Distribuciones continuas, Esquemas y mapas conceptuales de Estadística Inferencial

¡Descarga Distribuciones continuas y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Estadística Inferencial solo en Docsity! Estadística Inferencial Distribución de probabilidad normal estándar Una variable aleatoria que tiene una distribución normal con una media cero y desviación estándar de uno tiene una distribución normal estándar. Para designar esta variable aleatoria normal se suele usar la letra z. La figura siguiente es la gráfica de la distribución normal estándar. Esta distribución tiene el mismo aspecto general que cualquier otra distribución normal, pero tiene las propiedades especiales, μ = 0 y σ = 1. PROBABILIDADES ACUMULADAS EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR (continuación) paa Probabilidad A acumulada Las entradas que aparecen en la tabla dan el área bajo la curva y a la izquierda del valor de z. Por ejemplo, para z = 1.25, la probabilidad acumulada es 0.8944. 0.8159 0.8413 3 349 0.9032 0.9772 0.9821 0.9861 0.01 0.5040 0.8186 0.8438 0.02 0.95 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0,04 0.5160 0.6700 0,7054 0.8925 0.9099 0.9671 0.9738 0.9793 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.3944 0.9115 0.8315 0.8554 0.8770 08 0.9131 0.9686 0.9750 0.6808 0.1157 0.779 0.8078 0.8790 0.8980 0 7 0.6879 0.7224 0.7549 0.9177 0.9319 0.9706 0.9767 0.9857 0.9890 Para calcular esta probabilidad son necesarios tres pasos. Primero, se encuentra el área bajo la curva normal a la izquierda de z = 1.25. Segundo, se encuentra el área bajo la curva normal a la izquierda de z = -0.50. Por último, se resta el área a la izquierda de z =-0.50 del área a la izquierda de z = 1.25 y se encuentra, P(-0.50 z 1.25). Para encontrar el área bajo la curva normal a la izquierda de z = 1.25, primero se localiza en la tabla de probabilidad normal estándar el renglón 1.2 y después se avanza por ese renglón hasta la columna 0.05. Como el valor que aparece en el renglón 1.2 columna 0.05 es 0.8944, P(z 1.25) = 0.8944. De manera similar, para encontrar el área bajo la curva a la izquierda de z =-0.50 se usa la otra tabla para localizar el valor en el renglón -0.5 columna 0.00; como el valor que se encuentra es 0.3085, P(z -0.50) 0.3085. Por tanto, P(-0.50 z 1.25) = P(z 1.25) - P(z -0.50) = 0.8944 - 0.3085 = 0.5859. Con frecuencia se desea calcular la probabilidad de que una variable aleatoria normal tome un valor dentro de cierto número de desviaciones estándar respecto a la media. Suponga que desea calcular la probabilidad de que la variable aleatoria normal estándar se encuentre a no más de una desviación estándar de la media; es decir, P(-1.00 z 1.00). Para calcular esta probabilidad tiene que hallar el área bajo la curva entre -1.00 y 1.00. Antes encontró que P(z = 1.00) = 0.8413. Si tomamos la otra tabla, encontrará que el área bajo la curva a la izquierda de z =-1.00 es 0.1587, de manera que P(z -1.00) = 0.1587. Por tanto, P(-1.00 z 1.00) = P(z 1.00) - P(z -1.00) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826. Esta probabilidad se muestra en forma gráfica en la figura siguiente. Para ilustrar cómo se calcula el tercer tipo de probabilidad, suponga que desea calcular la probabilidad de tener un valor z por lo menos igual a 1.58; es decir, P(z 1.58). El valor en el renglón z =1.5, columna 0.08 de la tabla normal acumulada es 0.9429; por tanto, P(z 1.58) = 0.9429. Pero, como toda el área bajo la curva normal es 1, P(z 1.58) = 1 - 0.9429 = 0.0571. En la figura siguiente se muestra esta probabilidad. Al leer el valor de z en la columna del extremo izquierdo y en el renglón superior de la tabla, se encuentra que el valor de z es 1.28. De manera que un área de aproximadamente 0.9000 (en realidad de 0.8997) es la que se encuentra a la izquierda de z = 1.28.* En términos de la pregunta originalmente planteada, 0.10 es la probabilidad aproximada de que z sea mayor que 1.28. Estos ejemplos ilustran que la tabla de probabilidades acumuladas para la distribución de probabilidad normal estándar se puede usar para hallar probabilidades correspondientes a valores de la variable aleatoria normal estándar z. Es posible hacer dos tipos de preguntas. En el primer tipo de pregunta se dan valores, o un valor de z, y se pide usar la tabla para determinar el área o probabilidad correspondiente. En el segundo tipo de pregunta se da un área, o probabilidad, y se pide usar la tabla para encontrar el correspondiente valor de z. Por tanto, se necesita tener flexibilidad para usar la tabla de probabilidad normal estándar para responder la pregunta deseada. En la mayoría de los casos, hacer un bosquejo de la gráfica de la distribución de probabilidad normal estándar y sombrear el área deseada será una ayuda para visualizar la situación y encontrar la respuesta correcta. Cálculo de probabilidades en cualquier distribución de probabilidad normal La razón por la cual la distribución normal estándar se ha visto de manera tan amplia es que todas las distribuciones normales son calculadas mediante la distribución normal estándar. Esto es, cuando distribución normal con una media μ cualquiera y una desviación estándar σ cualquiera, las preguntas sobre las probabilidades en esta distribución se responden pasando primero a la distribución normal estándar. Use las tablas de probabilidad normal estándar y los valores apropiados de z para hallar las probabilidades deseadas. A continuación se da la fórmula que se emplea para convertir cualquier variable aleatoria x con media μ y desviación estándar σ en la variable aleatoria normal estándar z. Un valor x igual a su media μ da como resultado z = (μ - μ)/σ = 0. De manera que un valor x igual a su media corresponde a z = 0. Ahora suponga que x se encuentra una desviación estándar arriba de su media. Es decir, x = μ + σ. Aplicando la ecuación de la diapositiva anterior, el valor correspondiente es z = [(μ + σ) - μ]/σ = σ/σ = 1. Así que un valor de x que es una desviación estándar mayor que su media corresponde a z = 1. En otras palabras, z se interpreta como el número de desviaciones estándar a las que está una variable aleatoria x de su media μ. Para ver cómo esta distribución permite calcular probabilidades en cualquier distribución normal, admita que tiene una distribución en la que μ = 10 y σ = 2. ¿Cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria x esté entre 10 y 14? Empleando la ecuación, se ve que para z = (x- μ)/σ = (10 - 10)/2 = 0 y que para x =14, z = (14 - 10)/2 = 4/2 = 2. Así, la respuesta a la pregunta acerca de la probabilidad de que x esté entre 10 y 14 está dada por la probabilidad equivalente de que z esté entre 0 y 2 en la distribución normal estándar. En otras palabras, la probabilidad que se está buscando es que la variable aleatoria x esté entre su media y dos desviaciones estándar arriba de la media. DISTRIBUCIÓN DE DURACIÓN EN MILLAS PARA GREAR TIRE COMPANY P(x < 40 000) Y o = 5000 Ñ P(x = 40 000) = ? 40 000 p=36 500 l | O 0.70 Nota: z = 0 corresponde cl ba Nota: z = 0.70 corresponde ax=u=36 500 ax =40 000 Observe que en la parte inferior de la figura anterior, el valor x = 40 000 en la distribución normal de Grear Tire corresponde a z = 0.70 en la distribución normal estándar. Mediante la tabla de probabilidad normal estándar se encuentra que el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de z = 0.70 es 0.7580. De manera que 1.000 - 0.7580 = 0.2420 es la probabilidad de que z sea mayor a 0.70 y por tanto de que x sea mayor a 40 000. Entonces 24.2% de los neumáticos durará más de 40 000 millas. Ahora suponga que Grear está considerando una garantía que dé un descuento en la sustitución del neumático original si éste no dura lo que asegura la garantía. ¿Cuál deberá ser la duración en millas especificada en la garantía si Grear desea que no más de 10% de los neumáticos alcancen la garantía? En la figura, se plantea esta pregunta en forma gráfica. De acuerdo ésta figura , el área bajo la curva a la izquierda de la cantidad desconocida de millas para la garantía debe ser 0.10. De manera que primero se debe encontrar el valor de z que deja un área de 0.10 en el extremo de la cola izquierda de la distribución normal estándar. Según la tabla de probabilidad normal estándar z= -1.28 deja un área de 0.10 en el extremo de la cola izquierda. Por tanto, z = -1.28 es el valor de la variable aleatoria normal estándar que corresponde a las millas de duración deseadas para la garantía en la distribución normal de Grear Tire. Para hallar el valor de x que corresponde a z = -1.28, se tiene Por tanto, una garantía de 30 100 millas cumplirá con el requerimiento de que aproximadamente 10% de los neumáticos sean aptos para la garantía. Con esta información, quizá la empresa establezca una garantía de 30 000 millas. 2.- Una persona con una buena historia crediticia tiene una deuda promedio de Q15,015 (Suponga que la desviación estándar es de Q3,540 y que los montos de las deudas están distribuidos normalmente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la deuda de una persona con buena historia crediticia sea mayor a Q18,000? b. ¿De que la deuda de una persona con buena historia crediticia sea de menos de Q10, 000? c. ¿De que la deuda de una persona con buena historia crediticia esté entre Q12,000 y Q18, 000? d. ¿De que la deuda de una persona con buena historia crediticia sea mayor a Q14,000? 3.- La cantidad promedio de precipitación pluvial en Dallas, Texas, durante el mes de abril es 3.5 pulgadas (The World Almanac, 2000). Suponga que se puede usar una distribución normal y que la desviación estándar es 0.8 pulgadas. a. ¿Qué porcentaje del tiempo la precipitación pluvial en abril es mayor que 5 pulgadas? b. ¿Qué porcentaje del tiempo la precipitación pluvial en abril es menor que 3 pulgadas? c. Un mes se considera como extremadamente húmedo si la precipitación pluvial es 10% superior para ese mes. ¿Cuánta debe ser la precipitación pluvial en abril para que sea considerado un mes extremadamente húmedo? 4.- El tiempo necesario para hacer un examen final en un determinado curso de una universidad tiene una distribución normal cuya media es 80 minutos con desviación estándar de 10 minutos. Conteste las preguntas siguientes a. ¿Cuál es la probabilidad de terminar el examen en una hora o menos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante termine el examen en más de 60 minutos pero en menos de 75 minutos? c. Suponga que en la clase hay 60 estudiantes y que el tiempo para resolver el examen es de 90 minutos. ¿Cuántos estudiantes piensa usted que no podrán terminar el examen en este tiempo? Aproximación normal de las probabilidades binomiales Recordemos que un experimento binomial consiste en una serie de n ensayos idénticos e independientes, habiendo para cada ensayo dos resultados posibles, éxito o fracaso. La probabilidad de éxito en un ensayo es la misma que en cualquier otro de los ensayos y se denota p. La variable aleatoria binomial es el número de éxitos en n ensayos y lo que se quiere saber es la probabilidad de x éxitos en n ensayos. La evaluación de una función de probabilidad binomial, a mano o con una calculadora, se dificulta cuando el número de ensayos es muy grande. En los casos en que np ≥ 5 y n(1 - p) ≥ 5, la distribución normal proporciona una aproximación a las probabilidades binomiales que es fácil de usar. Cuando se usa la aproximación normal a la binomial, en la definición de la curva normal : Recuerde que en una distribución de probabilidad continua, las probabilidades se calculan como áreas bajo la curva de la función de densidad de probabilidad. En consecuencia, la probabilidad que tiene un solo valor de la variable aleatoria es cero. Por tanto, para aproximar la probabilidad binomial de 12 éxitos se calcula el área correspondiente bajo la curva normal entre 11.5 y 12.5. Al 0.5 que se suma y se resta al 12 se le conoce como factor de corrección por continuidad. Este factor se introduce debido a que se está usando una distribución continua para aproximar una distribución discreta. Así, P(x = 12) de una distribución binomial discreta se aproxima mediante P(11.5 x 12.5) en la distribución normal continua. Convirtiendo la distribución normal estándar para calcular P(11.5 x 12.5), se tiene: Supongamos que se quiere calcular la probabilidad de 13 o menos facturas con errores en una muestra de 100 facturas. En la figura, se muestra el área bajo la curva que aproxima esta probabilidad. Observe que debido al uso del factor de continuidad el valor que se usa para calcular esta probabilidad es 13.5. El valor z que corresponde a 13.5 es: En la tabla de probabilidad normal estándar se observa que el área bajo la curva normal estándar y a la izquierda de z = 1.17 es 0.8790. El área bajo la curva normal que aproxima la probabilidad de 13 o menos facturas con errores es la porción sombreada que se observa en la gráfica. Factor de corrección de continuidad Para mostrar la aplicación de la aproximación de la distribución normal a la binomial, así como la necesidad de un factor de corrección, suponga que la administración de Santoni Pizza Restaurant, se da cuenta de que 70% de sus nuevos clientes regresa a comer. ¿Cuál es la probabilidad de que 60 o más clientes regresen a comer durante una semana en la que 80 nuevos (primera vez) clientes comieron en Santoni? Observe que se cumplen las condiciones relacionadas con la distribución binomial: 1) sólo hay dos posibles resultados: un cliente regresa para consumir alimentos o no lo hace; 2) es posible contar el número de éxitos, lo cual significa, por ejemplo, que 57 de los 80 clientes regresan; 3) las pruebas son independientes, lo cual significa que si la persona número 34 regresa a comer por segunda vez, esto no influye en el hecho de que la persona 58 vuelva; 4) la probabilidad de que un cliente vuelva se mantiene en 0.70 para los 80 clientes. Por consiguiente, es aplicable la fórmula binomial Continúe con el proceso hasta obtener la probabilidad de que regresen los 80 clientes. Por último, sume las probabilidades de 60 a 80. Resulta engorroso resolver este problema con este procedimiento. También se puede utilizar un paquete de software de computadora, como o Excel, para determinar las diversas probabilidades. A continuación aparece una lista de las probabilidades binomiales para n = 80 y = 0.70, y x, el número de clientes que regresan, que oscila de 43 a 68. La probabilidad de que regrese cualquier cantidad de clientes inferior a 43 o superior a 68 es menor que 0.001. También es posible suponer que estas probabilidades son iguales a 0.000. Se determina la probabilidad de que 60 o más clientes regresen al sumar 0.063 + 0.048 + . . . 0.001, que equivale a 0.197. Sin embargo, un vistazo a la gráfica de la página siguiente muestra la similitud de esta distribución con una distribución normal. Todo lo que necesita es “arreglar” las probabilidades discretas para obtener una distribución continua. Además, trabajar con una distribución normal implicará unos cuantos cálculos más que hacerlo con la binomial. El truco consiste en permitir que la probabilidad discreta de 56 clientes quede representada por un área bajo la curva continua entre 55.5 y 56.5; después, permitir que la probabilidad de los 57 clientes quede representada por un área entre 56.5 y 57.5, etc. Este enfoque es exactamente contrario al de redondear las cifras a un número entero. Como la distribución normal sirve para determinar la probabilidad binomial de 60 o más éxitos, debe restar, en este caso, 0.5 de 60. El valor de 0.5 recibe el nombre de factor de corrección de continuidad. Debe hacerse este pequeño ajuste porque una distribución continua (la distribución normal) se utiliza para aproximar una distribución discreta (la distribución binomial). Al restar se obtiene 60 – 0.5 = 59.5. Ejercicios 1.- En una distribución de probabilidad binomial con p = 0.20 y n = 100. a. ¿Cuál es la media y la desviación estándar? b. ¿En esta situación las probabilidades binomiales pueden ser aproximadas por la distribución de probabilidad normal? Explique. c. ¿Cuál es la probabilidad de exactamente 24 éxitos? d. ¿Cuál es la probabilidad de 18 a 22 éxitos? e. ¿Cuál es la probabilidad de 15 o menos éxitos? 2.- El Myrtle Beach hotel tiene 120 habitaciones. En los meses de primavera su ocupación es de 75%. a. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos la mitad de las habitaciones estén ocupadas en un día dado? b. ¿De que 100 o más de las habitaciones estén ocupadas en un día dado? c. ¿De que 80 o menos de las habitaciones estén ocupadas en un día dado? Distribución de probabilidad exponencial La distribución de probabilidad exponencial se aplica a variables como las llegadas de automóviles a un lavado de coches, los tiempos requeridos para cargar un camión, las distancias entre dos averías en una carretera, etc. A continuación se da la función de densidad de probabilidad exponencial. En el ejemplo del área de carga, x = tiempo de carga en minutos y μ = 15 minutos. A partir de la ecuación Por tanto, la probabilidad de que cargar un camión requiera 6 minutos o menos es : Con la ecuación, se calcula la probabilidad de que cargar un camión requiera 18 minutos o menos. De manera que la probabilidad de que para cargar un camión se necesiten entre 6 y 18 minutos es igual a 0.6988 - 0.3297 = 0.3691. Probabilidades para cualquier otro intervalo se calculan de manera semejante. En el ejemplo anterior el tiempo medio para cargar un camión fue μ = 15 minutos. La distribución exponencial tiene la propiedad de que la media de la distribución y la desviación estándar de la distribución son iguales. Por tanto, la desviación estándar del tiempo que se necesita para cargar un camión es σ = 15 minutos y la varianza es σ2 = (15)2 = 225. Relación entre la distribución de Poisson y la exponencial En el curso de Estadística y Probabilidad, se presentó la distribución de probabilidad de Poisson como una distribución de probabilidad discreta que se usa para examinar el número de ocurrencias de un evento en un determinado intervalo de tiempo o de espacio. Recuerde que la función de probabilidad de Poisson es: Ejercicios Considere la siguiente función de densidad de probabilidad exponencial. Sparagowsky & Associates hace un estudio sobre los tiempos necesarios para atender a un cliente en la ventanilla de su automóvil en los restaurantes de comida rápida. En McDonald´s el tiempo medio para atender a un cliente fue 2.78 minutos Tiempos de servicio como los de estos restaurantes suelen seguir una distribución exponencial. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo para atender a un cliente sea menor que 2 minutos? b. ¿De que el tiempo para atender a un cliente sean más de 5 minutos? c. ¿De que el tiempo para atender a un cliente sean más de 2.78 minutos?