Distribuciones de probabilidad de variables continuas, Diapositivas de Probabilidad

¡Descarga Distribuciones de probabilidad de variables continuas y más Diapositivas en PDF de Probabilidad solo en Docsity! DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Para variables aleatorias continuas Jorge Alberto Barón Cárdenas Universidad de Córdobas Monteŕıa - Córdoba 18 de enero de 2022 Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 1 / 58 Tabla de Contenido 1 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución uniforme continua Distribución Normal Distribución Exponencial Distribución Gamma Referencias Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 2 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución uniforme continua Distribución Uniforme Teorema Si X tiene distribución uniforme en el intervalo [a, b] entonces: La función de distribución acumulada de X es: F (x) = P (X ≤ x) =  0 si x ≤ a x− a b− a si a < x < b 1 si x ≥ b El valor esperado y la varianza son respectivamente: E (X) = a+ b 2 y V ar (X) = (b− a)2 12 Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 5 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución uniforme continua Distribución Uniforme Ejemplo: Suponga que el tiempo máximo que se puede reservar una sala de conferencias grande de cierta empresa son cuatro horas. Con mucha frecuencia tienen conferencias extensas y breves. De hecho, se puede suponer que la duración X de una conferencia tiene una distribución uniforme en el intervalo [0, 4]. a ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier conferencia determinada dure más de 3 horas? b Calcule la duración media por conferencia y la varianza. Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 6 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución uniforme continua Distribución Uniforme Solución Sea X la duración que tiene una conferencia, donde X ∼ U (0, 4), luego: P (X > 3) = 1− P (X ≤ 3) = 1− F (3) = 1− 3− 0 4− 0 = 1− 3 4 = 1 4 = 0.25 (25%) Por consiguiente la probabilidad de que cualquier conferencia de- terminada dure más de 3 horas es del 25% Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 7 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Normal Distribución Normal La distribución normal a menudo se denomina distribución gaussia- na en honor de Karl Friedrich Gauss (1777-1855), quien derivó su ecuación a partir de un estudio de errores en mediciones repetidas de la misma cantidad, es una función de probabilidad para variables aleatorias continuas de gran aplicación en ingenieŕıa, en la f́ısica y en las ciencias sociales. De hecho, es la función de probabilidad con más aplicaciones al campo de la economı́a y de la empresa. La distribución normal ofrece una aproximación excelente a algunos fenómenos aleatorios continuos, como: - caracteŕısticas humanas (peso, estatura, coeficiente intelectual) - resultados de procesos f́ısicos (dimensiones, rendimientos, produc- ción) - errores de medición Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 10 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Normal Distribución Normal Propiedades 1 −∞ < x < +∞ 2 Es simétrica con respecto a la media (µ = Mo = Me) 3 Puntos de inflexión en x = µ− σ y x = µ+ σ 4 Es asintótica al eje de la abscisas Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 11 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Normal Distribución Normal X ∼ N (µ, σ2); donde µ ∈ R, σ2 > 0 Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 12 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Normal Distribución Normal Estandarización: Si X es una variable aleatoria con distribución normal con paráme- tros µ y σ2, implica que Z = X − µ σ tiene distribución normal estándar. Cálculo de Probabilidades Si X es una variable aleatoria con distribución normal de paráme- tros µ y σ2 entonces: P (X < x0) = ∫ x0 −∞ 1√ 2πσ e− 1 2( x−µ σ ) 2 dx P (X < x0) constituye el área bajo la curva desde −∞ hasta x0. Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 15 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Normal Tabla de Distribución Normal Estándar, (-) Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 16 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Normal Tabla de Distribución Normal Estándar, (+) Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 17 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Normal Distribución Normal Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 20 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Normal Distribución Normal Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 21 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Normal Distribución Normal Solución: Dada una distribución normal estándar, calcule las siguientes probabilidades: P (Z < 1.43) = 0.9236 P (Z < −2.16) = 0.0154 P (Z > 2.46) = 1− P (Z ≤ 2.46) = 1− 0.9931 = 0.0069 P (−1.24 < Z < 1.64) = P (Z < 1.64)− P (Z < −1.24) = 0.9495− 0.1075 = 0.8420 Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 22 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Normal Distribución Normal Solución: P (X < 12) = P ( X − µ σ < 12− 10 2 ) = P (Z < 1) = 0.8413 P (X > 3) = P ( X − µ σ > 3− 10 2 ) = P (Z > −3.5) = 1− P (Z ≤ −3.5) = 1− 0.0002 = 0.9998 Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 25 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Normal Distribución Normal P (9 < X < 11) = P ( 9− 10 2 < X − µ σ < 11− 10 2 ) = P (−0.5 < Z < 0.5) = P (Z < 0.5)− P (Z < −0.5) = 0.6915− 0.3085 = 0.3850 Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 26 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Normal Distribución Normal El valor de a tal P (X ≤ a) = 0.975 P (X ≤ a) = P ( X − µ σ ≤ a− 10 2 ) = P ( Z ≤ a− 10 2 ) Implica que: a−10 2 = 1.96 =⇒ a = 2 (1.96) + 10 = 13.92 Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 27 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Normal Ejercicios Propuestos 1. Cierto tipo de bateŕıa de almacenamiento dura, en promedio, 3.0 años, con una desviación estándar de 0.5 años. Suponga que la duración de la bateŕıa se distribuye normalmente y calcule la probabilidad de que una bateŕıa determinada dure menos de 2.3 años. 2. El diámetro interior del anillo de un pistón terminado se distribu- ye normalmente con una media de 10 cent́ımetros y una desviación estándar de 0.03 cent́ımetros. ¿Qué proporción de anillos tendrá diámetros interiores que excedan 10.075 cent́ımetros? ¿Cuál es la probabilidad de que el anillo de un pistón tenga un diámetro interior de entre 9.97 y 10.03 cent́ımetros? ¿Por debajo de qué valor del diámetro interior caerá el 15% de los anillos de pistón? Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 30 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Normal Ejercicios Propuestos 3. Un abogado viaja todos los d́ıas de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje sólo de ida es de 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. Si se supone que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente. ¿Cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos 1/2 hora? Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y él sale diario de su casa a las 8:45 a.m., ¿qué porcentaje de las veces llegará tarde al trabajo? Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 31 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Normal Ejercicios Propuestos 4. Dada la variable X normalmente distribuida con una media de 18 y una desviación estándar de 2.5, calcule a P (X < 15) b El valor de k tal que P (X < k) = 0.2236 c El valor de k tal que P (X > k) = 0.1814 d P (17 < X < 21). Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 32 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Exponencial Distribución Exponencial Teorema Si T es una variable aleatoria con distribución exponencial de parámetro λ entonces la función de distribución acumulada de T está dada por: F (to) = P (T ≤ to) = ∫ t0 0 f(t)dt = 1− e−λt0 Luego: P (T ≤ t) = 1− e−λt P (T > t) = e−λt Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 35 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Exponencial Distribución Exponencial Ejemplo 1 La duración de cierto componente eléctrico (en horas) es una va- riable aleatoria con función de densidad dada por: f (t) = 1 100 e− 1 100 t; t > 0 Encuentre la probabilidad de que el componente funcione por lo menos 200 horas Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 36 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Exponencial Distribución Exponencial Solución Definamos: T : Tiempo de funcionamiento del componente eléctrico. De la función de densidad se tiene que λ = 1 100 , por consiguiente: P (T ≥ 200) = 1− P (T < 200) = 1− ( 1− e− 200 100 ) = e− 200 100 = e−2 = 0.1353 Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 37 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Exponencial Distribución Exponencial Ejemplo 2: Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de operación antes de fallar, en años, está dado por T . La variable aleatoria T se modela bien mediante la distribución exponencial con tiempo medio de operación de 5 años antes de fallar. Si se instalan 10 de estos componentes en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al final de 8 años al menos dos aún funcionen? Solución Tenemos que E (T ) = 5=⇒ 1 λ = 5=⇒ λ = 1 5 La probabilidad de que un componente determinado siga funcio- nando después de 8 años es dada por: P (T > 8) = e− 8 5 = 0.2019 (20.19%) Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 40 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Exponencial Distribución Exponencial Ahora, definamos a X como el número de componentes que todav́ıa funcionan después de 8 años de los 10 componentes instalados. Lue- go X se puede modelar a través de la distribución binomial, con parámetros n = 10 y p = 0.2019, Aśı: P (X ≥ 2) = 1− P (X < 2) = 1− [P (X = 0) + P (X = 1)] = 1− [(10 0 ) 0.20190 (1− 0.2019)10−0 + (10 1 ) 0.20191 (1− 0.2019)10−1 ] =1-[0.1049 + 0.2653] = 0.6299 (62.99%) Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 41 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Exponencial Distribución Exponencial Código R: P (T > 8) = 0.2019 p<-pexp(8,1/5,lower.tail = FALSE);p [1] 0.2018965 P (X ≥ 2) = 0.6299 1-pbinom(1,10,p) [1] 0.6298905 Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 42 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Exponencial Distribución Exponencial Código R: P (T > 12/T > 5) = P (T > 7) = 0.3114 pexp(7,1/6,lower.tail = FALSE) [1] 0.311403 Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 45 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Gamma Distribución Gamma Función Gamma La función gamma (denotada como Γ (α), donde Γ es la letra griega gamma en mayúscula), es una aplicación que extiende el concepto de factorial a los números reales positivos. Γ (α) = ∫ +∞ 0 xα−1e−xdx; α > 0 Propiedades a Γ (α) = (α− 1)! para α ∈ N b Γ (α) = (α− 1) Γ (α− 1) c Γ ( 1 2 ) = √ π Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 46 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Gamma Distribución Gamma Es una distribución adecuada para modelar el comportamiento de variables aleatorias continuas con asimetŕıa positiva. Es decir, va- riables que presentan una mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, α y β de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma Γ (α), res- ponsable de la convergencia de la distribución. En muchos casos se utiliza para modelar el tiempo de espera para r-ocurrencias. Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 47 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Gamma Distribución Gamma Aśı: f (x) = βα Γ (α) xα−1e−βx = 52 Γ (2) x2−1e−5x = 25xe−5x Luego: P (X ≤ 1) = ∫ 1 0 f (x) dx = ∫ 1 0 25xe−5xdx = 25 ∫ 1 0 xe−5xdx = 25 {[ − 1 5 xe−5x ]1 0 + 1 5 ∫ 1 0 e−5xdx } = 5 {[ −xe−5x ]1 0 − [ 1 5 e−5x ]1 0 } = [ −5e−5x ( x+ 1 5 )]1 0 = −6e−5 + 1 = 0.9596 Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 50 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Gamma Distribución Gamma Código R: P (X ≤ 1) = 0.9596 pgamma(q,shape,scale) # shape=alpha (Parámetro de forma) # scale=1/beta (Parámetro de escala) pgamma(1,shape=2,scale=1/5) [1] 0.9595723 Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 51 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Gamma Función de Distribución Acumulada Si X tiene distribución con parámetros α, β ∈ N, entonces la fun- ción de distribución acumulada de X, se puede obtener mediante la función Gamma incompleta. F (k) = P (X ≤ k) = ∫ k 0 βα Γ(α) xα−1e−βxdx si hacemos y = xβ, implica de que x = y β ; dx = dy β , luego F (k) = ∫ kβ 0 βα Γ(α) ( y β )α−1 e−β( y β ) dy β = 1 Γ (α) ∫ kβ 0 yα−1e−ydy Por consiguiente, nos dirigimos a la tabla de la función gam- ma incompleta y obtenemos la probabilidad correspondiente a F (x = kβ;α) Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 52 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Gamma Distribución Gamma Luego, kβ = (0.25) (20) = 5; aśı P (X ≥ 20) = 1− 1 Γ (2) ∫ 5 0 yα−1e−ydy = 1− F (5; 2) = 1− 0.96 = 0.04 por consiguiente, podemos asumir que bajo las condiciones anterio- res, era poco probable que el tiempo entre quejas fuera mayor a 20 mese, por tanto, es razonable concluir que el trabajo de control de calidad resultó eficaz. Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 55 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Gamma Distribución Gamma Código R: P (X ≥ 20) = 0.04 pgamma(20,shape=2,scale=1/0.25,lower.tail = FALSE) [1] 0.04042768 Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 56 / 58 Distribuciones de Probabilidad de Variables Continuas Distribución Gamma Otras distribuciones importantes Además de las distribuciones estudiadas para variables aleatorias continuas, tenemos otras que de gran utilidad en el campo de la estad́ıstica, como son: Distribución Chi-cuadrado Distribución Beta Distribución Logaŕıtmica Normal Distribución Weibull Distribución t- Student Distribución F- Fisher Jorge A. Barón (Unicórdoba) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 57 / 58