Distribuciones continuas 2, Ejercicios de Estadística Inferencial

¡Descarga Distribuciones continuas 2 y más Ejercicios en PDF de Estadística Inferencial solo en Docsity! Estadística Inferencial 1. Una variable aleatoria es normalmente distribuida con media μ = 50 y desviación estándar σ = 5. a. Dibuje la curva normal de la función de densidad de probabilidad. En el eje horizontal dé los valores 35, 40, 45, 50, 55, 60 y 65. En la figura, se observa que la curva normal casi toca el eje horizontal en los puntos que se encuentran tres desviaciones estándar arriba de la media y tres desviaciones estándar debajo de la media (en este caso en 35 y 65). b. ¿Cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor entre 45 y 55? c. ¿De que la variable aleatoria tome un valor entre 40 y 60? Ejercicios Aproximación normal de las probabilidades binomiales Recordemos que un experimento binomial consiste en una serie de n ensayos idénticos e independientes, habiendo para cada ensayo dos resultados posibles, éxito o fracaso. La probabilidad de éxito en un ensayo es la misma que en cualquier otro de los ensayos y se denota p. La variable aleatoria binomial es el número de éxitos en n ensayos y lo que se quiere saber es la probabilidad de x éxitos en n ensayos. La evaluación de una función de probabilidad binomial, a mano o con una calculadora, se dificulta cuando el número de ensayos es muy grande. En los casos en que np ≥ 5 y n(1 - p) ≥ 5, la distribución normal proporciona una aproximación a las probabilidades binomiales que es fácil de usar. Cuando se usa la aproximación normal a la binomial, en la definición de la curva normal : Para ilustrar la aproximación normal a la binomial, suponga que una empresa sabe por experiencia que 10% de sus facturas tienen algún error. Toma una muestra de 100 facturas y desea calcular la probabilidad de que 12 de estas facturas contengan algún error. Es decir, quiere hallar la probabilidad binomial de 12 éxitos en 100 ensayos. Aplicando la aproximación normal a este caso se tiene, μ = np = (100)(0.1) = 10 y σ = . Se muestra la distribución normal con μ = 10 y σ = 3. En la tabla de la probabilidad normal estándar aparece que el área bajo la curva a la izquierda de 12.5 es 0.7967. De manera similar, el área bajo la curva a la izquierda de 11.5 es 0.6915. Por tanto, el área entre 11.5 y 12.5 es 0.7967 - 0.6915 = 0.1052. El cálculo normal de la probabilidad de 12 éxitos en 100 ensayos es 0.1052. Factor de corrección de continuidad Para mostrar la aplicación de la aproximación de la distribución normal a la binomial, así como la necesidad de un factor de corrección, suponga que la administración de Santoni Pizza Restaurant, se da cuenta de que 70% de sus nuevos clientes regresa a comer. ¿Cuál es la probabilidad de que 60 o más clientes regresen a comer durante una semana en la que 80 nuevos (primera vez) clientes comieron en Santoni? Observe que se cumplen las condiciones relacionadas con la distribución binomial: 1) sólo hay dos posibles resultados: un cliente regresa para consumir alimentos o no lo hace; 2) es posible contar el número de éxitos, lo cual significa, por ejemplo, que 57 de los 80 clientes regresan; 3) las pruebas son independientes, lo cual significa que si la persona número 34 regresa a comer por segunda vez, esto no influye en el hecho de que la persona 58 vuelva; 4) la probabilidad de que un cliente vuelva se mantiene en 0.70 para los 80 clientes. Por consiguiente, es aplicable la fórmula binomial Cómo aplicar el factor de corrección: Dicho factor se aplica en los siguientes cuatro casos: 1. Para la probabilidad de que por lo menos ocurra X, se utiliza el área por encima de (X - 0.5). 2. Para la probabilidad de que ocurra más que X, se utiliza el área por encima de (X + 0.5). 3. Para la probabilidad de que ocurra X o menos, se utiliza el área debajo de (X + 0.5). 4. Para la probabilidad de que ocurra menos que X, se utiliza el área debajo de (X - 0.5). Para utilizar la distribución normal con el fin de aproximar la probabilidad de que regresen 60 o más clientes de los 80 que van a Santoni por primera vez, se sigue el siguiente procedimiento. Para determinar la probabilidad de que 60 o más clientes regresen para consumir pizza, primero necesita calcular la probabilidad de que regresen exactamente 60 clientes. Es decir: En seguida determine la probabilidad de que exactamente 61 clientes regresen. Es decir: Como la distribución normal sirve para determinar la probabilidad binomial de 60 o más éxitos, debe restar, en este caso, 0.5 de 60. El valor de 0.5 recibe el nombre de factor de corrección de continuidad. Debe hacerse este pequeño ajuste porque una distribución continua (la distribución normal) se utiliza para aproximar una distribución discreta (la distribución binomial). Al restar se obtiene 60 – 0.5 = 59.5. Para utilizar la distribución normal con el fin de aproximar la probabilidad de que regresen 60 o más clientes de los 80 que van a Santoni por primera vez, se sigue el siguiente procedimiento. Paso 1: Se determina el valor z correspondiente a una X de 59.5 con la fórmula: y las fórmulas de la media y la varianza de una distribución binomial: Paso 2: Determine al área bajo la curva normal entre una de 56 y una X de 59.5. Según el paso 1, el valor z correspondiente a 59.5 es de 0.85. En seguida consulte las tablas correspondientes, vaya hacia abajo del margen izquierdo hasta 0.8 y luego, en línea horizontal, hasta la columna con el encabezado 0.05. El área es de 0.3023. Paso 3: Calcule el área más allá de 59.5, para restar 0.3023 de 0.5000 (0.5000 – 0.3023 = 0.1977). Por consiguiente, 0.1977 es la probabilidad de que regresen para consumir alimentos 60 o más clientes de los 80 que acuden por primera vez a Santoni. En notación probabilística: P(clientes > 59.5) = 0.5000 – 0.3023 = 0.1977. Las facetas de este problema se muestran en la siguiente gráfica: Sin duda, usted estará de acuerdo en que utilizar la aproximación normal de la binomial constituye un método más eficaz para calcular la probabilidad de que regresen 60 o más clientes que acuden por primera vez. Distribución de probabilidad exponencial La distribución de probabilidad exponencial se aplica a variables como las llegadas de automóviles a un lavado de coches, los tiempos requeridos para cargar un camión, las distancias entre dos averías en una carretera, etc. A continuación se da la función de densidad de probabilidad exponencial. Como ejemplo de la distribución exponencial, suponga que x representa el tiempo que se necesita para cargar un camión en un área de carga, y que este tiempo de carga sigue una distribución exponencial. Si el tiempo de carga medio o promedio es 15 minutos (μ = 15), la función de densidad de probabilidad apropiada para x es: Cálculo de probabilidades en la distribución exponencial Como ocurre con cualquier distribución de probabilidad continua, el área bajo la curva correspondiendo a un intervalo da la probabilidad de que la variable aleatoria tome algún valor en ese intervalo. En el ejemplo del área de carga, la probabilidad de que cargar un camión necesite 6 minutos o menos, P (x 6) está definida como el área bajo la curva de la figura, que va desde x = 0 hasta x = 6. De manera similar, la probabilidad de que el tiempo de carga sean 18 minutos o menos, P(x 18) es el área bajo la curva desde x = 0 hasta x = 18. Observe también que la probabilidad de que el tiempo de carga esté entre 6 y 18 minutos P (6 x 18) corresponde al área bajo la curva desde x = 6 hasta x = 18. Para calcular probabilidades exponenciales como las que se acaban de describir, se usa la fórmula siguiente. Esta fórmula aporta la probabilidad acumulada de obtener un valor de la variable aleatoria exponencial que sea menor o igual que algún valor específico denotado por x0. Relación entre la distribución de Poisson y la exponencial En el curso de Estadística y Probabilidad, se presentó la distribución de probabilidad de Poisson como una distribución de probabilidad discreta que se usa para examinar el número de ocurrencias de un evento en un determinado intervalo de tiempo o de espacio. Recuerde que la función de probabilidad de Poisson es: La distribución de probabilidad exponencial continua está relacionada con la distribución discreta de Poisson. Si la distribución de Poisson da una descripción del número de ocurrencias por intervalo, la distribución exponencial aporta una descripción de la longitud de los intervalos entre las ocurrencias. Para ilustrar esta relación, suponga que el número de automóviles que llegan a un lavado de coches durante una hora se describe mediante la distribución de probabilidad de Poisson, con una media de 10 automóviles por hora. La función de probabilidad de Poisson que da la probabilidad de x llegadas por hora es Dado que el número promedio de llegadas es 10 automóviles por hora, el tiempo promedio entre las llegadas de los automóviles es: Entonces, la distribución exponencial que describe el tiempo entre las llegadas tiene una media de μ = 0.1 por automóvil; la función de densidad de probabilidad exponencial es: