¡Descarga Problemas Resueltos de Lógica Matemática - Prof. Correa y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity! FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS PROBLEMAS RESUELTOS Capítulo Secciones 1. Lógica Matemática 1.4 Estructura con variables proposicionales 1.5 Propiedades de los Operadores Lógicos 1) Una forma proposicional: a) Debe tener más de dos variables proposicionales. b) Es una proposición compuesta por dos o más proposiciones. c) Está constituida por variables proposicionales y operadores lógicos. d) Está constituida por proposiciones y operadores lógicos. Solución: Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por variables proposicionales y los operadores lógicos que las relacionan. 2) La ley de idempotencia de la disyunción es aquella que establece que: a) 𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝑝 b) 𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝 c) 𝑝 ∨ 1 ≡ 1 d) 𝑝 ∨ 0 ≡ 𝑝 Solución: La ley de idempotencia de la disyunción establece que 𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝. La primera opción es la ley de idempotencia de la conjunción, la tercera opción es la ley de absorción de la disyunción y la cuarta opción es la ley de identidad de la disyunción. 3) Dada una estructura lógica de una forma proposicional, se dice que es una contingencia si: a) Se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales. b) Se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales. c) Se tienen al menos una proposición con un valor de verdad que difiere del resto para todos los valores de verdad de las variables proposicionales. d) Se tienen solo proposiciones verdaderas o solo proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales. Solución: Dada una estructura lógica de una forma proposicional, si se tienen al menos una proposición con un valor de verdad que difiere del resto para todos los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una contingencia. 4) Si las formas proposicionales 𝒇(𝒑, 𝒒, 𝒓) y 𝒈(𝒑, 𝒒, 𝒓) son tautologías, entonces ES CIERTO que: a) 𝑓(0,0,0) ∧ 𝑔(0,0,0) ≡ 0 b) 𝑓(1,1,0) ∨ 𝑔(1,1,0) ≡ 0 c) 𝑓(0,1,0) ∨ 𝑔(1,0,1) ≡ 0 d) 𝑓(1,0,0) → 𝑔(0,1,1) ≡ 0 Solución: Debido a que 𝑓(𝑝, 𝑞, 𝑟) y 𝑔(𝑝, 𝑞, 𝑟) son tautologías, entonces las proposiciones 𝑓(0,0,0) y 𝑔(0,0,0) son verdaderas, por lo tanto: a) 𝑓(0,0,0) ∧ 𝑔(0,0,0) ≡ 1 ∧ 1 ≡ 1. Esta opción es incorrecta. b) 𝑓(1,1,0) ∨ 𝑔(1,1,0) ≡ 1 ∨ 1 ≡ 1. Esta opción es incorrecta. c) 𝑓(0,1,0) ∨ 𝑔(1,0,1) ≡ 1 ∨ 1 ≡ 0. Esta opción es la correcta. d) 𝑓(1,0,0) → 𝑔(0,1,1) ≡ 1 → 1 ≡ 1. Esta opción es incorrecta. 5) Si 𝒉(𝒑, 𝒒, 𝒓) es una forma proposicional dada por la expresión (𝒑 → 𝒒) ∧ 𝒓, entonces: a) ℎ(0,0,0) ≡ 1 b) ℎ(1,0,1) ≡ 1 c) ℎ(0,1,1) ≡ 1 d) ℎ(0,1,0) ≡ 1 Solución: a) Si ℎ(0,0,0) entonces 𝑝 ≡ 0, 𝑞 ≡ 0, 𝑟 ≡ 0 entonces ℎ(0,0,0) ≡ (0 → 0) ∧ 0 ≡ 1 ∧ 0 ≡ 0. Esta opción es incorrecta. b) Si ℎ(1,0,1) entonces 𝑝 ≡ 1, 𝑞 ≡ 0, 𝑟 ≡ 1 entonces ℎ(1,0,1) ≡ (1 → 0) ∧ 1 ≡ 0 ∧ 1 ≡ 0. Esta opción es incorrecta. c) Si ℎ(0,1,1) entonces 𝑝 ≡ 0, 𝑞 ≡ 1, 𝑟 ≡ 1 entonces ℎ(0,1,1) ≡ (0 → 1) ∧ 1 ≡ 1 ∧ 1 ≡ 1. Esta opción es la correcta. d) Si ℎ(0,1,0) entonces 𝑝 ≡ 0, 𝑞 ≡ 1, 𝑟 ≡ 0 entonces ℎ(0,1,0) ≡ (0 → 1) ∧ 0 ≡ 1 ∧ 0 ≡ 0. Esta opción es incorrecta. 6) Sin hacer uso de tablas de verdad, determine si la siguiente forma proposicional es una contingencia. (¬𝒑 → 𝒒) ∨ (𝒑 ∧ 𝒒) Solución: (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) Ley de Implicación [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑝] ∧ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑞] Ley Distributiva [(𝑝 ∨ 𝑝) ∨ 𝑞] ∧ [𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑞)] Ley Asociativa [𝑝 ∨ 𝑞] ∧ [𝑝 ∨ 𝑞] Ley de Idempotencia 𝑝 ∨ 𝑞 Ley de Idempotencia El valor de verdad de la forma proposicional depende de la Disyunción entre los valores de verdad de 𝑝 y 𝑞, por lo tanto, si es una contingencia.
