Circuitos corriente continua: Tipler Problemas, Ejercicios de Física

¡Descarga Circuitos corriente continua: Tipler Problemas y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity! Corriente eléctrica y circuitos de corriente continua. Tipler Capitulo 26. Corriente y movimiento de cargas. 1. Al estudiar la electrostática llegamos a la conclusión de que en condiciones de equilibrio no existe campo eléctrico dentro de un conductor. ¿Cómo es que ahora halamos de campos eléctricos dentro de un conductor? En la situación considerada, con corriente, el conductor no está en equilibrio, por ello existe campo eléctrico en su interior. 2. Un profesor de física ha reunido a los alumnos de su clase alrededor de la cinta transportadora de entrega de equipajes del aeropuerto local y les expone la siguiente analogía de la corriente eléctrica: “Supongamos que cada maleta que transporta la cinta es un paquete de electrones equivalente a un culombio de carga eléctrica”. Contando el número de maletas por unidad de tiempo que conduce la cinta, está equivale a un conductor por el que circula una corriente constante de 2 A (se supone que los viajeros tienen la suficiente paciencia para soportar está espera añadida a la recogida de sus equipajes). a) ¿Cuántas maletas pasan por un punto determinado del carrusel en 5,0 min? b) ¿Qué número de electrones representan? a) 𝟓𝟓.𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝟔𝟔𝟎𝟎 𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝟐𝟐 𝑪𝑪 𝟏𝟏 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 𝟏𝟏 𝑪𝑪 = 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒔𝒔 b) 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒔𝒔 ∗ !𝟏𝟏𝑪𝑪 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒏𝒏 𝒏𝒏 𝟗𝟗𝟔𝟔𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑪𝑪 ∗ 𝟔𝟔.𝟎𝟎𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒏𝒏 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒏𝒏 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏 𝒏𝒏 3. Por un conductor de cobre de calibre 10 circula una corriente de 20 A. Admitiendo que cada átomo tiene un electrón libre, calcular la velocidad de desplazamiento de los electrones. 𝑰𝑰 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒏𝒏 ∗ 𝒗𝒗𝒅𝒅 ∗ 𝑨𝑨 𝒗𝒗𝒅𝒅 = 𝑰𝑰 𝒎𝒎∗𝒏𝒏∗𝑨𝑨 El numero de electrones de conducción es: Usando la densidad: 𝝆𝝆 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟐𝟐 𝒈𝒈 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟖𝟖𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒈𝒈/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆∗𝑵𝑵𝑨𝑨 𝑴𝑴 = 𝟖𝟖𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒈𝒈 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔.𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 á𝒏𝒏𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒔𝒔 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒏𝒏 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒏𝒏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒈𝒈 = 𝟖𝟖.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐𝟖𝟖 á𝒏𝒏𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒔𝒔/𝒎𝒎𝟐𝟐 Usando los datos de la tabl26.2 tenemos: 𝑪𝑪𝒏𝒏𝒏𝒏𝒎𝒎𝑪𝑪𝑪𝑪𝒏𝒏 𝟏𝟏𝟎𝟎;𝒅𝒅 = 𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎𝒎𝒎 ;𝑨𝑨 = 𝟓𝟓𝟐𝟐𝟔𝟔𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟖𝟖.𝟕𝟕𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐𝟖𝟖∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟓𝟓.𝟐𝟐𝟔𝟔𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 = 𝟐𝟐.𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 4. En un tubo fluorescente de 3,0 cm de diámetro, pasan por un punto determinado y por cada segundo 2,0 1018 electrones y 0,5 1018 iones positivos (con una carga +e). ¿Cuál es la corriente que circula por el tubo? 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰− + 𝑰𝑰+ 𝑰𝑰− = 𝒎𝒎− ∗ 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐.𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟗𝟗 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑨𝑨 𝑰𝑰+ = 𝒎𝒎+ ∗ 𝒏𝒏 = 𝟎𝟎.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟗𝟗 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟖𝟖𝟎𝟎 𝑨𝑨 𝑰𝑰 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎+ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟖𝟖 = 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟎𝟎 𝑨𝑨 5. En un cierto haz de electrones existen 5 106 electrones por centímetro cúbico. Supóngase que la energía cinética de los electrones es 10,0 keV y el haz es cilíndrico con un diámetro de 1,00 mm. a) ¿Cuál es la velocidad de los electrones? b) Hallar la corriente del haz. a) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ;𝒗𝒗 = �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 = �𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 𝒏𝒏𝒆𝒆∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟗𝟗𝑱𝑱 𝟏𝟏 𝒏𝒏𝒆𝒆 𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐𝟐𝟐𝒌𝒌𝒈𝒈 = 𝟓𝟓.𝟗𝟗𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝑰𝑰 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒏𝒏 ∗ 𝒗𝒗𝒅𝒅 ∗ 𝑨𝑨 𝑰𝑰 = 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔𝒏𝒏 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟗𝟗𝑪𝑪 ∗ 𝟓𝟓.𝟗𝟗𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟕𝟕𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝟎𝟎.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐� 𝟐𝟐 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟓𝟓 𝑨𝑨 6. Una carga +q se mueve en una circunferencia de radio r con velocidad v. a) Expresar la frecuencia f con la cual pasa por un punto en función de r y v. b) Demostrar que la corriente media es q f y expresarla en función de v y r. a) 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝑻𝑻 = 𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝒗𝒗∗𝑪𝑪 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 b) 𝑰𝑰 = 𝑸𝑸 ∆𝒏𝒏 = 𝒒𝒒 𝑻𝑻 = 𝒒𝒒 𝟏𝟏/𝒇𝒇 = 𝒒𝒒 ∗ 𝒇𝒇 = 𝒒𝒒∗𝒗𝒗∗𝑪𝑪 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 7. Un anillo de radio a tiene una carga por unidad de longitud λ. El anillo gira con una velocidad angular ω alrededor de su eje. Hallar una expresión para la corriente. 𝑰𝑰 = 𝑸𝑸 ∆𝒏𝒏 = 𝝀𝝀∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒏𝒏 𝑻𝑻 = 𝝀𝝀∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒏𝒏 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝎𝝎 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒏𝒏 ∗ 𝝎𝝎 8. Un conductor de calibre 14 se suelda por un extremo a otro de calibre 10. Por los conductores circula una corriente de 15 A. Si ambos conductores son de cobre con un electrón libre por átomo, hallar la velocidad de desplazamiento en cada conductor. Calibre 14: 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟖𝟖𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 Usando la densidad: 𝝆𝝆 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟐𝟐 𝒈𝒈 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟖𝟖𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒈𝒈/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆∗𝑵𝑵𝑨𝑨 𝑴𝑴 = 𝟖𝟖𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒈𝒈 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔.𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 á𝒏𝒏𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒔𝒔 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒏𝒏 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒏𝒏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒈𝒈 = 𝟖𝟖.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐𝟖𝟖 á𝒏𝒏𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒔𝒔/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒏𝒏 ∗ 𝒗𝒗𝒅𝒅 ∗ 𝑨𝑨 ; 𝒗𝒗𝒅𝒅 = 𝑰𝑰 𝒎𝒎∗𝒏𝒏∗𝑨𝑨 = 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟖𝟖.𝟕𝟕𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐𝟖𝟖∗𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟖𝟖𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 = 𝟓𝟓.𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Calibre 10: 𝑨𝑨 = 𝟓𝟓.𝟐𝟐𝟔𝟔𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 Al ser iguales las intensidades: 𝒎𝒎 ∗ 𝒏𝒏 ∗ 𝒗𝒗𝒅𝒅−𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒏𝒏 ∗ 𝒗𝒗𝒅𝒅−𝟏𝟏𝟕𝟕 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏𝟕𝟕 ; 𝒗𝒗𝒅𝒅−𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝒗𝒗𝒅𝒅−𝟏𝟏𝟕𝟕∗𝑨𝑨𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑨𝑨𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟓𝟓.𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕∗𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟖𝟖𝟏𝟏 𝟓𝟓.𝟐𝟐𝟔𝟔𝟏𝟏 𝒗𝒗𝒅𝒅−𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 9. Un haz de protones con un diámetro de 2,0 mm producido en un acelerador determinado constituye una corriente de 1,0 mA. La energía cinética de cada protón es 20 MeV. El haz choca contra un blanco metálico y es absorbido por él. a) ¿Cuál es la densidad de protones del haz? b) ¿Cuántos protones chocarán contra el blanco en 1,0 min? c) Si el blanco está inicialmente sin carga, expresar la carga del blanco en función del tiempo. 𝑹𝑹 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒏𝒏 𝑨𝑨 = 𝝆𝝆 ∗ 𝟕𝟕∗𝒏𝒏 𝝅𝝅∗𝑪𝑪𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑹𝑹𝑨𝑨 = 𝝆𝝆 ∗ 𝟕𝟕∗𝒏𝒏 𝝅𝝅∗𝟕𝟕∗𝑪𝑪𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝑹𝑹 𝟕𝟕 Respuesta e. 14. Comentar la diferencia entre una fem y una diferencia de potencial. Una fem es una fuente de energía que da lugar a una diferencia de potencial entre dos puntos y puede resultar en un flujo de corriente si hay un camino conductor mientras que una diferencia de potencial es la consecuencia de que dos puntos en el espacio estén a diferentes potenciales. 15. Citar varias fuentes comunes de fem. ¿Qué tipo de energía se convierte en energía eléctrica en cada una de ellas? Una pila (química). una dinamo (mecánica), un generador de gasolina (química). 16. Queremos utilizar una barra metálica como resistencia. Sus dimensiones son 2 por 4 por 10 unidades. Para obtener la menor resistencia de esta barra, uniremos los conductores a los lados opuestos de la barra cuyas dimensiones sean a) 2X4 unidades b) 2X10 unidades c) 4X10 unidades. d) Todas las conexiones darán la misma resistencia. e) Ninguna de las anteriores es correcta. a) 𝑳𝑳 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ;𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟕𝟕 ; 𝑹𝑹 = 𝝆𝝆 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟖𝟖 b) 𝑳𝑳 = 𝟕𝟕 ;𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 ; 𝑹𝑹 = 𝝆𝝆 ∗ 𝟕𝟕 𝟖𝟖 c) 𝑳𝑳 = 𝟐𝟐 ;𝑨𝑨 = 𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 ; 𝑹𝑹 = 𝝆𝝆 ∗ 𝟐𝟐 𝟕𝟕𝟎𝟎 La menor resistencia es la de c. 17. Dos alambres de cobre cilíndricos poseen la misma masa. El alambre A tiene doble longitud que el B. La relación de sus resistencias es: a) 𝑹𝑹𝑨𝑨 = 𝟖𝟖 𝑹𝑹𝑩𝑩 b) 𝑹𝑹𝑨𝑨 = 𝟕𝟕 𝑹𝑹𝑩𝑩 c) 𝑹𝑹𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 𝑹𝑹𝑩𝑩 d) 𝑹𝑹𝑨𝑨 = 𝑹𝑹𝑩𝑩 𝑹𝑹𝑨𝑨 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒏𝒏𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒎𝒎𝑨𝑨 = 𝒎𝒎𝑩𝑩 ; 𝒏𝒏𝑨𝑨 ∗ 𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝒏𝒏𝑩𝑩 ∗ 𝑨𝑨𝑩𝑩 𝒏𝒏𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏𝑩𝑩 𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏𝑩𝑩 ∗ 𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝒏𝒏𝑩𝑩 ∗ 𝑨𝑨𝑩𝑩 ; 𝑨𝑨𝑩𝑩 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑹𝑹𝑩𝑩 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒏𝒏𝑩𝑩 𝑨𝑨𝑩𝑩 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒏𝒏𝑨𝑨 𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝑹𝑹𝑨𝑨 𝟕𝟕 Respuesta (b). 18. Por un conductor de 10 m de longitud y una resistencia de 0,2 Ω circula una corriente de 5 A. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial en los extremos del conductor? b) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico del conductor? a) ∆𝒆𝒆 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟓𝟓 ∗ 𝟎𝟎.𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝒆𝒆 b) ∆𝒆𝒆 = 𝑬𝑬 ∗ 𝒏𝒏 ;𝑬𝑬 = ∆𝒆𝒆 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏 𝒆𝒆/𝒎𝒎 19. Una diferencia de potencial de 100 V produce una corriente de 3 A en una resistencia determinada. a) ¿Cuál es su resistencia? b) ¿Cuál es la corriente cuando la diferencia de potencial es de 25 V? a) ∆𝒆𝒆 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 ;𝑹𝑹 = ∆𝒆𝒆 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟐𝟐 𝛀𝛀 b) 𝑰𝑰 = 𝚫𝚫𝒆𝒆 𝑹𝑹 = 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟓𝟓𝟏𝟏 𝑨𝑨 20. Un trozo de carbono tiene una longitud de 3,0 cm y una sección recta cuadrada de 0,5 cm de lado. Se mantiene una diferencia de potencial de 8,4 V entre los extremos de su dimensión más larga. a) ¿Cuál es la resistencia del bloque? b) ¿Cuál es la corriente en esta resistencia? a) 𝑹𝑹 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒏𝒏 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐.𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟓𝟓 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟓𝟐𝟐 = 𝟕𝟕.𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕 𝛀𝛀 b) 𝑰𝑰 = 𝚫𝚫𝒆𝒆 𝑹𝑹 = 𝟖𝟖.𝟕𝟕 𝟕𝟕.𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑨𝑨 21. Una barra de carbono de radio 0,1 mm se utiliza para construir una resistencia. La resistividad de este material es 3.5 10-5 Ω m. ¿Qué longitud de la barra de carbono se necesita para obtener una resistencia de 10 Ω? 𝑹𝑹 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒏𝒏 𝑨𝑨 ; 𝒏𝒏 = 𝑹𝑹∗𝑨𝑨 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝝅𝝅∗�𝟎𝟎.𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐�𝟐𝟐 𝟐𝟐.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟓𝟓 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝒎𝒎 22. El tercer carril (portador de corriente) de una vía de metro está hecho de acero y tiene un área de sección transversal de aproximadamente 55 cm2. ¿Cuál es la resistencia de 10 km de esta vía? (Usar ρ para el hierro). 𝑹𝑹 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒏𝒏 𝑨𝑨 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 (𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕) = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟖𝟖𝟐𝟐 𝛀𝛀 23. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los extremos de un alambre de 30 m de longitud formado por un hilo de cobre de calibre 16 por el cual circula una corriente de 5,0 A? Calibre 16: 1.309 mm2. ∆𝒆𝒆 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒏𝒏 𝑨𝑨 = 𝟓𝟓.𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟎𝟎𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 = 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟓𝟓 𝒆𝒆 24. ¿Qué longitud tiene un conductor de cobre de calibre 14 que posee una resistencia de 2 Ω? Calibre 14: 2.081 mm2. 𝒏𝒏 = 𝑹𝑹∗𝑨𝑨 𝝆𝝆 = 𝟐𝟐∗𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟖𝟖𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝟏𝟏.𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖 = 𝟐𝟐𝟕𝟕𝟓𝟓 𝒎𝒎 25. Un cilindro de vidrio de 1 cm de longitud posee una resistividad de 1012 Ω m. ¿Qué longitud debería tener un alambre de cobre de la misma sección transversal para que su resistencia fuera igual a la del cilindro de vidrio? 𝝆𝝆𝒗𝒗 ∗ 𝒏𝒏𝒗𝒗 𝑨𝑨 = 𝝆𝝆𝑪𝑪𝑪𝑪 ∗ 𝒏𝒏𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑨𝑨 ; 𝒏𝒏𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝝆𝝆𝒗𝒗∗𝒏𝒏𝒗𝒗 𝝆𝝆𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖 = 𝟓𝟓.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟕𝟕 𝒎𝒎 26. Un conductor de cobre de 80,0 m y diámetro de 1,0 mm se une por su extremo con otro conductor de hierro de 49,0 m y del mismo diámetro. La corriente en cada uno de ellos es 2,0 A. a) Hallar el campo eléctrico en cada conductor. b) Hallar la diferencia de potencial aplicada a cada conductor. a) 𝑹𝑹𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝝆𝝆𝑪𝑪𝑪𝑪 ∗ 𝒏𝒏𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑨𝑨 = 𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖 ∗ 𝟖𝟖𝟎𝟎.𝟎𝟎 𝝅𝝅∗(𝟎𝟎.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐)𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟐𝟐 𝛀𝛀 𝑹𝑹𝑭𝑭𝒏𝒏 = 𝝆𝝆𝑭𝑭𝒏𝒏 ∗ 𝒏𝒏𝑭𝑭𝒏𝒏 𝑨𝑨 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖 ∗ 𝟕𝟕𝟗𝟗.𝟎𝟎 𝝅𝝅∗(𝟎𝟎.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐)𝟐𝟐 = 𝟔𝟔.𝟐𝟐𝟕𝟕 𝛀𝛀 𝑷𝑷𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒏𝒏 𝑪𝑪𝑪𝑪: 𝑬𝑬 ∗ 𝒏𝒏 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 ;𝑬𝑬 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 𝒏𝒏 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝆𝝆 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐.𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖 𝝅𝝅 ∗ (𝟎𝟎.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐)𝟐𝟐 = 𝟕𝟕.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝒆𝒆/𝒎𝒎 Para el Fe: 𝑬𝑬 ∗ 𝒏𝒏 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 ;𝑬𝑬 = 𝑰𝑰∗𝑹𝑹 𝒏𝒏 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝆𝝆 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐.𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖 𝝅𝝅∗(𝟎𝟎.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐)𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒆𝒆/𝒎𝒎 b) 𝚫𝚫𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝟐𝟐.𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟐𝟐 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟔𝟔 𝒆𝒆 𝚫𝚫𝒆𝒆𝑭𝑭𝒏𝒏 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹𝑭𝑭𝒏𝒏 = 𝟐𝟐.𝟎𝟎 ∗ 𝟔𝟔.𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟖𝟖 𝒆𝒆 27. Por un conductor de cobre y otro de hierro, que tienen la misma longitud y diámetro, circula la misma corriente I. a) Hallar la caída de tensión en cada conductor y el cociente entre ellas. b) ¿En cuál de los conductores es mayor el campo eléctrico? a) 𝚫𝚫𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝆𝝆𝑪𝑪𝑪𝑪 ∗ 𝒏𝒏 𝑨𝑨 𝚫𝚫𝒆𝒆𝑭𝑭𝒏𝒏 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹𝑭𝑭𝒏𝒏 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝆𝝆𝑭𝑭𝒏𝒏 ∗ 𝒏𝒏 𝑨𝑨 𝚫𝚫𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪 𝚫𝚫𝒆𝒆𝑭𝑭𝒏𝒏 = 𝝆𝝆𝑪𝑪𝑪𝑪 𝝆𝝆𝑭𝑭𝒏𝒏 = 𝟏𝟏.𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟕𝟕 b) 𝚫𝚫𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝑬𝑬𝑪𝑪𝑪𝑪 ∗ 𝒏𝒏 𝚫𝚫𝒆𝒆𝑭𝑭𝒏𝒏 = 𝑬𝑬𝑭𝑭𝒏𝒏 ∗ 𝒏𝒏 𝚫𝚫𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪 𝚫𝚫𝒆𝒆𝑭𝑭𝒏𝒏 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟕𝟕 = 𝑬𝑬𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑬𝑬𝑭𝑭𝒏𝒏 ; 𝑬𝑬𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟕𝟕 ∗ 𝑬𝑬𝑭𝑭𝒏𝒏 Es mayor el del Fe. 28. Una resistencia variable R está conectada a través de una diferencia de potencial V que permanece constante. Cuando R=R1 la corriente es de 6,0 A. Cuando R se incremente a R2=R1+10,0 Ω, la corriente eléctrica desciende a 2,0 A. Determinar a) R1. b) V. a) 𝒆𝒆 = 𝟔𝟔 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝒆𝒆 = 𝟐𝟐.𝟎𝟎 ∗ (𝑹𝑹𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟎𝟎.𝟎𝟎) 𝒅𝒅𝑹𝑹 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑨𝑨 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝛑𝛑∗�𝒏𝒏+�𝑪𝑪−𝒏𝒏𝑳𝑳 �∗𝒅𝒅� 𝟐𝟐 𝑹𝑹 = ∫ 𝝆𝝆 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝛑𝛑∗�𝒏𝒏+�𝑪𝑪−𝒏𝒏𝑳𝑳 �∗𝒅𝒅� 𝟐𝟐 𝑪𝑪 𝒏𝒏 = 𝝆𝝆∗𝑳𝑳 𝝅𝝅∗(𝑪𝑪−𝒏𝒏) ∗ �𝟏𝟏 𝒏𝒏 − 𝟏𝟏 𝒏𝒏+(𝑪𝑪−𝒏𝒏)� = 𝝆𝝆∗𝑳𝑳 𝝅𝝅∗(𝑪𝑪−𝒏𝒏) ∗ �𝟏𝟏 𝒏𝒏 − 𝟏𝟏 𝑪𝑪 � 𝑹𝑹 = 𝝆𝝆∗𝑳𝑳 𝝅𝝅∗(𝑪𝑪−𝒏𝒏) ∗ �𝑪𝑪−𝒏𝒏 𝒏𝒏∗𝑪𝑪 � = 𝝆𝝆∗𝑳𝑳 𝝅𝝅∗𝒏𝒏∗𝑪𝑪 36. El espacio comprendido entre dos conductores esféricos concéntricos se llena con un material de resistividad 109 Ω m. Si la corteza interior posee un radio de 1,5 cm y la exterior de 5 cm, ¿Cuál es la resistencia entre los conductores? (Indicación: Determinar la resistencia de una corteza esférica del material de área 𝟕𝟕𝝅𝝅𝑪𝑪𝟐𝟐 y espesor dr e integrar para determinar la resistencia total de la serie de cortezas en serie). 𝒅𝒅𝑹𝑹 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝟕𝟕∗𝝅𝝅∗𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑹𝑹 = ∫ 𝝆𝝆 ∗ 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝟕𝟕∗𝝅𝝅∗𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪 𝒏𝒏 = 𝝆𝝆 𝟕𝟕∗𝝅𝝅 ∗ �𝟏𝟏 𝒏𝒏 − 𝟏𝟏 𝑪𝑪 � 𝑹𝑹 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 𝟕𝟕∗𝝅𝝅 ∗ � 𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏𝟓𝟓 − 𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟓 � = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 𝛀𝛀 37. El espacio comprendido entre dos cilindros metálicos coaxiales de longitud L y radios a y b se llena totalmente de un material de resistividad ρ. a) ¿Cuál es la resistencia entre los dos cilindros? b) Determinar la intensidad de la corriente entre los dos cilindros si ρ= 30 Ω m, a = 1,5 cm, b = 2,5 cm, L = 50 cm y se aplica una diferencia de potencial de 10 V entre los dos cilindros. a) 𝒅𝒅𝑹𝑹 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑪𝑪∗𝑳𝑳 = 𝝆𝝆 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝑪𝑪 𝑹𝑹 = 𝝆𝝆 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑳𝑳 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝑪𝑪 𝑪𝑪 𝒏𝒏 = 𝝆𝝆 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑳𝑳 ∗ 𝒏𝒏𝒎𝒎 �𝑪𝑪 𝒏𝒏 � b) 𝑰𝑰 = 𝚫𝚫𝒆𝒆 𝑹𝑹 = 𝚫𝚫𝒆𝒆 𝝆𝝆 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑳𝑳∗𝒏𝒏𝒎𝒎� 𝑪𝑪 𝒏𝒏� = 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟎𝟎.𝟓𝟓∗𝒏𝒏𝒎𝒎� 𝟐𝟐.𝟓𝟓 𝟏𝟏.𝟓𝟓� = 𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟓𝟓 𝑨𝑨 Dependencia de la Resistencia con la temperatura. 38. Una varilla de tungsteno tiene una longitud de 50 cm y una sección recta cuadrada de 1,0 mm de lado. a) ¿Cuál es su resistencia a 20º C? b) ¿Cuál es su resistencia a 40º C? a) 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝝆𝝆𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝑳𝑳 𝑨𝑨 = 𝟓𝟓.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖 ∗ 𝟎𝟎.𝟓𝟓 (𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐)𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟕𝟕.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝛀𝛀 b) 𝑹𝑹𝟕𝟕𝟎𝟎 = 𝝆𝝆𝟕𝟕𝟎𝟎 ∗ 𝑳𝑳 𝑨𝑨 = 𝝆𝝆𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏+ 𝜶𝜶 ∗ (𝒏𝒏𝑪𝑪 − 𝟐𝟐𝟎𝟎)� ∗ 𝑳𝑳 𝑨𝑨 = 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏+ 𝜶𝜶 ∗ (𝒏𝒏𝑪𝑪 − 𝟐𝟐𝟎𝟎)� 𝑹𝑹𝟕𝟕𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟕𝟕.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 ∗ �𝟏𝟏+ 𝟕𝟕.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎� = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 𝛀𝛀 39. ¿A qué temperatura será la resistencia de un conductor de cobre el 10 por ciento mayor que cuando está a 20º C? 𝑹𝑹𝒏𝒏 = 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏+ 𝜶𝜶 ∗ (𝒏𝒏𝑪𝑪 − 𝟐𝟐𝟎𝟎)� 𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏+ 𝜶𝜶 ∗ (𝒏𝒏𝑪𝑪 − 𝟐𝟐𝟎𝟎)� 𝟏𝟏.𝟏𝟏 = �𝟏𝟏+ 𝜶𝜶 ∗ (𝒏𝒏𝑪𝑪 − 𝟐𝟐𝟎𝟎)� 𝟎𝟎.𝟏𝟏 = 𝜶𝜶 ∗ (𝒏𝒏𝑪𝑪 − 𝟐𝟐𝟎𝟎); 𝒏𝒏𝑪𝑪 = 𝟐𝟐𝟎𝟎+ 𝟎𝟎.𝟏𝟏 𝜶𝜶 = 𝟐𝟐𝟎𝟎+ 𝟎𝟎.𝟏𝟏 𝟐𝟐.𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟓𝟓.𝟔𝟔 º 𝑪𝑪 40. Un tostador con un elemento de calefacción de nicrom posee una resistencia de 80 Ω a 20º C y una corriente inicial de 1,5 A. Cuando este elemento alcanza su temperatura final, la corriente es de 1,3 A. ¿Cuál es la temperatura final? 𝑹𝑹𝒏𝒏 = 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏+ 𝜶𝜶 ∗ (𝒏𝒏𝑪𝑪 − 𝟐𝟐𝟎𝟎)� La diferencia de potencial aplicada es constante: 𝑰𝑰𝒏𝒏 ∗ 𝑹𝑹𝒏𝒏 = 𝑰𝑰𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑰𝑰𝒏𝒏 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏+ 𝜶𝜶 ∗ (𝒏𝒏𝑪𝑪 − 𝟐𝟐𝟎𝟎)� = 𝑰𝑰𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎; 𝑰𝑰𝒏𝒏 ∗ �𝟏𝟏 + 𝜶𝜶 ∗ (𝒏𝒏𝑪𝑪 − 𝟐𝟐𝟎𝟎)� = 𝑰𝑰𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒏𝒏𝑪𝑪 = �𝑰𝑰𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑰𝑰𝒏𝒏 − 𝟏𝟏� ∗ 𝟏𝟏 𝜶𝜶 + 𝟐𝟐𝟎𝟎 = �𝟏𝟏.𝟓𝟓 𝟏𝟏.𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� ∗ 𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟕𝟕𝟎𝟎𝟓𝟓 º 𝑪𝑪 41. Un calentador ambiental eléctrico posee un alambre de nicrom con una resistencia de 8 Ω a 20 º C. Aplicando un voltaje de 120 V, la corriente eléctrica calienta el alambre de nicrom a 1000 ºC. a) ¿Cuál es la corriente inicial que circula por el elemento de calefacción frio? b) ¿Cuál es la resistencia del elemento de calefacción a 1000 ª C? c) ¿Cuál es la potencia operativa de este calentador? a) 𝑰𝑰𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝚫𝚫𝒆𝒆 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟖𝟖 = 𝟏𝟏𝟓𝟓.𝟎𝟎 𝑨𝑨 b) 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏+ 𝜶𝜶 ∗ (𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎− 𝟐𝟐𝟎𝟎)� = 𝟖𝟖 ∗ �𝟏𝟏+ 𝟎𝟎.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗𝟖𝟖𝟎𝟎� 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟏𝟏 𝛀𝛀 c) 𝑷𝑷 = 𝚫𝚫𝒆𝒆𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 𝑾𝑾 42. En un circuito electrónico existe una resistencia de nicrom de 10 Ω cableada por un alambre de cobre de longitud 50 cm y diámetro 0,6 mm. a) ¿Qué resistencia adicional introduce el alambre? b) ¿Qué error porcentual se comete al despreciar la resistencia del cableado? c) ¿Qué variación de la temperatura produciría un cambio en la resistencia de nicrom igual a la resistencia del cableado? a) 𝑹𝑹𝑪𝑪𝑪𝑪 = 𝝆𝝆𝑪𝑪𝑪𝑪 ∗ 𝒏𝒏 𝑨𝑨 = 𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖 ∗ 𝟎𝟎.𝟓𝟓 𝝅𝝅∗(𝟎𝟎.𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐)𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟎𝟎.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝛀𝛀 b) % 𝒏𝒏𝑪𝑪𝑪𝑪𝒎𝒎𝑪𝑪 = 𝑹𝑹𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑹𝑹𝒎𝒎𝒎𝒎𝒄𝒄𝑪𝑪𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟎𝟎.𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏 % c) 𝑹𝑹𝒏𝒏 = 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏+ 𝜶𝜶 ∗ (𝒏𝒏𝑪𝑪 − 𝟐𝟐𝟎𝟎)� 𝚫𝚫𝑹𝑹 = 𝑹𝑹𝒏𝒏 − 𝑹𝑹 = 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏+ 𝜶𝜶 ∗ (𝒏𝒏′𝑪𝑪 − 𝟐𝟐𝟎𝟎)� − 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏+ 𝜶𝜶 ∗ (𝒏𝒏𝑪𝑪 − 𝟐𝟐𝟎𝟎)� 𝚫𝚫𝑹𝑹 = 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝜶𝜶 ∗ 𝚫𝚫𝒏𝒏𝒄𝒄 ; 𝚫𝚫𝒏𝒏𝒄𝒄 ; = 𝚫𝚫𝑹𝑹 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟎𝟎∗𝜶𝜶 = 𝟐𝟐𝟎𝟎.𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝟎𝟎.𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 = 𝟕𝟕.𝟓𝟓𝟐𝟐 º 𝑪𝑪 43. El filamento de una lámpara posee una resistencia que crece linealmente con la temperatura. Al aplicar un voltaje constante la corriente inicial disminuye hasta que el filamento alcanza una temperatura estacionaria. El coeficiente de temperatura de la resistividad del filamento es 4 10-3 K-1. La corriente final a través del filamento es un octavo del valor inicial. ¿Cuál es la variación de temperatura del filamento? 𝑰𝑰𝟎𝟎 ∗ 𝑹𝑹𝒎𝒎 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟎𝟎 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟖𝟖 = 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝑹𝑹𝒎𝒎 = 𝑹𝑹𝟎𝟎∗�𝟏𝟏+𝜶𝜶∗(𝚫𝚫𝒏𝒏)� 𝑹𝑹𝒎𝒎 = �𝟏𝟏+ 𝜶𝜶 ∗ (𝚫𝚫𝒏𝒏)� 𝟖𝟖 = 𝟏𝟏 + 𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 ∗ 𝚫𝚫𝒏𝒏; 𝚫𝚫𝒏𝒏 = 𝟕𝟕 𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟓𝟓𝟎𝟎 º𝑪𝑪 44. Un conductor de área transversal A, longitud L1, resistividad ρ1 y coeficiente de temperatura α1, se conecta a otro conductor de longitud L2, resistividad ρ2 y coeficiente de temperatura α2y la misma área A, de modo que por los conductores circula la misma corriente. a) Demostrar que si 𝝆𝝆𝟏𝟏𝑳𝑳𝟏𝟏𝜶𝜶𝟏𝟏 + 𝝆𝝆𝟐𝟐𝑳𝑳𝟐𝟐𝜶𝜶𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, la resistencia total R es independiente de la temperatura Enel caso de pequeñas variaciones de temperatura. b) Si uno de los conductores se hace de carbono y el otro de cobre, hallar el cociente de sus longitudes de modo que R sea aproximadamente independiente de la temperatura. 56. Una batería de 6 V con una resistencia interna de 0,3 Ω, se conecta a una resistencia variable R. Hallar la corriente y la potencia liberada por la batería si R es a) 0 Ω. b) 5 Ω. c) 10 Ω. D) infinito. a) 𝜺𝜺 = 𝑰𝑰 ∗ (𝑹𝑹 + 𝑪𝑪); 𝑰𝑰 = 𝜺𝜺 (𝑹𝑹+𝑪𝑪) 𝑰𝑰 = 𝟔𝟔 𝟎𝟎.𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑨𝑨 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 𝑾𝑾 b) 𝑰𝑰 = 𝟔𝟔 𝟓𝟓+𝟎𝟎.𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑨𝑨 𝑷𝑷 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟓𝟓 = 𝟔𝟔.𝟐𝟐𝟖𝟖 𝑾𝑾 c) 𝑰𝑰 = 𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟎𝟎+𝟎𝟎.𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟓𝟓𝟖𝟖𝟐𝟐 𝑨𝑨 𝑷𝑷 = 𝟎𝟎.𝟓𝟓𝟖𝟖𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟎𝟎 𝑾𝑾 d) 𝑰𝑰 = 𝟔𝟔 ∞+𝟎𝟎.𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝑨𝑨 𝑷𝑷 = 𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟓𝟓 = 𝟎𝟎 𝑾𝑾 57. Un estudiante nocturno carece de un hornillo para calentar agua y decide utilizar un calentador de laboratorio de 200 W para preparar café durante la noche. Si el 90 % de la energía producida por el calentador se utiliza en calentar el agua de su taza, a) ¿Cuánto tiempo se tarda en calentar 0,25 kg de agua desde 15 a 100º C? b) ¿Cuánto tiempo tardará en hervir la totalidad de esta agua después que alcance los 100 º C? a) 𝑸𝑸 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒄𝒄𝒏𝒏 ∗ ∆𝒏𝒏 = 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟖𝟖𝟕𝟕 𝑱𝑱 𝒌𝒌𝒈𝒈 𝑲𝑲 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒈𝒈 ∗ 𝟖𝟖𝟓𝟓 𝑲𝑲 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟗𝟗𝟐𝟐𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟓𝟓 𝑱𝑱 𝑾𝑾 = 𝑷𝑷 ∗ ∆𝒏𝒏 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟗𝟗𝟐𝟐𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟓𝟓 𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱𝑱 𝟗𝟗𝟎𝟎 𝑱𝑱 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝑾𝑾∗ ∆𝒏𝒏; ∆𝒏𝒏 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟗𝟗𝟐𝟐𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟕𝟕𝟗𝟗𝟕𝟕 𝒔𝒔 b) 𝑸𝑸 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒄𝒄𝒗𝒗 𝑾𝑾 = 𝑷𝑷 ∗ ∆𝒏𝒏 𝒎𝒎 ∗ 𝒄𝒄𝒗𝒗 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟎𝟎 = 𝑷𝑷 ∗ ∆𝒏𝒏 ; ∆𝒏𝒏 = 𝒎𝒎∗𝒄𝒄𝒗𝒗∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟎𝟎 𝑷𝑷 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟓𝟓∗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐𝟗𝟗 𝒔𝒔 58. Supóngase que la lámpara de una linterna de dos pilas consume 4 W de potencia. Las baterías se agotan en 45 min y cuestan 7,99 dólares. a) ¿Cuántos kilovatio-hora de energía pueden suministrar las dos baterías? b) ¿Cuál es el coste por kilovatio-hora de energía si las baterías no pueden recargarse? c) Si las baterías pueden recargarse con un coste de 9 centavos de dólar por kilovatio-hora, ¿Cuál es el coste de la recarga? a) 𝑾𝑾 = 𝑷𝑷 ∗ 𝒏𝒏 = 𝟕𝟕 ∗ (𝟕𝟕𝟓𝟓 ∗ 𝟔𝟔𝟎𝟎) = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱𝑱 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒉𝒉 𝟐𝟐.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 𝑱𝑱 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝒌𝒌𝑾𝑾 𝒉𝒉 b) 𝒄𝒄𝒎𝒎𝒔𝒔𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝟕𝟕.𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒅𝒅ó𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 𝒌𝒌𝑾𝑾 𝒉𝒉 = 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐𝒅𝒅𝒎𝒎𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 𝒌𝒌𝑾𝑾 𝒉𝒉 c) 𝒄𝒄𝒎𝒎𝒔𝒔𝒏𝒏𝒏𝒏 𝑪𝑪𝒏𝒏𝒄𝒄𝒏𝒏𝑪𝑪𝒈𝒈𝒏𝒏 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟗𝟗 𝒅𝒅ó𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 𝒌𝒌𝑾𝑾 𝒉𝒉 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒅𝒅𝒎𝒎𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 𝒌𝒌𝑾𝑾 𝒉𝒉 59. Una batería de automóvil de 12 V puede suministrar una carga total de 160 A h. a) ¿Cuál es la energía total almacenada en la batería? b) ¿Durante cuanto tiempo podría esta batería suministrar 150 W a un par de faros de automóvil? a) 𝑾𝑾 = 𝜺𝜺 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒆𝒆 ∗ 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎 𝑨𝑨 𝒉𝒉 ∗ 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒉𝒉 = 𝟔𝟔.𝟗𝟗𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 𝑱𝑱 b) 𝑾𝑾 = 𝑷𝑷 ∗ 𝒏𝒏 ; 𝒏𝒏 = 𝑾𝑾 𝑷𝑷 = 𝟔𝟔.𝟗𝟗𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎 = 𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟎𝟖𝟖𝟎𝟎 𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟐𝟐.𝟖𝟖 𝒉𝒉 60. Un calentador ambiental de una vieja mansión se alimenta con una corriente de 12,5 A. Un par de cables de cobre de calibre 12 transportan la corriente desde la caja de fusibles al enchufe de la pared a lo largo de una distancia de 30 m. El voltaje en la caja de fusibles es exactamente de 120 V. a) ¿Cuál es el voltaje distribuido al calentador ambiental? b) Si el fusible se funde al pasar una corriente de 20 A, ¿Cuántas bombillas de 60 W pueden encenderse en esta línea cuando el calentador está funcionando? (Supóngase que los cables desde la pared al calentador ambiental y a las tomas de luz son de resistencia despreciable). a) Calibre 12: 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟎𝟎𝟗𝟗 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑪𝑪 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒏𝒏 𝑨𝑨 = 𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟎𝟎𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟓𝟓𝟕𝟕𝛀𝛀 𝚫𝚫𝒆𝒆 = 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰 ∗ 𝑪𝑪 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟏𝟐𝟐.𝟓𝟓 ∗ 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟓𝟓𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝒆𝒆 b) Si por el calentador pasan 12.5 A, para las bombillas disponemos de 20-12.5=7.5 A. Para las n bombillas posibles, conectadas en paralelo al calentador, tenemos: 𝒎𝒎 ∗ 𝟔𝟔𝟎𝟎 𝑾𝑾 = 𝑰𝑰 ∗ 𝚫𝚫𝒆𝒆 = 𝟕𝟕.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ;𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟕𝟕.𝟕𝟕 14 bombillas. 61. Un coche eléctrico ligero funciona con diez baterías de 12 V. A una velocidad de 80 km/h la fuerza media de rozamiento es de 1200 N. a) ¿Cuál debe ser la potencia del motor eléctrico para que el coche circule a 80 km/h? b) Si cada batería puede distribuir una carga total de 160 A h antes de su recarga, ¿Cuál es la carga total en culombios que pueden suministrar las 10 baterías? c) ¿Cuál es la energía eléctrica total distribuida por las 10 baterías antes de la recarga? d) ¿Qué distancia recorrerá el coche a 80 km/h antes de que las baterías deban ser recargadas? e) ¿Cuál es el coste por kilómetro si el precio de recargar las baterías es de 9 centavos de dólar por kilovatio-hora? a) 𝑷𝑷 = 𝑭𝑭 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ �𝟖𝟖𝟎𝟎𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒉𝒉 ∗ 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒎𝒎 � = 𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕 𝑾𝑾 b) 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑨𝑨 𝒉𝒉 ∗ 𝟏𝟏𝑪𝑪𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝑨𝑨 ∗ 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒉𝒉 = 𝟓𝟓.𝟕𝟕𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 𝑪𝑪 c) 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝜺𝜺 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒆𝒆 ∗ 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎 𝑨𝑨 𝒉𝒉 ∗ 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 𝟏𝟏𝒉𝒉 = 𝟔𝟔.𝟗𝟗𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕 𝑱𝑱 d) 𝑷𝑷 = 𝑬𝑬 ∆𝒏𝒏 ; ∆𝒏𝒏 = 𝑬𝑬 𝑷𝑷 = 𝟔𝟔.𝟗𝟗𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕 𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕 = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒔𝒔 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 ∗ 𝟖𝟖𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒉𝒉 = 𝟓𝟓𝟕𝟕.𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒎𝒎 e) 𝑷𝑷𝑪𝑪𝒏𝒏𝒄𝒄𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒌𝒌𝒎𝒎 = 𝟗𝟗 𝒄𝒄𝒏𝒏𝒎𝒎𝒏𝒏𝒏𝒏𝒗𝒗𝒎𝒎𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒉𝒉 ∗ 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒉𝒉 𝟐𝟐.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔𝑱𝑱 ∗ 𝟔𝟔.𝟗𝟗𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕 𝑱𝑱 𝟓𝟓𝟕𝟕.𝟓𝟓 = 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒏𝒏𝒎𝒎𝒏𝒏𝒏𝒏𝒗𝒗𝒎𝒎𝒔𝒔/𝒌𝒌𝒎𝒎 62. Una resistencia de calefacción de 100 W se proyecta para funcionar cuando se le aplican en sus extremos 120 V. a) ¿Cuál es su resistencia y qué corriente circula por él? b) Demostrar que si la diferencia de potencial a través de la resistencia varía en una cantidad pequeña ∆𝒆𝒆, la potencia varía en una cantidad ∆𝑷𝑷, siendo ∆𝑷𝑷 𝑷𝑷 = 𝟐𝟐∆𝒆𝒆 𝒆𝒆 . (Indicación: Aproximar las variaciones por diferenciales). c) Hallar la potencia aproximada disipada en la resistencia si la diferencia de potencial disminuye a 115 V. a) 𝑷𝑷 = ∆𝒆𝒆𝟐𝟐 𝑹𝑹 ;𝑹𝑹 = ∆𝒆𝒆𝟐𝟐 𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟕𝟕 𝛀𝛀 b) 𝒅𝒅𝑷𝑷 𝒅𝒅𝒆𝒆 ≈ ∆𝑷𝑷 ∆𝒆𝒆 ; ∆𝑷𝑷 ≈ ∆𝒆𝒆 ∗ 𝒅𝒅𝑷𝑷 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝑷𝑷 = 𝒆𝒆𝟐𝟐 𝑹𝑹 ; 𝒅𝒅𝑷𝑷 𝒅𝒅𝒆𝒆 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒆𝒆 𝑹𝑹 ∆𝑷𝑷 ≈ 𝟐𝟐 ∗ 𝒆𝒆 𝑹𝑹 ∗ ∆𝒆𝒆 = 𝟐𝟐∗𝒆𝒆𝟐𝟐 𝑹𝑹 ∗ ∆𝒆𝒆 𝒆𝒆 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑷𝑷 ∗ ∆𝒆𝒆 𝒆𝒆 ∆𝑷𝑷 𝑷𝑷 = 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒆𝒆 𝒆𝒆 c) 𝑷𝑷 ≈ 𝑷𝑷𝒎𝒎 + ∆𝑷𝑷 = 𝑷𝑷𝒎𝒎 + 𝟐𝟐 ∗ 𝑷𝑷𝒎𝒎 ∗ ∆𝒆𝒆 𝒆𝒆 = 𝑷𝑷𝒎𝒎 ∗ �𝟏𝟏+ 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒆𝒆 𝒆𝒆 � 𝑷𝑷 ≈ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏+ 𝟐𝟐 ∗ (−𝟓𝟓) 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 � = 𝟗𝟗𝟏𝟏.𝟕𝟕 𝑾𝑾 Asociación de resistencias 63. Dos resistencias están conectadas en paralelo a través de una diferencia de potencial. La resistencia de A es doble que la de B. Si la corriente transportada por A es I, ¿Cuál es la corriente transportada por B? a) I. b) 2 I. c) I/2. d) 4 I. e) I/4. 𝑰𝑰𝑨𝑨 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝑩𝑩 = 𝑰𝑰𝑩𝑩 ∗ 𝑹𝑹𝑩𝑩 ; 𝑰𝑰𝑩𝑩 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝑨𝑨 Respuesta b. 64. Dos resistencias están conectadas en serie a través de una diferencia de potencial. La resistencia de A es doble que la de B. Si la corriente transportada por la resistencia A es I, ¿Cuál es la corriente transportada por B? a) I. b) 2 I. c) I/2. d) 4 I. e) I/4. Al estar en serie la corriente es la misma para las dos. Respuesta a. 65. Cuando dos resistencias idénticas se conectan en serie entre los bornes de una batería, la potencia distribuida por ésta es 20 W. Si estas resistencias se conectan en paralelo entre los bornes de la misma batería, ¿Cuál es la potencia distribuida por la batería? a) 5 W. b) 10 W. c) 20 W. d) 40 W. e) 80 W. En serie RT=2*R 𝑷𝑷𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑾𝑾 = ∆𝒆𝒆𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝑹𝑹 ; ∆𝒆𝒆 𝟐𝟐 𝑹𝑹 = 𝟕𝟕𝟎𝟎 En paralelo RT=R/2. 𝑷𝑷𝟐𝟐 = ∆𝒆𝒆𝟐𝟐 𝑹𝑹/𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒆𝒆 𝟐𝟐 𝑹𝑹 = 𝟖𝟖𝟎𝟎 𝑾𝑾 Respuesta e. 66. a) Hallar la resistencia equivalente entre los puntos a y b de la figura. b) Si la caída de potencial entre a y b es 12 V, hallar la corriente en cada resistencia. 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝚫𝚫𝚫𝚫𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟔𝟔𝟕𝟕 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑨𝑨 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝚫𝚫𝚫𝚫𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟔𝟔𝟕𝟕 𝟕𝟕 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑨𝑨 b) 𝑷𝑷 = 𝜺𝜺 ∗ 𝑰𝑰 = 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓𝟖𝟖 = 𝟗𝟗.𝟕𝟕𝟖𝟖 𝑾𝑾 72. Una batería tiene una fem 𝜺𝜺 y una resistencia interna r. Cuando se conecta una resistencia de 5,0 Ω entre los terminales de la misma, la corriente es 0,5 A. Cuando se sustituye esta resistencia por otra de 11,0 Ω, la corriente es 0,25 A. Hallar a) La fem 𝜺𝜺. b) La resistencia interna r. a) b) 𝚫𝚫𝒆𝒆 = 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰 ∗ 𝑪𝑪 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 𝛆𝛆 − 𝟎𝟎.𝟓𝟓 ∗ 𝐫𝐫 = 𝟎𝟎.𝟓𝟓 ∗ 𝟓𝟓 𝛆𝛆 − 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟓𝟓 ∗ 𝐫𝐫 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 Resolviendo el sistema: 𝜺𝜺 = 𝟐𝟐.𝟎𝟎 𝒆𝒆 ;𝑪𝑪 = 𝟏𝟏.𝟎𝟎 𝛀𝛀 73. Considerar la resistencia equivalente de dos resistencias R1 y R2 conectadas en paralelo en función de la relación 𝒅𝒅 = 𝑹𝑹𝟐𝟐/𝑹𝑹𝟏𝟏. a) Demostrar que 𝑹𝑹𝒏𝒏𝒒𝒒 = 𝑹𝑹𝟏𝟏𝒅𝒅/(𝟏𝟏+ 𝒅𝒅). b) Dibujar un gráfico de Req en función de x. a) 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟐𝟐 ; 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝑹𝑹𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏 ∗𝑹𝑹𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏 +𝟏𝟏 = 𝑹𝑹𝟏𝟏 ∗ 𝒅𝒅 (𝟏𝟏+𝒅𝒅) b) 74. Repetir el problema 66 para la combinación de resistencias indicada en la figura. a) 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐+ 𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟖𝟖 𝛀𝛀 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝑹𝑹𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝟕𝟕 𝑹𝑹𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟕𝟕 = 𝟔𝟔∗𝟔𝟔 𝟔𝟔+𝟔𝟔 = 𝟐𝟐 𝛀𝛀 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟕𝟕𝟓𝟓 = 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟕𝟕 + 𝑹𝑹𝟓𝟓 = 𝟐𝟐 + 𝟔𝟔 = 𝟗𝟗 𝛀𝛀 𝑹𝑹𝑻𝑻 = 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟕𝟕𝟓𝟓∗𝑹𝑹𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟕𝟕𝟓𝟓+𝑹𝑹𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟖𝟖 𝟗𝟗+𝟏𝟏𝟖𝟖 = 𝟔𝟔 𝛀𝛀 b) 𝚫𝚫𝒆𝒆𝒏𝒏𝑪𝑪 = 𝑰𝑰𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟐𝟐 ; 𝑰𝑰𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝚫𝚫𝒆𝒆𝒏𝒏𝑪𝑪 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟖𝟖 = 𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟕𝟕 𝑨𝑨 𝚫𝚫𝒆𝒆𝒏𝒏𝑪𝑪 = 𝑰𝑰𝟓𝟓 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟕𝟕𝟓𝟓; 𝑰𝑰𝟓𝟓 = 𝚫𝚫𝒆𝒆𝒏𝒏𝑪𝑪 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟕𝟕𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟗𝟗 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑨𝑨 𝐈𝐈𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟕𝟕 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟕𝟕 𝑨𝑨 75. Repetir el problema 66 para la combinación de resistencias indicada en la figura. a) 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟕𝟕 = 𝟐𝟐 + 𝟕𝟕 = 𝟔𝟔 𝛀𝛀 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝑹𝑹𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝟐𝟐𝟕𝟕 𝑹𝑹𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝟕𝟕∗𝟔𝟔 𝟕𝟕+𝟔𝟔 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕 𝛀𝛀 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝑹𝑹𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝟔𝟔 + 𝟐𝟐.𝟕𝟕 = 𝟖𝟖.𝟕𝟕 𝛀𝛀 𝑹𝑹𝟔𝟔𝟕𝟕 = 𝑹𝑹𝟔𝟔∗𝑹𝑹𝟕𝟕 𝑹𝑹𝟔𝟔+𝑹𝑹𝟕𝟕 = 𝟖𝟖∗𝟖𝟖 𝟖𝟖+𝟖𝟖 = 𝟕𝟕 𝛀𝛀 𝑹𝑹𝟓𝟓𝟔𝟔𝟕𝟕 = 𝑹𝑹𝟓𝟓 + 𝑹𝑹𝟔𝟔𝟕𝟕 = 𝟕𝟕 + 𝟕𝟕 = 𝟖𝟖 𝛀𝛀 𝑹𝑹𝑻𝑻 = 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟕𝟕∗𝑹𝑹𝟓𝟓𝟔𝟔𝟕𝟕 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟕𝟕+𝑹𝑹𝟓𝟓𝟔𝟔𝟕𝟕 = 𝟖𝟖.𝟕𝟕∗𝟖𝟖 𝟖𝟖.𝟕𝟕+𝟖𝟖 = 𝟕𝟕.𝟏𝟏 𝛀𝛀 b) 𝚫𝚫𝒆𝒆𝒏𝒏𝑪𝑪 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟕𝟕 ; 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝚫𝚫𝒆𝒆𝒏𝒏𝑪𝑪 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟖𝟖.𝟕𝟕 = 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟐𝟐 𝑨𝑨 𝚫𝚫𝒆𝒆𝟐𝟐𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐.𝟕𝟕 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟐𝟐 𝒆𝒆 𝚫𝚫𝒆𝒆𝟐𝟐𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝚫𝚫𝒆𝒆𝟐𝟐𝟐𝟐𝟕𝟕 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟐𝟐 𝟕𝟕 = 𝟎𝟎.𝟖𝟖𝟔𝟔 𝑨𝑨 𝚫𝚫𝒆𝒆𝟐𝟐𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝑰𝑰𝟕𝟕 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟕𝟕 ; 𝑰𝑰𝟕𝟕 = 𝚫𝚫𝒆𝒆𝟐𝟐𝟐𝟐𝟕𝟕 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟐𝟐 𝟔𝟔 = 𝟎𝟎.𝟓𝟓𝟕𝟕 𝑨𝑨 𝚫𝚫𝒆𝒆𝒏𝒏𝑪𝑪 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟓𝟓𝟔𝟔𝟕𝟕 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝚫𝚫𝒆𝒆𝒏𝒏𝑪𝑪 𝑹𝑹𝟓𝟓𝟔𝟔𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟖𝟖 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓 𝑨𝑨 𝐈𝐈𝟓𝟓 = 𝑰𝑰𝟔𝟔 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟓𝟓 𝑨𝑨 76. Un alambre tiene una resistencia de 120 Ω. El alambre se corta en N trozos idénticos que se conectan en paralelo. La resistencia de esta asociación en paralelo es 1,875 Ω. Hallar N. 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝑻𝑻 = 𝑵𝑵 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎/𝑵𝑵 ; 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝑻𝑻 = 𝑵𝑵𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 ;𝑵𝑵 = �𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑹𝑹𝑻𝑻 = � 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟏.𝟖𝟖𝟕𝟕𝟓𝟓 = 𝟖𝟖 77. Una combinación en paralelo de una resistencia de 8 Ω y una resistencia incógnita R se conectan en serie con una resistencia de 16 Ω y una batería. A continuación, se conectan las tres resistencias en serie y la misma batería. En ambas combinaciones la corriente a través de la resistencia de 8 Ω es la misma. ¿Cuánto vale la resistencia incógnita R? 𝑹𝑹𝑹𝑹𝟖𝟖 = 𝑹𝑹∗𝟖𝟖 𝑹𝑹+𝟖𝟖 𝜺𝜺 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ �𝟏𝟏𝟔𝟔+ 𝑹𝑹∗𝟖𝟖 𝑹𝑹+𝟖𝟖 � ; 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝜺𝜺 �𝟏𝟏𝟔𝟔+𝑹𝑹∗𝟖𝟖 𝑹𝑹+𝟖𝟖� 𝚫𝚫𝒆𝒆𝟖𝟖 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹∗𝟖𝟖 𝑹𝑹+𝟖𝟖 𝐈𝐈𝟖𝟖,𝟏𝟏 = 𝚫𝚫𝒆𝒆𝟖𝟖 𝟖𝟖 = 𝑰𝑰𝟏𝟏∗ 𝑹𝑹∗𝟖𝟖 𝑹𝑹+𝟖𝟖 𝟖𝟖 = 𝜺𝜺 �𝟏𝟏𝟔𝟔+𝑹𝑹∗𝟖𝟖𝑹𝑹+𝟖𝟖� ∗𝑹𝑹∗𝟖𝟖𝑹𝑹+𝟖𝟖 𝟖𝟖 = 𝜺𝜺∗𝑹𝑹 𝟐𝟐𝟕𝟕∗𝑹𝑹+𝟏𝟏𝟐𝟐𝟖𝟖 Reglas de Kirchhoff 81. La regla de las mallas de Kirchhoff es una consecuencia de a) La conservación de la carga. b) La conservación de la energía. c) Las leyes de Newton. d) La ley de Coulomb. e) La cuantización de la carga. Respuesta b. 82. En la figura la fem es de 6 V y R=0.5 Ω. La producción de calor por efecto Joule en R es 8 W. a) ¿Cuál es la corriente en el circuito? b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los extremos de R? c) ¿Cuál es el valor de r? a) 𝑷𝑷𝑹𝑹 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 ; 𝑰𝑰 = �𝑷𝑷𝑹𝑹 𝑹𝑹 = � 𝟖𝟖 𝟎𝟎.𝟓𝟓 = 𝟕𝟕 𝑨𝑨 b) 𝚫𝚫𝒆𝒆𝑹𝑹 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟕𝟕 ∗ 𝟎𝟎.𝟓𝟓 = 𝟐𝟐 𝒆𝒆 c) 𝛆𝛆 = 𝐈𝐈 ∗ (𝐑𝐑+ 𝐫𝐫);𝑪𝑪 = 𝜺𝜺 𝑰𝑰 − 𝑹𝑹 = 𝟔𝟔 𝟕𝟕 − 𝟎𝟎.𝟓𝟓 = 𝟏𝟏 𝛀𝛀 83. En el caso del circuito indicado en la figura hallar: a) La intensidad de corriente. b) La potencia liberada o absorbida por cada fem. c) La producción de calor por unidad de tiempo en cada resistencia. (Admitir que las baterías tienen unas resistencias internas despreciables). a) 𝜺𝜺𝟏𝟏 − 𝜺𝜺𝟐𝟐 = 𝑰𝑰 ∗ (𝑹𝑹𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐); 𝑰𝑰 = 𝜺𝜺𝟏𝟏−𝜺𝜺𝟐𝟐 (𝑹𝑹𝟏𝟏+𝑹𝑹𝟐𝟐) = 𝟏𝟏𝟐𝟐−𝟔𝟔 𝟐𝟐+𝟕𝟕 = 𝟏𝟏 𝑨𝑨 b) 𝑷𝑷𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒆𝒆 = 𝜺𝜺𝟏𝟏 ∗ 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑾𝑾 , liberada. 𝑷𝑷𝟔𝟔 𝒆𝒆 = 𝜺𝜺𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰 = 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏 = 𝟔𝟔 𝑾𝑾 , absorbida. c) 𝑷𝑷𝟐𝟐 𝛀𝛀 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 𝑾𝑾 𝑷𝑷𝟕𝟕 𝛀𝛀 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟕𝟕 = 𝟕𝟕 𝑾𝑾 84. Se conecta una vetaría de un coche prácticamente descargada de 11,4 V de fem y 0,01 Ω de resistencia interna a una carga de 2,0 Ω. Para ayudar a esta batería se conecta una segunda atería, de 12,6 V de fem y 0.01 Ω de resistencia interna, a los bornes de la primera mediante unos cables adecuados. a) Dibujar un diagrama del circuito. b) Calcular la corriente que circula por cada una de las partes del mismo. c) Calcular la potencia cedida por la segunda batería y explicar en qué se invierte ésta; suponer para ello que en ambas baterías la fem y la resistencia interna permanecen constantes. a) b) 𝑰𝑰𝟏𝟏 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝑹𝑹 𝜺𝜺𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑪𝑪𝟏𝟏 + 𝑰𝑰𝑹𝑹 ∗ 𝑹𝑹 𝜺𝜺𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝑹𝑹 ∗ 𝑹𝑹 Poniendo los valores: 𝑰𝑰𝟏𝟏 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝑹𝑹 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟕𝟕 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏+ 𝑰𝑰𝑹𝑹 ∗ 𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟐𝟐.𝟔𝟔 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏+ 𝑰𝑰𝑹𝑹 ∗ 𝟐𝟐 Resolviendo el sistema: 𝑰𝑰𝟏𝟏 = −𝟓𝟓𝟕𝟕 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝑹𝑹 = 𝟔𝟔 𝑨𝑨 c) 𝑷𝑷𝟐𝟐 = 𝜺𝜺𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐.𝟔𝟔 ∗ 𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟗𝟗𝟕𝟕 𝑾𝑾 Esta energía es absorbida por las resistencias y emitida en forma de calor y por la otra batería como fcem. 𝑷𝑷𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟗𝟗.𝟕𝟕 𝑾𝑾 𝑷𝑷𝑪𝑪𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪𝟏𝟏 = 𝟓𝟓𝟕𝟕𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟓𝟓 𝑾𝑾 𝑷𝑷𝑹𝑹 = 𝑰𝑰𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟔𝟔𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟐𝟐.𝟎𝟎 𝑾𝑾 𝑷𝑷𝜺𝜺𝟏𝟏 = 𝜺𝜺𝟏𝟏 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝟓𝟓𝟕𝟕 = 𝟔𝟔𝟓𝟓𝟎𝟎 𝑾𝑾 85. Enel circuito indicado en la figura la lectura del amperímetro es la misma cuando ambos interruptores están abiertos o ambos cerrados. Hallar la resistencia R. Con los interruptores abiertos: 𝟏𝟏.𝟓𝟓 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝑰𝑰 + 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝑰𝑰 + 𝟓𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝑰𝑰 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓 𝟕𝟕𝟓𝟓𝟎𝟎 = 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝑨𝑨 Con los interruptores cerrados, la intensidad que pasa por R es I2 i la total es I, por el interruptor de la derecha pasa I y por la resistencia de 500 no hay corriente: 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 Para la malla global: 𝟏𝟏.𝟓𝟓 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎+ 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ; 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓−𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟖𝟖𝟗𝟗 𝑨𝑨 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰 − 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟖𝟖𝟗𝟗− 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟔𝟔 𝑨𝑨 Cogiendo la malla de 300, R y la pila: 𝟏𝟏.𝟓𝟓 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟖𝟖𝟗𝟗 + 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟔𝟔 ∗ 𝑹𝑹 𝑹𝑹 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓−𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟖𝟖𝟗𝟗 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟔𝟔 = 𝟓𝟓𝟗𝟗𝟕𝟕 𝛀𝛀 86. En el circuito indicado en la figura, las baterías tienen unas resistencias internas despreciables y el amperímetro tiene una resistencia despreciable. a) Hallar la corriente que pasa a través del amperímetro. b) Hallar la energía suministrada por la batería de 12 V en 3 s. c) Hallar el calor total disipado en dicho tiempo. d) Explicar la diferencia en las respuestas de las partes (b) y (c). a) Por el ramal de la pila de 12 V pasa I1. Por el ramal de la pila de 2 V pasa I2. Por la resistencia de la derecha I3. Suponiendo todas las intensidades en el sentido de las agujas del reloj. 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 Considerando la malla global: 𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 Considerando la malla de la izquierda: 𝟏𝟏𝟐𝟐 − 𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 Resolviendo el sistema: 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟐𝟐.𝟔𝟔 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐 𝑨𝑨; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟐𝟐.𝟐𝟐 𝑨𝑨 b) 𝑾𝑾 = 𝜺𝜺 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐.𝟔𝟔 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟗𝟗.𝟔𝟔 𝑱𝑱 c) Se disipa calor en cada una de las resistencias: 𝑾𝑾𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 ∗ 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟕𝟕.𝟖𝟖 𝑱𝑱 𝑾𝑾𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎.𝟏𝟏 𝑱𝑱 𝑾𝑾𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟏𝟏.𝟕𝟕 𝑱𝑱 𝑾𝑾𝑻𝑻 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗.𝟔𝟔 𝑱𝑱 (𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪 + 𝑹𝑹)𝟐𝟐 < (𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 + 𝑪𝑪)𝟐𝟐 𝑷𝑷𝒑𝒑𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒎𝒎 < 𝑷𝑷𝒔𝒔𝒏𝒏𝑪𝑪𝒎𝒎𝒏𝒏 90. En el circuito indicado en la figura hallar a) La corriente en cada resistencia. b) La potencia suministrada por cada fem. c) La potencia disipada en cada resistencia. a) Por la pila de 8 V circula I1, sentido agujas del reloj. Por la pila de 4 V circula I2, sentido agujas del reloj. Por la resistencia de 6 Ω circula I3, sentido agujas reloj. 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 Para la malla de la izquierda: 𝟖𝟖 + 𝟕𝟕 − 𝟕𝟕 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏 + 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 Para la malla de la derecha: 𝟕𝟕 = −𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔 Resolviendo: 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝑨𝑨 b) 𝑷𝑷𝟏𝟏 = 𝟖𝟖 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑾𝑾; suministra energía al circuito. 𝑷𝑷𝟐𝟐 = 𝟕𝟕 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟕𝟕 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟖𝟖 𝑾𝑾; suministra energía al circuito. 𝑷𝑷𝟐𝟐 = 𝟕𝟕 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏 = 𝟕𝟕 𝑾𝑾; actúa como f.c.e.m. Absorbe energía del circuito. c) 𝑷𝑷𝟏𝟏𝛀𝛀 = 𝑰𝑰𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 = 𝟕𝟕 𝑾𝑾 𝑷𝑷𝟐𝟐𝛀𝛀,𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟖𝟖 𝑾𝑾 𝑷𝑷𝟐𝟐𝛀𝛀,𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 𝑾𝑾 𝑷𝑷𝟔𝟔𝛀𝛀 = 𝑰𝑰𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔 = 𝟔𝟔 𝑾𝑾 91. Enel circuito indicado en la figura, hallar la diferencia de potencial entre los puntos a y b. Supongamos intensidades en el sentido de las agujas del reloj, I1 por la rama izquierda, I2 por la central y I3 por la derecha. 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 Para la malla de la izquierda: 𝟐𝟐 − 𝟕𝟕 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟕𝟕+ 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏 Para la de la derecha: 𝟕𝟕 − 𝟐𝟐 = −𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟕𝟕+ 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 Resolviendo: 𝑰𝑰𝟏𝟏 = −𝟎𝟎.𝟐𝟐 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = −𝟎𝟎.𝟕𝟕 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐 𝑨𝑨 𝚫𝚫𝑪𝑪 + 𝟕𝟕 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟕𝟕 = 𝒆𝒆𝒏𝒏 ; 𝒆𝒆𝒏𝒏 − 𝒆𝒆𝑪𝑪 = 𝟕𝟕+ 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟕𝟕 = 𝟕𝟕 − 𝟎𝟎.𝟕𝟕 ∗ 𝟕𝟕 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟎𝟎 𝒆𝒆 92. En el circuito indicado en la figura la batería tiene una resistencia interna de 0,01 Ω. Se inserta en el punto a un amperímetro de resistencia 0,01 Ω. a) ¿Cuál es la lectura del amperímetro? b) ¿En qué porcentaje variará la corriente por la presencia del amperímetro? c) Se retira el amperímetro y se conecta un voltímetro de 1 kΩ de resistencia entre a y b. ¿Cuál es la lectura del voltímetro? d) ¿En qué porcentaje varía la caída de potencial entre a y b por la presencia del voltímetro? a) 𝟏𝟏.𝟓𝟓 − 𝑰𝑰 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏 − 𝑰𝑰 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏 − 𝑰𝑰 ∗ 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟎𝟎 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏+𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏+𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑨𝑨 b) Sin amperímetro: 𝟏𝟏.𝟓𝟓 − 𝑰𝑰 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏 − 𝑰𝑰 ∗ 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟎𝟎 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏+𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟐𝟐 𝑨𝑨 % 𝚫𝚫𝑰𝑰 = 𝟐𝟐−𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐 % c) Con el voltímetro, por la pila pasa I1, por el voltímetro IV y por la resistencia de 0,74 Ω I2, todas en sentido agujas reloj: 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒗𝒗 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 Para la malla de la pila y el voltímetro: 𝟏𝟏.𝟓𝟓 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏+ 𝑰𝑰𝒗𝒗 ∗ 𝟏𝟏 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 Para la malla global: 𝟏𝟏.𝟓𝟓 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏+ 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕 Resolviendo el sistema: 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝒗𝒗 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑨𝑨 𝚫𝚫𝒆𝒆𝒏𝒏𝑪𝑪 = 𝑰𝑰𝒗𝒗 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓 𝒆𝒆 d) Sin voltímetro: 𝚫𝚫𝒆𝒆𝒏𝒏𝑪𝑪 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟖𝟖 𝒆𝒆 % 𝚫𝚫𝒆𝒆 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓−𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟖𝟖 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐 % 93. Se dispone de dos baterías, una con 𝜺𝜺 = 𝟗𝟗,𝟎𝟎 𝒆𝒆 y r=0,8 Ω y la otra con 𝜺𝜺 = 𝟐𝟐,𝟎𝟎 𝒆𝒆 y r=0,4 Ω. a) ¿Cómo deberán conectarse para dar la máxima corriente a través de una resistencia R? Determinar la corriente para b) R=0.2 Ω. c) R=0.6 Ω. d) R= 1,0 Ω. e) R= 1.5 Ω. a) 𝜺𝜺𝟏𝟏 + 𝜺𝜺𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝒔𝒔 ∗ (𝑪𝑪𝟏𝟏 + 𝑪𝑪𝟐𝟐 + 𝑹𝑹); 𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝟗𝟗+𝟐𝟐 (𝟎𝟎.𝟖𝟖+𝟎𝟎.𝟕𝟕+𝑹𝑹) = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟏.𝟐𝟐+𝑹𝑹 𝑰𝑰𝟏𝟏 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝒑𝒑 𝜺𝜺𝟏𝟏 − 𝜺𝜺𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪𝟐𝟐 − 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑪𝑪𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝜺𝜺𝟏𝟏 − 𝑰𝑰𝒑𝒑 ∗ 𝑹𝑹 − 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑪𝑪𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 Resolviendo el sistema: 𝑰𝑰𝟏𝟏 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝒑𝒑 𝟗𝟗 − 𝟐𝟐+ 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟕𝟕 − 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎.𝟖𝟖 = 𝟎𝟎 𝟗𝟗 − 𝑰𝑰𝒑𝒑 ∗ 𝑹𝑹 − 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎.𝟖𝟖 = 𝟎𝟎 𝑰𝑰𝒑𝒑 = 𝟕𝟕.𝟓𝟓 𝟎𝟎.𝟕𝟕+𝟏𝟏.𝟓𝟓∗𝑹𝑹 Representando las intensidades en función de R: 0 5 10 15 20 0 0,5 1 1,5 2 Intensidades en funcion R Is Ip 96. a) Determinar la corriente en cada parte del circuito de la figura. b) Utilizar los resultados de (a) para asignar un potencial en cada punto indicado, suponiendo que el potencial en el punto a es cero. a) Para los nudos: 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟕𝟕 = 𝑰𝑰𝟓𝟓 𝑰𝑰𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟓𝟓 + 𝑰𝑰𝟔𝟔 = 𝟎𝟎 Para las mallas: 𝟐𝟐𝟕𝟕 − 𝟐𝟐𝟕𝟕 ∗ 𝑰𝑰𝟕𝟕 − 𝟖𝟖 ∗ 𝑰𝑰𝟓𝟓 = 𝟎𝟎 −𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 − 𝟔𝟔 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟕𝟕 ∗ 𝑰𝑰𝟕𝟕 = 𝟎𝟎 −𝟕𝟕 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 − 𝟖𝟖 − 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 + 𝟖𝟖 ∗ 𝑰𝑰𝟓𝟓 + 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 Resolviendo el sistema: 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝑨𝑨; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟓𝟓 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝟕𝟕 = 𝟎𝟎.𝟓𝟓 𝑨𝑨; 𝑰𝑰𝟓𝟓 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝟔𝟔 = −𝟐𝟐 𝑨𝑨 b) 𝒆𝒆𝒏𝒏 + 𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝒆𝒆𝑪𝑪; 𝒆𝒆𝑪𝑪 = 𝟐𝟐𝟕𝟕 𝒆𝒆 𝒆𝒆𝑪𝑪 − 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 = 𝒆𝒆𝒄𝒄 ;𝒆𝒆𝒄𝒄 = 𝟐𝟐𝟕𝟕 − 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟏𝟏 𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒄𝒄 − 𝟔𝟔 = 𝒆𝒆𝒅𝒅; 𝒆𝒆𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟏𝟏 − 𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒆𝒆 𝒆𝒆𝑪𝑪 − 𝑰𝑰𝟕𝟕 ∗ 𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝒆𝒆𝒉𝒉 ; 𝒆𝒆𝒉𝒉 = 𝟐𝟐𝟕𝟕 − 𝟎𝟎.𝟓𝟓 ∗ 𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒅𝒅 = 𝒆𝒆𝒏𝒏 ; 𝒆𝒆𝒏𝒏 = 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒏𝒏 − 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟕𝟕 − 𝟖𝟖 = 𝒆𝒆𝒇𝒇 ; 𝒆𝒆𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟓𝟓 − 𝟎𝟎.𝟓𝟓 ∗ 𝟕𝟕 − 𝟖𝟖 = 𝟓𝟓 𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒉𝒉 − 𝑰𝑰𝟓𝟓 ∗ 𝟖𝟖 = 𝒆𝒆𝒈𝒈 ; 𝒆𝒆𝒈𝒈 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 − 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟖𝟖 = 𝟎𝟎 𝒆𝒆 97. Determinar la corriente en cada resistencia del circuito indicado en la figura. Para los nudos: 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟕𝟕 + 𝑰𝑰𝟓𝟓 𝑰𝑰𝟓𝟓 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 + 𝑰𝑰𝟔𝟔 = 𝟎𝟎 Para las mallas: 𝟖𝟖 + 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 − 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 − 𝟕𝟕 ∗ 𝑰𝑰𝟕𝟕 = 𝟎𝟎 −𝟏𝟏𝟐𝟐+ 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟓𝟓 + 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 −𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟓𝟓 − 𝟓𝟓 ∗ 𝑰𝑰𝟔𝟔 + 𝟕𝟕 ∗ 𝑰𝑰𝟕𝟕 = 𝟎𝟎 Resolviendo el sistema: 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟐𝟐.𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟖𝟖 𝑨𝑨; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟐𝟐.𝟖𝟖𝟎𝟎 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝟕𝟕 = 𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑨𝑨; 𝑰𝑰𝟓𝟓 = 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝟔𝟔 = −𝟎𝟎.𝟕𝟕 𝑨𝑨 98. Suponer que la fem de la batería izquierda de la figura del problema anterior es desconocida, pero sabemos que la corriente suministrada por la batería de 12 V es 0,6 A. Determinar la fem de la batería de la izquierda y la corriente que suministra. Tenemos en el gráfico del problema anterior I1=0.6 A. uy la fem de la pila de la izquierda es 𝜺𝜺. Para los nudos: 𝟎𝟎.𝟔𝟔 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟕𝟕 + 𝑰𝑰𝟓𝟓 𝑰𝑰𝟓𝟓 = 𝟎𝟎.𝟔𝟔 + 𝑰𝑰𝟔𝟔 = 𝟎𝟎 Para las mallas: 𝜺𝜺 + 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 − 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 − 𝟕𝟕 ∗ 𝑰𝑰𝟕𝟕 = 𝟎𝟎 −𝟏𝟏𝟐𝟐+ 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟓𝟓 + 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 −𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟓𝟓 − 𝟓𝟓 ∗ 𝑰𝑰𝟔𝟔 + 𝟕𝟕 ∗ 𝑰𝑰𝟕𝟕 = 𝟎𝟎 Resolviendo: 𝜺𝜺 = 𝟐𝟐𝟓𝟓.𝟗𝟗𝟓𝟓 𝒆𝒆; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = −𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑨𝑨; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟓𝟓 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝟕𝟕 = 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟓𝟓 𝑨𝑨; 𝑰𝑰𝟓𝟓 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓 𝑨𝑨 ; 𝑰𝑰𝟔𝟔 = 𝟎𝟎.𝟗𝟗 𝑨𝑨 Circuitos RC 99. El condensador C de la figura está inicialmente descargado. Justo después de cerrar el circuito, a) El voltaje a través de C es igual a 𝜺𝜺. b) El voltaje a través de R es igual a 𝜺𝜺. c) La corriente en el circuito es cero. d) Ambas afirmaciones (a) y (c) son correctas. 𝜺𝜺 − ∆𝒆𝒆𝑹𝑹 − ∆𝒆𝒆𝑪𝑪 = 𝟎𝟎 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 − ∆𝒆𝒆𝑪𝑪 = 𝟎𝟎 Inicialmente el condensador está descargado, ∆𝒆𝒆𝑪𝑪 = 𝑸𝑸 𝑪𝑪 = 𝟎𝟎. Por tanto, la respuesta b es correcta. 100. Durante el tiempo transcurrido en cargarse totalmente el condensador de la figura del problema anterior a) La energía suministrada por la batería es 𝟏𝟏/𝟐𝟐𝑪𝑪𝜺𝜺𝟐𝟐. b) La energía disipada en la resistencia es 𝟏𝟏/𝟐𝟐𝑪𝑪𝜺𝜺𝟐𝟐. c) La energía se disipa en la resistencia a ritmo constante. 104. Un condensador, una resistencia y una batería se conectan es serie. Si C se duplica, ¿cómo afecta ello a) A la energía total almacenada, b) A la energía almacenada por unidad de tiempo y c) Al tiempo necesario para almacenar 1/e de la energía final? a) 𝑬𝑬𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑸𝑸𝒇𝒇 ∗ 𝜺𝜺 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝜺𝜺𝟐𝟐 Si duplicamos C duplicamos la energía almacenada. b) Al duplicar C duplicamos la constante de tiempo, por tanto, el tiempo de cara aumentará y la energía almacenada por unidad de tiempo disminuirá. c) Al variar la constante de tiempo, se hace el doble, el tiempo en aumentar la carga en 1/e será mayor, el doble. 105. Un condensador de 6 µF está cargado inicialmente a 100 V y luego se unen sus armaduras a través de una resistencia de 500 Ω. a) ¿Cuál será la carga inicial del condensador? b) ¿Cuál es la corriente inicial en el instante después de que se conecte el condensador a la resistencia? c) ¿Cuál es la constante de tiempo de este circuito? d) ¿Cuánta carga existe sobre el condensador después de 6 ms? a) ∆𝒆𝒆𝑪𝑪 = 𝑸𝑸𝒎𝒎 𝑪𝑪 ; 𝑸𝑸𝒎𝒎 = ∆𝒆𝒆𝑪𝑪 ∗ 𝑪𝑪 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 = 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝑪𝑪 b) 𝑰𝑰𝒎𝒎 = ∆𝒆𝒆𝑹𝑹 𝑹𝑹 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐 𝑨𝑨 c) 𝝉𝝉 = 𝑹𝑹 ∗ 𝑪𝑪 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 𝒔𝒔 d) 𝑸𝑸 = 𝑸𝑸𝒎𝒎 ∗ 𝒏𝒏 −𝒏𝒏𝝉𝝉 = 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒏𝒏− 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟔 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟖𝟖𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝑪𝑪 106. a) En el caso del problema 105 hallar la energía inicial almacenada en el condensador. b) Demostrar que la energía almacenada En el condensador viene dada por 𝑼𝑼 = 𝑼𝑼𝒎𝒎𝒏𝒏− 𝟐𝟐𝒏𝒏/𝝉𝝉, en donde Uo es la energía inicial y 𝝉𝝉 = 𝑹𝑹𝑪𝑪 es la constante de tiempo. c) Hacer un esquema cuidadoso de la energía U en el condensador en función del tiempo. a) 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪 ∗ ∆𝒆𝒆𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 𝑱𝑱 b) 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪 ∗ � 𝑸𝑸𝒎𝒎 𝑪𝑪 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏𝝉𝝉� 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑸𝑸𝒎𝒎 𝟐𝟐 𝑪𝑪 ∗ 𝒏𝒏− 𝟐𝟐∗𝒏𝒏𝝉𝝉 = 𝑼𝑼𝒎𝒎 ∗ 𝒏𝒏 − 𝟐𝟐∗𝒏𝒏𝝉𝝉 c) Donde los tiempos están en unidades relativas a RC. 107. En el circuito de la figura, fem 𝜺𝜺 = 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒆𝒆 y C= 2,0 µF; el condensador está inicialmente sin carga. A los 4,0 s de haber cerrado el interruptor S la caída de voltaje a través de la resistencia es 20 V. Hallar el valor de la resistencia. 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒎𝒎 ∗ 𝒏𝒏−𝒏𝒏/𝝉𝝉 ∆𝒆𝒆𝑹𝑹 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 = 𝑹𝑹 ∗ 𝑰𝑰𝒎𝒎 ∗ 𝒏𝒏 − 𝒏𝒏𝝉𝝉 = ∆𝒆𝒆𝒎𝒎 ∗ 𝒏𝒏 − 𝒏𝒏𝝉𝝉 = 𝜺𝜺 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏𝝉𝝉 ∆𝒆𝒆𝑹𝑹 𝜺𝜺 = 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝝉𝝉 ; 𝒏𝒏𝒎𝒎 �∆𝒆𝒆𝑹𝑹 𝜺𝜺 � = − 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪 ; 𝒏𝒏𝒎𝒎 � 𝜺𝜺 ∆𝒆𝒆𝑹𝑹 � = 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪 𝑹𝑹 = 𝒏𝒏 𝑪𝑪 ∗ 𝟏𝟏 𝒏𝒏𝒎𝒎 � 𝜺𝜺 ∆𝒆𝒆𝑹𝑹 � = 𝟕𝟕 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏 𝒏𝒏𝒎𝒎 �𝟓𝟓𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎� = 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔𝛀𝛀 108. A un condensador de 0,12 µF se le da una carga Qo. Después de 4 s se observa que su carga es ½ Qo. ¿Cuál es la resistencia efectiva a través de este condensador? 𝑸𝑸 = 𝑸𝑸𝒎𝒎 ∗ 𝒏𝒏 − 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪 ; 𝑸𝑸𝒎𝒎 𝑸𝑸 = 𝒏𝒏 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪 ; 𝒏𝒏𝒎𝒎 �𝑸𝑸𝒎𝒎 𝑸𝑸 � = 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪 ;𝑹𝑹 = 𝒏𝒏 𝑪𝑪 ∗ 𝟏𝟏 𝒏𝒏𝒎𝒎 �𝑸𝑸𝒎𝒎𝑸𝑸 � 𝑹𝑹 = 𝟕𝟕 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏 𝒏𝒏𝒎𝒎 �𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐 � = 𝟕𝟕𝟖𝟖.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 𝛀𝛀 109. Un condensador de 1,6 µF inicialmente descargado se conecta en serie con una resistencia de 10 kΩ y una batería de 5,0 V de resistencia interna despreciable. a) ¿Cuál es la carga en el condensador después de un tiempo muy largo? b) ¿Cuánto tiempo emplea el condensador en alcanzar el 99 por ciento de su carga final? a) 𝑸𝑸 = 𝑸𝑸𝒇𝒇 ∗ (𝟏𝟏 − 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪) En un tiempo muy largo: 𝑸𝑸 = 𝑸𝑸𝒇𝒇 = 𝑪𝑪 ∗ 𝜺𝜺 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ 𝟓𝟓 = 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝑪𝑪 b) 𝐥𝐥𝐥𝐥 �𝟏𝟏 − 𝑸𝑸 𝑸𝑸𝒇𝒇 � = 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪 ; 𝒏𝒏 = 𝑹𝑹 ∗ 𝑪𝑪 ∗ �𝐥𝐥𝐥𝐥�𝟏𝟏 − 𝑸𝑸 𝑸𝑸𝒇𝒇 �� 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ �𝒏𝒏𝒎𝒎�𝟏𝟏 − 𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟏𝟏 � � = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟕𝟕𝟐𝟐𝟕𝟕 𝒔𝒔 110. Considérese el circuito de la figura. Conocido el comportamiento de los condensadores en los circuitos, determinar a) La corriente inicial de la batería inmediatamente después de cerrar el interruptor. b) La corriente estacionaria a través de la batería después de transcurrido un largo tiempo. c) El voltaje máximo a través del condensador. a) 𝜺𝜺 − 𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 ∗ 𝑰𝑰𝒎𝒎 − ∆𝒆𝒆𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝟎𝟎 Inicialmente el condensador está descargado: ∆𝒆𝒆𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝟎𝟎. 𝑰𝑰𝒎𝒎 = 𝜺𝜺 𝟏𝟏.𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟏.𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕 𝑨𝑨 b) Cuando ha pasado mucho tiempo el condensador estará cargado, 𝑰𝑰𝑪𝑪∞ = 𝟎𝟎. 𝜺𝜺 − 𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 ∗ 𝑰𝑰∞ − 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰∞ = 𝟎𝟎 𝑰𝑰∞ = 𝜺𝜺 𝟏𝟏.𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔+𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟏.𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔+𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟔𝟔.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝑨𝑨 c) El voltaje máximo coincidirá con el momento en que el condensador está cargado. ∆𝒆𝒆𝑪𝑪∞ = 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰∞ = 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 = 𝟕𝟕𝟎𝟎 𝒆𝒆 111. Se conecta una resistencia de 2 MΩ en serie con un condensador de 1,5 µF y una batería de 6,0 V de resistencia interna despreciable. El condensador está inicialmente descargado. Después de un tiempo t=𝝉𝝉 = 𝑹𝑹𝑪𝑪, hallar a) La carga en el condensador. b) El ritmo o velocidad con el que está aumentando la carga. c) La corriente. d) La potencia suministrada por la batería. e) La potencia disipada en la resistencia. f) La velocidad a la que está aumentando la energía almacenada en el condensador. a) 𝑸𝑸 = 𝑸𝑸𝒇𝒇 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪�𝑸𝑸 = 𝑪𝑪 ∗ 𝜺𝜺 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪� 𝑸𝑸(𝝉𝝉) = 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ 𝟔𝟔 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒏𝒏− 𝟏𝟏� = 𝟓𝟓.𝟔𝟔𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔𝝁𝝁𝑪𝑪 b) 𝑰𝑰 = 𝒅𝒅𝑸𝑸 𝒅𝒅𝒏𝒏 = 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏 (𝑪𝑪 ∗ 𝜺𝜺 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪� = 𝑪𝑪 ∗ 𝜺𝜺 ∗ 𝟏𝟏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪 = 𝜺𝜺 𝑹𝑹 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪 𝑰𝑰 = 𝟔𝟔 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔∗𝟏𝟏.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏/𝟐𝟐 c) 𝑰𝑰(𝝉𝝉) = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ 𝒏𝒏− 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝑨𝑨 d) 𝑷𝑷𝜺𝜺(𝒏𝒏) = 𝑰𝑰(𝒏𝒏) ∗ 𝜺𝜺 = 𝜺𝜺 𝑹𝑹 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪 ∗ 𝜺𝜺 = 𝜺𝜺𝟐𝟐 𝑹𝑹 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪 𝑷𝑷(𝝉𝝉) = 𝜺𝜺𝟐𝟐 𝑹𝑹 ∗ 𝒏𝒏− 𝟏𝟏 = 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 ∗ 𝒏𝒏− 𝟏𝟏 = 𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝑾𝑾 e) 𝑷𝑷𝑹𝑹(𝒏𝒏) = 𝑰𝑰(𝒏𝒏)𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 = �𝜺𝜺 𝑹𝑹 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪� 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 = 𝜺𝜺𝟐𝟐 𝑹𝑹 ∗ 𝒏𝒏− 𝟐𝟐∗𝒏𝒏𝑹𝑹∗𝑪𝑪 𝑷𝑷𝑹𝑹(𝝉𝝉) = 𝜺𝜺𝟐𝟐 𝑹𝑹 ∗ 𝒏𝒏− 𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 ∗ 𝒏𝒏− 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝑾𝑾 f) 𝑬𝑬(𝒏𝒏) = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑸𝑸 𝟐𝟐 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝑬𝑬 𝒅𝒅𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝑪𝑪 ∗ 𝒅𝒅𝑸𝑸 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 = 𝟐𝟐∗𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑪𝑪 ∗ 𝒅𝒅𝑸𝑸 𝒅𝒅𝒏𝒏 = 𝑸𝑸 𝑪𝑪 ∗ 𝑰𝑰 𝑸𝑸 = 𝜺𝜺 ∗ 𝑪𝑪 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪 � 116. El flash de un fotógrafo está formando por una batería de 9,0 V que carga un condensador de 0,15 µF y éste se descarga a través de una lámpara de destellos de resistencia 0,15 Ω cuando se cierra el interruptor. El voltaje mínimo necesario para la descarga del flash es de 7,0 V. El condensador se carga a través de una resistencia de 18 kΩ. a) ¿Cuánto tiempo se requiere para cargar el condensador hasta su voltaje mínimo 7,0 V? b) ¿Cuánta energía se libera en cada destello de la lámpara? c) ¿Cuánta energía suministra la batería durante el ciclo de carga y qué fracción de la energía se disipa en la resistencia? a) 𝒆𝒆 = 𝒆𝒆𝒇𝒇 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪 � 𝒏𝒏 = −𝑹𝑹 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝒏𝒏𝒎𝒎 �𝟏𝟏 − 𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒇𝒇 � = −𝟏𝟏𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ 𝒏𝒏𝒎𝒎 �𝟏𝟏 − 𝟕𝟕 𝟗𝟗 � 𝒏𝒏 = 𝟕𝟕.𝟎𝟎𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝒔𝒔 b) 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝒆𝒆𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝒆𝒆𝒇𝒇𝟐𝟐 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪 � 𝟐𝟐 𝑬𝑬�𝟕𝟕.𝟎𝟎𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐� = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ 𝟗𝟗𝟐𝟐 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒏𝒏− 𝟕𝟕.𝟎𝟎𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 � 𝟐𝟐 𝑬𝑬�𝟕𝟕.𝟎𝟎𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐� = 𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝑱𝑱 c) 𝑬𝑬𝑪𝑪𝒏𝒏𝒏𝒏 = ∫ 𝜺𝜺 ∗ 𝑰𝑰(𝒏𝒏) ∗ 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒏𝒏 𝟎𝟎 = 𝜺𝜺𝟐𝟐 𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪 ∗ 𝒅𝒅𝒏𝒏 𝒏𝒏 𝟎𝟎 = 𝜺𝜺𝟐𝟐 𝑹𝑹 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝑪𝑪 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪� 𝑬𝑬𝑪𝑪𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝑪𝑪 ∗ 𝜺𝜺𝟐𝟐 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹∗𝑪𝑪� 𝑬𝑬𝑪𝑪𝒏𝒏𝒏𝒏�𝟕𝟕.𝟎𝟎𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐� = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ 𝟗𝟗𝟐𝟐 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒏𝒏− 𝟕𝟕.𝟎𝟎𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 � 𝑬𝑬𝑪𝑪𝒏𝒏𝒏𝒏�𝟕𝟕.𝟎𝟎𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐� = 𝟗𝟗.𝟕𝟕𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔𝑱𝑱 𝑬𝑬𝑹𝑹 𝑬𝑬𝑪𝑪𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝑬𝑬𝑪𝑪𝒏𝒏𝒏𝒏−𝑬𝑬𝒇𝒇𝒏𝒏𝒏𝒏𝒔𝒔𝒉𝒉 𝑬𝑬𝑪𝑪𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 − 𝑬𝑬𝒇𝒇𝒏𝒏𝒏𝒏𝒔𝒔𝒉𝒉 𝑬𝑬𝑪𝑪𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 − 𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝟗𝟗.𝟕𝟕𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 = 𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟏𝟏𝟐𝟐 ;𝟔𝟔𝟏𝟏.𝟐𝟐 % 117. En el circuito de la figura. a) ¿Cuál es la corriente inicial de la batería inmediatamente después de cerrar el interruptor S? b) ¿Cuál es la corriente de la batería en un tiempo largo después de cerrar el interruptor S? c) ¿Cómo varía la intensidad de corriente en la resistencia de 600 Ω en función del tiempo? a) En el instante inicial ∆𝒆𝒆𝑪𝑪𝒎𝒎 = 𝟎𝟎, aplicando Kirchhoff a la malla superior: 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰𝒎𝒎 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 ; 𝑰𝑰𝒎𝒎 = 𝜺𝜺 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟓𝟓 𝑨𝑨 b) En un tiempo largo el condensador se ha cargado, no pasa corriente por él, usando la malla global: 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰∞ ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎− 𝑰𝑰∞ ∗ 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 ; 𝑰𝑰∞ = 𝜺𝜺 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓 𝑨𝑨 c) Sea I1 la intensidad que circula por la batería, I2 la que circula por la resistencia de 600 Ω e I3 la que circula por el condensador. 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 En la malla superior: 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎− 𝑸𝑸 𝑪𝑪 = 𝟎𝟎 En la malla inferior: 𝑸𝑸 𝑪𝑪 − 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 Derivando estas dos expresiones: 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏 �𝜺𝜺 − 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝑸𝑸 𝑪𝑪 � = 𝟎𝟎 − 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒅𝒅𝑰𝑰𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒏𝒏 − 𝟏𝟏 𝑪𝑪 ∗ 𝒅𝒅𝑸𝑸 𝒅𝒅𝒏𝒏 = 𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒅𝒅𝑰𝑰𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒏𝒏 = −𝟏𝟏 𝑪𝑪 ∗ 𝒅𝒅𝑸𝑸 𝒅𝒅𝒏𝒏 = −𝟏𝟏 𝑪𝑪 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏 �𝑸𝑸 𝑪𝑪 − 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎� = 𝟏𝟏 𝑪𝑪 ∗ 𝒅𝒅𝑸𝑸 𝒅𝒅𝒏𝒏 − 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒅𝒅𝑰𝑰𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 = 𝟎𝟎 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒅𝒅𝑰𝑰𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 𝑪𝑪 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 Usando 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 en esta ecuación: 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒅𝒅𝑰𝑰𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 𝑪𝑪 ∗ (𝑰𝑰𝟏𝟏 − 𝑰𝑰𝟐𝟐) Usando 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎− 𝑸𝑸 𝑪𝑪 = 𝟎𝟎 y 𝑸𝑸 𝑪𝑪 − 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝜺𝜺−𝑸𝑸/𝑪𝑪 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝜺𝜺−𝑰𝑰𝟐𝟐∗𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 Usando La expresión de I1 en 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒅𝒅𝑰𝑰𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 𝑪𝑪 ∗ (𝑰𝑰𝟏𝟏 − 𝑰𝑰𝟐𝟐): 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒅𝒅𝑰𝑰𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 𝑪𝑪 ∗ �𝜺𝜺−𝑰𝑰𝟐𝟐∗𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝑰𝑰𝟐𝟐� 𝒅𝒅𝑰𝑰𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 = 𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝑪𝑪 ∗ 𝜺𝜺−𝑰𝑰𝟐𝟐∗𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎−𝑰𝑰𝟐𝟐∗𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝑪𝑪 ∗ (𝜺𝜺 − 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐) 𝒅𝒅𝑰𝑰𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 = 𝜺𝜺 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝑪𝑪 − 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 Tenemos una ecuación diferencial con coeficientes constantes, su solucione es: 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝐚𝐚 + 𝐛𝐛 ∗ 𝐞𝐞−𝒏𝒏/𝝉𝝉 𝒅𝒅𝑰𝑰𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 = 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏 �𝐚𝐚 + 𝐛𝐛 ∗ 𝐞𝐞− 𝒏𝒏 𝝉𝝉� = −𝑪𝑪 𝝉𝝉 ∗ 𝐞𝐞− 𝒏𝒏 𝝉𝝉 −𝑪𝑪 𝝉𝝉 ∗ 𝐞𝐞− 𝒏𝒏 𝝉𝝉 = 𝜺𝜺 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝑪𝑪 − 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ �𝐚𝐚 + 𝐛𝐛 ∗ 𝐞𝐞− 𝒏𝒏 𝝉𝝉� 𝝉𝝉 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝑪𝑪 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒏𝒏 = 𝜺𝜺 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎+𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 Como la intensidad 2 es cero en t=0: 𝟎𝟎 = 𝒏𝒏+ 𝑪𝑪 ;𝑪𝑪 = −𝒏𝒏 = − 𝜺𝜺 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎+𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 Obtenemos: 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝜺𝜺 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎+𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝜺𝜺 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎+𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒏𝒏− 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝒏𝒏 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝑪𝑪 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎+𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒏𝒏− 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝒏𝒏 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝑪𝑪� = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟕𝟕𝟓𝟓� 118. En el circuito de la figura, a) ¿Cuál es la intensidad inicial de la corriente suministrada por la batería inmediatamente después de cerrado el interruptor S? b) ¿Y al cabo de un largo tiempo de cierre de S? c) Si el interruptor ha estado cerrado durante un largo tiempo y luego se abre, determinar la variación de la intensidad de corriente a través de la resistencia de 600 kΩ en función del tiempo. a) Aplicando Kirchhoff a la malla externa: 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝟏,𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 − ∆𝒆𝒆𝑪𝑪𝒎𝒎 = 𝟎𝟎 Inicialmente Q=0; ∆𝒆𝒆𝑪𝑪𝒎𝒎 = 𝟎𝟎. 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝟏,𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 ; 𝑰𝑰𝒎𝒎 = 𝜺𝜺 𝟏𝟏,𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝟏𝟏,𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝑨𝑨 b) Con el condensador cargado no hay intensidad por él. Aplicando Kirchhoff a la malla de la resistencia de 600 kΩ: 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰∞ ∗ 𝟏𝟏,𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 − 𝑰𝑰∞ ∗ 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝑰𝑰∞ = 𝜺𝜺 𝟏𝟏,𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐+𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝟏𝟏,𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐+𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟕𝟕.𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝑨𝑨 c) El condensador estará cargado. Tendremos un proceso de descarga a través de la resistencia de 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐Ω. 𝒆𝒆𝒎𝒎 = 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰∞ = 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟕𝟕.𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝑰𝑰(𝒏𝒏) = 𝒆𝒆𝒎𝒎 𝑹𝑹 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝑹𝑹𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝑪𝑪 = 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐∗𝟐𝟐𝟕𝟕.𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐∗𝟐𝟐.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝑰𝑰(𝒏𝒏) = 𝟐𝟐𝟕𝟕.𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏𝟏𝟏.𝟓𝟓 119. Enel circuito de la figura el condensador tiene una capacidad de 2,5 µF y la resistencia es de 0,5 MΩ. Antes de cerrar el interruptor, la ciada de potencial a través del condensador es 12 V, como se indica. El interruptor S se cierra para t =0. a) ¿Cuál es la corriente en R inmediatamente después de cerrar S? b) ¿Para qué tiempo el voltaje a través del condensador es 24 V? a) Aplicando Kirchoff: 𝜺𝜺 − 𝟏𝟏𝟐𝟐 − 𝑰𝑰𝒎𝒎 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟎𝟎 ; 𝑰𝑰𝒎𝒎 = 𝜺𝜺−𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑹𝑹 = 𝟐𝟐𝟔𝟔−𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟎𝟎.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 = 𝟕𝟕𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝑨𝑨 b) I2=I3. c) I3>I2. d) Ninguna de las anteriores es correcta. La intensidad 1 es mayor que la de 2 y 3, pero al ser menor la resistencia 2 la intensidad por ella será mayor que la de 3. (a) es correcta. Por lo dicho el resto no son correctas. 127. Una bombilla de 25 W está conectada en serie con otra de 100 W y a través de la asociación se establece un voltaje V. ¿Cuál de las dos bombillas brilla más? Razonar la respuesta. El brillo dependerá de la potencia emitida por cada bombilla, I2R. La resistencia de las bombillas conectadas a un mismo voltaje será: 𝑹𝑹 = ∆𝒆𝒆𝟐𝟐 𝑷𝑷 De esta expresión se deduce: 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝑾𝑾 < 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟓𝟓 𝑾𝑾 Al conectarlas en serie, pasa por las dos la misma intensidad: 𝑷𝑷𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒌𝒌 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟓𝟓 𝑾𝑾 > 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝑾𝑾 = 𝑷𝑷𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌 128. Si la fem de la batería de la figura del problema 125 es 24 V, entonces a) I2= 4 A. b) I2=2 A. c) I2==1 A. d) Ninguna de las anteriores. 𝟐𝟐𝟕𝟕 − 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 − 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟕𝟕 𝑹𝑹𝟏𝟏+ 𝑹𝑹𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟕𝟕 𝟕𝟕+𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟔𝟔+𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 𝑨𝑨 ∆𝒆𝒆𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟔𝟔+𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒆𝒆 𝑰𝑰𝟐𝟐 = ∆𝒆𝒆𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟔𝟔 = 𝟐𝟐 𝑨𝑨 Respuesta b. 129. Se calcula una resistencia de 10,0 Ω para disipar 5,0 W. a) ¿Qué corriente máxima puede tolerar esta resistencia? b) ¿Qué tensión entre sus extremos producirá está corriente? a) 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 ; 𝑰𝑰 = �𝑷𝑷 𝑹𝑹 = � 𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟎𝟎𝟕𝟕 𝑨𝑨 b) ∆𝒆𝒆 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟎𝟎𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟕𝟕,𝟎𝟎𝟕𝟕 𝑨𝑨 130. Una muchacha intenta economizar energía apagando el calentador ambiental y calentándose con un tostador. Para ello empuja la palanca del tostador hacia abajo y se duerma. A los 4 minutos el tostador salta y eventualmente la muchacha se despierta con frío. Empuja de nuevo la palanca del tostador y consigue dormir un poco más. Este proceso se repite cada 15 minutos. Ella pasa una mala noche, ero está dispuesta a ahorrar dinero. La energía cuesta 0.09 dólares por kilovatio-hora y se utiliza una fuente de 120 V. a) ¿Cuánto cuesta operar el tostador eléctrico durante 4 min si su resistencia es 11,0 Ω? b) ¿Cuánto les costará el calentador ambiental conectado a 120 V si su resistencia es de 5,0 Ω durante 8 h? a) 𝑾𝑾 = 𝑰𝑰 ∗ ∆𝒆𝒆 ∗ 𝒏𝒏 = ∆𝒆𝒆𝟐𝟐 𝑹𝑹 ∗ 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟕𝟕 ∗ 𝟔𝟔𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟕𝟕𝟏𝟏𝟖𝟖𝟐𝟐 𝑱𝑱 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟕𝟕𝟏𝟏𝟖𝟖𝟐𝟐 𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝑾𝑾 𝒉𝒉 𝟐𝟐.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔𝑱𝑱 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟗𝟗 𝒅𝒅𝒎𝒎𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝑾𝑾 𝒉𝒉 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟕𝟕𝟗𝟗 dólares b) 𝑾𝑾 = 𝑰𝑰 ∗ ∆𝒆𝒆 ∗ 𝒏𝒏 = ∆𝒆𝒆𝟐𝟐 𝑹𝑹 ∗ 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟓𝟓 ∗ 𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟖𝟖𝟐𝟐𝟗𝟗𝟕𝟕𝟕𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱𝑱 𝟖𝟖𝟐𝟐𝟗𝟗𝟕𝟕𝟕𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝑾𝑾 𝒉𝒉 𝟐𝟐.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔𝑱𝑱 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟗𝟗 𝒅𝒅𝒎𝒎𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝑾𝑾 𝒉𝒉 = 𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟕𝟕 dólares 131. Una batería de 12 V de un coche posee una resistencia interna de 0,4 Ω. a) ¿Cuál es la corriente si se cortocircuita momentáneamente la batería? b) ¿Cuál es la tensión en bornes cuando la batería suministra una corriente de 20 A para poner en marcha el motor? a) 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰 ∗ 𝑪𝑪 = 𝟎𝟎 ; 𝑰𝑰 = 𝜺𝜺 𝑪𝑪 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟎𝟎.𝟕𝟕 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑨𝑨 b) ∆𝒆𝒆 = 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰 ∗ 𝑪𝑪 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎.𝟕𝟕 = 𝟕𝟕,𝟎𝟎 𝒆𝒆 132. Una batería suministra una corriente de 1,80 A cuando una resistencia de 7,0 Ω se conecta entre sus bornes. Si se conecta una segunda resistencia de 12 Ω en paralelo con la de 7 Ω la batería suministra una corriente de 2,20 A. ¿Cuáles son la fem y la resistencia interna de la batería? 𝜺𝜺 − 𝟏𝟏.𝟖𝟖 ∗ 𝑪𝑪 − 𝟏𝟏.𝟖𝟖 ∗ 𝟕𝟕 = 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝑹𝑹𝟏𝟏+𝑹𝑹𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟏𝟏∗𝑹𝑹𝟏𝟏 ;𝑹𝑹𝑻𝑻 = 𝑹𝑹𝟏𝟏∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏+𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟕𝟕+𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟕𝟕.𝟕𝟕𝟐𝟐 𝛀𝛀 𝜺𝜺 − 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝑪𝑪 − 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟕𝟕.𝟕𝟕𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 Despejando: 𝜺𝜺 = 𝟐𝟐𝟓𝟓.𝟓𝟓 𝒆𝒆 ;𝑪𝑪 = 𝟕𝟕.𝟏𝟏𝟗𝟗 𝛀𝛀 133. Un conductor de cobre de calibre 16 aislado con caucho puede transportar con seguridad una corriente máxima de 6 A. a) ¿Cuál es el valor máximo de la diferencia de potencial que puede aplicarse en los extremos de 40 m de un conductor de este tipo? b) Hallar el campo eléctrico en el conductor cuando circulan por él 6 A. c) Hallar la potencia disipada en el conductor en este último caso. a) 𝑹𝑹 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑳𝑳 𝑨𝑨 𝚫𝚫𝒆𝒆 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝑳𝑳 𝑨𝑨 = 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖 ∗ 𝟕𝟕𝟎𝟎 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟎𝟎𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 = 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒆𝒆 b) 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝑳𝑳 𝑨𝑨 = 𝑬𝑬 ∗ 𝑳𝑳 ;𝑬𝑬 = 𝑰𝑰∗𝝆𝝆 𝑨𝑨 = 𝟔𝟔∗𝟏𝟏.𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟎𝟎𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟕𝟕𝟕𝟕𝟗𝟗 𝑵𝑵/𝒎𝒎 c) 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 = 𝑰𝑰 ∗ 𝚫𝚫𝒆𝒆 = 𝟔𝟔 ∗ 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟖𝟖.𝟕𝟕𝟐𝟐 𝑾𝑾 134. El cable de conexión para el arranque de un automóvil es de 3 m de longitud y está formado por múltiples hebras de cobre que en su conjunto tienen un área transversal de 10,0 mm2. a) ¿Cuál es la resistencia de este cable? b) Cuando se utiliza en el arranque, transporta una corriente de 90 A. ¿Cuál es la caída de voltaje que tiene lugar a su través? c) ¿Cuánta potencia se disipa en el cable? a) 𝑹𝑹 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑳𝑳 𝑨𝑨 = 𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟏𝟏𝛀𝛀 b) 𝚫𝚫𝒆𝒆 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟗𝟗𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟏𝟏 = 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟓𝟓𝟗𝟗 𝒆𝒆 c) 𝐏𝐏 = 𝐈𝐈𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟏𝟏 = 𝟕𝟕𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟏𝟏 𝑾𝑾 135. Se utiliza una espiral de alambre de nicrom como elemento calefactor en un evaporador de agua que genera 8,0 g de vapor por segundo. El alambre posee un diámetro de 1,80 mm y está conectado a una fuente de alimentación de 120 V. Calcular la longitud del alambre. 𝟖𝟖,𝟎𝟎 𝒈𝒈 𝒔𝒔 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐𝑱𝑱 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒈𝒈 = 𝟏𝟏𝟖𝟖𝟎𝟎𝟖𝟖𝟎𝟎 𝑱𝑱/𝒔𝒔 𝑷𝑷 = ∆𝒆𝒆𝟐𝟐 𝑹𝑹 = ∆𝒆𝒆𝟐𝟐 𝝆𝝆∗𝑳𝑳𝑨𝑨 𝑳𝑳 = 𝑨𝑨∗∆𝒆𝒆𝟐𝟐 𝝆𝝆∗𝑷𝑷 = 𝝅𝝅∗�𝟎𝟎.𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐�𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟖𝟖𝟎𝟎𝟖𝟖𝟎𝟎 = 𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟐𝟐 𝒎𝒎 136. Una caja cerrada tiene dos terminales metálicos a y b. Dentro de la caja existe una fem 𝜺𝜺 incógnita en serie con una resistencia R. Cuando una diferencia de potencial de 21 V se establece entre a y b, una corriente de 1 A entra en la caja por A y sale por b. Si se invierte esta diferencia de potencial, se observa una corriente de 2 A en dirección inversa a la situación anterior. Determinar 𝜺𝜺 y R. 𝟐𝟐𝟏𝟏+ 𝜺𝜺 − 𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟎𝟎 −𝟐𝟐𝟏𝟏+ 𝜺𝜺+ 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟎𝟎 𝑹𝑹𝒏𝒏𝒔𝒔𝒎𝒎𝒏𝒏𝒗𝒗𝒎𝒎𝒏𝒏𝒎𝒎𝒅𝒅𝒎𝒎: 𝜺𝜺 = −𝟕𝟕.𝟎𝟎 𝒆𝒆 ;𝑹𝑹 = 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝛀𝛀 137. Los condensadores del circuito de la figura están inicialmente descargados. a) ¿Cuál es el valor inicial de la corriente suministrada por la batería cuando se cierra el interruptor S? b) ¿Cuál es la intensidad de la corriente de la batería después de un tiempo largo? c) ¿Cuáles son las cargas finales sobre los condensadores? Fem total: 𝜺𝜺 Resistencia interna: 1 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑛𝑛 𝑟𝑟 ; 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑟𝑟 𝑛𝑛 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰 ∗ 𝑪𝑪 𝒎𝒎 − 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟎𝟎 Cuando están en serie: Fem total: 𝒎𝒎 ∗ 𝜺𝜺 Resistencia interna: 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑛𝑛 ∗ 𝑟𝑟 𝒎𝒎 ∗ 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑪𝑪 − 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟎𝟎 De las dos ecuaciones: 𝒎𝒎 ∗ 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰 ∗ 𝑪𝑪 − 𝒎𝒎 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟎𝟎 𝒎𝒎 ∗ 𝜺𝜺 − 𝑰𝑰 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑪𝑪 − 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟎𝟎 Restando 2-1: 𝑰𝑰 ∗ (𝒎𝒎 − 𝟏𝟏) ∗ 𝑪𝑪 − (𝒎𝒎 − 𝟏𝟏) ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 𝑹𝑹 = 𝑪𝑪 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐 𝛀𝛀 142. Un ciclotrón produce un haz de protones de 3.50 µA de energía 60 MeV. Los protones chocan y se detienen dentro de un blanco de cobre de 50 g dentro de la cámara de vacio. a) Determinar el número de protones que chocan contra el blanco por segundo. b) Determinar la energía depositada en el blanco por segundo. c) ¿Cuánto tiempo transcurre antes de que la temperatura del blanco se incremente en 300 º C? (Despreciar el enfriamiento por radiación). a) 𝑸𝑸 = 𝑰𝑰 ∗ 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐.𝟓𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐.𝟓𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔𝑪𝑪 𝟐𝟐.𝟓𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔𝑪𝑪 ∗ 𝟏𝟏 𝒑𝒑𝑪𝑪𝒎𝒎𝒏𝒏ó𝒎𝒎 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟗𝟗𝑪𝑪 = 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒑𝒑𝑪𝑪𝒎𝒎𝒏𝒏𝒎𝒎𝒎𝒎𝒏𝒏𝒔𝒔/𝒔𝒔 b) 𝟔𝟔𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔𝒏𝒏𝒆𝒆 𝒑𝒑𝑪𝑪𝒎𝒎𝒏𝒏ó𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟗𝟗 𝑱𝑱 𝟏𝟏 𝒏𝒏 𝒆𝒆 ∗ 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒑𝒑𝑪𝑪𝒎𝒎𝒏𝒏𝒎𝒎𝒎𝒎𝒏𝒏𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒔𝒔 = 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎.𝟐𝟐 𝑱𝑱/𝒔𝒔 c) 𝑬𝑬 = 𝑷𝑷 ∗ 𝚫𝚫𝒏𝒏 = 𝑸𝑸 = 𝒎𝒎∗ 𝒄𝒄𝒏𝒏 ∗ 𝚫𝚫𝑻𝑻 𝚫𝚫𝒏𝒏 = 𝒎𝒎∗𝒄𝒄𝒏𝒏∗𝚫𝚫𝑻𝑻 𝑷𝑷 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟓𝟎𝟎∗𝟐𝟐𝟖𝟖𝟔𝟔 𝑱𝑱 𝒌𝒌𝒈𝒈 º𝑪𝑪∗𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎.𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟕𝟕.𝟓𝟓 𝒔𝒔 143. Unos tubos fluorescentes compactos cuestan 6 dólares cada uno y su periodo de vida se estima en 8000 h. Estos tubos consumen 20 W de potencia, pero producen una iluminación equivalente a la de las bombillas incandescentes de 75 W. estas cuestan 1,5 centavos de dólar cada una y su periodo de vida se estima en 1200 h. a) Si una vivienda tiene por término medio seis bombillas incandescentes de 75 W constantemente encendidas y la energía cuesta 9 centavos de dólar por kilovatio-hora, ¿Cuánto dinero se ahorrará un consumidor cada año instalando en su lugar tubos fluorescentes? b) ¿Cuál debería ser el precio por kilovatio-hora para que el coste total del uso de las bombillas fuese igual al correspondiente uso de los tubos? a) 𝑾𝑾𝟏𝟏 𝑪𝑪𝒎𝒎𝒎𝒎𝑪𝑪𝒎𝒎𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝑷𝑷 ∗ 𝒏𝒏 = 𝟕𝟕𝟓𝟓 ∗ �𝟏𝟏 𝒏𝒏ñ𝒎𝒎 ∗ 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟓𝟓 𝒅𝒅𝒎𝒎𝒏𝒏𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒏𝒏ñ𝒑𝒑 ∗ 𝟐𝟐𝟕𝟕 𝒉𝒉 𝟏𝟏 𝒅𝒅í𝒏𝒏 ∗ 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒉𝒉 � = 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟔𝟔𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 𝑱𝑱 𝑾𝑾𝟔𝟔 𝑪𝑪𝒎𝒎𝒎𝒎𝑪𝑪𝒎𝒎𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟔𝟔𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 ∗ 𝟔𝟔 = 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎 𝑱𝑱 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎 𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒉𝒉 𝟐𝟐.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 𝑱𝑱 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟗𝟗 𝒅𝒅ó𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒉𝒉 = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒅𝒅ó𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 𝑾𝑾𝟏𝟏 𝒇𝒇𝒏𝒏𝑪𝑪𝒎𝒎𝑪𝑪 = 𝑷𝑷 ∗ 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏 𝒏𝒏ñ𝒎𝒎 ∗ 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟓𝟓 𝒅𝒅𝒎𝒎𝒏𝒏𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒏𝒏ñ𝒑𝒑 ∗ 𝟐𝟐𝟕𝟕 𝒉𝒉 𝟏𝟏 𝒅𝒅í𝒏𝒏 ∗ 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒉𝒉 � = 𝟔𝟔.𝟐𝟐𝟎𝟎𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖 𝑱𝑱 𝑾𝑾𝟔𝟔 𝒇𝒇𝒏𝒏𝑪𝑪𝒎𝒎𝑪𝑪 = 𝟔𝟔.𝟐𝟐𝟎𝟎𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖 ∗ 𝟔𝟔 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 𝑱𝑱 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒉𝒉 𝟐𝟐.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 𝑱𝑱 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟗𝟗 𝒅𝒅ó𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒉𝒉 = 𝟗𝟗𝟓𝟓 𝒅𝒅ó𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 La diferencia de gasto en consumo será: 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟓𝟓− 𝟗𝟗𝟓𝟓 = 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎 𝒅𝒅ó𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 El número de horas en año son: 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟓𝟓 𝒅𝒅𝒎𝒎𝒏𝒏𝒔𝒔 ∗ 𝟐𝟐𝟕𝟕 𝒉𝒉 𝟏𝟏 𝒅𝒅í𝒏𝒏 = 𝟖𝟖𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟎 𝒉𝒉𝒎𝒎𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 Número de series de bombillas necesarias: 𝟖𝟖𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟕𝟕 𝒔𝒔𝒏𝒏𝑪𝑪𝒎𝒎𝒏𝒏𝒔𝒔 Precio de 7 series de bombillas: 𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟔𝟔 = 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝒅𝒅ó𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 Número de series de fluorescentes necesarios: 𝟖𝟖𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟎 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒏𝒏𝑪𝑪𝒎𝒎𝒏𝒏𝒔𝒔 𝑷𝑷𝑪𝑪𝒏𝒏𝒄𝒄𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒏𝒏 𝟏𝟏 𝒔𝒔é𝑪𝑪𝒎𝒎𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒏𝒏 𝒇𝒇𝒏𝒏𝑪𝑪𝒎𝒎𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔𝒄𝒄𝒏𝒏𝒎𝒎𝒏𝒏𝒏𝒏𝒔𝒔: 𝟏𝟏 ∗ 𝟔𝟔 ∗ 𝟔𝟔 = 𝟐𝟐𝟔𝟔 𝒅𝒅ó𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 Diferencia de precio: 𝟔𝟔𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟔𝟔 = 𝟐𝟐𝟕𝟕 𝒅𝒅ó𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 𝒎𝒎á𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒏𝒏 𝒈𝒈𝒏𝒏𝒔𝒔𝒏𝒏𝒎𝒎 𝒏𝒏𝒎𝒎 𝑪𝑪ó𝒎𝒎𝑪𝑪𝒎𝒎𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒔𝒔 Diferencia total: 260+37=297 dólares b) 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎 𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒉𝒉 𝟐𝟐.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 𝑱𝑱 ∗ 𝒅𝒅 𝒅𝒅ó𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒉𝒉 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒉𝒉 𝟐𝟐.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 𝑱𝑱 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟗𝟗 𝒅𝒅ó𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒉𝒉 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 𝒅𝒅ó𝒏𝒏𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏𝒔𝒔 144. El espacio existente entre las placas de un condensador de placas paralelas se llena con un dieléctrico de constante 𝜿𝜿 y resistividad ρ. a) Demostrar que la carga sobre las placas disminuye con la constante de tiempo 𝝉𝝉 = 𝜺𝜺𝒎𝒎𝜿𝜿𝝆𝝆. b) Si el dieléctrico es de mica, para el cual 𝜿𝜿 = 𝟓𝟓,𝟎𝟎 𝒚𝒚 𝝆𝝆 = 𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 𝛀𝛀 𝒎𝒎, determinar el tiempo que tarda la carga en decrecer en 𝟏𝟏 𝒏𝒏𝟐𝟐 ≈ 𝟏𝟏𝟕𝟕% de su valor inicial. a) 𝑪𝑪 = 𝜿𝜿 ∗ 𝜺𝜺𝒎𝒎 ∗ 𝑨𝑨 𝒅𝒅 ; 𝑹𝑹 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒅𝒅 𝑨𝑨 𝝉𝝉 = 𝑹𝑹 ∗ 𝑪𝑪 = 𝜿𝜿 ∗ 𝜺𝜺𝒎𝒎 ∗ 𝑨𝑨 𝒅𝒅 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒅𝒅 𝑨𝑨 = 𝜿𝜿 ∗ 𝜺𝜺𝒎𝒎 ∗ 𝝆𝝆 b) 𝝉𝝉 = 𝜿𝜿 ∗ 𝜺𝜺𝒎𝒎 ∗ 𝝆𝝆 = 𝟓𝟓 ∗ 𝟖𝟖.𝟖𝟖𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟗𝟗𝟖𝟖𝟐𝟐 𝒔𝒔 El tiempo pedido es 𝟐𝟐 ∗ 𝝉𝝉 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟗𝟗𝟖𝟖𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟗𝟗𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒔𝒔 145. La correa de un acelerador de Van de Graaff transporta una densidad de carga superficial de 5 mC/m2. La correa tiene una anchura de 0,5 m y se mueve a 20 m/s. a) ¿Qué corriente transporta? b) Si esta carga ha de elevarse hasta un potencial de 100 kV, ¿cuál es el menor valor de la potencia del motor para accionar la corriente? a) 𝟓𝟓 𝒎𝒎𝑪𝑪 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟓𝟓 𝒎𝒎∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 −𝟐𝟐 𝑪𝑪 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝑪𝑪 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟓 𝑪𝑪 𝒔𝒔 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟓 𝑨𝑨 b) 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟓 𝑪𝑪 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐𝒆𝒆 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱𝑱 𝒔𝒔 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑾𝑾 146. Los grandes electroimanes convencionales utilizan la refrigeración con agua para evitar el excesivo calentamiento de los arrollamientos. Uno de estos electroimanes utiliza una corriente de 100 A cuando se aplica un voltaje de 240 V a los terminales de la bobina de excitación. Para refrigerar las bobinas, circula agua a una temperatura inicial de 15º C a través de ellas. ¿Cuántos litros por segundo deben pasar a través de las bobinas para que la temperatura de éstas no exceda los 50º C? 𝑸𝑸 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒄𝒄𝒏𝒏 ∗ ∆𝑻𝑻 𝑷𝑷 = 𝒅𝒅𝑸𝑸 𝒅𝒅𝒏𝒏 = 𝒅𝒅𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒏𝒏 ∗ 𝒄𝒄𝒏𝒏 ∗ ∆𝑻𝑻 𝒅𝒅𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒏𝒏 = 𝑷𝑷 𝒄𝒄𝒏𝒏∗∆𝑻𝑻 = 𝑰𝑰∗∆𝒆𝒆 𝒄𝒄𝒏𝒏∗∆𝑻𝑻 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟐𝟐𝟕𝟕𝟎𝟎 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟖𝟖𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐∗(𝟓𝟓𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟓𝟓) = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟔𝟔𝟕𝟕 𝒌𝒌𝒈𝒈/𝒔𝒔 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟔𝟔𝟕𝟕𝒌𝒌𝒈𝒈 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏 𝑳𝑳 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒈𝒈 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟔𝟔𝟕𝟕 𝑳𝑳/𝒔𝒔 147. En la figura se muestra la base del circuito de barrido utilizado en un osciloscopio. S es un interruptor electrónico que cierra el circuito siempre que el potencial entre sus terminales alcanza un valor Vc y lo abre cuando el potencial ha caído a 0.2 V. La fem 𝜺𝜺, mucho mayor que Vc, carga el condensador C a través de una resistencia R1. La resistencia R2 representa la resistencia pequeña, pero finita del interruptor electrónico. En un circuito típico, 𝜺𝜺 = 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝒆𝒆 , 𝒆𝒆𝒄𝒄 = 𝟕𝟕.𝟐𝟐 𝒆𝒆,𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏 𝛀𝛀,𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟓𝟓 MΩ y C=0.02 µF. a) ¿Cuál es la constante de tiempo para la carga del condensador? b) Demostrar que durante el tiempo necesario para que se alcance el potencial crítico Vc=4.2 V entre los bornes de S, el voltaje a través del condensador crece casi linealmente con el tiempo. (Recomendación: Utilizar el desarrollo de la exponencial para valores pequeños del exponente). c) ¿Cuál debería ser el valor de R1 para que C se cargue de 0,2 a 4,2 V en 0,1 s? d) ¿Cuánto tiempo transcurre durante la descarga de C a través del interruptor S? e) ¿A qué ritmo se disipa la potencia en la resistencia R1 y en la resistencia del interruptor? a) 𝝉𝝉 = 𝑹𝑹𝟏𝟏 ∗ 𝑪𝑪 = 𝟎𝟎.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒔𝒔 b) 𝒆𝒆(𝒏𝒏) = 𝜺𝜺 ∗ (𝟏𝟏 − 𝒏𝒏− 𝒏𝒏𝝉𝝉) 𝒏𝒏− 𝒏𝒏𝝉𝝉 = 𝟏𝟏 − 𝒆𝒆(𝒏𝒏) 𝜺𝜺 𝒆𝒆(𝒏𝒏) 𝜺𝜺 = 𝜼𝜼 𝒏𝒏 𝒏𝒏𝝉𝝉 = (𝟏𝟏 − 𝜼𝜼)−𝟏𝟏 Como 𝜼𝜼 ≪ 𝟏𝟏: (𝟏𝟏 − 𝜼𝜼)−𝟏𝟏 ≈ 𝟏𝟏 + 𝜼𝜼 𝒏𝒏 𝒏𝒏𝝉𝝉 = 𝟏𝟏 + 𝒏𝒏 𝝉𝝉 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ! ∗ �𝒏𝒏 𝝉𝝉 � 𝟐𝟐 +⋯~𝟏𝟏+ 𝒏𝒏 𝝉𝝉 por ser t<<𝝉𝝉 . 𝟏𝟏 + 𝒏𝒏 𝝉𝝉 ≈ 𝟏𝟏 + 𝜼𝜼 = 𝟏𝟏+ 𝒆𝒆(𝒏𝒏) 𝜺𝜺 𝒆𝒆(𝒏𝒏) = 𝜺𝜺 𝝉𝝉 ∗ 𝒏𝒏 c) 𝚫𝚫𝒆𝒆(𝒏𝒏) = 𝜺𝜺 𝝉𝝉 ∗ 𝚫𝚫𝒏𝒏 = 𝜺𝜺 𝑹𝑹𝟏𝟏∗𝑪𝑪 ∗ 𝚫𝚫𝒏𝒏 149. Si el condensador del circuito de la figura del problema 114 se reemplaza por una resistencia de 30 Ω, ¿qué corrientes fluirán a través de las resistencias? La intensidad por la pila es I1, Por la resistencia de 10 Ω I2, por la de 40 Ω I3, por R I4 hacia la derecha, por la de 80 Ω I5 y por la de 20 Ω I6. Para los nudos: 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟕𝟕 + 𝑰𝑰𝟓𝟓 𝑰𝑰𝟐𝟐 + 𝑰𝑰𝟕𝟕 = 𝑰𝑰𝟔𝟔 Para las mallas: 𝟐𝟐𝟔𝟔 − 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 − 𝑰𝑰𝟓𝟓 ∗ 𝟖𝟖𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 −𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟕𝟕𝟎𝟎+ 𝑰𝑰𝟕𝟕 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎 − 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 −𝑰𝑰𝟕𝟕 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎 − 𝑰𝑰𝟔𝟔 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎+ 𝑰𝑰𝟓𝟓 ∗ 𝟖𝟖𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐 𝑨𝑨; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟓𝟓𝑨𝑨; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟖𝟖; 𝑰𝑰𝟕𝟕 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟗𝟗 𝑨𝑨; 𝑰𝑰𝟓𝟓 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟔𝟔 𝑨𝑨; 𝑰𝑰𝟔𝟔 = 𝟎𝟎.𝟖𝟖𝟕𝟕 𝑨𝑨 150. Dos baterías de fems 𝜺𝜺𝟏𝟏 y 𝜺𝜺𝟐𝟐 de resistencias internas r1 y r2 se conectan en paralelo. Demostrar que la resistencia de carga óptima (para la cesión de potencia máxima) R conectada en paralelo con esta combinación es 𝑹𝑹 = 𝑪𝑪𝟏𝟏𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 . 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝜺𝜺𝟏𝟏 − 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 − 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑪𝑪𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝜺𝜺𝟐𝟐 − 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 − 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 De estas ecuaciones obtenemos I3: 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝜺𝜺𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐+𝜺𝜺𝟐𝟐∗𝑪𝑪𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐+(𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐)∗𝑹𝑹 𝑷𝑷𝑹𝑹 = 𝑰𝑰𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 = � 𝜺𝜺𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐+𝜺𝜺𝟐𝟐∗𝑪𝑪𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐+(𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐)∗𝑹𝑹 � 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 = �𝜺𝜺𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐+𝜺𝜺𝟐𝟐∗𝑪𝑪𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 � 𝟐𝟐 ∗ � 𝑹𝑹 (𝑹𝑹+𝑨𝑨)𝟐𝟐 � ;𝑨𝑨 = 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 𝒅𝒅𝑷𝑷 𝒅𝒅𝑹𝑹 = 𝟎𝟎 ; 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑹𝑹 � 𝑹𝑹 (𝑹𝑹+𝑨𝑨)𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎 (𝑹𝑹+𝑨𝑨)𝟐𝟐 ∗𝟏𝟏−𝟐𝟐∗(𝑹𝑹+𝑨𝑨)∗𝑹𝑹 (𝑹𝑹+𝑨𝑨)𝟕𝟕 = (𝑹𝑹+𝑨𝑨)−𝟐𝟐∗𝑹𝑹 (𝑹𝑹+𝑨𝑨)𝟐𝟐 𝟎𝟎 ; (𝑹𝑹 + 𝑨𝑨) − 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟎𝟎 𝑹𝑹 = 𝑨𝑨 = 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑷𝑷𝒏𝒏𝑪𝑪𝒏𝒏 𝒗𝒗𝒏𝒏𝑪𝑪𝒎𝒎𝒇𝒇𝒎𝒎𝒄𝒄𝒏𝒏𝑪𝑪 𝒒𝒒𝑪𝑪𝒏𝒏 𝒔𝒔𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒎𝒎á𝒅𝒅𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎: 𝒅𝒅𝟐𝟐𝑷𝑷 𝒅𝒅𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑹𝑹 �(𝑹𝑹+𝑨𝑨)𝟐𝟐 ∗𝟏𝟏−𝟐𝟐∗(𝑹𝑹+𝑨𝑨)∗𝑹𝑹 (𝑹𝑹+𝑨𝑨)𝟕𝟕 � = 𝟐𝟐∗𝑹𝑹−𝟕𝟕∗𝑨𝑨 (𝑹𝑹+𝑨𝑨)𝟕𝟕 𝒅𝒅𝟐𝟐𝑷𝑷 𝒅𝒅𝑹𝑹𝟐𝟐 (𝑹𝑹 = 𝑨𝑨) = −𝟐𝟐∗𝑨𝑨 (𝑹𝑹+𝑨𝑨)𝟕𝟕 < 𝟎𝟎 ;𝒎𝒎á𝒅𝒅𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 151. Los condensadores C1 y C2 están conectados en paralelo con una resistencia y dos interruptores tal como muestra la figura. El condensador C1 está inicialmente cargado con un voltaje Vo y el condensador C2 está sin carga. Los interruptores s se cierran entonces. a) ¿Cuáles son las cargas finales sobre C1 y C2? b) Comparar las energías inicial y final almacenadas en el sistema. c) ¿Cuál es la causa de la disminución de la energía almacenada en los condensadores? a) Sean Q1 y Q2 las cargas finales de los capacitores C1 y C2. Si se sabe que la carga se conserva a medida que se redistribuye a los dos capacitores y que las diferencias de potencial del estado final entre los dos capacitores serán las mismas, podemos obtener dos ecuaciones de las incógnitas Q1 y Q2 que podamos resolver simultáneamente. 𝑸𝑸𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟏𝟏 = 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑸𝑸 = 𝑪𝑪𝟏𝟏 ∗ 𝒆𝒆𝒎𝒎 = 𝑸𝑸𝟏𝟏 +𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟐𝟐 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 +𝑸𝑸𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝟏𝟏 ∗ 𝒆𝒆𝒎𝒎 ; 𝑸𝑸𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 ∗ 𝒆𝒆𝒎𝒎 𝑸𝑸𝟏𝟏 = 𝑪𝑪𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 ∗ 𝒆𝒆𝒎𝒎 ç b) 𝑬𝑬𝒎𝒎 𝑬𝑬𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝒆𝒆𝒎𝒎 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗ 𝑸𝑸𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏+ 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝒆𝒆𝒎𝒎𝟐𝟐 � 𝑪𝑪𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 ∗𝒆𝒆𝒎𝒎� 𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏 + ( 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 ∗𝒆𝒆𝒎𝒎)𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 + 𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏 c) La causa es la energía disipada por la resistencia por efecto Joule. 152. a) En el problema 151 determinar la intensidad de corriente que circula por R en función del tiempo. b) Determinar la energía total disipada en función del tiempo. c) Determinar la energía total disipada y compararla con la pérdida de energía almacenada, deducida en la parte (b) del problema 151. a) Aplicando Kirchhoff: 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟏𝟏 − 𝑰𝑰 ∗ 𝑹𝑹 − 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 Utilizando para la intensidad: 𝑰𝑰 = 𝒅𝒅𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 . 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟏𝟏 − 𝑰𝑰 ∗ 𝒅𝒅𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 − 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 La carga inicial en C1 es Q, por ello: 𝒒𝒒𝟏𝟏 = 𝑸𝑸 − 𝒒𝒒𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝟏𝟏 ∗ 𝒆𝒆𝒎𝒎 − 𝒒𝒒𝟐𝟐. 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝒆𝒆𝒎𝒎−𝒒𝒒𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏 − 𝒅𝒅𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 ∗ 𝑹𝑹 − 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝒆𝒆𝒎𝒎 − 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏 − 𝒅𝒅𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 ∗ 𝑹𝑹 − 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 ;𝑹𝑹 ∗ 𝒅𝒅𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 + 𝒒𝒒𝟐𝟐 ∗ � 𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝑪𝑪𝟐𝟐 � = 𝒆𝒆𝒎𝒎 𝑹𝑹 ∗ 𝒅𝒅𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 + 𝒒𝒒𝟐𝟐 ∗ � 𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐 � = 𝒆𝒆𝒎𝒎 La solución de la ecuación diferencial tiene la forma: 𝒒𝒒𝟐𝟐 = 𝒏𝒏 + 𝑪𝑪 ∗ 𝒏𝒏−𝒏𝒏/𝝉𝝉 𝒅𝒅𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒏𝒏 = −𝑪𝑪 𝝉𝝉 ∗ 𝒏𝒏−𝒏𝒏/𝝉𝝉 𝑹𝑹 ∗ �− 𝑪𝑪 𝝉𝝉 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝝉𝝉�+ �𝒏𝒏+ 𝑪𝑪 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝝉𝝉� ∗ �𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐 � = 𝒆𝒆𝒎𝒎 �− 𝑹𝑹 𝝉𝝉 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝝉𝝉� ∗ 𝑪𝑪 + �𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐 � ∗ 𝒏𝒏 + � �𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐 � ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝝉𝝉� ∗ 𝑪𝑪 = 𝒆𝒆𝒎𝒎 De esto se deduce: 𝒏𝒏 = 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 ∗ 𝒆𝒆𝒎𝒎 = 𝑪𝑪𝒏𝒏𝒒𝒒 ∗ 𝒆𝒆𝒎𝒎 �− 𝑹𝑹 𝝉𝝉 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝝉𝝉� ∗ 𝑪𝑪 + � �𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐 � ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝝉𝝉� ∗ 𝑪𝑪 = 𝟎𝟎 �− 𝑹𝑹 𝝉𝝉 ∗ 𝒏𝒏− 𝒏𝒏 𝝉𝝉� + � �𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐 �� = 𝟎𝟎 𝝉𝝉 = 𝑹𝑹 ∗ 𝑪𝑪𝟏𝟏∗𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟏𝟏+𝑪𝑪𝟐𝟐 = 𝑹𝑹 ∗ 𝑪𝑪𝒏𝒏𝒒𝒒