Matemáticas Aplicadas a Economía para Grados ADE, Finanzas, Contabilidad y Marketing - 201, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Matemáticas Aplicadas a Economía para Grados ADE, Finanzas, Contabilidad y Marketing - 201 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Grados de ADE, Finanzas y Contabilidad, Marketing y Economía Curso 2015/2016 Ejercicios Bloque 2: Cálculo diferencial en varias variables. 1. a) Determinar el dominio de las funciones siguientes: a) f(x, y) = √ x+ln y, b) f(x, y) = x√ 4− x2 − y2 , c) z = ln(y − 2x+ 3) (x− 1)(y − 4) , b) Construir algunas curvas de nivel de las funciones siguientes: a) z = x− 2y, b) z = y − x2, c) z = xy − y. 2. Hallar el vector gradiente de las funciones siguientes, en el punto que se indica. a) f(x, y) = ex+3y − 3x2y3 + 2x3 − y2 + 18, en (3,−1). b) f(x, y) = e2x−y − x2Ly + sen(xy)− x2 + y3, en general. 3. Dada la función f(x, y) =  x 2+xy x2+y2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) a) Hallar la derivada direccional de f en (1,0) según la dirección del vector (-3,4). b) Calcular el gradiente de f en el punto (-1,-2). 4. Dada la función f(x, y) =  xy−x+yx+y (x+ y ̸= 0)0 (x+ y = 0) a) Hallar la derivada direccional de f en (1,1) según la dirección del vector (1,-2). b) Calcular los puntos críticos de f . 5. En un estudio que se hizo relacionando la demanda de leche (x) con la renta familiar (r, en miles de pesetas) y el precio (p, en pesetas), se llegó a la relación siguien- te: x(r, p) = Ar2,08 p1,5 (A constante positiva). Estudiar la variación de la demanda provocada por: a) Un incremento positivo solamente de la renta. b) Un incremento positivo solamente del precio. c) Un incremento simultáneo de renta y precio de un 1% de sus valores respectivos, siendo A = 2, y a partir de (r, p) = (200, 120). 6. Los gustos de un consumidor vienen dados por la siguiente función de utilidad U(x, y) = 14x2y − 2 3 x3y2, donde x e y representan las cantidades consumidas de cada uno de los bienes. Calcular las utilidades marginales respecto a cada uno de los bienes, para un consumo de x = 2, e y = 3. 7. Hallar los extremos relativos de las funciones siguientes. a) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy b) f(x, y) = xy(1− x− y) c) f(x, y) = 6x2 − 3xy + 5y2 − 9x− 7y d) f(x, y) = x4 + y4 + 6x2 + y2 + 8x3 e) f(x, y) = (x2 + y2)2 − 2(x2 − y2) 8. Una empresa elabora dos productos A y B, (x: unidades de A, y: unidades de B), con una función de benecio dada por: b(x, y) = pAx + pBy − c(x, y), siendo pA y pB los precios por unidad y c(x, y) la función de costes totales. Si las funciones de demanda y la de costes totales vienen dadas respectivamente por: x = 50− 0′5pA y = 76− pB c(x, y) = 3x2 + 2xy + 2y2 + 55, calcular el nivel de producción que maximiza benecios y los precios por unidad correspondientes y el benecio máximo. 9. Una empresa fabrica un solo producto en dos plantas diferentes. Los costes totales de producción en cada planta son respectivamente: C1(x) = 20x 3 − 24x+ 5 ; C2(y) = 27y2 + 10 donde x e y son las cantidades producidas en cada planta. El precio del mercado para el producto es de 216 euros/unidad, para las dos plantas. Calcular las cantidades que se deben producir en cada planta para maximizar el benecio y calcular dicho benecio máximo. 10. Estudiar la homogeneidad de la siguiente función y hallar su grado. a) f(x, y) = 2x0,3y0,7 b) f(k, L) = AkαLβ c) f(x, y) = x 2−xy+y2 x3+y3 d) f(x, y) = 7x3y ln ( x+y x−y ) − 5x2y2 + 3y4e x y