Ejercicios y problemas resueltos de cálculo integral, Ejercicios de Cálculo diferencial y integral

¡Descarga Ejercicios y problemas resueltos de cálculo integral y más Ejercicios en PDF de Cálculo diferencial y integral solo en Docsity! Cálculo Integral Concepto de integral Evidencia de aprendizaje Integración. Resuelva los siguientes ejercicios 1. Suponga que ∑ 𝒂𝒌 𝟏𝟎 𝒌=𝟏 = −𝟐 y que ∑ 𝒃𝒌 𝟏𝟎 𝒌=𝟏 = 𝟐𝟓. Encuentre los valores de: a) ∑ 𝒂𝒌 𝟒 𝟏𝟎 𝒌=𝟏 Utilizando la propiedad ∑ 𝑐𝑎𝑘 𝑛 𝑘=1 = 𝑐 ∑ 𝑎𝑘 𝑛 𝑘=1 ∑ 𝑎𝑘 4 10 𝑘=1 = 1 4 ∑ 𝑎𝑘 10 𝑘=1 = 1 4 (−2) = − 1 2 Respuesta: ∑ 𝒂𝒌 𝟒 𝟏𝟎 𝒌=𝟏 = − 𝟏 𝟐 b) ∑ (𝒂𝒌 + 𝒃𝒌 − 𝟏)𝟏𝟎 𝒌=𝟏 Utilizando las propiedades ∑(𝑎𝑘 + 𝑏𝑘) 𝑛 𝑘=1 = ∑ 𝑎𝑘 𝑛 𝑘=1 + ∑ 𝑏𝑘 𝑛 𝑘=1 ∑ 𝑐 𝑛 𝑘=1 = 𝑐𝑛 lim ‖𝑃‖→0 ∑ 𝑐𝑘(𝑐𝑘 2 − 1)− 1 3 𝑛 𝑘=1 ∆𝑥𝑘 = ∫ 𝑥(𝑥2 − 1)− 1 3 𝑑𝑥 3 1 Resolviendo la integral definida con un cambio de variable 𝑢 = 𝑥2 − 1 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 Si 𝑥 = 3 entonces 𝑢 = (3)2 − 1 = 8 Si 𝑥 = 1 entonces 𝑢 = (1)2 − 1 = 0 ∫ 𝑥(𝑥2 − 1)− 1 3 𝑑𝑥 3 1 = ∫ 1 2 ∙ 2𝑥(𝑥2 − 1)− 1 3 𝑑𝑥 3 1 = ∫ 1 2 𝑢− 1 3 𝑑𝑢 8 0 = [ 3 4 𝑢 2 3] 0 8 = [ 3 4 (8) 2 3] − [ 3 4 (0) 2 3] = 3 Respuesta 𝐥𝐢𝐦 ‖𝑷‖→𝟎 ∑ 𝒄𝒌(𝒄𝒌 𝟐 − 𝟏)− 𝟏 𝟑 𝒏 𝒌=𝟏 ∆𝒙𝒌 = 𝟑 4. 𝐥𝐢𝐦 ‖𝑷‖→𝟎 ∑ (𝒄𝒐𝒔 ( 𝒄𝒌 𝟐 ))𝒏 𝒌=𝟏 ∆𝒙𝒌, donde 𝑷 es una partición de [−𝝅, 𝟎] lim ‖𝑃‖→0 ∑ (𝑐𝑜𝑠 ( 𝑐𝑘 2 )) 𝑛 𝑘=1 ∆𝑥𝑘 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 0 −𝜋 Resolviendo la integral definida con un cambio de variable 𝑢 = 𝑥 2 𝑑𝑢 = 1 2 𝑑𝑥 Si 𝑥 = −𝜋 entonces 𝑢 = − 𝜋 2 Si 𝑥 = 0 entonces 𝑢 = 0 ∫ 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 0 −𝜋 = ∫ 2 ∙ 1 2 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 0 −𝜋 = ∫ 2𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢 0 − 𝜋 2 = [2 𝑠𝑒𝑛 𝑢] − 𝜋 2 0 = [2 𝑠𝑒𝑛 0] − [2 𝑠𝑒𝑛 (− 𝜋 2 )] = 0 − [2(−1)] = 2 Respuesta 𝐥𝐢𝐦 ‖𝑷‖→𝟎 ∑ (𝒄𝒐𝒔 ( 𝒄𝒌 𝟐 )) 𝒏 𝒌=𝟏 ∆𝒙𝒌 = 𝟐 5. 𝐥𝐢𝐦 ‖𝑷‖→𝟎 ∑ (𝒔𝒊𝒏 𝒄𝒌)(𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒌)𝒏 𝒌=𝟏 ∆𝒙𝒌, donde 𝑷 es una partición de [𝟎, 𝝅 𝟐 ] 𝑙𝑖𝑚 ‖𝑃‖→0 ∑(𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑘)(𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑘) 𝑛 𝑘=1 ∆𝑥𝑘 = ∫(𝑠𝑖𝑛 𝑥)(𝑐𝑜𝑠 𝑥) 𝑑𝑥 𝜋 2 0 Resolviendo la integral definida con un cambio de variable 𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑢 = − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Si 𝑥 = 𝜋 2 entonces 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 = 0 Si 𝑥 = 0 entonces 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 0 = 1 ∫(𝑠𝑖𝑛 𝑥)(𝑐𝑜𝑠 𝑥) 𝑑𝑥 𝜋 2 0 = ∫ −(−𝑠𝑖𝑛 𝑥)(𝑐𝑜𝑠 𝑥) 𝑑𝑥 𝜋 2 0 = ∫(−𝑢) 𝑑𝑢 0 1 = [− 1 2 𝑢2] 1 0 = [− 1 2 02] − [− 1 2 12] = 0 − (− 1 2 ) = 1 2 Respuesta 𝒍𝒊𝒎 ‖𝑷‖→𝟎 ∑(𝒔𝒊𝒏 𝒄𝒌)(𝒄𝒐𝒔 𝒄𝒌) 𝒏 𝒌=𝟏 ∆𝒙𝒌 = 𝟏 𝟐 6. Si ∫ 𝟑𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 −𝟐 = 𝟏𝟐, ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝟓 −𝟐 = 𝟔 y∫ 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 𝟓 −𝟐 = 𝟐, encuentre los valores de las siguientes: a) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 −𝟐 Utilizando la propiedad ∫ 𝑐 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ∫ 3𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 2 −2 = 3 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 2 −2 = 12 Respuesta: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 −𝟐 = 𝟒 b) ∫ 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 𝟓 −𝟐 La respuesta viene directamente en el párrafo del ejercicio ∫ 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐 𝟓 −𝟐 c) ∫ ( 𝒇(𝒙)+𝒈(𝒙) 𝟓 ) 𝒅𝒙 𝟓 −𝟐 Utilizando las propiedades ∫[ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 ∫ 𝑐 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ∫ ( 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 5 ) 𝑑𝑥 5 −2 = ∫ 𝑓(𝑥) 5 𝑑𝑥 5 −2 + ∫ 𝑔(𝑥) 5 𝑑𝑥 5 −2 = 1 5 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 5 −2 + 1 5 ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 5 −2 = 1 5 (6) + 1 5 (2) = 8 5 Respuesta ∫ ( 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) 𝟓 ) 𝒅𝒙 𝟓 −𝟐 = 𝟖 𝟓 d) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝟓 𝟐 Utilizando la propiedad ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑐 𝑎 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑐 Respuesta 𝒚 = 𝟏 𝟑 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝟑 9. 𝒅𝟐𝒓 𝒅𝒕𝟐 = 𝟏𝟓√𝒕 + 𝟑 √𝒕 , 𝒓′(𝟏) = 𝟖, , 𝒓(𝟏) = 𝟎 Siendo que 𝑑2𝑟 𝑑𝑡2 = 15√𝑡 + 3 √𝑡 = 15𝑡 1 2 + 3𝑡− 1 2 Escribimos como 𝑑2𝑟 = (15𝑡 1 2 + 3𝑡− 1 2) 𝑑𝑡2 Integramos ∫ 𝑑2𝑟 = ∫ (15𝑡 1 2 + 3𝑡− 1 2) 𝑑𝑡2 𝑑𝑟 = (10𝑡 3 2 + 6𝑡 1 2 + 𝐶1) 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = 10𝑡 3 2 + 6𝑡 1 2 + 𝐶1 Sustituyendo los valores iniciales 𝑟′(1) = 8 8 = 10(1) 3 2 + 6(1) 1 2 + 𝐶1 8 = 10 + 6 + 𝐶1 𝐶1 = −8 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = 10𝑡 3 2 + 6𝑡 1 2 − 8 Escribimos como 𝑑𝑟 = (10𝑡 3 2 + 6𝑡 1 2 − 8) 𝑑𝑡 Integramos nuevamente ∫ 𝑑𝑟 = ∫ (10𝑡 3 2 + 6𝑡 1 2 − 8) 𝑑𝑡 𝑟 = 4𝑡 5 2 + 4𝑡 3 2 − 8𝑡 + 𝐶2 Sustituyendo los valores iniciales 𝑟(1) = 0 0 = 4(1) 5 2 + 4(1) 3 2 − 8(1) + 𝐶2 0 = 4 + 4 − 8 + 𝐶2 𝐶2 = 0 Respuesta 𝒓 = 𝟒𝒕 𝟓 𝟐 + 𝟒𝒕 𝟑 𝟐 − 𝟖𝒕 10. 𝒅𝟑𝒓 𝒅𝒕𝟑 = −𝒄𝒐𝒔 𝒕 , 𝒓′′(𝟎) = 𝒓′(𝟎) = 𝟎 , 𝒓(𝟎) = −𝟏 Siendo que 𝑑3𝑟 𝑑𝑡3 = −𝑐𝑜𝑠 𝑡 Escribimos como 𝑑3𝑟 = (−𝑐𝑜𝑠 𝑡)𝑑𝑡3 Integramos ∫ 𝑑3𝑟 = ∫(−𝑐𝑜𝑠 𝑡)𝑑𝑡3 𝑑2𝑟 = (− 𝑠𝑖𝑛 𝑡 + 𝐶1 )𝑑𝑡2 𝑑2𝑟 𝑑𝑡2 = − 𝑠𝑖𝑛 𝑡 + 𝐶1 Sustituyendo los valores iniciales 𝑟′′(0) = 0 0 = − 𝑠𝑖𝑛 0 + 𝐶1 0 = 0 + 𝐶1 𝐶1 = 0 𝑑2𝑟 𝑑𝑡2 = − 𝑠𝑖𝑛 𝑡 Escribimos como 𝑑2𝑟 = (− 𝑠𝑖𝑛 𝑡)𝑑𝑡2 Integramos nuevamente ∫ 𝑑2𝑟 = ∫(− 𝑠𝑖𝑛 𝑡)𝑑𝑡2 𝑑𝑟 = (cos 𝑡 + 𝐶2)𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = cos 𝑡 + 𝐶2 Sustituyendo los valores iniciales 𝑟′(0) = 0 0 = cos 0 + 𝐶2 0 = 1 + 𝐶2 𝐶2 = −1 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = cos 𝑡 − 1 Escribimos como 𝑑𝑟 = (cos 𝑡 − 1)𝑑𝑡 Integramos nuevamente ∫ 𝑑𝑟 = ∫(cos 𝑡 − 1)𝑑𝑡 𝑟 = 𝑠𝑖𝑛 𝑡 − 𝑡 + 𝐶3 Sustituyendo los valores iniciales 𝑟(0) = −1 −1 = 𝑠𝑖𝑛 0 − 0 + 𝐶3 𝐶3 = −1 Respuesta 𝒓 = 𝒔𝒊𝒏 𝒕 − 𝒕 − 𝟏 En los siguientes ejercicios, calcule las siguientes integrales ∫ 1 2 𝑑𝜃 𝜋 0 = [ 1 2 𝜃] 0 𝜋 = [ 1 2 𝜋] − [ 1 2 (0)] = 1 2 𝜋 ∫ 1 2 𝑐𝑜𝑠 (2 + 𝜃)𝑑𝜃 𝜋 0 Resolviendo la integral definida con un cambio de variable 𝑢 = 2 + 𝜃 𝑑𝑢 = 𝑑𝜃 Si 𝜃 = 0 entonces 𝑢 = 2 + 0 = 2 Si 𝜃 = 𝜋 entonces 𝑢 = 2 + 𝜋 ∫ 1 2 𝑐𝑜𝑠 (2 + 𝜃)𝑑𝜃 𝜋 0 = ∫ 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 2+𝜋 2 = [ 1 2 𝑠𝑖𝑛 𝑢] 2 2+𝜋 = [ 1 2 𝑠𝑖𝑛(2 + 𝜋)] − [ 1 2 𝑠𝑖𝑛(2)] Utilizando 𝑠𝑖𝑛(𝐴 + 𝐵) = 𝑠𝑖𝑛 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵 + 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝐵 1 2 [𝑠𝑖𝑛(2) 𝑐𝑜𝑠(𝜋) + 𝑐𝑜𝑠(2) 𝑠𝑖𝑛(𝜋)] − [ 1 2 𝑠𝑖𝑛(2)] = 1 2 [𝑠𝑖𝑛(2) (−1) + 𝑐𝑜𝑠(2)(0)] − [ 1 2 𝑠𝑖𝑛(2)] = 1 2 [− 𝑠𝑖𝑛(2)] − [ 1 2 𝑠𝑖𝑛(2)] = − 𝑠𝑖𝑛(2) Finalmente tenemos ∫ 1 2 𝑑𝜃 𝜋 0 − ∫ 1 2 𝑐𝑜𝑠 (2 + 𝜃)𝑑𝜃 𝜋 0 = 1 2 𝜋 − (− 𝑠𝑖𝑛(2)) = 1 2 𝜋 + 𝑠𝑖𝑛(2) Respuesta: ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐 (𝟏 + 𝜽 𝟐 ) 𝒅𝜽 𝝅 𝟎 = 𝟏 𝟐 𝝅 + 𝒔𝒊𝒏(𝟐) 15. ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟑 𝒙 𝟒 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝟒 𝒅𝒙 𝝅 𝟐𝝅 𝟑 Resolviendo la integral definida con un cambio de variable 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 4 𝑑𝑢 = 1 4 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 4 𝑑𝑥 Si 𝑥 = 𝜋 entonces 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝜋 4 = 1 Si 𝑥 = 2𝜋 3 entonces 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝜋 6 = 1 3 √3 ∫ 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 4 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 4 𝑑𝑥 𝜋 2𝜋 3 = ∫ 4 1 4 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 4 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 4 𝑑𝑥 𝜋 2𝜋 3 = ∫ 4𝑢3 𝑑𝑢 1 1 3 √3 = [𝑢4]1 3 √3 1 = [(1)4] − [( 1 3 √3) 4 ] = 1 − 1 9 = 8 9 Respuesta: ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟑 𝒙 𝟒 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝟒 𝒅𝒙 𝝅 𝟐𝝅 𝟑 = 𝟖 𝟗 16. ∫ 𝒄𝒔𝒄√𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒕 √𝟐𝜽𝒅𝜽 Resolviendo la integral indefinida con un cambio de variable 𝑢 = √2𝜃 𝑑𝑢 = √2𝑑𝜃 ∫ 1 √2 ∙ √2 𝑐𝑠𝑐√2𝜃 𝑐𝑜𝑡 √2𝜃𝑑𝜃 = ∫ 1 √2 𝑐𝑠𝑐𝑢 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 = − 1 √2 𝑐𝑠𝑐𝑢 + 𝐶 = − 1 √2 𝑐𝑠𝑐√2𝜃 + 𝐶 Respuesta: ∫ 𝒄𝒔𝒄√𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒕 √𝟐𝜽𝒅𝜽 = − 𝟏 √𝟐 𝒄𝒔𝒄√𝟐𝜽 + 𝑪 17. ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 𝟒 𝒅𝒙 Usando la identidad trigonométrica 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 = 1 2 − 1 2 𝑐𝑜𝑠 2𝐴 ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 4 𝑑𝑥 = ∫ ( 1 2 − 1 2 𝑐𝑜𝑠 2 ( 𝑥 4 )) 𝑑𝑥 = ∫ ( 1 2 − 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = ∫ 1 2 𝑑𝑥 − ∫ 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 𝑑𝑥 Realizando las integrales por separado ∫ 1 2 𝑑𝑥 = 1 2 𝑥 + 𝐶1 ∫ 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 𝑑𝑥 Resolviendo la integral indefinida con un cambio de variable 𝑢 = 𝑥 2 𝑑𝑢 = 1 2 𝑑𝑥 ∫ 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑖𝑛 𝑢 + 𝐶2 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 2 + 𝐶2 Finalmente juntamos las integrales ∫ 1 2 𝑑𝑥 − ∫ 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 𝑑𝑥 = 1 2 𝑥 + 𝐶1 − sin 𝑥 2 − 𝐶2 Como 𝐶 = 𝐶1 − 𝐶2 ∫ 1 2 𝑑𝑥 − ∫ 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 𝑑𝑥 = 1 2 𝑥 − sin 𝑥 2 + 𝐶 Respuesta: ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 𝟒 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟐 + 𝑪 18. ∫ 𝟐(𝒄𝒐𝒔𝒙)− 𝟏 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 Resolviendo la integral indefinida con un cambio de variable 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥