EFECTOS SÍSMICO EN LOS EDIFICIOS DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS, Apuntes de Ingeniería

¡Descarga EFECTOS SÍSMICO EN LOS EDIFICIOS DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS y más Apuntes en PDF de Ingeniería solo en Docsity! UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL EFECTOS SÍSMICO EN LOS EDIFICIOS DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS Bazán - Meli DOCENTE: LEON MALO, IVAN Nuevo Chimbote, mayo del 2022 Prólogo El texto comienza con una introducción que pretende dar una visión de con- junto de la problemática de los efectos sísmicos en los edificios y de la manera de diseñar éstos para resistirlos. Los dos capítulos siguientes contienen los funda- mentos teóricos del análisis de las estructuras y de su respuesta dinámica, así como el planteamiento de los métodos de análisis que utilizan los paquetes de cómputo para diseño sísmico de edificios. El cuarto capítulo se dedica a la presentación de las principales característi- cas de los materiales, elementos y sistemas estructurales que influyen en el com- portamiento de los sismos. A partir del capítulo 5 comienza la parte que se dedica a presentar las ctapas principales del diseño sísmico. En este capítulo se tralan los principios que con- ducen a definir el sistema estructural idóneo para los edificios y para identificar aquellos aspectos que pueden causar problemas de mal comportamiento. En los tres capítulos siguientes se tratan sucesivamente los métodos de diseño sísmico estático y dinámico, y los requisitos de dimensionamiento y detallado para que las estructuras tengan el comportamiento sísmico adecuado. Finalmente, el capí- tulo 9 se refiere al cuidado de los elementos no estructurales de los edificios, como los acabados, instalaciones y equipo. El texto ha sido preparado a partir de diversos escritos que los autores hemos venido desarrollando a lo largo de muchos años, y que han servido de base para cursos, conferencias y artículos técnicos, En este proceso hemos contado con la participación de un gran número de colaboradores, sobre todo estudiantes. Nos ha resultado imposible llevar una relación de todos ellos, por lo que preferimos dar- les un agradecimiento general para no incurrir en inevitables omisiones, No queremos, sin embargo, dejar de mencionar la destacada contribución de Catherine Bazán, Gerardo Aguilar y Leonardo Flores cn la preparación de figuras en formato digital. ENRIQUE BAZÁN ROBERTO MELI  1, INTRODUCCIÓN A LA SISMOLOGÍA Y A LA INGENIERÍA SÍSMICA, 15 1.1 Sismología y peligro sísmico, 15 1.1.1 Causas y efectos de los sismos, 15 1.1.2 Movimientos sísmicos del terreno, 17 1.1.3 Registros sísmicos. Acelerogramas, 21 1.1,4 Peligro sísmico, 23 1.1.5 Efectos locales y microzonificación, 25 1.2 Efectos sísmicos en los edificios, 29 1.2.1 Características de la acción sísmica, 29 1.2.2 Respuesta de los edificios a la acción sísmica, 30 1.2.3 Daños estructurales más comunes, 33 1.3 Criterios de diseño sísmico, 37 1.3.1 Objetivos del diseño sísmico, 37 1.3.2 Aspectos principales del diseño sísmico, 40 1.3,3 Enfoques de diseño, 40 Contenido 1.4 Criterios de diseño sísmico del Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal (RCDF), 43 2, EDIFICIOS SUJETOS A FUERZAS LATERALES, 47 2.1 Método de rigideces, 47 2.1, Conceptos básicos, 47 2.1.2 Elemento viga, 50 2.1.3 Elemento barra, 52 2.2 Marcos planos 2.2.1 Método directo de rigideces, 54 2.2.2 Método de Bowman, 60 2.2.3 Fórmulas de Wilbur, 62 2.2.4 Edificios de cortante, 65 2.3 Sistemas con muros, 67 2.3.1 Método de la columna ancha, 67 2.3.2 Método de MacLeod, 71 2.3.3 Marcos contraventeados, 73 2.3.4 Muros confinados por marcos, 73 2.3.5 Método del elemento finito, 76 2.4 Análisis tridimensional, 78 2.4.1 Edificios con pisos rígidos en planta, 78  10 Contenido 2.4,2 Ejemplo, 82 2.4.3 Edificios con sistemas resistentes ortogonales, 84 2.5 Observaciones y comentarios, 89 2.5.1 Métodos aproximados para marcos, 90 2.5.2 Sistema con muros y contravientos, 92 2.5.3 Efectos no lineales, 94 2.5.4 Análisis tridimensional con computadora, 95 3. CONCEPTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL, 99 3.1 Grados de libertad dinámicos, 99 3,2 Sistemas lineales de un grado de libertad, 100 3.2.1 Descripción y ecuación de equilibrio dinámico, 100 3.2.2 Vibraciones libres, 101 3.2,3 Respuesta a movimientos del terreno, 103 3.2.4 Análisis paso a paso, método £ de Newmark, 103 3.2.5 Espectro de respuesta elástico, 107 3.3 Sistemas lineales de varios grados de libertad sin torsión, 108 3.3.1 Ecuaciones de equilibrio dinámico, 108 3.3.2 Vibraciones libres no amortiguadas, 109 3.3.3 Frecuencias y modos de vibración, 110 3.3.4 Ejemplo, 111 3.4 Cálculo numérico de modos y frecuencias de vibrar, 113 3.4.1 Método de Newmark, 113 3.4.2 Método de Holzer, 115 3.4.3 Método de iteración inversa, 117 3.5 Respuesta a temblores de sistemas sin torsión, 121 3.5.1 Análisis modal, 121 3.5.2 Modos ortonormales, 123 3.5.3 Estructura tratada en la sección 3.3.4, 124 3.5.4 Edificio tratado en la sección 2.4.3, 125 3.6 Análisis dinámico tridimensional, 127 3.6.1 Ecuaciones de equilibrio dinámico, 127 3.6.2 Análisis modal, 128 3.6.3 Edificio de un piso, 129 3.6.4 Edificio tratado en la sección 2.43, 130 3.6.5 Análisis paso a paso, 132 3.7 Sistemas suelo-estructura, 133 3.7.1 Ecuaciones de movimiento, 134 3.7.2 Estimación aproximada de propiedades dinámicas, 137 3.7.3 Rigideces equivalentes del suelo, 139 3.8 Análisis no lineal, 140 3.8.1 Ecuaciones de movimiento, 141 3.8.2 Solución analítica, 141 3.8.3 Análisis paso a paso, 142 3.8.4 Espectro de respuesta inelástico, 143 3.9 Comentarios y observaciones, 144 4 PROPIEDADES DE MATERIALES Y SISTEMAS ESTRUCTURALES, 147 4.1 Alcance, 147 4.2 Características de los edificios que definen la respuesta a sismos, 147 4.2.1 Conceptos generales, 141 Contenido 13 8.2 Estructuras de concreto reforzado, 272 8.2.1 Introducción, 272 8.2.2 Materiales, 272 8.2.3 Requisitos para vigas, 273 8.2.4 Requisitos para columnas, 279 8.2.5 Uniones viga-columna, 285 8.2.6 Requisitos para losas planas, 287 8.2.7 Requisitos para muros, 289 8.3 Requisitos para estructuras de acero, 292 8.3.1 Conceptos generales, 292 8.3.2 Material, 292 8.3.3 Requisitos para vigas, 293 8.3.4 Requisitos para columnas, 295 8.3.5 Requisitos para uniones viga- columna, 296 8.3.6 Elementos de contraviento, 296 8.4 Estructuras de mampostería, 297 8.4.1 Consideraciones generales, 297 8.4.2 Mampostería confinada, 297 8.4.3 Mampostería reforzada, 299 9. ELEMENTOS NO ESTRUCTURALES, 303 9.1 Conceptos generales, 303 9.2 Métodos de diseño, 304 9.3 Detalles para aislar elementos arquitectónicos, 306 9.4 Equipo e instalaciones, 312 BIBLIOGRAFÍA, 313  Capítulo 1 Introducción a la sismología y a la ingeniería sísmica 1.1 SISMOLOGÍA Y PELIGRO SÍSMICO 1.1.1 Causas y efectos de los sismos Conviene comenzar con una breve exposición sobre el origen y característi- cas de los fenómenos sísmicos para aclarar la razón de ser de los procedimientos de diseño que se van a tratar a lo largo de este trabajo. El lector que quiera pro- fundizar en estos temas debe recurrir a alguno de los muchos excelentes textos que sobre esta materia se encuentran publicados. Se recomiendan especialmente los textos de Bolt (1987) y de Sauter (1990). Los sismos, terremotos o temblores de tierra, son vibraciones de la corteza terrestre, generadas por distintos fenómenos, como la actividad volcánica, la caída de techos de cavernas subterráneas y hasta por explosiones. Sin embar- go, los sismos más severos y los más importantes desde el punto de vista de la ingeniería, son los de origen tectónico, que se deben a desplazamientos brus- cos de las grandes placas en que está subdividida dicha corteza, Las presiones que se generan en la corteza por los flujos de magma desde el interior de la tierra llegan a vencer la fricción que mantiene en contacto los bordes de las placas y producen caídas de esfuerzos y liberación de enormes cantidades de energía almacenada en la roca. La energía se libera principalmente en forma de ondas vibratorias que se propagan a grandes distancias a través de la roca de la corteza. Es esta vibración de la corteza terrestre la que pone en peligro las edifica- ciones que sobre ella se desplantan, al ser éstas solicitadas por el movimiento de su base. Por los movimientos vibratorios de las masas de los edificios, se gene- ran fuerzas de inercia que inducen esfuerzos importantes en los elementos de la estructura y que pueden conducirla a la falla, Además de la vibración, hay otros efectos sísmicos que pueden afectar a las estructuras, principalmente los relacionados con fallas del terreno, como son los fenómenos de licuación, de deslizamiento de laderas y de aberturas de grie- tas en el suelo. No se tratarán aquí estos fenómenos que corresponden a con- diciones muy particulares de subsuelo que requieren estudios especializados.  Introducción a la sismología y a la ingeniería sísmica 16 Elevación | Trinchera Placa Océanica Zona de fractura Placa Continental Epicentro CEET Pz] Subducción 4 4 Magma Figura 3.1 Movimiento de placas y generación de sismos. Mecanismo de subducción. o yoyo o PRENSA Placa de Norteamérica $ aa del É pagas pa el Sa Placa de América Placa de Filipinas Placa del. Pacífico OE Is del Antártico " Volcanes 2-2 A Zonas de subducción 3717 Zonas de emersión de magma is Epicentros * Movimientos de placas “——— Zonas de colisión Figura 1.2 Mapa que muestra la relación entre las principales placas tectónicas y la localización de los epicentros de terremotos y de los volcanes (de Bolt, 1987). Sismología y peligro sísmico disipada por un sismo denominada momento sísmico M,, el cual es el producto de la rigidez a cortarite de la corteza terrestre por el área de ruptura y por el des- lizamiento de la falla que genera el temblor. Así definido, M, tiene, de hecho, unidades de energía. Para relacionar el momento sísmico con las escalas con- vencionales de magnitud, Hanks y Kanamori (1979) han definido una nueva escala con la fórmula: donde el logaritmo se toma en base 10 y M, está dada en dinas-cm. M (también denotada con M,,) se llama magnitud de momento sísmico y está ganando aceptación como una escala universal, ya que es adecuada para medir eventos muy grandes y sin basarse exclusivamente cn ningún tipo de ondas, Se han publicado tablas y gráficas que permiten relacionar M con otros tipos de magnitud (véase, por ejemplo, Nuttli y Hermann, 1982). La última ecuación refleja que la magnitud es una función lineal del logarit- mo de la energía liberada (medida por M4), de modo que un incremento de un grado en M corresponde a un evento que libera 32 (=10'*) veces más energía, Por ello, la determinación precisa de la magnitud, digamos con errores de un décimo, es muy importante para determinar la destructividad de un temblor, par- ticularmente en estudios de riesgo sísmico. Sismos de magnitudes menores de 3 son sismos instrumentales que difícil- mente perciben las personas. Sismos de magnitud menor que $ rara vez llegan a producir daño, excepto cuando son muy superficiales y sólo muy cerca del epi- centro. Sismos de magnitud entre $ y 7 afectan zonas relativamente pequeñas y caen en la definición genérica de sismos de magnitud intermedia. A medida que aumenta la magnitud crecen la zona afectada y la violencia del movimiento del terreno. Los grandes sismos son de magnitud superior a 7.0 y no existe un límite superior teórico de la escala de Richter. Los sismos de mayor magnitud que se han estudiado llegan a cerca de 9 en dicha escala, Del punto de vista de ingeniería no interesa tanto la magnitud del sismo como sus efectos en los sitios donde existen o se van a construir las edifica- ciones. Esto se refiere a la severidad de la sacudida sísmica que se experimenta en un sitio dado. A esla característica de los sismos se le llama intensidad, y es claro que un mismo sismo, aunque tiene una sola magnitud, tendrá diferentes intensidades, según el sitio donde se registre. En general la intensidad decrece a medida que nos alejamos de la zona epicentral, y para una misma distancia epi- central, son más intensos los sismos de mayor magnitud. Tampoco para la intensidad existe una escala universalmente aceptada. Las escalas más precisas son las de tipo instrumental, que definen, por ejemplo, la intensidad en función de la aceleración máxima del terreno en el sitio de interés, Sin embargo, por la imposibilidad de contar con instrumentos colocados preci- samente en los diferentes sitios donde interesa conocer la intensidad, se prefiere recurrir a escalas de tipo más cualitativo que se basan en la severidad de los daños producidos, en la violencia con que es sentido por las personas y en cam- bios producidos en la superficie del terreno. La escala de intensidades más usada es la de Mercalli Modificada, una de cuyas versiones más recientes se reproduce en el cuadro 1.1. Se asignan intensidades entre 1 y XIL Intensidades de IV o menores no corresponden a daño estructural y una imtensidad de X corresponde a una destrucción generalizada, La mayor debilidad de la escala de Mercalli es 19 20 Introducción a la sismología y a la ingeniería sísmica Cuadro 1.1 Escala de intensidad Mercalli Modificada (MM). Grado Descripción Grado Descripción 1314 YI MU vUul No es sentido por las personas, registrado por los instrumentos sismográficos. Sentido sólo por pocas personas en reposo, especialmene en los pisos superiores, objetos suspendidos pueden oscilar. Sentido en el interior de las edificaciones, es- pecialmente en pisos superiores, pero muchos pueden no reconocerlo como tembior, vibra- ción semejante a la producida por el paso de un vehículo liviano, objetos suspendidos oscilan Objetos suspendidos oscilan visiblemente, vibración semejante a la producida por el paso de un vehículo pesado, vehículos estacionados se bambolean, cristalería y vidrios suenan, puertas y paredes de madera crujen. Sentido aun en el exterior de los edificios, permite estimar la dirección de las ondas, per- sonas dormidas se despiertan, el contenido líquido de recipientes y tanques es perturbado y se puede derramar, objetos inestables son desplazados, las puertas giran y se abren O cictran, relojes de péndulo se paran. Sentido por todas las personas, muchos sufren pánico y corren hacia el exterior, se tiene dificultad en caminar establemente, vidrios y vajilla se quiebran, libros y objetos son lanzados de los anaqueles y estantes, los muebles son desplazados o volcados, el revoque y enlucido de mortero de baja cali- dad y mampostería tipo D se fisuran, cam- panas pequeñas tañen. Se tiene dificultad cn mantenerse parado, percibido por los conductores de vehículos en marcha, muebles se rompen, daños y colapso de mampostería tipo D, algunas grietas en mampostería tipo C, las chimeneas se frac- turan a nivel de hecho, caída del revoque de mortero, tejas, cornisas y parapetos sin ancla- je. algunas grietas en mampostería de calidad media, campanas grandes tañen, ondas en embalses y depósitos de agua La conducción de vehículos se dificulta, da- ños de consideración y colapso parcial de mam- postería tipo C, algún daño en mampostería tipo B; algún daño en mampostería tipo A; caída del revoque de mortero y de algunas pa- redes de mampostería, caída de chimeneas de fábricas. monumentos y tanques elevados, al- gunas ramas de árboles se quiebran, cambio en el flujo o temperatura de pozos de agua, grie- tas en terreno húmedo y en taludes inclinados. IX Pánico general, construcciones de mamposte- ría tipo D totalmente destruidas, daño severo y aun colapso de mampostería tipo C, daño de consideración en mampostería tipo B, daño a fundaciones, daños y colapso de estructuras aporticadas, daños en ensambles y depósitos de agua, ruptura de tubería cerrada, grietas sig- nificativas visibles en el terreno. X La mayoría de las construcciones de mam- postería y a base de pórticos destruidas, al- gunas construcciones de madera de buena calidad dañadas, puentes destruidos, daño se- vero a represas, diques y terraplenes, grandes deslizamientos de tierra, cl agua se rebalsa en los bordes de ríos, lagos y embalses, rieles de ferrocarril deformados ligeramente. XI Los rieles de ferrocarril deformados severa- mente, ruptura de tuberías enterradas que quedan fuera de servicio, XII Destrucción total, grandes masas de roca des- plazadas, las líneas de visión óptica distor- sionadas, objetos lanzados al aire. Definición de los tipos de mampostería Tipo A: buena calidad de ejecución, mortero y disc- ño, reforzada y confinada empleando vari- llas de acero, diseñada para resistir cargas laterales de sismo, Tipo B: buena calidad de ejecución, reforzada, pero no diseñada específicamente para resistir cargas laterales de sismo. Tipo C: calidad de ejecución media, sin refuerzo y no diseñada para resistir cargas laterales. Tipo D: materiales de baja resistencia, tal como adobe, baja calidad de ejecución débil para resistir cargas laterales. El rango de intensidades MM 1a VI no es relevante en términos de riesgo sísmico. El 90% del daño ocasio- nado por los terremotos corresponde a eventos con intensidad grado VIL a IX, expresado en la escala Mercalli Modificada. Sismología y peligro sísmico 21 ACELERACIÓN (gals) E Tiempo(s) 20 10 0 E -10 20 que toma en cuenta sólo marginalmente la calidad sismorresistente de los edifi- cios que se encuentran en la zona afectada. 1.1.3 Registros sísmicos —Acelerogramas Entre los aparatos para medir los sismos se encuentran los sismógrafos, que se usan principalmente para determinar los epicentros y mecanismos focales. Para fines de ingeniería los más importantes son los acclerógrafos que proporcionan la variación de aceleraciones con el tiempo en el lugar donde están colocados. El número y la calidad de estos aparatos ha aumentado extraordinariamente en los años recientes y ha permitido grandes avances en el conocimiento de las carac- terísticas de la excitación sísmica inducida en las construcciones. Los mismos aparatos colocados en tos edificios permiten determinar la respuesta de éstos a la acción sísmica. Los acelerógrafos contienen sensores dispuestos de manera de registrar la aceleración del terreno en tres direcciones ortogonales (dos horizontales y una vertical). La figura 1.5 muestra un registro típico. Los parámetros más impor- tantes para definir la intensidad del movimiento y sus efectos en las estructuras son la aceleración máxima, expresada generalmente como fracción de la gra- vedad, la duración de la fase intensa del movimiento, y el contenido de frecuen- cias. Este último se refiere a la rapidez del cambio de dirección del movimiento y es importante en cuanto a definir el tipo de estructura que será más afectado. Este último punto se refleja en la forma del llamado espectro de respuesta y se examinará más a fondo en el capítulo 3. Por ahora hasta decir que mientras más cercanos sean los periodos dominantes del movimiento del suelo y el periodo fundamental de vibración de la estructura, más críticos serán los efectos del sismo. La figura 1.6 muestra en forma comparativa los acelerogramas de tres mo- vimientos sísmicos muy diferentes entre sí. El primer caso corresponde a un Figura 1.5 Acelerogramas de los tres componentes de un sis- mo (registrados a 20 km del epi- centro del sismo de San Fer- nando, 1971). Figura 1.8 Relación de ate- nuación de la intensidad del movimiento del terreno en fun- ción de la distancia epicentral y de la magnitud del evento. En el eje vertical izquierdo se presenta la atenuación de la aceleración máxima del terre- no, en el eje derecho la ate- nuación de la intensidad ex- presada en la escala Mercalli Modificada; la intensidad MM en función de la aceleración máxima se tomó de las rela- ciones dadas por F. Sauter (adaptado de G.W. Housner and P.C. Jennings, 1982). Introducción a la sismología y a la ingeniería sísmica 1000 1 Erre TT O E Jx E = F =X L P vi L + Z 3 3 3 vu Z > á z 100 8"E $ g E E 2 E ¡DS É 2 2 PP Z 5] v É 3 Lt 3 2 3 MAGNE z F To S tv 10 q E á E 2 E a E T 4 als ida s 10 100 400 DISTANCIA AL. FOCO (km) evento. Sin embargo, estas relaciones son sumamente erráticas y las ecuaciones propuestas, llamadas leyes de atenuación difieren significativamente entre sí y tienen coeficientes de variación elevados. La figura 1.8 muestra la representación gráfica de una de estas leyes de ate- nuación. En este caso la intensidad se representa en la escala de Mercalli. Mejor aproximación se tiene cuando se expresa la intensidad en términos de la acelera- ción máxima del terreno o de algún parámetro instrumental. La manera en que se atenúan los efectos sísmicos con la distancia desde la zona epicentral se aprecia directamernte de las intensidades que se determinan en distintos sitios. Para los sismos importantes se construyen mapas de isosistas, o sea líneas de igual intensidad sísmica. Por ejemplo, en la figura 1.9 se muestran las isosistas del sismo de México del 19 de septiembre de 1985, Se observa que para una magnitud tan elevada, M, = 8.1, se tuvieron intensidades significativas hasta varios cientos de kilómetros de distancia. Es evidente además, que las iso- sistas tienen una trayectoria irregular que difiere mucho de la forma circular que predicen las leyes de atenuación teóricas. La diferencia es debida a irregulari- dades geológicas y topográficas, principalmente. El peligro sísmico en un sitio específico depende de su cercanía a fuentes de eventos de magnitud suficiente para producir intensidades significativas en el sitio. La figura 1.10 muestra las máximas intensidades que se han presentado en la república mexicana por los sismos más importantes ocurridos desde 1850. Se aprecia que las intensidades máximas ocurren en la costa del Pacífico, pero que existen otras zonas donde se ha llegado a intensidades importantes. Una forma más racional de expresar el peligro sísmico es en términos proba- bilistas, en función de la intensidad que tiene una probabilidad prestablecida (y  Sismología y peligro sísmico Intensidades en la escala de Mercalli Modificada pequeña) de ser excedida en un lapso comparable a la vida útil esperada de las edi- ficaciones. En estos conceptos están basadas las regionalizaciones sísmicas que rigen en distintos países. La figura 1.11 muestra la regionalización sísmica de México; en ella se ha dividido el país cn cuatro regiones de peligro sísmico creciente, de la A hasta la D. Se aprecia concordancia entre esta regionalización y la distribución de intensidades máximas de la figura 1.10. 1.1.5 Efectos locales y microzonificación Las leyes de atenuación y los mapas de regionalización reflejan la propagación de las ondas sísmicas en la roca de la corteza. El movimiento en la superficie del 25 Figura 1.9 Isosistas del sismo del 19 de septiembre de 1985 (obtenido de la base de datos Diagnóstico de Peligro Sísmi- co, CENAPRED). Figura 1.10 Isosistas máximas registradas en la República Me- xicana de 1845 a 1985 (ob- tenido de la base de datos Diagnóstico de Peligro Sísmico, CENAPRED). 26 Figura 1.11 Regionalización sísmica de México. El peligro sísmico aumenta de ta zona A hacia la D. Introducción a la sismología y a la ingeniería sísmica ESTADOS UNOS. SOLEADO terreno en un sitio dado puede diferir radicalmente del que se tiene en la roca base, por alteraciones de las ondas debidas a efectos geológicos, topográficos y de rigidez del subsuelo. La importancia de estas alteraciones, llamadas en térmi- nos generales efectos locales, se reconoce cada vez más en años recientes y ha conducido a la necesidad de estudios de microzonificación de las áreas de asen- tamientos humanos para detectar aquellas zonas que presentan problemas espe- ciales. Fenómenos locales extremos se tienen en zonas de suelos inestables donde la vibración sísmica puede provocar fallas de suelo, deslizamiento de laderas o problemas de licuación. Estas zonas deben identificarse con estudios geotécnicos específicos. La presencia de estratos de suelo blando por los que transitan las ondas sís- micas para llegar a la superficie, altera en forma significativa las características de las ondas. Se filtran las ondas de periodo corto y se amplifican las ondas de periodo largo. En general, la intensidad sísmica aumenta en los sitios de terreno blando y los daños cn los sismos importantes han sido sistemáticamente más graves en estos sitios que en los de terreno firme. Un área donde los efectos de sitio son extraordinariamente importantes es cl valle de México. Por estar lejos de la costa del Pacífico donde se gene- ran los sismos de gran magnitud, esta área se ubica en una región de peligro sísmico moderado (zona B según la regionalización de la figura 1.11). Sin embargo, condiciones geológicas particulares de esta área producen una amplificación generalizada de las ondas sísmicas en toda la región, indepen- dientemente del tipo de terreno. No obstante, el efecto de suelo local más impor- tante es que las ondas que llegan al valle por la roca base sufren modificaciones y amplificaciones extraordinarias al transmitirse hacia la superficie a través de los estratos de arcilla sumamente compresible que existen en las zonas corres- pondientes a los lechos de los antiguos lagos que hubo en el valle de México. La importancia del problema se aprecia en la representación de la figura 1.12, donde se reproducen a una misma escala los acelerogramas registrados en distin- Efectos sísmicos en los edificios El movimiento sísmico del suelo se transmite a los edificios que se apoyan sobre éste. La base del edilicio tiende a seguir el movimiento del suelo, mien- tras que, por inercia, la masa del edificio sc opone a ser desplazada dinámica- mente y a seguir el movimiento de su base (figura 1.14). Se generan entonces las fuerzas de inercia que ponen en peligro la seguridad de la estructura. Se trata de un problema dinámico cuyo planteamiento teórico se expone cn el capítulo 3 y que, por la irregularidad del movimiento del suelo y por la complejidad de los sistemas constituidos por las edificaciones, requiere de grandes simplificacio- nes para ser objeto de análisis como parte del diseño estructural de las construe- ciones. Aquí sólo se esbozarán en forma cualitativa los aspectos más relevantes del problema. El movimiento del suelo consta de vibraciones horizontales y verticales. Como ya hemos mencionado, las primeras resultan en general más críticas y son las únicas consideradas en este planteamiento preliminar. La flexibilidad de la estructura ante el efecto de las fuerzas de inercia hace que ésta vibre de forma distinta a la del suelo mismo. Las fuerzas que se inducen en la estructura no son función solamente de la intensidad del movimiento del suelo, sino dependen en forma preponderante de las propiedades de la estructura misma. Por una parte, las fuerzas son proporcionales a la masa del edificio y, por otra, son función de algunas propiedades dinámicas que definen su forma de vibrar. Una apreciación aproximada de la respuesta sísmica de una estructura se tiene al estudiar un modelo simple que es un sistema de un grado de libertad, constituido por una masa concentrada y un elemento resistente con cierta rigidez lateral y cierto amortiguamiento (figura 1.15). Como veremos en el capítulo 3 este sistema se caracteriza por su periodo natural de vibración que es propor- cional a la raíz cuadrada de la relación entre la masa y la rigidez. Los movimientos del suelo son amplificados en forma importante por la vibración de la estructura, de manera que las aceleraciones que se presentan en la misma jlegan a ser varias veces superiores a las del terreno. El grado de amplificación depende del amortiguamiento propio de la edificación y de la relación entre el periodo de la estructura y el periodo dominante del suelo. De esta manera, cuando los movimientos del suclo son bruscos con predominio de ondas de periodo corto, resultan más afectadas las construcciones rígidas y pesadas. Cuando el movimiento del terreno es lento, con periodos dominantes largos, es en las estructuras altas y flexibles donde se amplifican las vibra- ciones y se generan aceleraciones más elevadas y por ende fuerzas de inercia mayores. , Las fuerzas de inercia que se generan por la vibración en los lugares donde se encuentran las masas del edificio se transmiten a través de la estructura por trayectorias que dependen de la configuración estructural. Estas fuerzas generan esfuerzos y deformaciones que pueden poner en peligro la estabilidad de la cons- trucción. La figura 1.16 muestra esquemáticamente el flujo de fuerzas en una estructura típica. Se observa que pueden resultar críticas las fuerzas en las unio- nes entre los elementos estructurales, las fuerzas cortantes en las columnas y la transmisión de dichas fuerzas a la cimentación. 29 Introducción a la sismología y a la ingeniería sismica Como se ha mencionado en la sección anterior, la intensidad de la vibración inducida en un edificio depende tanto de las características del movimiento del terreno como de las propiedades dinámicas de la estructura, Para sismos mode- rados la estructura se mantiene, normalmente, dentro de su intervalo de compor- tamiento elástico lineal y su respuesta puede calcularse con buena aproximación en los métodos de análisis dinámico de sistemas lineales; estos métodos se pre- sentan con cierto detalle en el capítulo 3. Las características esenciales de la respuesta se llegan a estimar con acep- table precisión al modelar la estructura mediante un sistema de un grado de li- bertad con periodo igual al fundamental de la estructura. La figura 1.17 ilustra algunos aspectos del problema. Si se someten varios sistemas de un grado de li- bertad con diferentes periodos a cierta ley de movimientos del terreno, cada uno responde de manera diferente; la amplitud de su respuesta depende esencialmente de la relación entre el periodo del sistema y el periodo dominante del movimien- to del suelo (T¿/T,). Se aprecia en el ejemplo que mientras más cercana a la unidad sea esta relación, mayor es la amplitud de la respuesta, Una estructura real es un sistema más complejo que el de un grado de liber- tad y su respuesta es más difícil de estimar. La figura 1.18 muestra las acele- raciones medidas en distintos puntos de un edificio de la ciudad de México sometido a un sismo de intensidad moderada, así como en el terreno adyacente y en el subsuelo. El conjunto de mediciones permite apreciar cómo el movimiento es casi imperceptible en los depósitos firmes profundos y crece en intensidad den- tro de los estratos de arcilla (20 m de profundidad), y más aún en la superfi- cic. El registro obtenido en el sótano del edificio resulta prácticamente igual al medido en el terreno libre, lo que indica que, en este caso, la presencia del edifi- cio no altera significativamente el movimiento del terreno. Los registros obte- nidos en el edificio van creciendo en intensidad con la altura, hasta que en la azotca la aceleración máxima es 2.5 veces mayor que la máxima registrada en el sótano. De los comentarios sobre la respuesta de sistemas de un grado de libertad se desprende que esta amplificación entre la azotea y el sótano depende princi- palmente de la relación entre el periodo fundamental del edificio y el periodo dominante del suelo. —. A medida que la intensidad de la excitación aplicada al edificio aumenta, se generan cambios en las propiedades dinámicas del mismo, las que alteran su respuesta. En términos generales, el comportamiento deja de ser lineal, la rigidez tiende a bajar y el amortiguamiento tiende a aumentar. La magnitud de estas modificaciones es muy distinta para diferentes tipos de sistemas y de materiales. El acero, por ejemplo, mantiene su comportamiento li- neal hasta niveles muy altos de esfuerzos, correspondientes a la fluencia. El con- creto tiene una reducción significativa en su rigidez cuando los esfuerzos de compresión exceden a 50 por ciento de la resistencia, pero sobre todo, la rigidez de estructuras de este material se ve disminuida por el agrietamiento de las sec- ciones que están sujetas a momentos flexionantes elevados. Una fuente importante de cambio en las propiedades dinámicas de las cons- trucciones es el efecto de elementos no estructurales, o sea de los recubrimientos y paredes divisorias que para niveles bajos de solicitación pueden contribuir sig- nificativamente a la rigidez, pero que después se agrietan o se separan de la es- tructura principal. Efectos sísmicos en los edificios 31 Periodo dominante del movimiento del suelo Ts=0.85 Periodo del sistema en seg. Ts Duo Acelerograma registrado en el terreno Figura 1,17 Amplificación del movimiento del terreno en sis- temas con distinto periodo fun- damental de vibración. El comportamiento de los principales materiales y sistemas estructural les se trata en detalle en el capítulo 4. Importa sobre todo la modificación en la res- puesta que se tiene después de la fluencia, cuando la rigidez de la estructu ra se reduce drásticamente y por otra parte entran en juego fuentes de amortiguamien- to mucho mayores que las que se tienen en la etapa de comportamiento lineal. Es costumbre relacionar esto comportamiento de la respuesta debido a la disipación de energía por comportamiento no lineal de la estructura, a una propiedad llamada Figura 1.18 Registros de ace- leraciones en un edificio de la ciudad de México para un sismo moderado (28 de octubre de ductilidad, la que se refiere a su capacidad de mantener su resistencia para defor- 1993). maciones muy superiores a aquella para la que se inició la fluencia. an Ed AZOTEA LT N11 Ni0 N9 1 9 N8 mí Ly N7 N6 N5 Na so o N3 mo ini pS N2 CALLE JALAPA NI - PLANTA BAJA TITTIIIRETITIRO SÓTANO = = ZR7T . | Po —— 8 orinen SENSOR DE 1 a POZO 20 mm TO y SENSOR DE POZO 45 m A 6 9  Efectos sísmicos en los edificios portamiento que se denomina elastoplástico. Las historias de desplazamientos de la figura 1.20 resultan parecidas en lo general y, en particular, el desplazamiento máximo de los tres sistemas es muy similar. Trataremos más formalmente el tema de la respuesta inelástica en el capítu- lo 3, pero del ejemplo mostrado puede inferirse que es posible dar a una estruc- tura una seguridad adecuada contra el colapso, con una resistencia elevada aunque no se cuente con mucha ductilidad, o con una resistencia mucho menor siempre que se proporcione amplia capacidad de deformación inelástica (ductiti- dad). De esta segunda manera se aprovecha el amortiguamiento inelástico para disipar una parte sustancial de la energía introducida por el sismo. Los pros y con- tras de las dos opciones se comentarán más adelante. 1.2.3 Daños estructurales más comunes El factor que más ha influido en el establecimiento de la práctica actual del dise- ño sismorresistente de edificios, ha sido la experiencia que se ha derivado del comportamiento observado de los diferentes tipos de estructuras que han sufrido sismos severos. La identificación de las características que han dado lugar a fa- llas (o por el contrario a buen comportamiento) y el análisis de los tipos de daños y de sus causas han contribuido en forma decisiva al entendimiento del compor- tamiento sísmico de las estructuras. Existe abundante literatura sobre este tema y los principales sismos han sido objeto de estudios detallados para explicar el desempeño observado de las estruc- turas. Las lecciones tienden a repetirse en cstos eventos y dejan establecidos algunos patrones consistentes. No se pretende aquí hacer una reseña exhaustiva de los tipos de falla, sino destacar un pequeño número de aspectos fundamentales, a través de algunos ejemplos ilustrativos relacionados con los tipos más comunes de estructuras para edificios modernos. La causa más frecuente de colapso de los edificios es la insuficiente resisten- cia a carga lateral de los elementos verticales de soporte de la estructura (colum- nas o muros). Como se ilustró en forma esquemática en la figura 1.16, el flujo de 33 Figura 1.20 Respuesta elástica inelástica de sistemas de un gra- do de libertad. Sistema de un grado de libestad Periodo = 1.0 seg Amontiguamiento de 5% Relaciones carga-deformación Acelerograma del sismo Amáx= 3.66 cm Modelo 1 Bma=321 cm Modelo 2 Amáx=4.22 cm Modelo 3 Historia de desplazamientos de los tres modelos  34 Introducción a la sismología y a la ingeniería sísmica Figura 1.21 Colapso de un edi- ficio por falla de columnas. Figura 1.22 Falla de columna con escaso refuerzo transversal, las fuerzas de inercia desde las partes superiores hacia la cimentación, genera fuerzas cortantes crecientes hacia los pisos inferiores de la estructura las cuales deben ser resisti- das por los elementos verticales. Un requisito básico para una adecuada resistencia a sismo es la existencia de un área transversal de muros o columnas suficiente para resistir dichas cortantes. La figura 1.21 muestra uno de los múlti- ples casos de colapso de un edificio por falla por cortante de sus columnas. Para un correcto comportamiento sísmico, la resisten- cia no es el único factor importante. La capacidad de defor- mación, o la ductilidad, es una propiedad que puede salvar un edificio del colapso. El detallado de las secciones para evitar una falla frágil y proporcionar capacidad de defor- mación es un aspecto básico del diseño. La figura 1.22 muestra la falla de una columna de concreto con una cuantía y distribución de refuerzo totalmente inadecua- dos, particularmente en lo referente al refuerzo transver- sal (estribos). La mayoría de las fallas observadas en estructuras de concreto están ligadas a un pobre detallado del refuerzo. Las conexiones entre los elementos estructurales que tienen la función de resistir las fuerzas sísmicas son zonas críticas para la estabilidad de la construcción. Se presentan en ellas con frecuencia concentraciones ele- vadas y condiciones complejas de esfuerzos, que han dado lugar a numerosos casos de falla. Particularmente críticas son las conexiones entre muros y losas en estruc- turas a base de paneles, y entre vigas y columnas en estructuras de marcos. La figura 1.23 muestra un ejem- Efectos sísmicos en los edificios 35 plo de falla de una conexión viga-columna de concreto. Las fallas en las conexiones son generalmente de tipo frágil, por lo que deben protegerse estas zonas con par- ticular cuidado. Un ejemplo dramático de falla de conexión se tiene en edificios de losas planas (apoyados directamente sobre columnas, sin vigas). Por los esfuerzos cortantes elevados en la losa alrededor de la columna puede ocurrir una falla de punzonamiento que deja sin apoyo los sistemas de piso y da lugar a un colapso total de los pisos que dejan paradas sólo las columnas, como en la figura 1.24. La liga de la estructura con su cimentación y la de ésta en el suelo son aspectos fundamentales para la estabilidad del edificio. Los casos de volteo de un edificio por efectos sísmicos son escasos, pero pueden ocurrir en estructuras esbeltas. La figura 1.25 muestra un edificio que se volteó arrancando los pilotes del suelo en que estaban hincados. La configuración inadecuada del sistema estructural produce una respuesta desfavorable de la estructura o un flujo de fuerzas que genera concentraciones de esfuerzos y posibles fallas locales. El caso de la figura 1.26 muestra vigas fuertemente excéntricas con respecto al eje de co- lumnas y que transmiten fuerzas cortantes y momentos, tor- sionantes elevados en la viga transversal sobre la que se apoyan. El problema que dio lugar a la falla de este edi- ficio se explica en mayor detalle en la sección 5.4. Por otra parte, la asimetría en la distribución en planta de los elementos resistentes causa una vibración torsional de la estructura y genera fuerzas elevadas en algunos elemen- tos de la periferia. Numerosos son los casos de fallas, al Figura 1.23 Falla por escasez de anclaje del refuerzo de la columna en su conexión con el sistema de piso. Figura 1.24 Falla de un edificio a base de losas planas por punzonamiento de losa.  38 Introducción a la sismología y a la ingeniería sísmica Figura 1.29 Falla por cortante en columna corta. Figura 1.30 Daños en elementos de fachada por mo- vimientos laterales excesivos del edificio. razones son diversas. Lo peculiar del problema sísmico no estriba sólo en la complejidad de la respuesta estructural a los efectos dinámicos de los sismos, sino sobre todo, se de- riva de lo poco predecible que es el fenómeno y de las intensidades extraordinarias que pueden alcanzar sus efec- tos, asociado a que la probabilidad de que se presenten dichas intensidades en la vida esperada de la estructura es muy pequeña. Por lo anterior, mientras que en el diseño para otras acciones se pretende que el comportamiento de la estruc- tura permanezca dentro de su intervalo lineal y sin daño, aun para los máximos valores que pueden alcanzar las fuerzas actuantes, en el diseño sísmico se reconoce que no es económicamente viable diseñar las edificaciones en general, para que se mantengan dentro de su compor- tamiento lineal ante el sismo de diseño. El problema se plantea en forma rigurosa como uno de optimación, en que debe equilibrarse la inversión que es razonable hacer en la seguridad de la estructura con la probabilidad del daño que puede ocurrir. La mayoría de los reglamentos modernos de diseño sísmico establecen como objetivos, por una parte, evitar el colapso, pero aceptar daño, ante un sismo excepcional- mente severo que se pueda presentar en la vida de la estructura; y, por otra, evitar daños de cualquier tipo ante sismos moderados que tengan una probabilidad significa- tiva de presentarse en ese lapso. Estos objetivos pueden plantearse de manera más for- mal en términos de los estados límite siguientes: Criterios de diseño sísmico a) Estado límite de servicio, para el cual no se exceden deformaciones que ocasionen pánico a los ocupantes, interferencia con el funcio- namiento de equipos e instalaciones, ni daños en elementos no estruc- turales, Estado límite de integridad estructural, para el cual se puede presentar daño no estructural y dañio estructural menor, como agrietamiento en es- tructuras de concreto, pero no se alcanza la capacidad de carga de los ele- mentos estructurales. c) Estado límite de supervivencia, para el cual puede haber daño estructural significativo, y hasta en ocasiones más allá de lo económicamente repara- ble, pero se mantiene la estabilidad general de la estructura y se evita el colapso. b En términos generales, pueden establecerse como objetivos del diseño sís- mico. ¿) Evitar que se exceda el estado límite de servicio para sismos de intensi- dad moderada que pueden presentarse varias veces en la vida de la estructura; ii) que el estado límite de integridad estructural no se exceda para sismos severos que tienen una posibilidad significativa de presentarse en la vida de la estructura; iii) el estado límite de supervivencia no debe excederse ni para sismos extraordinarios que tengan una muy pequeña probabilidad de ocu- rrencia. Estas probabilidades pueden manejarse en términos de periodos de retorno; la tabla 1.1 muestra un esquema de este planteamiento e incluye periodos de re- torno considerados aceptables para cada uno de los tres casos. Los reglamentos en general, no establecen métodos explícitos para alcanzar estos objetivos, que estrictamente requerirían de análisis para tres niveles de sismos; tratan de cumplirlos de manera indirecta mediante un conjunto de re- quisitos que supuestamente lleven a ello. Tabla 1.1 Estados límite para diseño sísmico. Estado Intensidad Periodo de tímite sísmica retorno, años Servicio Moderada 20-30 integridad estructural Severa 50-100 Supervivencia Extraordinaria 500-1000 39 40 Introducción a la sismología y a la ingeniería sísmica 1.3.2 Aspectos principales del diseño sísmico Los objetivos antes expuestos no se logran simplemente diseñando la estructura para que sea capaz de resistir un conjunto de fuerzas laterales, aunque esto es par- te esencial del proceso. Debe darse a la estructura la habilidad de disipar de la manera más eficiente la energía introducida por el movimiento del terreno. En caso de sismos severos, es aceptable que buena parte de esta disipación de energía se realice con deformaciones inelásticas que implican daño, siempre que no se alcancen condiciones cercanas al colapso. El cumplimiento de los objetivos, en términos muy simplistas, implica que la estructura posea una rigidez adecuada para limitar sus desplazamientos laterales y para proporcionarle características dinámicas que eviten amplificaciones exce- sivas de la vibración; que posea resistencia a carga lateral suficiente para absorber las fuerzas de inercia inducidas por la vibración; y que tenga alta capacidad de disipación de energía mediante deformaciones inelásticas, lo que se logra pro- porcionándole ductilidad. A grandes rasgos el diseño sísmico de una estructura implica las siguientes etapas: a) La selección de un sistema estructural adecuado. El sistema estructural debe ser capaz de absorber y disipar la energía introducida por el sismo sin que se generen efectos particularmente desfavorables, como concen- traciones o amplificaciones dinámicas. De la idoneidad del sistema adop- tado depende en gran parte el éxito del diseño. El capítulo 5 se dedica a ilustrar los criterios de estructuración. b) El análisis sísmico. Los reglamentos definen las acciones sísmicas para las cuales debe calcularse la respuesta de la estructura y proporcionan métodos de análisis de distinto grado de refinamiento. La atención debe prestarse más a la determinación del modelo analítico más representativo de la estructura real, que al refinamiento del análisis para el cual se cuen- ta actualmente con programas de computadora poderosos y fáciles de usar, que simplifican notablemente el problema. c) El dimensionamiento de las secciones. Los métodos de dimensionamien- to de las secciones y elementos estructurales no difieren sustancialmente de tos que se especifican para otros tipos de acciones, excepto para los métodos de diseño por capacidad que se mencionarán más adelante. d) Detallado de la estructura. Para que las estructuras tengan un comporta- miento dúctil es necesario detallar sus elementos y conexiones para propor- cionarles gran capacidad de deformación antes del colapso. Los requisitos al respecto son particularmente severos en estructuras de concreto, en las que conducen a modificaciones sustanciales en las cuantías y distribuciones de refuerzo, con respecto a la práctica convencional en zonas sísmicas. El capítulo 8 ilustra los requisitos de detallado para las estructuras de con- creto, acero y mampostería. 1.3.3 Enfoques de diseño Para cumplir estrictamente con los objetivos del diseño sísmico expuestos en las secciones anteriores, deberían realizarse tres diferentes análisis: uno para un sis- Criterios de diseño sísmico del RCDF fusibles impidiendo que se introduzcan en las estructuras fuerzas que puedan pro- ducir otros modos de falla más desfavorables. 1.4 CRITERIOS DE DISEÑO SÍSMICO DEL REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES PARA EL DISTRITO FEDERAL (RCDF) Se presentarán aquí, en sus aspectos esenciales, los criterios de diseño sísmico del RCDF en su versión de 1993. Este Reglamento no tiene modificaciones rele- vantes en lo relativo a diseño sísmico, con respecto a la versión que fue promul- gada en 1987. Como en sus versiones anteriores, el cuerpo principal del Reglamento incluye solamente requisitos de carácter general. Métodos y prescripciones particulares están contenidos en las Normas Técnicas para Diseño Sísmico (NTDS). Además, requisitos específicos para el diseño sísmico de los principales materiales estruc- turales se encuentran en las Normas Técnicas para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto, Metálicas, de Mampostería y de Madera, respectiva- mente. Los métodos específicos de diseño se describirán con cierto detalle en los capítulos 6 y 7. En orden de refinamiento estos métodos son el simplificado, el estático y los dinámicos. Como fadice de la acción sísmica de diseño se emplea el coeficiente sísmico, e, que representa el coeficiente de cortante basal, el cual define la fuerza cortante horizontal V,, que actúa en la base del edificio, como una fracción del peso total del mismo, W. El coeficiente sísmico también sirve de base para la construcción de los espectros de diseño. Este coeficiente varía en función del tipo de suelo y de la importancia de la construcción. El suelo de la ciudad se divide en las tres zonas principales identificadas como I, II y IT o de Lomas, de Transición y de Lago (ver figura 1.13). Una parte de las zonas II y III se denomina zona TV, y para ésta existen algunas limitaciones en la aplicación de métodos de diseño que incluyen los efectos de interacción suelo-estructura. Considerando que es mayor la seguridad que se requiere para construcciones en que las consecuencias de la faila son particularmente graves o para aquellas que es vita! que permanezcan funcionando después de un evento sísmico impor- tante, se especifica que el coeficiente sísmico se multiplique por 1.5 para diseñar las estructuras de construcciones como estadios, hospitales y auditorios, subesta- ciones eléctricas y telefónicas (es decir, las clasificadas dentro del grupo A). Los coeficientes sísmicos sirven para construir los espectros de aceleraciones de diseño que se emplean para análisis dinámicos. De hecho representan cotas superiores de dichos espectros que corresponden a su parte plana. Para el análisis estático puede emplearse el coeficiente sísmico c, o un coeficiente reducido según el valor del periodo fundamental con reglas que se mencionarán más ade- lante. Los espectros así construidos son “elásticos”, y sirven para determinar las fuerzas laterales para las que hay que diseñar una estructura que no tenga una Introducción a la sismología y a la ingeniería sísmica + 0.305, + 7, S ae =—- => Figura 1.32 Combinación del efecto sísmico en dos direc- ciones. Figura 1.33 Vibración de un edificio incluyendo etectos de torsión. capacidad significativa de deformarse fuera de su intervalo elástico lineal. Se admiten reducciones en las ordenadas espectrales. Están definidas por un factor Q que toma valores entre 1.0 y 4.0, según el tipo de estructuración y los detalles de dimensionamiento que se hayan adoptado en la estructura. Los valores especificados para el coeficiente sísmico y para el factor Q se describen en el capítulo 6, junto con los requisitos que deben satisfacerse para adoptar cada valor de O. Estos requisitos son muy generales y deben ir apareja- dos a la observancia de otros más específicos de sistemas constructivos y mate- riales particulares. Debe revisarse la estructura para la acción de dos componentes horizontales ortogonales del movimiento del terreno. Se considerará actuando simultánea- mente el valor de diseño de un componente más 30 por ciento del valor de diseño del componente ortogonal (figura 1.32). Ha sido costumbre considerar que la acción sísmica se ejerce en forma independiente en cada dirección, o sea, revisar el efecto de la acción sísmica de diseño en una de las direcciones principales de la estructura, considerando que las fuerzas sísmicas son nulas en cualquier otra dirección. La estructura puede presentar además, movimientos de rotación en cada masa (figura 1.33) y un modelo más completo debe incluir ese grado de li- bertad mediante resortes de torsión en cada piso. La importancia de las rotaciones y la magnitud de las solicitaciones que por este efecto se inducen en la estructura, dependen de la distribución en planta de las masas y de las rigideces laterales. Desde un punto de vista de equilibrio, la fuerza actuante por sismo en cada piso está situada en el centro de masa, mientras que la fuerza resistente lo está en el centro de torsión, o sea, donde se ubica la resultante de las fuerzas laterales que Muro Centro de torsión ] e Y Marco Centro de 2) - T a) Planta. b) Configuración deformada.  Criterios de diseño sísmico del RCDF resiste cada uno de los elementos. Si entre esos dos puntos existe una excentrici- dad, la acción en cada entrepiso estará constituida por una fuerza cortante más un momento torsionante cuyo efecto debe tomarse en cuenta en el diseño. Cuando no se leve a cabo un análisis dinámico que incluya los efectos de torsión a través de la consideración de un grado de libertad de rotación en cada nivel, el efecto de la torsión se suele considerar de manera estática super- poniendo sus resultados a los de un análisis estático o dinámico, de los efectos de traslación calculados de manera independiente. Debido al efecto dinámico de la vibración, el momento torsionante que actúa en cada entrepiso puede verse en general, amplificado y, por tanto, la excentrici- dad efectiva puede ser mayor que la calculada estáticamente. Por otra parte, el cálculo del centro de torsión sólo puede efectuarse con pobre aproximación, porque la rigidez de cada elemento particular puede ser alterada por agrietamien- tos locales o por la contribución de elementos no estructurales. Por las dos razones expuestas, el RCDF especifica que el momento torsionante de diseño se determine con una excentricidad total que se calculará como la más desfavo- rable de: e=1.5e,+0,1 b 6.12 e=e,—0.1b donde e, es la calculada a partir de los valores teóricos de los centros de masa y de cortante; el factor 1.5 cubre la amplificación dinámica de la torsión; bh es el lado del edificio en dirección normal a la del análisis; se considera un error posi- ble en la determinación de la excentricidad igual a 10 por ciento del ancho del edificio. La forma en que se debe considerar el efecto de la torsión en el análisis sís- mico se describirá en el capítulo 6, Como se ha indicado anteriormente, el segundo objetivo básico del diseño sísmico, consistente en evi- tar daños ante temblores moderados, se trata de cum- plir limitando los desplazamientos laterales de la estructura. El índice más importante para la determinación de la magnitud de los posibles daños es la distorsión E enepiso de entrepiso +, o sea, el desplazamiento relativo entre ] Y il . dos pisos sucesivos A, dividido entre la altura de entrepiso H (figura 1.34) Y=A/H Hay que recordar que la'reducción en el coeficiente sísmico por comportamiento Figura 1.34 Distorsiones de inelástico es válida para determinar las fuerzas para las que hay que diseñar la entrepiso admisibles según el estructura, pero que las deformaciones que se presentarán en la estructura serán RCDF, aproximadamente Q veces las que se han determinado con un análisis elástico bajo esas fuerzas reducidas. Por tanto, antes de compararlas con deformaciones admisibles, las deformaciones calculadas A,, deberán multiplicarse por Q. A=QA, Método de rigideces El producto de una fuerza generalizada por su correspondiente despla- zamiento generalizado tiene unidades de trabajo. En este ejemplo, los grados de libertad 14, a «¿ son giros (cuyas unidades son radianes) y los demás son desplaza- mientos lineales; por tanto, las fuerzas generalizadas p, a pg son momentos, mien- tras que las demás son fuerzas lineales. Por definición, el coeficiente de rigidez K;,, que ocupa el lugar ¿, ¡ de una matriz de rigideces K,, referida a los grados de libertad u, es la fuerza o momen- to que se necesita aplicar a la estructura en la dirección del grado de libertad ¿ para que se produzca un desplazamiento unitario en la dirección del grado de libertad J. El conjunto ordenado de los valores de K;; constituye la matriz de rigideces que es cuadrada, de tamaño igual al número de grados de libertad. De acuerdo con el teorema de reciprocidad de Betti-Maxwell, K,, = K;, y, por tanto, las matrices de rigideces son simétricas. En vista de que en estructuras lineales se aplica el prin- cipio de superposición, podemos escribir: K,u=p (Q.1) En el caso de resorte de la figura 2.1 la matriz de rigideces es de tamaño 1x 1 y la expresión anterior se convierte en la ecuación escalar ku =p, de donde el desplazamiento originado por la fuerza p se calcula inmediatamente como « = pik. La energía de deformación, U, almacenada en el resorte es el área bajo la curva carga desplazamiento mostrada en la figura 2.1b y es igual a U=p 4/2=k 0/2, Para el marco de la figura 2.2, la matriz K, es de 12 x 12 y para calcular los desplazamientos, u, debidos a un yector de cargas p se tiene que resolver el sis- tema de ecuaciones lineales simultáneas definido por la ecuación 2.1. En general, para un sistema de n grados de libertad en el que se conocen las correspondientes fuerzas generalizadas, tenemos que calcular una matriz de rigi- deces de n X n que proporciona los coeficientes de un sistema de ecuaciones con n incógnitas (los 1 desplazamientos generalizados). Por tanto, es conveniente se- leccionar para una estructura el menor número posible de grados de libertad, aunque tal número debe ser suficiente para representar adecuadamente todas las formas importantes de deformación ante el sistema de cargas en estudio. La energía almacenada en la estructura es: U= pTu/2 = w7p/2 = ul K,w2 Nótese que U es una cantidad escalar y que las unidades de los elementos de la matriz de rigideces deben ser tales que todos los productos Kun, tengan unidades de trabajo. Frecuentemente, interesa referir una matriz de rigideces ya calculada para ciertos grados de libertad u a otros nuevos grados de libertad v. Llamaremos K,, ala matriz transformada a los nuevos grados de libertad y sea a la matriz de trans- formación que permite expresar los antiguos grados de libertad en función de los nuevos, es decir: u=av (2.2) “Veremos en ejemplos subsecuentes que a se determina fácilmente mediante consideraciones geométricas. Como la energía almacenada en la estructura para una cierta configuración deformada es una cantidad escalar, independiente de 49 Edificios sujetos a fuerzas laterales 50 como se exprese dicha configuración, es decir independiente de la selección de gra- dos de libertad, escribimos: U=uTK, w2=w K, v/2 Combinando esta expresión con 2.2 se deduce que: vaTK, av=vK,y Como esta igualdad debe satisfacerse para cualquier conjunto de valores que asuman los elementos del vector y concluimos que: K,='K,a (2.3) Para deducir cómo se expresan las fuerzas, P,, correspondientes a los grados de libertad v, en términos de las P,,, referidas a u, partimos de que el trabajo efec- tuado por las fuerzas es igual a la suma de los productos de cada una de ellas por su correspondiente desplazamiento, independientemente de los grados de libertad escogidos. Entonces, teniendo presente la igualdad 2.2 escribimos: vP,=uwP,=va7P, como la igualdad precedente debe cumplirse para cualquier vector v, se infiere que: P,=a7P, 24) 2.1.2 Elemento viga L En la forma más elemental, los grados de libertad de un ele- po mento viga son las rotaciones en sus dos extremos, 6, y 8, 1 según se aprecia en la figura 2.3a. Por definición, los térmi- nos de la matriz de rigideces (en este caso, de 2 X 2) son los momentos en los extremos debidos a giros unitarios en un extremo y nulos en el otro, como se muestra en la figura 2.3b, los cuales se calculan empleando conceptos de resistencia de materiales que tomen en cuenta la variación del momen- ) Ko to de inercia a lo largo de la viga. Así resulta: 4) Grados de libertad. Ko Kn Ko=| Ko Ko Para vigas prismáticas con momento de inercia constante 1,, módulo de elasticidad E y longitud £, se encuentra que: h) Coeficientes de rigidez. K,= EL, IL (.5) 24 Figura 2.3 Elemento viga. Método de rigideces 51 Ko Y Ea 0.05 0.15 025 ij Con referencia a la figura 2.3, los coeficientes de rigidez son Kj = ki; (EL SL), siendo 1, el momento de inercia al centro de la viga. 0.35 En el caso de vigas de sección variable tenemos: Kn kr Ko= ELL | bo to donde esta vez 1, es un valor de referencia. Los valores de k¡ para vigas simétri- cas con cartelas rectas, para las cuales £,, = ka), se muestran en figura 2.4 refe- ridos al momento de inercia en la zona central de sección constante de la viga. En métodos tradicionales de análisis de marcos, las relaciones t,3=k9/k,1 y ta1 = k19/k2) se denominan factores de transporte de los nudos 1 22 y 2a 1, res- pectivamente. Cuando el momento de inercia o el módulo de elasticidad varían arbitrariamente, los coeficientes de rigidez se pueden calcular usando métodos tradicionales de análisis de vigas, como el de área de momentos o el de la viga con- jugada. La sección 13.15 del texto de Norris y Wilbur (1960) describe el proce- dimiento a aplicar, que se puede adaptar a una hoja de cálculo electrónica. Para vigas, el vector de cargas está constituido por los momentos flexionantes M, y M,, en los extremos de la viga y la expresión 2.1 se escribe: kn Ka 0 M, Ka Ka 8, =1]M, 26 Figura 2.4 Coeficientes de rígidez para vigas con cartelas rectas, 54 Figura 2.8 Simplificación del marco de la figura 2.2. Figura 2.9 Viga articulada en un extremo. Edificios sujetos a fuerzas laterales 2.2 MARCOS PLANOS 2.2.1 Método directo de rigideces El método directo de rigideces es un procedimiento para obtener la matriz de Tigideces de una estructura a partir de las de sus componentes fundamentales. Si se trata de un marco, a partir de las matrices de rigideces de las vigas, columnas y diagonales que conforman el marco. Para ilustrar los pasos del método, con- sideremos el marco de la figura 2.2. Si se desprecian las deformaciones axiales de las vigas y columnas, los grados de libertad son solamente los seis primeros de los 12 mostrados en la figura aludida; además, aprovechando la simetría del marco y la antisimetría de las cargas, se puede reducir el problema a uno de cua- tro grados de libertad como se ilustra en la figura 2.8, la cual indica también los valores de los momentos de inercia de los diferentes elementos. e ha e o E A » ¿ 05P h mal A ” h=21 4 ay En primer lugar, se obtiene la matriz de rigideces de las piezas aisladas (vigas y columnas) que forman la estructura. Las vigas tienen los grados de libertad mostrados en la figura 2.9. Se pueden considerar explícitamente los giros en ambos extremos como grados de libertad; sin embargo, tomando en cuenta que el momento flexionante en el extremo articulado es nulo, conviene referir la matriz de rigideces solamente al giro del nudo en el que la viga se une a las columnas. Para este fin, de la expresión 2.6 escribimos: K 1 9 +K10,=M, K; 0, + K2 0,0 Marcos planos Despejando 6, de la segunda ecuación y remplazando en la primera obte- nemos: M, = (Ku — K?2/K9)0, De acuerdo con la definición de coeficiente de rigidez, 9, = 1 y, como éste es el único grado de libertad, la matriz de rigideces es: Ky= (Ki -K?1/K22) Q.10) La última operación se denomina condensación estática de grados de liber- tad. Si la viga es prismática, empleando los coeficientes de la expresión 2.5 lle- gamos a: Ko = (3E1,/L) (Q.11) Las columnas tienen los cuatro grados de libertad mostrados en la figura 2.5 y, como se ignoran las deformaciones axiales, sus matrices de rigideces están dadas por K,, en la expresión 2.7. Para cada pieza empleamos los momentos de inercia (1 = £, para las vigas, f, = [, o f, para las columnas) y longitudes (Lo h) correspondientes. De acuerdo con los grados de libertad definidos en la figura 2.8, la matriz de rigideces global, K, de la estructura completa es de 4 X 4, K se obtiene suman- do los términos de las matrices de rigideces de los elementos en los lugares que indique la correspondencia entre la numeración de los grados de libertad globa- les de la estructura y las numeraciones locales de los elementos. En este ejem- plo, los números locales para la columna de segundo piso (figura 2.5) coinciden con los globales de la estructura completa (figura 2.8) y todos los coeficientes de K, se suman directamente a K. Por otro lado, para la columna del primer piso, los grados de libertad locales 1 y 3 de la figura 2.5 corresponden a los grados de lib- ertad globales 2 y 4; por tanto, los coeficientes K,,, Kj3 y Kaz de K, deben sumarse, respectivamente, en los lugares 22, 24 y 44 de K. Es innecesario utilizar los coeficientes restantes de K, porque corresponden a grados de libertad glo- bales (desplazamiento y giro del apoyo empotrado) que asumen valores nulos. El giro local de la viga del segundo piso corresponde al grado de libertad global 3 y, por consiguiente, el valor que arroje la expresión 2.11 se suma en el lugar 33 de K; similarmente, la rigidez de la viga del primer piso se suma en el lugar 44 de K. El resultado es: 12H 121, /H3 -61, HR 61, /H2 124 +LYH -61,/H2 SU AYIR K=E AL/H +3LÍL AH simétrica ADAL +3LYL Supongamos, por sencillez, que £ = 1.5H; como 1, =1, £, = 21, nos queda: 55 Edificios sujetos a fuerzas laterales 12/42 -12/H2 -6/H —6/H -12/8?2 36/82 6/H -6/H K = E/H -6/H 6/H 38 2 Q.12) -6/H -S/H 2 16 Las cargas son momentos y fuerzas aplicadas en los nudos, numerados en concordancia con el orden de los grados de libertad. Así, el vector de cargas F, resulta: Fi P JE L Jos. F=1Mm(=] o Ms 0 Los desplazamientos y giros, arreglados en el mismo orden, constituyen el vector de desplazamientos r: r $ r. E Ta 64 Para conocer r tenemos que resolver K r = E, que en forma desarrollada, se escribe: vie -120r 84 4] | a, P 0 E A O EMS lem "gm 8 2118] 0 13 1H 8H 2 161 |6 0 La solución puede obtenerse por diversos métodos, pero conviene hacerlo definiendo las siguientes submatrices y vectores: 12/42 12/82 -6/H 61H Ks5= EH | _i97m 3608 | 5 Kso= EUB | "¿yg _ 1 olé) > «(3 Con lo que la expresión 2.13 se convierte en: Ks Kyo ó P E E] 5d e Marcos planos Y, = 24 Xx 0.16176 P- 12 X 0.19853 P = 1.5P Y, =-24 X 0.16176 P + 12 X 0,19853 P=-—1.5P M, = - 12 x 0.16176 PH + 8 X 0.19853 PH = -0.35PH M, =-12 X 0.16176 PH + 4 X 0,19853 PH =-—1.15PH Se puede verificar fácilmente que estos elementos mecánicos están en equi- librio. V, y M, son las reacciones en la base, y la fuerza cortante vale 1.5 P, lo cual puede deducirse inspeccionando la estructura. La figura 2.10 presenta un marco de cuatro pisos y cuatro crujías analizado con el método de rigideces con los resultados que muestra la figura 2.11. Se los ejemplos. 59 Figura 2.10 Marco usado en 3 Sí 5 o o A ¿ o|s o|21 o|7 $, sI El 51 A Y o o o A ola o|31 0|4 o|21 zm E 51 El El] _ 1 o o 9 o 9 |3.3757 O |4sr O | 5.6251 9133751 0 |2251 2 El 51 5 si A o o 9 o O|or O | 751 o|9 0|6r Olas! mbr mr mb ab mbr Y ! 40=£ 40=L 40=L ¡ 40=L pur e — poo] Fuerzas en toneladas y longitudes en metros 1=7500 cn O Rigidez (inercialongitud) en términos de J/L E = 2 000 000 kg/cm? 40=L 40=L 45=1,125L 60=15£ 60 Edificios sujetos a fuerzas laterales Momentos flexionantes, en ton-m Desplazamientos laterales, en cm ys , Y 160%] “1.56 157%] 1.66 3.16 1.57 1.54 273 3 349 qe, 335 Py 4.85 p e 3444] 4314] 4924, 3.49 5.74 6:43 3.58 2.76 507 5.40 351 [ty 8.32 [ty 741 [ty 7.59 [tx 5.30 «el 7364] 8.034] 6.554,] 5.094] 5.56 9.91 1022 8,34 5.09 4.17 3.76 344 7.62 3.88 [2 14.39 [Py 12.06 fe 12,37 |*y 10.76 p «el 12754] 13.02%] 10.754] 12.374] 10.22 16.04 16.95 13.89 2.49 14.50 [19.75 [22.54 | 16.33 [11.29 ambar em mr Prior rear 2.966 2.590 2.086 1.256 0.000 Figura 2.11 Momentos flexio- nantes en el marco de la figura 2.10 según el método de rigi- deces. 2.2.2 Método de Bowman jgnoraron las deformaciones axiales de los miembros, para que los resultados fuesen comparables a los de los métodos aproximados, que se presentarán pos- teriormente. Como resultado del estudio de un gran número de marcos en los que son despre- ciables los efectos de deformación axiales, resueltos por métodos exactos, Bowman propuso un método aproximado de acuerdo con las siguientes hipótesis (Sutherland y Bowman, 1958):  Marcos planos 61 1. Los puntos de inflexión en las vigas exteriores se encuentran a 0.55 de su elaro, a partir de su extremo exterior como se ¡ilustra en la figura 2.12. En vigas interiores, el punto de inflexión se encuentra en el centro del claro, excepto en la crujía central cuando el Puntos de inflexión número de crujías es impar, o en las 0.551 0.551 dos centrales si es par. En estas cru- jías la posición de puntos de inflexión _—— Ae — » en las vigas está forzada por condi- SS 0.65 ciones de simetría y equilibrio. 2. Los puntos de inflexión en las colum- nas del primer entrepiso se encuentran e e * > a 0.60 de su altura, a partir de ta base. 0.60 k En marcos de dos o más, tres o más, o o . e d— cuatro o más entrepisos, respectiva- mente, los puntos de inflexión en las columnas de los entrepisos último, pe- núltimo y antepenúltimo, respectiva- mente, se encuentran a 0.65, 0.60 y . . . 0.55 de la altura correspondiente, a 0.50 k partir del extremo superior. En edi- | Puntos de y * + q ficios de cinco o más entrepisos, los inflegión puntos de inflexión en columnas para ==» > e las cuales no se ha especificado ta Sl 050% . 0,55% posición se encuentran en el centro de su altura. Esto se resume en la figu- entrepiso se distribuye cn la forma siguiente: En el primer entrepiso, una fuerza cortante igual a V,=V (N-0.5)(N+ 1D) se reparte directamente entre las columnas del entrepiso proporcional- mente a sus rigideces. La fuerza cor- tante restante V, = V — V, se divide entre las crujías proporcionalmente a la rigidez de la viga que las limita en la parte superior. Luego, la mitad de la cortante de cada crujía se asigna a sus dos columnas colindantes. En pisos superiores, una fuerza cortante V, = V (N - 2)/(N+1) se dis- tribuye directamente entre las columnas. La cortante Y, = V—V, se reparte entre las crujías como se hizo para planta baja. ra 2.12, | . | . 3. La fuerza cortante total, V, de cada 4 , ] 0604 Figura 2.12 Localización de puntos de inflexión según el método de Bowman. En los párrafos anteriores N es el número de crujías en el entrepiso considera- do. Una variante del método consiste en respetar los puntos 2 y 3, pero determinar los momentos en las vigas equilibrando en cada nudo la suma de momentos en los extremos de las columnas con momentos proporcionales a la rigidez angular natu- ral de cada viga. 64 Edificios sujetos a fuerzas laterales R, = 24 END hp); D,=h/EK¿1 + (hy + h)EK,). + Para el segundo entrepiso, columnas empotradas en la cimentación R¿= 48 E (DA); D,=4HM4Ek,, + (a + RYNOK,: + ER 112) + (7 + AYNOK,y) y para columnas articuladas en la cimentación R, = 48 END); D, = 4h SEK 7 + Qhy + AYNEKA + Co + AYNEK o). + Para entrepisos intermedios: R,= 48 END, hi) D, = 4 hy 12K y + (y + A NEK y E (hy + A K y). En las fórmulas precedentes hemos definido: E módulo de elasticidad. Ra rigidez del entrepiso en cuestión. Ko rigidez (//L) de las vigas del nivel sobre el entrepiso . Kon rigidez (1/L) de las columnas del entrepiso a. m, n, o. índices que identifican tres niveles consecutivos de abajo hacia arriba. An altura del entrepiso n. Para el entrepiso superior, si se acepta que la cortante del penúltimo piso es el doble que la del último, se encuentra que es aplicable la fórmula para entre- pisos intermedios, poniendo 2h,, en vez de h,, y haciendo h, = 0. Loera (1964) presenta una deducción de las fórmulas y su ampliación para el caso de vigas de sección variable. Para el marco de la figura 2.10 tenemos E = 2000000 kg/cra?, 1 = 7500 cm, h, = 600 cm, hh, = 450 cm, hy= 400 cm, h, = 400 cm y L = 400 cm para todas las crujías, entonces: EX. = (6.00 + 7.50 + 9.00 + 6.00 + 4.50)(7500/600) = 412,50 cm? SK, = (3.375 + 4.5 + 5,625 + 3.375 + 2,25X.7500/450)= 318.75 cmP SK. = (2.00 + 3.00 + 4,00 + 2.00)(7500/400) = 206.25 cm? EX. = (1.00 + 2.00 + 1.001(7500/400) = 75.00 cm? Ek, = (5 +5 +5+5)(7500/400) = 375.00 cm3 EX, =(5+5+5+5)(7500/400) = 375.00 cm? EX = (5 + 5 + 5)(7500/400) = 281.25 cm? Ka = (5 + 5107500/400) = 187.50 cm3 Usando las fórmulas para columnas empotradas en la cimentación, se llega a: D,= 8.383 l/cm?, R,=48 X 2000000/(600 X D,) = 19086 kg/cm D,= 10.4780/cm?; R¿=48 X 2000000/(450 X D,) = 20359 kg/cm D, =12.8687/cm"; Ry =48 X 20000001400 X Dj) = 18650 kg/em Dj =27.7333/cm"; R,=48 X 20000001400 X D,) = 8654 kg/cm Marcos planos Las rigideces de entrepiso calculadas por este método se usan con frecuencia para distribuir la fuerzas cortantes en los entrepisos, donde interesan las rigideces relativas de un marco con respecto a otro. En el capítulo 6 se explicarán los pro- cedimientos de diseño que incluyen tales distribuciones de cortantes. Conocida la fuerza cortante Y, se pueden emplear los valores de R para calcular desplazamien- tos de entrepiso 3, como cocientes V/R, aunque la precisión del método para este fin no ha sido bien estudiada. No obstante, se puede proceder así para una verifi- cación del orden de magnitud de resultados de métodos más precisos. Para el marco de la figura 2.10 se obtienen los siguientes desplazamientos de entrepiso, $: V,= 3000 kg 8,= 3000/8654 =0.347 em V,= 9000 kg 8,= 9000/18650=0.483 cm Y, = 16000 kg; 8, = 16000/20359 = 0.786 cm V, = 25000 kg; $, = 25000/19086 = 1,310 cm Acumulando los desplazamientos relativos obtenemos los siguientes despla- zamientos totales (de abajo hacia arriba): 2.925, 2,578, 2.096 y 1.310 em, los cuales se comparan bastante bien con los resultados del método de rigideces mos- trados en la figura 2.11. 2.2.4 Edificios de cortante Las columnas de un marco sujeto a cargas laterales tienen puntos de inflexión siempre y cuando la vigas sean lo suficientemente rígidas para imponerles la doble curvatura. Bajo estas circunstancias, se pueden calcular rigideces de en- trepiso con las fórmulas de la sección previa, lo cual permite modelar el marco mediante una sucesión de resortes laterales, cada uno representando a un entre- piso, como lo ilustra la figura 2,15. Esta clase de marcos se denomina de cortante, “3 Fs. to - AS 1 Ra AA uz Fr, 19 Po da 1 Ra AMA mE e Ey pr 1 8 A mo mo mb me se mn a) Marco de cortante. b) Modelos simples de marco. jon = ¡-ésima rigidez de entrepiso 1, = desplazamiento lateral del mivel/ hw <) Grados de libertad del ¿-ésimo ensrepiso. 65 Figura 2.15 Modelo de un mar- Co de cortante. Edificios sujetos a tuerzas laterales 66 porque los desplazamientos de cada uno de sus entrepisos dependen de las fuer- zas cortantes (y no de los momentos) obrando sobre los mismos. Un edificio o estructura de cortante es aquella constituida por marcos de cortante. Á continua- ción se derivan algunas propiedades de este tipo de marcos. Para los grados de libertad locales w, definidos en la figura 2.15c, la matriz de rigideces local del ¿-ésimo resorte se escribe: - 1-1 K=8| 1] / Cotejando los grados de libertad w de cada piso con los del marco completo, u, que se indican en la figura 2.15b, aplicamos el método directo de rigideces y encontramos que la matriz de rigideces del marco es: (R,+R —R, 0 K,= R, (R¿HR) Ra 0 Ry Ry Los correspondientes vectores de desplazamientos y de fuerzas son: 41 Fi u=¿% ; P,=4F3 Uy FE, Definamos ahora como nuevos grados de libertad los desplazamientos rela- tivos de entrepiso y, que en términos de los desplazamientos totales se expresan: v 4 Yi= 31% Y Mz — lo La matriz a que relaciona el vector de grados de libertad u con y, se deduce como sigue: 4>0u 4=4+0=0+w 4 =4+09=0+0+0 4 100 u ep = [110 u 43 111 Y Según la expresión 2.3, la matriz de rigideces referida a los desplazamientos relativos es K,,= a7 K, a; efectuando los productos se llega a: Sistemas con muros 69 ls 2 a A Es A Ejes Muro Columnas centroidales v Muro i hs . : Y A f ha : : Í By ! i 2] : ha : 2] : 1 fa ! 2. l, mo mm — La W Wa [Mm] [we | = Vigas a) Esquema de la estructora. IE L 5” b) Marco con columnas anchas. nomina columna ancha a un miembro así analizado para distinguirlo de las Columnas normales en que sólo son importantes las deformaciones por flexión. Para analizar sistemas de muros y muro-marco se considera cada muro como una columina áncha con sus propiedades concentradas en su eje centroidal y se supone que las zonas de las vigas que se encuentran dentro de los muros son infinitamente rígidas a flexión. Esto se ilustra en la figura 2.17, y tiene la venta- ja de que los sistemas con muros se idealizan como estructuras esqueletáles, lo mismo que los marcos. Las deformaciones por cortante en las columnas y las zonas rígidas en las vigas modifican las respectivas matrices de rigideces. Con referencia a los grá- dos de libertad y notación mostrados en la figura 2.18, la matriz para las colum- nas anchtas se escribe: a La , a 4 a : E + | ML | BL 7, y+ A+ pol BE |6 6% 4) Colutnna ancha. b ) Viga con zonas infinitamente rígidas á flexión en sus extremos. Figura 2.17 Sistema marco- muro idealizado con columnas anchas. Figura 2.18 Grados de libertad para columnas y vigas en el mé- todo de la columna ancha. 70 Edificios sujetos a fuerzas laterales 12El(a hi) -12ElI(a h3) 12ElM(a hi) -SEl/(a h2) GEllla h2) (4+0)Ela h) -SElí(a h2) GEllía h2) (2-EIAH (4+oJEla hi) x siendo a=1+ a, y a= 12 EI(GN). siméuica EA/h Q21) EAlh —EAlh Para las vigas con zonas rígidas er sus extremos: 4+128(1+ g) simétrica 2+6g+b)+ Deb 4+12b(1+b) EMAD)]| -601+2g MAD 61+2b/AD 1UALP 6(1+22 MAL) -601+2bMAL) IA LP 12/41 LP donde g = yA y b= BlA. En casos extremos, si el área de cortante es grande o las longitudes de zonas rígidas son bastante pequeñas, las matrices anteriores coinciden con las de una viga y columna normales. Así, si dichas matrices se incluyen en un programa para resolver marcos, éste servirá también para analizar sistemas muro-marco. MacLeod (1971) ha constatado la buena precisión del método comparan- Pe = Peto cs] => L- to 2 mal e --- Ejes ca Zonas infinitamente rígidas a flexión do sus resultados con los de mo- delos elásticos a escala de muros con una hilera central de huecos. En efecto, el méto- do es útil en casos de muros con huecos, sobre todo si se incluyen los efectos de extre- mos rígidos en las columnas y los de cortante en las vigas. Algunos ejemplos de idea- lización posibles se muestran en la figura 2.19. En ciertos casos es conveniente que las zonas rígidas en los extremos tengan forma de codo y no sean solamente rectas; para estas situaciones pueden con- sultarse las publicaciones de MacLeod (1973, 1990), Figura 2,19 Muros con huecos que pueden analizarse con el método de la columna ancha. Sistemas con muros Existen programas para analizar edificios que incluyen explícitamente defor- maciones por cortante y zonas rígidas (Wilson y Dovey, 1972, Wilson et al., 1975). Cuando se usan programas que no incluyan esta última opción, las zonas rígidas pueden representarse con vigas que tienen momentos de inercia grandes en comparación con las demás vigas y columnas del conjunto. 2.3.2 Método de MacLeod MacLeod (1971, 1990) ha desarrollado un procedimiento que permite estimar la fuerza cortante y el desplazamiento lateral máximos de sistemas formados por marcos y muros, así como el momento de volteo en la base de los muros, a par- tir de suponer que todos ellos están conectados sólo en sus extremos superiores como se ilustra en la figura 2.20. Para cargas laterales con distribución triangu- lar, la fórmula que proporciona la fuerza que actúa entre los marcos y los muros, P,es: PIW=0.55 E K,M(S K¿+ Y K) (2.22) donde K;es la rigidez lateral de cada marco entendida como la fuerza concentra- da en el extremo superior que produce un desplazamiento lateral unitario en su línea de acción; K,, es la rigidez de cada muro definida en el mismo sentido y W es la carga lateral total aplicada. Para calcular las K, se pueden emplear. las fórmulas de Wilbur, ya que conocidas rigideces de entrepisos, R,, se tiene UK,= E (UR) El desplazamiento lateral máximo se estima como P/K,, y la fuerza cortante máxima en el marco está dada por 1.3P. El momento de volteo en la base del muro es aproximadamente igual al momento total menos PH, siendo H la altura total del muro. Como ejemplo, consideremos nuevamente el edificio cuyos datos se dan en la figura 2.20, Las rigideces de entrepiso en toním resultan R, = 11414, R,= 7676, R¿= Ry =R5= 7376, por tanto: 1K,= (1/11414 + 1/7676 + 3/7376) El resultado es K; = 1601 toním; como están incluidas todas las vigas y columnas en el cálculo de las R,, entonces 3K, = Kg En este caso 2, K,, = 3 21,/H? donde E es el módulo de elasticidad de los muros, Í,, su momento de inercia y A su altura total. Así Km 7 (4 x15X 106 x 2 x 0,8/ 153 = 2133 Um. Ahora podemos emplear la fórmula 2,22, y obtenemos P/W = 0.55 X 1601 / (1601 + 2133) = 0.236. Como W = 150 ton, P = 0.236 X 150 = 35.4 ton. La es- timación del desplazamiento máximo es P/K, =35.4/1601 = 0.0221 m. La fuerza cortante total en los marcos es 1.3P = 1.3 X 35.4 = 46.0 ton y el momen- to de volteo en los muros se estima como 50 X 15+40X 12+30X9+20X6 + 10X 3 - 35.4 x 15 = 1119 ton-m. A cada muro le corresponde una cortante basal de (150 — 46)/2 = 52 ton y un momento de 1119/2 = 559.5 ton-m. T 74 Edificios sujetos a fuerzas laterales muro y marco, se ha propuesto (Ba- zán, 1980) que la diagonal equivalen- te tenga el mismo espesor 1, y módulo declasicidad£. de elasticidad E,,, que el muro, y que su ancho sea: A ll w= (0,35 + 0.0224)h (2.23) donde h es la altura entre ejes del tablero y A es un parámetro adimen- sional basado en las rigideces relati- h vas entre muro y marco, definido en 4 la figura 2.23. Para determinar la A E be o >=. oo- +la matriz de rigideces de la diagonal se aplica la expresión 2.8, con A = wr y L = longitud de la diagonal. ha considerado que el marco es t 1 I ! Al deducir la fórmula 2.23 se 1 1 "1=A.PN continuo (no articulado) en sus esquinas y que G,, = 0,4 E,,. Dicha fórmula es aplicable para valores 1 de A entre 0.9 y 11 y para rela- b EE UU ciones de aspecto £ (ver figura A q oa 2.23) entre 0.75 y 2.5. Tales inter- A A Am “ valos cubren la mayoría de los ca- sos prácticos. Otro procedimiento para calcu- tar rigidez lateral y clementos AEADMG pk) mecánicos de un sistema marco- muro es considerar que el conjunto € = relación de aspecto = bh Figura 2.23 Definiciones para determinar la rigidez de un muro confinado, constituye una columna ancha con lo que es aplicable la expresión 2,21 para valuar la matriz de rigideces. El momento de inercia Í se consi- dera que proviene de la rigidez axial de las columnas y se calcula como se indica en la figura 2.23; E, es el módulo de elasticidad del marco y G,, el módulo del cortante del muro. Se adopta para el área de cortante, £, el si- guiente valor reducido que toma en cuenta la separación entre muro y marco: Q = (0.37 -0.12 ¿+ 0.023 A) (4, +24.) (2.24) A,, es el área de la sección transversal del muro, A, es el área de la sección de cada columna del marco, sin transformar a pesar de ser de material más rígido. Estas definiciones se ilustran también en la figura 2.23. Como resultado del análisis considerando columnas anchas, se obtienen en cada tablero un momento flexionante M4 y una fuerza cortante V. Las cargas axia- les, T de tensión y C de compresión, en las columnas se calculan como: T= MID), C=2Mlb Sistemas con muros 75 siendo z = 1.15 — 0.22 y b la distan- cia entre ejes de las columnas. La fuerza cortante máxima en las co- lumnas es 0.6V. Estas aproxima- ciones también están limitadas a los intervalos de valores de Í y A que se indicaron para el uso de diago- nales equivalentes. Como ejemplo, consideremos la estructura mostrada en la figura 2.24. Para determinar las diagona- les equivalentes a los muros de mampostería tenemos: área de las columnas, A, igual a 30 X 30 = 900 cm?; área del muro, A,,, igual a 15 X 9 Columnas de 0.30 x 0.30 m y vigas de 0.25 X 0.50 m de concreto con E, =141,000 kg/cm? Muros de tabique de barro recocido de 0.15 m de espesor con G,, = 2400 kg/cm? Diagonal equivalente (400 — 40) = 5400 cm?; módulo de elasticidad de las columnas, E, = 141,000 kg/cm? y módulo de cor- S 30 tante de la mampostería, G,, = 2400 kg/cm2. Con estos valores se calcula pu 30 el parámetro A como: A =(EAJMC mA) = (141000 X 900)/(2400 x 5400) 6, Ñ 98 o 40 Aplicando la expresión 2.23 con Fuerzas en toneladas y longitudes en metros 30 yo 6.0 h.= 3m resulta: w = (0,35 + 0.022 A) A = (0.35 + 0.022 X 9.8) 3 = 1.70m. Las diagonales equivalentes se muestran en la figura 2.24 y tienen 170 X 15 = 2250 cm? de área, 5m de longitud y módulo de elasticidad E,, = G,/0.4 = 2400/0.4 = 6000 kg/cm?. Hemos analizado esta estructura con y sin diagonales empleando el método de rigideces; algunos de los resultados se muestran en la figura 2.25. Obsérvese que al incluir las diagonales (es decir cuando los muros están presentes) disminuyen las cortantes y momentos en todos los miembros del marco; en cambio, las fuerzas axiales en las vigas y columnas de la crujía que contiene a los muros se vuelven mucho mayores. Opcionalmente, podríamos idealizar los tableros marco-muro como colum- nas con momento de inercia 1 = A, b2= 900 X 4002 = 144 000 000 cm!. La relación de aspecto es 4/3 = 1.33, entonces, empleando la fórmula 2.24, el área de cortante reducida es igual a: Q = (0.37 - 0,12 X 1.33 + 0.023 X 9.8 ) (5400 + 2 X 900) = 3138 cm? Figura 2.24 Marco con muros de mampostería. 76 Figura 2.25 Resultados del análisis del marco de la figura 2.24, Edificios sujetos a fuerzas laterales 9 294 6.69 Ps 1.50 “| 39 + 50 504 “396 NA 690 NA 1.98 Y 7.98 A 6390 5.51 2.04 2.04 5.51 4) Sin diagonales 1.43 y y, 290 8.50 13.18 “169 —b20 -l 20 DS UE ala 325 Us 325 dy 239 2.52 13.48 18.58 2.43 hb) Con diagonales Fuerzas en ton y momentos en ton-m 2.3.5 Método del elemento finito En la actualidad, el método del elemento finito constituye la más poderosa he- rramienta para el análisis de estructuras complejas, como ciertos muros de composición y/o geometría complicada. Para fines prácticos, las soluciones obtenidas mediante la aplicación adecuada del método a problemas elásticos lineales pueden considerarse como exactas, Básicamente, este método consiste en dividir la estructura en subregiones, denominadas elementos finitos, dentro de las cuales se prescribe la forma en que varían los desplazamientos en fun- ción de los valores correspondientes a ciertos puntos denominados nudos (figura 2.26). Como en el caso de vigas y barras, los posibles desplazamientos y giros nodales constituyen grados de libertad. Con base en las leyes constitu- tivas del material (esto es, en las relaciones que existen entre esfuerzos y deformaciones; por ejemplo, la ley de Hooke) y en la función adoptada para prescribir los desplazamientos, se determina la matriz de rigideces de cada ele-  Análisis tridimensional xl” xl. xl: xs DADA 79 Figura 2.27 Grados de libertad del sistema plano de la figura 2.17. tales y el giro alrededor de un eje vertical en tales puntos. Entonces, el análisis tridimensional se hace como sigue: Centro de Y : o masas del piso ¿ : a) Se calcula la matriz de rigide- + a ces lateral de cada sistema s Je == - - $ plano j. Para esto se asignan al Sí : sistema como grados de liber- tad un desplazamiento vertical % y un giro en el plano del sis- tema por cada nudo, y un desplazamiento horizontal por cada nivel, como se ilustra en la figura 2.27. Si se tienen N nudos y L niveles, la ma- dy = 4, cos dj + v,sen Q,+ 10, Proyección del sistema plano j en el piso? triz de rigideces correspondiente a estos grados de libertad es de orden 2N + L. Con el procedimiento de condensación explicado en la sec- ción 2.2.1 (véase la expresión 2.19) se expresa esta matriz en térmi- nos de solamente los grados de libertad laterales y se obtiene la matriz de rigideces lateral del sistema que es de orden £ y aquí se denomi- na K,. : b) Se deducen las matrices para expresar los desplazamientos laterales de cada sistema resistente en términos de tos grados de libertad del edificio completo. Para esto considérese la figura 2.28 en donde u;, v, y 0, son los desplazamientos y el giro del centro de masas del piso ¿. El desplaza- miento lateral d,,, del sistema plano ¡ en este piso, considerando que el 6, ji €s pequeño, se expresa: Figura 2.28 Relación entre los desplazamientos en planta del piso rígido ¡y el desplazamiento lateral del sistema plano ¡en dicho piso.  80 Edificios sujetos a fuerzas laterales 4; Y 0 (2.25) e, es el ángulo entre las direcciones positivas de 4, y de di; » 1 es la dis. tancia de la proyección del sistema plano j al centro de masas del piso y tiene signo positivo cuando el giro de d, alrededor de dicho punto es del mismo sentido que 8, . Concisamente, 2.25 se escribe: di¿=<cos pp, sen dy | dy = by Tu (2.26) siendo cos $, u bi sen » om : Cuando consideramos los £ niveles del sistema resistente tenemos: D,=B,U (2.27) donde hemos definido: e] ds 7 d, 1 $2 lo D=| : ; U= dee ? Y 6 (L elementos) (BL clementos) y, 0.0 0 0 b, 0 0 o 0 (2.29) (£ X 3L elementos) c) Según la sección 2.1.1, notando que B, desempeña el papel de la matriz de transformación a, ya que relaciona los antiguos grados de libertad (des- plazamientos laterales del sistema plano j) con los nuevos (desplazamien» tos y giros de los centros de masas de los pisos), K, se transforma a estos nuevos grados de libertad mediante la operación: K* =B7K,B, (2.30) K/* es una matriz de orden 3£. Análisis tridimensional 81 d) Se obtiene la matriz de rigideces K del edificio sumando directamente las K¿* puesto que todas están referidas a los mismos grados de libertad. Para un edificio de n pisos K es cuadrada de orden 3n. Nótese que algunas K,* pueden ser más pequeñas que K ya que el sistema plano j puede tener menos pisos que el edificio completo. Para sumar, se considera que todos los términos faltantes son ceros. €) Dado un vector de fuerzas laterales que obran en los centros de masas de los pisos F, se calculan los desplazamientos U, resolviendo el siste- ma de ecuaciones KU = F. Obsérvese que F está formado por dos fuerzas propiamente dichas y un momento torsionante en el centro de masas de cada piso, en congruencia con los grados de libertad elegidos para el edi- ficio en conjunto. f) Conocido el vector U se seleccionan los desplazamientos relevantes para el sistema plano j y con la expresión 2.27 se calculan sus desplazamientos laterales D, Como vimos en la sección 2.2,1, a partir de ellos se determi- nan todos los desplazamientos verticales y giros, y luego los elementos mecánicos de cada pieza de dicho sistema. En el siguiente ejemplo ilustramos los pasos enunciados y damos algunos de- talles adicionales, dae dy f 741 =5 5en da Se trata de un solo piso ¿= 1 Acotaciones en m i Sistema plano | Rigidez lateral $; Ti (tontin) fgrados) (ra, AB 300 0 —3.00 AC 300 90 —3.00 CD 200 0 3.00 Nota: Para la defini- BD 200 60 4.33 ción de y y r ver Figura 2.29 Estructura tridi- la figura 2.27. mensional de un piso. Au $4 Figura 2.30 Edificio con sis- temas resistentes ortogonales. Edificios sujetos a fuerzas laterales F, = 300 X (0.009544) = 2.8632 ton F,= 300 X (-0.002016) = 0.6048 ton F, = 200 X (0.008939) = 1.7878 ton F,= 200 X (0.003492) = 0.6984 ton Podemos verificar que estos valores equilibran a las cargas aplicadas; en efecto, las sumas de fuerzas horizontales, verticales y de momentos con respecto al centro de masas arrojan, respectivamente: F, + Fy+ F¿ cos (60) = 5.0002 == 5.0 ton, bien F, + F, sen (60) = 0.000032 == 0.0 ton, bien S F, - 5 F,- 3 F, + 4.33 F¿ = 15.0007 = 15.0 ton-m, bien 2.4.3 Edificios con sistemas resistentes ortogonales Cuando los sistemas resistentes que conforman un edificio son paralelos en plan- ta a una de las direcciones de dos ejes perpendiculares de coordenadas, basta una sola cantidad (X o Y) para definir su posición, haciendo más sencillas algunas operaciones matriciales del procedimiento propuesto en la sección 2.4.1. Como ilustración consideremos el edificio de cinco niveles de la figura 2.30, que está formado por ocho marcos de cortante con las rigideces de entrepiso asignadas en «a Entrepiso > 3 E W, (ton) 5 90 3 4 120 30 Y 3 150 Distancias en m Rigideces en tomcm 3 2 150 3% K=24 a > la 180 3 Ss 1 N 40 1 x o k=8 2x 4 35 abr h A — > ESn Evaluación x Entrepiso 5 x Y a K=16 K=24 35 % K=8 K=12 e n 3 o e 8 o o 2 5 í z %|40 5 z z Ú ax[ e « K=12 le 35 1% K=12 K=20 Y 2Y 3Y ay Xx 65 70 65 65 19 65 Entrepiso 4 Entrepiso 1 a 3 Análisis tridimensional Tabla 2.1 Posición de centros de masas y de sistemas resistentes en el edificio de la figura 2.30. a) Centros de masas Nivel Xx Yi (mm) (m1) 1 8.50 6.30 2 9.20 5.50 3 9.20 5.50 4 9.20 5.50 5 6.75 3.25 b) Sisiemas resistentes Sistema Y Sistema Xx; resistente, j tm) resistente, j | (m) 1x 0.0 1Y 0.0 2x 3,5 2Y 6.5 3x 75 3aY 13.5 ax 1.0 4Y 20.0 Tabla 2.2 Datos geométricos para transformar desplazamientos de los sistemas resistentes del edificio de la figura 2.30 a grados de libertad de los centros de masas. Ángulo Distancia rg Sistema $ (e) resistente | i=1laS Piso 1 Pisos 2a4 Piso 5 j (grados) YY YY; ys -Y oX-x oX-x oX-X 1x 0.0 6.30 - 0.00 = 6.30 5.50 — 0.00 = 5.50 3.25 - 0.00 = 3.25 2x 0.0 6.30 — 3.50 = 2.80 5.50 - 3.50 = 2.00 3.25 - 3.50 =-0.25 3X 0.0 6.30-7.50=- 1.20 3.50 -7.50=- 2.00 325-750 =-3.25 4X 0.0 6.30 - 11.00 =--4,70 | 5.50-11.00=-550 | 3.25-11.00=-7.75 1Y 90.0 000-675 =-6.75 2Y 90.0 6.50 - 8.50 =- 2.00 6.50 - 9.20 =- 2.70 0.00 - 6.75 =-0.25 3Y 90.0 13.50 - 8.50 = 5.00 13.50 - 9.20 =4.30 13.50 6.75 =6.75 4Y 90.0 20.00 - 8.50 =11.50 | 20.00-9.20= 10.80 20.00 - 6.75 = 13,25 = coordenadas de los centros de masas (tabla 2.1). EN Xp coordenadas de los sistemas resistentes (tabla 2.1). 86 Edificios sujetos a fuerzas laterales la citada figura, la cual muestra además los ejes cartesianos elegidos. Las coor- denadas de los centros de masa de los pisos y las de los sistemas resistentes se dan en la tabla 2.1. Adoptaremos la convención de que los desplazamientos la- terales de los sistemas resistentes son positivos de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba, es decir, siguiendo los sentidos positivos de los ejes coordenados. Los pasos del análisis tridimensional son: a) Se calcula la matriz de rigideces lateral de cada sistema plano j. En este ejemplo, por ser el cdificio de cortante, seguimos la sección 2.2.4. Para los sistemas de cinco pisos (j = 1X, 2X, 3X, 1Y, 2Y, 37) resulta: (Ri +R) =R) 0 0 0 —R, (R, + Ry) 2; 0 o K,= 0 —R, (Ry+RY 2, o 0 o Ra (R+R5) Rs o 0 Rs Rs Las matrices de los sistemas de cuatro pisos (j= 4X, 4Y) son de 4X 4 y se obtienen eliminando la fila y columna quintas de la matriz anterior y el sumando R; del elemento 4, 4. Sin embargo, para sumar las K, en rigor todas ellas deben ser del mismo tamaño, por lo cual las matrices de los sistemas 4X y 4Y se expanden a 5 X 5, añadiendo una fila y una columna formadas por ceros. Usando las rigideces de entrepiso de la figura 2.30 para los sistemas 1X, 1Y y 4Y obtenemos: 40 —20 0 0 20 40 20 0 20 32 -12 0 0-12 24 -12 0 0 -12 12 Ki = ooo 256 -128 0 0.0 -128 256 -128 0.0 K,= O -128 236 -108 0 0 0 -108 180 72 0 0 0 2 192 -96 0 0 -96 192 -96 0 K,y= 0 -96 182 -86 0 0 -86 86 0 0 0 0 oo0000 Las matrices de los sistemas restantes se obtienen de manera similar. Observaciones y comentarios Los ceros revelan que los desplazamientos en un eje están desacopla- dos de los del eje perpendicular. d) La matriz de rigideces lateral, K, del edificio se obtiene sumando las Kf. En este ejemplo el resultado es la siguiente matriz de 15 X 15: SK. 0 S K, Y K=|_0 3K, E K, X EYK, XK, (kEYK,Y+2XK,X) €) En general, siguiendo el orden elegido de grados de libertad, el vector de fuerzas F estará formado por cinco fuerzas en la dirección X, cinco en la dirección Y y cinco momentos torsionantes alrededor de los centros de masas. El cálculo de los desplazamientos U demanda la solución del sis- tema de 15 ecuaciones con 15 incógnitas K U =F. Tanto esta solución, como las operaciones matriciales para obtener K, son practicables sólo con el auxilio de computadoras, aun en este edificio con un bajo número de pisos y con sistemas resistentes ortogonales. f) Conocido el vector U, los productos B;yU o B,pU permiten calcular los desplazamientos laterales D, de cada sistema resistente. Obsérvese que la abundancia de ceros simplifica apreciablemente las operaciones. Multiplicando los D, por las matrices K; se determinan las fuerzas apli- cadas en los niveles de cada sistema resistente. A partir de tales fuerzas se pueden calcular los elementos mecánicos en las piezas que conformen el sistema resistente. Cuando se trata de edificios de cortante es conveniente formular el problema escogiendo como grados de libertad los desplazamientos y giros relativos en los entrepisos en puntos llamados centros de torsión, para los cuales, por definición, se anulan las sumas E R;, Y, y 2 X; Ri. Usando estas condiciones en el desarrollo de tos productos matricia- les ZR), Y y 2 K;, X, el problema se simplifica a tal punto que las ecua- ciones de equilibrio se desacoplan y se resuelven secuencialmente, en grupos de tres por cada entrepiso, empezando por el entrepiso superior. En el capítulo 4 se exponen los detalles de esta manera de proceder. 2.5 OBSERVACIONES Y COMENTARIOS Conviene remarcar que el nombre método “exacto” se refiere a precisión numéri- ca dentro del marco de ciertas hipótesis. En el análisis de edificios, dicho térmi- no alude a resultados precisos de modelos en los que las cargas y las propiedades mecánicas y geométricas son conocidas y se supone comportamiento elástico li- neal. En realidad, las especificaciones de los reglamentos modernos de diseño sís- mico consideran que ante temblores severos los edificios muy probablemente incursionarán en comportamiento inelástico. Además existe gran incertidumbre en la predicción de acciones sísmicas, y, en menor grado, en el cálculo de pro- piedades como pesos, áreas, momentos de inercia, módulos de elasticidad, etc. Por tales motivos, aun empleando los más refinados programas para computadora, se tienen solamente modelos aproximados de los edificios y sus solicitaciones, y es concebible que, bajo ciertas circunstancias, un método “aproximado” represente 89 90 a) Marco P [| bj Muro Figura 2.32 Deformaciones típicas de marcos y muros, Edificios sujetos a fuerzas laterales a una estructura con precisión similar a la de un método “exacto”. De allí que, cuando se satisfacen sus condiciones de aplicabilidad, los métodos aproximados son una valiosa herramienta para constatar la precisión de métodos exactos. Otra ventaja de los métodos aproximados es que se basan en condiciones fundamentales de equilibrio y en comprender cómo se comporta una estructura ante cierto sistema de cargas. Por tanto, su uso facilita la visualización de la in- teracción entre las piezas que conforman la estructura, de trayectorias de carga y de configuraciones deformadas. El examen de estos conceptos es parte impor- tante del diseño estructural y debe efectuarse desde el inicio de todo proyecto. 2.5.1 Métodos aproximados para marcos La precisión del método de Bowman se puede evaluar comparando los resultados de la figura 2.13, que son los que arroja este método para el marco de figura 2,10, con los del método de rigideces, que pueden considerarse como exactos y se dan en la figura 2.11. Se aprecia que en ciertos puntos ocurren diferencias apreciables. Existen otros métodos aproximados más precisos, pero más laboriosos como el del factor y el de Grinter-Tsao (Rosenblueth y Esteva, 1962). Por otro lado, un procedimiento bastante difundido es el de portal, basado en hipótesis aún más simples sobre la posición de los puntos de inflexión en vigas y colurmas, y sobre la distribución de cortantes en estas últimas. No hemos tratado este método por- que el de Bowman, al precio de poco esfuerzo adicional, da resultados sensi- blemente mejores. Otro método simplificado es el del voladizo que sirve para análisis preliminar de marcos esbeltos, aunque en otras circunstancias da lugar a resultados menos precisos que los métodos aquí presentados. En nuestra opinión, el método de Bowman cumple el cometido de permitir una verificación suficien- temente sencilla de resultados de métodos matriciales, de proporcionar fuerzas y momentos para etapas preliminares de diseño y de mostrar cómo las fuerzas sís- micas se transfieren entre diferentes piezas, Por definición, la: rigidez de un entrepiso, R, es el cociente de la fuerza cor- tante obrando sobre el entrepiso entre su desplazamiento relativo. En rigor, R es independiente del sistema de cargas laterales sólo cuando las vigas son infinita- mente rígidas a flexión y las deformaciones axiales en las columnas son despre- ciables, Bajo tales circunstancias, R= 12 3, 1,/h*, donde [, denota momentos de inercia de las columnas, h es la altura de entrepiso y la suma abarca todas las columnas del entrepiso. Las fórmulas de Wilbur suministran valores aceptables de R para marcos cuyas piezas tienen dimensiones relativas tales que las cargas la- terales inducen puntos de inflexión en las columnas, como se ilustra en la figu- ra 2.32a. Blume (1968) luego de analizar varios marcos, ha propuesto que para determinar si las vigas tienen rigidez suficiente para imponer doble curvatura a las columnas se calcule el parámetro p, que él llama índice de rotación de nudo, dado por p= E WINS, WD.. 1 es el momento de inercia de una pieza y £ su longitud, los subíndices v y e indican viga y columna, respectivamente; las sumas se refieren a todas las piezas de un piso o entrepiso, deberán considerarse primero las vigas del piso superior y separadamente las del piso inferior. Se tienen así dos valores de p para cada en- trepiso y, según Blume, si ambos son mayores que 0.1 las columnas del entrepiso Observaciones y comentarios en cuestión tendrán puntos de inflexión. Cuando un marco tiene una variación pau- latina de las rigideces de vigas y columnas, basta calcular p para el entrepiso más cercano a la mitad de la altura del marco. Aunque este índice ha sido deducido para marcos regulares, da una idea sobre la posible aparición de puntos de inflexión en las columnas de marcos irregulares, valuándolo en diferentes entrepisos. Cuando las columnas son robustas en comparación con las vigas, p es usual- mente menor que 0.1, sobre todo en los entrepisos inferiores; tal es frecuente- mente el caso de edificios a base de losas planas. El caso extremo, para el cual p vale cero, es el de un muro aislado que se deforma sin ningún punto de inflexión, como se aprecia en la figura 2.32b, A fin de aclarar la influencia de las cargas la- terales en la rigidez de entrepiso hemos colocado una fuerza lateral F en un piso intermedio del marco y del muro de la figura 2.32, de modo que las cortantes en entrepisos por encima de F' son nulas. Los desplazamientos relativos de dichos en- trepisos son también aproximadamente cero y por tanto las R no están determi- vadas; para calcularlas necesitamos aplicar cargas en los pisos superiores a fin de eliminar divisiones cero sobre cero. Ocurre que para marcos que satisfacen la condición propuesta por Blume, los resultados son muy parecidos para fuerzas laterales que actúan en el mismo sentido. Por el contrario, en el muro los des- plazamientos por encima de F son apreciables a causa de la rotación en el nivel donde actúa dicha fuerza, y, en consecuencia, las rigideces.de entrepiso son nulas para este sistema particular de cargas. Cuando aplicamos fuerzas sobre todo el muro las R serán mayores que cero, pero, manteniendo la misma fuerza cortante, los resultados dependen de la distribución de cargas, puesto que los despla- zamientos en cada nivel tienen una influencia importante de los giros en pisos inferiores, los que a su vez dependen de los momentos flexionantes. Como ilustración del criterio de Blume, para el segundo entrepiso del marco de la figura 2.10; como las vigas de los pisos primero y segundo son iguales, usando unas u otras obtenemos: (S54+54+545/4 _ P= EIB4s4 56154 33184 2239145 = 1:18 Para el tercer entrepiso, considerando las vigas del segundo piso, resulta (4545 45S)4 = = 1.82 PO 2+3+4+ 24 y si se emplean las vigas del tercer piso, se llega a p= (S+5+5)4 =136 7 (2+34+4+2)/4 En todos los casos p > 0.1, por lo que se formarán puntos de inflexión en las columnas de estos entrepisos y son aplicables los métodos que suponen la apari- ción de tales puntos. En décadas pasadas, tuvieron difusión entre los ingenieros estructurales mé- todos manuales más precisos aunque también apreciablemente más laboriosos, como el de Cross y el de Kani, cuyos resultados son exactos sólo cuando son despreciables los efectos de cargas axiales en las columnas. Estos métodos ten- drían que modificarse substancialmente para incorporar deformaciones por cor- tante y nudos con dimensiones finitas (zonas rígidas) y han caído en desuso debido a la amplia disponibilidad de computadoras para aplicar procedimientos que no están sujetos a las limitaciones citadas. 91 94 Edificios sujetos a fuerzas laterales 2.5.3 Efectos no lineales Se distinguen dos tipos de comportamiento no lineal en estructuras. El primero, denominado no linealidad geométrica, se presenta cuan- do la hipótesis de que las deformaciones son pequeñas es inadecuada y Cuando menos algunas de las condiciones de equilibrio deben plantearse sobre la configuración desplazada de la estructura. La no linealidad se manifiesta en que los desplazamientos dependen de los elementos mecánicos en los miembros estructurales, los que a su vez son función de dichos desplazamientos. En el caso de fuerzas late- rales, particularmente cuando no existen muros ni sistemas rigidi- zantes equivalentes, se pueden originar desplazamientos horizontales apreciables Á, entre los extremos de las columna y las cargas verti- cales sobre las mismas P, producen momentos iguales a PA, que a su vez generan desplazamientos laterales adicionales. De allí que este fenómeno se conoce como efecto P-A, o efectos de segundo orden. Figura 2.34 Efectos de esbel- tez en un sistema de un grado de libertad. Ninguno de los procedimientos de análisis expuestos en este capítulo considera estos efectos, aunque una manera simple de incorporarlos (Rosen- blucth, 1965) es añadir en cada nivel una fuerza lateral ficticia de modo que en cada entrepiso el producto de la fuerza cortante sea igual a W A donde W es el peso del edificio encima de dicho entrepiso. Como ilustración considere- mos el sistema de un grado de libertad de la figura 2.34 para el cual el momen- to en la base, incluyendo el aporte de la carga axial, es: M= Vh + WA En términos de la rigidez lateral k, este momento es igual a kAh; por tanto, despejando Vh nos queda: Vh = kAh— WA = kh [1 — WIKkk)] A o también: V=[k-WH]lA = k11-6] A donde el parámetro 9 = W/(kh) se llama coeficiente de estabilidad (Bernal, 1985). Se aprecia que el efecto neto de la carga axial es reducir la rigidez late- ral en un monto W/h, o en una fracción igual a 6, El término W/h se conoce como rigidez geométrica, y refleja la naturaleza no lineal del problema porque depende de la carga axial. Nótese que es posible que la rigidez se anule com- pletamente cuando la'carga axial alcanza el valor crítico kh, produciendo inestabilidad del sistema. Dentro del contexto del método de elementos finitos, se han desarrollado pro- cedimientos muy generales para calcular la denominada matriz de rigidez geomé- trica, K, de una estructura de varios grados de libertad con cualquier tipo de elementos, K, depende de la magnitud y distribución de cargas axiales y las ecua- ciones de equilibrio ante un vector de cargas P se escriben [K — K¿] u =P. K, sirve también para determinar las cargas críticas que causan estabilidad en la es- tructura. Los detalles escapan el alcance de este texto y se pueden consultar en varias publicaciones sobre análisis estructura) y el método de elementos finitos (véanse, por ejemplo Przemieniccki, 1968 y Chajes, 1993). Observaciones y comentarios La segunda manifestación importante de comportamiento inelástico es denomi- nada ro linealidad del material que tiene lugar cuando las curvas carga-deformación de los materiales que constituyen los miembros estructurales son sensiblemente no lineales, reflejando además estados de falla como agrietamientos y fluencias que causan cambios bruscos en dichas curvas. Como veremos en el capítulo 4, esta for- ma de no linealidad es característica de prácticamente todos los materiales estruc- turales que se usan en edificios. Los reglamentos de construcción así lo reconocen y muchas de sus prescripciones promueven ciertos tipos deseables de compor- tamiento inelástico ante eventos sísmicos severos y aún moderados. Desde el punto de vista de análisis, la no linealidad del material invalida el prin cipio de superposición, lo cual obliga a conocer las fuerzas y momentos debidos a las cargas permanentes que obran previamente sobre la estructura (cargas muertas y vivas) antes de determinar los efectos de cargas laterales. En vista de que ante car- gas permanentes deben prevenirse fenómenos no lineales de importancia, es decir, que las resistencias de los elementos estructurales deben ser apreciablemente mayores que las demandas provenientes de dichas cargas, en el paso inicial del análisis ante acción sísmica se considera que el edificio se encuentra aún dentro de su intervalo de comportamiento elástico. Se aplican luego paulatinamente las fuerzas laterales que representan al sismo hasta que en alguna sección crítica de algún elemento se alcanza la resistencia y ocurre una falla local, típicamente fluencia o agrietamiento. Esto modifica las características de rigidez de tal elemen- to y, por ende, de la estructura para cargas adicionales, aunque no necesariamente implica colapso. Con las rigideces modificadas se continúan aplicando las cargas laterales hasta que ocurre otra falla local con los consiguientes cambios de rigidez. Se procede de esta manera hasta que la estructura colapsa, obteniéndose así su resistencia a cargas laterales estáticas. Este tipo de análisis se emplea muy rara- mente en el diseño sísmico de edificios y aun así con simplificaciones, no sólo por ser laborioso sino porque las cargas sísmicas son dinámicas y no estáticas. 2.5.4 Análisis tridimensional con computadora Existen varios programas para computadora que efectúan automáticamente el análi- sis elástico tridimensional de edificios bajo la suposición de que los pisos son diafragmas rígidos en su plano, siguiendo internamente los pasos descritos en la sec- ción 2.4; entre ellos, ha sido pionero el desarrollado por Wilson y Dovey (1972). El buen uso de estos programas requiere, además del entendimiento claro de sus hipóte- sis básicas y de sus limitaciones, una cuidadosa preparación de datos. Típicamente, la información que se debe proporcionar incluye los dos grupos siguientes: 1. Datos generales del edificio: número y alturas de pisos, elegir sistema de coordenadas en planta, número y posición de sistemas resistentes, valor y posición de fuerzas laterales (normalmente los centros de masas). 2. Datos para cada sistema resistente: + número de pisos, aunque sus alturas son comunes a todos los sistemas y forman parte de los datos generales; 95 96 Edificios sujetos a fuerzas laterales * propiedades de vigas: módulo de elasticidad, momentos de inercia y coeficientes de rigidez (no se necesitan áreas en congruencia con la hipótesis de diafragmas rígidos), peraltes (para nudos de dimensión finita); + propiedades de columnas: módulo de elasticidad, áreas, momentos de inercia, áreas y módulo de cortante (particularmente importantes en co- lumnas que representan muros) y peraltes; + propiedades de diagonales: áreas y módulo de elasticidad, Por lo común, estos programas analizan también el edificio ante cargas verticales, introducidas como fuerzas distribuidas o concentradas en las vi- gas. Cuando los sistemas resistentes, las cargas verticales o ambos no son simétricos, ocurren desplazamientos laterales, que, aunque son pequeños en comparación con los originados por las fuerzas laterales, tienen que ser com- patibles dentro de todo el edificio, debido que la hipótesis de diafragmas rígi- dos obliga a que los desplazamientos de cualquier sistema resistente queden definidos por tres grados de libertad por nivel, como se explicó en la sección 2.4. En otras palabras, un sistema resistente no puede desplazarse lateralmen- te de manera independiente de los demás, como es usual suponer en análisis ante cargas verticales. El resultado es que la suma de fuerzas cortantes en los miembros de un entrepiso (columnas, diagonales y muros) de un sistema resis- tente no es nula, Esta condición de equilibrio en ausencia de cargas laterales sólo se satisface al sumar las fuerzas cortantes en los entrepisos de todos los sistemas resistentes en cada nivel del edificio. Estos programas presentan sus resultados, consistentes en general en des- plazamientos laterales y fuerzas y momentos en cada pieza, de manera ordenada y autoexplicatoria. Los momentos en vigas y columnas están dados normalmente en las secciones que intersectan las caras de los elementos perpendiculares, de modo que para verificar el equilibrio de momentos de un nudo se deben tomar en cuenta los peraltes de vigas, columnas o muros. Otro asunto que merece atención es que al idealizar el edificio como un con- junto de sistemas resistentes planos, se impone solamente compatibilidad global de desplazamientos laterales. Los desplazamientos verticales y las rotaciones de cada sistema resistente son independientes de los otros, y de allí que para las columnas que pertenecen a dos sistemas diferentes (o sea que están en la in- tersección en planta de dos sistemas planos) se calculan dos desplazamientos verticales y, en consecuencia, dos fuerzas axiales independientes. Ocurre una incompatibilidad similar en rotaciones por flexión de columnas que forman parte de dos sistemas que intersectan en planta en ángulos que no son rectos. Estas incompatibilidades sólo pueden eliminarse totalmente si el edificio completo se modela como un marco tridimensional, empleando programas que incorporan tal formulación (Wilson et al, 1975). Sin embargo, generalmente se logra mayor claridad en el análisis considerando varios sistemas resistentes separados. Para columnas que pertenezcan a dos sistemas, se sugiere sumar las fuerzas axiales que resulten en cada uno de ellos, Como hemos comentado anteriormente, los pisos deben ser capaces de tras- mitir las fuerzas generadas por la acción sísmica a los elementos resistentes. La verificación de esta capacidad es particularmente importante cuando se supone que los pisos son diafragmas rígidos. Normalmente, los programas de análisis tridimensional no producen como resultado las fuerzas en cuestión, las cuales se  100 Figura 3.2 Sistema simple con amortiguamiento viscoso, Conceptos de dinámica estructural restantes giros y desplazamientos se anulen, sino que, aunque asuman valores dis- tintos de cero, no generan fuerzas de inercia de consideración. Como se ha explicado en la sección 2.4.1, en edificios cs generalmente acep- table suponer que los pisos son diafragmas rígidos en su plano, lo que permite expresar el movimiento lateral de cualquier punto del piso en términos de tres grados de libertad: dos desplazamientos horizontales y un giro alrededor de un eje vertical. Si un marco o muro está ligado a un piso rígido, su desplazamiento late- ral en este nivel depende solamente de los valores que adquieran estos tres gra- dos de libertad, como se muestra en la figura 2.27. Por otro lado, en vista de que la mayor parte de las masas están directamente soportadas por los pisos, es tam- bién aceptable suponer que todas las masas están concentradas en los mismos, de manera que las fuerzas de inercia generadas por desplazamientos laterales se pueden expresar como productos de la masa en cada piso por sus aceleraciones lineales (en dos ejes horizontales perpendiculares) y del momento de inercia de dicha masa por la aceleración angular alrededor del eje vertical que pasa por el centro de masas. Esto permite efectuar el análisis dinámico de un edificio con modelos que tienen tres grados de libertad por piso. Cuando por simetría los pisos no rotan alrededor de ejes verticales, el edifi- cio o sus componentes se pueden modelar como un sistema de un grado de liber- tad (desplazamiento lateral) por piso. Nótese que la hipótesis de que los pisos son diafragmas rígidos implica que las vigas no tienen deformaciones axiales: tal sería el caso del marco de la figura 3.1. Recuérdese que la matriz de rigideces de este marco, que es de 12 X 12, se puede transformar a una matriz de rigideces la- teral de 2 X 2, expresada en función de los grados de libertad 1 y 2, mediante el proceso de condensación estática (véase la expresión 2,19), De esta manera, las matrices de rigideces y de masas corresponden a los mismos grados de libertad. 3.2 SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTAD 3.2.1 Descripción y ecuación de equilibrio dinámico Consideremos el sistema de un piso mostrado en la figura 3.2, constituido por una masa concentrada que puede tener un desplazamiento horizontal u, ligado al terreno mediante varios elementos verticales representados esquemáticamente por dos columnas elásticas y por un amortiguador. Cuando el terreno experimen- ta un desplazamiento horizontal s, en la ecuación de equilibrio dinámi- co aparecen la fuerza de inercia, igual a la masa por su aceleración absoluta x, la fuerza de rigidez y la de amortiguamiento. En el caso más sencillo, las fuerzas de rigidez y de amortiguamiento son, respec- tivamente, proporcionales al desplazamiento u y a la velocidad ú de la masa con respecto a su base. Sean k y e las correspondientes constan- tes de proporcionalidad que se supone que no cambian con el tiempo; k es lo mismo que la matriz de rigidez lateral, en este caso de 1 por 1, que se determina como se describe en la sección 2.2.1, y c se llama coefi- ciente o relación de amortiguamiento. El conjunto de m, c y k constituye un sistema lineal de un grado de libertad, con amortiguamiento viscoso o lineal; usando el principio de D' Alambert, la ecuación diferencial de equilibrio dinámico o de movimiento es mit+cú+ku=0 Sistemas lineales de un grado de libertad 101 Tabla 3.1. Aplicación del Método £ de Newmark (8 = 1/4) al sistema de ta figura 3.2. £ Xm Resultados numéricos (Seg) Exacta u v a As* Au Av Aa 0.00 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 2.0000 0,0050 0.0993 0.0149 0.10 0.9950 0.9950 0.0993 0.9851 5.9603 0.0148 0.0973 0.0245 0.20 0.9802 0.9802 0.1965 0.9606 9.8221 —0.0244 0.0944 0.0338 0.30 0.9559 0.9559 0.2909 0.9268 —13.5481 0.0336 0.0905 0.0427 0.40 0.9223 0.9223 0.3815 —0.8841 -17,1027 0.0424 0.0859 0.0510 0.50 0.8799 0.8798 0.4673 0.8331 -20.4522 0.0507 0.0804 0.0588 0.60 0.8292 0.8291 0.5477 0.7743 -23.5655 0.0585 0.0741 0.0659 0.70 0.7707 0.7706 0.6218 0.7084 -26,4140 0.0655 0.0672 0.0723 0.80 0.7052 0.7050 0.6890 0.6361 -28.9720 0.0719 0.0597 0.0779 0,90 0.6334 0.6332 0.7488 0.5583 312171 0.0775 0.0517 0.0826 1.00 0.5560 0.5557 0.8005 0.4757 -33.1300 0.0822 0.0432 0.0865 1.10 0.4738 0.4735 0.8437 0.3891 —34.6951 0.0861 0.0344 0.0895 120 0.3878 0.3874 0.8781 0.2996 -35.9003 —0.0891 0.0254 0.0916 1.30 0.2988 0.2983 0.9035 0.2080 -36.7373 0.0912 0.0162 0.0928 1.40 0.2077 0.2072 0.9197 0.1152 -37.2012 0.0923 0.0069 0.0930 1.50 0,1154 0.1148 0.9265 0.0222 -37.2914 0.0925 0.0024 0.0923 1.60 0.0229 0.0223 0.9241 0.0701 -37.0105 0.0918 0.0115 0.0907 1.70 0.0688 0.0695 0.9126 0.1608 -36.3650 0.0902 0.0205 0.0882 1.80 0.1590 0.1598 0,8921 0.2499 -35.3650 0.0878 0.0291 0.0848 1.90 0.2468 0.2475 0.8630 0.3338 -34.0239 0.0844 0.0374 0.0807 2.00 0.3312 0.3319 0.8256 0.4145 -32.3584 0.0803 0.0452 0.0758 3.00 0.8449 0.8453 0.1270 0.8580 --3.3881 0.0084 0.0858 0.0002 4.00 0.5722 0.5714 0.6162 0.5097 25.7921 0.0640 0.0475 0.0688 5.00 0.1741 0.1758 0.7505 0.2508 29.6671 0.0736 0.0286 0.0708 6.00 0.6975 0.6984 0.2163 7200 7.2536 0.0180 0.0725 0.0107 n= 1.00, ¿= 0.05, c=0.10 “4 = 3.00, Lodi, = 1.001252, £wf 1 = 0.050062 uo = 1.00, A1=0.1, k%=k +20/A1 + dm/Ar? = 403, según la ecuación 3.5, la solución exacta es . exp (0.05 £) 10.050062 sen (0.9987491) + cos (0.9987491)). 102 Conceptos de dinámica estructural El punto sobre una cantidad significa derivación con respecto al tiempo. Con- siderando que x= s + u, la ecuación anterior se escribe mi+cú+ku=-=ms 61) Dividiendo esta ecuación entre »m y definiendo w =Vkim, Cor — 2 VW km y £= clc,, se llega a: 14+2[(w04+Wu= (32) « se denomina frecuencia circular natural del sistema; c,, se conoce como amortiguamiento crítico y [es la fracción de amortiguamiento crítico, que usual- mente se expresa como porcentaje. De las definiciones de « y c,, deducimos que Cc = 2 m 0, lo cual muestra que el amortiguamiento crítico está relacionado con la frecuencia fundamental de vibración, 3.2.2 Vibraciones libres El sistema descrito en la sección precedente vibra libremente cuando la masa se mueve, pero el terreno permanece inmóvil y no actúan fuerzas exteriores. En este caso el segundo miembro de la ecuación 3.2 se anula y su solución es: u(1) = A evtotcos 0, (t- y) (3.3) donde 0, =w E (34) 4, es la frecuencia natural amortiguada del sistema y A y y son constantes que dependen de las condiciones iniciales, es decir, del desplazamiento y la velo- cidad cuando 1= 0. La ecuación 3,3 da u (1) = A cos «xt — y) cuando no existe amortiguamiento (£= 0), y se dice que la masa tiene un movimiento armónico. El tiempo T, que dura un ciclo de oscilación completo, se llama periodo de vibración natural del sistema y es igual a 277/0. Por otro lado, si el amortiguamiento es igual al crítico (£= 1) encontramos que «, = 0 y, por tanto, u(?) = A e-fu:,, indicando que la masa se mueve sin oscilar y vuelve a su posición de equilibrio estático, u = 0, luego de un tiempo infinito, En el análisis de edificios es de mayor interés el caso de amortiguamientos Ienores que el crítico, para el cual, si el desplazamiento y la velocidad de la masa en el instante £ = O valen, respectivamente u, y ú4,, obtenemos: 14(2) =A e-tor ((ú, + Ec 1) (sen 09,1) / 00, + u,cos ct] (3.5) Esta ecuación describe un movimiento oscilante de la masa con frecuencia e, y con amplitud exponencialmente decreciente como se ilustra en la figura 3.3. El pe- riodo amortiguado, T, = 2m1w,, es el tiempo que tarda un ciclo completo de oscilación, y es una propiedad de la estructura, independiente de como se la excite. Normalmente, el amortiguamiento de estructuras de edificios no excede 10 por ciento del crítico, o sea que típicamente £es menor que 0.1. Aun para este lí-