¡Descarga conjuntos y logica . y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! 10/06/2023 Conjuntos 1. Def. Conjunto: agrupación de objetos (también conocidos como ele- mentos). 2. Formas de representar un conjunto: Diagrama de venn, extensión, com- prensión. 2.1. Diagrama de Venn: en una figura donde encerramos los elementos (gráficamente). 2.2. Extensión: N = {1, 2, 3, 4, 5, · · · }; todos los elementos están enumera- dos. 2.3. Comprensión: B = x|x ∈ 2Z; etiquetamos todos los elementos por medio de una propiedad. 3. Cantidad de elementos de un conjunto (el número de elementos que hay en un conjunto): cardinalidad. Se denota |X| o N(X). Por ejemplo, la cardinalidad del conjunto A = 1, 2, 3, 4 es 4. 4. Pertenencia: ∈. Por ejemplo nosotros decimos 2 ∈ A o 5 /∈ A. 5*. Un poco de lógica: 5.1* Implicación =⇒ . Se usa aśı A =⇒ B y se lee “Si Aentonces B” o “A implica B”. 5.2.* Bicondicional ⇐⇒ . Se usa aśı A ⇐⇒ B y se lee “Asi y sólo si B”. 5.3* Conjunción ∧. Se usa aśı A ∧B y se lee “A y B”. 5.4* Disjunción ∨. Se usa aśı A ∨B y se lee “A o B”. 5.5* Cuantificador universal ∀. Se usa aśı ∀x ∈ P (x)y se lee “Para todo x en P (x)”. 5.6* Cuantificador existencial ∃. Se usa aśı ∃x ∈ P (x) y se lee “Existe al menos un/un x en P (x)”. 5. Operaciones entre conjuntos. 5.1. Subconjunto. A ⊆ B ⇐⇒ ∀x(x ∈ A =⇒ x ∈ B). Ejercicio. Sea B = {2, 3, 4} y sea A = {2, 3}. ¿Se cumple que A ⊆ B? Solución. - De acuerdo a la definición, hay que tomar 2 ∈ A y el 3 ∈ A, entonces debemos mostrar que 2 ∈ B y 3 ∈ B. Nosotros podemos ver que efectivamente el 2 ∈ B y 3 ∈ B. Entonces la implicación SIEMPRE es cierta. Por lo tanto A ⊆ B. Ejercicio. Sea B = {2, 3, 4} y sea A = {2, 3, 5}. ¿Se cumple que A ⊆ B? Solución. - De acuerdo a la definición hay que tomar 2 ∈ A y 3 ∈ A y 5 ∈ A, entonces debemos verificar si 2 ∈ B y 3 ∈ B y 5 ∈ B. Nosotros podemos que efectivamente que se cumple que 2 ∈ B y 3 ∈ B. Pero 5 /∈ B. Por lo tanto la implicación NO SIEMPRE es cierta. Por lo tanto Ano es subconjunto de B. 1 5.1. Igualdad entre conjuntos A = B ⇐⇒ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) Ejercicio. Sea B = {2, 3, 4} y sea A = {2, 3}. ¿Se cumple que A = B? Solución. - De acuerdo a la definición A = B si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A. - A ⊆ B: desde que 2 ∈ A y 3 ∈ B, entonces debemos verificar que 2 ∈ B y 3 ∈ B y esto en efecto ocurre. - B ⊆ A: desde que 2 ∈ B y 3 ∈ B y 4 ∈ B, entonces debemos verificar que 2 ∈ A y 3 ∈ A y 4 ∈ A esto no siempre es cierto porque de hecho el 4 /∈ A. Por lo tanto B no es subconjunto de A. Aśı A 6= B. 5.2 Conjunto Potencia. Es el conjunto de todos los subcojuntos (propios o no) de un conjunto. Se suele escribir como P (X) y se lee “el conjunto potencia de X”. Ejercicio. Determinar el conjunto potencia de A = a, b, c. Solución. P (A) = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}.{a, c}, A, ∅} 5.2.1. Teorema asociado a los conjuntos potencia. Si X un conjunto finito (que tiene una cantidad finita de elementos) con N(X) = n, entonces la cardinalidad del conjunto potencia es dada por 2n. Es decir N(P (X)) = 2N(X) = 2n. 5.3. Unión entre conjuntos. A ∪B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} Ejercicio. Sea A = {1, 3, 5} y B = {4, 5, 6}. Calcular A ∪B. Solución. A ∪B = {1, 3, 5, 4, 6} 5.4. Intersección entre conjuntos. A ∩B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} Ejercicio. Sea A = {1, 3, 5} y B = {4, 5, 6}. Calcular A ∩B. Solución. A ∩B = {5} 5.5. Complemento relativo/diferencia entre conjuntos. A−B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B} 2
