Capitulo 6 Casanova Topografia, Resúmenes de Topografía

¡Descarga Capitulo 6 Casanova Topografia y más Resúmenes en PDF de Topografía solo en Docsity! CAPITULO 6 NIVELACION 6. Nivelación 6-1 6.1. Forma de la Tierra 6-1 6.2. Curvatura y refracción 6-3 6.3. Nivelación trigonométrica 6-6 6.4. Nivelación taquimétrica 6-9 6.5. Nivelación Geométrica 6-11 6.5.1. Nivelación geométrica simple desde el extremo 6-11 6.5.2. Nivelación geométrica simple desde el medio 6-13 6.5.3. Nivelación geométrica compuesta desde el medio 6-14 6.6. Nivelación de perfiles 6-16 6.7. Control de nivelaciones 6-18 6.7.1. Error de cierre 6-18 6.7.2. Tolerancia del error de cierre 6-19 6.7.3. Compensación de nivelaciones 6-20 6.7.3.1. Compensación proporcional a la distancia 6-20 6.7.3.2. Compensación sobre los puntos de cambio 6-21 6.8. Cálculo y ajuste del error de inclinación 6-24 Problemas propuestos 6-26 Leonardo Casanova M. Nivelación 6.2 Curvatura y Refracción Aceptando la simplificación sobre la forma de la tierra, debemos estimar el efecto que la misma tiene en el proceso de nivelación. Como se puede observar en la figura 6.4, una visual horizontal lanzada desde el punto A se aleja de la superficie de la tierra en función de la distancia horizontal D, por lo que el efecto de la curvatura de la tierra e., será la distancia BB”. Va D % Plano horizontal por A / B/ a E Figura 6.4 Representación de los efectos de curvatura y refracción Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos (R+e)=R?+D? R?42Re. + e. =R?+4D? (6.2) Tomando un valor de R = 6.370 km, y considerando por el momento una distancia horizontal de unos pocos km, digamos 2 km, la magnitud del efecto de curvatura resulta un valor pequeño por lo que e? = 0 por ser un infinitésimo de orden superior, quedando la ecuación 6.2 D => (6.3) Si recordamos que la atmósfera esta constituida por una masa de aire dispuesta en estratos de diferentes densidades, considerados constantes para cada estrato e iguales a la densidad media del 6-3 Leonardo Casanova M. Nivelación aire del estrato considerado, la refracción atmosférica desviará la visual lanzada desde A describiendo una línea curva y generando el efecto de refracción (e), tal y como se muestra en la figura 6.4. El efecto de refracción depende de la presión atmosférica, temperatura y ubicación geográfica, pero se puede admitir, para simplificar el problema, como función directa de la curvatura terrestre. er= K.ez (6.4) e = kE 2R K representa el coeficiente de refracción. Se puede observar en la figura 6.4 que el efecto de refracción contrarresta el efecto de curvatura, por lo que el efecto o error total de curvatura y refracción (e.r) se determina según la siguiente expresión: p? ler = €. 5 UK) (6.5) 2 D lo => UK) El campo topográfico altimétrico dependerá de la precisión que se desee obtener y de la apreciación de los instrumentos a utilizar en las operaciones de nivelación. En el ejemplo 6.1 determinaremos el límite del campo topográfico planimétrico para una nivelación de precisión. Ejemplo 6.1. Determinar la máxima distancia horizontal para una nivelación de precisión en la que se requiere que el e, < 1 mm. Solución Para mantener el e, < 1 mm, es necesario que en la nivelación se empleen instrumentos con apreciación de 1 mm y aproximaciones de lectura del orden de décimas de mm. Aplicando la ecuación 6.5 tenemos: Leonardo Casanova M. Nivelación Redondeando, D = 120 m Ejemplo 6.2 ¿Cual sería el límite del campo topográfico para nivelaciones geométricas con nivel automático y mira vertical con apreciación de 1 cm?. Solución Como las miras verticales utilizadas en las nivelaciones geométricas vienen graduadas al centímetro, pudiéndose estimar lecturas al milímetro, asumiremos para este problema una precisión en la lectura de 2,5 mm, por lo que e.r=2.5 mm. Aplicando el mismo procedimiento del ejemplo 6.1, tenemos: =194,722m Redondeando, D = 200 m A fin de determinar los límites del campo topográfico altimétrico para los distintos tipos de nivelación, en la tabla 6.1 se calcula el e¿, para diferentes distancias, tomando como valores promedio de K = 0,16 y R = 6.370 km. En la tabla 6.1, los valores de D representan el límite del campo topográfico perimétrico para los diferentes tipos de nivelación. Tabla 6.1. Límites del campo topográfico planimétrico D €, mm TIPO DE NIVELACION 100 0,65 Nivelación geométrica de preci: Mira vertical de invar y micrómetro óptico. 200 | 2:64 [Nivelación geométrica con mira vertical. 400 | 10,55 | Nivelaciones taquimétricas . Determinación de puntos de relleno. 500 | 16,48 |Considerarel Ce. 21.000 | 65,93 Para valores de D > 400 m, se debe tomar en cuenta el er. 6-5 Leonardo Casanova M. Nivelación Para calcular la cota del punto B aplicamos la ecuación 6.1 418 = Op Qa - OB = Arg + Qa Op = 25,528 + 154,816 = 126,288 Oz =129,288 m. Ejemplo 6.4 Con los datos de la figura E6-4 determine el desnivel entre A y B y la cota del punto B. Ly =2316m SN Mira vertical Figura E6-4 Solución Para la solución de este problema debemos referirnos al capítulo 3.4 correspondiente a medición de distancia. Aplicando la ecuación 3.4 de reducción de distancias inclinadas al horizonte tenemos: D =D;sen $ (3.4) Sustituyendo la 3.4 en 6.2 nos queda, Arg = D¡sengx cotgH + hy - Im Arg = D;cosH + hy —lIm = 94,668 x cos(75"16'22”) + 1,52 - 2,316 Arg = +23,270m El signo positivo indica que B está por encima del punto A. 418 = Og-Qa -. O =Aag + Qa Op = 23,270 + 1.602,574 = 1.625,844 m Oz =1.625,844 m. 6-8 Leonardo Casanova M. Nivelación 6.4 Nivelación Taquimétrica La taquimetría, palabra compuesta proveniente del griego taxóc-metro que significa medida rápida, es un procedimiento topográfico que se apoya en la medición óptica de distancias para la ubicación plano altimétrica de puntos sobre la superficie terrestre. Para la determinación del desnivel por taquimetría utilizaremos las ecuaciones 3.21 y 6.6 para teodolitos que miden ángulos de elevación tenemos: Dy = KHcos a: (3.21) Arg = Dtana + h¡— lm (6.6) Sustituyendo la 3.21 en la 6.6 nos queda: Ars = KH xcos 0 tano + hy- lm (6.8) Arg = KHcosa x sena + h¡— lm (6.9) Para teodolitos que miden ángulos cenitales la ecuación 6.9 queda como sigue: Aa = KHcosó sengó + h,— Im (6.10) Recordemos que K es la constante diastimométrica generalmente igual a 100 para los instrumentos modernos y H es el intervalo de mira o diferencia entre la lectura superior y la lectura inferior a la mira. Por la sencillez y rapidez de la toma de datos en campo, el método taquimétrico constituye el método más empleado en el levantamiento de puntos de relleno. Por ser un levantamiento rápido para puntos de relleno, donde no se requiere de gran precisión, el campo topográfico altimétrico para la taquimetría se puede extender a distancias de hasta 400 m. Ejemplo 6.5 Con los datos de la figura E6-5, calcule la cota del punto B. Solución Aplicando la ecuación 6.10 de nivelación taquimétrica con ángulo cenital tenemos, Aag= 100 (3,250 - 1,286) cos 85%3220”x sen 853220" + 1,540 - 2,268 Arg= 14,502 m 418 = O -Qa -- Op = Arg + Oa Oz = 14,502 + 956,432 = 970,934 m Oz = 970,934 m Por lo general, en trabajos taquimétricos se levantan varios puntos a partir de una misma estación. 6-9 Leonardo Casanova M. Nivelación 1, =3250m K=100 - Im" 2,268 m Ó =85%32:20" 286 m Mira vertical O Q4=956432 Superficie de referencia D Figura E6.5 Ejemplo 6.6 Con los datos de la tabla TE6.6.1, calcule las cotas de los puntos 1 al 5. Tabla TE6.6.1 Libreta de campo para una nivelación taquimétrica Angulos Lecturas en mira medidos EST Pv | ZH LV L La k A 1 91930" 3,658 2,493 1,328 h;¡= 1,602 2 95%17” 2,302 1,921 1,540 Qa = 1.620,32 3 8310” 1,514 1,274 | 1,034 4 90930" 2,386 1,406 | 0,426 5 8532” | 2,043 1,704 | 1,365 Solución Aplicando la ecuación 6.10 para el cálculo del desnivel entre A y cada uno de los puntos restantes y la ecuación 6.1 para el cálculo de las cotas, construimos la tabla TE6.6.2. Tabla TE6.6.2. A Py Dist Desnivel Cota A 1 232,84 - 6,99 1.613,33 2 75,55 -7,31 1.613,01 3 47,32 + 6,00 1.626,32 4 195,99 - 1,51 1.618,81 5 67,39 + 5,16 1.625,48 6-10 Leonardo Casanova M. Nivelación 6.5.2. Nivelación Geométrica Simple desde el Medio Supongamos ahora el caso de la nivelación geométrica simple desde el medio, representado en la figura 6.6.a. En este tipo de nivelación se estaciona y se centra el nivel en un punto intermedio, equidistante de los puntos A y B, no necesariamente dentro de la misma alineación, y se toman lecturas a las miras colocadas en A y B. Luego el desnivel entre A y B será: az = la — lg (6.12) Nótese que en este procedimiento no es necesario estacionar el nivel en un punto predefinido, ni medir la altura de la estación (hi), lo que además de agilizar el proceso, elimina la imprecisión en la determinación de (hi). Para analizar el efecto del error de inclinación del eje de colimación en la nivelación geométrica desde el medio, nos apoyaremos en la figura 6.9. Mira vertical. ———.= Figura 6.9 Determinación del error de inclinación del eje de colimación Estacionando el nivel en un punto E equidistante entre A y B, y colocando miras verticales en ambos puntos, tomamos lecturas a las miras. De existir error de inclinación, el eje de colimación estaría inclinado un ángulo a. con respecto a la horizontal, por lo que las lecturas a la mira serían 1'a y Pp, generando el error de lectura e;, igual para ambas miras por ser distancias equidistantes a la estación. De la figura 6.9 tenemos que: Das = la lg (6.12) en donde, la=U Ae (A) Leonardo Casanova M. Nivelación lg=Ug-e; (B) Reemplazando A y B en 6.12 Arg = (Va—ei)-(U'p= ei) Aw=Pa-Up (6.13) La ecuación 6.13 nos indica que en la nivelación geométrica desde el medio, el error de inclinación no afecta la determinación del desnivel, siempre que se estacione el nivel en un punto equidistante a las miras, no necesariamente en la misma alineación. Las ventajas presentadas por el método de nivelación geométrica desde el medio, hacen de este el método recomendado en los procesos de nivelación. 6.5.3. Nivelación Geométrica Compuesta desde el Medio La nivelación geométrica compuesta desde el medio (figura 6.7.a), consiste en la aplicación sucesiva de la nivelación geométrica simple desde el medio. En la figura 6.7.a, los puntos 1 y 2 representan los puntos de cambio (PC) o punto de transferencia de cota. El punto A es una Base de Medición (BM) o punto de cota conocida. E), E) y Ez representan puntos de estación ubicados en puntos equidistantes a las miras y los valores de l representan las lecturas a la mira. El desnivel entre A y B vendrá dado por la suma de los desniveles parciales Au =la-l An=U' 1-1 42 = 1% - lg AMrg= Dar + An + dog = (la + 14 102) (l1 + la + lg) Si ala, 1”, y 2 le llamamos lecturas atrás (lar) y a ly, la y lg lecturas adelante (lap), tenemos que: Ar = Lar - Lap (6.14) 6-14 Leonardo Casanova M. Nivelación Ejemplo 6.7 Calcule las cotas de los puntos de la nivelación representada en la figura E6-7. Qa=187,523 y Perfil A B 82,50 m Planta Figura E6.7 Solución En la figura E6-7 se han representado esquemáticamente el perfil y la planta de la nivelación a fin de recalcar que no es necesario que las estaciones estén dentro de la alineación, ya que lo importante es que estén equidistantes a los puntos de mira, a fin de eliminar el error de inclinación del eje de colimación. El la tabla TE 6.7 se resume el proceso de cálculo de la nivelación propuesta. Tabla TE.6.7 1 2 3 4 5 6 Est | PV | Lyr Lao Ap Cotas El A 1,254 187,523 1 3,48 | -1,994 | 185,529 E2 1 2,025 185,529 2 1,152 | +0,873 | 186,402 E3 2 2,354 186,402 3 3,527 | -1,173 | 185,229 E4 3 3,875 185,229 B 2,764 | +1,111 | 186,340 x | 9508 | 10,691 | -1,183 Dif. -1,183 | Control 6-15 Leonardo Casanova M. Nivelación 6.7. Control de Nivelaciones En los ejemplos resueltos hasta el momento, solamente hemos podido comprobar las Operaciones aritméticas y no la magnitud de los errores sistemáticos y accidentales, inevitables en todo proceso topográfico. Para poder determinar el error de cierre de una nivelación, es necesario realizar una nivelación cerrada (de ida y vuelta) o una nivelación de enlace con puntos de control (BM) al inicio y al final de la nivelación. 6.7.1. Error de Cierre El error de cierre de una nivelación depende de la precisión de los instrumentos utilizados, del número de estaciones y de puntos de cambio y del cuidado puesto en las lecturas y colocación de la mira. En una nivelación cerrada, en donde el punto de llegada es el mismo punto de partida, la cota del punto inicial debe ser igual a la cota del punto final, es decir: la suma de los desniveles debe ser igual a cero, tal y como se muestra en la figura 6.10. La diferencia entre la cota final y la inicial nos proporciona el error de cierre de la nivelación E, = Qf- Qi (6.17) El error de cierre también puede ser calculado por medio del desnivel total como: En = Lar - Lap (6.18) Perfil Planta Figura 6.10. Nivelación Cerrada 6-18 Leonardo Casanova M. Nivelación La nivelación cerrada se puede realizar levantando los mismos puntos de ida y vuelta, o, preferiblemente, por caminos distintos, retornando siempre al punto inicial. En una nivelación de enlace los puntos extremos forman parte de una red de nivelación de precisión, por lo que la cota o elevación de sus puntos son conocidas. En este tipo de nivelación, representada en la figura 6.11, la diferencia entre el desnivel medido y el desnivel real nos proporciona el error de cierre. El desnivel medido se calcula por la ecuación (6.14) Arg = 2Lar - ¿Lap y el desnivel real reemplazando los valores de las cotas conocidas en la ecuación (6.1) Luego el error de cierre será En = (¿Lar - Lap) - (Qg- Qa) (6.19) AaB-=Aal» A12+A2B Figura 6.11 Nivelación de enlace 6.7.2. Tolerancia del Error de Cierre La tolerancia del error de cierre depende de la importancia del trabajo, de la precisión de los instrumentos a utilizar y de las normativas existentes. Las nivelaciones se pueden clasificar en nivelaciones de primer, segundo y tercer orden, siendo las de tercer orden las de uso común en los trabajos de ingeniería. La tolerancia de cierre generalmente se expresa mediante la siguiente ecuación: T, =mfK (6.20) 6-19 Leonardo Casanova M. Nivelación en donde: T, = Tolerancia para el error de cierre en mm m = Valor dependiente de los instrumentos, método y tipo de nivelación requerida K= Longitud total de la nivelación en Km Para nivelaciones de tercer orden se recomienda un valor de m entre 12 y 15 mm. 6.7.3. Compensación de Nivelaciones Si al comparar el error de cierre con la tolerancia resulta que este es mayor que la tolerancia, se hace necesario repetir la nivelación. En caso de verificarse que el error es menor que la tolerancia se procede a la compensación de la misma siguiendo uno de los métodos de compensación que se describen a continuación: 6.7.3.1.Compensación proporcional a la distancia nivelada Observando la ecuación (6.20) vemos que la tolerancia está en función de la distancia nivelada, razón por la cual uno de los métodos de ajuste de nivelaciones distribuye el error en forma proporcional a las distancias. El procedimiento de cálculo de compensación de nivelaciones por el método proporcional se explica en detalle en el ejemplo E6-9. Ejemplo 6.9 Calcule las cotas compensadas de la nivelación cerrada mostrada en la figura E6-9. M7, osa bas rate, ls ss RS se ET) AA com | 160.00 5000 80.00. | 140.00 | 80.00 Figura E6-9 Solución Por tratarse de una nivelación cerrada, el error de nivelación E, = XLar - ELap En nuestro ejemplo (ver tabla TE6.9.1): E, = 5,226 — 5,218 = 0,008 m = 8 mm 620 Leonardo Casanova M Nivelación Tabla E6.11 A a Método de los puntos de Datos de campo Método proporcional pa Est PV | Dist.P. | Dist.Ac. | Lar Lao | Horiz | Cos | corr, e Corr. | Horiz. | Cotas El A 0,00 0,00 2,125 285,837 | 283,712 283,712 285,837 | 283,712 1 120,00 120,00 1,476 284,361 -0,002 284,359 -0,004 284,357 1 520. 284,881 | 284,361 -0,002 284,359 284,877 | 284,357 2 60,00 180,00 1,563 283,318 -0,002 283,316 283,314 E2 3 42,00 222,00 2,042 282,839 -0,002 282,837 282,835 4 65,00 287,00 2,953 281,928 -0,004 281,924 -0,004 281,920 4 - -- 3,162 285,090 | 281,928 -0,004 281,924 285,082 | 281,920 5 80,00 367,00 2,850 240 -0,004 282,236 2 32 E3 6 95,00. 462,00 1,644 283,446 -0,004 283,442 283,438 7 98,00 560,00 0,761 284,329 -0,007 284,322 -0,004 284,317 7 - -- 1,746 286,075 | 284,329 -0,007 284,322 286,063 | 284,317 8 100,00 660,00 0,879 285,196 -0,007 285,189 285.184 E4 9 120,00 780,00 1,463 284.612 -0,007 284,605 284,600 B 120,00 900,00 2,432 283,643 -0,012 283,631 283,631 Y 7.553 7.622 Qs [283631 Je” "El 0012 Dif. -0,069 Dif. +0,012 En = (2Lar- Lap) - (O - Qa) ¿Lar - ¿Lap = -0,069 Ang = 283,631 — 283,712 = -0,081 E, = - 0,069 — (-0,081) = + 0,012 T, =15,/0,900 = 14,23mm En < Ty c=-En- 020004 2 N 3 C; e a0.012)=-0002 Cj= E op12)> -0,007 €, = -——x:(0,012)=-0/004 2 900 xl ) 0 287 900 C4=-—- x(0,012)=-0,012 900 6-23 Leonardo Casanova M. Nivelación 6.8. Cálculo y Ajuste del Error de Inclinación En nivelaciones compuestas, con puntos intermedios, no es posible establecer la equidistancia a todos los puntos de mira, por lo que en caso de una eventual inclinación del eje de colimación, la mayoría de las lecturas a la mira quedarían afectadas de error. A pesar de que algunos niveles vienen equipados con nivel tórico de doble curvatura, siendo posible efectuar lecturas a la mira en dos posiciones conjugadas, anulando el error de lectura de inclinación del eje de colimación, como se demuestra en la figura 6.12, este procedimiento se hace impráctico, ya que duplica el número de lecturas necesarias. Corte A-A. Nivel tórico de doble curvatura (6.22) Figura 6.12 Nivelación con nivel tórico de doble curvatura La ecuación 6.22 nos indica que el promedio de las lecturas a la mira efectuadas con nivel tórico de doble curvatura en las dos posiciones del nivel elimina el error por inclinación del eje de colimación proporcionando la lectura correcta a la mira. Lo dicho anteriormente nos indica la conveniencia de establecer algún método para determinar y ajustar el error por inclinación. De los diferentes métodos propuestos, se considera al método de la doble distancia con nivelación desde el medio el método mas práctico y preciso, por lo que será el método cuyo proceso describiremos a continuación con el auxilio de la figura 6.13 a. Establecemos un alineamiento ABC, de manera que la distancia AB = BC = D (figura 6.13). b. Estacionando el nivel en un punto medio entre BC (D/2), determinamos el desnivel exacto entre BC por nivelación desde el medio. C. Estacionando el nivel en A tomamos lecturas a miras colocadas en B y C. 6-24 Leonardo Casanova M. Nivelación d. Si el nivel está afectado por inclinación del eje de colimación, digamos un ángulo a. con respecto a la horizontal (figura 6.13.b), las lecturas a la mira estarán afectadas por el error de inclinación como se muestra en la figura 6.13.b, siendo: Lp=L'p-e Lc=L"c-2e e. Con las lecturas obtenidas y aplicando la ecuación 6.12 determinamos el Ac Apc= Lp= Lc = (L'g- e) -(L'c-2e) Simplificando y despejando e nos queda: e= Apc— (L'p-L'c) (6.23) f Con el valor de e se calcula la lectura correcta Lg = L”g — e y actuando sobre el tornillo basculante del nivel (figura 2.29.a) imponemos la lectura corregida. 2. Como en el paso anterior la burbuja queda descorregida, calamos nuevamente la burbuja con el tornillo de corrección [C] (figura 2.26). 2D Figura 6.13 Cálculo del error por inclinación 6-25 Leonardo Casanova M. Nivelación 6.5. Demuestre analíticamente que bajo las condiciones impuestas en la figura inferior, el desnivel entre A y B no queda afectado por el error de inclinación del eje de colimación. Suponga: a) Una inclinación (+0.) del eje de colimación. b) Las lecturas desde El y E2 fueron tomadas con el mismo instrumento. c) Las distancias El-A y E2-B son iguales. Figura P6-5 6.6. Calcule los desniveles parciales y las cotas compensadas de la nivelación de la figura P6-6 e BM-2 Q=177,079 BM-1 E2 Q=175,321 Figura P6-6 6-28 Leonardo Casanova M. Nivelación 6.7. Calcule el error de cierre E, y las cotas compensadas de la nivelación de la tabla anexa. Utilice los métodos de compensación estudiados. Est. PV Dist. P. | Dist, Ac. Lar Livre Lip | Horiz | Cotas BM-1 0,00 2,851 175,321 El 2 20,00 2,435 3 40,00 2,104 3 0,852 E2 4 40,00 1,053 5 65,00 1,425 6 55,00 1,573 6 1,943 E3 7 80,00 1,510 8 80,00 1,073 8 2,124 E4 9 60,00 1,872 10 60,00 1,541 BM-2 80,00 1,270 177,079 6.8. En la nivelación de un perfil que pasa por debajo de una estructura existente, se localizó un punto de referencia en el borde inferior de una viga, tal y como se muestra en la figura P6-8. Calcule las cotas de los puntos 1, 2 3. Ref-1 254,328 Mira en posición invertida 2,461 Figura P6-8 6-29