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¡Descarga como desbloquear archivos de docsity gratiscomo desbloquear archivos de docsity gratiscomo y más Exámenes en PDF de Mecánica solo en Docsity! OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO 523 Dar un ejemplo de funcional lineal $ en V para el que no se cumpla el Teorema 14.3, o sea, tal que no exista un polinomio h(t) para el cual b(f) =<f, hy» para todo feV. Definamos p:V—=R por p(/) =J(0), es decir, evalúa f(r) en 0 y por tanto aplica f(t) en su término constante. Supongamos que existe un polinomio h(t) para el cual $N=/0 = [somo de U] para lodo polinomio f(t). Observemos que / aplica el polinomio tf (1) en 0; de aquí, por [1], [oro di=0 2] para todo polinomio f(t). En particular, [2] debe verificarse para /(1) = 1h(t), esto es, 1 [ PH) de =0 Esta integral hace que h(t) sea el polinomio cero, luego ($) =<f. > =<f, 0) 0 para todo polinomio f(t). Esto contradice el hecho de que $ no es el funcional cero; por consiguiente, no existe el polinomio h(1). PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS OPERADORES ADJUNTOS 14.25. 14.26. 14.27. 14.28. Hallar la adjunta de cada una de las siguientes matrices: S-2i 347 3 Si 1 1 = , b) de , C= aa a E) ) B ( E o) 6 ,) Definasc T:R*=R3 por T(x, y, 2) = (x 1 2y, 3x — 4z, y). Mallar T*(x, y, 2). Definase T:C*= C3 por Tío, y. 2) = (dx +(2 + 30)y, 3x + (3 — dz, (2— Si)y + iz) Hallar 1'*(x, y, 2) Para cada uno de los siguientes funcionales lineales $ en V, encontrar un vector ue V tal que $(v) = (o, u) para todo ve V: a) (:R*=R definido por b(x, y, 2)=x +2y 32 b) p:C%=C definido por d(x, y, 2) =1x + (2 + 31)y + (1 —21)z. Cc) p:V=R definido por p(f) = (1), donde V es el espacio vectorial del Problema 14.24.  524 14.29, 14.30. 14,31. ALGEBRA LINEAL Supóngase que Y tiene dimensión finita. Demostrar que la imagen de T* es el complemento ortogonal del núcleo de T, o sea, Im T* = (Ker T)!. Por tanto, rango T= rango T*. Mostrar que T*T'— 0 implica T= 0. Sea V el espacio vectorial de los polinomios sobre R con producto interno definido según <(f. 0 =Lf09() dt. Sca D cl operador derivada cn V, es docir, D(f) = df/dt. Probar que no hay ningún operador D* en Y tal que <D(f), 9» — <f, D*(g)> para todos los f, ge V. Esto cs, D no tiene adjunto. OPERADORES Y MATRICES UNITARIOS Y ORTOGONALES 14.32. 14,33, 14,34, 14.37. 14.38. 14.39, Hallar una matriz unitaria (ortogonal) cuya primera fila sea: ad QB3I/B, 5D) un múltiplo de (1,1-D, 0) (4, 1-1 Demostrar la siguiente afirmación: Los productos y las inversas de las matrices ortogonales son ortogonales. (Las matrices ortogonales forman, pues, un grupo bajo el producto, llamado el grupo ortogonal.) . Demostrar la siguiente afirmación: Los productos y las inversas de las matrices unitarias son unitarias. (Las matrices unitarias forman, pues, un grupo bajo el producto, llamado el grupo unitario.) Mostrar que sí una matriz ortogonal (unitaria) es triangular, es necesariamente diagonal. Recuérdese que dos matrices complejas A y B son unitariamente equivalentes si existe una matriz unitaria P tal que B— P*AP. Probar que ésta cs una relación de equivalencia. Recuérdese que dos matrices reales A y B son ortogonalmente equivalentes si existe una matriz ortogonal P tal que B= PT AP. Probar que ésta es una relación de equivalencia. Sea W un subespacio de V. Para cualquier ve Y. sca v=w + w con weW, we W!. (Tal suma es única porque V= WO W-.) Definase T: V> Y por T(v) = w — w'. Mostrar que Tes un operador autoadjunto unitario cn V. Seca V un espacio con producto interno y supóngase que U: Y > V (no necesariamente lineal) es suprayectivo y preserva los productos internos, o sea, <U(v), U(w)> — <v, w)> para todo par de vectores v, we V. Demostrar que U es lineal y por tanto unitario OPERADORES POSITIVOS Y DEFINIDOS POSITIVOS 14.40. 14.41. 14.42. Probar que la suma de dos operadores positivos (definidos positivos) es positiva (definida positiva). Sea 7 un operador lineal en Y y defínase f: Vx V> K por f(u, v) = <T(w), u). Probar que f es a su vez un producto interno en V si y sólo si T es definido positivo. Supóngase que E es una proyección ortogonal sobre algún subespacio W de V. Demostrar que kI + E es positivo (definido positivo) si k > 0 (k > 0).  OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO 527 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 14.25. 14.26. 14.77. 14.28. 14.32. 14,45. 14,54, 14.55. aa? "Laa 9 dia) Tx, y, 2) =(x + 3y,2x + z, —4y). Tx, y, 2) = (—ix + 3y, (Q — 31)x + (2 + Si)z, (3 + iy — iz). 2) u=(12-3) —b) u=(-12-3,142) c) u=(18%—8t+13)15. ti —$ A e e lia Sólo i) y v) son positivas. Más aún, v) es definida positiva. 2/5 1145 ( UY5 ER ( 3//10 —1/,/10 . a) P= Lo 5 P= . P= ] e ( Yy5 20h) ) -143 245 ds 1/4/10 31/10 0) BIO y AI, by NS, y = (+ 25. = x10/3 + YA + 2/8, y= 1/3 - yA + 2/,/6, 2= X1/3 => 27/,/6. Pa (MA a PRap= ( +1 0 ) WA 12 Dr me APENDICE 541 Sea M un módulo sobre R. Un subgrupo aditivo N de M se llama un submódulo de M si uEN y keR implican kue N. (Notamos que N es entonces un módulo sobre R.) Sean M y M' dos R-módulos. Una aplicación T:M=>M' se llama un homomorfismo (o también R-homomorfismo o R-lineal) si 9 T(u+0)=T(0) +T() y di T0u)=kT(w) para todo u, ve M y todo keR. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS eco GRUPOS 1. Determinar cuáles de los siguientes sistemas forman un grupo G: 1) G = conjunto de los enteros, operación sustracción. ñi) G=(1, —1), operación multiplicación. iii) G = conjunto de los números racionales diferentes de cero, operación división. im G v) G=Íla+biza, be conjunto de las matrices no singulares nx n, operación multiplicación de matrices ), operación adición. 2. Mostrar que en un grupo G 1) el elemento identidad de G es único; li) cada aeG tiene un inverso Único a e Y (a) =a y (aby = ba iv) ab =ac implica b=c y ba= ca implica h= 3. En un grupo G, las polencias de aeG se definen por 4=e 0 =a0* a "=(a%) *, donde neN Mostrar que las fórmulas siguientes se cumplen para enteros arbitrarios r, s, teZ: i) ata =a*, ii) (Y = 4%, 1i) (ay =artw, 4. Mostrar que si G es un grupo abeliano, entonces (ab)"=a"b" para todo a, bcG y cualquier en: lero neZ 5. Supongamos que G es un grupo tal que (ab)? = a?b? para todo a, beG. Mostrar que G cs abcliano. 6. Supongamos que Á es un subconjunto de un grupo G. Mostrar que H es un subgrupo de G si y sólo si: 1) H es no vacio, ii) a, be H implica ab *sH. 7. Demostrar que la intersección de cualquicr número de subgrupo de G también cs un subgrupo de G.  542 ALGEBRA LINEAL 8. 9. Mostrar que el conjunto de todas las potencias de ae G es un subgrupo de G; éste se llama el grupo cíclico generado por q. Se dice que un grupo G es cíclico si G es generado por algún aeG, esto es, G= que cualquier subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. ¿nc Z). Mostrar Supongamos ue G es un grupo cíclico. Mostrar que G es isomorfo al conjunto Z. de los enteros para la adición o al conjunto Z, (de los enteros múdulo n) para la adición. Sea H un subgrupo de G. Mostrar que los cogrupos a derecha (a izquierda) de H particionan a G en subconjuntos disjuntos dos a dos. El orden de un grupo G denotado por |G| es el número de elementos de G. Demostrar el teorema de Lagrange: Si H es un subgrupo de un grupo finito G, entonces |H| divide a |G|. Supongamos que |G| = p, dunde p es primo. Mostrar que G es cíclico. Supongamos que H y N son dos subgrupos de G con N normal. Mostrar que: i) HN es un subgrupo de 6, ii) HEN N es un subgrupo normal de G. Sea H un subgrupo de G con dos cogrupos únicamente a derecha (a izquierda). Mostrar que H es un subgrupo normal de G. Demostrar el Teorema 1: Sea H un subgrupo normal de G. Entonces los cogrupos de H en G forman un grupo G/1] para la multiplicación de cogrupos. Supongamos que G es un grupo abeliano. Mostrar que cualquier grupo factor G/H también es abe- liano. Sca f:G =G' un homomorfismo de grupos. Mostrar que 1) J(e) =é, donde e y e son los elementos idénticos de G y G' respectivamente; i) f(a7*)=f(a)”* para todo aeG. Demostrar el Teorema 2: Sea f: G > G' un homomorfismo de grupos con núcleo K. Entonces K es un subgrupo normal de G y el grupo cociente G/K es isomorfo a la imagen de Le Sca G el grupo multiplicativo de los números complejos z tales que || = 1 y sea R el grupo aditivo de los números reales. Probar que G es isomorfo a R/Z. Para un elemento fijo ge G sea $: => G definida por ¿(a) = g” lag. Mostrar que j es un isomorfismo de G sobre G. Sea G el grupo multiplicativo de las matrices n x n no singulares sobre R. Mostrar que la aplicación A'>|4] es un homomorfismo de ( en el grupo multiplicativo de los números reales diferentes de cero, Sea G un grupo abeliano. Para un elemento fijo neZ, mostrar que la aplicación aa" es un hormnomorfismo de G en G. Supongamos que H y N son dos subgrupos de G con N normal. Probar que HN N es normal en H y HH ON) es isomorto a HN/N. DETERMINANTES 325 luego para todo par de escalares s, ¿eR, C Cz =cy(sa, + tb,)= say + tb, sa + dE) 50, +10) = s(c,47) + H(c1b3) =D(C, A) + 1D(C, B) 004418) = 0 Es decir, D es lineal con respecto a la segunda fila. Las dos condiciones de linealidad implican que D es 2-lineal. 7.53. Sea D una función 2-lineal, alternada. Mostrar que D(A, B) = —D(B, A). Con mayor generalidad, probar que si D es multilineal y alternada, DC... Aj... B,..)=—D(.., B,..., A, ..) esto es, el signo varía cada vez. que se intercambian dos variables. Siendo D alternada, D(A + B, A + B)=0. Además, como D es multilineal, 0=D(A+B, A+ B)=D(4, A+ B)+ D(B, A+ B)= = DÍA, A) + D(A, B) + D(B, A) + D(B, B) Pero D(A, A) =0 y D(B, B) — 0. De aquí D=D(A, B)+D(B,A) o D(A,B)=—D(B, A) | De forma similar, oo AA Bo : | l | | | o) AD A, “Deir Br...) + DÍ... B, yasí Ds Ay 0 Bs DBA de PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS CALCULO DE DETERMINANTES 7.54. Calcular el determinante de cada matriz: Z 1 1 3-2 -—4 -2 -1 4 7 6 5 a j0 s —2], b (2 5 -1], e 6 -3 —-2], Do ft 2 1 -3 4, o 6 1 4 1 2, 3-2 l 7.55. Evaluar el determinante de cada matriz: t-2 4 3 t-1 3 3 t+43 -1 1 | toto 2), b|-3 088 -3L 9l|7 1 0. 0 1-4 6 6 y-4 6 6 t+2 | 326 ALGEBRA LINEAL 7.56. Para cada una de las matrices del Problema 7.55, determinar aquellos valores de + para los que cl determinante es nulo. 1 2 2 3 2 1 3 2 7.57. Evaluar el determinante de cada matriz: a) 1 a » , b) + 9 1 ; 3 =1 1 =2 1 1 4 3 4-3 0 2 2 2-1 1 7.58. Evaluar cada uno de los determinantes: 1 2 -1 3 1 1 35 7 3 1.2.3.4 5 2 -—1 1-2 3 2.4 2. 4 2 304 3 2-01 a) 3 1 0 2 -—Al b |0 0 1 2 31, ajo 0 6 5 L 5 1 2-3 4 0.0 5 6 2 0.0 0 7 s| | Y 3 1 il 2 0.0 2 3 1 0.0 0 2 3 | | Ñ COFACTORES. ADJUNTOS CLASICOS. INVERSAS | Ñ 122 7.59. Sea A=|3 1 0]. Hallar: a) ad; 4. b) 47?. 1.11 ' | 7.60. | 7.61. 7.62. Hallar el adjunto clásico de cada una de las matrices del Problema 7.57. Determinar la matriz 2 por 2 general A para la que A = adj A. Supóngase que A es diagonal y B triangular; por ejemplo, a 0 0 qu 0 a 0 y 0.0... a) 0 Mos iba a) Probar que adj A es diagonal y adj B triangular. b) Mostrar que B es invertibls si y sólo si todos los b, + 0, de modo que A es invertible si y sólo si todos los a, % 0. e) Probar que las inversas de A y B (si existen) son de la forma 1 O sea, los elementos diagonales de 47! y B7 correspondientes de A y B. son los inversos de los elementos diagonales DETERMINANTES 327 DETERMINANTES Y ECUACIONES LINEALES 7.63. Resolver por determinantes: a) 2% IPS —l Ax + 7y=-1' 2x—Sy+22=7 2243 = y+3x 7.64. Resolver por determinantes: a) x42y-d2=3, bh) x-32=2y+1. -2x 3x —4y—62=5 dy+ z 7.65. Demostrar el Teorema 7.11. PERMUTACIONES 7.66. Determinar la paridad de las permutaciones de S,: a) 0 — 32154, b) 1 — 13524, c) n — 42531. 7.67. Para las permutaciones y. t y x del Problema 7.66, hallar: a) toc, b) x0o,c)0 *,d) 1! 7.68. Sea reS,. Probar que tec recorre S, a medida que lo hace a; es decir, S, =/1>0:0€8S,) 7.69. Supóngase que 0 €S, tiene la propiedad de que o(n) = 1. Definase 0*eS,_, por o*(x) = a(x). a) Probar que sgn o* = sgn o. b) Probar que al recorrer 9 S,,, con o(n) =m, a* recorre S,_,; 0sto Cs, Sp-1 7 L0*:0€8,, o(n) — 1). 7.70. Considérese una permutación o =j,j, -** jy. Sean [e,) la base usual de K” y A la matriz cuya fila i-ésima es e, por ejemplo, A = (e;, .:=, €j,). Mostrar que |4] =sgn «. de PROBLEMAS VARIOS 7.71. Hallar el volumen V(S) del paralclepipedo S en R* determinado por los vectores: a)u, =(1,2, -3),u, (3,4, —),u¿=(2, —1,5) b)u, =(1,1,3)u,=(1, —2, - 4), 4,=(4,1, 2). 7.72. Hallar el volumen V(S) del paralelepípedo S en R* determinado por los vectores: 4=(1-25-D u4=01-21) m=(.01,-2) — u=(,-14-1 7.73. Encontrar el menor M,, el menor con signo M, y el menor complementario My de 42, donde: 1.02. 3 2 O 1. 0-2 3 2 a A = 2 A DMA mos 4-3 0-1 300 5-2 7.74. Para k= 1,2, 3, hallar la suma S, de los menores principales de orden k de: 1.0.3 2 1 05 -4 L 4 8 a A=|2 -4 3), by B=Í2 6 1, e C=l2 1 5 5-2 1 32 0 4-7 1 V