Diapositivas de mecanica de fluidos, Diapositivas de Mecánica de Fluidos

¡Descarga Diapositivas de mecanica de fluidos y más Diapositivas en PDF de Mecánica de Fluidos solo en Docsity! SEMANA Nº12-TEMA Nº01 ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA. Dr. Ingº. Carlos Adolfo Loayza Rivas Escuela académica Profesional de Ingeniería Civil UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO MECÁNICA DE FLUIDOS I INTEGRANTES 1. Barrios Carlos J. Charly 2. 2.Ventura Cumpa Billy Alexander 3.Teque Chayan Angel Dangello 4.De La Cruz Pérez Christian Edward 5.Davila Guevara Yucely 6.Zarpan Neciosup Victor Bryan 7.Peña Huaman Maricarmen Del Pilar ANÁLISIS DIMENSIONAL expresar cualquier magnitud física en función de tres dimensiones (). 1.La conversión de unidades de un sistema a otro. 2.El desarrollo de ecuaciones. 3.Reducir el número de variables requeridas en un programa experimental. 4.Establecer los principios para el diseño de modelos. Permite: sirve para: Si de las “” magnitudes elegimos como magnitudes básicas (), entonces estas serán las variables que se repiten; siendo () los parámetros “”: Los valores de , se determinan de tal manera que “” sea adimensional. Ejemplo: 𝜋1=𝑞1 𝑥1𝑞2 𝑦1𝑞3 𝑧1𝑞4 𝜋 2=𝑞1 𝑥2𝑞2 𝑦2𝑞3 𝑧2𝑞5 𝜋𝑛 −3=𝑞1 𝑥𝑛− 3𝑞2 𝑦𝑛− 3𝑞3 𝑧𝑛− 3𝑞𝑛 1. Si una magnitud es adimensional constituye un grupo “” sin necesidad de aplicar el procedimiento anterior. 2. Si dos magnitudes físicas cualesquiera tienen las mismas dimensiones su cociente será un número adimensional “”. Por ejemplo: es adimensional y , por tanto, un número “”. 3. Cualquier número “” puede ser sustituido por una potencia del mismo, incluida .Por ejemplo, puede reemplazarse por o por ( ). 4. Cualquier número “” puede sustituirse por su producto por una constante numérica. Por ejemplo: puede reemplazarse por . 5. Cualquier número ” puede expresarse como función de otros números . Por ejemplo, si hay dos números “”, luego: . Consideraciones: EJEMPLOS DE APLICACIÓN Suponiendo que la potencia comunicada a una bomba es función del peso específico del fluido, del caudal y de la altura comunicada a la corriente; establecer una ecuación para la potencia mediante el análisis dimensional.   Solución: Ejemplo Nº02: 𝑃= 𝑓 (𝛾 ,𝑄 , 𝐻 ) - Dimensionalment e: - Igualando los exponentes de se obtiene:   De donde: - Reemplazado en : 𝑃=𝐾 𝛾𝑄𝐻 - Experimentalmente: 𝑷=𝜸𝑸𝑯 Potencia es una función de una serie de variables en este caso son peso especifico, caudal y la altura Suponiendo que la fuerza de arrastre sobre un cuerpo sumergido en una corriente fluida es función de la densidad, la viscosidad, la velocidad del fluido, y de una longitud característica del cuerpo; desarrollar la ecuación general.   Solución: Ejemplo Nº03: - Dimensionalment e: 𝐹1 𝐿°𝑇 ° = (𝐹 𝑥𝐿− 4𝑥𝑇 2𝑥 ) (𝐹 𝑦 𝐿−2 𝑦𝑇 𝑦 ) ( 𝐿𝑧 ) ( 𝐿𝑤𝑇−𝑤)  Igualando los exponentes de se obtiene: -Como hay mas incógnitas que ecuaciones, se expresa tres incógnitas en función de la cuarta. Reduciéndose en función de “”, se obtiene:𝑥=1 – 𝑦 ;𝑤=2 – 𝑦 ;𝑧=2 – 𝑦 …… ..(𝟐) - Con el fin de expresar esta ecuación en la forma comúnmente usada, multiplicamos por ) - Reemplazando (2) en (1): 𝐹=𝐾 𝜌 1− 𝑦𝜇𝑦𝐿2 −𝑦𝑉 2 −𝑦 𝐹=2 𝐾 𝜌 ℜ − 𝑦𝐿2 𝑉 2 2 ; 𝐹=2 𝐾 𝜌 ℜ − 𝑦 𝐴 𝑉 2 2 ; - Donde : 2 𝐾 ℜ− 𝑦¿𝐶𝐷=𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑭=𝑪𝑫𝝆 𝑨 𝑽 𝟐 𝟐 ¿ representa un área. Donde “” - Ordenando: 𝐹=(2𝐾 ℜ −𝑦 )𝜌 𝐴 𝑉 2 2 𝑹𝒆=𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒚𝒏𝒐𝒍𝒅𝒔 Solución 1º) Las cuatro magnitudes físicas, se relacionan matemáticamente así: Ejemplo Nº05: 𝑓 1=(𝑃 ,𝛾 ,𝑄 , 𝐻 )=0 sus dimensiones son:𝑃=𝐹𝐿𝑇− 1;¿𝛾=𝐹 𝐿− 3;¿𝑄=𝐿3𝑇− 1;¿𝐻=𝐿 2º) Seleccionamos como magnitudes básicas: y . Entonces el número de grupos “” es, (4 – 3) = 1 3º) 𝜋1=(𝑄𝑥1 ) (𝛾𝑦1 ) ( 𝐻𝑧 1 ) 𝑃 …(1) - Dimensionalmente: 𝐹° 𝐿°𝑇 ° =(𝐿3 𝑥1𝑇− 𝑥1 ) (𝐹 𝑦1𝐿−3 𝑦1 ) ( 𝐿𝑧1 ) ( 𝐹𝐿𝑇− 1 ) Suponiendo que la potencia comunicada a una bomba es función del peso específico del fluido, del caudal y de la altura comunicada a la corriente; establecer una ecuación para la potencia mediante el análisis dimensional.   Resolver el ejemplo (02) aplicando el teorema de Buckingham.  Ej. 02: -Igualando los exponentes de y se obtiene: 𝑥1=−1 ;𝑦1=− 1 ;𝑧 1=− 1 -Reemplazando 𝜋1=𝑄− 1𝛾− 1𝐻− 1𝑃 𝑃=𝜋 1𝛾𝑄𝐻 -Experimentalmente: ; haciendo: (2) 𝑷=𝜸𝑸𝑯 Resolver el ejemplo (03) aplicando el teorema “ ” de Buckinghan.Ejemplo Nº 06: 𝑓 1(𝐹 , 𝜌 ,𝜇 , 𝐿 ,𝑉 )=0 Sus dimensiones son: 𝐹=𝐹 , 𝜌=𝐹 𝐿− 4𝑇 2 ,𝜇=𝐹 𝐿−2𝑇 ,𝐿=𝐿 ,𝑉=𝐿𝑇−1 2º) Seleccionamos como magnitudes básicas: y . Entonces el número de grupos “” es, 𝝅𝟏=(𝑳𝒙𝟏)(𝑽 𝒚𝟏)(𝝆𝒛 𝟏)(𝑭 ) (1) - Dimensionalmente : 𝐹 0𝐿0𝑇0 =(𝐿𝑥1)(𝐿𝑦1𝑇 −𝑦1)(𝐹 𝑧 1𝐿− 4𝑧 1𝑇2 𝑍1)(𝐹 ) 𝐹 0𝐿0𝑇0 =(𝐿𝑥1+𝑦1 −4 𝑧 1)(𝐹 𝑧1+1 )(𝑇2 𝑍1 −𝑦1) -Igualando los exponentes de F, L y T se obtiene: 𝑥1+𝑦1− 4 𝑧 1=0 ; 𝑧1+1=0 ; − 𝑦1+2𝑧 1=0 Suponiendo que la fuerza de arrastre sobre un cuerpo sumergido en una corriente fluida es función de la densidad, la viscosidad, la velocidad del fluido, y de una longitud característica del cuerpo; desarrollar la ecuación general. Solución 1º) Las cinco magnitudes físicas, se relacionan matemáticamente así: Ej. 03: 3º) Primer grupo π: SEMANA Nº12-TEMA Nº02 SEMEJANZA HIDRÁULICA Escuela académica Profesional de Ingeniería Civil UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO MECÁNICA DE FLUIDOS I Dr. Ingº Carlos Adolfo Loayza Rivas INTEGRANTES: 1. Barrios Carlos J. Charly 2. 2.Ventura Cumpa Billy Alexander 3.Teque Chayan Angel Dangello 4.De La Cruz Pérez Christian Edward 5.Davila Guevara Yucely 6.Zarpan Neciosup Victor Bryan 7.Peña Huaman Maricarmen Del Pilar SEMEJANZA HIDRÁULICA Es el estudio comparativo entre modelo y prototipo. El único medio físico, de analizar la estructura (prototipo) es a través del estudio de su modelo; es decir una construcción del prototipo en tamaño, usualmente reducido. Se requiere que entre el modelo y el prototipo exista semejanza. Criterios de semejanza Para llevar a cabo la teoría de modelos, habrá de asegurarse que el modelo esté sujeto a los mismos fenómenos que el prototipo, solo que a una escala menor, y hace naturalmente, conocer dicha escala. Por lo que se hace necesario fijar criterios de semejanza, a continuación considerados: Semejanza geométrica. Es necesario en primer lugar que los objetos que intervienen en el modelo y en el prototipo sean geométricamente semejantes, es decir que sus tamaños característicos correspondientes estén todos entre sí, en la misma proporción. Semejanza dinámica. Se entiende por semejanza dinámica el hecho de que el flujo en el modelo sea, en una proporción conocida, exactamente la imagen del flujo en el prototipo, de manera que las velocidades, las fuerzas, etc. En el uno y en el otro estén relacionados entre sí de manera perfectamente definida. Semejanza cinemática. Se entiende por semejanza cinemática al aseguramiento que el flujo en el modelo sea en proporción la fotografía reducida del flujo del prototipo, de manera que las velocidades en modelo y prototipo exactamente se correspondan. b)Las relaciones entre las velocidades de las partículas homólogas son iguales. Relación de velocidadesDonde: 𝑽 𝒓= 𝑽𝒎 𝑽 𝒑 A las relaciones anteriores, de longitudes y velocidades, agregaremos: = , ó = , ó Cualquier otra magnitud derivada depende de las anteriores, ejemplos: , ó , ó = NÚMEROS ADIMENSIONALES DE SEMEJANZA HIDRÁULICA Se emplea para caracterizar la naturaleza del flujo, especialmente en tuberías, mediante la prevalencia de las fuerzas resistentes de origen viscoso o inerciales, permitiendo clasificar mediante este número el flujo en, laminar, transicional o turbulento. El número de Reynolds se utiliza como criterio de semejanza en flujos donde debe ser considerado el efecto viscoso. Número de Reynolds (Re) Relaciona las fuerzas resistentes de inercia y las de viscosidad. 𝑹𝒆= 𝑽 𝝆 𝑳 𝝁   Osborne Reynolds: Belfast (1842-1912) Osborne Reynolds, ingeniero británico. Premio Nóbel de física por su descubrimiento del Número de Reynolds. Nace el 23 de agosto de 1842 en Belfast, Irlanda del Norte. Se gradúa en 1867 de matemáticas en la Universidad de Cambridge. Al siguiente año es nombrado profesor de ingeniería del Owens College en Mánchester que, posteriormente, se convertiría en la Victoria University of Manchester, siendo titular de la Cátedra de Ingeniería cuando, por aquellos años tan sólo había dos de estas cátedras en toda Inglaterra. Muere el 21 de febrero de 1912 en Watchet. Biografía de Osborne Reynolds Considera el efecto de la densidad, viscosidad, velocidad y una dimensión típica del conducto del flujo, y se obtiene planteando la relación entre las fuerzas de inercia y viscosidad. 𝑅𝑒 = 𝑉𝐿 𝜗 𝑅𝑒 ¿ 𝐹 𝐼 𝐹𝑁 = 𝑚𝑎 𝜏 𝐴 = (𝜌∀ )𝑎 𝜇 . 𝑑𝑣 𝑑𝑦 . 𝐴 = 𝜌 (𝐿3 )( 𝐿 𝑇 2 ) 𝜇 . 𝑉 𝐿 . 𝐿2 = 𝜌 (𝐿2 /𝑇 2 ) 𝐿2 𝜇𝑉𝐿 Deducción del Número de Reynolds “Si Re es menor, mayor es el efecto de la viscosidad y viceversa”. Donde:   El número de Reynolds se utiliza como criterio de semejanza en flujos donde se debe considerar el efecto viscoso; tales como: - Sistemas a presión (tuberías), - Modelos de naves aéreas, - Cuerpos sumergidos (torpedos), - Medidores de caudal (Venturi) y - Transiciones. Casos de utilidad del Número de Reynolds El Número de Froude es importante en flujos de superficie libre tales como el flujo en canales abiertos. Relaciona las fuerzas resistentes de inercia y las de gravedad. Número de Froude (F): 𝑫= 𝑨 𝑻 =𝑻𝒊𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐𝒉𝒊𝒅𝒓 á𝒖𝒍𝒊𝒄𝒐 𝑭= 𝑽 √𝒈𝑫 Aquí se muestra el flujo a través de una compuerta. El numero de Froude corriente arriba de la compuerta es: = y de la compuerta corriente abajo es: = Considera el efecto de la gravedad y se obtiene planteando la relación entre las fuerzas de inercia y gravitatoria. 𝐹 𝐼 𝐹𝐺 = 𝑚𝑎 𝑚𝑔 = 𝜌∀𝑎 𝜌 ∀𝑔 = 𝜌 𝐿3 (𝐿𝑇 −2 ) 𝜌 𝐿3𝑔 = 𝜌 ( 𝐿2 𝑇 2 )𝐿 2 𝜌 𝐿3𝑔 = 𝑉 2 𝑔𝐿 𝑭= 𝑽 √𝒈𝑫 a la raíz cuadrada de esta expresión se le denomina Número de Froude, donde: Deducción del número de Froude() El número de Froude se utiliza como criterio de semejanza en flujos donde predomina la fuerza gravitatoria; tales como:   Casos de utilidad del número de Froude Relaciona las fuerzas de presión y las de inercia. • Este número adimensional, es debido a Leonard Euler, • Expresa la relación entre la energía asociada a una pérdida de presión (por ejemplo un estrechamiento) respecto a la energía cinética por unidad de volumen del flujo. • Se usa para caracterizar pérdidas de carga en el flujo; cuanta más pérdida de carga se produzca en su movimiento, mayor será su número de Euler. • Este número permanece constante para cualquier forma de contorno en un fluido en el que únicamente actúen las fuerzas de inercia y de presión. Número de Euler() El número de Mach fue propuesto por el físico y filósofo austriaco Ernst Mach (1838-1916), uno de los más grandes teóricos de la física de los siglos XIX-XX, como una manera sencilla de expresar la velocidad de un objeto con respecto a la velocidad del sonido. Es un número adimensional normalmente usado para describir la velocidad de los aviones. Número de Mach (M): Relaciona las fuerzas de inercia y las elásticas. 𝑴= 𝑽 √𝑬 /𝝆 Donde: El físico Austriaco Ernst Mach en sus estudios científicos sobre las propiedades de los fluidos, enfoco sus análisis en la física de fluidos a velocidades superiores a la del sonido, y descubrió la existencia de lo que después fue conocido como cono de Mach. Se trata de una onda de presión de forma cónica que parte de los cuerpos que se mueven a velocidades supersónicas, esto es, superiores a la del sonido. Ernst Mach, Austria (1839-1916) Importancia del número de Mach La importancia del número de Mach reside en que permite expresar la velocidad de un objeto no de forma absoluta en km/h o m/s, sino tomando como referencia la velocidad del sonido, algo interesante desde el momento en que la velocidad del sonido cambia dependiendo de las condiciones de la atmósfera. Por ejemplo, cuanto mayor sea la altura sobre el nivel del mar o menor la temperatura de la atmósfera, menor es la velocidad del sonido. Descubrió que la relación entre la velocidad a la que se desplaza el cuerpo y la velocidad del sonido es un factor físico de gran importancia. Dicho factor se conoce con el nombre de número de Mach. Una velocidad de Mach 2,7 significa que el cuerpo se mueve a una velocidad 2,7 veces superior a la de propagación del sonido. El número adimensional de Mach se define como el cociente entre la velocidad real y la velocidad del sonido en el mismo fluido en estados equivalentes. 𝑀 = = 𝒂 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒 𝒗 𝒄 𝒄 Partícula inmóvil: En este caso tenemos una partícula emitiendo sonido a intervalos de tiempo regulares. Partícula con velocidad superior a la del sonido: Por último la partícula se mueve en régimen supersónico. Partícula con velocidad inferior a la del sonido: En el siguiente caso la partícula se está moviendo hacia a la derecha por debajo de la velocidad del sonido. Partícula a la misma velocidad que el sonido: Este otro caso muestra a la partícula moviéndose a la velocidad del sonido. Las ondas de sonido coalescen formando un frente sónico plano. FUENTE:. https://es.wikipedia.org/wiki/Cono_de_Mach Casos de utilidad del número de Mach -Naves aéreas: En un túnel supersónico. -Golpe de ariete: aumento repentino de la presión causado por un cambio rápido en la velocidad del caudal de la tubería. Principal causante de averías en tuberías e instalaciones hidráulicas. El número de Mach, se utiliza en fenómenos donde predomina la compresibilidad del fluido, tales como: -En gases compresibles, con comportamiento adiabático. 𝑾= 𝑽 √ 𝝈 𝝆 𝑳 Número de Weber (W) Relaciona las fuerzas de inercia y las de tensión superficial. El número de Weber es debido a Moritz Weber, que desarrolló las leyes de semejanza moderna. Es un número adimensional normalmente usado para el estudio del frente de onda de una lámina de agua muy fina que fluye sobre una superficie. Este caso se produce en las playas sin pendiente donde un pequeño frente avanza por encima de una lámina de agua muy fina, sin apenas calado. Donde: ¿ QUE ÉS LA VELOCIDAD DEL SONIDO EN EL FLUIDO? Se observa que la velocidad V del fluido lleva una velocidad de onda asociada, que es la celeridad. Si hacemos, , se tiene el caso en que la velocidad del fluido coincide con la celeridad de la onda, lo cual sirve para separar los regímenes cuya característica es la posibilidad de propagación de la onda en todas direcciones, o solo dentro de una porción limitada de fluido; esta velocidad se denomina velocidad crítica. La celeridad de la onda de peso se define como: La celeridad de la onda elástica se define como: DEMOSTRACIÓN: 𝐅= 𝑽 √𝒈𝑳 Numero de Froude: 𝑽 √𝒈∗𝑳 ¿𝟏 𝑽 ¿ √𝒈∗𝑳 𝑴= 𝑽 √𝑬 /𝝆 Numero de Mach: 𝑽 √𝑬 /𝝆 =1 𝑽 ¿ √ 𝑳∗𝜸 𝝆 Para la celeridad de la onda de gravedad en ríos y mares, si la velocidad “V” es menor que la celeridad, , el movimiento del líquido en el río será fluvial o lento, mientras que si la velocidad “V” es mayor que la celeridad de la onda de gravedad, el movimiento es torrencial o rápido. En el caso de la velocidad de la onda elástica, la velocidad crítica se corresponde con la velocidad del sonido ” para M = 1; si la velocidad “V” es menor que la velocidad del sonido, el movimiento es subsónico, y si por el contrario, la velocidad “V” es mayor que el movimiento es supersónico. Cuando, V < , la perturbación se transmite en todas direcciones, remontando incluso la corriente, mientras que si, V >, la perturbación sólo se puede propagar en la dirección de la corriente. 𝑽=√𝑬 /𝝆 PROBLEMAS DESARROLLADOS Un barco cuyo casco tiene una longitud de 200m ha de moverse a 10m/s. ¿A que velocidad debe remolcarse en agua un modelo construido a una escala 1:8. Solución: Como se trata de un cuerpo en superficie libre, predomina la fuerza gravitatoria, por lo tanto se debe usar el mismo Nº de Froude (F) en el modelo y prototipo. 𝐹𝑚=𝐹 𝑝 𝑉𝑚 √𝑔𝑚𝐿𝑚 = 𝑉 𝑝 √𝑔𝑝𝐿𝑝 Ejemplo N°02: Donde: 𝐿𝑚 𝐿𝑝 = 1 8 ; 𝑉 𝑝=10 𝑚 𝑠 ; ¿ 𝑉𝑚=? ; Reemplazando: ) (10m/s ) 𝑔𝑚=𝑔𝑝 𝑽𝒎=𝟑 .𝟓𝟒 𝒎 𝒔 Se va a realizar un experimento de laboratorio usando el modelo de un barco construido en escala 1:25 a fin de determinar la resistencia a las olas que encontrará el prototipo. Si la velocidad máxima que tendrá el prototipo es de 15 nudos. ¿A que velocidad debe desplazarse el modelo para obtener olas dinámicamente similares a las del prototipo? Como se trata de un cuerpo en un flujo de superficie libre, por lo tanto se debe usar el mismo Nº de Froude (F) en el modelo y prototipo. 𝐹𝑚=𝐹 𝑝 𝑉𝑚 √𝑔𝑚𝐿𝑚 = 𝑉 𝑝 √𝑔𝑝𝐿𝑝 𝑉𝑚=√ 𝑔𝑚 𝑔𝑝 . 𝐿𝑚 𝐿𝑝 .𝑉 𝑝 ¿ Donde: 𝐿𝑚 𝐿𝑝 = 1 25 ;𝑉 𝑝=15𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠; ¿𝑉𝑚=? ; (en el mismo lugar) Donde: Reemplazando: ) (15) 𝑉𝑚=3𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 Ejemplo N°03: pm gg  Un medidor Venturi tiene 0.45 m de diámetro en la garganta y 0.90 m en sus extremos; A 20 ͦC fluye agua a través de la garganta con una velocidad de 6 . Un medidor pequeño, geométricamente similar, tiene un diámetro de garganta de 0.15 m. ¿Qué velocidad debe ser mantenida en la garganta de este último medidor para que fluya agua a 10 ͦC con las mismas características? Solución: 𝑉𝑚=? 𝐿𝑝 0.45m0.90m 𝑇=20 °𝐶 𝑇=10 °𝐶 Hallando la escala tenemos 0.15 0.45 = 1 3 𝐿𝑝 𝐿𝑚 = 1 3 0.45m 𝑉 2𝑝=6   m / s   0.15m 𝐿𝑚 VISCOSIDAD CINEMÁTICA Ejemplo Nª05: 𝐿𝑚𝑉𝑚 𝝏𝑚 = 𝐿𝑝𝑉 𝑝 𝝏𝑝 𝑉𝑚=23 . 437𝑚/ 𝑠 𝐑𝐞¿ 𝑽𝑳 𝝏 (6 𝑚 𝑠 )(0 . 45𝑚) 1 . 0038 𝑥10− 6𝑚2 /𝑠 = (𝑉𝑚 )(0 .1 5𝑚) 1.307 𝑥10−6𝑚2 /𝑠 𝑉𝑚= (6 𝑚 𝑠 ) (3 )(1 . 307) 1 .0038 El modelo de un reservorio a escala , es vaciado en 5 minutos ¿Qué tiempo demorará el desagüe del prototipo? SOLUCIÓN: 𝟏 𝟐𝟓𝟔 = 𝑳𝒎 𝑳𝒑 𝑳𝒎 𝑻𝒎 =( 𝑳𝒑 𝑻 𝒑 )√ 𝑳𝒎 𝑳𝒑 𝟏 𝟐𝟓𝟔 = 𝟓 𝑻 𝒑 ∗√ 𝟏 𝟐𝟓𝟔𝑭= 𝑽𝒎 √𝒈𝒎𝑳𝒎 = 𝑽 𝒑 √𝒈𝒑 𝑳𝒑 𝑽𝒎= 𝑽 𝒑∗√𝒈𝒎𝑳𝒎 √𝒈𝒑𝑳𝒑 𝑽𝒎=𝑽 𝒑∗√ 𝑳𝒎 𝑳𝒑 ∗√ 𝒈𝒎 𝒈𝒑 𝑳𝒎 𝑳𝒑 = 𝑻𝒎 𝑻 𝒑 √ 𝑳𝒎 𝑳𝒑 Datos: 𝒆𝒕=√𝒆𝑳 𝑒𝑡=√ 1 256 = 1 16 = 𝑇𝑚 𝑇 𝑝 EjemploNª 06: Otro procedimiento: Siendo la escala de aceleración, debido a que una misma magnitud “ interviene en modelo y prototipo, luego: 𝑒𝑎= 𝑒𝐿 𝑒𝑡 2 =1 𝑇 𝑝=80𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑇 𝑝=80𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Reemplazando datos: ¿Cuanto medirá “h” y “L” en el salto del problema anterior? Ejemplo Nª08: Solución: 𝑭= 𝑽 √𝒈𝑳 𝑭𝒎=𝑭 𝒑 Desarrollo de la última expresión: 𝑉𝑚 √𝑔𝑚𝐿𝑚 = 𝑉 𝑝 √𝑔𝑝𝐿𝑝 Con los datos del modelo, observado, Nº4: 2.61 √𝑔𝑚∗2.17 = 2.5 √𝑔𝑝∗h𝑝 De la relación obtenida del problema anterior: 𝒉 𝑳 = 𝟎 .𝟐𝟐 𝟏 Reemplazando el valor de: La escala de longitudes para construir el modelo de una represa es de Si el modelo ha de ser operado en agua, del mismo modo que el prototipo, y teniendo presente que la gravedad actúa al igual sobre ambos, ¿Cuáles serán las escalas para : tiempos, masas, velocidades, gastos, trabajo, potencias, fuerzas y presiones? 𝑒𝑇= 𝑇𝑚 𝑇𝑝 =√𝑒𝐿 𝑒𝑇=√ 1 100 = 1 10 𝑒𝑚=𝑒3 𝐿 𝑒𝑚=( 1 100 ) 3 = 1 106 𝑇𝑚 𝐿𝑚 𝐿𝑚 𝑇 𝑝 𝐿𝑃 𝐿𝑝 = 𝐿𝑚 𝑉𝑚 𝐿𝑝 𝑉 𝑃 = 𝐿𝑚∗𝑉 𝑃 𝑉𝑚∗𝐿𝑃 = 𝐿𝑚 𝐿𝑝 ∗ 𝑉 𝑃 𝑉𝑚 = 1 100 ∗10= 𝟏 𝟏𝟎 = 𝑽𝒎 𝑽 𝒑 =𝒆𝑽 𝑄𝑚 𝑄𝑝 = 𝑉𝑚 𝑉 𝑝 ∗( 𝐿𝑚 𝐿𝑝 ) 2 = 1 10 ∗( 1 100 ) 2 = 𝟏 𝟏𝟎𝟓=𝒆𝑸 ESCALA DE CAUDAL ESCALA DE VELOCIDADES ESCALA DE TIEMPO ESCALA DE MASAS Ejemplo Nª09: 𝐿 𝑸 𝒎=𝟐𝒎𝟑 𝒔 𝑳 𝑸 𝒑=? modelo prototipo 𝒚 𝟏 𝒎 𝒚𝟐𝒎 𝒚𝟐𝒑𝒚𝟏𝒑 𝒚𝟏𝒎 𝒚 𝟏 𝒑 𝑭= 𝑽 √𝒈𝑳 Numero de Froude 𝐅𝒎¿𝐅𝒑 𝑽𝒎 √𝒈𝒎∗𝑳𝒎 ¿ 𝑽 𝒑 √𝒈𝒑∗𝑳𝒑 𝑽𝒎 √𝑳𝒎 ¿ 𝑽 𝒑 √𝑳𝒑 𝑽𝒎¿𝑽 𝒑 (√ 𝑳𝒎 𝑳𝒑 ) 𝑽𝒎 𝑽 𝒑 ¿√𝟏𝟐 (Escala de velocidades) 𝑽𝒎 √𝒈𝒎∗𝑳𝒎 ¿ 𝑽 𝒑 √𝒈𝒑∗𝑳𝒑 Donde: Donde: (en el mismo lugar)𝒈𝒎¿𝒈𝒑 Escala de Caudal 𝑸𝒎 𝑸𝒑 ¿ 𝑽𝒎 𝑽 𝒑 ∗( 𝑳𝒎 𝑳𝒑 ) 𝟐 𝟐 𝒎𝟑 𝒔 𝑸𝒑 =√ 𝟏𝟐∗(𝟏𝟐 )   𝟐 ∴𝑸𝒑 ¿𝟏𝟏 .𝟑𝟏𝒎𝟑 /𝒔 Los efectos del viento sobre un globo se determinan por medio de un modelo a escala en un túnel de viento. a) ¿Qué velocidad del aire en el túnel representaría exactamente una velocidad de en el prototipo? b) ¿A que fuerza de arrastre en el prototipo correspondería una fuerza de . en el modelo? 𝑉𝑚 𝑉 𝑝 Ejemplo Nº11: mL pL 𝐿𝑚 𝐿𝑝 = 1 15 𝐹𝐷𝑚=100𝑘𝑔 Datos: 100𝑘𝑔 𝐹 𝐷𝑝 = 𝐿𝑚 2 𝑉𝑚 2 𝐿𝑝 2 𝑉 𝑝 2 337500 kg • Reemplazando en (1) los datos conocidos: Otro procedimiento de solución: Para calcular la fuerza de arrastre en el prototipo, aplicaremos el número de Euler: 𝑬𝒖= 𝒑 𝝆𝑽𝟐 𝑬𝒖𝒎=𝑬𝒖𝒑 𝒑𝒎 𝝆𝒎𝑽𝒎 𝟐 = 𝒑𝒑 𝝆𝒑𝑽 𝒑 𝟐 Donde: 𝝆𝒎=𝝆𝒑(pues en ambos casos se usa aire) 𝑝= 𝐹 𝐴 = 𝐹 𝐿2 𝒑= 𝑭 𝑳𝟐 (I) (II) (II) en (I): 𝑭𝒎 𝑳𝒎 𝟐 𝝆𝒎𝑽𝒎 𝟐 = 𝑭 𝒑 𝑳𝒑 𝟐 𝝆𝒑𝑽 𝒑 𝟐 Despejando la fuerza del prototipo(): 𝐹 𝑝=𝐹𝑚 𝑳𝒑 𝟐 𝝆𝒑𝑽 𝒑 𝟐 𝑳𝒎 𝟐 𝝆𝒎𝑽𝒎 𝟐 =𝐹𝑚 𝑳𝒑 𝟐𝑽 𝒑 𝟐 𝑳𝒎 𝟐 𝑽𝒎 𝟐 =𝐹𝑚 ( 𝐿𝑝 𝐿𝑚 ) 2 ( 𝑉 𝑝 𝑉𝑚 ) 2 Tomando extremos: 𝑭 𝒑=𝑭𝒎( 𝑳𝒑 𝑳𝒎 ) 𝟐 ( 𝑽 𝒑 𝑽𝒎 ) 𝟐 (III) Reemplazando en (III) : 𝑭 𝒑=𝟑𝟑𝟕 ,𝟓𝟎𝟎𝒌𝒈 La perdida de presión por una unidad de longitud será dada por ∆𝑝 𝐿 = 𝑝 𝐷 𝑈 2 2 𝑓 (𝑅𝑒∗ ∈ 𝐷 ) Si y son iguales, se tendrá pues, entre el modelo y el protipo ∆𝑝 𝐿 𝑝 𝐷 ∗ 𝑈 2 2 = ∆𝑝′ 𝐿′ 𝑝′ 𝐷′ ∗ 𝑈 ′ 2 2 Es decir, en el prototipo, la perdida de presión en el ducto sera = =0.00458 ∆𝑝 𝐿 =0 .458 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑏𝑎𝑟 𝑚 2. Un barco que tiene la longitud de 135 m ha de tener una velocidad de crucero de ¿A que velocidad habrá que arrastrar un modelo a escala para que el número de Froude sea el mismo para el modelo y para el prototipo ?. Calcular el número de Froude. Haga sus comentarios. 𝐹𝑟=𝐹 ′ 𝑟 𝑉 2 𝑔𝑙 = 𝑉 ′2 𝑔𝑙 ′ Ya que la intensidad de la gravedad será la misma en ambos casos. V 𝐹𝑟= 𝑉 √𝑔𝑙 = 35 𝑥103 3600 𝑥√9.8 𝑥135 =0.26 El numero de froude es: Ya que el numero de froud nos sale 0.26 lo consideramos dentro de la clasificación de un flujo subcrítico. 3. Se quiere establecer un modelo para el estudio de la de un avión supersónico en un túnel de prueba. El prototipo ha de volar a , en una atmósfera quieta de densidad , y viscosidad cinemática , con una presión de 1 bar. Una longitud característica de su tamaño es Se quiere hacer el modelo a escala 1:10. Se pide: a. Estudiar la posibilidad de hacer funcionar el túnel utilizando aire atmosférico en ambos casos. b. Si la condición anterior es imposible de cumplir, determinar a que presión correspondiente tendrá que estar sometido el túnel, así como la densidad y velocidad del aire, admitiendo que la viscosidad tiene el mismo valor. c. Si se midió una fuerza de arrastre de en el modelo, que potencia habrán de tener los motores del avión para mantener la velocidad del crucero. = = 𝜌𝑈𝑙 𝜇 = 𝜌′𝑈 ′ 𝑙 ′ 𝜇 ′ 𝑈 √ 𝐸 𝜌 = 𝑈 ′ √ 𝐸 ′ 𝜌 ′ (1) (2) (3) (4)