Calculo II: Ejercicios Resueltos Matemática Aplicada II (17 junio 2015), Exámenes de Cálculo

¡Descarga Calculo II: Ejercicios Resueltos Matemática Aplicada II (17 junio 2015) y más Exámenes en PDF de Cálculo solo en Docsity! Cálculo I Grupos A, B, F (E.I.I.) 17 de junio de 2015 Departamento de Matemática Aplicada II Alumno: Nombre y Apellidos: DNI: (1 pto.) 1. Hallar el valor de lim n→+∞ [ n + 1 n2 + 2 ] 1 3 ln(n) . (1 pto.) 2. Se considera la función f : [−π/4, 0]→ R definida por f(x) = 4x + 1− tg (x). Utilizar los teoremas de Bolzano y Rolle para probar que existe un único a ∈ (−π/4, 0) tal que f(a) = 0. (2 ptos.) 3. Sea F : [0,∞)→ R definida por F (x) = ∫ x2 0 e−t 2 dt. (a) Justificar que F es derivable y calcular F ′. (b) Hallar lim x→0+ x2 − F (x) x2 . (3 ptos.) 4. Dada la función f : R2 → R definida por f(x, y) = x3 − 3x2 + (sen (x)− 2)(y − 1)2, Se pide: (a) Estudiar si f tiene algún extremo relativo en R2. (b) Calcular las derivadas direccionales de la función f según un vector unitario ~u = (u1, u2) en el punto (0,−1). (c) Sea G : R3 → R2 la función G(x, y, z) = (x+y, x−z). Hallar la matriz asociada a la diferencial de f ◦G en el punto (0, 0, 1). (2 ptos.) 5. Calcular una primitiva de la función f : [1,∞)→ R definida por f(x) = ln(1 + x) x2 . (1 pto.) 6. Determinar el área de la región acotada comprendida entre las gráficas de y = x e y = x √ x con x ≥ 0.