Didáctica de la matemática en Educación Primaria, Apuntes de Ciencias de la Educación

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COMITÉ ciENTÍFICO Director Joaquín Gairín Sallán Áreas de publicación Didáctica y oxganización escolar coocdinador Joaquín Galrin Sallón Métodos de investigación y diagnóstico en educación ccondicador Jesús $4. fernet peli Teoría e historia de ta educación Coorditadona Salomó Marqués Suseda Conrad Vilanou Torraro Diéictica de la lengua y la literatura Cotndinadores Artur Noguerol Redrlgo Luct Hussbaum Capdevila Didáctica de las clencias experimentales Coordinador Neus Sanima Puig Didáctica de las ciencias socintes Corcicadoras Ernesto Górsez Rodríguez Jean Pagés Blanch Didéctica de la matenática Cortinados Luis Rico Romero Das 1 | Enrique Castro (editor) Ca P ha L +0 Y SINTESIS EDUCACIÓN A T Didáctica de la Matemática ent la Educación Primaria ii iplicativa.en cada 19, Formula un problema de comparación de estructura multiplicativa, uno de los casos; 10 Algoritmos de cálculo mento con el referente desconocido, onocido, arado desconocido. + Comparación de a e + Comparación de disminución con el escalar deso + Comparación de aumento con el roferido o comp estos problemas y compara Jas posí- ingttísticamente cada uno de 20. Reformula lingiiísticame cren un lama AÑ bles dificultades de comprensión que p! Educación Primaria. Rafael Roa ¿0 Gran parte de la matemática escolar está dedicada a enseñar a los niños cómo : realizar los cálculos con las cuatro operaciones básicas, al estudio de los algoritmos de cálculo. En todo algoritmo están implícitas dos cuestiones fntimamente relacio- ¿¿¿nodas: notación y procedimiento, La notación, en aritmética, es la uurneración indo- arábiga. El procedimiento está basado en el valor posicional de las cifras y es dife- ente para cada operación aritmética. Lo característico de los algoritmos es la iepetición, de una seric de pasos elementales y sencillos de recordar. En ol ámbiro de la calle suele identificarse matemáticas con aritmética y aritmé- ¿ea con hacer cuentas; pero, además, las cuentas “de siempre” se han hecho con lápiz papel y, la inmensa mayoría de las veces, en Ja escuela. “Los cálculos que realiza el escolar se sustentan en lo que llamamos hechos numé- as hásicos, resultados que se almacenan en la anemoria y que en un momento dado y que recordar; el caso más conocido cs la tabla de multiplicar. Son resultados exac- Os y que se consideran necesarios por cuanto ayudas a alcanzar los automatismos del ¿álculo con lápiz y papel. Hay otra forma de realizas los cálculos que el ciudadano corriente usa en el super- Agercado, ente la cuota mensual de la hipoteca, cn la planificación de las vacaciones... le dar como una aproximación y csa aproximación no se acepta con resignación «¿Uo cómo un resultado satisfactorio y, desde luego, suficiente para resolver ese pro- f práctico que “realmente” se le ha planteado, Esta forma de calcular es lo que demos por cálculo mental estintado. Eo, 231 230  Didáctica de lu Matemática en la Educación Primaria Actividad 10.2. a) Escribe en el lugar de la interrogación de la sigufente cuenta de sumar el número qua tores. ponda: 253 1,6287 11563 6) ¿qué sucede con el resulado sí, cn una suma de dos sumandos, aumento ambas sumar dela enisimo cantidad Y si las disminuya es la misma cantidad? ¿Y si uno de ellos a y otro lo disminuyo en la misma cantidad? 0. ) E alcaciaes Hen “ada uno de los resultados anteriores, en el cálculo mental apro ximado? u) Representa con un ábaco decimal la sama 2.798 + 3.426 Errores 1, No tiene en cuensa el 1. Confunde el papel del cero 0 aero que e Jena Z Es, 70 s2 . . IU. Los sumandos tienen distinto número de cifras. Sitúa de formas incorrco- ta los números en columnas 4) o suma unidades de un determinado orden con unk dades de distintos órdenes del orro sumando h), 4 123 e a) 15 e) mi 678 10.3. El alguritmo de la resta y r sión Como ocurse con el algoritmo de la suma, para lograr una correcta compre 1 de este algoritmo es necesario, como mínimo, en conocimiento de la estructura : se o o ccilira ema de numeración decimal y una cierta habilidad en el conteo. Más tarde, facil a . : sonas básicas, la tabla de sumar, el dominio del; imie las su mucho las cosas el conocimiento de ' contar descendente y del doble conteo, simultáneo, ascendente y descendente. Para restar, par ejemplo 5.693 y 3.542, se puede considerar que estos múmeros istribui ss bol: corresponden a un montón de caramelos distribuidos así: 3 caramelos suelos 9 po sas de diez caramelos cada una, 6 cajas de diez bolsas cada una, etc, Y que de ese mm j aber cuántos curarme: tán se quieren quitar 2 caramelos, 4 bolsas, 5 cajas, etc. Para saber cuántos i e vi ácrico, ÉS los quedan, la forma más sencilla de lracerlo, desde el punto de vista prác 2136 Capítulo 10: Algoritmos de cálculo separar los caramelos, bolsas, cajas, etc. que hay que quitar y contar cuántos carame- los sueltos, bolsas, cajas, etc. quedan cn cl montón. Esto puede hacerse de diversas formas y sin que se sequiera una colocación especial de las cantidades; incluso el resul. tado se puede dar sin seguir un orden predeterminado: + Caramelos sueltos, bolsas, cajas.. + Bolsas, caramelos sueltos, cajas + Cajas... El sistema de numeración decimal evita tener que citar continuamente el tipo de envase de que se trata, para ello es necesario aceptar el mismo código que se utilizó a la hora de escribir las cantidades que representaban a cada uno de los montones de cara- melos (caramelos sueltos a la derecha, bolsas a su izquierda,..). En este sentido se pue- den disponer los números y el resultado de cualquiera de fas siguientes maneras: 4) 5.693 - 3.542 =2.151 b) 5.693 - 3.542 =2,151 e) 5623 az 2151 Para facilitar la búsqueda de las unidades de un determinado orden, en cada uno «<dleilos sumandos, es deseable que estén colocadas en sitios cercanos y una forma de + hacerlo, corno ya se dijo en la suma, es respetando los principios del sistema de nume- tación, colocando las cantidades una debajo de otra y justificadas a la derecha (las <1inidades debajo de las unidados, las decenas debajo de las decenas...) cs bueno que as cifras que se van obteniendo tenga una proximidad visual con las cifras que las otiginaron, esto hace que el resultado se escriba también debaja de las citadas canti- ules y de forma que en cada columna podamos encontras las unidades de un m :no orden tanto del minuendo como del sustraendo como del resultado, ejemplo: 5693 542 2151 En los algoritmos de las restas presentadas hasta ahora los números que han apa- ¿jecido en el minuondo tienen sus cifras mayores que las correspondientes del sustraen- 237 o Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria do y no ofrecen mucha dificultad, la acción física asociada a estas diferencias consis- Le en tener objetos y tomar algunos de ellos, Las estrategias numéricas a cmplear son disciacas, según el tamaño de los números o las preferencias de quien realiza los cálcs los, por ejemplo, 7 — 3 es 4 porque: Estrategia 4) Si a 7 le quito 3 me quedan á. Estrategia £) Le 3 hasta 7 van. Estrategia e) 4 +3 es 7, El algoritmo se complica cuando algún dígira dol minuendo cs menor que el correspondiente del sustraendo. Para resolver esta situación es imprescindible cono- ecr que la regla de formación de una unidad de un determinado orden, a partir de diez unidades del orden inmediato inferior, es reversible en el sentido de que pueden obtenerse diez unidades de un determinado orden a partix, por “rotura”, de una uni- dad del orden inmediato superior; esto, en el simil que estamos utilizando de los cara- melos, es evidente, pues tan cierro es que cuando tengo diez caramelos sueltos los puedo meter en una bolsa como que si rompo una bolsi obtengo dicz caramelos mue tos, Este hecho es suficiente para resolver numerosas cuentas de restar llevándose y su dificultad es mínima, por ejemplo: 8679 “nel minuendo hay más unidades de primer orden que en el substraendo, 278 mo hay problema y 9-8 es 1. En el minuendo hay menos unidades de segundo orden que en cl sus- 1 zaendo pero se puede obtener unidades cxtras de segundo orden a parcis ¿e tna de las seña unidades de tercer orden y, crtonces, el minuendo habrá que reescribirlo de esta otra manera: eno ya hay en el minuendo más cmidades de segundo ordon que en el sus- 5278 tiendo 5 127855. = 51 En cl minuendo hay más unidades de tercer orden que en el sustraendo y lo mismo sucede con las unidades de cuarto orden, como 5-2 es 3 y 4-5 es 3 se concluye la operación con el resultado de 3.351. Esto ha sido posible porque cn el mintuendo había varias unidades de las que esa necesario descompone en este caso había 6 unidades de tercer orden, pero si el dígito correspondiente a las unidades de tercer orden en el minuendo es cero corno en el caso 8oz9 se actúa de la siguiente forma. 3% Se toma una cidad de les de cuarto ocden que scrán diez de las deter cero y se continúa de manera análoga al caso anterior. 21 Capítulo 10: Algoritnros de cálerdo Fsta manera de restar es llamada coloquilmente “pedir prestado”. Otra forma de hacer es la que se conoce como “pedir y pagar”; consiste en que cuando se necesiten unidades de un determinado orden en el minuendo porque tenga menos que cl sus- traendo, se suma diez a des que se úenen y, para que el resultado de la resta no cam- bic, se le suma la misma cantidad al sustraendo lo que equivale a sumar una unidad al orden inmediato superior. Esra estrategia de realizar el algoritmo se basa en la to- piedad de la diferencia que dice “Si se suma o se resta un amisino número al cninuene do y sustraendo de una diferencia, ésta no cambia”. Aparece, como una forma de nombrar cl hecho del incremento del sustraendo, la expresión “me llevo una”. Las estrategias de pedir prestado” y “pedir y pagar”, en este algoritmo son las más utili- zadas en el ámbito escolar. Actividad 10.3: 2) Esc en el lugar de la interrogación, de la siguiente cuenta de restar, el número que corres» panda : 3202 (517 957 b) ¿Qué sucede can el sesultedo si, en ua reste, aumento el minuendo y el sustraendo en la misma cantidad? ¿Y si los disminuyo en la misma cantidad? Y sl uno de ellos lo aumento otro la disminuyo en la misma cantidad? ' e) ¿Qué implicaciones tiene, cada uno de | 1 £ , e los resultados anteriores, ¿Qué , en el cálculo mental apro- Errores Fl cero en el sustruendo. Unas veces la sola presencia del cero en el sustraendo a) y con independencia de la cifin correspondiente del minuendo provoca que «l aprendiz asocio valor cero al resultado parcial. Otras veces, siguiendo un paralelismo con el cuso del cero en el minuendo, dico de 10 hasta. y el error se transmite entonces a las unidades de grado una unidad superior en el resul- tado, caso by. a 659 e) 120 E 30 29 > Tí. El cero en el minuendo. Resta cero de la cifía correspondiente del sustracndo £), éste se pucde considerar un caso particular del ertor consistente en restar en cada paso, el dígito menor del mayor sin tener cn cuenta su colocación en 239 A Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria a minuendo o en el sustracndo 4), Jin ambos casos, lo que se consigue es pasar de ana cuenta de restar llevándose a una sin llevarse. 0 na ES Ej d a 5 na JUL. No bay el mismo rimevo de cifras en el mincendo y en el un cierto orden a unidades de órdenes distintos en mánuendo /) y dejar incompleta la operación g). 485 675 471 -26 =4 -58 = 2? 231 2 13 y 10.4. El algoritma de la multiplicación Para lograr una satisfactoria comprensión del algoritmo es necesario, como méni- mo, conocer la estructura del sistema decimal de numeración descomposición de números, un cierto dominio de los productos básicos (la llamada tabla de mulripli- car) y de la propiedad distributiva del producro respecto de la suna. Facilitacá mucho Las cacas, agefizando cálenlos y evisando ervores, el uso de la propiedad conmutativa y el dominio de contas de 2 cn 2, de 3 cn 3... En un contexto de sumas repetidas, de la misma forma que 7 veces 12 puede hacerse como 7 veces 10 y 7 veces 2 y luego sumar ambas cantidades, en el algosit- mo usual de la multiplicación se va 2 multiplicar cada una de las cifras del multipli- cador por cada tna de las cifras del multiplicando y posteriormente se suma. Ed ceso de multiplicar por un mémero cos una sola cif, se multiplica esa ifia por cada una de las cifras del multiplicando, respetando los distintos érdenes de uni- dades al considerar los números que se van obteniendo. Cuando sc trata de dos múme sos de más de una cifra el procedimiento será: en cuanto a la colocación de los fac tores, es habitual la colocación en con factores y resultado justificados a la derecha, Se multiplica de derecha a izquicr da y, en el resultado, cada cifra se va poniendo a de los productos parciales es igual o superior a 10 se aplica lo dicho para las “sumas llevándose”, formándose, en este caso, una O varias unidades del orden inmediat 240 sustraendo. Es habitual la colocación incorrecta de los números en columnas e), el restar unidades de a veces, horizontal, escritos en una sola línea, o en vertical, + la izquierda de la anterior, si alguno: Capítulo 10: Algoritmos de cálculo superior, Dicha unidad o unidades no se suma con las É y . o 5 no ses las correspond i- plicando sino a las obtenidas al multiplicar por ese dígito; plo de malo 1 312 274 2837 2 xá 548 11348 a e el cono de mulcipicas por un número con dos cifras se otiliza una tabla de ble entrada en la que se ven colocando los productos parciales que posteriormen- 1, habrá que surnar, por ejemplo: 481 x 36 400 40 1 6 2400 480 6 30 12000 2400 30 'Laonbién se puede poner 400 30 1 6 24 x 100 48x10 6 30 12x3000 24x100 3x10 O de esta otra formas 4 (centenas) 24 (centenas) 12 (unidades de mil) 5 (decenas) 48 (decenas) 24 (centenas) 1 (unidades) 6 (unidades) 3 (decenas) 6 (unidades) 3 (decenas) , ¿Se aplica la regla del sistema de numeración decimal que dice: “Cada diez uni- ades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior” 4 (centenas) $ (decenas) 1lonidad. $ (unidades) 28 (centenas) — da es) ¿3Adlecenas) 14 fonda de mil) a 6 funidades) 4 (centenas) 3 (decenas) o Y se añade ma n a a nueva columna a la tabla para dar cabi Í É abida a las nuev: 5 lic se nos forman; mido 4 (centenas) 8 (decenas) Hunidades) (pnidades) 2 (unidades de mil) 8 (centenas, ccidades 3 , dl fdecenas) 1 [decenas de mibh 4 dd de mil) 4 ca] E oca» (centenas) 3 (decenas) 247  Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria no . lene o el nuevo dividendo, o sca enlazando las divisiones parciales se obtiene el alg rirmo de la división usual: 3798 (16 59 237 118 6 Este algoriemo liene una gran dosis de trabajo mental y 3798 Le dificulta la Localización de errores, en caso de producirse, yes 3 ¿QA por lo que, con frecuencia, puede estar indicado el trabajar con 9 una variante de este algoritmo, en cl que se escriben los pro- 4 5, ductos y las restas parciales, y queda de la siguiente manera, e 6 ¡sáren dos hechos que aparecen en el algoritmo de la división y que no habían Í á E i las restantes operaciones: aparecido en ninguno de los algoritmos de las p 1) El redondeo, a la hora de ver qué cifra poner en el cociente, Se suele de par ejemplo, en la división 7.435 : 32 que 74 entro 3 es ¿po y o E preciando las cifras escritas a la derccha, 7 entre des 2 pues bien, s a sión fuera 7.435 : 39 habrá que decir que 74 entre 39 es | porque, lo a una cifra, 7 entre 4 es 1. . 1) INE se pone una cifra en el cociente que resulta ser demasiado grande a demasiado pequeña, teniendo que deshacer el camino y proba Do parece como si continuamente se estuvicran haciendo conjerura yr pando $ son o no ciertas. En los algoritmos de las restantes operaciones eso no par rre, se realizan una serie de pasos ciertos que, cn Un momento dado, origina un resultado, Actividad 10,5: n, multiplico el dividendo y el ivi a) ¿Qué sucede con el cociente y el resto si, en ura divist ay st uno de ellos lo mul- Sor por un mismo númura? ¿Y si los divido por tn mismo nÚmCIO! : s divido por un iolico y el eto lo divido par un mismo número? . , p e rorlcaciones tiene, cada uno de las resultados anterlores, en el cálculo mental apr ¿Qué tj 0 , ximadoi 246 Capitulo 10: Algoritmos de cálento Errores L. Dejar restos intermedios iguales o mayores que el divisor 4) y omitir ceros en el cociente b), 845 [2 1218 (3 Le 3 0018 46 £) 00 4 l£. Restas de números grandes, normalmente, de dos cifras y que debe realizar de forma mental, 4316 |5 ... Tas De 3543 Tm. Los errores y dificultades que el alumno tenga en la resta y el producto se van a reproducir en la división con mayor fuerza y, asimismo, la lentitud en el automatismo de las citadas operaciones va a constituir, con muclra [recuen- cia, una fuente de error eu la división. IV. Los crrores en la tabla de multiplicar dan lugar a errores de todo tipo en el algoritmo de la división. 19.6, Otros algoritmos de lápiz y papel Durante mucho tiempa el aprendizaje de las operaciones ha estado ligado a su digoritmo de una manera tan fuerte que, con frecuencia, se ha producido una iden- tíficación entre ambos conceptos, Es más, por cl énfasis que se pone en el algoritmo, arece que es éste el objeto de aprendizaje y se da más importancia al automatismo ue a la comprensión. En este contexto es difícil pensar que las cosas se puedan hacer de otra mane- a cuando lo cierto es que no siempre sc ha calculado de la manera que se lrace tualmente y, de hecho, quizás el objetivo más importante desde el punto de ista del cálculo, entre los siglos XV y XVII, fue el de la búsqueda del mejor algo- Jo para cada una de las operaciones. Entre estos otros algoritmos, también ULisnados no usuales, cabe destacar los empleadas en la multiplicación y la divi- n¿porque, por una parte, son los de mayor dificultad en las tareas escolares y, segundo lugar, porque algunos de ellos son especialmento sencillas (véase ¡óMmez, 1988). 247 As Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria 10.6.1. Mnltiplicando con los dedos Los dedos de las manos se han usado tradicionalmente para contar y como ati har de cálculo en el desasrollo de distintos algoritmos. Sumar con los dedos y asta con los dedos es algo habitual en escolares de diversas edades, Pero, sar ¿ea pue te considerarse como un instrumento de cálculo en sí, sometido a una, notas np y a unas reglas particulares, y por tanto puede hablarso de un gor iendo: 2 os dedas de las manos, como caso passiculas so expone a continuación “cl algor! alriplicación con los dedos de las manos”. , ara multiplicar dos números comprendidos entre 5y 10 con Jos dedos dela mano se procede de la siguiente manera: sean a y b dichos nenas ya 5 an pros ducto; (a — 5) y (h— 5) es el número de dedos levantados en e E no E prod e to a « h, que es un número de dos cifras, tendrá como cifra de las penas a ms s los dedos levantados en cada mano y como cifra de las unidades el producto de dedos no levantados en a cada wna de las manos. Actividad 10, 6. Realiza con los dedos de las manos los siguientes productos. 9x9 d 680 e) 9070 7x8 b)6x9 10.7. Cálculo mental y estimado Los algoritmos que se desarrollan en la aritmética del cálculo pon y aio tie nen unas características que los diferencian sustancialmente de los lamados capi papel. Son flexibles, personales y e resultado no ene por qué ser ee peo cm » esto hace que la aplicación de un cierto algoritmo sea diferente cuan lo cas jaa ano otro estudiante y también puede serlo cuando una misma persona lo ap ia sine tas situaciones, Está en función del conocimiento que cada individuo tenga de los nú mos y de sus propiedades e, incluso, de sus preferencias individuales. Dentro de la variedad de algoritmos que existen o puedan existir se citan, a von- + mismos o como idca para generar otros nuevos. ; tinuación, algunos que sirven por sí 10.7.1. De sumas dstía basados en la descomposición de uno o ambos sumandos yy entre las di tintas formas que hay de hacerlo, se encuentran las siguientes: . E 1. Convirtiendo en 10 uno de los sumandos; es bastante apropiado para suman dos de un solo dígito: D7=10:6-16 248 Capítulo 10: ¡Algoritmos de cálculo IL. Separando las distintas unidades en cada sumando. Es apropiado en suman dos de dos dígitos: 24 + 63 (20 + 60) + (44 3) = 80+7= 87 TM. Descomponiendo sólo uno de los sumandos, tiene la ventaja de que hay que retener menos datos en la memoria. 5.321 + 2.475 -: (35.000 + 2.475) + 321 - 7,4754 32] = = 7.000 + (400 + 300) + (70 +20) + (5+ 1) Cada una de estas formas puede generalizarse, por ejemplo, el primer caso pue- de extenderse para completar decenas, contonas... y su aplicación se amplía a suman- dos con dos, tres... digitos. El segundo caso puede hacerse con sumandos de tres o más cifras y entonces la descomposición es en centenas, decenas y unidades. El ter- cer caso se utiliza mucho en sumandos de dos dígitos. Las técnicas anteriores de cálculo mental ticnen la finalidad de obtener un resul- tada exacto. Esto se puede lograr cuando hay pocos sumandos y tienen un número pequeño de cifras, cuando esto no es así, recurrimos al cálculo estimado. Hay diversas maneras de esúrnar la suza de números de varias cifras. Una de ellas consiste en sumar los dígitas de la izquierda, los de mayor valor de posición, y com- pletar con ceros a da derecha, La suma estimada de 347 + 589 aplicando esta técnica es 800, Los resultados obtenidos por este método no son en general muy exactos, sobre todo cuando las cifras de la izquierda son pequeñas. En cl 2aso “1.999 + 1.977” da suma estimada 2.000 es casi la mirad que el resultado exacto. Para aumentar la exactitud se puede proceder a ajustar Ja respuesta. Para ello, se observa las cifras que hay 2 continuación de las de mayor valor posicional. Si la suma = de estas cifías está próxima a 10, se suma uno a la suma de las cifras de mayor valor. ia sima se aproxima a 20, le sumamos dos, par ejemplo, en la suma 5.833 + 4.977 la primera estimación es 9.000 (sumar 5 1 4 = 9 y añadir tres ceros), pero teniendo n cuenta las cifras siguientes 8 + 9 = 17, este número está cerca de 20, luego aumen- lamos cn dos cl resultado de sumar las cifras 8 y 9, las de mayor valor de posición. El resultado ajustado es 11.000. Otra estrategia para obtener sumas estimadas es redondear los sumandos antes de sumar los dígitos de nuayor valor posicional. Por ejemplo, para sumar 478 + 1.496 + 4,467 4) se redondean los dos primeros sumandos a Jas centenas y se suman, 500 + 1.500 = 2,000, “h) se redondea el siguiente número a las centenas y se suman, 2.000 + 4,500 = 6.500, Coro los sumandos tienen más de tres dígitos, se impone un proceso previo de lpndeo al que Inego se padrá aplicar el algoritmo que corresponda. Didáctica de la Matemática est la Educación Primaria Actividad 10.7. a) Efectóa mentalmente las siguientes sumas: 32 +56 6474213 2340+5617 27,249 2 64.387 b) Analiza cuál de los mátodos citados te fra resultado más fácil y razana por qué. 10.7.2. De restas Los algoritmos de cálculo mental para restas están basados unos en recotzer direc- tamente el camino de un número a otro, ya sea del sustraendo al minuendo o del minuendo al sustraendo, otros en la descomposición de minuendo y sustracndo y atros en efectuar la resta de teyuierda a derecha, 4) Recorriendo distancios: + Del substraendo al minuendo 456 - 125, de 125 a 200 van 75, de 200 a 456 van 256; 256 + 75 que ya se hace por cualquiera de los métodos vistos para la suma. + Del mintucndo al sustraendo A56— 125, de 456 a 400 van 56, de 400 a 200 van 200, de 200 a 125 van 75 y, por tanto, 56 + 200 + 75 que ya se hace por cualquiera de los métodos vis- ros para la suma. b) Descomponiendo: » Ambos términos 856 — 237 = (800 — 200) + (56 -- 37) = 600 + 17 = 617. + Descomponiendo uno de elos 856 — 237 = (856 — 200) - 37 = 65637 - 617. ¿) De izquierda a derecha. El trasladar el procedimiento usual de los algorirmos de lápiz y papel para la resta al caso del cáleulo mental esige, por una parte, una buena dosis de memoria para obtener y retener cada uno de los dígitos del resultado y, par + otra parte, la ordenación de los dígitos en orden contrario al que han sido obtenidos. El operar de izquierda a derecha hace innecesario ese último paso y permite empezar a dar cl resultado desde el momento en que se inicia el eálento y, además, la primera cifra que se obtiene es la más significativa y tanto es así que, en muctras ocasiones; 250 Capítulo 10: Algoritmos de cálculo ella sola es suficiente para dat un resultado, aproximado, satisfactorio y suficiente. Ejemplo, 689 —- 236 es cuatrocientos cincuenta y tres, y a veces, basta con decir cua- trocientos..., cualrocientos, Si alguna cifra del minuendo es menor que la correspondiente del sustraendo, entonces hace falta prever y tener en cuenta lo que en los algoritmos de lápiz y papel se conocía como “me llevo una”. En este caso se traduce en que “resto dos digitos de un mismo orden si al mirar los números formados por las cifras que quedan a su dere- cha es mayor el que corresponde al minuendo y, en caso contrario, le resto el dígito del sustraendo aumentado en una unidad”, Por ejemplo: 659 —- 472, digo G— 5 = 1 porque 59 es menor que 72, digo 15 - 7 = 6 porque 9 es mayor que 2 y, por último, dig 9 —2 =7 y el resultado será 167, En todos ellos es muy importante el conocimiento y el dominio de los Jlamados complementos a 10, 100, etc. El complemento a 10 de un número de una cifra es la que le falta para llegar a 10, el complemento a 10 de 7 es 3; el complemento a 100 de un número de dos cifras es lo que le falta para llegar a 100, el complemento a 100 de 38 es 62, Este algoritmo aplicado al cálculo estimado, aunque se centra exclusivamente en 1no o dos de los dígitos más significativos. Por ejemplo, al estimar la diferencia entre 359 y 274, consideramos las cifras de las centenas para restarlas, puesto que 5 es menor que 7, la diferencia es cero. Restamos 7 de 15 y la respuesta estimada es 80, Actividad 10.8: 4) Efoctia mentalmente las siguientes restas A 23 835 380 7.620 -- 4.352 57.248 -- 23.561 h) Analiza cuál de las métodos citados resulta más fácil y razona por qué. 10.73. En productos Salvo algunos casos sencillos, como los siguientes en el que se pueden aplicar téc- icas de convertir el producto en una suma, 3 Xx 12 = 12 1 124 12=36, o en com- “binaciones de multiplicación y suma, 5 X 25 = (4x 25) + 25 = 100 +25 =125, el ptocedimiento más efectivo y aplicable a una mayor cantidad de situaciones es la des- :omiposición de uno de los factores; unas veces esta descomposición será de tipo adi- vá y, otras, de tipo multiplicativo. 257