Dinámica de Estructuras, Monografías, Ensayos de Derecho

¡Descarga Dinámica de Estructuras y más Monografías, Ensayos en PDF de Derecho solo en Docsity! PRIMER CURSO DE ESPECIALIZACIÓN ONLINE “ANÁLISIS SÍSMICO LINEAL ELÁSTICO DE ESTRUCTURAS” SESIÓN N° 03 Y 04 “DINÁMICA ESTRUCTURAL” Ing. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE ing_erlyenriquez@hotmail.com 19 y 20 de Julio del 2018 Lima – Perú INGENIERÍA SISMORRESISTENTE PERÚ ÍNDICE CAPÍTULO I GENERALIDADES 1.1 INTRODUCCIÓN 01 1.2 OBJETIVOS 01 1.3 NOTACIÓN 02 CAPÍTULO II VIBRACIÓN LIBRE DE UN GRADO DE LIBERTAD 2.1 INTRODUCCIÓN 03 2.2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD 03 2.3 VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO 04 2.4 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO 06 2.5 EJERCICIOS RESUELTOS 13 CAPÍTULO III VIBRACIÓN FORZADA DE UN GRADO DE LIBERTAD 3.1 INTRODUCCIÓN 18 3.2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD 18 3.3 VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO 19 3.4 VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO 24 3.5 EJERCICIOS RESUELTOS 26 CAPÍTULO IV ANÁLISIS DINÁMICO TIEMPO – HISTORIA DE UN GRADO DE LIBERTAD 4.1 INTRODUCCIÓN 32 4.2 MÉTODO DE NEWMARK 32 4.3 EJERCICIOS RESUELTOS 35 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 2 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” 1.3 NOTACIÓN {𝐴}:𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 (𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛) 𝑐: 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑐𝑟:𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐶:𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝛿:𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟í𝑡𝑚𝑖𝑐𝑜 ∆:𝐷𝑖𝑠𝑐𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝜉:𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑓:𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐹0: 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐹𝐴𝐷:𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑘:𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑘𝑖: 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜 𝑖 [𝐾]: 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑚: 𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚𝑖: 𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑠í𝑠𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜 𝑖 [𝑀]: 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝(𝑡):𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑟:𝑅𝑎í𝑧 𝑡: 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑇: 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑢:𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 ?̇?: 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 ?̈?: 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑢0:𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ?̇?0: 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑢𝑔: 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑢𝑝:𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑢𝑖+1: 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑖 + 1 ?̇?𝑖+1: 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑖 + 1 ?̈?𝑖+1: 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑖 + 1 {𝑢}: 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 {?̈?}: 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝜔𝑛:𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 : 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑎 Ø:Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 3 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” CAPÍTULO II VIBRACIÓN LIBRE DE UN GRADO DE LIBERTAD 2.1 INTRODUCCIÓN Se dice que una estructura experimenta vibración libre cuando es perturbada de su posición de equilibrio estático y después se deja vibrar sin ninguna excitación dinámica externa. Aunque el amortiguamiento en las estructuras reales se debe a varios mecanismos de disipación de la energía que actúan de manera simultánea, un enfoque matemáticamente práctico consiste en idealizarlos mediante el amortiguamiento viscoso equivalente. 2.2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se define como aquel que solo es posible un tipo de movimiento, es decir, la posición del sistema en cualquier instante puede ser definida por la de una sola coordenada. m (Masa) k (Rigidez) u (Desplazamiento) c (Amortiguamiento Figura 2.1. Sistema de un grado de libertad 𝑚?̈? + 𝑐?̇? + 𝑘𝑢 = 0 (2.1) Ésta es la ecuación de movimiento que controla la deformación o el desplazamiento u(t) de la estructura idealizada en la figura 2.1, que se supone elástica lineal, sometida a vibración libre. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 4 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” 2.3 VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO El movimiento de los sistemas lineales de 1GDL, visualizados como un sistema masa – resorte – amortiguador, sometido a vibración libre se rige por la ecuación (2.1). Para los sistemas sin amortiguamiento (c = 0) se especifica como: 𝑚?̈? + 𝑘𝑢 = 0 (2.2) Dividiendo la ecuación (2.2) en m: ?̈? + 𝑘 𝑚 𝑢 = 0 (2.3) Definiendo la frecuencia natural, el periodo y la frecuencia como: 𝜔𝑛 = √ 𝑘 𝑚 ⇒ 𝜔𝑛 2 = 𝑘 𝑚 (2.4) 𝑇 = 2𝜋 𝜔𝑛 = 2𝜋√ 𝑚 𝑘 (2.5) 𝑓 = 1 𝑇 (2.6) Reemplazando la ecuación (2.4) en (2.3): ?̈? +𝜔𝑛 2𝑢 = 0 (2.7) Resolviendo la ecuación (2.7): 𝑟2 +𝜔𝑛 2 = 0 𝑟1 = 𝛼1 + 𝑖𝛽1 = 0+ 𝑖𝜔𝑛 𝑟2 = 𝛼1 − 𝑖𝛽1 = 0− 𝑖𝜔𝑛 𝑢 = 𝐴𝑒𝛼1𝑡𝑠𝑒𝑛𝛽1𝑡 + 𝐵𝑒𝛼1𝑡𝑐𝑜𝑠𝛽1𝑡 𝑢 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡+ 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡 (2.8) ?̇? = 𝜔𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡− 𝜔𝑛𝐵𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡 (2.9) 𝑆𝑖: 𝑡 = 0; 𝑢 = 𝑢0 (2.10) 𝑆𝑖: 𝑡 = 0; ?̇? = ?̇?0 (2.11) Reemplazando (2.10) en (2.8): 𝐵 = 𝑢0 (2.12) ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 7 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” 2.4.1 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO La ecuación diferencial que rige la vibración libre de los sistemas de 1GDL con amortiguamiento es: 𝑚?̈? + 𝑐?̇? + 𝑘𝑢 = 0 (2.20) Dividiendo la ecuación (2.20) entre m: ?̈? + 𝑐 𝑚 ?̇? + 𝑘 𝑚 𝑢 = 0 (2.21) Definiendo el amortiguamiento crítico como: 𝑐𝑐𝑟 = 2√𝑘𝑚 (2.22) Definiendo la fracción de amortiguamiento crítico como: 𝜉 = 𝑐 𝑐𝑐𝑟 (2.23) De la ecuación (2.22) y (2.23): 𝑐 = 2𝜉√𝑘𝑚 (2.24) De la ecuación (2.4): 𝑘 𝑚 = 𝜔𝑛 2 (2.25) De la ecuación (2.24) y (2.25): 𝑐 𝑚 = 2𝜉𝜔𝑛 (2.26) Reemplazando las ecuaciones (2.25) y (2.26) en (2.21): ?̈? + 2𝜉𝜔𝑛?̇? + 𝜔𝑛 2𝑢 = 0 (2.27) ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 8 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” 2.4.2 TIPOS DE MOVIMIENTO Figura 2.3. Tipos de vibración libre de sistemas con amortiguamiento. En la figura 2.3 se muestra una gráfica del movimiento u(t) debido al desplazamiento inicial u(0) para tres valores de ξ. Resolviendo la ecuación (2.27): 𝑟2 +2𝜉𝜔𝑛𝑟+ 𝜔𝑛 2 = 0 (2.28) 𝑟 = −𝜉𝜔𝑛± 𝜔𝑛√𝜉 2−1 (2.29) ∆= 𝜉2 −1 (2.30) 2.4.2.1 SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS Si c > ccr, Δ > 0 ó ξ > 1, el sistema no oscila y regresa a su posición de equilibrio a un ritmo muy lento. El amortiguamiento ccr se denomina amortiguamiento crítico debido a que es el valor más pequeño de c que inhibe por completo la oscilación. Representa la línea divisoria entre el movimiento oscilatorio y no oscilatorio. Sean las raíces de la ecuación (2.28) 𝑟1 = −𝜉𝜔𝑛+𝜔𝑛√𝜉 2 −1 (2.31) 𝑟2 = −𝜉𝜔𝑛−𝜔𝑛√𝜉 2−1 (2.32) ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 9 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” Sea la solución de la ecuación (2.27) 𝑢 = 𝐴𝑒𝑟1𝑡 +𝐵𝑒𝑟2𝑡 𝑢 = 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 [𝐴𝑒𝜔𝑛√𝜉2−1𝑡 +𝐵𝑒−𝜔𝑛√𝜉2−1𝑡] (2.33) ?̇? = 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 [𝜔𝑛√𝜉 2− 1𝐴𝑒𝜔𝑛√𝜉2−1𝑡 −𝜔𝑛√𝜉 2 −1𝐵𝑒−𝜔𝑛√𝜉2−1𝑡] (2.34) Si el sistema parte de las siguientes condiciones: 𝑆𝑖: 𝑡 = 0; 𝑢 = 0 (2.35) 𝑆𝑖: 𝑡 = 0; ?̇? = ?̇?0 (2.36) Reemplazando (2.35) en (2.33): 𝐵 = −𝐴 (2.37) Reemplazando (2.36) en (2.34): 𝐴 = ?̇?0 2𝜔𝑛√𝜉 2− 1 (2.38) Reemplazando (2.37) y (2.38) en (2.33): 𝑢 = ?̇?0𝑒 −𝜉𝜔𝑛𝑡 2𝜔𝑛√𝜉 2−1 [𝑒𝜔𝑛√𝜉2−1𝑡 − 𝑒−𝜔𝑛√𝜉2−1𝑡] (2.39) 2.4.2.2 SISTEMAS CRÍTICAMENTE AMORTIGUADOS Si c = ccr, Δ = 0 ó ξ = 1, el sistema vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar. Sean las raíces de la ecuación (2.28) 𝑟 = −𝜔𝑛 (2.40) Sea la solución de la ecuación (2.27) 𝑢 = 𝐴𝑒𝑟𝑡+𝐵𝑡𝑒𝑟𝑡 𝑢 = 𝐴𝑒−𝜔𝑛𝑡+ 𝐵𝑡𝑒−𝜔𝑛𝑡 (2.41) ?̇? = −𝜉𝜔𝑛𝐴𝑒 −𝜔𝑛𝑡 +𝐵(𝑒−𝜔𝑛𝑡 − 𝜉𝜔𝑛𝑒 −𝜔𝑛𝑡𝑡) (2.42) Si el sistema parte de las siguientes condiciones: 𝑆𝑖: 𝑡 = 0; 𝑢 = 0 (2.43) 𝑆𝑖: 𝑡 = 0; ?̇? = ?̇?0 (2.44) ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 12 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” El logaritmo natural de esta relación, llamado el decremento logarítmico, se indica mediante δ: 𝛿 = 𝑙𝑛 ( 𝑢𝑖 𝑢𝑖+1 )= 2𝜋𝜉 √1 − 𝜉2 (2.60) Si ξ es pequeña, √1− 𝜉2 ≈ 1 y esto da una ecuación aproximada: 𝛿 ≈ 2𝜋𝜉 (2.61) Figura 2.5. Relaciones exacta y aproximada entre el decremento logarítmico y la fracción de amortiguamiento. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 13 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” 2.5 EJERCICIOS RESUELTOS Pregunta 1. Un sistema de un grado de libertad tiene las propiedades siguientes: m = 0.2533 kip-s2/pulg, k = 10 kips/pulg. Determine las respuesta u(t), ů(t) y ü(t) en vibración libre sin amortiguamiento debido a una velocidad inicial de 40 cm/s. 𝑇 = 2𝜋√ 𝑚 𝑘 = 2𝜋√ 0.2533 10 = 1𝑠 ti (s) ui (cm) ůi (cm/s) üi (cm/s2) 0.00 0.00 40.00 0.00 0.02 0.80 39.68 -31.50 0.04 1.58 38.74 -62.50 0.06 2.34 37.19 -92.52 0.08 3.07 35.05 -121.08 0.10 3.74 32.36 -147.73 0.12 4.36 29.16 -172.05 0.14 4.91 25.50 -193.65 0.16 5.38 21.43 -212.20 0.18 5.76 17.03 -227.41 0.20 6.05 12.36 -239.03 0.22 6.25 7.50 -246.88 0.24 6.35 2.51 -250.83 0.26 6.35 -2.51 -250.83 0.28 6.25 -7.50 -246.88 0.30 6.05 -12.36 -239.03 0.32 5.76 -17.03 -227.41 0.34 5.38 -21.43 -212.20 0.36 4.91 -25.50 -193.65 0.38 4.36 -29.16 -172.05 0.40 3.74 -32.36 -147.73 0.42 3.07 -35.05 -121.08 0.44 2.34 -37.19 -92.52 0.46 1.58 -38.74 -62.50 0.48 0.80 -39.68 -31.50 0.50 0.00 -40.00 0.00 0.52 -0.80 -39.68 31.50 0.54 -1.58 -38.74 62.50 0.56 -2.34 -37.19 92.52 0.58 -3.07 -35.05 121.08 0.60 -3.74 -32.36 147.73 T: Periodo de la Estructura (s) 1.00 ω: Frecuencia natural angular (rad/s) 6.28 u0: Desplazamiento inicial (cm) 0.00 ů0: Velocidad inicial (cm/s) 40.00 Δt: Variación del tiempo (s) 0.02 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 14 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 17 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” ti (s) ui (cm) 0.00 0.00 0.02 0.63 0.04 1.00 0.06 1.21 0.08 1.32 0.10 1.38 0.12 1.39 0.14 1.38 0.16 1.36 0.18 1.33 0.20 1.30 0.22 1.26 0.24 1.22 0.26 1.18 0.28 1.14 0.30 1.11 0.32 1.07 0.34 1.04 0.36 1.00 0.38 0.97 0.40 0.94 T: Periodo de la Estructura (s) 1.00 ωn: Frecuencia natural angular (rad/s) 6.28 ξ: Fracción de amortiguamiento crítico 2.00 ωD: Frecuencia angular amortiguada (rad/s) 10.88 u0: Desplazamiento inicial (cm) 0.00 ů0: Velocidad inicial (cm/s) 40.00 Δt: Variación del tiempo (s) 0.02 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 18 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” CAPÍTULO III VIBRACIÓN FORZADA DE UN GRADO DE LIBERTAD 3.1 INTRODUCCIÓN Se dice que una estructura experimenta vibración forzada cuando es perturbada de su posición de equilibrio estático por medio de una excitación dinámica externa. Aunque el amortiguamiento en las estructuras reales se debe a varios mecanismos de disipación de la energía que actúan de manera simultánea, un enfoque matemáticamente práctico consiste en idealizarlos mediante el amortiguamiento viscoso equivalente. 3.2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se define como aquel que solo es posible un tipo de movimiento, es decir, la posición del sistema en cualquier instante puede ser definida por la de una sola coordenada. m (Masa) k (Rigidez) u (Desplazamiento) c (Amortiguamiento p (Fuerza Externa) Figura 3.1. Sistema de un grado de libertad 𝑚?̈? + 𝑐?̇? + 𝑘𝑢 = 𝑝(𝑡) (3.1) La solución de la ecuación diferencial de movimiento es: 𝑢 = 𝑢𝑔 +𝑢𝑝 (3.2) ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 19 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” 3.3 VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO 3.3.1 CARGA SÚBITA Figura 3.2.Variación de la carga súbita en el tiempo 𝑚?̈? + 𝑘𝑢 = 𝐹0 (3.3) 𝑢𝑔 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡+ 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡 (3.4) 𝑢𝑝 = 𝐶 (3.5) ?̈?𝑝 = 0 (3.6) Reemplazando (3.5) y (3.6) en (3.3) 𝐶 = 𝐹0 𝑘 (3.7) Reemplazando (3.5) y (3.4) en (3.2) 𝑢 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡+ 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡+ 𝐹0 𝑘 (3.8) ?̇? = 𝜔𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡−𝜔𝑛𝐵𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡 (3.9) Si el sistema parte del reposo 𝑆𝑖: 𝑡 = 0; 𝑢 = 0 (3.10) 𝑆𝑖: 𝑡 = 0; ?̇? = 0 (3.11) Reemplazando (3.10) en (3.8) 𝐵 = − 𝐹0 𝑘 (3.12) Reemplazando (3.11) en (3.9) 𝐴 = 0 (3.13) Reemplazando (3.12) y (3.13) en (3.8) 𝑢 = 𝐹0 𝑘 (1− 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡) (3.14) 𝐹𝐴𝐷 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡 (3.15) ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 22 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” Tramo 2: 𝑡 > 𝑡𝑑 𝑚?̈?+ 𝑘𝑢 = 𝐹0 (3.3) 𝑢 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛(𝑡− 𝑡𝑑)+ 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛(𝑡− 𝑡𝑑) + 𝐹0 𝑘 (3.38) ?̇? = 𝜔𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛(𝑡− 𝑡𝑑) −𝜔𝑛𝐵𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛(𝑡 − 𝑡𝑑) (3.39) Si el sistema parte de: 𝑡 = 𝑡𝑑 , de Las ecuaciones (3.36) y (3.37) 𝑆𝑖: 𝑡 = 𝑡𝑑; 𝑢 = 𝐹0 𝑘 (1 − 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡𝑑 𝜔𝑛𝑡𝑑 ) (3.40) 𝑆𝑖: 𝑡 = 𝑡𝑑; ?̇? = 𝐹0 𝑘𝑡𝑑 (1− 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡𝑑) (3.41) Reemplazando (3.40) en (3.38) 𝐵 = − 𝐹0 𝑘 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡𝑑 𝜔𝑛𝑡𝑑 (3.42) Reemplazando (3.41) en (3.39) 𝐴 = 𝐹0 𝑘 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡𝑑) 𝜔𝑛𝑡𝑑 (3.43) Reemplazando (3.42) y (3.43) en (3.38) 𝑢 = 𝐹0 𝑘 [ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛(𝑡− 𝑡𝑑) 𝜔𝑛𝑡𝑑 − 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛(𝑡− 𝑡𝑑)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡𝑑+ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡𝑑𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛(𝑡− 𝑡𝑑) 𝜔𝑛𝑡𝑑 +1] (3.44) 𝑢 = 𝐹0 𝑘 [ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛(𝑡− 𝑡𝑑) 𝜔𝑛𝑡𝑑 − 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡 𝜔𝑛𝑡𝑑 + 1] (3.45) ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 23 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” 3.3.4 CARGA ARMÓNICA 𝑚?̈? + 𝑘𝑢 = 𝐹0𝑠𝑒𝑛𝑡 (3.46) 𝑢𝑔 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡+ 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡 (3.47) 𝑢𝑝 = 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 (3.48) ?̈?𝑝 = −2𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 (3.49) Reemplazando (3.48) y (3.49) en (3.46) 𝐶 = 𝐹0 𝑘 . 1 [1− (  𝜔𝑛 ) 2 ] (3.50) Reemplazando (3.47) y (3.48) en (3.2) 𝑢 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡+ 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡+ 𝐹0 𝑘 . 1 [1 − ( 𝜔𝑛⁄ )2] . 𝑠𝑒𝑛𝑡 (3.51) ?̇? = 𝜔𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡−𝜔𝑛𝐵𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡 + 𝐹0 𝑘 .  [1 − ( 𝜔𝑛⁄ )2] . 𝑐𝑜𝑠𝑡 (3.52) Si el sistema parte de una posición y velocidad inicial 𝑆𝑖: 𝑡 = 0; 𝑢 = 𝑢0 (3.53) 𝑆𝑖: 𝑡 = 0; ?̇? = ?̇?0 (3.54) Reemplazando (3.53) en (3.51) 𝐵 = 𝑢0 (3.55) Reemplazando (3.54) en (3.52) 𝐴 = ?̇?0 𝜔𝑛 − 𝐹0 𝑘 . ( 𝜔𝑛⁄ ) [1 − ( 𝜔𝑛⁄ )2] (3.56) Reemplazando (3.55) y (3.56) en (3.51) 𝑢 = [ ?̇?0 𝜔𝑛 − 𝐹0 𝑘 . ( 𝜔𝑛⁄ ) [1 − ( 𝜔𝑛⁄ )2] ]𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡+ 𝑢0𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡+ 𝐹0 𝑘 . 1 [1− ( 𝜔𝑛⁄ )2] . 𝑠𝑒𝑛𝑡 (3.57) Transitorio Estacionario ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 24 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” 3.4 VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO 3.4.1 CARGA ARMÓNICA 𝑚?̈? + 𝑐?̇? + 𝑘𝑢 = 𝐹0𝑠𝑒𝑛𝑡 (3.58) Dividiendo la ecuación (3.58) entre m: ?̈? + 𝑐 𝑚 ?̇? + 𝑘 𝑚 𝑢 = 𝐹0 𝑚 𝑠𝑒𝑛𝑡 (3.59) Reemplazando las ecuaciones (2.25) y (2.26) en (3.58): ?̈? + 2𝜉𝜔𝑛?̇? + 𝜔𝑛 2𝑢 = 𝐹0 𝑚 𝑠𝑒𝑛𝑡 (3.60) 𝜔𝐷 = 𝜔𝑛√1− 𝜉2 (2.28) 𝑢𝑔 = 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡(𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜔𝐷𝑡) (3.61) 𝑢𝑝 = 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡+𝐷𝑐𝑜𝑠𝑡 (3.62) ?̇?𝑝 = 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑡−𝐷𝑠𝑒𝑛𝑡 (3.63) ?̈?𝑝 = −2𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡− 2𝐷𝑐𝑜𝑠𝑡 (3.64) Reemplazando (3.62), (3.63) y (3.64) en (3.60) [(𝜔𝑛 2− 2)𝐶− 2𝜉𝜔𝑛𝐷]𝑠𝑒𝑛𝑡+ [2𝜉𝜔𝑛𝐶+ (𝜔𝑛 2− 2)𝐷]𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝐹0 𝑚 𝑠𝑒𝑛𝑡 (3.65) Para que la ecuación (3.65) sea válida para toda t, los coeficientes de los términos de seno y coseno en los dos lados de la ecuación deben ser iguales. Este requisito proporciona dos ecuaciones en C y D que, después de dividirlas entre 𝜔𝑛 2 y de usar la relación 𝑘 = 𝜔𝑛 2𝑚 se convierten en [1− (  𝜔𝑛 ) 2 ]𝐶 − (2𝜉  𝜔𝑛 )𝐷 = 𝐹0 𝑘 (3.66) (2𝜉  𝜔𝑛 )𝐶 + [1− (  𝜔𝑛 ) 2 ]𝐷 = 0 (3.67) ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 27 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” Pregunta 2. Un sistema de un grado de libertad tiene las propiedades siguientes: m = 0.045234 Tn.s2/cm, k = 1.7858 Tn/cm. Determine la respuesta u(t) sin amortiguamiento debido a una carga pulso igual a F0 = 10 Tn y td = 2 s. m: Masa de la estructura (Tn.s2/cm) 0.0452 k: Rigidez de la estructura (Tn/cm) 1.7858 ω: Frecuencia natural angular (rad/s) 6.28 F0: Fuerza Constante (Tn) 10.00 td: Tiempo de aplicación de la carga (s) 2.00 Δt: Variación del tiempo (s) 0.02 ti (s) ui (cm) 0.00 0.00 0.02 0.04 0.04 0.18 0.06 0.39 0.08 0.69 0.10 1.07 0.12 1.52 0.14 2.03 0.16 2.60 0.18 3.22 0.20 3.87 0.22 4.55 0.24 5.25 0.26 5.95 0.28 6.65 0.30 7.33 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 28 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” Pregunta 3. Un sistema de un grado de libertad tiene las propiedades siguientes: m = 0.045234 Tn.s2/cm, k = 1.7858 Tn/cm. Determine la respuesta u(t) sin amortiguamiento debido a una carga rampa igual a F0 = 10 Tn y td = 2 s. m: Masa de la estructura (Tn.s2/cm) 0.0452 k: Rigidez de la estructura (Tn/cm) 1.7858 ωn: Frecuencia natural angular (rad/s) 6.28 F0: Fuerza Constante (Tn) 10.00 td: Tiempo de aplicación de la carga (s) 2.00 Δt: Variación del tiempo (s) 0.02 ti (s) ui (cm) 0.00 0.00 0.02 0.00 0.04 0.00 0.06 0.00 0.08 0.01 0.10 0.02 0.12 0.03 0.14 0.05 0.16 0.07 0.18 0.10 0.20 0.14 0.22 0.18 0.24 0.23 0.26 0.28 0.28 0.35 0.30 0.42 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 29 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” Pregunta 4. Un sistema de un grado de libertad tiene las propiedades siguientes: m = 0.045234 Tn.s2/cm, k = 1.7858 Tn/cm. Determine la respuesta u(t) sin amortiguamiento debido a una carga armónica igual a p(t) = 10Sen3t y una velocidad inicial de 40 cm/s. m: Masa de la estructura (Tn.s2/cm) 0.0452 k: Rigidez de la estructura (Tn/cm) 1.7858 ωn: Frecuencia natural angular (rad/s) 6.28 F0: Fuerza Constante (Tn) 10.00 : Frecuencia natural de la carga (s) 3.00 u0: Desplazamiento inicial (cm) 0.00 ů0: Velocidad inicial (cm/s) 40.00 Δt: Variación del tiempo (s) 0.02 ti (s) ui (cm) 0.00 0.00 0.02 0.80 0.04 1.60 0.06 2.39 0.08 3.18 0.10 3.95 0.12 4.72 0.14 5.47 0.16 6.20 0.18 6.90 0.20 7.57 0.22 8.20 0.24 8.79 0.26 9.33 0.28 9.81 0.30 10.23 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 32 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” CAPÍTULO IV ANÁLISIS DINÁMICO TIEMPO – HISTORIA DE 1GDL 4.1 INTRODUCCIÓN Por lo general, la solución analítica de la ecuación de movimiento para un sistema de un solo grado de libertad no es posible si la excitación [fuerza p(t) o aceleración del terreno üg(t)] varía arbitrariamente con el tiempo o si el sistema no es lineal. 𝑚?̈?𝑖+1+ 𝑐?̇?𝑖+1+𝑘𝑢𝑖+1 = 𝑝𝑖+1 (4.1) Tales problemas pueden abordarse mediante métodos numéricos paso a paso en el tiempo para la integración de ecuaciones diferenciales. Existe una gran cantidad de información, incluyendo los capítulos más importantes de varios libros, sobre estos métodos para resolver distintos tipos de ecuaciones diferenciales que se presentan en el área general de la mecánica aplicada. 4.2 MÉTODO DE NEWMARK 4.2.1 PROCEDIMIENTO BÁSICO En 1959, N. M. Newmark desarrolló una familia de métodos paso a paso en el tiempo basándose en las siguientes ecuaciones: ?̇?𝑖+1 = ?̇?𝑖+ [(1− 𝛾)∆𝑡]?̈?𝑖 + (𝛾∆𝑡)?̈?𝑖+1 (4.2) 𝑢𝑖+1 = 𝑢𝑖 + (∆𝑡)?̇?𝑖+ [(0.5 − 𝛽)(∆𝑡)2]?̈?𝑖+ [𝛽(∆𝑡)2]?̈?𝑖+1 (4.3) Los parámetros β y γ definen la variación de la aceleración durante un paso de tiempo (Δt) y determinan las características de estabilidad y precisión del método. La selección típica de γ es de 1/2, y 1/6 ≤ β ≤ 1/4 es satisfactoria desde todos los puntos de vista, incluido el de la precisión. Estas dos ecuaciones, en combinación con la ecuación de equilibrio (4.1) al final del paso de tiempo, proporcionan la base para calcular 𝑢𝑖+1, ?̇?𝑖+1 y ?̈?𝑖+1 en el tiempo i + 1 a partir de 𝑢𝑖, ?̇?𝑖, y ?̈?𝑖 conocidas en el tiempo i. Para implementar estos cálculos es necesario iterar debido a que la ?̈?𝑖+1 desconocida aparece en el lado derecho de la ecuación (4.2). ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 33 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” 4.2.2 CASOS ESPECIALES 𝛾 = 1/2 𝛾 = 1/2 𝛾 = 1/2 𝛽 = 1/8 𝛽 = 1/6 𝛽 = 1/4 Figura 4.1. Variación de la aceleración de la masa durante el intervalo Δt según el valor β en el método Beta de Newmark 4.2.3 SISTEMAS LINEALES EN FUNCIÓN DE LA MASA Y RIGIDEZ De la ecuación (4.3) se puede expresar de la siguiente manera: ?̈?𝑖+1 = 𝑢𝑖+1 −𝑢𝑖 𝛽(∆𝑡)2 − ?̇?𝑖 𝛽(∆𝑡) − ( 1 2𝛽 − 1)?̈?𝑖 (4.4) Si se sustituye la ecuación (4.4) en la ecuación (4.2) resulta: ?̇?𝑖+1 = 𝛾 𝛽∆𝑡 (𝑢𝑖+1− 𝑢𝑖)+ (1 − 𝛾 𝛽 )?̇?𝑖 +∆𝑡(1 − 𝛾 2𝛽 ) ?̈?𝑖 (4.5) Ahora sustituyendo las ecuaciones (4.4) y (4.5) en (4.1) se tiene: 𝑢𝑖+1 = 𝑝𝑖+1 + [ 𝑚 𝛽(∆𝑡)2 + 𝑐𝛾 𝛽∆𝑡 ] 𝑢𝑖+ [ 𝑚 𝛽(∆𝑡) − 𝑐(1 − 𝛾 𝛽 )] ?̇?𝑖+ [𝑚( 1 2𝛽 − 1) − 𝑐∆𝑡(1 − 𝛾 2𝛽 )] ?̈?𝑖 [ 𝑚 𝛽(∆𝑡)2 + 𝑐𝛾 𝛽∆𝑡 + 𝑘] Si: 𝐴 = 𝑚 𝛽(∆𝑡)2 + 𝑐𝛾 𝛽∆𝑡 𝐵 = 𝑚 𝛽(∆𝑡) − 𝑐 (1 − 𝛾 𝛽 ) 𝐶 = 𝑚( 1 2𝛽 − 1) − 𝑐∆𝑡(1 − 𝛾 2𝛽 ) 𝐷 = 𝑚 𝛽(∆𝑡)2 + 𝑐𝛾 𝛽∆𝑡 + 𝑘 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 34 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” Entonces: 𝑢𝑖+1 = 𝑝𝑖+1 +𝐴𝑢𝑖+𝐵?̇?𝑖 +𝐶?̈?𝑖 𝐷 (4.6) Donde 𝑝𝑖+1 = −𝑚?̈?𝑔𝑖+1 para la fuerza inercial producida por el sismo. Finalmente hallamos ?̇?𝑖+1 y ?̈?𝑖+1 de las ecuaciones (4.4) y (4.5) respectivamente. 4.2.4 SISTEMAS LINEALES EN FUNCIÓN DE LA FRECUENCIA ANGULAR En la ecuación (4.1) si 𝑝𝑖+1 = −𝑚?̈?𝑔𝑖+1 entonces la ecuación sería: ?̈?𝑖+1 + 𝑐 𝑚 ?̇?𝑖+1+ 𝑘 𝑚 𝑢𝑖+1 = −?̈?𝑔𝑖+1 (4.7) Si sabemos que: 𝜔2 = 𝑘 𝑚; ⁄ 𝑐 = 2𝜉√𝑘𝑚 ⇒𝑐 𝑚⁄ = 2𝜉𝜔 la ecuación (4.7) sería: ?̈?𝑖+1 +2𝜉𝜔?̇?𝑖+1+𝜔2𝑢𝑖+1 = −?̈?𝑔𝑖+1 (4.8) Ahora sustituyendo las ecuaciones (4.2) y (4.3) en (4.8) se tiene: ?̈?𝑖+1 = −?̈?𝑔𝑖+1 −𝜔2𝑢𝑖− [2𝜉𝜔 +𝜔2∆𝑡]?̇?𝑖− [2𝜉𝜔(1− 𝛾)∆𝑡 +𝜔2(0.5 − 𝛽)(∆𝑡)2]?̈?𝑖 [1 + 2𝜉𝜔𝛾∆𝑡 + 𝜔2𝛽(∆𝑡)2] Si: 𝐴 = 1+ 2𝜉𝜔𝛾∆𝑡 + 𝜔2𝛽(∆𝑡)2 𝐵 = 𝜔2 𝐶 = 2𝜉𝜔 +𝜔2∆𝑡 𝐷 = 2𝜉𝜔(1 − 𝛾)∆𝑡 +𝜔2(0.5 − 𝛽)(∆𝑡)2 Entonces: ?̈?𝑖+1 = −?̈?𝑔𝑖+1 −𝐵𝑢𝑖 −𝐶?̇?𝑖 −𝐷?̈?𝑖 𝐴 (4.9) Finalmente hallamos ?̇?𝑖+1 y 𝑢𝑖+1 de las ecuaciones (4.2) y (4.3) respectivamente. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 37 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” CAPÍTULO V ESPECTROS DE RESPUESTA ELÁSTICA 5.1 CONCEPTO DEL ESPECTRO DE RESPUESTA G. W. Housner jugó un papel decisivo en la gran aceptación del concepto del espectro de respuesta del sismo (iniciado por M. A. Biot en 1932) como un medio práctico para caracterizar los movimientos del terreno y sus efectos sobre las estructuras. Ahora que es un concepto central en la ingeniería sísmica, el espectro de respuesta proporciona un medio conveniente para resumir la respuesta máxima de todos los posibles sistemas lineales de 1GDL a un componente particular del movimiento del terreno. También proporciona un enfoque práctico para la aplicación del conocimiento de la dinámica estructural al diseño de estructuras y al desarrollo de los requisitos de fuerza lateral en los códigos de construcción. Una gráfica del valor máximo de una cantidad de respuesta como una función del periodo de vibración natural Tn del sistema, o de un parámetro relacionado, como la frecuencia circular ωn o la frecuencia cíclica fn, se denomina espectro de respuesta para dicha cantidad. Cada una de estas gráficas es para los sistemas de 1GDL que tienen una fracción de amortiguamiento ξ fijo y es necesario incluir varias de dichas gráficas para diferentes valores de ξ, a fin de cubrir el intervalo de valores de amortiguamiento en las estructuras reales. Si la respuesta máxima se grafica en función fn o Tn, es un asunto de preferencia personal. Aquí se ha elegido la segunda opción debido a que los ingenieros prefieren utilizar el periodo natural en vez de la frecuencia natural, porque el periodo de vibración es un concepto más familiar y por intuición resulta atractivo. Es posible definir una variedad de espectros de respuesta en función de la cantidad de respuesta que se grafica. Considere las siguientes respuestas máximas: ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 38 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” Espectro de desplazamientos: 𝑑 = 𝑚á𝑥|𝑢(𝑡,𝑇𝑛, ξ)| (5.1) Espectro de velocidades: 𝑣 = 𝑚á𝑥|?̇?(𝑡, 𝑇𝑛,ξ)| (5.2) Espectro de aceleraciones: 𝑎 = 𝑚á𝑥|?̈?(𝑡,𝑇𝑛, ξ)| (5.3) Espectro de pseudo-velocidades: 𝑝𝑠𝑣 = 𝜔𝑑 (5.4) Espectro de pseudo-aceleraciones: 𝑝𝑠𝑎 = 𝜔2𝑑 (5.5) Figura 5.1. Gráfico indicativo del método de determinación del espectro de respuesta ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 39 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” 5.2 EJERCICIOS RESUELTOS Pregunta 1. Determine los espectros de respuesta elásticos de desplazamientos, velocidades, aceleraciones, pseudo velocidades y pseudo aceleraciones debido a un movimiento en la base producido por el Sismo de Lima de 1974. Considerar ξ=0.05. ξ: Fracción de Amortiguamiento Crítico 0.05 t (s) u''g (cm/s2) Δt: Incremento del tiempo (s) 0.02 0.00 9.76 ΔT: Incremento del periodo (s) 0.02 0.02 1.72 Tmáx: Periodo máximo a considerar 5.00 0.04 -1.71 ϒ: Coeficiente gama 0.50 0.06 -4.18 β: Coeficiente beta 0.17 0.08 -0.90 0.10 2.65 T (s) d (cm) v (cm/s) a (cm/s2) psv (cm/s) psa (cm/s2) 0.12 5.91 0.00 0.00 0.00 192.49 0.00 192.49 0.14 -0.62 0.10 0.14 6.44 439.96 8.67 544.87 0.16 -4.28 0.12 0.22 9.29 496.01 11.46 600.07 0.18 -1.22 0.14 0.19 6.71 364.84 8.39 376.58 0.20 1.59 0.16 0.26 9.50 388.00 10.31 404.74 0.22 -0.56 0.18 0.38 12.54 444.04 13.15 458.99 0.24 11.39 0.20 0.46 13.08 438.62 14.36 451.15 0.26 3.41 0.22 0.57 15.03 474.13 16.20 462.76 0.28 -18.18 0.24 0.68 16.79 508.07 17.69 463.12 0.30 -7.85 0.26 0.81 17.94 422.81 19.61 473.93 0.32 5.87 0.28 0.93 18.92 466.50 20.86 468.14 0.34 3.67 0.30 0.96 20.36 460.44 20.04 419.75 0.36 5.90 0.32 1.17 22.35 448.08 22.98 451.13 0.38 17.91 0.34 1.16 21.93 401.99 21.43 396.07 0.40 19.89 0.36 1.19 20.18 406.62 20.86 364.00 0.42 2.78 0.38 1.25 20.38 424.39 20.60 340.58 0.44 -9.43 0.40 1.45 22.55 448.31 22.85 358.97 0.46 -11.77 0.42 1.77 27.05 450.27 26.41 395.03 0.48 -8.09 0.44 2.31 31.80 487.88 32.96 470.70 0.50 2.76 0.46 2.31 31.70 481.78 31.50 430.30 0.52 2.50 0.48 2.11 30.11 437.33 27.64 361.76 0.54 -1.77 0.50 2.07 28.41 377.84 26.06 327.49 0.56 5.15 0.52 2.16 29.87 388.43 26.14 315.81 0.58 13.14 0.54 2.27 29.43 399.47 26.35 306.65 0.60 8.23 0.56 2.70 32.00 445.80 30.30 339.93 0.62 -5.54 0.58 3.00 32.39 482.79 32.54 352.54 0.64 -12.83 0.60 2.83 30.24 441.21 29.60 309.98 0.66 -4.36 0.62 2.99 31.54 428.76 30.28 306.87 0.68 2.93 0.64 3.13 32.67 418.44 30.71 301.48 0.70 -0.07 0.66 3.03 30.86 365.80 28.87 274.84 0.72 5.94 0.68 2.96 27.86 323.20 27.37 252.87 0.74 9.80 0.70 3.13 28.48 325.04 28.07 251.95 0.76 -5.08 0.72 3.46 30.17 338.36 30.15 263.12 0.78 -8.69 0.74 3.75 31.44 355.29 31.85 270.45 0.80 3.63 0.76 3.82 30.28 359.25 31.61 261.34 0.82 9.04 EJECUTAR BORRAR ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 42 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” CAPÍTULO VI ANÁLISIS DINÁMICO TIEMPO – HISTORIA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 6.1 INTRODUCCIÓN Las estructuras no siempre se pueden describirse dinámicamente empleando un modelo con un solo grado de libertad y, en general, es necesario modelar las estructuras como sistemas de múltiples grados de libertad. Se considerará el modelo de edificio simple para la respuesta dinámica el cual puede ser definido como un edificio en el cual no se producen rotaciones en los miembros horizontales a la altura de los pisos. Para conseguir esta deformación en un edifico se supone las siguientes condiciones: (1) Todas las masas de la estructura están concentradas al nivel de los pisos. (2) Las vigas son infinitamente rígidas con relación a la rigidez de las columnas. (3) La deformación de la estructura es independiente de las fuerzas axiales. Figura 6.1 Modelo de edificio simple o de cortante Cuando una estructura no está sometida a excitación externa alguna y su movimiento está gobernado solamente por las condiciones iniciales, se considera que está en vibración libre. Existen, ocasionalmente, circunstancias en las que es necesario determinar el movimiento de la estructura en condiciones de vibración libre, pero son casos especiales. No obstante, el análisis de la estructura en movimiento libre proporciona las propiedades dinámicas más importantes de la estructura, que son las frecuencias naturales y los correspondientes modos de vibración. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 43 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” 6.2 MATRIZ DE MASAS CONCENTRADAS [𝑀] = [ 𝑚1 0 0 ⋮ 0 0 0 𝑚2 0 ⋮ 0 0 0 0 𝑚3 ⋮ 0 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 0 ⋮ 𝑚𝑁−1 0 0 0 0 ⋮ 0 𝑚𝑁] 6.3 MATRIZ RIGIDEZ DE UN EDIFICIO SIMPLE [𝐾] = [ 𝑘1 +𝑘2 −𝑘2 0 ⋮ 0 0 −𝑘2 𝑘2+𝑘3 −𝑘3 ⋮ 0 0 0 −𝑘3 𝑘3+𝑘4 ⋮ 0 0 0 0 −𝑘4 ⋱ 0 0 0 0 0 ⋮ 𝑘𝑁−1+ 𝑘𝑁 −𝑘𝑁 0 0 0 ⋮ −𝑘𝑁 𝑘𝑁 ] 6.4 FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRACIÓN La ecuación de vibración libre de un edificio simple es: [𝑀]{?̈?} + [𝐾]{𝑢} = 0 (6.1) Las posibles soluciones son de la forma: {𝑢} = {𝐴}𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡+∅) (6.2) Derivando dos veces con respecto al tiempo: {?̈?} = −𝜔2{𝐴}𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡 +∅) (6.3) Reemplazando (6.2) y (6.3) en (6.1) ([𝐾] −𝜔2[𝑀]){𝐴}𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡+ ∅) = 0 (6.4) Como 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡 + ∅) no puede ser cero, ya que no existiría movimiento, entonces: ([𝐾] −𝜔2[𝑀]){𝐴} = 0 (6.5) Para que la solución de los valores {𝐴} no sean ceros, entonces: |[𝐾] −𝜔2[𝑀]| = 0 (6.6) La ecuación característica del sistema (6.6) es algebraica de grado N de la incógnita ω2, la cual se satisface para N valores de ω2. Para cada valor de ω2 que satisface la ecuación (6.6) podemos resolver la ecuación (6.5) para A1, A2, A3, …, AN-1, AN en términos de una constante de proporcionalidad arbitraria. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 44 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” 6.5 NORMALIZACIÓN DE MODOS Las amplitudes de vibración en un modo normal son sólo valores relativos, que pueden normalizarse, hasta cierto punto, como se desee. La siguiente normalización es especialmente conveniente para un sistema general: Φ𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 √{𝑎𝑗} 𝑇 [𝑀]{𝑎𝑗} (6.7) 6.6 MOVIMIENTO EN LA BASE La ecuación dinámica con movimiento en la base es: [𝑀]{?̈?} + [𝐶]{?̇?}+ [𝐾]{𝑢} = −[𝑀]?̈?𝑔 (6.8) Considerando las siguientes transformaciones de coordenadas: {𝑢} = [Φ]{𝑧} (6.9) {?̇?} = [Φ]{?̇?} (6.10) {?̈?} = [Φ]{?̈?} (6.11) Reemplazando (6.9), (6.10) y (6.11) en (6.8) [𝑀][Φ]{?̈?} + [𝐶][Φ]{?̇?} + [𝐾][Φ]{𝑧} = −[𝑀]?̈?𝑔 (6.12) Multiplicando la ecuación (6.12) por el vector modal normalizado i transpuesto resulta: {Φ}𝑖 𝑇[𝑀][Φ]{?̈?}+ {Φ}𝑖 𝑇[𝐶][Φ]{?̇?}+ {Φ}𝑖 𝑇[𝐾][Φ]{𝑧} = −{Φ}𝑖 𝑇[𝑀]{1}?̈?𝑔 (6.13) Siendo las condiciones de ortogonalidad entre los modos normales: {Φ}𝑖 𝑇[𝑀][Φ] = 1 (6.14) {Φ}𝑖 𝑇[𝐶][Φ] = 2𝜉𝑖𝜔𝑖 (6.15) {Φ}𝑖 𝑇[𝐾][Φ] = 𝜔𝑖 2 (6.16) {Φ}𝑖 𝑇[𝑀]{1} = 𝛤𝑖 (𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙) (6.17) Reemplazando (6.14), (6.15), (6.16) y (6.17) en (6.13) {?̈?} + 2𝜉𝑖𝜔𝑖{?̇?}+𝜔𝑖 2{𝑧} = −𝛤𝑖?̈?𝑔 (6.18) ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 47 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” 1 1 1 = 1 1 1 1.2562 -0.3770 Γ = 0.1863 -0.1022 0.0368 FACTORES DE PARTICIPACIÓN ESTÁTICA 0 1 2 3 4 5 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 P IS O MODO 5 𝑖 = 𝑖 𝑇𝑀 1 𝑖 𝑇𝑀 𝑖 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 48 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” c) Mediante el método de superposición modal, empleando los tres primeros modos de vibración, determine los diagramas tiempo-historia de los desplazamientos totales de todos los pisos, los desplazamientos relativos de todos los entrepisos y la fuerza cortante en la base. MODO 1 T: Periodo de la Estructura (s) 0.72 ωn: Frecuencia natural angular (rad/s) 8.69 ξ: Fracción de amortiguamiento crítico 0.05 ϒ: Coeficiente gama 0.50 β: Coeficiente beta 0.17 Δt: Variación del tiempo (s) 0.02 A 1.01 C 2.38 B 75.50 D 0.02 t (s) u''gi (cm/s2) u''i (cm/s2) u'i (cm/s) ui (cm) 0.00 9.76 9.76 0.00 0.0000 0.02 1.72 -1.87 0.08 0.0012 0.04 -1.71 1.45 0.07 0.0026 0.06 -4.18 3.73 0.13 0.0045 0.08 -0.90 0.19 0.17 0.0076 0.10 2.65 -3.57 0.13 0.0107 0.12 5.91 -6.86 0.03 0.0124 0.14 -0.62 -0.25 -0.04 0.0120 0.16 -4.28 3.44 -0.01 0.0113 0.18 -1.22 0.32 0.03 0.0116 0.20 1.59 -2.49 0.00 0.0119 0.22 -0.56 -0.30 -0.02 0.0117 0.24 11.39 -12.04 -0.15 0.0104 0.26 3.41 -3.57 -0.30 0.0056 0.28 -18.18 18.30 -0.16 0.0002 0.30 -7.85 7.76 0.10 0.0001 0.32 5.87 -6.19 0.12 0.0028 0.34 3.67 -4.00 0.02 0.0041 0.36 5.90 -6.10 -0.08 0.0035 0.38 17.91 -17.62 -0.32 -0.0001 0.40 19.89 -18.53 -0.68 -0.0101 0.42 2.78 -0.05 -0.87 -0.0262 0.44 -9.43 13.29 -0.73 -0.0427 0.46 -11.77 16.27 -0.44 -0.0545 0.48 -8.09 12.77 -0.15 -0.0603 0.50 2.76 1.88 0.00 -0.0614 0.52 2.50 2.08 0.04 -0.0611 0.54 -1.77 6.17 0.12 -0.0597 0.56 5.15 -1.03 0.17 -0.0565 0.58 13.14 -9.14 0.07 -0.0538 0.60 8.23 -4.10 -0.06 -0.0540 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 49 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 0 20 40 60 80 100 A c e le ra c ió n ( c m /s 2 ) Tiempo (s) ACELERACIÓN ELÁSTICA EN EL TIEMPO -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 0 20 40 60 80 100 V e lo c id a d ( c m /s ) Tiempo (s) VELOCIDAD ELÁSTICA EN EL TIEMPO -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 0 20 40 60 80 100 D e s p la z a m ie n to ( c m ) Tiempo (s) DESPLAZAMIENTO ELÁSTICO EN EL TIEMPO ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 52 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” ANÁLISIS DINÁMICO TIEMPO - HISTORIA MODO 3 T: Periodo de la Estructura (s) 0.16 ωn: Frecuencia natural angular (rad/s) 39.98 ξ: Fracción de amortiguamiento crítico 0.05 ϒ: Coeficiente gama 0.50 β: Coeficiente beta 0.25 Δt: Variación del tiempo (s) 0.02 A 1.1999 C 35.97 B 1598.70 D 0.1999 t (s) pi u''i u'i ui 0.00 9.76 9.76 0.00 0.0000 0.02 1.72 -3.06 0.07 0.0007 0.04 -1.71 -0.97 0.03 0.0016 0.06 -4.18 0.70 0.02 0.0021 0.08 -0.90 -2.91 0.00 0.0024 0.10 2.65 -4.95 -0.08 0.0016 0.12 5.91 -3.97 -0.17 -0.0008 0.14 -0.62 7.21 -0.13 -0.0038 0.16 -4.28 11.42 0.05 -0.0046 0.18 -1.22 3.66 0.20 -0.0020 0.20 1.59 -5.32 0.19 0.0019 0.22 -0.56 -6.74 0.07 0.0044 0.24 11.39 -16.22 -0.16 0.0034 0.26 3.41 0.18 -0.32 -0.0014 0.28 -18.18 26.75 -0.05 -0.0052 0.30 -7.85 10.67 0.32 -0.0026 0.32 5.87 -12.85 0.30 0.0036 0.34 3.67 -14.68 0.02 0.0068 0.36 5.90 -12.26 -0.25 0.0046 0.38 17.91 -11.62 -0.49 -0.0027 0.40 19.89 3.54 -0.57 -0.0132 0.42 2.78 31.69 -0.21 -0.0210 0.44 -9.43 37.01 0.47 -0.0184 0.46 -11.77 14.01 0.98 -0.0039 0.48 -8.09 -19.94 0.92 0.0152 0.50 2.76 -46.97 0.26 0.0270 0.52 2.50 -37.91 -0.59 0.0236 0.54 -1.77 -5.91 -1.03 0.0074 0.56 5.15 17.79 -0.91 -0.0121 0.58 13.14 29.53 -0.44 -0.0256 0.60 8.23 35.51 0.21 -0.0279 0.62 -5.54 29.54 0.86 -0.0172 0.64 -12.83 2.83 1.18 0.0033 0.66 -4.36 -36.74 0.85 0.0236 0.68 2.93 -53.11 -0.05 0.0315 0.70 -0.07 -31.51 -0.90 0.0220 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 53 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 0 20 40 60 80 100 A c e le ra c ió n ( c m /s 2 ) Tiempo (s) ACELERACIÓN ELÁSTICA EN EL TIEMPO -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 0 20 40 60 80 100 V e lo c id a d ( c m /s ) Tiempo (s) VELOCIDAD ELÁSTICA EN EL TIEMPO -0.30 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0 20 40 60 80 100 D e s p la z a m ie n to ( c m ) Tiempo (s) DESPLAZAMIENTO ELÁSTICO EN EL TIEMPO ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 54 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” DESPLAZAMIENTOS TOTALES DE TODOS LOS PISOS t (s) Piso 1 Piso 2 Piso 3 Piso 4 Piso 5 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0200 0.0007 0.0011 0.0011 0.0012 0.0013 0.0400 0.0017 0.0027 0.0026 0.0026 0.0028 0.0600 0.0027 0.0045 0.0046 0.0046 0.0049 0.0800 0.0040 0.0071 0.0078 0.0079 0.0082 0.1000 0.0048 0.0093 0.0110 0.0115 0.0117 0.1200 0.0042 0.0093 0.0128 0.0140 0.0140 0.1400 0.0024 0.0071 0.0122 0.0144 0.0144 0.1600 0.0010 0.0050 0.0109 0.0142 0.0147 0.1800 0.0012 0.0047 0.0101 0.0144 0.0161 0.2000 0.0023 0.0055 0.0095 0.0145 0.0172 0.2200 0.0032 0.0061 0.0090 0.0137 0.0169 0.2400 0.0029 0.0056 0.0082 0.0121 0.0147 0.2600 0.0002 0.0018 0.0047 0.0071 0.0080 0.2800 -0.0021 -0.0019 0.0006 0.0013 0.0006 0.3000 -0.0002 0.0004 0.0010 0.0001 -0.0009 0.3200 0.0039 0.0057 0.0038 0.0017 0.0012 0.3400 0.0061 0.0086 0.0052 0.0024 0.0020 0.3600 0.0051 0.0076 0.0050 0.0021 0.0012 0.3800 0.0005 0.0016 0.0017 -0.0005 -0.0023 0.4000 -0.0084 -0.0116 -0.0085 -0.0093 -0.0119 0.4200 -0.0191 -0.0296 -0.0258 -0.0250 -0.0277 0.4400 -0.0261 -0.0446 -0.0447 -0.0429 -0.0438 0.4600 -0.0257 -0.0503 -0.0593 -0.0582 -0.0562 0.4800 -0.0192 -0.0463 -0.0663 -0.0685 -0.0646 0.5000 -0.0112 -0.0370 -0.0653 -0.0739 -0.0712 0.5200 -0.0065 -0.0285 -0.0592 -0.0759 -0.0786 0.5400 -0.0061 -0.0231 -0.0503 -0.0747 -0.0851 0.5600 -0.0083 -0.0207 -0.0411 -0.0700 -0.0868 0.5800 -0.0122 -0.0227 -0.0365 -0.0648 -0.0840 0.6000 -0.0173 -0.0302 -0.0402 -0.0624 -0.0785 0.6200 -0.0210 -0.0392 -0.0493 -0.0617 -0.0701 0.6400 -0.0203 -0.0434 -0.0566 -0.0586 -0.0571 0.6600 -0.0155 -0.0397 -0.0562 -0.0503 -0.0406 0.6800 -0.0101 -0.0313 -0.0475 -0.0387 -0.0262 0.7000 -0.0069 -0.0214 -0.0324 -0.0260 -0.0172 0.7200 -0.0055 -0.0112 -0.0135 -0.0128 -0.0117 0.7400 -0.0050 -0.0025 0.0035 -0.0017 -0.0088 0.7600 -0.0034 0.0041 0.0143 0.0055 -0.0060 0.7800 0.0022 0.0123 0.0209 0.0125 0.0025 0.8000 0.0109 0.0219 0.0251 0.0208 0.0171 0.8200 0.0173 0.0277 0.0264 0.0280 0.0315 0.8400 0.0173 0.0263 0.0254 0.0327 0.0408 0.8600 0.0105 0.0181 0.0230 0.0345 0.0430 0.8800 0.0007 0.0071 0.0202 0.0334 0.0394 0.9000 -0.0044 0.0021 0.0205 0.0336 0.0369 𝑖 = 𝑑𝑖(𝑡) 𝑖 𝑖 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 57 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS DE TODOS LOS PISOS t (s) Piso 1 Piso 2 Piso 3 Piso 4 Piso 5 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.04 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.06 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.10 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.12 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.14 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0.16 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0.18 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0.20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.22 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.24 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.26 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.28 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.30 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.32 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.34 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.36 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.38 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.40 -0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.42 -0.02 -0.01 0.00 0.00 0.00 0.44 -0.03 -0.02 0.00 0.00 0.00 0.46 -0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.00 0.48 -0.02 -0.03 -0.02 0.00 0.00 0.50 -0.01 -0.03 -0.03 -0.01 0.00 0.52 -0.01 -0.02 -0.03 -0.02 0.00 0.54 -0.01 -0.02 -0.03 -0.02 -0.01 0.56 -0.01 -0.01 -0.02 -0.03 -0.02 0.58 -0.01 -0.01 -0.01 -0.03 -0.02 0.60 -0.02 -0.01 -0.01 -0.02 -0.02 0.62 -0.02 -0.02 -0.01 -0.01 -0.01 0.64 -0.02 -0.02 -0.01 0.00 0.00 0.66 -0.02 -0.02 -0.02 0.01 0.01 0.68 -0.01 -0.02 -0.02 0.01 0.01 0.70 -0.01 -0.01 -0.01 0.01 0.01 0.72 -0.01 -0.01 0.00 0.00 0.00 0.74 0.00 0.00 0.01 -0.01 -0.01 0.76 0.00 0.01 0.01 -0.01 -0.01 0.78 0.00 0.01 0.01 -0.01 -0.01 0.80 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.82 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00 0.84 0.02 0.01 0.00 0.01 0.01 0.86 0.01 0.01 0.00 0.01 0.01 0.88 0.00 0.01 0.01 0.01 0.01 0.90 0.00 0.01 0.02 0.01 0.00 ∆𝑖=𝑑𝑖 𝑡 𝑖 𝑖 −𝑑𝑖−1 𝑡 𝑖−1 𝑖−1 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 58 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 D e s p la z a m ie n to ( c m ) Tiempo (s) DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS DEL PISO 1 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 D e s p la z a m ie n to ( c m ) Tiempo (s) DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS DEL PISO 2 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 D e s p la z a m ie n to ( c m ) Tiempo (s) DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS DEL PISO 3 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 59 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” -1.00 -0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 D e s p la z a m ie n to ( c m ) Tiempo (s) DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS DEL PISO 4 -0.40 -0.30 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 D e s p la z a m ie n to ( c m ) Tiempo (s) DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS DEL PISO 5 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 62 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” -300 -200 -100 0 100 200 300 400 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 F u e rz a C o rt a n te ( T n ) Tiempo (s) FUERZAS CORTANTES EN EL PISO 4 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 F u e rz a C o rt a n te ( T n ) Tiempo (s) FUERZAS CORTANTES EN EL PISO 5 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 63 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” CAPÍTULO VII ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL 7.1 SUPERPOSICIÓN MODAL La máxima respuesta puede obtenerse sumando los valores absolutos de las contribuciones modales máximas, o sea, sustituyendo el valor máximo de 𝑧𝑖 en la siguiente expresión: 𝑢𝑖𝑚á𝑥 =∑|𝛤𝑗Φ𝑖𝑗𝑆𝑑𝑗| 𝑁 𝑗=1 7.2 COMBINACIÓN MODAL Otro método, ampliamente aceptado, y que da una estimación razonable de la respuesta máxima calculada con valores espectrales, es la Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados de las contribuciones modales (RCSC). 𝑢𝑖𝑚á𝑥 = √∑(𝛤𝑗Φ𝑖𝑗𝑆𝑑𝑗) 2 𝑁 𝑗=1 ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 64 ANÁLISIS SÍSMICO DE ESTRUCTURAS “DINÁMICA ESTRUCTURAL” 7.3 EJERCICIOS RESUELTOS Pregunta 1. Realice el cálculo de los valores máximos probables de los desplazamientos totales de todos los pisos, los desplazamientos relativos de todos los entrepisos y la fuerza cortante en la base, empleando el método de combinación modal, con el espectro de respuesta del sismo utilizado. Compare los valores máximos obtenidos en el paso (c) del ejercicio 1 del Capítulo VI. DESPLAZAMIENTOS TOTALES DE TODOS LOS PISOS DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS DE TODOS LOS PISOS Piso Ymáx (cm) 1 1.0789 2 2.3869 3 3.4110 4 4.0332 5 4.2577 Piso Ymáx (cm) 1 0.9884 2 2.2309 3 3.3145 4 4.0922 5 4.4146 TIEMPO - HISTORIA RCSC COMBINACIÓN MODAL Piso Δmáx (cm) 1 1.0789 2 1.3080 3 1.0357 4 0.7841 5 0.3330 Piso Δmáx (cm) 1 0.9884 2 1.2476 3 1.1111 4 0.8302 5 0.3533 COMBINACIÓN MODAL TIEMPO - HISTORIA RCSC