Axiomas fundamentales: Números Reales, Esquemas y mapas conceptuales de Matemáticas

¡Descarga Axiomas fundamentales: Números Reales y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Matemáticas solo en Docsity! UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA CURSO: FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Axioma de los Números Reales A. AXIOMAS DE LA ADICIÓN (ℝ, +, 𝟎) Cerradura: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ → 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ. Conmutatividad: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Asociatividad: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ. Identidad aditiva: ∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∃0 ∈ ℝ | 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎. Opuesto aditivo: ∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∃ − 𝑎 ∈ ℝ, 𝑦 𝑒𝑠 ú𝑛𝑖𝑐𝑜, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0 B. AXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN (ℝ,∗, 𝟏) Cerradura: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ → 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ ℝ. Conmutatividad: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Asociatividad: (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐), ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ. Identidad multiplicativa: ∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∃ 1 ∈ ℝ | 𝑎 ∗ 1 = 1 ∗ 𝑎 = 𝑎. Inverso multiplicativo: ∀ 𝑎 ≠ 0, ∃ 𝑎−1 ∈ ℝ, , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ∗ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∗ 𝑎 = 1 C. AXIOMA DISTRIBUCIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO A LA ADICIÓN. 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐, ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ D. AXIOMAS DE LA IGUALDAD. Para los números , ,a b c se cumple los siguientes axiomas: I1) 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 (reflexiva) I2) 𝑎 = 𝑏 → 𝑏 = 𝑎 (simetría) I3) 𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 𝑦 𝑏 = 𝑐 → 𝑎 = 𝑐 (transitiva) E. AXIOMAS RELATIVOS A LA RELACIÓN DE ORDEN O1) Ley de Tricotomía: para dos números 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ, uno y sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero: 𝑎 < 𝑏, 𝑎 = 𝑏, 𝑎 > 𝑏 O2) Ley Transitiva: a b b c a c     O3) Leyes de Monotonía: a) Si 𝑎 < 𝑏 → ∀ 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 (consistencia aditiva) b) Si 0a b y c ac bc    (consistencia multiplicativa) c) Si 0a b y c ac bc    (consistencia multiplicativa) O4) Existe un conjunto ℝ+, tal que ℝ+ ⊂ ℝ, llamado conjunto de números reales positivos, el cual satisface las siguientes propiedades: a) Si 𝑎 ∈ ℝ+ y 𝑏 ∈ ℝ+ → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ+ 𝑦 𝑎𝑏 ∈ ℝ+ b) Para cada 𝑎 ≠ 0: 𝑎 ∈ ℝ+ ó − 𝑎 ∈ ℝ+ pero no ambos. c) 0 ∈ ℝ+ F. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES: Para cualesquiera números reales 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ ℝ, definiremos a la sustracción de números reales por: ( )a b a b− = + −