Campo eléctrico II. Distribuciones continuas de carga., Ejercicios de Física

¡Descarga Campo eléctrico II. Distribuciones continuas de carga. y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity! Campo eléctrico II. Distribuciones continuas de carga. Cálculo del campo eléctrico E mediante la ley de Coulomb. 1. Una carga lineal uniforme de densidad λ=3,5 nC /m se distribuye desde x = 0 a x = 5 m. a) ¿Cuál es su carga total? Determinar el campo eléctrico sobre el eje x en b) x = 6 m. c) x= 9 m. d) x = 250 m. e) Determinar el campo en x = 250 m usando la aproximación de que se trata de una carga puntual en el origen y comparar el resultado con el obtenido exactamente en (d). a) 𝑸 = 𝝀 ∗ 𝑳 = 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟓 = 𝟏𝟕.𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 𝑪 b) 𝒅𝑬𝒙 = 𝒌 ∗ 𝒅𝒒 (𝒙𝒐−𝒙)𝟐 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 (𝒙𝒐−𝒙)𝟐 𝑬𝒙 = ∫ 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 (𝒙𝒐−𝒙)𝟐 𝟓 𝟎 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ [ 𝟏 𝒙𝒐−𝒙 ] 𝟎 𝑳 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ ( 𝟏 𝒙𝒐−𝑳 − 𝟏 𝒙𝒐 ) = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ ( 𝑳 (𝒙𝒐−𝑳)∗𝒙𝒐 ) En este caso L= 5 m. 𝑬𝒙 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ ( 𝟓 (𝒙𝒐−𝟓)∗𝒙𝒐 ) 𝑬𝒙(𝟔) = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ ( 𝟓 (𝟔−𝟓)∗𝟔 ) = 𝟐𝟔. 𝟐 𝑵/𝑪 c) 𝑬𝒙(𝟗) = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ ( 𝟓 (𝟗−𝟓)∗𝟗 ) = 𝟒.𝟑𝟕 𝑵/𝑪 d) 𝑬𝒙(𝟐𝟓𝟎) = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ ( 𝟓 (𝟐𝟓𝟎−𝟓)∗𝟐𝟓𝟎 ) = 𝟐. 𝟓𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑵/𝑪 e) Si la carga fuera puntual: 𝑬𝒙(𝟐𝟓𝟎 ) = 𝒌 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟏𝟕.𝟓∗𝟏𝟎−𝟗 𝟐𝟓𝟎𝟐 = 𝟐. 𝟓𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑵 𝑪 𝒆𝒓 = 𝟎.𝟎𝟓∗𝟏𝟎−𝟑 𝟐.𝟓𝟕∗𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐 % 2. Dos planos de carga verticales e infinitos son paralelos y están separados entre sí por una distancia d= 4 m. Determinar el campo eléctrico a l a izquierda de los planos, a su derecha y entre ambos cuando a) Cada plano posee una densidad de carga superficial uniforme σ= + 3 µ C/m2. b) El plano izquierdo tiene una densidad de carga σ= + 3 µ C/m2 y el derecho σ= - 3 µ C/m2.Dibujar las líneas de campo en cada caso. a) Aplicando la ley de Gauss a un plano infinito 𝚽 = ∮𝑬𝒏 ∗ 𝒅𝑨 = 𝑸𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝜺𝒐 𝟐 ∗ 𝑬𝒏 ∗ 𝑨 = 𝝈∗𝑨 𝜺𝒐 ; 𝑬𝒏 = 𝝈 𝟐∗𝜺𝒐 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈 En la región 1: 𝑬𝒙 = −𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟏 − 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟐 = −𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈 𝑬𝒙 = −𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = −𝟑.𝟑𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 En la región 3: 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟏 + 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟐 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈 𝑬𝒙 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟑. 𝟑𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 En la región 2: 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟏 − 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟐 𝑬𝒙 = 𝟎 𝑵/𝑪 b) En la región 1: b) 5 m y comparar los resultados con los correspondientes a las partes (b) y (c) del problema (4). Calculado el exacto en el problema 4, calculamos aquí el aproximado si la carga fuera puntual: a) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟎𝟒 ) = 𝒌 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑.𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 ∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟐𝟓𝟐 𝟎.𝟎𝟒𝟐 = 𝟑. 𝟗𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵 𝑪 𝒆𝒓 = 𝟏.𝟗𝟕 𝟑.𝟗𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟓𝟎 % La aproximación no es correcta. b) 𝑬𝒙(𝟓 ) = 𝒌 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑.𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 ∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟐𝟓𝟐 𝟓𝟐 = 𝟐.𝟓𝟒 𝑵 𝑪 En este caso la aproximación es correcta. 6. Una carga lineal uniforme se extiende desde x = -2,5 cm a x = + 2,5 cm y posee una densidad de carga lineal λ=6,0 nC/m. a) Determinar la carga total. Hallar el campo eléctrico sobre el eje y en b) y= 4 cm. c) y= 12 cm. d) y= 4,5 m. e) Determinar el campo en y=4,5 m suponiendo que la carga es puntual y comparar el resultado con el obtenido en (d). a) 𝑸 = 𝝀 ∗ 𝑳 = 𝟔. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟎.𝟎𝟓 = 𝟎.𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 𝑪 b) 𝒅𝑬𝒚 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 𝒓𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 𝒓𝟐 ∗ 𝒚 𝒓 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 𝒓𝟐 ∗ 𝒚 𝒓 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚 ∗ ∫ 𝒅𝒙 (𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝟑/𝟐 𝑳/𝟐 𝟎 Podemos usar: 𝒙 = 𝒚 ∗ 𝒕𝒂𝒏𝜽 ; 𝒅𝒙 = 𝒚 ∗ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝑬𝒚 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚 ∗ ∫ 𝒅𝒙 (𝒚𝟐∗𝒕𝒂𝒏𝟐𝜽+𝒚𝟐)𝟑/𝟐 𝑳/𝟐 𝟎 𝒚 ∗ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝑬𝒚 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚𝟐 ∗ ∫ 𝟏 𝒚𝟑∗(𝒕𝒂𝒏𝟐𝜽+𝟏) 𝟑 𝟐 ∗ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝑳 𝟐 𝟎 𝑬𝒚 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚𝟐 ∗ ∫ 𝟏 𝒚𝟑∗( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 ) 𝟑 𝟐 ∗ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝑳 𝟐 𝟎 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚𝟐 ∗ ∫ 𝟏 𝒚𝟑 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝑳 𝟐 𝟎 𝑬𝒚 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ [𝒔𝒆𝒏𝜽] 𝟎 𝑳 𝟐 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ [ 𝒙 √𝒙𝟐+𝒚𝟐 ] 𝟎 𝑳 𝟐 𝑬𝒚 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ 𝑳 𝟐 √( 𝑳 𝟐 ) 𝟐 +𝒚𝟐 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ 𝟐∗𝑳 𝟐∗√𝑳𝟐+𝟒∗𝒚𝟐 𝑬𝒚 = 𝟐∗𝒌∗𝝀∗𝑳 𝒚∗√𝑳𝟐+𝟒∗𝒚𝟐 𝑬𝒚(𝟎.𝟎𝟒) = 𝟐∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟎.𝟑∗𝟏𝟎−𝟗 𝟎.𝟎𝟒∗√𝟎.𝟎𝟓𝟐+𝟒∗𝟎.𝟎𝟒𝟐 = 𝟏.𝟒𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑵/𝑪 c) 𝑬𝒚(𝟎.𝟏𝟐) = 𝟐∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟔∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟎𝟓 𝟎.𝟏𝟐∗√𝟎.𝟎𝟓𝟐+𝟒∗𝟎.𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟖𝟑 𝑵/𝑪 d) 𝑬𝒚(𝟒,𝟓) = 𝟐∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟔∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟎𝟓 𝟒.𝟓∗√𝟎.𝟎𝟓𝟐+𝟒∗𝟒.𝟓𝟐 = 𝟎.𝟏𝟑𝟑 𝑵/𝑪 e) Para carga puntual: 𝑬𝒚(𝟒,𝟓) = 𝒌 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟎.𝟑∗𝟏𝟎−𝟗 𝟒.𝟓𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟑𝟑 𝑵/𝑪 Los resultados son prácticamente coincidentes. 7. Un disco de radio a se encuentra sobre el plano yz con su eje a lo largo dl eje x y es portador de una densidad de carga superficial uniforme σ. Determinar el valor de x para el cual 𝑬𝒙 = 𝟏 𝟐 𝝈 𝟐𝝐 . De acuerdo con lo obtenido en el problema 4: 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝝐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝒙 √𝒂𝟐+𝒙𝟐 ) 𝟐 ∗ 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝝐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝒙 √𝒂𝟐+𝒙𝟐 ) = 𝟏 𝟐 𝝈 𝟐𝝐 (𝟏 − 𝒙 √𝒂𝟐+𝒙𝟐 ) = 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 𝒂𝟐+𝒙𝟐 = 𝟏 𝟒 ; 𝟒 ∗ 𝒙𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒙𝟐; 𝟑 ∗ 𝒙𝟐 = 𝒂𝟐 ; 𝒙 = ± 𝒂 √𝟑 8. Un anillo de radio a con un centro en el origen y su eje a lo largo del eje x posee una carga total Q. Determinar Ex en a) x=0,2 a b) x=0,5 a c) x=0,7 a d) x=a e) x= 2a f) Utilizar los resultados obtenidos para representar Ex en función de x para ambos valores positivo y negativo de x. a) Utilizando el resultado del problema 3: 𝑬𝒙 = 𝒌∗𝒙∗𝑸 (𝒂𝟐+𝒙𝟐)𝟑/𝟐 𝑬𝒙(𝟎. 𝟐 ∗ 𝒂) = 𝒌∗𝟎.𝟐∗𝒂∗𝑸 (𝒂𝟐+(𝟎.𝟐∗𝒂)𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟎.𝟏𝟖𝟗 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 𝒂𝟐 b) 𝑬𝒙(𝟎.𝟓 ∗ 𝒂) = 𝒌∗𝟎.𝟓∗𝒂∗𝑸 (𝒂𝟐+(𝟎.𝟓∗𝒂)𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟖 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 𝒂𝟐 c) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟕 ∗ 𝒂) = 𝒌∗𝟎.𝟕∗𝒂∗𝑸 (𝒂𝟐+(𝟎.𝟕∗𝒂)𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟎.𝟑𝟖𝟓 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 𝒂𝟐 d) 𝑬𝒙(𝒂) = 𝒌∗𝒂∗𝑸 (𝒂𝟐+(𝒂)𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟎.𝟑𝟓𝟒 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 𝒂𝟐 e) 𝑬𝒙(𝟐 ∗ 𝒂) = 𝒌∗𝟐∗𝒂∗𝑸 (𝒂𝟐+(𝟐∗𝒂)𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟎.𝟏𝟕𝟗 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 𝒂𝟐 f) 9. Repetir el problema 8 para un disco de densidad de carga superficial uniforme σ. 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝒙 √𝒂𝟐+𝒙𝟐 ) a) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟐 ∗ 𝒂) = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝟎.𝟐∗𝒂 √𝒂𝟐+(𝟎.𝟐∗𝒂)𝟐 ) = 𝟎.𝟖𝟎𝟑 ∗ (𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈) b) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟓 ∗ 𝒂) = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝟎.𝟓∗𝒂 √𝒂𝟐+(𝟎.𝟓∗𝒂)𝟐 ) = 𝟎.𝟓𝟓𝟑 ∗ (𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈) c) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟕 ∗ 𝒂) = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝟎.𝟕∗𝒂 √𝒂𝟐+(𝟎.𝟕∗𝒂)𝟐 ) = 𝟎.𝟒𝟐𝟕 ∗ (𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈) d) 𝑬𝒙(𝒂) = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝒂 √𝒂𝟐+(𝒂)𝟐 ) = 𝟎. 𝟐𝟗𝟑 ∗ (𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈) e) 𝑬𝒙(𝟐 ∗ 𝒂) = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝟐∗𝒂 √𝒂𝟐+(𝟐∗𝒂)𝟐 ) = 𝟎. 𝟏𝟎𝟔 ∗ (𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈) f) 𝑬𝒙 = −𝒌 ∗ 𝝀 ∗ (− 𝟏 √𝒙𝟐 𝟐+𝒚𝟐 + 𝟏 √𝒙𝟏 𝟐+𝒚𝟐 ) = − 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ (− 𝒚 √𝒙𝟐 𝟐+𝒚𝟐 + 𝒚 √𝒙𝟏 𝟐+𝒚𝟐 ) Para x2=a y x1 = 0: 𝑬𝒙 = − 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ (− 𝒚 √𝒂𝟐+𝒚𝟐 + 𝒚 √𝒚𝟐 ) = −𝒌 ∗ 𝝀 ∗ ( 𝟏 √𝒂𝟐+𝒚𝟐 − 𝟏 𝒚 ) b) Para x2=a y x1 =-b: 𝑬𝒙 = − 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ (− 𝒚 √𝒂𝟐+𝒚𝟐 + 𝒚 √𝒃𝟐+𝒚𝟐 ) = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ ( 𝟏 √𝒂𝟐+𝒚𝟐 − 𝟏 √𝒃𝟐+𝒚𝟐 ) 13. a) Una carga lineal finita de densidad de carga lineal uniforme λ está situada sobre el eje x desde x=0 a x= a. Demostrar que el componente y del campo eléctrico en un punto sobre el eje y viene dado por 𝑬 = 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 = 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ 𝒂 √𝒂𝟐+𝒚𝟐 En donde ϴ1 es el ángulo subtendido po9r la carga lineal Enel punto del campo. b) Demostrar que si la carga lineal se extiende desde x=-b a x=a, el componente y del campo eléctrico en un punto sobre el eje y viene dado por 𝑬𝒚 = 𝒌∗𝝀 𝒚 (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐) En donde 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 = 𝒃 √𝒃𝟐+𝒚𝟐 . a) 𝒅𝑬𝒚 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 𝒙𝟐+𝒚𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 𝒙𝟐+𝒚𝟐 ∗ 𝒚 √𝒙𝟐+𝒚𝟐 = 𝒌∗𝝀∗𝒚∗𝒅𝒙 (𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝟑/𝟐 𝑬𝒚 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ ∫ 𝒚∗𝒅𝒙 (𝒙𝟐+𝒚𝟐) 𝟑 𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟏 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚, [ 𝒙 𝒚𝟐∗√(𝒙𝟐+𝒚𝟐 ] 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑬𝒚 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚,∗ ( 𝒙𝟐 𝒚𝟐∗√𝒙𝟐 𝟐+𝒚𝟐 − 𝒙𝟏 𝒚𝟐∗√𝒙𝟏 𝟐+𝒚𝟐 ) Para x1=0 y x2=a queda: 𝑬𝒚 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚 ∗ 𝒂 𝒚𝟐∗√𝒂+𝒚𝟐 = 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 b) En este caso 𝒙𝟏 = −𝒃 y 𝒙𝟐 = 𝒂. 𝑬𝒚 = 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ ( 𝒂 √𝒂𝟐+𝒚𝟐 + 𝒃 √𝒃𝟐+𝒚𝟐 ) = 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏) 14. Un anillo semicircular de radio R posee una carga de densidad lineal uniforme λ. Determinar el campo eléctrico en el centro del semicírculo. 𝒅𝑬𝒙 = 𝒌 ∗ 𝒅𝒒 𝑹𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒍 𝑹𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝑹∗𝒅𝜽 𝑹𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒌∗𝝀 𝑹 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝑬𝒙 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝑹 ∗ ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝝅/𝟐 𝟎 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝑹 15. Una corteza delgada semiesférica de radio R posee carga de densidad superficial uniforme σ. Determinar el campo eléctrico en el centro de la corteza semiesférica.(r=0). 𝒅𝑬𝒛 = 𝒌 ∗ 𝒅𝒒 𝒓𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒅𝒒 √𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽+𝒓𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒌 ∗ 𝒅𝒒 𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽+𝒓𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 ∗ 𝒓∗𝒄𝒐𝒔 𝜽 √𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽+𝒓𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝑬𝒛 = 𝒌 ∗ 𝒓∗𝒄𝒐𝒔 𝜽∗𝒅𝒒 (𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽+𝒓𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽) 𝟑 𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒓∗𝒄𝒐𝒔 𝜽∗𝝈∗𝒅𝑨 (𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽+𝒓𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽) 𝟑 𝟐 = 𝒌 ∗ 𝝈 ∗ 𝒓∗𝒄𝒐𝒔 𝜽∗(𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝒔𝒆𝒏 𝜽∗𝒓∗𝒅𝜽) 𝒓𝟑∗(𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽) 𝟑 𝟐 𝒅𝑬𝒛 = 𝟐∗𝝅∗𝒌∗𝝈∗𝒓𝟑∗𝒄𝒐𝒔 𝜽∗𝒔𝒆𝒏 𝜽∗𝒅𝜽 𝒓𝟑 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝑬 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈 ∗ ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝝅 𝟐 𝟎 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈 ∗ [ 𝟏 𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽] 𝟎 𝝅/𝟐 𝑬 = 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈 16. Una carga lineal de densidad de carga lineal λ con la forma de un cuadrado de lado L se encuentra en el plano yz con su centro en el origen. Determinar el campo eléctrico sobre el eje x a una distancia arbitraria x y comparar el resultado con el del campo que existe en el eje de un anillo cargado de radio r=L/2 con su centro en el origen y transportando la misma carga total. (Indicación: Utilizar la ecuación 𝑬𝒚 = 𝟐𝒌𝝀 𝒚 𝟏 𝟐 𝑳 √( 𝟏 𝟐 𝑳)𝟐+𝒚𝟐 para conocer el campo debido a cada segmento del cuadrado). El campo creado por el cuadrado será, utilizando el campo creado por una varilla: La distancia del centro de cada varilla al punto del eje x considerado será: 𝒓𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝑳𝟐 𝟒 Esta distancia r será el valor y de la expresión dada en el problema 6, tenemos 4 varillas: 𝑬𝒙 = 𝟒 ∗ 𝑬 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟒 ∗ 𝑬 ∗ 𝒙 √𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 Donde E es el campo creado por cada varilla en el punto considerado: E= 𝟐∗𝒌∗𝝀 √𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 𝑳 √( 𝟏 𝟐 ∗𝑳) 𝟐 +𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 𝑬𝒙 = 𝟒 ∗ 𝟐∗𝒌∗𝝀 √𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 𝑳 √( 𝟏 𝟐 ∗𝑳) 𝟐 +𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 ∗ 𝒙 √𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 = 𝟒∗𝒌∗𝝀∗𝑳 ( 𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 )∗√𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟐 = 𝟒∗𝒌∗𝑸 ( 𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 )∗√𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟐 Para un anillo cargado en su eje tenemos: 𝑬𝒙 = 𝒌∗𝒚∗𝑸 ( 𝑳𝟐 𝟒 +𝒚𝟐)𝟑/𝟐 Ley de Gauss 17. Verdadero o falso: a) La ley de Gauss es válida sólo en el caso de distribuciones de carga simétricas. b) El resultado E = 0 en el interior de un conductor en equilibrio puede deducirse a partir de la ley de Gauss. a) FALSO. La ley de Gauss establece que el flujo neto a través de cualquier superficie está dado ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = ∮ 𝑬𝒏 ∗ 𝒅𝑨 𝑺 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐. Si bien es cierto que la ley de Gauss es más fácil de aplicar a distribuciones de carga simétricas, se mantiene para cualquier superficie. b) Falsa. 18. Además de la carga total dentro de una superficie, ¿qué información adicional es necesaria para aplicar la ley de Gauss a la determinación del campo eléctrico? El campo eléctrico es el debido a todas las cargas, dentro y fuera de la superficie. La ley de Gauss establece que el flujo neto a través de cualquier superficie está dado por∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = ∮ 𝑬𝒏 ∗ 𝒅𝑨 𝑺 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐. Las líneas de flujo a través de una superficie gaussiana comienzan en cargas en un lado de la superficie y terminan en cargas en el otro lado de la superficie. 19. ¿Es el campo eléctrico E de la ley de Gauss sólo aquella parte del campo eléctrico debido a la carga dentro de una superficie o hay que tener en cuenta el campo eléctrico total debido a todas las cargas tanto dentro como fuera de la superficie? No, la ley de Gauss permite conocer el campo en una región del espacio. 20. Consideremos un campo eléctrico uniforme E=(2 kN/C)i. a) ¿Cuál es el flujo de este campo a través de un cuadrado de 10 cm de lado cuyo plano es paralelo al plano y z? b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa el mismo cuadrado si la normal a su plano forma un ángulo de 30º con el eje x? a) ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = ∮ 𝑬𝒏 ∗ 𝒅𝑨 𝑺 = 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎.𝟏𝟐 = 𝟐𝟎 𝑵𝒎𝟐/𝑪 b) ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = ∮ ?⃗⃗? 𝒏 ∗ 𝒅?⃗⃗? 𝑺 = 𝑬 ∗ 𝑨 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎. 𝟏𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎 = 𝟏𝟕,𝟑 𝑵𝒎𝟐/𝑪 ?⃗⃗? = − 𝑮∗𝒎 𝒓𝟐 ∗ ?̂? Calcular el flujo del campo gravitatorio a través de una superficie esférica de radio r centrada en el origen y demostrar que la ecuación análoga gravitatoria de la ley de Gauss es ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = − 𝟒 𝝅 𝑮 𝒎𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂. ∅𝒈 = ∮ ?⃗⃗? 𝑺 ∗ 𝒅?⃗⃗? = ∮ − 𝑮∗𝒎 𝒓𝟐 ∗ ?̂? 𝑺 ∗ 𝒅?⃗⃗? = − 𝑮∗𝒎 𝒓𝟐 ∗ 𝑨 = − 𝑮∗𝒎 𝒓𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∅𝒈 = −𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑮 ∗ 𝒎 27. Una carga de 2 µC está 20 cm por encima del centro de un cuadrado de arista 40 cm. Determinar el flujo a través del cuadrado. (Indicación: No integrar). Si tuviéramos un cubo, donde una de las caras es el cuadrado considerado, y la carga está dentro del cubo: ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 ∅𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 = ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 𝟔 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝒒 𝟔 = 𝟒∗𝝅∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟔 = 𝟑.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟒𝑵 𝒎𝟐/𝑪 28. En una región particular de la atmósfera terrestre, se ha medido el campo eléctrico sobre la superficie de la Tierra resultando ser de 150 N/C a una altura de 250 m y de 170 N/C a 400 m, en ambos casos dirigido hacia abajo. Calcular la densidad de carga volúmica de la atmósfera suponiendo que es uniforme entre 250 y 400 m. (Puede despreciarse la curvatura de la Tierra. ¿Por qué? 𝑸 = 𝝆 ∗ 𝑽 = 𝝆 ∗ 𝑨 ∗ 𝒉 Aplicando la ley de Gauss: −(𝑬𝟐 − 𝑬𝟏) ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ 𝑨 ∗ 𝒉 𝝆 = (𝑬𝟏−𝑬𝟐) 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝒉 = (𝟏𝟓𝟎−𝟏𝟕𝟎) 𝟒∗𝝅∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟐𝟓𝟎 = −𝟕. 𝟎𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟑 𝑪/𝒎𝟑 Distribuciones esféricas de carga 29. Explicar por qué el campo eléctrico crece con r, en lugar de disminuir según 1/r2 cuando nos desplazamos hacia fuera desde el centro interior de una distribución esférica de carga de densidad volúmica constante. Aplicamos la ley de Gauss usando como superficie de aplicación una esfera concéntrica a la de la distribución considerada. 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 ;𝑬 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 Usando la densidad volumétrica de carga: 𝝆 = 𝑸 𝑽 ; 𝑸 = 𝝆 ∗ 𝑽 = 𝝆 ∗ 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟑 𝑬 = 𝒌∗𝑸 𝒓𝟐 = 𝒌∗𝝆∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝒓𝟑 𝒓𝟐 = 𝟒 ∗∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 30. Una corteza esférica de radio R1 posee una carga total q1 uniformemente distribuida en su superficie. Una segunda corteza esférica mayor de radio R2 concéntrica con la anterior posee una carga q2 uniformemente distribuida en su superficie. a) Utilizar la ley de Gauss para hallar el campo eléctrico en las regiones 𝒓 < 𝑹𝟏 , 𝑹𝟏 < 𝒓 < 𝑹𝟐 𝒚 𝒓 > 𝑹𝟐. b) ¿Cuál deberá ser el cociente de las cargas q1/q2 y su signo relativo para que el campo eléctrico sea cero para 𝒓 > 𝑹𝟐? c) Hacer un esquema de las líneas de fuerza para el caso indicado en la parte (b). a) ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = ∮ 𝑬𝒏 ∗ 𝒅𝑨 𝑺 = 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 Considerando una esfera interior como superficie de prueba, la carga interior es nula: 𝑬 = 𝟎 ; 𝒓 < 𝑹𝟏 Con una esfera entre las dos cortezas: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒𝟏 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝒒𝟏 𝑨 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝒒𝟏 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏 𝒓𝟐 ; 𝑹𝟏 < 𝒓 < 𝑹𝟐 Para la esfera exterior a las cortezas: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ (𝒒𝟏 + 𝒒𝟐) 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗(𝒒𝟏+𝒒𝟐) 𝑨 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗(𝒒𝟏+𝒒𝟐) 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝒌 ∗ (𝒒𝟏+𝒒𝟐) 𝒓𝟐 ; 𝒓 > 𝑹𝟐 b) 𝒒𝟏 𝒒𝟐 = −𝟏 ; han de ser iguales y de signos contrarios. c) Si la carga 1 es positiva: Si la carga 1 es negativa el esquema sería análogo cambiando el sentido de las líneas. 31. Una corteza esférica de radio 6 cm posee una densidad superficial uniforme de carga σ = 9 nC/m2. a) ¿Cuál es la carga total sobre la corteza? Determinar el campo eléctrico en: b) r= 2 cm. c) r= 5,9 cm. d) r= 6,1 cm. e) r= 10 cm. a) 𝑸 = 𝝈 ∗ 𝑨 = 𝝈 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟐 = 𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟎.𝟎𝟔𝟐 = 𝟒. 𝟎𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝑪 b) Para puntos interiores, la carga neta es cero, por tanto, E=0. c) Seguimos dentro de la corteza, E=0. d) En el exterior de la corteza: Utilizando la ley de Gauss y una esfera de prueba en la zona: 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝑸 𝑨 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝑸 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝒌 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 𝑬(𝟎. 𝟎𝟔𝟏) = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒.𝟎𝟕∗𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝟎.𝟎𝟔𝟏𝟐 = 𝟗𝟖𝟑 𝑵/𝑪 e) 𝑬(𝟎. 𝟏𝟎) = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒.𝟎𝟕∗𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝟎.𝟏𝟐 = 𝟑𝟔𝟔 𝑵/𝑪 32. Una esfera de radio 6 cm posee una densidad de carga volúmica uniforme ρ=450 nC/m3. a) ¿Cuál es la carga total de la esfera? Determinar el campo eléctrico en: b) r=2 cm. c) r=5,9 cm. d) r=6,1 cm. e) r=10 cm. Compara las respuestas con las del problema 31. a) 𝑸 = 𝝆 ∗ 𝑽 = 𝝆 ∗ 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟑 = 𝟒𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝟎.𝟎𝟔𝟑 = 𝟒. 𝟎𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝑪 b) Consideramos como superficie esfera concéntrica de radio r: La carga interior será: 𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑽𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒒𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝑽𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 ; 𝒒𝒊𝒏𝒕 = 𝑽𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 ∗ 𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑽𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒓𝟑 ∗ 𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑹𝟑 = 𝒓𝟑 ∗ 𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑹𝟑 𝒒𝒊𝒏𝒕 = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ 𝒓𝟑 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝒒𝒊𝒏𝒕 𝑨 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗ 𝒓𝟑∗𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑹𝟑 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝒌 ∗ 𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑹𝟑 ∗ 𝒓 𝑬(𝟎.𝟎𝟐) = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒.𝟎𝟕∗𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝟎.𝟎𝟔𝟑 ∗ 𝟎.𝟎𝟐 = 𝟑𝟑𝟗 𝑵/𝑪 c) 𝑬(𝟎.𝟎𝟓𝟗) = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒.𝟎𝟕∗𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝟎.𝟎𝟔𝟑 ∗ 𝟎. 𝟎𝟓𝟗 = 𝟗𝟗𝟗 𝑵/𝑪 d) En el exterior de la esfera: 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝒒𝒊𝒏𝒕 𝑨 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝒌 ∗ 𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒓𝟐 𝑬(𝟎.𝟎𝟔𝟏) = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒.𝟎𝟕∗𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝟎.𝟎𝟔𝟏𝟐 = 𝟗𝟖𝟑 𝑵/𝑪 e) 𝑬(𝟎.𝟏) = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒.𝟎𝟕∗𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝟎.𝟏𝟐 = 𝟑𝟔𝟔 𝑵/𝑪 Los resultados son iguales a partir de r>R. En esta situación la carga interior e la misma en los dos casos. 33. Consideramos dos esferas conductoras concéntricas (figura). La esfera exterior es hueca y sobre ella se ha depositado una carga -7 Q. La esfera interior es sólida y sobre ella se ha depositado una carga + 2 Q. a) ¿Cómo está distribuida la carga sobre la esfera exterior? Es decir, ¿Cuánta carga hay en la superficie exterior y cuánta en la superficie interior? b) Supongamos que se conecta un alambre entre ambas esferas. Una vez alcanzado el equilibrio electrostático, ¿Cuánta carga total existe sobre la esfera exterior? ¿Cuánta carga hay ahora en la superficie exterior de esta esfera y cuánta carga en su superficie interna? ¿Cambia el campo eléctrico en la superficie de la esfera interna al conectar el cable? ¿Si es así, cómo cambia? c) Supongamos que volvemos a las condiciones iniciales de (a) con +2 Q en la esfera interior y – 7 Q en la exterior. Conectamos ahora la esfera exterior a tierra con un cable y luego lo desconectamos- ¿Qué carga total existirá sobre la esfera exterior? ¿Cuánta carga tendremos sobre la superficie interna de la esfera exterior y cuanta sobre la superficie externa? 38. La densidad de carga en una región del espacio es esféricamente simétrica y viene dada por 𝝆(𝒓) = 𝑪𝒆−𝒓/𝒂 cuando r<R y ρ=0 cuando r>R. Determinar el campo eléctrico en función de r. 𝒅𝒒 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝝆 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑪 ∗ 𝒆−𝒓/𝒂 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒆−𝒓/𝒂𝒅𝒓 𝑸 = ∫ 𝒅𝒒 = 𝑹 𝟎 ∫ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒆−𝒓/𝒂𝒅𝒓 𝑹 𝟎 Haciendo integración por partes dos veces obtenemos: 𝑸 = −𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ (𝑹𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆− 𝑹 𝒂 − 𝟐 ∗ 𝒂𝟐 ∗ 𝑹 ∗ 𝒆− 𝑹 𝒂 − 𝟐 ∗ 𝒂𝟑 ∗ 𝒆− 𝑹 𝒂 𝑸 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆− 𝑹 𝒂 ∗ (−𝑹𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝑹 − 𝟐 ∗ 𝒂𝟐) Para r>R: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ; 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝟒∗𝝅∗𝑪∗𝒂∗𝒆 − 𝑹 𝒂∗(−𝑹𝟐−𝟐∗𝒂∗𝑹−𝟐∗𝒂𝟐) 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝑪∗𝒌∗𝒂∗𝒆 − 𝑹 𝒂∗(−𝑹𝟐−𝟐∗𝒂∗𝑹−𝟐∗𝒂𝟐) 𝒓𝟐 Para puntos interiores, r<R: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ; 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝑸𝒊𝒏𝒕 𝑨 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝟒∗𝝅∗𝑪∗𝒂∗𝒆 − 𝒓 𝒂∗(−𝒓𝟐−𝟐∗𝒂∗𝒓−𝟐∗𝒂𝟐) 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 39. Una corteza esférica no conductora y maciza de radio interior a y de radio exterior b posee una densidad ρ de carga volúmica uniforme. a) Calcular la carga total. b) El campo eléctrico en todos los puntos. a) 𝒅𝒒 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝝆 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝝆 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝑸 = ∫ 𝒅𝒒 = ∫ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ (𝒃𝟑 − 𝒂𝟑) b) Para r>R: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ; 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝝆∗(𝒃𝟑−𝒂𝟑) 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝟒∗𝒌∗𝝅∗𝝆∗(𝒃𝟑−𝒂𝟑) 𝟑∗𝒓𝟐 Para puntos interiores, a<r<b: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ; 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝝆∗(𝒓𝟑−𝒂𝟑) 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝟒∗𝒌∗𝝅∗𝝆∗(𝒓𝟑−𝒂𝟑) 𝟑∗𝒓𝟐 Para r<a: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ; 𝑬 = 𝟎 40. Una carga puntual de + 5 nC está localizada en el origen. Esta carga está rodeada por una distribución simétricamente esférica de carga negativa dada por 𝝆(𝒓) = 𝑪𝒆−𝒓/𝒂. a) ¿Cuál es el valor de la constante C si la carga total del sistema es nula? b) ¿Cuál es el campo eléctrico en r=a? a) Utilizando la carga halla en el problema 38: 𝑸 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆− 𝑹 𝒂 ∗ (−𝑹𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝑹 − 𝟐 ∗ 𝒂𝟐) Esta carga ha de ser de -5 nC. Despejando C: 𝑪 = 𝟓∗𝟏𝟎−𝟗 𝟒∗𝝅∗𝒂∗(𝑹𝟐+𝟐∗𝒂∗𝑹+𝟐∗𝒂𝟐) ∗ 𝒆 𝑹 𝒂 b) Para r=a, la carga interior será: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 + 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆− 𝟏 ∗ (−𝒂𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒂 − 𝟐 ∗ 𝒂𝟐) 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 + 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟓∗𝟏𝟎−𝟗 𝟒∗𝝅∗𝒂∗(𝑹𝟐+𝟐∗𝒂∗𝑹+𝟐∗𝒂𝟐) ∗ 𝒆 𝑹 𝒂 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆− 𝟏 ∗ (−𝟔 ∗ 𝒂𝟐) 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ (𝟏 − 𝒆 𝑹 𝒂∗𝒆− 𝟏∗(𝟔∗𝒂𝟐) 𝑹𝟐+𝟐∗𝒂∗𝑹+𝟐∗𝒂𝟐) 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝟓∗𝟏𝟎−𝟗∗(𝟏− 𝒆 𝑹 𝒂∗𝒆− 𝟏∗(𝟔∗𝒂𝟐) 𝑹𝟐+𝟐∗𝒂∗𝑹+𝟐∗𝒂𝟐) 𝟒∗𝝅∗𝒂𝟐 = 𝒌∗𝟓∗𝟏𝟎−𝟗∗(𝟏− 𝒆 𝑹 𝒂∗𝒆− 𝟏∗(𝟔∗𝒂𝟐) 𝑹𝟐+𝟐∗𝒂∗𝑹+𝟐∗𝒂𝟐) 𝒂𝟐 41. Una esfera sólida no conductora de radio a con su centro en el origen tiene una cavidad esférica de radio b con su centro Enel punto x=b, y=0, z=0 como se muestra en la figura. La esfera contiene una densidad de carga volúmica uniforme ρ. Demostrar que el campo eléctrico en la cavidad es uniforme y viene dado por 𝑬𝒙 = 𝝆𝒃/𝟑𝝐𝒐, Ey=0. (Indicación Sustituir la cavidad por esferas de igual densidad de carga positiva y negativa). ?⃗⃗? = ?⃗⃗? 𝟏 + ?⃗⃗? 𝟐 Aplicamos el teorema de Gauss a una esfera de centro O y radio r1: 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟏 𝟐 ∗ 𝑬𝟏 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 ; 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟏 𝟐 ∗ 𝑬𝟏 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟏 𝟑 ∗ 𝝆 𝑬𝟏 = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝒓𝟏 ∗ 𝝆 Consideramos una esfera de carga negativa, con radio r2 menor que b: Aplicando Gauss: 𝑬𝟐 = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝝆 Vectorialmente: ?⃗⃗? = ?⃗⃗? 𝟏 + ?⃗⃗? 𝟐 = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ ?⃗? 𝟏 − 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ ?⃗? 𝟐 ?⃗? 𝟏 = ?⃗? + ?⃗? 𝟐 ?⃗⃗? = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ (?⃗? + ?⃗? 𝟐) − 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ ?⃗? 𝟐 ?⃗⃗? = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ ?⃗? Teniendo en cuenta que el vector b está dirigido en el eje x: ?⃗? = 𝒃 ∗ 𝒊 ?⃗⃗? = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ 𝒃 ∗ 𝒊 Usando: 𝒌 = 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝝐𝒐 ?⃗⃗? = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝝐𝒐 ∗ 𝝆 ∗ 𝒃 ∗ 𝒊 = 𝝆∗𝒃 𝟑∗𝝐𝒐 ∗ 𝒊 Distribuciones cilíndricas de carga 42. Demostrar que el campo eléctrico debido a una corteza cilíndrica uniformemente cargada e infinitamente larga de radio R y que posee una densidad de carga superficial σ, viene dado por 𝑬𝒓 = 𝟎 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒓 < 𝑹 𝑬𝒓 = 𝝈∗𝑹 𝝐𝒐𝒓 = 𝝀 𝟐𝝅𝝐𝒐𝒓 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒓 > 𝑹 En donde λ=𝟐𝝅𝑹𝝈 es la carga por unidad de longitud sobre la corteza. Usando un cilindro con la cara lateral paralela a la corteza considerada, r>R: 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 ∗ 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝟎 Si larga en 1 es positiva. 47. La figura muestra una porción de un cable concéntrico infinitamente largo en sección transversal. El conductor interno posee una carga de 6 nC/m; el conductor externo está descargado. a) Determinar el campo eléctrico para todos los valores de r, en donde r es la distancia desde el eje del sistema cilíndrico. b) ¿Cuáles son las densidades superficiales de carga sobre las superficies interior y exterior del conductor externo? a) 𝒓 ≤ 𝟏, 𝟓 𝒄𝒎 ∶ 𝑬 = 𝟎, al ser conductor y estar toda la carga sobre la superficie exterior. 𝟏.𝟓 < 𝒓 < 𝟒. 𝟓 𝒄𝒎: Considerando superficie esférica, en su cara lateral, tendremos: 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 ∗ 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐 = 𝝀∗𝑳 𝝐𝒐 = 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟏∗𝑳∗𝝈 𝝐𝒐 𝑬 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟏 ∗ 𝑳 ∗ 𝝈 𝝐𝒐 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 = 𝑹𝟏 ∗ 𝝈 𝝐𝒐 ∗ 𝒓 = (𝝀 ∗ 𝑳) 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝐𝒐 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 = 𝝀 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝐𝒐 ∗ 𝒓 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝀 𝒓 𝑬(𝒓 < 𝟏. 𝟓 ≤ 𝟒. 𝟓 𝒄𝒎) = 𝟐∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟔∗𝟏𝟎−𝟗 𝒓 = 𝟏𝟎𝟖 𝒓 𝟒.𝟓 ≤ 𝒓 ≤ 𝟔. 𝟓 𝒄𝒎 : 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒖𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒆𝒏 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐,𝑬 = 𝟎. 𝟔.𝟓 𝒄𝒎 < 𝒓: En la cara interior del conductor de mayor radio se induce una carga igual y de signo contrario a la del conductor interior, en la cara exterior tendremos una carga: 𝑸 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑳 ∗ 𝝈𝟐 Utilizando el valor calculado en el aparado (b): 𝑬(𝟔. 𝟓 𝒄𝒎 < 𝒓) = 𝑹𝟐∗𝝈𝟐 𝝐𝒐∗𝒓 = 𝟎.𝟎𝟔𝟓∗(−𝟐.𝟏𝟐∗𝟏𝟎−𝟖) 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝒓 = − 𝟏𝟓𝟔 𝒓 b) La carga interior del conductor externo se carga por inducción con una carga negativa, la superficie exterior se carga con la misma carga, pero positiva: 𝝈𝟏 = 𝝀𝟏 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟏 = 𝟔∗𝟏𝟎−𝟗 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟒𝟓 = 𝟐. 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑪/𝒎𝟐 La densidad en la capa exterior será la misma, pero negativa: 𝝈𝟐 = −𝟐.𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑪/𝒎𝟐 48. Repetir el problema 44 para un cilindro con densidad volúmica de carga a) 𝝆(𝒓) = 𝒂𝒓. b) ) 𝝆(𝒓) = 𝑪𝒓𝟐. a) Aplicando la ley de Gauss a un cilindro con la cara lateral paralela al cilindro cargado tendremos: 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 ∗ 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐 𝒅𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝝆(𝒓) ∗ 𝒅𝑽 = 𝒂 ∗ 𝒓 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑳 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒂 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒂 ∗ ∫ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒂 ∗ 𝒓𝟑 𝟑 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒓 ≤ 𝑹 : 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝟐∗𝝅∗𝒂∗ 𝒓𝟑 𝟑 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝒂∗𝒓𝟐 𝟑∗𝝐𝒐 Para r>R: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒂 ∗ 𝑹𝟑 𝟑 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝟐∗𝝅∗𝒂∗ 𝑹𝟑 𝟑 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝒂∗𝑹𝟑 𝟑∗𝝐𝒐∗𝒓 b) 𝒅𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝝆(𝒓) ∗ 𝒅𝑽 = 𝑪 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑳 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓𝟑 ∗ 𝒅𝒓 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ ∫ 𝒓𝟑 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓𝟒 𝟒 = 𝑳∗𝝅∗𝑪∗𝒓𝟒 𝟐 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒓 ≤ 𝑹 : 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝝅∗𝑪∗𝒓𝟒 𝟐 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑪∗𝒓𝟑 𝟒∗𝝐𝒐 Para r>R: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳∗𝝅∗𝑪∗𝑹𝟒 𝟐 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝝅∗𝑪∗𝑹𝟒 𝟐 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑪∗𝑹𝟒 𝟒∗𝝐𝒐∗𝒓 49. Repetir el problema 44 con ρ=C/r. Aplicando la ley de Gauss a un cilindro con la cara lateral paralela al cilindro cargado tendremos: 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 ∗ 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐 𝒅𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝝆(𝒓) ∗ 𝒅𝑽 = 𝑪 𝒓 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑳 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒅𝒓 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ ∫ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒓 ≤ 𝑹 : 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝟐∗𝝅∗𝑪∗𝒓 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑪 𝝐𝒐 Para r>R: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝑹 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝟐∗𝝅∗𝑪∗𝑹 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑪∗𝑹 𝝐𝒐∗𝒓 50. Una corteza cilíndrica no conductora, gruesa e infinitamente larga, de radio interior a y radio exterior b, posee una densidad de carga volúmica uniforme ρ. Determinar el campo eléctrico en todos sus puntos. Para r<a: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝟎 E=0. Para a<r<b: 𝒅𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝝆(𝒓) ∗ 𝒅𝑽 = 𝝆 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑳 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ ∫ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝒂 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ ( 𝒓𝟐 𝟐 − 𝒂𝟐 𝟐 ) = 𝑳 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ (𝒓𝟐 − 𝒂𝟐) 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝝅∗𝝆∗(𝒓𝟐−𝒂𝟐) 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝝆∗(𝒓𝟐−𝒂𝟐) 𝟐∗𝝐𝒐∗𝒓 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒓 > 𝒃: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ ∫ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 𝒃 𝒂 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ ( 𝒃𝟐 𝟐 − 𝒂𝟐 𝟐 ) = 𝑳 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ (𝒃𝟐 − 𝒂𝟐) 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝝅∗𝝆∗(𝒃𝟐−𝒂𝟐) 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝝆∗(𝒃𝟐−𝒂𝟐) 𝟐∗𝝐𝒐∗𝒓 51. Supongamos que el cilindro interno de la figura del problema 47 está construido con un material no conductor y posee una distribución de carga volúmica dada por 𝝆(𝒓) = 𝑪/𝒓, en donde C=200 nc/m3. El cilindro externo es metálico. a) Determinar la carga por metro que posee el cilindro interno. b) Calcular el campo eléctrico para todos los valores de r. a) 𝒅𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝝆(𝒓) ∗ 𝒅𝑽 = 𝑪 𝒓 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑳 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒅𝒓 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ ∫ 𝒅𝒓 𝑹 𝟎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝑹 𝝀 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝑳 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝑹 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟎.𝟎𝟏𝟓 = 𝟏. 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑪/𝒎 a) Para el material interior no conductor, r<1,5 cm: 𝒅𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝝆(𝒓) ∗ 𝒅𝑽 = 𝑪 𝒓 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑳 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒅𝒓 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ ∫ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝟐∗𝝅∗𝑪∗𝒓 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑪 𝝐𝒐 = 𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟎−𝟗 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟐.𝟐𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 En la zona 1.5<r<4,5cm: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝑹 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝟐∗𝝅∗𝑪∗𝐑 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑪∗𝑹 𝝐𝒐∗𝒓 = 𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟎.𝟎𝟏𝟓 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝒓 = 𝟑𝟑𝟗 𝒓 En el cilindro exterior, conductor en equilibrio, E=0. Para r>6,5 cm: La carga global continúa siendo la del cable interior. 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝑹 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝟐∗𝝅∗𝑪∗𝐑 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑪∗𝑹 𝝐𝒐∗𝒓 = 𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟎.𝟎𝟏𝟓 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝒓 = 𝟑𝟑𝟗 𝒓 Carga y campo en superficies conductoras 52. Una moneda está en el interior de un campo eléctrico externo de valor 1,6 kN/C cuya dirección es perpendicular a sus caras. a) Hallar las densidades de carga en cada cara de la moneda suponiendo que son planas. b) Si el radio de la moneda es 1 cm, ¿Cuál es la carga total en una cara? a) Campo en el exterior del conductor: 𝑬𝒏 = 𝝈 𝝐𝒐 ; 𝝈 = 𝑬𝒏 ∗ 𝝐𝒐 = 𝟏.𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝟖. 𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟏. 𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑪/𝒎𝟐 b) 𝑸 = 𝝈 ∗ 𝑨 = 𝝈 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟐 = 𝟏. 𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 ∗ 𝝅 ∗ 𝟎.𝟎𝟏𝟐 = 𝟏. 𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝑪 53. Un bloque metálico sin carga tiene caras cuadradas de 12 cm de lado. Se coloca dentro de un campo eléctrico externo que es perpendicular a sus caras. ¿Cuál es el valor del campo eléctrico, si la carga total inducida sobre una de las caras del bloque es 1,2 nC? 𝑬𝒏 = 𝝈 𝝐𝒐 = 𝑸 𝑳𝟐 𝝐𝒐 = 𝟏.𝟐∗𝟏𝟎−𝟗 𝟎.𝟏𝟐𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟗.𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑵/𝑪 54. Una carga de 6 nC se coloca uniformemente sobre una lámina cuadrada de material no conductor de 20 cm de lado situado en el plano yz. 58. Si la magnitud de un campo eléctrico en la atmósfera es 3 106 N/C, el aire se ioniza y comienza a conducir la electricidad. Este fenómeno se denomina descarga eléctrica. Una carga de 18 µC se sitúa sobre una esfera conductora. ¿Cuál es el radio mínimo de una esfera que puede soportar esta carga sin que se produzca la descarga dieléctrica? El campo en el exterior de la esfera viene dado por: 𝑬 = 𝒌 ∗ 𝑸 𝑹𝟐 El radio pedido será el que proporcione el campo de ruptura: 𝑹 = √ 𝒌∗𝑸 𝑬 = √ 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟏𝟖∗𝟏𝟎−𝟔 𝟑∗𝟏𝟎𝟔 = 𝟎,𝟐𝟑𝟐 𝒎 59. Una lámina conductora cuadrada con lados de 5 m es portadora de una carga neta de 80 µC. a) Determinar la densidad de carga sobre cada cara de la lámina y el campo eléctrico justo en el exterior de una cara de la lámina. b) La lámina se sitúa a la derecha de un plano infinito no conductor, cargado con una densidad de 2,0 µC/m2 y de modo que las caras de la lámina son paralelas al plano. Determinar el campo eléctrico sobre cada cara de la lámina lejos de los bordes y la densidad de carga sobre cada cara. a) Los 80 µC se reparten entre las dos caras de la lámina. 𝝈𝒍á𝒎𝒊𝒏𝒂 = 𝒒 𝟐∗𝑨 = 𝒒 𝟐∗𝑳𝟐 = 𝟖𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟓𝟐 = 𝟏.𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔𝑪/𝒎𝟐 En las proximidades de un metal el campo viene dado por: 𝑬 = 𝝈𝒍á𝒎𝒊𝒏𝒂 𝝐𝒐 = 𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟏.𝟖𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 b) El campo creado por el plano será: 𝑬𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 = 𝝈 𝟐∗𝝐𝒐 = 𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟏.𝟏𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 Los dos campos tienen sentidos opuestos en la región central del dibujo,1 , por tanto, el campo resultante será: 𝑬𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕 = 𝑬𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 − 𝑬𝒍𝒂𝒎𝒊𝒏𝒂 = (𝟏.𝟏𝟑 − 𝟏.𝟖𝟏) ∗ 𝟏𝟎𝟓 = −𝟔. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 Para la zona exterior del dibujo, región 2: 𝑬𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕 = 𝑬𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 + 𝑬𝒍𝒂𝒎𝒊𝒏𝒂 = (𝟏.𝟏𝟑 + 𝟏.𝟖𝟏) ∗ 𝟏𝟎𝟓 = 𝟐.𝟗𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 Para las densidades de carga: Región 1: 𝑬 = 𝝈𝒍á𝒎𝒊𝒏𝒂 𝝐𝒐 ; 𝝈𝒍á𝒎𝒊𝒏𝒂 = 𝑬 ∗ 𝝐𝒐 = −𝟔. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝟖.𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝝈𝒍á𝒎𝒊𝒏𝒂 = −𝟔.𝟎𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝑪/𝒎𝟐 Región 2: 𝝈𝒍á𝒎𝒊𝒏𝒂 = 𝑬 ∗ 𝝐𝒐 = 𝟐.𝟗𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝟖.𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝝈𝒍á𝒎𝒊𝒏𝒂 = 𝟐.𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪/𝒎𝟐 60. Suponer que se pincha un pequeño orificio a través de la pared de una corteza esférica delgado y uniformemente cargada, cuya densidad de carga superficial es σ. Determinar el campo eléctrico próximo al centro del orificio. El campo será el de la esfera más el que crearía un parche con la misma densidad, pero signo contrario al de la esfera. 𝑬 = 𝑬𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆𝒛𝒂 + 𝑬𝒂𝒈𝒖𝒋𝒆𝒓𝒐 Aplicando Gauss a la corteza: 𝑬𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆𝒛𝒂 ∗ 𝑨 = 𝑸 𝝐𝒐 ; 𝑬𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆𝒛𝒂 = 𝑸 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝝐𝒐 El campo del agujero 𝑬𝒂𝒈𝒖𝒋𝒆𝒓𝒐 = −𝝈 𝟐∗𝝐𝒐 = −𝑸 𝟐∗𝝐𝒐∗𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 𝑬 = 𝑸 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝝐𝒐 + −𝑸 𝟐∗𝝐𝒐∗𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝑸 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝝐𝒐 ∗ (𝟏 − 𝟏 𝟐 ) = 𝑸∗𝒌 𝒓𝟐 ∗ 𝟏 𝟐 Usando la densidad de carga: 𝑬 = 𝝈∗𝟒∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝒌 𝒓𝟐 ∗ 𝟏 𝟐 Problemas generales 61. Verdadero o falso: a) Si no existe ninguna carga en una región del espacio, el campo eléctrico debe ser cero en todos los puntos de una superficie que rodea una región citada. b) El campo eléctrico en el interior de una corteza esférica uniformemente cargada es cero. c) El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio electrostático es siempre cero. d) Si la carga neta sobre un conductor es cero, la densidad de carga debe ser cero en todos los puntos de la superficie. a) Falso, puede haber cargas fuera de la región considerada que creen un campo en ella. b) Verdadero, al no haber cargas dentro, aplicando Gauss a una superficie interior, E=0. c) Verdadero, si hay equilibrio no puede haber movimiento de cargas, por tanto, no habrá campo. d) Falso, puede haber cargas inducidas iguales y de signos contrarios en la superficie. 62. Si el campo eléctrico E es cero en todos los puntos de una superficie cerrada, ¿es necesariamente cero el flujo neto a través de la superficie? ¿Qué significa entonces la carga neta dentro de la superficie? Considerando la ley de Gauss, si el campo es cero, el flujo a través de la superficie es cero. De igual manera, la carga neta ha de ser cero. 63. Una carga puntual -Q se encuentra en el centro de una corteza conductora esférica de radio interior R1 y radio exterior R2 como indica la figura. La carga sobre la superficie interna de la corteza es a) +Q. b) cero. c) -Q. Por inducción se produce una acumulación de carga +Q en la corteza interior. Respuesta a. 64. En la configuración de la figura del problema anterior, la carga sobre la superficie exterior de la corteza es a) + Q. b) cero. c) -Q. d) Dependiente de la carga total depositada en la corteza. En la corteza interior se induce la carga -Q, pero en la exterior la carga dependerá de la inicial de la corteza, se ha de cumplir: 𝑸𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = −𝑸 + 𝑸𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 65. Supongamos que la carga total sobre la corteza conductora del problema 63 es cero. En consecuencia, el campo eléctrico para r<R1 y r>R2 apunta a) Hacia fuera desde el centro de la corteza en ambas regiones. b) Hacia el centro de la corteza en ambas regiones. c) Hacia el centro de la corteza para r<R1 y es cero para r>R2. d) Hacia fuera desde el entro de la corteza para r<R1 y e cero para r>R2. En la zona interior irá hacia dentro y en la exterior también, dado que la carga neta en esta región es -Q. Respuesta b. 66. Si la corteza conductora del problema 63 se conecta a tierra, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) La carga de la superficie interna de la corteza es +Q y la de la superficie exterior -Q. b) La carga de la superficie interna de la corteza es +Q y la de la superficie exterior es cero. c) La carga en ambas superficies de la corteza es +Q. d) La carga en ambas superficies de la corteza es cero. La carga interior induce unas cargas +Q en el interior y -Q en el exterior. Al conectar el exterior a tierra, se moverán cargas positivas desde tierra hacia la esfera. La capa exterior quedará con carga cero. Respuesta b. a) Considerando una esfera de radio ro: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝑸𝒏𝒆𝒕𝒂 𝝐𝒐 ; 𝑬 = 𝝆∗𝑽 𝑨∗𝝐𝒐 = 𝒆 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝑹𝟑 ∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝒓𝒐 𝟑 𝟒∗𝝅∗𝒓𝒐 𝟐∗𝝐𝒐 = 𝒆∗𝒓𝒐 𝟒∗𝝅∗𝑹𝟑∗𝝐𝒐 b) 𝒗 = 𝚫𝒔 𝚫𝒕 Para 1 vuelta: 𝚫𝒔 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝒐 ; 𝚫𝒕 = 𝑻 = 𝟏/𝒇 𝒗 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝒐 ∗ 𝒇 ; 𝒇 = 𝒗 𝟐∗𝝅∗𝒓𝒐 c) 𝑭 = 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒓𝒐 d) 𝒆 ∗ 𝑬 = 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒓𝒐 𝒆 ∗ 𝒆∗𝒓𝒐 𝟒∗𝝅∗𝑹𝟑∗𝝐𝒐 = 𝒎 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅𝟐 ∗ 𝒇𝟐 ∗ 𝒓𝒐 𝒇 = √ 𝒆𝟐 𝟏𝟔∗𝝅𝟑∗𝒎∗𝑹𝟑∗𝝐𝒐 = 𝒆 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝟏 √𝝅∗𝒎∗𝑹∗𝝐𝒐 73. Sobre el plano y z tenemos una carga superficial no uniforme. En el origen, la densidad de carga superficial es σ = 3,10 µC/m2. En el espacio existen otras distribuciones de carga. Justo a la derecha del origen, el componente x del campo eléctrico es 𝑬𝒙 = 𝟒,𝟔𝟓 𝟏𝟎𝟓 N/C. ¿Cuál es el valor de Ex justo a la izquierda del origen? Debido a que la diferencia entre el campo justo a la derecha del origen y el campo justo a la izquierda del origen es el campo debido a la carga superficial no uniforme, podemos poner: 𝑬𝒙,𝒊𝒛𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒅𝒂 = 𝑬𝒙,𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂 − 𝝈 𝝐𝟎 = 𝟒.𝟔𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟓 − 𝟑.𝟏𝟎∗𝟏𝟎−𝟓 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟏, 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 74. Una carga lineal infinita de densidad lineal uniforme λ=-1,5 µC/m es paralela al eje y en x= -2 m. Una carga puntual de 1,3 µC está localizada en x=1m, y=2 m. Determinar el campo eléctrico en x= 2m, y= 1,5 m. ?⃗⃗? = ?⃗⃗? 𝝀 + ?⃗⃗? 𝒒 Utilizando la expresión para el campo creado por un conductor lineal de longitud infinita: ?⃗⃗? 𝝀 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒅 ∗ 𝒊 = − 𝟐∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟏.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟒 ∗ 𝒊 = −𝟔. 𝟕𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 ?⃗⃗? 𝒒 = 𝒌∗𝒒 𝒓𝟐 ∗ ( 𝒅𝒙 𝒓 ∗ 𝒊 − 𝒅𝒚 𝒓 ∗ 𝒋 ) = 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟏.𝟑∗𝟏𝟎−𝟔 𝟏𝟐+𝟎.𝟓𝟐 ∗ ( 𝟏 √𝟏𝟐+𝟎.𝟓𝟐 ∗ 𝒊 − 𝟎.𝟓 √𝟏𝟐+𝟎.𝟓𝟐 ∗ 𝒋 ) ?⃗⃗? 𝒒 = 𝟖.𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 − 𝟒. 𝟏𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 ?⃗⃗? = (−𝟔.𝟕𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟑 + 𝟖.𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟑) ∗ 𝒊 —𝟒.𝟏𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 ?⃗⃗? = 𝟏,𝟔𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 —𝟒. 𝟏𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 75. Dos planos infinitos de carga son paralelos entre sí y paralelos al plano y z. Uno de ellos corresponde a x= - 2 m y su densidad superficial de carga es σ = -3.5 µC/m2. El otor corresponde a x= 2 m y σ = 6,0 C/m2. Determinar el campo eléctrico para a) x< - 2m. b) -2 m< x < 2 m. c) x> 2 m. a) Para un plano infinito de carga: 𝑬𝒏 = 𝝈 𝟐∗𝝐𝒐 En x < 2 m: 𝑬𝒙 = 𝟑.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 − 𝟔.𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = −𝟏.𝟒𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 b) En la región entre planos 𝑬𝒙 = − 𝟑.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 − 𝟔.𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = −𝟓.𝟑𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 c) 𝑬𝒙 = − 𝟑.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 + 𝟔.𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟏.𝟒𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 76. Una corteza cilíndrica infinitamente larga, coaxial con el eje y tiene un radio de 15 cm. Posee una densidad superficial y uniforme de carga σ = 6 µC/m2. Una corteza esférica de radio 25 cm está centrada sobre el eje x en x = 50 cm y posee una densidad superficial y uniforme de carga σ = -12 µC/m2. Calcular la magnitud y dirección del campo eléctrico en: a) El origen. b) x= 20 cm, y= 10 cm. c) x= 50 cm, y= 20 cm. (Véase el problema 42) a) Para el origen: ?⃗⃗? 𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 = 𝟎 ?⃗⃗? 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = 𝒌∗𝑸 𝒅𝟐 = 𝒌∗𝟒∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝝈 𝒅𝟐 ∗ 𝒊 = 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟒∗𝝅∗𝟎.𝟐𝟓𝟐∗𝟏𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟓𝟐 ∗ 𝒊 ?⃗⃗? = 𝟑.𝟑𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟓𝑵/𝑪 ∗ 𝒊 b) ?⃗⃗? 𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 = 𝝈∗𝑹 𝝐𝒐∗𝒓 ∗ 𝒊 = 𝟔∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟏𝟓 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝟎.𝟐 ∗ 𝒊 = 𝟓. 𝟎𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵 𝑪 ∗ 𝒊 ?⃗⃗? 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = 𝒌∗𝑸 𝒅𝟐 ∗ ( 𝒅𝒙 𝒅 ∗ 𝒊 + 𝒅𝒚 𝒅 ∗ 𝒋 ) ?⃗⃗? 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟒∗𝝅∗𝟎.𝟐𝟓𝟐∗𝟏𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟑𝟐+𝟎.𝟏𝟐 ∗ ( 𝟎.𝟑 √𝟎.𝟑𝟐+𝟎.𝟏𝟐 ∗ 𝒊 − 𝟎.𝟏 √𝟎.𝟑𝟐+𝟎.𝟏𝟐 ∗ 𝒋 ) ?⃗⃗? 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = 𝟖. 𝟎𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝒊 − 𝟐.𝟔𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝒋 ?⃗⃗? = (𝟓.𝟎𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟓 + 𝟖. 𝟎𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟓) ∗ 𝒊 − 𝟐.𝟔𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝒋 ?⃗⃗? = 𝟏.𝟑𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟔 ∗ 𝒊 − 𝟐. 𝟔𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝒋 c) ?⃗⃗? 𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 = 𝝈∗𝑹 𝝐𝒐∗𝒓 ∗ 𝒊 = 𝟔∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟏𝟓 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝟎.𝟓 ∗ 𝒊 = 𝟐. 𝟎𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵 𝑪 ∗ 𝒊 ?⃗⃗? 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = 𝟎 ?⃗⃗? == 𝟐.𝟎𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵 𝑪 ∗ 𝒊 77. Un plano infinito situado en el plano de coordenadas x z posee una densidad de carga superficial uniforme σ1 = 65 nC/m2. Un segundo plano infinito, portador de una densidad de carga uniforme σ2 = 45 nC/m2 corta el plano x z Enel eje z y forma un ángulo e 30º con el plano x z como indica la figura. Determinar el campo eléctrico en el plano xy en a) x= 6 m, y = 2 m. b) x= 6 m, y = 5 m. a) El punto está por debajo del plano 2. ?⃗⃗? 𝟐 = 𝝈𝟐 𝟐∗𝝐𝒐 ∗ (𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎 ∗ 𝒊 − 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎 ∗ 𝒋 ) = 𝟒𝟓∗𝟏𝟎−𝟗 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ (𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎 ∗ 𝒊 − 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎 ∗ 𝒋 ) ?⃗⃗? 𝟐 = 𝟏.𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 − 𝟐. 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 ?⃗⃗? 𝟏 = 𝝈𝟏 𝟐∗𝝐𝒐 ∗ 𝒋 = 𝟔𝟓∗𝟏𝟎−𝟗 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒋 = 𝟑.𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 ?⃗⃗? = 𝟏.𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 + (𝟑.𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 − 𝟐.𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑) ∗ 𝒋 ?⃗⃗? = 𝟏.𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 + 𝟏. 𝟒𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 b) El punto está por encima del plano 2. ?⃗⃗? 𝟐 = 𝝈𝟐 𝟐∗𝝐𝒐 ∗ (− 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎 ∗ 𝒊 + 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎 ∗ 𝒋 ) = 𝟒𝟓∗𝟏𝟎−𝟗 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ (−𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎 ∗ 𝒊 + 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎 ∗ 𝒋 ) ?⃗⃗? 𝟐 = −𝟏. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 + 𝟐. 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 ?⃗⃗? 𝟏 = 𝝈𝟏 𝟐∗𝝐𝒐 ∗ 𝒋 = 𝟔𝟓∗𝟏𝟎−𝟗 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒋 = 𝟑. 𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 ?⃗⃗? = −𝟏.𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 + (𝟑.𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 + 𝟐.𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑) ∗ 𝒋 ?⃗⃗? = −𝟏.𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 + 𝟓. 𝟖𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 78. Un anillo de radio R transporta una densidad de carga positiva uniforme λ. En la figura se muestra un punto P que se encuentra en el plano del anillo, de longitudes s1 y s2 (indicados en la figura) y que se encuentran a las distancias r1 y r2 del punto P. a) ¿Cuál es la relación entre las cargas de estos elementos? ¿Cuál de ellas genera un campo mayor en el punto P? b) ¿Cuál es la dirección del campo debido a estos elementos en el punto P? ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico total en el punto P? c) Suponer que el campo eléctrico debido a una carga puntual varía en la forma 1/r en lugar de 1/r2. ¿Cuál sería el campo eléctrico en el punto P debido a los elementos que se muestran? d) ¿Qué diferencias existirían en las respuestas dadas si el punto P se encontrará en el interior de una corteza con una distribución de carga esférica y en la que el área de los elementos fuera s1 y s2? 80. Una barra de plástico, no conductora, larga y delgada, se dobla formando un bucle de radio R. Entre los extremos de la barra queda un hueco de longitud l (l≪R). Una carga Q se distribuye por igual sobre la barra. a) Indicar la dirección del campo eléctrico en el centro del bucle. b) Determinar la magnitud del campo eléctrico Enel centro del bucle. a) El campo en el centro es debido al bucle y loa brecha. ?⃗⃗? = ?⃗⃗? 𝒃𝒖𝒄𝒍𝒆 ∗ +?⃗⃗? 𝒂𝒈𝒖𝒋𝒆𝒓𝒐 Si la carga Q es positiva. El campo en el centro del bucle per el anillo es cero. Considerando el agujero con carga negativa. El campo estará dirigido hacia el centro del agujero, por simetría. ?⃗⃗? 𝒂𝒈𝒖𝒋𝒆𝒓𝒐 = −𝒌 ∗ 𝒒 𝑹𝟑 ∗ ?⃗? b) Usando la densidad lineal: 𝝀 = 𝑸 𝟐∗𝝅∗𝑹 = 𝒒 𝒍 ; 𝒒 = 𝑸∗𝒍 𝟐∗𝝅∗𝑹 𝑬 = 𝑬𝒂𝒈𝒖𝒋𝒆𝒓𝒐 = 𝒌 ∗ 𝑸∗𝒍 𝟐∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝟏 𝑹𝟑 ∗ 𝑹 = 𝒌∗𝑸∗𝒍 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟑 81. Una barra de longitud L se encuentra en dirección perpendicular a una carga lineal uniforme e infinitamente larga de densidad de carga λ C/m (figura). El extremo más próximo de la barra a la carga lineal dista de ésta la longitud d. La barra posee una carga total Q distribuida uniformemente en toda su longitud. Determinar la fuerza que la carga lineal infinitamente larga ejerce sobre la barra. El campo un dq de la barra será: 𝒅𝑬𝒚 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒚 Para el dq tenemos: 𝒅𝒒 𝒅𝒚 = 𝑸 𝑳 ; 𝒅𝒒 = 𝑸 𝑳 ∗ 𝒅𝒚 La fuerza sobre dq será: 𝒅𝑭 = 𝒅𝒒 ∗ 𝒅𝑬𝒚 = 𝑸 𝑳 ∗ 𝒅𝒚 ∗ 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒚 Integrando: 𝑭 = ∫ 𝑸 𝑳 ∗ 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ 𝒅𝒚 𝒅+𝑳 𝒅 = 𝟐∗𝒌∗𝑸 𝑳 ∗ 𝒍𝒏 ( 𝒅+𝑳 𝒅 ) 82. Una esfera sólida de 1,2 m de diámetro con su centro sobre el eje x en x = 4 m, transporta una carga volúmica uniforme de densidad ρ = 5 µC/m3. Una corteza esférica concéntrica con la esfera tiene un diámetro de 2,4 m y una densidad de carga superficial uniforme σ = -1,5 µC/m2. Calcular la magnitud y dirección del campo eléctrico en a) x= 4,5 m, y = 0 m. b) x = 4,0 m, y = 1,1 m. c) x = 2,0 m, y = 3,0 m. a) Aplicando Gauss a una esfera que pasa por el punto 1, centrada con la esfera cargada: 𝑬 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 = 𝝆∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝒓𝟑 𝝐𝒐 𝑬 = 𝝆∗𝒓 𝟑∗𝝐𝒐 = 𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟑∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟎. 𝟓 = 𝟗.𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 El sentido del campo será según el eje x, positivo. ?⃗⃗? = 𝟗.𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝒊 b) Aplicando de la misma manera Gauss a una esfera que pasa por el punto: 𝑬 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 = 𝝆∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝒓𝟏 𝟑 𝝐𝒐 𝑬 = 𝝆∗𝒓𝟏 𝟑 𝟑∗𝝐𝒐∗𝒓 𝟐 = 𝟓∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟔𝟑 𝟑∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝟏.𝟏𝟐 = 𝟑, 𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 Vectorialmente el campo estará dirigido según el eje y positivo. ?⃗⃗? = 𝟑,𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝒋 c) Volviendo a aplicar Gauss: 𝑬 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 = 𝝆∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝒓𝟏 𝟑−𝝈∗𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 𝟐 𝝐𝒐 𝑬 = 𝝆∗ 𝟏 𝟑 ∗𝒓𝟏 𝟑−𝝈∗𝒓𝟐 𝟐 𝝐𝒐∗𝒓 𝟐 = 𝟏 𝟑 ∗𝟓∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟔𝟑−𝟏.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟏.𝟐𝟐 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗(𝟐𝟐+𝟑𝟐) = −𝟏.𝟓𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 El campo estará dirigido vectorialmente hacia el centro de la esfera y la corteza. 𝑬𝒙 = 𝟏.𝟓𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝟐 √𝟐𝟐+𝟑𝟐 = 𝟖.𝟔𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑵/𝑪 𝑬𝒚 = 𝟏.𝟓𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝟑 √𝟐𝟐+𝟑𝟐 = −𝟏.𝟑𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈( −𝟏.𝟑𝟎∗𝟏𝟎𝟒 𝟖.𝟔𝟓∗𝟏𝟎𝟑 ) = −𝟓𝟔º 83. Un plano infinito de carga de densidad superficial σ1 = 3 µC/m2 es paralelo al plano x z en y= -0,6 m. Un segundo plano infinito de densidad superficial de carga σ2 = - 2 µC/m2 es paralelo al plano y z en x = 1 m. Una esfera de radio 1 m con su centro en el plano x y en la intersección de los planos cargados (x = 1 m, y = -0,6 m) posee una densidad de carga superficial σ3 = - 3 µC/m2. Determinar la magnitud y dirección del campo eléctrico sobre el eje x en a) x = 0,4 m. b) x = 2,5 m. a) El campo creado por la esfera en el punto, será cero, al no tener cargas en su interior. El campo en este punto será debido a los dos planos: ?⃗⃗? 𝟏 = 𝝈𝟏 𝟐∗𝝐𝒐 ∗ 𝒋 ?⃗⃗? 𝟐 = 𝝈𝟐 𝟐∗𝝐𝒐 ∗ 𝒊 ?⃗⃗? = 𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒊 + 𝟑∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒋 = 𝟏. 𝟏𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟓𝒊 + 𝟏. 𝟔𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝒋 b) El campo de la esfera será: En la aproximación 𝒙 ≪ 𝑹: 𝑭 = 𝒌∗𝑸∗𝒒 𝑹𝟑 ∗ 𝒙 c) Si las carga Q y q son de signos diferentes, la fuerza estará dirigida hacia el centro del anillo, cumpliéndose la condición de que la fuerza resultante sea proporcional a x (m.v.a.s). − 𝒌∗|𝑸∗𝒒| 𝑹𝟑 ∗ 𝒙 = 𝒎 ∗ 𝒅𝟐𝒙 𝒅𝒕𝟐 Por similitud: 𝝎𝟐 = 𝒌∗|𝑸∗𝒒| 𝒎∗𝑹𝟑 = 𝟒∗𝝅𝟐 𝑻𝟐 𝑻 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝒎∗𝑹𝟑 𝒌∗|𝑸∗𝒒| 87. Cuando las cargas Q y q del problema 86 son 5 µC y – 5 µC, respectivamente, y el radio del anillo es 8,0 cm, la masa m oscila alrededor de su posición de equilibrio con una frecuencia angular de 21 rad/s. Determinar la frecuencia angular de oscilación de la masa si el radio del anillo se duplica a 16 cm y todos los demás parámetros permanecen sin modificar. Con la primera condición: 𝝎𝟏 𝟐 = 𝒌∗|𝑸∗𝒒| 𝒎∗𝑹𝟏 𝟑 Para el segundo caso: 𝝎𝟐 𝟐 = 𝒌∗|𝑸∗𝒒| 𝒎∗𝑹𝟐 𝟑 𝝎𝟐 𝟐 𝝎𝟏 𝟐 = 𝑹𝟏 𝟑 𝑹𝟐 𝟑 = 𝟏 𝟐𝟑 𝝎𝟐 = 𝝎𝟏 ∗ 𝟏 √𝟖 = 𝟐𝟏 ∗ 𝟏 √𝟖 = 𝟕.𝟒𝟐 𝒓𝒂𝒅/𝒔 88. Dadas las condiciones iniciales del problema 87, determinar la frecuencia angular de oscilación de la masa si el radio del anillo se duplica a 15 cm, mientras que la densidad de carga lineal en el anillo permanece constante. 𝝎𝟐 = 𝒌∗|𝑸′∗𝒒| 𝒎∗𝑹′𝟑 Si duplicamos el radio del anillo, manteniendo la densidad de carga constante: 𝑸′ = 𝝀 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟐 ∗ 𝑹 = 𝟐 ∗ 𝑸 La carga del anillo se ha doblado. 𝝎𝟐 = 𝟐∗𝒌∗|𝑸∗𝒒| 𝒎∗𝟖∗𝑹𝟑 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝝎𝒐 𝟐 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝟐𝟏𝟐; 𝝎 = 𝟐𝟏 𝟐 = 𝟏𝟎.𝟓 𝒓𝒂𝒅/𝒔 89. Un cilindro no conductor de radio 1,2 m y longitud 2,0 m posee una carga de 50 µC uniformemente distribuida en todo el cilindro. Determinar el campo eléctrico sobre el eje del cilindro a una distancia de a) 0,5 m. b) 2,0 m. c) 20 m desde el centro del cilindro. Consideramos el cilindro formado por discos de espesor dx, el campo de cada disco será: 𝒅𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ (𝟏 − 𝒙 √𝒙𝟐+𝑹𝟐 ) ∗ 𝒅𝒙 Integrando: Para puntos fuera del cilindro: 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ ∫ (𝟏 − 𝒙 √𝒙𝟐+𝑹𝟐 ) ∗ 𝒅𝒙 𝒙+𝑳/𝟐 𝒙−𝑳/𝟐 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ (𝑳 − √ ( 𝑳 𝟐 + 𝒙) 𝟐 + 𝑹𝟐 + √ ( 𝑳 𝟐 − 𝒙) 𝟐 + 𝑹𝟐 Para el interior del cilindro: 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ [∫ (𝟏 − 𝒙 √𝒙𝟐+𝑹𝟐 ) ∗ 𝒅𝒙 𝑳 𝟐 −𝒙 𝟎 − ∫ (𝟏 − 𝒙 √𝒙𝟐+𝑹𝟐 ) ∗ 𝒅𝒙 𝑳 𝟐 −𝒙 𝟎 ] 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ (𝟐 ∗ 𝒙 − √ ( 𝑳 𝟐 + 𝒙) 𝟐 + 𝑹𝟐 + √ ( 𝑳 𝟐 − 𝒙) 𝟐 + 𝑹𝟐 a) El punto está en el interior del cilindro. 𝑬𝒙(𝟎. 𝟓) = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟓𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝝅∗𝟏.𝟐𝟐∗𝟐.𝟎 ∗ (𝟐 ∗ 𝟎. 𝟓 − √ ( 𝟐 𝟐 + 𝟎. 𝟓) 𝟐 + 𝟏.𝟐𝟐 + √ ( 𝟐 𝟐 − 𝟎.𝟓) 𝟐 + 𝟏. 𝟐𝟐 𝑬𝒙(𝟎. 𝟓) = 𝟏.𝟏𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 b) 𝑬𝒙(𝟐) = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟓𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝝅∗𝟏.𝟐𝟐∗𝟐.𝟎 ∗ (𝟐 ∗ 𝟐 − √ ( 𝟐 𝟐 + 𝟐) 𝟐 + 𝟏.𝟐𝟐 + √ ( 𝟐 𝟐 − 𝟐) 𝟐 + 𝟏.𝟐𝟐 𝑬𝒙(𝟐) = 𝟏. 𝟎𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 c) 𝑬𝒙(𝟐𝟎) = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟓𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝝅∗𝟏.𝟐𝟐∗𝟐.𝟎 ∗ (𝟐 − √ ( 𝟐 𝟐 + 𝟐𝟎) 𝟐 + 𝟏. 𝟐𝟐 + √ ( 𝟐 𝟐 − 𝟐𝟎) 𝟐 + 𝟏. 𝟐𝟐 𝑬𝒙(𝟐𝟎) = 𝟏. 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑵/𝑪 90. Una carga lineal uniforme de densidad λ se encuentra sobre el je x entre x = 0 y x = L. Su carga total es Q = 8 nC. El campo eléctrico en x = 2 L es 600 N/C i. Determinar el campo eléctrico en x = 3 L. Usamos 𝑬𝒙 = 𝒌∗𝑸 𝒙∗(𝒙−𝑳) 𝑬𝒙(𝟐 ∗ 𝑳) = 𝒌∗𝑸 𝟐∗𝑳∗(𝟐∗𝑳−𝑳) = 𝒌∗𝑸 𝟐∗𝑳𝟐 𝑬𝒙(𝟑 ∗ 𝑳) = 𝒌∗𝑸 𝟑∗𝑳∗(𝟑∗𝑳−𝑳) = 𝒌∗𝑸 𝟔∗𝑳𝟐 Dividiendo: 𝑬𝒙(𝟑∗𝑳) 𝑬𝒙(𝟐∗𝑳) = 𝟏 𝟑 ; 𝑬𝒙(𝟑 ∗ 𝑳) = 𝟏 𝟑 ∗ 𝑬𝒙(𝟐 ∗ 𝑳) = 𝟏 𝟑 ∗ 𝟔𝟎𝟎 = 𝟐𝟎𝟎 𝑵/𝑪 91. Determinar la densidad lineal de carga λ (en C/m) de la carga lineal del problema 90. 𝒌∗𝑸 𝟐∗𝑳𝟐 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝑳 = √ 𝒌∗𝑸 𝟐∗𝟔𝟎𝟎 𝝀 = 𝑸 √ 𝒌∗𝑸 𝟐∗𝟔𝟎𝟎 = 𝟖∗𝟏𝟎−𝟗 √𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟖∗𝟏𝟎−𝟗 𝟐∗𝟔𝟎𝟎 = 𝟑. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑪/𝒎 92. Una esfera uniformemente cargada de radio R está centrada en el origen con una carga Q. Determinar la fuerza resultante que actúa sobre una línea uniformemente cargas, orientada radialmente y con una carga total q con sus extremos en r = R y r = R + d. 𝒅𝑭 = 𝑬 ∗ 𝒅𝒒 = 𝒌 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 ∗ 𝝀 ∗ 𝒅𝒓 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝑸 ∗ 𝝀 ∗ ∫ 𝟏 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝑹+𝒅 𝑹 = 𝒌 ∗ 𝑸 ∗ 𝝀 ∗ ( 𝟏 𝑹 − 𝟏 𝑹+𝒅 ) Vectorialmente si las cargas son de signos diferentes el vector estará dirigido hacia el centro y si son de igual signo hacia afuera. 93. Dos cargas lineales uniformes e iguales de longitud L están situadas sobre el eje x separadas una distancia d como indica la figura. a) ¿Cuál es la fuerza que una carga lineal ejerce sobre la otra? b) Demostrar que cuando 𝒅 ≫ 𝑳, la fuerza tiende al resultado esperado 𝒌(𝝀𝑳)𝟐/𝒅𝟐. a) 𝒅𝑭 = 𝒌∗𝑸 𝒙∗(𝒙−𝑳) ∗ 𝒅𝒒 = 𝒌∗𝑸 𝒙∗(𝒙−𝑳) ∗ 𝝀 ∗ 𝒅𝒙 = 𝒌 ∗ 𝑸 ∗ 𝝀 ∗ ( 𝟏 𝑳 ∗ ( 𝟏 𝒙−𝑳 − 𝟏 𝒙 )) ∗ 𝒅𝒙 𝒅𝑭 = 𝒌 ∗ 𝝀𝟐 ∗ ( 𝟏 𝒙−𝑳 − 𝟏 𝒙 ) ∗ 𝒅𝒙 Integrando: 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝝀𝟐 ∗ ∫ ( 𝟏 𝒙−𝑳 − 𝟏 𝒙 ) ∗ 𝒅𝒙 𝟐∗𝑳+𝒅 𝑳+𝒅 = 𝒌 ∗ 𝝀𝟐 ∗ [𝒍𝒏(𝒙 − 𝑳) − 𝒍𝒏 (𝒙)]𝑳+𝒅 𝟐∗𝑳+𝒅 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝝀𝟐 ∗ [𝒍𝒏 ( 𝑳+𝒅 𝒅 )− 𝒍𝒏 ( 𝟐∗𝑳+𝒅 𝑳+𝒅 )] = 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝝀𝟐 ∗ 𝒍𝒏 ( (𝑳+𝒅)𝟐 𝒅∗(𝟐∗𝑳+𝒅) ) 𝑳𝒂 𝒇𝒖𝒂𝒓𝒛𝒂 𝒔𝒆𝒓á 𝒓𝒆𝒑𝒖𝒍𝒔𝒊𝒗𝒂. b) (𝑳+𝒅)𝟐 𝒅∗(𝟐∗𝑳+𝒅) = 𝑳𝟐+𝒅𝟐+𝟐∗𝑳∗𝒅 𝟐∗𝑳∗𝒅+𝒅𝟐 = 𝟏 + 𝑳𝟐 𝟐∗𝑳∗𝒅+𝒅𝟐 ≈ 𝟏 + 𝑳𝟐 𝒅𝟐 𝒍𝒏 (𝟏 + 𝑳𝟐 𝒅𝟐 ) 𝒍𝒏 ( 𝑳𝟐 𝒅𝟐 ) ≈ 𝑳𝟐 𝒅𝟐 𝑭 ≈ 𝒌 ∗ 𝝀𝟐 ∗ 𝑳𝟐 𝒅𝟐 94. Un dipolo p está localizado a una distancia r de una carga lineal infinitamente larga con una densidad de carga lineal y uniforme λ. Suponer que el dipolo está alienado con el campo producido por la carga lineal. Determinar la fuerza que actúa sobre el dipolo. El campo creado por la línea en su eje es: 𝑬𝒙 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒚 La fuerza sobre un dipolo es: