es la longitud del arco? d) Un ángulo mide 1.2 radianes y uno de sus arcos mide 6 cm. ¿Cuánto mide el radio con el que se ha trazado dicho arco? e) Sabiendo que 180◦ = π rad calcular, aproximadamente, cuántos grados mide un radián. f) Consideremos una circunferencia C1 de radio r1 = 5 cm, tangente a las semi- rrectas de vértice V. La distancia del vértice al centro de la circunferencia es de 15 cm. Se traza otra circunferencia C2 que pase por el centro de C1 y también tangente a ambas semirrectas. Calcular el radio de C2. v C1 C2 2.2. Razones trigonométricas Las razones trigonométricas básicas son el seno (que denotaremos por sen) y el coseno (que denotaremos por cos) pues, como veremos más adelante, el resto de razones se definen a partir de ellas. Tanto el seno como el coseno son periódicas de peŕıodo 2π. Esto significa que para cualquier valor α se verifica que sen(α + 2π) = sen α y cos(α + 2π) = cos α, y por ello basta definir sen α y cos α para cada α ∈ [0, 2π). En todos los casos, se procederá como sigue: dado el ángulo con vértice en O, se escoge un punto B en uno de sus lados y se traza la recta que pasa por dicho punto y es perpendicular al otro lado, al que corta en un punto que denotaremos por A (Figura 2.9). Se define entonces sen α como el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa del triángulo OAB, con signo positivo o negativo según el cuadrante al que pertenezca el ángulo en cuestión, como se describe de forma precisa en las figuras 2.7 y 2.8. 2.2. Razones trigonométricas 31 O B A a O B A a 0 < α < π/2 π/2 < α < π sen α = AB OB ; cos α = OA OB sen α = AB OB cos α = −OA OB Figura 2.7: Definición de sen α y cos α en el primer y segundo cuadrantes Es importante señalar que las definiciones de sen α y cos α son independientes de la elección del punto B. Más concretamente, supongamos que se considera el ángulo de la Figura 2.9 y trazamos perpendiculares por los puntos B y B′. Por el Teorema de Tales, los triángulos OAB y OA′B′ son semejantes, pues los lados AB y A′B′ son paralelos. Entonces sus lados son proporcionales, luego se verifica la igualdad AB A′B′ = OB OB′ . O lo que es igual AB OB = A′B′ OB′ , lo que prueba que la definición de sen α es independiente del punto B. De manera similar se comprueba la independencia de la definición de cos α en lo que respecta a la elección de B. Existe una relación fundamental entre sen α y cos α, que se deduce directamente al aplicar el Teorema de Pitágoras, que enunciamos a continuación. Teorema 2.2.1 (Pitágoras). En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto es, en un triángulo rectángulo como el de la Figura 2.10, que es rectángulo en A y por tanto tiene como catetos los lados b y c y por hipotenusa el lado a, se verifica que a2 = b2 + c2. Ya estamos en condiciones de obtener la relación fundamental que relaciona sen α y cos α. Cualquiera que sea el ángulo α, se verifica que sen2 α + cos2 α = 1, Caṕıtulo 2. Trigonometŕıa 32 O B A a O B A a π < α < 3π/2 3π/2 < α < 2π sen α = −AB OB ; cos α = −OA OB sen α = −AB OB cos α = OA OB Figura 2.8: Definición de sen α y cos α en el tercer y cuarto cuadrantes A A B B O ’ ’ a Figura 2.9: Las definiciones de sen α y cos α son independientes de B Para probar esta identidad, vamos a considerar nuevamente la Figura 2.9. Si calculamos la expresión sen2 α + cos2 α, de acuerdo con las definiciones, obtenemos sen2 α + cos2 α = (AB OB )2 + (AO OB )2 = AB 2 + AO 2 OB 2 = 1, donde la última igualdad no es otra cosa que el Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo OAB de la Figura 2.9. De la relación fundamental se deduce además que, para todo α ∈ R, se verifica que −1 ≤ sen α ≤ 1 y que −1 ≤ cos α ≤ 1. Como ya se indicó al principio del tema, a partir del seno y del coseno es posible definir las restantes razones trigonométricas. De esta forma, dado un ángulo α se definen la tangente, la cotangente, la cosecante y la secante de α como: tg α = sen α cos α , cotg α = cos α sen α , cosec α = 1 sen α , sec α = 1 cos α . Es importante señalar que tanto la tangente como la cotangente son periódicas y más concretamente, tienen periodo π. La prueba es muy fácil, basta tener en cuenta que Caṕıtulo 2. Ejercicios y problemas 35 Ejercicios y problemas 1. El radio de una circunferencia mide 18 cm. ¿Cuál es la longitud de un arco correspon- diente a un ángulo de 75◦? 2. ¿Cuál es la fórmula para hallar el área de un sector circular de n grados de amplitud?¿Y si el ángulo del sector se expresa en radianes? 3. Expresar en radianes las siguientes medidas: 45◦, 150◦, 210◦, 315◦. 4. Expresar en grados sexagesimales: 2π/3 rad, π/5 rad, 3π/8 rad. 5. Ordenar, de menor a mayor, las siguientes medidas de ángulos: 18◦, π/6 rad, 14◦, 0.4 rad. 6. Un globo está sujeto al suelo mediante un cordel de 80 m. de largo que forma con el suelo horizontal un ángulo de 70◦. Suponiendo que el cordel esté recto, calcular distancia del globo al suelo. 7. Si las puntas de los brazos de un compás distan entre śı 6.25 cm y cada brazo mide 11.5 cm, ¿qué ángulo forman los brazos? 8. Para calcular el área del triángulo AB’C’ disponemos únicamente de los datos del trapecio de la figura. Hallar dicho área. 4 6 3 A B C B’ C’ 9. Un rampa de saltos de exhibición para motocicletas se quiere prolongar de manera que el motorista salte desde una altura de 3m. Calcular la longitud AB. 7 2 3 O A B 10. Un poste vertical de dos metros proyecta una sombra de 0.8 m. A la misma hora, la torre de una iglesia es de 24.8 cm. Determinar la altura de la torre. 11. Determinar los valores de las razones trigonométricas del ángulo α si P es un punto del lado terminal, siendo el inicial OX y las coordenadas de P a) P = (6, 8) b) P = (−6, 8) c) P = (−3,−4) d) P = (−1, 5) e) P = (4,−7) f) P = (5,−12) Caṕıtulo 2. Ejercicios y problemas 36 12. Hallar las razones trigonométricas de los ángulos π/6 rad, π/4 rad, π/3 rad, 7π/12 rad, 25π/24 rad, 47π/12 rad. 13. Encontrar el ángulo α y las demás razones trigonométricas, sabiendo que a) cotg α = 12 5 b) cotgα = √ 6 2 c) secα = − √ 5 d) senα = −2 3 e) cosecα = −2 √ 3 3 f) cosα = −1 3 14. Simplificar las expresiones a) cos2 x− 2(1 + cos x) sen2 x 2 b) 1 2 sen(π/18) − 2 sen(7π/18) 15. Resolver las ecuaciones siguientes: a) sen (2x) cos x = 3 sen2 x b) tan(2x) = −tan x c) cos2 (2x) = sin2 (8π 9 ) d) √ 3 4 + tan(3x) = 3tan 2 3 4 e) sen2(2x)− cos2(2x) = 1 2 f) cos2 x + sin x = 1 4 g) 1 + tan2(3x + π) = 1 cos2 π 8 h) cos(2x) + sen x = 4 sen2 x 16. Determinar la longitud de los lados del triángulo de la figura, la medida de sus ángulos y su superficie si, a) b = 35m, A = 50◦, B = 70◦ b) a = 10cm, b = 7cm, C = 60◦ c) a = 10m, b = 9, c = 7 d) a = 40m, b = 60, A = 42◦ BC A c a b 17. Los lados de un triángulo miden 13m, 14m y 15m. Calcular el coseno y el seno del ángulo menor y la superficie del triángulo. 18. Un ŕıo tiene las dos orillas paralelas. Desde dos puntos A y B, de una misma orilla, distantes entre śı 24 metros, se observa un mismo punto C de la orilla opuesta. Los segmentos AB y AC forman con la orilla desde la que se observa, unos ángulos de 34◦ y 58◦ respectivamente. Determinar la anchura del ŕıo. Caṕıtulo 2. Ejercicios y problemas 37 19. Dos aviones salen de un mismo punto, en distintas direcciones, formando un ángulo de 25◦. Supuesto que han marchado en ĺınea recta, si uno ha recorrido 200 km. y el otro 320 km., ¿cuál es la distancia que los separa? 20. Dos personas, distantes entre śı 2 km. observan al mismo tiempo un avión. Si los ángulos de elevación observados son de 7π/18 rad y 17π/36 rad. ¿Cuál es la altura del avión, supuesto que está en el mismo plano vertical que los dos observadores? 21. Una estatua de 2 m. de altura está colocada sobre un pedestal. Desde un punto situado a 1.5 m. del suelo, el pedestal se ve formando un ángulo de 20◦ con la horizontal. Desde este mismo punto, el punto más alto de la estatua se ve formando un ángulo de 45◦ con la horizontal. Calcular la altura del pedestal. 22. Un campo de fútbol mide 50 m. de ancho y la porteŕıa tiene 8 m. de ancho. Si un jugador está situado en la banda lateral, a 18 m. de la ĺınea de fondo, ¿bajo qué ángulo ve la porteŕıa? 18 8 50 a 23. Calcular la longitud del segmento AB en la figura adjunta: M N A B 35º40º 60º 8 m Caṕıtulo 3. Nociones de Geometŕıa Plana 40 Las coordenadas de un punto en el plano son las longitudes, positivas o negativas, de los segmentos determinados por sus proyecciones sobre los ejes y el origen. 3.1. Distancia entre dos puntos. Ecuación de la cir- cunferencia. Se denomina distancia entre dos puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2) del plano, ver figura 3.2, que denotamos por d(A, B), a la longitud del segmento de recta que tiene por extremos A y B. Esto es: d(A, B) = √ (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2. A B x 2 x 1 y 1 y 2 Figura 3.2: Distancia entre dos puntos. Ejemplo 3.1.1. La distancia entre los puntos A = (1, 5) y B = (−3, 1) respecto de un mismo sistema de referencia, es igual a: d(A, B) = √ ((−3)− 1)2 + (1− 5)2 = √ 16 + 16 = √ 32 = 4 √ 2 Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que están a una distancia fija, llamada radio, de un determinado punto, llamado centro de la circunferencia. Una circunferencia está determinada por su centro, que será un punto de coordenadas (x0, y0), y su radio r. Para que un punto (x, y), pertenezca a la circunferencia de centro (x0, y0) y radio r, se debe cumplir la siguiente condición: d((x, y), (x0, y0)) = r y según la fórmula para la distancia entre dos puntos esta expresión queda como√ (x− x0)2 + (y − y0)2 = r que, elevada al cuadrado, da lugar a la ecuación de la circunferencia: (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2. 3.2. Ecuación de la recta. 41 Ejemplo 3.1.2. La ecuación de la circunferencia de radio 2 y centro el punto (3, 4) es (x− 3)2 + (y − 4)2 = 4. Si en la ecuación de la circunferencia (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2 desarrollamos los cuadrados resulta: x2 + y2 − 2x0x− 2y0y + x20 + y20 − r2 = 0 es decir, x2 + y2 + ax + by + c = 0, con a = −2x0, b = −2y0 y c = x20 + y20 − r2. Pero no todas las ecuaciones de la forma anterior representan una circunferencia, es ne- cesario que r2 sea positivo; es decir, los números a, b, c tienen que ser tales que r2 = x20 + y 2 0 − c = (− a 2 )2 + (− b 2 )2 − c = a 2 + b2 − 4c 4 > 0. En resumen, si a, b y c son números reales tales que a2 + b2− 4c > 0, entonces la ecuación de la forma x2 + y2 + ax + by + c = 0 representa una circunferencia con: Centro: C = (−a 2 ,− b 2 ), Radio: r = 1 2 √ a2 + b2 − 4c Ejemplo 3.1.3. Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0, hallar su centro y su radio. Centro: C = (−−2 2 ,−4 2 ) = (1,−2), Radio: r = 1 2 √ (−2)2 + 42 − 4(−4) = 3 3.2. Ecuación de la recta. Una recta es el conjunto de todos los puntos, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen una ecuación del tipo Ax + By + C = 0 (3.1) donde A, B y C son números reales. A esta ecuación se la conoce como ecuación impĺı- cita de la recta. Según la definición, un punto pertenece a una recta si, al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la recta, ésta se satisface. Ejemplo 3.2.1. El punto (1, 3) pertenece a la recta 4x−y−1 = 0 por ser 4 ·1−3−1 = 0 y el punto (2, 3) no pertenece a la recta por ser 4 · 2− 3− 1 6= 0. Caṕıtulo 3. Nociones de Geometŕıa Plana 42 Si B = 0, la ecuación 3.1 se reduce a x = −C A , que representa la recta paralela al eje de ordenadas, situada a distancia −C A del origen. Si A = 0, la ecuación 3.1 se reduce a y = −C B , que es la recta paralela al eje de abscisas situada a distancia −C B del origen. Ejemplo 3.2.2. La ecuación 2x − 5 = 0 es una recta paralela al eje de ordenadas formada por los puntos de abscisa constante x = 5 2 . La ecuación 3y + 1 = 0 es una horizontal formada por los puntos de ordenada fija y = −1 3 . Cuando B 6= 0 la ecuación 3.1 se puede expresar como y = −A B x− C B . Si hacemos m = −A B y n = −C B obtenemos la ecuación expĺıcita de la recta: y = mx + n La constante m se denomina pendiente de la recta e indica su inclinación, y la constante n representa la ordenada en el origen. La ecuación de la recta que pasa por el punto (x1, y1) y que tiene como pendiente m es: y − y1 = m(x− x1) Esta expresión se conoce como ecuación punto-pendiente de la recta. Si ahora conocemos dos puntos (x1, y1), (x2, y2) y queremos calcular la recta que pasa por ellos, debemos buscar una ecuación de la forma y = mx + n que se verifique para los valores (x1, y1) y también para (x2, y2); luego, tenemos que resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: { y1 = mx1 + n y2 = mx2 + n Una vez resuelto, obtenemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos : Si x1 6= x2, la ecuación es y = y2−y1x2−x1 (x− x1) + y1. Si x1 = x2, la ecuación es x = x1. Podemos observar que dados dos puntos existe una única recta que pasa por ellos. Ejemplo 3.2.3. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (3,−1) es y = −1−2 3−1 (x− 1) + 2 o bien, y = − 3 2 x + 7 2 . 3.6. Área de un triángulo 45 3.6. Área de un triángulo El área de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la altura (donde la altura es la longitud de un segmento perpendicular que parte de la base hasta llegar al vértice opuesto) y dividiéndolo por dos. Ejemplo 3.6.1. Los puntos de coordenadas A = (3, 8), B = (−11, 3) y C = (−8,−2) son los vértices de un triángulo. Hallar su área: Tomamos como base del triángulo el segmento BC, su longitud es: d(B, C) = √ (−8 + 11)2 + (−2− 3)2 = √ 34. La altura del triángulo será la distancia de A a la recta que pasa por B y por C, BC: Ecuación de BC: m = −2−3−8+11 = −5 3 → y = 3− 5 3 (x + 11) → 5x + 3y + 46 = 0 Altura: d(A, BC) = |5·3+3·8+46|√ 52+32 = 85√ 34 Área = 1 2 · √ 34 · 85√ 34 = 85 2 3.7. Punto medio de un segmento. Mediatriz Las coordenadas del punto medio, M , de un segmento de extremos (x1, y1), (x2, y2) son: M = ( x1 + x2 2 , y1 + y2 2 ) Ejemplo 3.7.1. El punto medio del segmento de extremos (−5, 2), (7,−4) es el punto M = (1,−1). Si A′ es el simétrico de A respecto de P , entonces P es el punto medio del segmento AA′. Aśı, si A = (a1, a2) y P = (p1, p2), las coordenadas de A ′ = (x, y) se pueden obtener resolviendo las siguientes ecuaciones:{ p1 = a1+x 2 p2 = a2+y 2 Ejemplo 3.7.2. Hallar el simétrico A′, del punto A = (7, 4) respecto de P = (3,−11): Llamamos (x, y) a las coordenadas de A′. Se cumple que:{ 3 = 7+x 2 → x=-1 −11 = 4+y 2 → y=-26 Luego, A′ = (−1,−26). Caṕıtulo 3. Nociones de Geometŕıa Plana 46 Se llama lugar geométrico al conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos, que equidistan de sus extremos: d((x, y), A) = d((x, y), B) Ejemplo 3.7.3. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A = (−3, 4), B = (1, 0): El punto (x, y) pertenece a la mediatriz del segmento AB si cumple la condición d((x, y), (−3, 4)) = d((x, y), (1, 0)):√ (x + 3)2 + (y − 4)2 = √ (x− 1)2 + y2 Elevamos al cuadrado los dos miembros y desarrollamos los cuadrados indicados: x2 + 6x + 9 + y2 − 8y + 16 = x2 − 2x + 1 + y2 → x− y + 3 = 0 → y = x + 3 La recta obtenida, y = x + 3, tiene las siguientes caracteŕısticas: Pasa por (−1, 2), que es el punto medio del segmento. Su pendiente, 1, y la pendiente del segmento, −1, cumplen que 1 · (−1) = −1. Son perpendiculares. 3.8. Ecuación de la elipse, hipérbola y parábola Definición. Dados dos puntos, F y F ′, llamados focos, y una distancia k, llamada cons- tante de la elipse (k > d(F, F ′)), se llama elipse al lugar geométrico de los puntos (x, y) cuya suma de distancias a F y a F ′ es igual a k: d((x, y), F ) + d((x, y), F ′) = k Definición. Dados dos puntos, F y F ′, llamados focos, y una distancia k, llamada cons- tante de la hipérbola (k < d(F, F ′)), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos (x, y) cuya diferencia de distancias a F y a F ′ es igual a k: |d((x, y), F )− d((x, y), F ′)| = k Definición. Dados un punto F , llamado foco, y una recta, d, llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos (x, y) que equidistan de F y de d: d((x, y), F ) = d((x, y), d) Ejemplo 3.8.1. Dados los puntos F = (−2, 5), F ′ = (7,−3) y la recta r ≡ x− y−1 = 0, obtener las ecuaciones de: 3.8. Ecuación de la elipse, hipérbola y parábola 47 1. La elipse de focos F y F ′ y cuya constante es 17. d((x, y), F ) + d((x, y), F ′ ) = 17 → √ (x + 2)2 + (y − 5)2 + √ (x− 7)2 + (y + 3)2 = 17 2. La hipérbola de focos F y F ′ y cuya constante es 6. |d((x, y), F )− d((x, y), F ′)| = 6 → | √ (x + 2)2 + (y − 5)2− √ (x− 7)2 + (y + 3)2| = 6 3. La parábola de foco F y directriz r. d((x, y), F ) = d((x, y), r) → √ (x + 2)2 + (y − 5)2 = |x−y−1|√ 1+1 3.8.1. Estudio de la elipse Elementos caracteŕısticos de la elipse: Los elementos caracteŕısticos de una elipse de focos F y F ′ , figura 3.6, son: O centro de la elipse a = OA = OA′ semieje mayor b = OB = OB′ semieje menor c = OF = OF ′ semidistancia focal Figura 3.6: La elipse. La constante, k, de la elipse es 2a, pues k = AF +AF ′ = 2a. Como B es un punto de la elipse se cumple que BF +BF ′ = 2a ⇒ BF = BF ′ = a. Además, el triángulo rectángulo BOF cumple que a2 = b2 + c2. A los puntos A, A′, B y B′ les llamamos vértices de la elipse.1 Se llama excentricidad de una elipse al cociente entre la distancia focal y el eje mayor, e = c a , que es un número mayor que cero y menor que 1. Las tres elipses de la figura 3.7 tienen el mismo eje mayor, 2a. Se observa que cuanto más distan los focos, mayor es su excentricidad. 1Esta notación no está universalmente aceptada. Algunos autores llaman vértices sólo a los puntos extremos del eje mayor. Caṕıtulo 3. Nociones de Geometŕıa Plana 50 p distancia del foco a la directriz. Figura 3.9: La parábola. Ecuación reducida de la parábola: La ecuación reducida de la parábola de foco F = (p 2 , 0) y directriz d ≡ x = −p 2 es y2 = 2px. Caṕıtulo 3. Ejercicios y problemas 51 Ejercicios y problemas 1. Hallar el centro y el radio de cada una de las siguientes circunferencias: x2 + y2 = 8 (x− 3)2 + (y + 0′3)2 = 9 4x2 − 4x + 4y2 − 3 = 0 x2 + y2 − 4x + 6y = 100 x2 + y2 − 8x + 10y = 4 4x2 + 4y2 + 28y + 13 = 0 x2 − 8x + y2 + 12y = 48 9x2 − 6x + 9y2 + 6y = −1 x2 + 2 √ 2x + y2 − 2 √ 3y = 0 2. Hallar, en cada caso, el centro, el radio y la ecuación de la circunferencia C que cumple: a) El segmento que une los puntos P1(−1,−3) y P2(3, 1) es un diámetro de C. b) Pasa por los puntos P1(1− 2), P2(−3, 4) y P3(4, 2). c) Pasa por los tres vértices de un triángulo equilátero del cual se sabe que está en el primer cuadrante, uno de sus lados es paralelo al eje OX, su altura vale 3 √ 3 2 y uno de sus vértices es el punto P (1, 1) (Hallar todas las soluciones). d) Pasa por los seis vértices de un hexágono regular uno de cuyos lados es el segmento que une los puntos P1(1, 1) y P2(3, 1) (Hay dos soluciones). e) Es tangente a la circunferencia C ′ ≡ x2 + 4x + y2 + 6y = −9, la recta que une los centros de C y C ′ es paralela al eje OY y el radio de C es dos tercios del radio de C1 (Hay cuatro soluciones). f) Tiene el mismo centro que la circunferencia C ′ que pasa por los puntos P1(−2, 0), P2(0, 1) y P3(−1,−2) y el área que encierra es la misma que el área de la corona circular que delimita en el interior de C ′. 3. La circunferencias C1 y C2 tienen radios 1 y 2 respectivamente y sus centros están en los puntos P (1, 1) y Q(3, 2). Hallar la distancia entre sus puntos de corte. 4. Hallar, en cada caso, el área de la zona rayada: 0 2 3 1 0 1 1 2 1 2- 0 2 3 1 2 3- 0 1 2 5. Hallar, en cada caso, la pendiente de la recta r sabiendo que r: a) Pasa por los puntos P1(−1, 2) y P2(2,−1). b) Pasa por los puntos P1(0,−2) y P2(87′3,−2). c) Pasa por los puntos P1(−2, 0) y P2(−2, 87′3). d) Su ordenada en el origen vale 2 y corta al eje OX en el punto P (2 3 , 0). e) Pasa por los puntos P (1, a) y Q(a + 1, b). Caṕıtulo 3. Ejercicios y problemas 52 6. ¿Están alineados los puntos P (0, 3), Q(1, 1) y R(2,−1)? Hallar a para que los puntos P1(1, 5), Q(−2,−1) y R(a2 − 1, 3(a + 1)) estén alineados. 7. Determinar si la recta que pasa por los puntos P y Q es paralela, perpendicular o ninguna de las dos cosas a la recta que pasa por los puntos R y S en los casos siguientes: a) P (4, 2), Q(8, 3), R(−2, 8) y S(1,−4). b) P (0,−5), Q(15, 0), R(1, 2) y S(0, 5). c) P (−7, 8), Q(8,−7), R(−8, 10) y S(6,−4). d) P (8,−2), Q(2, 8), R(−2,−8) y S(−8,−2). 8. Hallar k para que las rectas que pasan, respectivamente, por P y Q y por R y S sean: 1) Paralelas y 2) Perpendiculares. a) P (2, 1), Q(6, 3), R(4, k) y S(3, 1). b) P (1, k), Q(2, 3), R(1, 7) y S(3, 6). c) P (9, 4), Q(k, 10), R(11,−2) y S(−2, 4). d) P (1, 2), Q(4, 0), R(k, 2) y S(1,−3). 9. Dibujar y hallar, en cada caso, la ecuación de la recta r sabiendo que r: a) Pasa por los puntos P (2,−1) y Q(−2, 3). Idem con P (2′5,−3′8) y Q(3′8,−2′5). b) Pasa por el punto P (−2, 1) y es paralela a la recta 2x + y + 1 = 0. c) Pasa por el punto P (−2, 1) y es paralela a la recta x + 2y + 1 = 0. d) Pasa por el punto P (−1′5, 1 3 ) y es perpendicular a la recta 3x− 2y = 4. e) Pasa por el punto P (2, 3) y es una recta vertical. f) Pasa por el punto P (3, 2) y es una recta horizontal. g) Pasa por el punto A(−1′2, 2′3) y es perpendicular al segmento que une los puntos P (2,−1) y Q(−3 5 , 9 7 ). h) Es la mediatriz del segmento que une los puntos P (2,−1) y Q(−3 5 , 9 7 ). i) Pasa por el punto medio del segmento que une los puntos de corte de la recta 2x − y + 1 = 0 con la circunferencia (x − 1)2 + (y − 1)2 = 5 y es perpendicular a dicho segmento. j) Pasa por el punto P (1,−1) y es paralela a la recta x a + y b = 1. k) Es perpendicular a la recta 2x + 3y + 4 = 0 y su ordenada en el origen es 5. l) Es paralela al segmento que une los puntos P (2,−1) y Q(3, 0) y pasa por R(4, 0). m) Es la recta simétrica respecto del eje OY de la recta 2x + 3y + 4 = 0. n) Es la recta simétrica respecto del eje OX de la recta mediatriz del segmento que une los puntos A(2, 1) y B(1, 3). Caṕıtulo 3. Ejercicios y problemas 55 31. Dada la parábola y = x2−2x, encontrar otra parábola tal que sus vértices respectivos y los dos puntos en los que se cortan dichas parábolas sean los vértices de un cuadrado. 32. Hallar los vértices y los focos las siguientes elipses (y dibujarlas): a) x 2 16 + y 2 4 = 1 b) x 2 2 + y 2 5 = 1 c) x2 + 2y2 + 4y + 7 = 6x d) 25x2 + 9y2 = 225 e) 4x2 + 25y = 25 f) 2x2 + 5y2 − 3x + 10y = 0 g) 9x2 − 18x + 4y2 = 27 h) 6x2 + 4y2 = 2 i) √ 2x2 + √ 3y2 + 2x = 3y 33. Hallar, en cada caso, la constante, todos los vértices2, la excentricidad y la ecuación de la elipse (y dibujarla) que cumple: a) Tiene sus focos situados en los puntos F1(−2, 0) y F2(2, 0) y dos de sus vértices son los puntos V1(−5, 0) y V1(5, 0). b) Focos: F1(0, 5) y F2(0,−5) Vértices: V1(0, 13) y V2(0,−13). c) Focos: F1(3, 1) y F(3,−1) Vértices: V1(3, 3) y V2(3,−3). d) Focos: F1(1, 2) y F( − 1, 2) Longitud del eje mayor 6. e) Centro: C(2, 2) Foco: F1(0, 2) Vértice: V1(5, 2) f) Focos: F1(−3, 1) y F2(1, 1) Vértice: V1(−1, 3) 34. Hallar la constante y la ecuación de las hipérbolas que cumplen: a) Focos: F1(−5, 0) y F2(5, 0) Vértices: V1(−2, 0) y V2(2, 0). b) Focos: F1(0, 13) y F2(0,−13) Vértices: V1(0, 5) y V2(0,−5). c) Focos: F1(3, 1) y F(3,−1) Vértices: V1(3, 3) y V2(3,−3) d) Vértices: V1(3, 0) y V2(−3, 3) Aśıntotas: y = 2x y = −2x. e) Focos: F1(2, 2) y F(6, 2) Aśıntotas: y = x− 2 y = 6− x 35. Hallar sobre el eje OX cuatro puntos A1(−a, 0), A2(a, 0), B1(−b, 0) y B2(b, 0) con a > b > 0 tales que la elipse cuyos focos son A1 y A2 y cuyos vértices son B1 y B2 corta a la hipérbola cuyos focos son B1 y B2 y cuyos vértices son A1 y A2 en cuatro puntos que resultan ser los vértices de un cuadrado. 2Recuérdese que nosotros llamamos vértices a los puntos extremos del ambos ejes, el mayor y el menor. Algunos autores llaman vértices sólo a los puntos extremos del eje mayor Caṕıtulo 4 Las funciones elementales 4.1. Conceptos básicos sobre funciones Sea D un subconjunto de números reales. Una función (real de variable real) es una “ley” que a cada número real x del subconjunto D le asocia otro número real único (denominado imagen de x). Al conjunto D se le llama dominio de la función. Ejemplos de funciones son los siguientes: 1. La ley que a cada número no negativo le asocia su ráız cuadrada positiva. 2. La ley que a cada número del intervalo [−1, 5] le asocia su cuadrado aumentado en dos unidades. 3. La ley que a cada número distinto de 0 le asigna su inverso. En el primer ejemplo, el dominio de dicha función seŕıa R+∪{0} (es decir, los números no negativos); en el segundo caso, el dominio es el conjunto [−1, 5] tal y como nos indican; por último, el dominio de la tercera función es R\{0}, puesto que podemos calcular el inverso de cualquier número real excepto del 0. Las funciones se suelen denotar con las letras f, g, h, . . .. Para determinar una función, hay que indicar tanto su dominio como la expresión algebraica que permite obtener la imagen de cada valor del dominio. Esto se suele abreviar en Matemáticas de la siguiente forma: f : D −→ R x 7→ f(x) es decir, estamos definiendo una función que denominamos f , cuyo dominio es D y que a cada número x del dominio D le asocia la imagen f(x). Volviendo a los ejemplos de arriba, tendŕıamos que tales funciones se abrevian como sigue: Caṕıtulo 4. Las funciones elementales 60 de que cualquier recta vertical corta a dicha gráfica en, a lo sumo, un punto. 4.2. Algunas caracteŕısticas sobre funciones Sea f una función con dominio D. Se dice que f es creciente en el intervalo I ⊂ D si, cualesquiera que sean x1, x2 ∈ I verificando x1 < x2, se cumple que f(x1) < f(x2); es decir, si a medida que crece x en el intervalo I, crece f(x) (la gráfica de f “sube” a medida que “nos movemos hacia la derecha” en el eje OX). Se dice que f es decreciente en el intervalo I ⊂ D si, cualesquiera que sean x1, x2 ∈ I verificando x1 < x2, se cumple que f(x1) > f(x2); es decir, si a medida que crece x en el intervalo I, decrece f(x) (la gráfica de f “baja” a medida que “nos movemos hacia la derecha” en el eje OX). −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 X: 1 Y: −4 X: 3 Y: 0 X: −1 Y: 0 X: −2 Y: 5 X: −1.5 Y: 2.25 X: 4 Y: 5 La función f(x) = x2 − 2x − 3 es decrecien- te en el intervalo (−∞, 1) y es creciente en (1, +∞). Se dice que f está acotada superiormente en el intervalo I ⊂ D si existe un número M ∈ R tal que f(x) ≤ M cualquiera que sea x ∈ I; es decir, la imagen de cualquier x del intervalo I es menor que cierta constante M (la gráfica de f queda por debajo de la recta horizontal y = M). La constante M recibe el nombre de cota superior de f en I. Se dice que f está acotada inferiormente en el intervalo I ⊂ D si existe un número m ∈ R tal que f(x) ≥ m cualquiera que sea x ∈ I; es decir, la imagen de cualquier x del intervalo I es mayor que cierta constante m (la gráfica de f queda por encima de la recta horizontal y = m). La constante m recibe el nombre de cota inferior de f en I. Se dice que f está acotada en el intervalo I ⊂ D si está acotada superior e inferior- mente en I. En virtud de las definiciones anteriores, esto puede resumirse diciendo que existe un número K > 0 tal que −K ≤ f(x) ≤ K cualquiera que sea x ∈ I (la gráfica de 4.2. Algunas caracteŕısticas sobre funciones 61 f está entre las rectas horizontales y = −K e y = K). La constante K recibe el nombre de cota de f en I. −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −3 −2 −1 0 1 2 3 x f(x)=arctg(x) Esta función está acotada superior e inferior- mente en R (por ejemplo, M = 2 es cota superior de f en R y m = −2 es cota inferior de f en R). Es, pues, una función acotada en R. −6 −4 −2 0 2 4 6 0 5 10 15 20 25 30 35 40 x f(x)=x2+1 −6 −4 −2 0 2 4 6 0 5 10 15 20 25 30 35 40 x f(x)=x2+1 en [−2,2] Esta función está acotada inferiormen- te en R (m = 1 sirve como cota infe- rior de f en R) pero no está acotada superiormente en R. Sin embargo, si nos restringimos, por ejemplo, al intervalo I = [−2, 2], f śı está acotada superiormente (sirve como cota superior M = 5); aśı pues, la función f śı está acotada en [−2, 2]. Caṕıtulo 4. Las funciones elementales 62 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000 x f(x)=x3 Esta función no está acotada superior ni in- feriormente en R. Se dice que f es par si f(−x) = f(x) cualquiera que sea x ∈ D; es decir, si cualquier número real del dominio y su opuesto tienen la misma imagen (la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje OY ). Se dice que f es impar si f(−x) = −f(x) cualquiera que sea x ∈ D; es decir, si cualquier número real del dominio y su opuesto tienen imágenes opuestas (la gráfica de una función impar es simétrica respecto del origen). −6 −4 −2 0 2 4 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X: 1 Y: 0.5 X: 2 Y: 0.2 X: −2 Y: 0.2 X: −1 Y: 0.5 f(x)=1/(1+x2) −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 X: 2 Y: 8 X: 3.5 Y: 42.88 X: −2 Y: −8 g(x)=x3 X: −3.5 Y: −42.88 La función f(x) = 1/(1+x2) es par; en efec- to, f(−x) = 1 1 + (−x)2 = 1 1 + x2 = f(x). La función g(x) = x3 es impar; en efecto, g(−x) = (−x)3 = −x3 = −g(x). Se dice que f : R −→ R es periódica si existe un número T > 0 cumpliendo que f(x+T ) = f(x) si x ∈ R; es decir, si las imágenes de los puntos de la recta real se repiten 4.4. Inversa de una función 65 la parábola y = x2 en dos puntos: (4, 16) y (−4, 16). −5 0 5 0 5 10 15 20 25 X: 4 Y: 16 f(x)=x2 X: −4 Y: 16 La función f(x) = x2 no es inyectiva. Cual- quier recta horizontal por encima del eje OX corta a su gráfica en dos puntos. En el ejemplo anterior, si nos quedamos con una mitad de la parábola, obtenemos una función inyectiva.Aśı, la función g(x) = x2 definida en [0, +∞) śı es inyectiva. −5 0 5 0 5 10 15 20 25 X: 4 Y: 16 Dada una función inyectiva f : D −→ R, la función inversa f−1 es la que tiene por dominio Im (f) y a cada imagen le asocia su correspondiente origen. Por ejemplo, consideremos la función f(x) = 3x, esto es, la función que a cada x ∈ R le asocia el triple de x (f es inyectiva por ser creciente). Aśı, por ejemplo, f(2) = 6 y f(4) = 12. La función inversa f−1 tiene por dominio Im (f) = R y es aquella que a cada valor real le asocia su tercera parte, o sea, f−1(x) = x/3; de esta forma, resulta evidente que f−1(6) = 2 y f−1(12) = 4. El procedimiento general para obtener la función inversa de una función inyectiva dada, Caṕıtulo 4. Las funciones elementales 66 f , consiste en despejar x de la ecuación y = f(x), poniendo aśı x como una expresión en función de y, en concreto, x = f−1(y). Veamos algunos ejemplos: 1. Si f(x) = x3, despejando x en y = x3 resulta x = 3 √ y, de donde f−1(y) = 3 √ y (recordemos que el nombre de la variable es intrascendente; de hecho, si resulta más familiar puede escribirse f−1(x) = 3 √ x). 2. Si f(x) = 3x + 2, despejando x en y = 3x + 2 resulta x = y − 2 3 , luego f−1(y) = y − 2 3 (o también f−1(x) = x− 2 3 ). OBSERVACIONES: En este instante es fácil justificar por qué se ha definido la función inversa tan sólo para funciones inyectivas. La idea consiste en que, si una función f no es inyectiva, entonces hay al menos dos valores x1 y x2 que van la misma imagen c. Al considerar la “función” inversa, tendŕıamos que f−1 asignaŕıa a c los valores x1 y x2, lo que entra en contradicción con el concepto de función (una función asigna a cada valor de la variable independiente una única imagen). Por ejemplo, intentemos obtener la función inversa de f(x) = x2; si procedemos como en los ejemplos anteriores, debemos despejar x de y = x2, resultando ahora x = ±√y, es decir, f−1(y) = ±√y. Pero esta expresión última no es una función pues a cada valor y no negativo le asocia dos valores: + √ y y −√y. Si I ⊂ R, la función identidad en I es aquella definida por idI(x) = x cualquie- ra que sea x ∈ I. Si f es inyectiva con dominio D, las igualdades siguientes son consecuencias directas de las definiciones de función inversa y función compuesta: 1. f−1 ◦ f = idD 2. f ◦ f−1 = idIm(f). La gráficas de una función y de su inversa son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. J 4.5. Estudio de las funciones elementales 67 4.5. Estudio de las funciones elementales La mayoŕıa de las funciones con las que se trabaja se obtienen al operar con unas pocas funciones llamadas funciones elementales. A continuación se estudian algunas de ellas. 4.5.1. Función polinómica Una función polinómica de grado n es una función de la forma f(x) = anx n + an−1x n−1 + . . . + a1x + a0, siendo n ∈ N, an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R y an 6= 0. El dominio de estas funciones es R. Tenemos varios casos particulares especialmente relevantes: 1. Función af́ın: son las funciones de la forma f(x) = ax + b. La gráfica de este tipo de funciones es una recta. −6 −4 −2 0 2 4 6 −10 −5 0 5 10 15 −6 −4 −2 0 2 4 6 −10 −5 0 5 10 15 Función af́ın f(x) = ax + b con a > 0 Función af́ın f(x) = ax + b con a < 0 Caṕıtulo 4. Las funciones elementales 70 ax1+x2 = ax1 · ax2 a−x = 1 ax ax1−x2 = ax1 ax2 (ax1)x2 = ax1·x2 ax1/x2 = x2 √ ax1 (a · b)x = ax · bx(a b )x = ax bx La gráfica de este tipo de funciones depende de si a > 1 o a ∈ (0, 1) (el caso a = 1 no tiene interés pues f(x) = 1x = 1 para todo x ∈ R). −6 −4 −2 0 2 4 6 −10 0 10 20 30 40 50 60 70 X: 0 Y: 1 −6 −4 −2 0 2 4 6 −10 0 10 20 30 40 50 60 70 X: 0 Y: 1 Función exponencial f(x) = ax con a > 1 Función exponencial f(x) = ax con a ∈ (0, 1) La función exponencial más utilizada es f(x) = ex; al ser e > 1, su gráfica es como la superior izquierda. 4.5.5. Función logaŕıtmica La función logaritmo en base a es una función de la forma f(x) = loga x, siendo a > 0 y a 6= 1 (véase caṕıtulo 1). El dominio de estas funciones es R+ y su imagen es R. La función logaritmo en base a resulta ser la función inversa de la función exponencial de base a definida anteriormente. Aśı pues y como ya se ha visto en el caṕıtulo 1, la relación que define al logaritmo es la siguiente: loga x = y ⇔ ay = x 4.5. Estudio de las funciones elementales 71 es decir, loga x es el número al que hay que elevar a para obtener como resultado x. A continuación se recuerdan algunas propiedades de los logaritmos (véase caṕıtulo 1): loga a = 1 y loga 1 = 0 loga(x1 · x2) = loga x1 + loga x2 loga x1 x2 = loga x1 − loga x2 loga x p = p · loga x loga p √ x = 1 p loga x Al igual que ocurŕıa con la exponencial, la gráfica de la función logaŕıtmica depende de si la base es mayor que 1 o es un valor entre 0 y 1. −2 0 2 4 6 8 10 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 X: 1 Y: 0 −2 0 2 4 6 8 10 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 X: 1 Y: 0 Función logaritmo f(x) = loga x con a > 1 Función logaritmo f(x) = loga x con a ∈ (0, 1) La función logaritmo más utilizada es la de base e (logaritmo neperiano) y se denota f(x) = ln x o simplemente f(x) = log x; al ser e > 1, su gráfica es como la superior izquierda. 4.5.6. Funciones trigonométricas Es conveniente recordar que, en el Cálculo, se emplea el radián para la medida de los ángulos por ser una medida adimensional. Caṕıtulo 4. Las funciones elementales 72 1. Función seno: viene dada por f(x) = sen x. Su dominio es R y su imagen, el intervalo [−1, 1]. −6 −4 −2 0 2 4 6 −1 −0.5 0 0.5 1 f(x)=sen(x) El seno es una función periódica de periodo 2π y, puesto que sen (−x) = −sen x, es una función impar. 2. Función coseno: viene dada por f(x) = cos x. Su dominio es R y su imagen, el intervalo [−1, 1]. −6 −4 −2 0 2 4 6 −1 −0.5 0 0.5 1 f(x)=cos(x) El coseno es una función periódica de periodo 2π y, puesto que cos (−x) = cos x, es una función par. 3. Función tangente: viene dada por f(x) = tg x. Teniendo en cuenta que tg x = sen x cos x , su dominio es R quitando los puntos en los que se anula la función coseno. Por tanto, 4.5. Estudio de las funciones elementales 75 −6 −4 −2 0 2 4 6 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 f(x)=arctg(x) Caṕıtulo 4. Ejercicios y problemas 76 Ejercicios y problemas 1. Observar la siguiente gráfica e indicar: Dominio de definición. Recorrido. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mı́nimos. 2. Dibujar la gráfica de una función impar de dominio R, que corte a los ejes en los puntos (-3,0), (0,0) y (3,0) y que tenga un máximo en (-2,1). 3. Calcular el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = log(x 2−1 x+2 ) b) f(x) = √ x3 − 3x2 + 2x c) f(x) = arc cos(x−1 x+2 ) d) f(x) = 4 √ −x + 1√ 1+x e) f(x) = √ 1− √ 1− x2 4. Dadas las funciones f(x) = sen (x − 1), g(x) = x2+5 x y h(x) = ex+3 , realizar las siguientes operaciones: a) f ◦ g b) g ◦ h c) h−1 ◦ f d) f ◦ g ◦ h 5. Demostrar que si f y g son funciones crecientes, entonces f ◦ g también lo es. ¿Y si f y g fueran decrecientes? ¿Y si una fuera creciente y la otra decreciente? 6. Calcular la inversa de las siguientes funciones: a) f(x) = x−4 3x−5 b) f(x) = 2 √ x + 5 c) f(x) = e x−e−x 2 d) f(x) = arcsen(x3 − 1) 7. Dar dos ejemplos de funciones que coincidan con su inversa. 8. Calcular el periodo de las siguientes funciones: a) f(x) = cos(2x) + cos(x + 3) b) f(x) = sen2x Caṕıtulo 4. Ejercicios y problemas 77 9. Obtener una función f(x) de la cual sabemos que es un polinomio de tercer grado que corta a los ejes en los puntos (-2,0), (1,0), (3,0) y (0,3). 10. De entre las siguientes funciones, elegir las que corresponden a las gráficas de la figura. a) f(x) = − cos(2x) b) f(x) = −x2 − 2x + 5 c) f(x) = 2−x − 3 d) f(x) = − log(x− 1) e) f(x) = 2 + sen x f) f(x) = log(x + 3) g) f(x) = −2x + 3 h) f(x) = −x2 + 2x + 5 i) f(x) = −(x− 1)2 I II III IV 11. Para alquilar un coche una empresa nos ofrece las siguientes siguientes tarifas: Tarifa A: 30 euros diarios. Tarifa B: 12 euros diarios más 6 céntimos por kilómetro recorrido. Representar la función de gasto en cada opción. ¿A partir de qué recorrido es más rentable la tarifa A que la B? 12. Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota. La altura h, en metros, a la que se encuentra en cada instante t, en segundos, viene dada por h(t) = 30t− t2. a) Representar gráficamente h(t). b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? ¿En qué momento se alcanza? c) ¿En qué intervalo de tiempo está a más de 25 metros de altura? 13. Expresar de otra forma (efectuando la división) y representar gráficamente la función g(x) = 3x+2 x+1 a partir de la gráfica de f(x) = 1 x . 14. Dibujar en unos mismos ejes los siguientes pares de funciones: a) f(x) = cos x g(x) = | cos(x + π)| b) f(x) = ex g(x) = 3− ex−1 15. Un tipo de bacterias duplica su número cada 3 horas. Si en el instante inicial hay 100 bacterias, Parte II F́ısica 5.6. Notación cient́ıfica, cálculo de órdenes de magnitud y cifras significativas 85 [superficie] = L2 [volumen] = L3 [densidad] = M L−3 [velocidad] = L/T = L T−1 [aceleración] = L T−2 [fuerza] = M L T−2 5.6. Notación cient́ıfica, cálculo de órdenes de mag- nitud y cifras significativas En F́ısica es muy habitual encontrarse con números tremendamente grandes o tre- mendamente pequeños, siendo muy incomodo escribirlos en la notación decimal habitual. Considere por ejemplo los siguientes números: −0.000000000000000000000000000002345 ó 123400000000000000000000. Su expresión en notación cient́ıfica es respectivamente −2.335 10−30 y 1.234 1023. Como puede observarse, un número en notación cient́ıfica se escribe como un número mayor que uno y menor que diez2, siendo este número la mantisa, multiplicado por diez elevado a la potencia correspondiente. Puede haber ocasiones en que resulte conveniente escribir la mantisa como un número mayor que diez o menor que uno: 1234 1023. Cuando se escribe una cantidad es conveniente dejar claro cuántas cifras de un número son signiticativas, es decir, se conocen con suficiente precisión. Una de las caraceŕısticas de la notación cient́ıfica es que con ella se expresa de forma precisa el número de cifras significativas. Simplemente se corresponden con el número de cifras que aparece en la mantisa. Por ejemplo, 1.234 1023, tiene cuatro cifras significativas, 1234, siendo 1 la primera cifra significativa, 2 la segunda, 3 la tercera y 4 la cuarta (última). Una consecuencia será que con la notación cient́ıfica tendremos una idea sobre el error asociado a la cantidad. De forma simplificada se corresponderá con el valor de la unidad, 1, situado en la posición de la última cifra significativa. Siguiendo con el anterior ejemplo, su error será del orden de 0.001 1023. Pudiendo expresarse el número con su error como 1.234 1023 ± 0.001 1023. Cuando se realizan operaciones sencillas, como la suma (resta) y la multiplicación (división), existen reglas para mantener el número correcto de cifras significativas en el resultado. Aśı, en la suma (resta) de dos números, las cifras más allá de la última cifra decimal en que ambos números tienen cifras signiticativas ya no son significativas. Por 2en valor absoluto Caṕıtulo 5. Magnitudes f́ısicas y unidades 86 ejemplo: 0.034 + 0.01 = 0.04. En el caso de la multiplicación (división) de dos núme- ros, el número de cifras significativas no debe ser mayor que el menor número de cifras significativas de cualesquiera de los dos factores. Por ejemplo: 0.037× 0.013 = 4.8 10−4. El uso de la notación cient́ıfica también permite realizar fácilmente cálculos de orden de magnitud. Tenga en cuenta que el orden de magnitud de una cantidad no es más que el exponente al que está elevado el número 10. Aśı, el orden de magnitud de 1.234 1023 será 23 mientras que el de −2.335 10−30 será −30. El orden de magnitud de su producto será −7, es decir su suma, mientras que el de su suma o resta será 23, es decir, siempre dominará el mayor de las órdenes de magnitud. Caṕıtulo 5. Ejercicios y problemas 87 Ejercicios y problemas 1. ¿Todo número debe ir acompañado de una unidad? Justifique su respuesta con ejem- plos. 2. Exprese en unidades del sistema internacional: velocidad, aceleración, enerǵıa, densi- dad, calor espećıfico, momento lineal y momento angular. Nota: vea el apéndice para las definiciones. 3. Los grados cent́ıgrados, ◦ C y los kelvin, K, tienen el mismo tamaño, en cambio sus oŕıgenes son diferentes: 0◦C= 273.15 K. ¿Es correcto ◦ 6 C 6 K ? 4. Un metro es igual a 39.37 pulgadas (inch). Calcule, cuántos cent́ımetros cuadrados son 70.2 pulgadas2. 5. Un pie equivale a 0.3048 m. Calcule cuántos dm3 son 204.32 pie3. 6. Una persona adulta debe consumir diariamente unas 2500 kcal. Calcule a cuántos julios, btu y kWh equivale esa cantidad de enerǵıa. Nota: vea el apéndice para las conversiones. 7. La densidad se define como la masa dividida por el volumen. Teniendo en cuenta que una libra es igual a 0.4539 kg y que un pie equivale a 0.3048 m. Calcule en el SI la densidad de una esfera de 7.5 libras de masa y 17.2 pies de radio. Nota: Vesfera = 4/3π R 3. 8. El kilogramo patrón es un cilindro de platino-iridio de 39.0 mm de altura y 39.0 mm de diámetro. ¿Cuál es la densidad del material en el SI y en libras/pies3? 9. La masa del planeta Saturno es de 5.64 1026 kg, siendo su radio de 6.00 107 m. Calcule la densidad media del planeta en el SI y en el sistema CGS. Nota: Vesfera = 4/3πR 3. 10. En un hogar se consumen 450 kWh de electricidad en un mes. Exprese esa enerǵıa en ergios, julios, btu y MeV. Nota: vea el apéndice para las conversiones de unidades. 11. En un hogar se consumen 450 kWh de electricidad en un mes. Si la potencia es la enerǵıa dividida por el tiempo, calcule la potencia promedio consumida en dicho hogar, expresada en W. Nota: vea el apéndice para las conversiones de unidades. 12. Un atleta puede recorrer cien metros en 9.90 s. ¿Cuál es su velocidad en m/s y en km/h? 13. Si el agua tiene una masa molecular de 18 g/mol y el número de Avogadro vale 6.023 1023, calcule cuántas moléculas de agua hay en 5.5 g de agua.