contiene una serie de temas relacionados con la economía, Esquemas y mapas conceptuales de Economía

¡Descarga contiene una serie de temas relacionados con la economía y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Economía solo en Docsity! Lectura: INTRODUCCIÓN A LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS Extraído del libro: GOULD, EPPEN, SCHMIDT (2000), Investigación de operaciones en la ciencia administrativa, 5ta. Edición, México. Prentice Hall. Parte 1 L O S M O D E L O S Y S U C O N S T R U C C I Ó N En esta parte iniciamos nuestro enfoque con la cons- trucción de modelos en Excel, los cuales se presentan como un apoyo para las decisiones administrativas. Nuestro enfoque consistirá en desarrollar un modelo de una situación administrativa en Excel, analizar dicho modelo con las herramientas de este programa y finalmente tomar una decisión basada en ese análisis. Los primeros capítulos estarán dedica- dos a estudiar un tipo de modelos conocidos como determinis- tas. Por eso tiene sentido preguntar: “¿Qué entendemos por de- terminista?” La palabra determinista significa que todos los aspectos del modelo ya se conocen con certeza. Si se trata de un modelo de pla- neación de la producción, por ejemplo, se supondrá que sabemos exactamente en cuánto tiempo se produce una parte en particu- lar, digamos 20 minutos, o el equivalente de tres partes por hora. En esas condiciones, sabremos que en ocho horas de trabajo será posible producir: 8 horas * 3 partes por hora = 24 partes. Todos hemos usado modelos deterministas. Desde la prime- ra vez que dedujimos que cinco piezas de una golosina, que ven- dían a cinco centavos cada una, nos costarían 25 centavos, supi- mos el valor exacto de todos los factores que intervienen en nuestro análisis. De hecho, en forma natural tendemos a suponer que el mundo circundante es determinista. Sin embargo, al refle- xionar en el asunto, comprendemos que no es así. En el ejemplo anterior, sabemos que algunas de esas partes podrán fabricarse en 19 minutos y otras en 23. Tal vez nos basten 7 horas y 41 mi- nutos para producir nuestras 24 partes. Entonces, ¿qué objeto tiene utilizar modelos deterministas, si sabemos que no describen perfectamente la realidad? La respues- ta es sencilla: los modelos son útiles. Es posible que los modelos deterministas no sean perfectos, pero a menudo ofrecen una apro- ximación razonablemente aceptable a la realidad, y ello casi siem- pre es preferible a no tener algún modelo. Los resultados, que ta- les modelos nos ofrecen, compensan de sobra el tiempo y esfuerzo necesarios para su construcción y análisis. Por esta razón, los mo- delos deterministas son el caballo de batalla entre las aplicaciones de las hojas de cálculo electrónicas destinadas al análisis de situa- ciones administrativas.También es por eso que hemos dedicado las dos primeras partes de este libro a tal estudio. Más adelante, en la tercera parte, relajaremos nuestra suposición determinista e inclui- remos diferentes modelos en los que será necesario tomar en cuenta explícitamente la incertidumbre. Capítulo 1 Introducción a la construcción de modelos Capítulo 2 Construcción de modelos en hojas de cálculo electrónicas 1 toman decisiones para resolver los conflictos; las decisiones se ponen en práctica; y la organi- zación asume las consecuencias en forma de resultados, tomando en cuenta que no todos son monetarios. En este libro enfocaremos la construcción de modelos con hojas de cálculo electró- nicas como apoyo para la toma de decisiones; es decir, nos centraremos en las dos primeras eta- pas: el análisis de la situación y la toma de decisiones correspondiente. La figura 1.2 define el proceso de modelación aplicado a las dos primeras etapas que usa- remos en todo este libro. Observe que el diagrama está dividido en dos mitades, superior e infe- rior, separadas por una línea interrumpida. Debajo de dicha línea se encuentra el mundo real y caótico de todos los días, al cual se enfrentan los gerentes cuando están obligados a decidir có- mo lidiar con el reto de una situación, como por ejemplo a quién se le asignan los recursos pa- ra llevar a cabo las tareas, la programación de actividades o el diseño de una estrategia de co- mercialización. El proceso comienza en el ángulo inferior izquierdo, con el reto de la situación administrativa. Históricamente, los gerentes han dependido casi por completo de su propia intuición como el instrumento primario para tomar decisiones. Aunque la intuición es de gran valor, sobre todo en el caso de gerentes con experiencia, puede decirse que, por definición, está desprovista de un proceso analítico. Un administrador que basa la toma de decisiones solamente en la intuición no aprende, salvo por la retroalimentación que le proporcionan los resultados obtenidos, pero está demostrado que es una forma bastante cara e implacable. El proceso de modelación, representado por el “mundo simbólico” en la mitad de la figura ubicada sobre la línea interrumpida, recomienda un curso de acción para complementar (no sus- tituir) el uso de la intuición en la toma de decisiones. Esta ruta indirecta implica abstraer los as- pectos problemáticos de la situación administrativa en un modelo cuantitativo que represente lo más esencial de la situación. Una vez que el modelo (cuantitativo) ha sido construido, se somete a un análisis para ge- nerar resultados o conclusiones que emanen exclusivamente de él, es decir, sin considerar las abstracciones que hayamos realizado con anterioridad. A continuación se realiza la interpreta- ción de los resultados basados en el modelo, para relacionarlos de nuevo con la situación del mundo real, tomando en cuenta los factores que habíamos suprimido durante la fase previa de abstracción. Cuando a esto se agregan la intuición y la experiencia del gerente, el proceso de construcción del modelo conduce a mejores decisiones y aporta conocimientos que influyen en el proceso de aprendizaje. Como ilustra la figura 1.3, el proceso mismo de construcción del modelo no es una aplica- ción del método científico que se pueda dejar totalmente en manos de los especialistas. El buen juicio administrativo ilumina todos los aspectos del proceso. Por eso, la participación íntima del gerente en cada una de las fases del proceso de construcción del modelo es indispensable para el éxito en el mundo real. 4 FIGURA 1.1 Enfoque administrativo de la toma de decisiones FIGURA 1.2 El proceso de construcción de un modelo Situación administrativa Decisiones Implementación Resultados Situación administrativa Modelo Mundo simbólico Mundo real In te rp re ta ci ón Resultados Análisis Intuición Decisiones A bs tr ac ci ón Los administradores desempeñan un papel crucial durante la abstracción, la formulación del modelo, la interpretación y, más tarde, la ejecución de las decisiones. Por eso es esencial que usted comprenda 1. Qué tipos de situaciones administrativas se prestan a ser representadas con modelos, 2. Cuáles son las posibilidades de reunir o recuperar datos y analizar el modelo con miras a obtener recomendaciones o resultados (con una inversión razonable de tiempo y dinero), y 3. Qué puede hacer usted para extraer el mayor valor posible del modelo en cuanto a la inter- pretación del mismo, y la puesta en práctica de la decisión resultante. LOS MODELOS EN LA EMPRESA Los modelos suelen desempeñar diferentes papeles en distintos niveles de la empresa. En los ni- veles más altos, los modelos por lo común aportan información en forma de resultados y conoci- mientos, pero no necesariamente decisiones recomendables. Son útiles como instrumentos de planificación estratégica: ayudan a crear pronósticos, explorar alternativas, desarrollar planes pa- ra múltiples contingencias, acrecentar la flexibilidad y abreviar el tiempo de reacción. En niveles inferiores, los modelos se usan con más frecuencia para obtener decisiones recomendables. Por ejemplo, en muchas plantas las operaciones de la línea de montaje están totalmente automatiza- das. En algunos casos, como en el ejemplo de AT&T, las decisiones se desarrollan mediante un modelo de la operación y se llevan a cabo de inmediato, en todo ello la gerencia sólo participa de modo excepcional. Sin embargo, lo más común es que la aportación de la automatización a la construcción de modelos consista en facilitar la recopilación de datos acerca de las operaciones. Después los administradores emplean esos datos para la actualización periódica de su modelo en la hoja de cálculo electrónica. Más tarde, el modelo revisado vuelve a ser analizado para extraer de él nuevas recomendaciones que sustenten la toma de decisiones, después de lo cual tiene lu- gar la reinterpretación e implementación de nuevas decisiones por parte de la gerencia. Los modelos tienen distintas aplicaciones en los diferentes niveles de la empresa, por va- rias razones. A medida que se desciende en los niveles de una organización, las alternativas y los objetivos pueden volverse más claros. Es cada vez más fácil especificar cuantitativamente las interacciones, con frecuencia los datos precisos son más accesibles y el ambiente futuro im- plica menos incertidumbre. Además, la frecuencia de la toma de decisiones repetidas es alta, lo cual brinda la oportunidad de amortizar el costo del desarrollo del modelo y la recolección de datos entre muchas opciones para tomar una decisión. Por ejemplo, en el nivel más bajo de la jerarquía, las decisiones pueden referirse a cómo programar las operaciones de una máquina en particular. Sabemos qué productos serán fabricados en ella y los costos de los cambios necesa- rios para pasar de la fabricación de un producto a la de otro. La meta del modelo puede consis- tir en encontrar un programa de operaciones que produzca las cantidades necesarias en las fe- chas requeridas y minimice los costos por concepto de cambios y almacenaje. Compare usted la claridad y el carácter explícito de ese problema con una decisión de la al- ta gerencia de una empresa que vale muchos miles de millones de dólares, y por otro lado tiene que elegir entre “invertir y crecer” o “producir para generar ganancias inmediatas”. Por supues- to que los modelos se pueden aplicar también a estos problemas vastos y confusos, pero los pro- pios modelos están repletos de suposiciones cuestionables y de incertidumbre. En esos casos, determinar la validez del modelo, y entonces la concordancia con los objetivos puede ser una ta- rea tan difícil como encontrar la decisión apropiada. Capítulo 1 5 Introducción a la construcción de modelos FIGURA 1.3 El papel del juicio en el proceso de construcción del modelo Situación administrativa Modelo Mundo simbólico Mundo real In te rp re ta ci ón Resultados Análisis Juicio administrativo Intuición Decisiones A bs tr ac ci ón MODELOS Y GERENTES El número de formas en que los modelos se utilizan es tan abundante como el de las personas que los construyen. Se pueden usar para vender una idea o un diseño, para pedir las cantidades óptimas de medias nylon o para organizar mejor una gigantesca corporación multinacional. A pesar de esas diferencias, algunas generalidades son aplicables a todos los modelos creados co- mo apoyo para la toma de decisiones. Todos estos modelos ofrecen un marco de referencia pa- ra el análisis lógico y congruente, y se utilizan por siete razones cuando menos: 1. Los modelos lo obligan a usted a definir explícitamente sus objetivos. 2. Los modelos lo obligan a identificar y registrar los tipos de decisiones que influyen en di- chos objetivos. 3. Los modelos lo obligan a identificar y registrar las interacciones entre todas esas decisio- nes y sus respectivas ventajas y desventajas. 4. Los modelos lo obligan a pensar cuidadosamente en las variables que va a incluir, y a de- finirlas en términos que sean cuantificables. 5. Los modelos lo obligan a considerar qué datos son pertinentes para la cuantificación de di- chas variables y a determinar las interacciones entre ellas. 6. Los modelos lo obligan a reconocer las restricciones (limitaciones) pertinentes en los valo- res que esas variables cuantificadas pueden adoptar. 7. Los modelos permiten que usted comunique sus ideas y conocimientos, lo cual facilita el trabajo de equipo. De estas características se concluye que un modelo puede servir como una herramienta con- sistente para la evaluación y comunicación de diferentes políticas. Es decir, cada política o conjun- to de decisiones es evaluada con el mismo objetivo, aplicando las mismas fórmulas para describir interacciones y restricciones. Además, los modelos se pueden ajustar y mejorar en forma explíci- ta de acuerdo con la experiencia histórica, lo cual constituye una forma de aprendizaje adaptativo. Una consideración final: los modelos construidos en hojas de cálculo electrónicas brindan la oportunidad de hacer un uso sistemático de poderosos métodos analíticos que nunca antes ha- bían estado al alcance de los directores de empresas. Con esos recursos, ellos pueden manejar un gran número de variables e interacciones. Por sí sola, la mente es capaz de almacenar y co- municar sólo una fracción de esa información. 6 Parte 1 Los modelos y su construcción Los modelos nos permiten aprovechar la potencia analítica de las hojas de cálculo, la cual va de la mano con la velocidad de las computadoras para el almacenamiento de datos y la rea- lización de operaciones de cómputo. Un modelo es valioso si usted toma mejores decisiones cuando lo usa que cuando no lo usa. UNA PALABRA SOBRE FILOSOFÍA La “filosofía” representa nuestro esfuerzo por salvar la brecha entre la experiencia obtenida con modelos en el aula y las experiencias de usted, como gerente o administrador, en el mundo real. En el aula todos los problemas están formulados con claridad (por lo menos esa es nuestra inten- ción), todos los datos se aprecian con nitidez y la solución puede ser un simple número que apa- rece al final del libro. Por supuesto, absolutamente nada de esto es válido “debajo de la línea” de la figura 1.2, es decir, en el mundo real. Por eso vale la pena esperar un momento y comentar en forma un poco más amplia cuál es el papel que corresponde a los modelos en el mundo real. REALISMO Comenzaremos con una idea ya conocida: ningún modelo logra captar toda la realidad. Cada modelo es una abstracción, lo cual significa que sólo incluye algunas de las posibles interaccio- nes y representa en forma aproximada las relaciones entre ellas. Esto nos aporta una explicación muy simple y pragmática de por qué y cuándo se utilizan modelos. Este enfoque es muy similar al que ha adoptado la ciencia o la ingeniería. Es posible que los modelos no describan con exactitud la fuerza ascensional del ala de un avión, pero con ellos diseñamos mejores aviones que sin ellos. El mismo concepto se aplica en el caso de los mode- los construidos para la toma de decisiones en administración. 1.3 Gerente Me da la impresión de que usted acaba de construir un “modelo verbal” para ayudar- me a “vislumbrar” el papel que debo desempeñar al construir modelos a fin de “re- finar mi intuición” sobre este proceso. ¡Descubrió mi juego! Gerente Anteriormente dijo usted que el proceso mismo de la construcción de modelos no es científico. Yo creí que el propósito de los modelos cuantitativos era ayudarnos a pro- ceder en una forma más científica. Todo lo contrario. Dije que el proceso de construcción de modelos no es una apli- cación del método científico. El propósito del método científico clásico es suprimir el juicio humano como una influencia que contamina o impone prejuicios en el co- nocimiento y la comprensión. En consecuencia, la verificación de teorías o resulta- dos mediante la experimentación repetida y controlada es el meollo de la adquisi- ción de conocimientos en la ciencia. Por desgracia, las situaciones administrativas casi nunca permiten que nos demos el lujo de reproducirlas en experimentos contro- lados, pues existen restricciones de costo o tiempo. Por eso tenemos que usar el cri- terio o buen juicio administrativo como guía o control imperfecto en todos los pasos del proceso de construcción de modelos. Dentro de éste, la fase correspondiente al análisis del modelo tendrá características científicas por cuanto se recurrirá a la ló- gica y al cómputo para obtener deducciones racionales, pero aparte de eso, la in- fluencia del juicio personal surge en todas partes. Gerente En otras palabras, ni los modelos ni el análisis, por sí solos, pueden protegerme de las malas consecuencias de “obtener como producto basura, ya que sólo introduje ba- sura” en la toma de decisiones. En efecto. Y usted, el gerente, debe participar plenamente en el proceso, porque es el único capaz de juzgar el posible contenido de “basura” en la abstracción, así como el modelo resultante, el análisis del mismo, la relevancia de los resultados y también su interpretación. Después de todo, usted es quien será responsable de la decisión final. ¿No es cierto? Gerente ¡De eso puede estar seguro! Bien, esto ha sido muy útil para aclarar el papel que de- bo desempeñar y los beneficios que puedo esperar del uso de modelos. En realidad hay otro beneficio sumamente importante del trabajo con modelos que no hemos mencionado: la utilidad de los modelos como elemento auxiliar de la comu- nicación. Las decisiones importantes rara vez se toman en forma aislada, pues requie- ren la colaboración y anuencia de otras personas, sobre todo de las encargadas de im- plementar la decisión final. Cuando el proceso de construcción del modelo se realiza correctamente, el modelo resultante y la justificación que aporta para la toma de de- cisiones pueden ser poderosas herramientas para fomentar el trabajo de equipo, expli- car y comunicar ideas y conclusiones a otros y recibir sus comentarios y cooperación. Gerente ¡Está bien, está bien, ya me convenció! ¿Podemos continuar ahora con la elaboración de modelos en hojas de cálculo? Tengo decisiones que tomar... Todavía no. Primero tenemos que considerar otras cosas, por ejemplo algunos de los tipos de modelos cuantitativos disponibles, los pasos conducentes a la construc- ción de un modelo, y el importante papel que desempeñan los datos en la construcción de modelos en hojas de cálculo electrónicas. TIPOS DE MODELOS Hay tres tipos de modelos. Los ingenieros construyen modelos de aviones, y los urbanistas mo- delos de ciudades. En ambos casos se trata de modelos físicos. El segundo tipo de modelo lo empleamos tan a menudo que con frecuencia no lo reconocemos: el modelo análogo. Estos mo- delos representan un conjunto de relaciones a través de un medio diferente, pero análogo. El ma- pa de carreteras es un modelo análogo del terreno correspondiente, el velocímetro de un vehículo representa la velocidad mediante el desplazamiento análogo de una aguja sobre una escala gra- duada, y un diagrama de rebanadas de pastel representa la magnitud del costo de varios compo- nentes con áreas en forma de cuña. El más abstracto es el modelo simbólico, en el cual todos los conceptos están representa- dos por variables cuantitativamente definidas y todas las relaciones tienen una representación matemática, en lugar de física o por analogía. Por ejemplo, los físicos construyen modelos cuanti- Capítulo 1 9 Introducción a la construcción de modelos 1.4 tativos del universo y los economistas crean modelos cuantitativos de la economía. Por el hecho de que se utilizan variables cuantitativamente definidas e interrelacionadas por medio de ecuaciones, es frecuente que los modelos simbólicos sean conocidos como modelos matemáticos, modelos cuantitativos o, en nuestro caso, modelos de hoja de cálculo electrónica. Los gerentes trabajan con los tres tipos de modelos, más comúnmente con los modelos aná- logos en forma de cuadros y gráficas, pero también con modelos simbólicos en forma de salidas de hojas de cálculo electrónicas e informes MIS (Management Information System, Sistema de Información Administrativa). La tabla 1.1 resume las características de los tres tipos de modelos. A pesar de su diversidad, todos estos modelos tienen un aspecto en común: 10 Parte 1 Los modelos y su construcción Modelo físico Modelo análogo Modelo simbólico Tangible Comprensión: fácil Duplicación y posibilidad de compartirlo: difícil Modificación y manipulación: difícil Alcance de utilización: la más baja Intangible Comprensión: más difícil Duplicación y posibilidad de compartirlo: más fácil Modificación y manipulación: más fácil Alcance de su utilización: más amplio Intangible Comprensión: la más difícil Duplicación y posibilidad de compartirlo: las más fáciles Modificación y manipulación: las más fáciles Alcance de su utilización: el más amplio Modelo de un aeroplano, mode- lo de una casa, modelo de una ciudad Mapa de carreteras, velocímetro, gráfica de rebanadas de pastel Modelo de simulación, modelo algebraico, modelo de hoja de cálculo electrónica Un modelo es una abstracción cuidadosamente seleccionada de la realidad. Nos concentraremos en la elaboración de modelos simbólicos (sobre todo como se repre- sentan en hojas de cálculo) y los analizaremos para obtener resultados en tabuladores (modelos simbólicos) y gráficas (modelos análogos). MODELOS SIMBÓLICOS (CUANTITATIVOS) Como ya se dijo, un modelo simbólico emplea las matemáticas para representar las relaciones en- tre los datos de interés. Un modelo simbólico requiere que sus datos sean cuantificables, es decir, que resulte posible expresarlos en forma numérica. Considere los siguientes ejemplos comunes. En un modelo para evaluar las alternativas entre comprar una casa y alquilar un apartamento se con- sidera: el pago inicial requerido, las tasas hipotecarias, el flujo de efectivo, la plusvalía y deprecia- ción; en suma, datos numéricos. En un modelo para ayudarle a usted a decidir si le conviene rea- lizar los estudios necesarios para obtener una maestría se tendría que considerar: la cantidad de tiempo necesaria, la colegiatura y otros gastos, el potencial de salario, y así por el estilo; es decir, datos numéricos. En síntesis, los datos numéricos son la médula de los modelos simbólicos. Examinemos más de cerca un ejemplo muy sencillo de modelo simbólico. Si se encuentra usted actualmente en Chicago, Illinois, y desea estar en Cleveland, Ohio, a la hora de la cena, tal vez le interese estimar el tiempo que tendrá que viajar en su automóvil desde Chicago hasta Cle- veland. Para eso podría consultar la distancia en kilómetros en un mapa o por Internet, la cual dividiría después entre su velocidad promedio típica. En este caso, su modelo sería donde T
tiempo, D
distancia, y S
velocidad.T
D S TABLA 1.1 Tipos de modelos TIPO DE MODELO CARACTERÍSTICAS EJEMPLOS Sin duda este modelo es útil. No obstante, advierta que es una simplificación de la realidad, porque se han pasado por alto muchos factores que podrían influir en la duración de su viaje. No se ha molestado usted en incluir retrasos por posibles reparaciones en el camino, las condiciones del tiempo, escalas para abastecerse de gasolina o para ir al sanitario, y así sucesivamente. Sin embargo, si planea salir a las 9 a.m. y T = 6 horas, entonces el modelo es bastante bueno para sus propósitos. Es decir, podrá sentirse muy seguro de que llegará a Cleveland a tiempo para la cena. Sin embargo, supongamos que usted no podrá salir sino hasta el mediodía y tiene una reser- vación en un restaurante de lujo para reunirse con una persona muy importante a las 6:30 p.m. En ese caso podría considerar que este modelo es demasiado simple y sentiría más confianza si lo re- finara un poco para incluir otros detalles que lo acercaran más a la realidad. Por ejemplo, podría añadir una expresión que representara sus escalas a lo largo del camino. Entonces el modelo sería donde R es el tiempo prometido que permanece en cada escala de su viaje y N es el número de veces que piensa detenerse. Usted puede seguir mejorando su modelo si le incorpora más factores. Algunos de esos factores tendrían que ser quizá estimaciones o aproximaciones. Los dos puntos que debe tener presentes son: T
D S  (R*N) Capítulo 1 11 Introducción a la construcción de modelos 1. Un modelo siempre es una simplificación de la realidad. 2. Debe incorporar al modelo suficientes detalles para que • El resultado satisfaga sus necesidades, • Sea consistente con los datos que tiene usted a su alcance, y • Pueda ser analizado en el tiempo con el que usted cuenta para ese propósito. 1. Los modelos de decisión describen en forma selectiva la situación administrativa. 2. Los modelos de decisión designan las variables de decisión. 3. Los modelos de decisión designan medida(s) de desempeño que refleja(n) el (los) objetivo(s). MODELOS DE DECISIÓN En este libro hacemos énfasis en los modelos de decisión: modelos simbólicos en los cuales al- gunas de las variables representan decisiones que deben (o al menos podrían) tomarse. Es obvio que usted no puede cambiar la distancia entre Chicago y Cleveland. Por otra parte, sí puede ele- gir su velocidad, el número de veces que se detendrá y el tiempo que permanecerá en cada es- cala. Por tanto, estas últimas son variables de decisión. (Deben existir algunos límites para esas variables: es obvio que usted no puede conducir a 500 kph, que el depósito de su automóvil só- lo puede contener cierta cantidad de gasolina, que se requiere cierto tiempo para llenar el depó- sito, y así sucesivamente. Discutiremos estos límites en el capítulo 2, pues son fundamentales para la construcción de modelos realistas.) Objetivos Las decisiones suelen tomarse para alcanzar un objetivo en particular. Así, además de las variables de decisión, los modelos de decisión incluyen una medida explícita del desem- peño que permite calibrar el grado en que se ha alcanzado ese objetivo. Una de las operaciones cruciales en la construcción de modelos consiste en especificar cuál será la influencia de las va- riables de decisión sobre la medida de desempeño. Considere los siguientes ejemplos: 1. Modelo para la asignación de la fuerza de ventas. La variable de decisión podría ser: cuán- tos vendedores se asignarán a cada territorio. Una medida típica del desempeño sería el in- greso por concepto de ventas, y el objetivo podría ser maximizar dicho ingreso. 2. Modelo para la programación de actividades en el taller. Las variables de decisión podrían ser: cuántas horas programar determinadas máquinas para fabricar determinadas partes, y en qué secuencia. Los objetivos podrían consistir en minimizar los costos, el tiempo total de terminación o los retrasos en las fechas de entrega. 3. Modelo para la administración de caja. Las variables de decisión podrían ser: las cantida- des de fondos que deberán mantenerse en cada una de las categorías (efectivo, títulos de la tesorería, bonos, acciones) cada mes. Un objetivo común podría consistir en minimizar el monto de los intereses perdidos por el hecho de mantener activos líquidos, es decir, dinero en efectivo o su equivalente. En resumen: • ¿Debo incluir las ventas de mi competidor como parámetros de entrada en el modelo? Pe- ro si las ventas del competidor son entradas exógenas, eso significa que no puedo influir en ellas y debo aceptarlas como un hecho. Sin embargo, no hay duda de que puedo influir en el volumen de ventas de mis competidores, mediante agresivos descuentos de precio o con más publicidad, dos factores que podrían ser mis variables de decisión. En ese caso, la par- ticipación del competidor en el mercado sería una salida endógena (variable de consecuen- cia) en mi modelo, en lugar de una entrada exógena. Pero si es una salida, entonces, ¿la par- ticipación del competidor en el mercado debe considerarse como una medida de desempeño que deberá minimizarse? • En mi modelo, ¿tengo que incluir mis propias medidas de desempeño, escala de tiempo y visión del mundo, o las que prefiera mi jefe? • ¿El modelo debe estar enfocado en las decisiones de operación cotidianas, en las decisio- nes estratégicas a largo plazo, o en ambas cosas? • ¿Qué debo incluir en términos de mediciones de desempeño o parámetros procedentes de entidades externas interesadas, como los órganos de regulación del gobierno, los grupos de consumidores y los accionistas? Las técnicas que desarrollaremos para construir modelos son aplicables independientemen- te de cómo se definan las entradas y salidas del modelo. Sin embargo, las preguntas anteriores ilustran la importancia de usar el juicio administrativo para definir con claridad los elementos de la caja negra. Un enfoque sugerido para la etapa de la formulación consiste en definir primero el objeti- vo y su(s) medida(s) de desempeño, es decir, las salidas críticas del modelo. Después se consi- derará qué entradas del modelo (variables de decisión y parámetros) están relacionadas con el logro del objetivo, ya que influyen en la(s) medida(s) de desempeño. A partir de esta base, se desprende en forma más natural el paso crítico de definir las variables de decisión y los paráme- tros que influyen en el logro de la meta. Finalmente, este razonamiento regresivo produce la for- mulación de la caja negra del modelo. No obstante, con frecuencia es más fácil trabajar en forma regresiva, porque para los gerentes es natural pensar en las situaciones en términos de objetivos y medidas de desempeño. CONSTRUCCIÓN SIMBÓLICA Una vez que se ha llevado a cabo la formulación (la cual puede ser un proceso verbal o escrito), es necesario construir un modelo simbólico. La experiencia ha demostrado que los gerentes generales o directores fallan en la construc- ción de modelos en el momento en que se presenta la necesidad de desarrollar las ecuaciones matemáticas que relacionarán entre sí las variables contenidas en la caja negra. De hecho, este paso requiere cuidado porque, junto con los datos, las ecuaciones son el “meollo” de todo el pro- ceso de construcción del modelo. Este tema es tan importante que le dedicaremos mucha aten- ción a lo largo del libro. En efecto, el tema central del texto es que muchos modelos prácticos pueden ser construidos y analizados por un solo gerente, y con las técnicas modernas de las ho- jas de cálculo electrónicas. Aun en situaciones más complejas, que requieren la intervención de un equipo interdisciplinario, los modelos preliminares pueden ser iniciados por un gerente no especializado en el tema. Una de las razones que nos inducen a pensar así es que la mayoría de las ecuaciones conteni- das en un modelo simbólico son simples relaciones de contabilidad (Ganancia = Ingresos  Cos- to total) o definiciones físicas (Número de meses = 12* Número de años) y, por tanto, cualquier gerente puede manejarlas con facilidad. Las relaciones restantes del modelo son más difíciles de desarrollar. Sin embargo, la mayoría de los modelos administrativos tienen sólo unas cuantas ecuaciones complicadas. En esos casos, se requiere algo de práctica para desarrollar los concep- tos matemáticos correctos que permitan relacionar dos o más variables como parte de la lógica del modelo. Una técnica útil consiste en usar la habilidad personal para dibujar una gráfica que ilustre la(s) relación(es) deseada(s). Es decir, no comienza con la ecuación matemática final, si- no con una gráfica de la misma, y más tarde usted mismo (o un colega con talento) deduce una ecuación aceptable a partir de esa gráfica.2 La técnica para lograrlo funciona también en el aná- lisis de datos primarios, el cual puede ser necesario para estimar los valores de los parámetros. Llamamos a esta técnica “construcción de modelos a partir de datos”, un tema bastante impor- tante como para que lo desarrollemos por separado en la siguiente sección. 14 Parte 1 Los modelos y su construcción 2Como veremos en el capítulo 2, Excel incluye una herramienta para facilitar el desarrollo de ecuaciones a partir de ese tipo de gráficas. CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CON DATOS En gran parte, las decisiones administrativas se basan en la evaluación e interpretación de datos. Sin embargo, los datos sólo pueden ser interpretados a través del lente de un marco de referen- cia conceptual. Es difícil determinar qué fue primero: el marco o la recopilación de datos. Por supuesto que se requieren datos para construir modelos eficaces. Los esfuerzos para mejorar la construcción de modelos suelen conducir a la adquisición y compilación de más información o de nuevos tipos de datos. La existencia de éstos incrementa el beneficio potencial del uso de un modelo. C. West Churchman, uno de los primeros partidarios del uso de modelos en la adminis- tración, ha dicho que en realidad no existen datos “brutos”, pues el acto de reunir y tabular esos números refleja siempre las tendencias que se tienen respecto a un marco de referencia determi- nado, es decir, de un modelo (mental). Sin embargo, una de las características de la civilización avanzada, por lo menos en lo que se refiere a la tecnología, parece ser la adquisición y el uso si- multáneos de datos y modelos. Los modelos simbólicos brindan una forma de evaluar e interpretar datos de manera siste- mática y con más atención a los detalles, de lo que es posible con los modelos mentales. Los mo- delos simbólicos pueden usarse también para generar datos, y éstos suelen ser necesarios para construir modelos (por ejemplo, para estimar los parámetros del modelo). De hecho, no es raro que el éxito o el fracaso de un intento por construir modelos se relacione con la disponibilidad, precisión y relevancia de los datos. En la construcción y uso práctico de modelos administrati- vos hay que prestar mucha atención al tema de los datos. Por ejemplo, un modelo que requiera datos detallados puede resultar inútil si no se dispone de tales datos o si la recolección de los mismos es costosa y demasiado lenta. En esta sección presentamos algunas consideraciones pertinentes para el uso de datos en la construcción de modelos. El escenario para esta exposición y otras incluidas en el libro es una firma hipotética llamada PROTRAC. Establecida en el oeste medio de Estados Unidos, PROTRAC produce más de 200 artícu- los que abarcan maquinaria agrícola, maquinaria industrial y para la construcción, productos químicos y equipo para huerto y jardín. Su principal fuente de ingresos es la venta de máquinas- herramienta para agricultura, construcción, silvicultura, conformación de terrenos y manejo de materiales. Estos productos se elaboran en 14 fábricas, la mayoría de las cuales están localiza- das en Estados Unidos, y se venden en todo el mundo. Las decisiones de PROTRAC se basan en gran medida en la información disponible, es de- cir, en la evaluación e interpretación de datos. Antes dijimos que, desde el punto de vista de la construcción de modelos, las decisiones recomendadas por medio de ellos se expresan como un número, que representa tal vez un precio o la cantidad de artículos que es preciso vender. Ten- ga muy presente esta definición. También queremos que capte con mucha claridad lo que enten- demos por datos. Para nuestros fines, la palabra datos significa también números. Para apreciar la íntima relación entre números y modelos, supongamos que la gerencia de PROTRAC debe tomar una decisión sobre el monto de dinero que debe asignar a su mercado- tecnia en Europa. Antes de tomar tal decisión, la gerencia desea tener una idea del efecto que di- cha asignación produciría en el total de las ventas europeas. Con ese propósito, una funcionaria ejecutiva consultó la base de datos de la corporación para obtener información sobre los gastos de mercadotecnia y el total de ingresos por concepto de ventas en Europa durante un periodo de 12 años, después de lo cual introdujo dichos datos a su hoja de cálculo Excel, como muestra la figura 1.5. Esta hoja de cálculo no es más que un medio para comunicar los datos requeridos. Se ha elegido ese formato para la tabla por simple comodidad; es importante señalar que su propósito no consiste en sugerir relaciones especiales entre los distintos números. Sin embargo, suponga- mos que después de haber estudiado los datos de la figura 1.5, la ejecutiva supone o establece la hipótesis de cierta relación entre los gastos de mercadotecnia y las ventas. Ella puede consi- derar, por ejemplo, que el ingreso total por la venta de su producto en un año determinado de- pende directamente sólo de los gastos de mercadotecnia en ese año, y no de los ingresos por ven- tas o los gastos de mercadotecnia en años anteriores. Dicho de otro modo, ella cree que el ingreso total por concepto de ventas es independiente del tiempo. (Las palabras depende directamente implican que un gasto mayor en mercadotecnia se traduce en ventas más altas.) Así, la ejecuti- va puede estimar que las ventas por $1.8 millones en 1992 sólo estuvieron relacionadas en for- ma significativa con los $400,000 gastados en mercadotecnia durante ese mismo año. En forma alternativa, la funcionaria podría considerar que las ventas de 1992 se relacionaron más bien con los gastos de mercadotecnia en 1989. O bien, puede elaborar la hipótesis de que las ventas de 1992 dependieron por igual de los gastos de mercadotecnia en 1989, 1990 y 1991. Capítulo 1 15 Introducción a la construcción de modelos 1.6 Podríamos elaborar hipótesis sobre muchas relaciones posibles. Es obvio que las relacio- nes apropiadas dependerían de muchos factores asociados con el ambiente real de PROTRAC. Además, hemos expresado las relaciones de nuestra hipótesis en términos vagos, parcialmente cuantitativos. Es decir, dijimos en forma hipotética que las ventas de 1992 dependieron directa- mente de los gastos de mercadotecnia correspondientes a ese año, pero nuestra hipótesis no in- cluyó una relación cuantitativa específica. Podríamos hacer una declaración cuantitativa espe- cífica: las ventas reales en 1992 fueron 4.5 veces mayores que el gasto en mercadotecnia durante el mismo año. Esto significa que en 1992 se obtuvieron, en promedio, 4.5 dólares de ventas por cada dólar de mercadotecnia. Sin embargo, este hecho por sí mismo, no nos permite concluir que un gasto de $600,000 en 1992 hubiera conducido a un nivel de ventas de $2.7 millones. Ade- más, ¿realmente el factor de proporcionalidad de 1992 tiene alguna importancia para la decisión actual? En 1997, por ejemplo, el factor de proporcionalidad fue 4.0, no 4.5. ¿Qué relación exis- te entre los datos de 1997 y los de 1992? ¿Las actuales técnicas de mercadotecnia de PROTRAC son más semejantes a las de 1997 que a las de 1992? ¿O la operación ha permanecido básica- mente igual entre 1992 y 1997? ¿Y qué podemos decir de otros factores relevantes, como las condiciones económicas en general? Si establecemos la hipótesis de una relación causal entre la mercadotecnia y las ventas de cada año, entonces los datos revelan que, en promedio, cada dólar gastado en mercadotecnia fue más efectivo en 1992 que en 1997. ¿Qué factores del mundo real nos permitirían explicar esos diferentes grados de eficacia en los distintos años? Es decir, ¿cuáles de las interacciones del mundo real están reflejadas en esos datos? Tal vez se trate de diferencias en las técnicas de pu- blicidad, o diferencias graduales del mercado y la demanda, lo cual, a su vez, podría deberse a diferentes condiciones económicas, al clima o a políticas del gobierno. Como gerente, usted debe considerar ese tipo de preguntas en cuanto empiece a interpretar los datos de la tabla. Pero el objeto de la exposición actual es éste: en cuanto usted empieza a establecer hipótesis sobre cualquier relación entre sus datos, inicia la formulación de la(s) ecua- ción(es) de un modelo. Es decir, ya está empezando a interpretar los datos como un reflejo de importantes relaciones subyacentes. Por tanto, la figura 1.5 tiene un significado especial: se ha convertido en una representación selectiva de la realidad. Como tal, una simple tabla de datos encaja en nuestra definición anterior de modelo. Es importante subrayar que, por sí mismos, los datos no representan un modelo. Aislados, los números no significan más que un registro de he- chos (p. ej., el ingreso total por concepto de ventas en Europa fue de $1.8 millones en 1992). Só- lo cuando se adscribe cierta relación a los números es cuando empieza a existir un modelo, por lo menos en forma embrionaria. 16 Parte 1 Los modelos y su construcción FIGURA 1.5 Gastos de mercadotecnia e in- gresos por ventas en PROTRAC, sucursal europea, 1986-1997 (en miles de dólares) tringidos. En la segunda parte se presentará el tema de la programación lineal (PL), que es el caballo de batalla de los modelos de optimización restringida.4 En la segunda parte usted apren- derá a formular modelos PL, a optimizarlos y a interpretar la solución. En la segunda parte ve- remos también muchos otros modelos. Entre ellos figuran la programación con enteros, la no li- neal y la de objetivos múltiples, que son primas hermanas de la PL. Los modelos determinísticos son importantes por cinco razones: 1. Una asombrosa variedad de importantes problemas de administración pueden formularse como modelos determinísticos. 2. Muchas hojas de cálculo electrónicas cuentan con la tecnología necesaria para optimizar mo- delos determinísticos, es decir, para encontrar decisiones óptimas. Cuando se trata en particu- lar de modelos PL grandes, el procedimiento puede realizarse con mucha rapidez y fiabilidad. 3. El subproducto de las técnicas de análisis es una gran cantidad de información muy útil pa- ra la interpretación de los resultados por la gerencia. 4. La optimización restringida, en particular, es un recurso extremadamente útil para reflexionar acerca de situaciones concretas, aunque no piense usted construir un modelo y optimizarlo. 5. La práctica con modelos determinísticos le ayudará a desarrollar su habilidad para la for- mulación de modelos en general. MODELOS PROBABILÍSTICOS En los modelos probabilísticos, o estocásticos, algunos elementos no se conocen con certeza. Es decir, en los modelos probabilísticos se presupone que algunas variables importantes, llama- das variables aleatorias, no tendrán valores conocidos antes que se tomen las decisiones corres- pondientes, y que ese desconocimiento debe ser incorporado al modelo. Un ejemplo de modelo probabilístico podría ser la decisión de establecer una compañía de Internet mediante la venta pública de acciones de capital, antes de saber si el mercado para nuestra oferta será favorable (mercado en alza) y rendirá un alto precio de las acciones, o desfavorable (mercado sostenido) y el precio de éstas será bajo. Como veremos en la tercera parte del libro, esos modelos incor- poran la incertidumbre a través de probabilidades en las variables aleatorias; en este caso, la con- dición futura del mercado de valores. Estos modelos tienden a reportar su mayor utilidad cuan- do intervienen en ellos muchas entradas inciertas y hay pocas restricciones. En consecuencia, los modelos de incertidumbre se usan a menudo para la toma de decisiones estratégicas refe- rentes a la relación de una organización con su ambiente (incierto), como en el ejemplo de la oferta de acciones al público. En la tercera parte del libro aprenderá qué tipos de criterios puede aplicar cuando el factor incertidumbre interviene en el modelo, y cómo tomar una decisión óptima a la luz de esos crite- rios. También en este caso tenemos problemas de decisión que son cuantitativos, en los cuales tra- tamos de optimizar alguna función de las variables de decisión. Entre los temas de esta parte del libro figuran: análisis de decisiones, filas de espera, simulación, administración de proyectos y pro- nósticos. Puesto que la incertidumbre desempeña un papel fundamental en dichos modelos, esta parte del libro requiere ciertos conocimientos previos de cálculo de probabilidades y estadística. El apéndice A de este texto ofrece un breve repaso de conceptos sobre probabilidades. Aunque se- guramente eso no bastará para que usted se vuelva un experto, le brindará una introducción (o un repaso) a los conceptos clave que se requieren para la debida comprensión de estos capítulos. CICLOS EN LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS Para entender mejor el lugar que ocupan los modelos en el proceso de su construcción y análi- sis, será conveniente que clasifiquemos los modelos simbólicos a partir de las dimensiones ilus- tradas por medio del diamante que aparece en la figura 1.6. Confrontados entre sí, los lados de- recho e izquierdo del diamante se refieren a los extremos polares que corresponden a la construcción de modelos determinísticos frente a la construcción de modelos probabilísticos. Por supuesto, ningún modelo es completamente determinístico (ausente de incertidumbre en todas sus variables) ni totalmente probabilístico (con incertidumbre en los valores de todas Capítulo 1 19 Introducción a la construcción de modelos 4 La palabra “lineal” en PL se refiere al requisito de que cada una de las relaciones expresadas en el modelo esté especificada como una ecuación lineal. El término “programación” incluido en PL no tiene relación alguna ni con la programación para computadoras ni con el desarrollo del software correspondiente. Su origen está relaciona- do, más bien, con el procedimiento de “establecer un calendario o programa de actividades para realizar eficaz- mente una tarea”. 1.9 Proceso de construcción de modelos MODELOS PROBABILÍSTICOS MODELOS DETERMINÍSTICOS CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DEDUCTIVOS CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE INFERENCIA Cre ac ión d e m od elo s d e de cis ión (P ro ye cc ion es ‘¿ qu é pa sa ría si ?’, a ná lis is de d ec isi on es , ár bo les d e de cis ion es , f ila s d e es pe ra ) Análisis de datos (pronóstico, análisis de sim ulación, análisis estadístico, estim ación de parám etros) Aná lis is de d at os (b ús qu ed a ba se d e da to s, ev alu ac ión d e pa rá m et ro s) Construcción de m odelos de decisión (proyecciones ‘¿qué pasaría si?’, optim ización) Modelos Modelos Modelos Modelos sus variables). Volviendo al ejemplo anterior de la programación de actividades para la tripula- ción de una aerolínea, el clima o la enfermedad podrían perturbar los vuelos o la disponibilidad de los miembros de la tripulación en formas inesperadas, lo cual comprometería las asignacio- nes de tripulación propuestas por el modelo. En forma similar, en el ejemplo de la oferta de las acciones de Internet, las condiciones del mercado podrían ser previsibles con un grado adecua- do de certeza, o bien, el modelo de la oferta de acciones podría incluir la decisión de aplazar en el último minuto la operación si las condiciones se tornan desfavorables, con lo cual podría mi- tigarse el efecto de la incertidumbre. La confrontación entre los extremos superior e inferior del diamante se refiere a los extre- mos polares de la construcción de modelos deductivos frente a la de modelos de inferencia. La primera supone que el modelo puede desarrollarse inicialmente enfocando las variables mismas, interrelacionándolas después en el modelo por medio de suposiciones sobre las relaciones alge- braicas y los valores de cualquier número de parámetros. En consecuencia, la construcción de modelos deductivos tiende a avanzar “de arriba hacia abajo”, dando un valor especial a los co- nocimientos y juicios que el autor puede tener de antemano, tanto acerca de las relaciones ma- temáticas y los valores de los datos, como sobre la futura aplicabilidad de esos conocimientos precedentes. Los modelos resultantes tienden a ser “pobres en datos” inicialmente, pues inclu- yen sólo algunas decenas o centenares de datos, que con frecuencia están expresados como los parámetros supuestos del modelo. En la construcción de modelos de inferencia, en lugar de empezar con suposiciones se pre- sume que el modelo puede desarrollarse centrándose en las variables mismas, tal como se refle- jan en la colección de datos existentes, relacionándolas entre sí en el modelo mediante el análi- sis de los datos para determinar sus relaciones y estimar los valores de cualquiera de los parámetros. El resultado es que la construcción de modelos de inferencia tiende a avanzar “de abajo hacia arriba”, concediendo un valor especial a la precisión y disponibilidad de los datos y a los juicios sobre la futura aplicabilidad de ellos. Los modelos resultantes tienden a ser inicial- mente “ricos en datos”, con varios centenares o millares de éstos, que a menudo se refinan des- pués para estimar los parámetros del modelo. El diamante también ilustra que las cuatro dimensiones que forman sus facetas son abor- dadas por los gerentes en el proceso para construir modelos, sobre todo en las etapas formativas iniciales. Es decir, la construcción de modelos pocas veces se realiza usando una sola de las di- mensiones o siguiendo una simple “receta de cocina” donde se combinen dichas dimensiones. En lugar de eso, los elementos del modelo son ensayados, probados, evaluados (a menudo sub- jetivamente en un principio), revisados, vueltos a ensayar y así sucesivamente, en forma itera- 20 Parte 1 Los modelos y su construcción FIGURA 1.6 Tipos de modelos C iclo d e la co n stru cció n d el m o d elo (m odelos probabilísticos) C ic lo d e la c o n st ru cc ió n d el m o d el o (m od el os d et er m in ís tic os ) MODELOS PROBABILÍSTICOS MODELOS DETERMINÍSTICOS CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DEDUCTIVOS CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE INFERENCIA Con str uc ció n de m od elo s d e de cis ion es (p ro ye cc ion es ‘¿ qu é pa sa ría si ?’, a ná lis is de d ec isi on es , ár bo les d e de cis ion es , f ila s d e es pe ra ) Análisis de datos (pronóstico, análisis de sim ulación, análisis estadístico, estim ación de parám etros) Aná lis is de d at os (b ús qu ed a en b as e de d at os , ev alu ac ión d e pa rá m et ro s) Construcción de m odelos de decisión (Proyecciones ‘¿qué pasaría si?’, optim ización) Proceso de construcción de modelos tiva, saltando de una “faceta” del diamante a otra ya sea mediante la creatividad o al estilo de una “lluvia de ideas”. Por ejemplo, una gerente de PROTRAC podría empezar a construir un modelo para el cálculo del costo de un producto por medio de un modelo de decisiones, supo- niendo o razonando (por el método deductivo) que el costo total de los bienes vendidos repre- senta 60% del ingreso total, y considerando que el porcentaje del “costo de los bienes” (60%) es conocido (determinístico). Esto la hace pasar de la parte superior del diagrama a la faceta derecha de un modelo determinístico. Cuando esté más avanzado el proceso de construcción del modelo, tal vez desee “dar un vistazo a algunos datos históricos sobre ingresos y costos”, con lo cual descenderá hasta la faceta del diamante que corresponde al análisis de datos, ubi- cado a la derecha y abajo en el diagrama. Después de analizar los datos históricos (por infe- rencia), quizá decida modificar el porcentaje a 63% por ejemplo. A continuación, podría exa- minar el efecto de esa revisión en los costos generales o la rentabilidad del modelo PROTRAC en conjunto. Esto la llevaría de nuevo a la faceta de la decisión de la derecha, en la construc- ción del modelo (las proyecciones de ‘¿qué pasaría si?’ sobre costos totales y rentabilidad) pa- ra evaluar subjetivamente la veracidad del mismo. El enfoque iterativo se ilustra mediante el ciclo o circuito cerrado de construcción de modelos representado en la mitad derecha de la figura 1.7. Ya más avanzado el proceso de construcción del modelo, los colegas podrían convencer a la gerente de que el porcentaje del costo de los bienes no permanece en el valor fijo de 63%, si- no que varía en forma un tanto aleatoria a causa de la variabilidad en los precios de productos primarios que paga PROTRAC por sus materias primas. Con esto, el proceso de construcción del modelo pasaría a la mitad izquierda del diagrama, para que ella pudiera desarrollar iterati- vamente las relaciones entre diversos porcentajes del costo de los bienes y el precio de los pro- ductos primarios (deducción) y analizara los datos para ponerlos a prueba (inferencia) con re- lación en los parámetros de la distribución de probabilidades que rige los valores para el porcentaje de costo de los bienes, es decir, el ciclo de formulación del modelo que aparece en la mitad izquierda del diagrama. Más tarde aun, la gerente podría tratar de simplificar su modelo pasando por alto la incertidumbre reconocida en torno al porcentaje del costo de los bienes (por ejemplo, porque otras proyecciones de ‘¿qué pasaría si?’ sugieren que la variabilidad en los pre- cios de los productos primarios no afecta materialmente la toma de decisiones). Con esto, la par- te del modelo correspondiente a la relación del costo de los bienes se desplazaría de nuevo a la mitad derecha del diamante que aparece en el diagrama. Este último desplazamiento muestra que en el proceso de construcción de modelos existen ciclos o circuitos cerrados horizontales, además de los verticales cuyo diagrama aparece en la figura 1.7. Capítulo 1 21 Introducción a la construcción de modelos FIGURA 1.7 Ciclos en la construcción de modelos