Ejemplos y tablas de centroides ingenieria mecanica estatica analitica/ para practicar, Ejercicios de Estática

¡Descarga Ejemplos y tablas de centroides ingenieria mecanica estatica analitica/ para practicar y más Ejercicios en PDF de Estática solo en Docsity! EJEMPLO [9.9 Localice el centroide del alambre que se muestra en la figura 9-16a. SOLUCIÓN Partes componentes. El alambre está dividido en tres segmentos como se muestra en la figura 9-16b. Brazos de momento. La ubicación del centroide para cada seg- mento se determina e indica en la figura. En particular, el centroide del segmento (1) está determinado por integración o por la tabla que aparece en la cubierta posterior interna. Sumatorias. Por conveniencia, los cálculos pueden tabularse de la siguiente manera: Segmento L (mm) (mm) F(mm) Z(mm) FL (mm?) FL (mm?) TL (mm?) 1 (60) = 188,5 60 —382 o 11 310 —7200 0 2 40 0 20 0 o 800 0 3 20 0 40 10 0 800 —200 EL = 248.5 ExL =11310 XFL=-—5600 X7L = —200 Por consiguiente, - EXE 11310 *= EL 85 = 45.5 mm Resp. -_ EYL_ 5600 y= 3L 785 22.5 mm Resp. - E7L_ 00 2= 31 7 285 = 0.805 mm Resp. (a) (b) A O: o Localice el centroide del área de la placa que se muestra en la figura 9-17a. 4-3] 7 a 3 pies (a) Fig. 9-17 SOLUCIÓN y Partes compuestas. La placa está dividida en tres segmentos como se muestra en la figura 9-17b. Aquí el área del rectángulo peque- ño O se considera “negativa”, puesto que se debe restar del rectán- e gulo más grande O Brazos de momento. El centroide de cada segmento se localiza e del modo que se indica en la figura. Observe que las coordenadas Y po de Oy a son negativas. ! Sumatorias. Con los datos de la figura 9-17b, los cálculos se tabu- lan de la siguiente manera: Segmento A (pie) T(pie) F (pie) FA (pic) FA (pic") 1 43)3) = 45 1 1 45 45 y 2 (313) = 9 15 15 13,5 13,5 3 21) = 2 25 2 5 4 e aris- ZA=115 E3XA=-4 EyA=14 | UT Por consiguiente, 2 pies - (b) O . a as 7 AB pie Resp. JA _ 14 y= 2-12 pi R 34 us pS ES NOTA: si estos resultados se grafican en la figura 9-17, la ubicación del punto C parece razonable.  PROBLEMA RESUELTO 5.11 Determine la ubicación del centro de gravedad del cuerpo de revolución ho- mogéneo que se muestra en la figura, el cual se obtuvo al unir una semies- fera y un cilindro y removiendo un cono. SOLUCIÓN Debido a la simetría, el centro de gravedad se encuentra sobre el eje x, co- mo se muestra en la figura que se presenta a continuación. El cuerpo pue- de obtenerse sumándole una semiesfera a un cilindro y después restándole un cono. El volumen y la abscisa del centroide de cada una de estas compo- nentes se obtiene a partir de la figura 5.21 y se introduce en la tabla que apa- rece a continuación. Entonces, se determinan el volumen total del cuerpo y el primer momento de dicho volumen con respecto al plano yz. (100 mm)=75 mm Componente |Volumen, mm? Xx, mm|XV, mm* 14 Semiesfera 3 COS = 0.4524 x 10%] -22.5 10.18 x 106 Cilindro ar(60)(100) = 1.1310 X 10%] +50 +56,.55 X 10% TT 2, ” Cono —3 (60)*(100) = —0.3770 x 100 [475 —28.28 x 10% YV= 1206 x 10% SxV = +18.09 x 10% Por tanto, XEV=YxFV: X(1.206 Xx 10% mm”) = 18.09 x 10% mm! X=1l5mm 4  EJEMPLO [9.11 - 50 mm (a) Fig. 9-18 Localice el centro de masa del ensamble que se muestra en la figura 9-184. La densidad del cono truncado es p, = semiesfera es pp = 4 Meg/nú. En el centro del cono truncado hay un agujero cilíndrico de radio igual a 25 mm. SOLUCIÓN Partes compuestas. Puede considerarse que el ensamble que se entos como se indica en la figura deben considerarse como volúme- nes “negativos” para que los cuatro segmentos, al sumarse, resulten en la forma total compuesta que se aprecia en la figura 9-184. Brazo de momento. Con la tabla de la cubierta posterior inter- na, los cálculos para el centroide 7 de cada pieza se muestran en la muestra consiste en cuatro seg 9-18b. Para los cálculos, E) y (4) figura. Sumatorias. Debido a la simetría, observe que x=5=0 Como W = mg, y g es constante, la tercera de las ecuaciones 9-6 toma la forma 7 = X7m/Xm. La masa de cada pieza puede calcu- larse a partir de 11 = pV y usarse en los cálculos. Además, 1 Mg/m* = 106 kg/mmr, de manera que 8 Mg/m', y la de la Resp. Segmento a (Kg) Z(mm) Zm (kg - mm) de ad ha 8(107S) (5) (50)*(200) = 4.189 4(10-5)(5)7(50)* = 1.047 —8(106)(3)»(25)?(100) = (0,524 —8(10*)(25)(100) = —1.571 Em = 3.142 50 18.75 100 + 25 = 125 50 27m = 45.815 209.440 19.635 65.450 78.540 200 mm => 200 mm = Mmm | g 3 3 Entonces, H= om =m mm A 0 50 _ | Ny T 360) = 18.75 mm 0 (b) e 0 100 mm Tos 45.815 == 146 mm 3.142 00 mm Resp. 25 mm a PROBLEMA RESUELTO 5.12 Localice el centro de gravedad del elemento de una máquina hecho de acero que se muestra en la figura. El diámetro de cada agujero es 1 in. SOLUCIÓN 453 in, - El elemento de máquina se puede obtener sumándole a un paralelepípedo rectangular (1) un cuarto de cilindro (11) y, entonces, restando dos cilindros de 1 in. de diámetro (HI y IV). Se determinan el volumen y las coordenadas del centroide de cada componente y se introducen en la tabla que se presen- + Xy Lin. diám. taa continuación. Entonces, al utilizar los datos que están en la tabla se deter- o mina el volumen total y los momentos de dicho volumen con respecto a cada Zim uno de los planos coordenados. y Dd ar 4 : Y 357 08488 in. Y, in? x, in. Y, in. Zin. | xW in* FV, in.* 2V, in.* I (4.51(21(0.5) = 4.5 0.25 -1 2.25 1.125 4.5 10.125 n 270.5) = 1571 1.3488 | —0.8488 | 0.25 2.119 1.333 0.393 11 | —0.5%0.5) = 0.3927 | 0.25 -1 35 0.098 0.393 1.374 Wo —(05)%0.5) = —0.3927 | 0.25 -1 15 0.098 0.393 0.589 EV = 5.286 EXV =3.048 | Ey V= 5.047 | L3V =8555 Por tanto, XEV=YFV: XI5286in)= 3.048in.* X= 0577in. 4 YEV=3yV: — Y(5.286 in.) — —5.047 in.* Y =-0.955 in. «4 ZEV=Y3V: — Z(5286in.)= 8.555in* Z= 16l8in. 4  Forma 7 7 Árca h bh Área triangular 3 > Un cuarto de área Ar dr ar circular 37 3 4 Área semicircular 0 Ae ar 37 2 Un cuarto de área Aa db ab. elípti 37 37 4 Área o e zab semielíptica 37 z Área 3a 3h 2h semiparabólica 5 = Área parabólica 0 an E 5 3 Enjuta parabólica 3a 3h eh 4 10 3 Entuta general malo meto ah nj gene n+2 An +2 n+1 Sector circular tren 0 ar Forma r 7 Longitud Un cuarto de arco 2 2 mr circular F F 3 Arco semicircular 0 Y rr Arco de círculo pame 0 Dar  Forma x | Volumen Semiesfera = 2 Semielipsoide SA 2 de revolución E ¿7h Paraboloide h La de revolución 3 qa Cono z Lrrath Pirámide z Labh Figura 5.21 Centroides de formas y volúmenes comunes. Centro de gravedad y momento de inercia de masa de cuerpos sólidos homogéneos . Semiesfera La =1, =0.259mr* 1, = imr* . y x Disco circular delgado la=l,y= mr? 1,= imr? lo = Amr? y Anillo delgado la=ly= mr? 1d, me? Cilindro Ll, = ds mar + h?) 1, = mr? Cono Placa delgada = mb 1,2 ma? 1.= ma+b')