Bird, ejercicios capitulo 2 B, Ejercicios de Física

¡Descarga Bird, ejercicios capitulo 2 B y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity! TRANSPORTE DE MOMENTUM, EJERCICIOS DE BIRD, CAPÍTULO 2, B. 2B.1 Diferente elección de coordenadas para el problema de la película descendente. Obtener nuevamente el perfil de velocidad y la velocidad media en $2.2, sustituyendo x por una coor- denada Y medida lejos de la pared, es decir, Y = O es la superficie de la pared, y Y = 0 es la in- terfase líquido-gas. Demostrar entonces que la distribución de velocidad está dada por 7, = (938? /p)1(3/8) — 4 (3/8)*] cos B y luego usar este resultado para obtener la velocidad media. Demuestre cómo es posible ob- tener la ecuación 2B.1-1 a partir de la ecuación 2.2-18 haciendo un cambio de variable. 2B.1 Different choice of coordinates for the falling film problem Set up a momentum balance as before, and obtain the differential equation dr, di =pgcosB Since no momentum is transferred at Y=8, then at that plane 1, =0. This boundary condition enables us to find that C, =-pg0cosf, and the momentum flux distribution is runrsicei-E) Note that the momentum flux is in the negative Y -direction. Insertion of Newton's law of viscosity 7, =-41(do, /dX) into the foregoing equation gives the differential equation for the velocity distribution: de (te28Y This first-order differential equation can be integrated to give y, [28% co5B 212) y Ss 218 The constant C, is zero, because d, =0 at x=0. We note that X and x are related by 1/0 =1- (1/8). When this is substituted into the velocity distribution above, we get lt] which can be rearranged to give Eq. 2.2-18.  2B.3 Flujo laminar en una rendija estrecha (véase la figura 2B.3). Entrada de DL Flujo a través de una rendija, con B << W<« L. a) Un fluido newtoniano está en flujo laminar en una rendija estrecha formada por dos pare- des paralelas separadas una distancia 2B. Se entiende que B << W, de modo que los “efectos de borde” carecen de importancia. Hacer un balance diferencial de cantidad de movimien- to y obtener las siguientes expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de can- tidad de movimiento y de velocidad: (2B.3-1) (2B.3-2) En estas expresiones P = p + pgh =p — pgz. b) ¿Cuál es la relación de la velocidad media a la velocidad máxima para este flujo? <) Obtener la ecuación análoga a la de Hagen-Poiseuille para la rendija. d) Elaborar un dibujo significativo para mostrar por qué el análisis anterior no es aplicable siB=W. e) ¿Cómo puede obtenerse el resultado del inciso b) a partir de los resultados de 82.5? Respuestas: b) (0/0, máx =5 o w-2P1-Pp8Wo 3 uL 2B.3 Laminar flow in a narrow slit a. The momentum balance leads to d (P,-P,) dx Ta L  2B.6 Flujo de una película que desciende por el exterior de un tubo circular (véase la figura 28.6). En un experimento de absorción de gases, un fluido viscoso avanza hacia arriba por un P | — | dl Distribución de velocidad ibuci Distribución dentro del tubo de velocidad fuera enla película: Salida de cantidad de movimiento en la dirección z en la envoltura de espesor ar Fuerza de gravedad que actúa sobre el ¡volumen ZarArl. c PAR= Lx Figura 2B.6 Distribución de velocidad y balance de cantidad de movimiento en la dirección z para el flujo de una película que desciende por el exterior de un tubo circular. pequeño tubo circular y luego hacia abajo en flujo laminar por el exterior del tubo, Realice un balance de cantidad de movimiento sobre una envoltura de espesor Ár en la película, como se muestra en la figura 2B.6. Note que las flechas de “entrada de cantidad de movimiento” y “salida de cantidad de movimiento” siempre se toman en la dirección positiva de coordena- das, aun cuando en este problema la cantidad de movimiento fluye a través de las superficies cilíndricas en la dirección r negativa. a) Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendente (ignorando los efectos finales) es 2 2 e) ao) cs b) Obtener una expresión para la velocidad de flujo másico en la película. «) Demostrar que el resultado del inciso b) se simplifica a la ecuación 2.2-21 si el espesor de la película es muy pequeño. 2B.6 Flow of a film on the outside of a circular tube 2, A momentum balance on the film gives _Arr,) do, dr +pgr=0 or e qe) +ogr=0 The latter may be integrated to give 2 D, a Inr+C, Next use the boundary conditions that at 7=R, 0, =0 (no slip) and that at r=aR, dv, /dr=0. When the integration constants have been found, we get for the velocity distribution RR (5 21 D, 3 1 E +24 1 b. The mass rate of flow in the film is then we [PJ po,rdrdo =2HR*p/, 0,£dé in which a dimensionless radial coordinate ¿=r/R has been introduced. Then w= man IS A 2oR MEE taa 2 + 42% ng] 2 = E 40? -30* +4a* Ina) c. If we set a=1+€ (where £ is small) and expand in powers of e using 80.2, we get 2opt Lori Tp"gR (ee +0(s*))= 222 ¿Re 8u 3u This is in agreement with Eq. 2.2-21 if we make the identifications W=2xR and 8=eR (and furthermore consider only the case that cosB =1.  2B.7 Flujo en tubos concéntricos con un cilindro interior que se mueve axialmente (véase la fi- gura 2B.7). Una varilla cilíndrica de radio kR se mueve axialmente con velocidad v, = 1 a lo largo del eje de una cavidad cilíndrica de radio R como se observa en la figura. La presión en ambos extremos de la cavidad es la misma, de modo que el fluido se mueve a través de la re- gión anular solamente debido al movimiento de la varilla. — Cilindro de ido a la presión radio interior R modificada P Fluido a la presión modificada Py mueve con velocidad 1y Figura 2B.7 Flujo en tubos concéntricos donde el cilindro interior se Mueve axialmente. a) Encontrar la distribución de velocidad en la región anular estrecha. b) Encontrar la velocidad de flujo másico a través de la región anular. e) Obtener la fuerza viscosa que actúa en la varilla sobre la longitud L. d) Demostrar que el resultado del inciso c) puede escribirse como una fórmula de “rendija plana” multiplicada por una “corrección de curvatura”. Problemas de este tipo se presen- tan en el estudio del desempeño de matrices para alambre recubierto.! 2B.7 Annular flow with inner cylinder moving axially 1. The momentum balance is the same as that in Eq. 2,3-11 or Eq. 2.4-2, but with the pressure-difference term omitted. We can substitute Newton's law of viscosity into this equation to get - do. - SL mhence D, mr +C, or 2% =-D,InZ+D, dr p Do R That is, we select new integration constants, so that they are dimensionless. These integration constants are determined from the no-slip conditions at the cylindrical surfaces: 0,(xR v,(R)=0. The constants of integration are D, =0 and D, This leads then directly to the result given in the book. b. The mass rate of flow is UR? a poirio= 2505 de (In E)EdE E “a E MnE-1E? y =2. Apr (41 Ine 4(1-x?)) which is equivalent to the answer in the text. c. The force on a length L of the rod F= br (+ us) xRdade=20RL uo, CU) r=xR Next we write the expression for w, but consider only the flow through a length dz of the tube: w= [Pf pla, tr, )rardo= 2ne 2) (o.cas where we have introduced the ideal gas law, with R, being the gas constant (we use a subscript g here to distinguish the gas constant from the tube radius). We have also introduced a dimensionless radial coordinate. When we introduce the velocity distribution above, we get tt reno ARM N_N Ao ae ll r2lo 5) This is now integrated over the length of the tube, keeping mind that the mass flow rate 1v is constant over the entire length Lag PRES Ml po jale Eje ¿AR MV po—Pi, Alo Su Al 2 + po Pr) This gives eo Hipo pL)R* pepe, y) BuL RT T 2 R - O A 4% ] SuL R¿T RParg which leads then to Eg. 2B.9-2. 28.10 Flujo incompresible en un tubo ligeramente ahusado. Un fluido incompresible circula por un tubo de sección transversal circular, para la que el radio del tubo cambia linealmente des- de R, en la embocadura del tubo hasta un valor ligeramente menor R, en la salida del tubo. Supóngase que la ecuación de Hagen-Poiseuille es aproximadamente válida sobre una longitud diferencial, dz, del tubo, de modo que la velocidad de flujo másico es já wa A E) (28.10-1)  Ésta es una ecuación diferencial para 4 como una función de z pero, cuando se inserta la ex- presión explícita para R(z), no se resuelve fácilmente. a) Escribir la expresión para R como una función de 2. b) Cambiar la variable independiente en la ecuación anterior por KR, de modo que la ecuación se convierta en Rp (_dP VR, —Ro e ( el z ) (28.10-2) <) Integrar la ecuación, y luego demostrar que la solución puede reordenarse para obtener a /R9)+HRy, A gi (2810-3) SuL 1+(R¡/Ro) (Ry /RoY Interpretar el resultado. La aproximación usada aquí de que un flujo entre superficies no pa- ralelas puede considerarse localmente como flujo entre superficies paralelas, algunas veces se denomina aproximación de lubricación y se usa ampliamente en la teoría de la lubricación. Al realizar un análisis cuidadoso del orden de magnitud, puede demostrarse que, para este pro- blema, la aproximación de lubricación es válida en tanto se cumpla que* 2 Ehi-(5) <<1 (2B.10-4) Ro Y VRo 2B.10 Incompressible flow in a slightly tapered tube a. The radius at any downstream distance is R(2)=R, +(R, —Ro)(z/L) b. Changing the independent variable proceeds as follows: - non - el E). _ a! - eh ) 8u A dR 8u L dR L e. First we rearrange the equation in (b) to get AP 8pao L 1 AR Up AR; —R,)R* Then we integrate this equation to get PL 8uw L 1 o dr=| TA _— he, np Ez R,—Ry Jr: Ri eE whence we can get the pressure difference in terms of the mass rate of flow 8uiwL E whence we can get the pressure difference in terms of the mass rate of flow 3_R3 P,-P,= SuwLY Ry" =Ry” 3np A Ro-Ri Next we solve to get the mass flow rate A AR) 8uL RE=RE) 8uL RE RPRE This is the result, with the first factor being the solution for a straight tube, the second factor being a correction factor. It would be better to write the correction factor as "1-X ”, so that the quantity X gives the deviation from straight-tube behavior. The quantity X is then x=1-3. Bok 1-1 (R/Ro)] 4 211 (8,/Ro)](R, /RoY' RERÍRE O (Ro/R,Y 1 1-(R,/RoY a 3(R,/RoY __ LA (Ri /Ro)+(Ri/Ro)' —3(R, Ro)” 1+(R,/Ro)+(R/Ro)” 1+(R,/Ro) + (R,/RoY' which then leads to the desired resultin Eq. 2B.10-3.