Ejercicios de Trigonometría, las identidades trigonométricas, Ejercicios de Trigonometría

¡Descarga Ejercicios de Trigonometría, las identidades trigonométricas y más Ejercicios en PDF de Trigonometría solo en Docsity! 1 3.1 Ejercicios Trigonometría 4.1 3.1.1 Ejercicios resueltos 1. Comprobar la siguiente identidad trigonométrica curiosa: tg2(α)− sen2(α) = tg2(α) · sen2(α) Solución: En primer lugar desarrollaremos el primer término de la igualdad. Así: tg2(α)− sen2(α) = sen 2 cos2(α) − sen2(α) = sen2(α)− sen2(α) cos2(α) cos2(α) = sen2(α)(1− cos2(α)) cos2(α) = sen2(α) · ( 1z }| { sen2(α) + cos2(α) − cos2(α)) cos2(α) = sen2(α) · sen2(α) cos2(α) = = tg2(α) · sen2(α) 2. Sabiendo que tg(x2 ) = 1 2 calcular sen(x). Solución: Como vimos, utilizando la expresión de la tangente del ángulo doble tenemos:: tg(x) = tg(2 x 2 ) = 2tg(x2 ) 1− tg2(x2 ) = 2 ∗ 12 1− (12)2 = 4 3 Ahora bien, conocemos tg(x) pero nos piden sen(x). Este caso es típico, para ello partiremos de la relación fundamental: sen2(α) + cos2(α) = 1⇒ sen 2(x) sen2(x) + cos2(x) sen2(x) = 1 sen2(x) 1 + 1 tg2(x) = 1 sen2(x) ⇒ 1 + 1 (4/3)2 = 1 sen2(x) sen2(x) = 16 25 ⇒ sen(x) = ±4 5 Notar que tenemos dos valores (uno positivo y otro negativo) ya que la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante, pero no así en seno. 3. Conocidos los tres ángulos de un triángulo es posible resolver el triángulo? Solución: La respuesta a esta cuestión es negativa, ya que existen infinitos triángulos semejantes a uno dado con idénticos ángulos. 2 Lo que si sabremos es que los lados de todos ellos serán proporcionales. 4. Los lados de un triángulo miden respectivamente 13, 14 y 15 cm. Hallar sus ángulos así como es área del triángulo. Solución: A partir de los datos del problema debemos encontrar los valores de los ángulos. Como nos dan sus tres lados podemos aplicar el teorema del coseno, de donde: c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) 152 = 132 + 142 − 2 ∗ 13 ∗ 14 ∗ cos(C) cos(C) = 132 + 142 − 152 2 ∗ 13 ∗ 14 ⇒ C = arccos(0.3846) = 1.176 rad. Análogamente: a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)⇒ cos(A) = 15 2 + 132 − 142 2 ∗ 13 ∗ 15 A = arccos(0.508) = 1.038 rad Utilizando que la suma de los ángulos ha de ser π rad, tenemos: B = π − 1.038− 1.176 = 0.927 Por otro lado para calcular el área debemos notar que, por ejemplo: sen(A) = h 13 ⇒ h = 13 ∗ sin(1.038) = 11.198 de donde: area = base · altura 2 = 15 ∗ 11.198 2 = 83.985 cm2 5 12. Resolver, si es posible, los siguientes triángulos: a) a = 100cm,B = 470, C = 630 (sol :b = 77.82cm, c = 94.81cm,A = 700) b) A = π/3, B = π/2, C = π/6 (sol: Infinitos triángulos) c) a = 25 cm, b = 30cm, c = 40cm (sol: A = 0.67rad,B = 0.85rad,C = 1.62rad) d) b = 6cm, c = 8 cm, C = 570 (sol :a = 9.48cm,A = 84.030, B = 38.970) donde: 13. Sean A y B los ángulos no rectos de un triángulo rectángulo. Probar que: (a) sen2(A) + sen2(B) = 1 (b) tg(A) · tg(B) = 1 14. Sean A, B y C los ángulos de un triángulo cualesquiera. Probar que (a) sen(A) = sen(B + C) (b) cos(A) + cos(B +C) = 0 15. Los lados de un paralelogramo miden 6 y 8 cm respectivamente y forman un ángulo de 0.5 rad. Calcular la medida de sus diagonales (sol: 13.46 cm y 4.31 cm). 16. Se desea calcular la distancia entre dos puntos A y B de un terreno llano que no son accesibles. Para ello, se toman dos puntos accesibles del terreno C y D y se determinar las distancias y ángulos siguientes: CD = 300m α = ACD = 850 β = BDC = 750 α0 = BCD = 40 β0 = ADC = 350 Calcular la distancia de A a B (sol:227.7 m) 4.1. TEMA 4.5 COMPLEJOS 1 4.1 Tema 4.5 Complejos Ejemplo: Efectúa i 3+i , 1+i 7 1−i y 1+3i−i(2−i) 1+3i i 3 + i = i 3 + i 3− i 3− i = 3i− i2 32 − i2 = 3i− (−1) 9− (−1) = 3i+ 1 9 + 1 = 1 10 + 3 10 i Observemos que: i0 = 1, i = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i, i6 = −1, i7 = −i, . . . 1 + i7 1− i = 1− i 1− i = 1 1 + 3i− i (2− i) 1 + 3i = 1 + 3i− 2i+ i2 1 + 3i = 1 + i− 1 1 + 3i = i 1 + 3i = = i 1 + 3i 1− 3i 1− 3i = i− 3i2 12 − 32i2 = i+ 3 1 + 9 = 3 10 + i 1 10 Ejemplo: Resuelve la ecuación x2 − 2x+ 2 = 0 x = 2±√22 − 4 · 2 · 1 2 · 1 = 2±√4− 8 2 = 2±√−4 2 = 2±√−1√4 2 = = 2 ¡ 1±√−1¢ 2 = 1±√−1 = 1± i Ejemplo: Comprueba que la suma z + 1 z nunca puede ser imaginario puro, salvo que z también lo sea. Sea z = x+ iy ⇒ 1 z = x x2 + y2 − y x2 + y2 i z + 1 z = x+ iy + x x2 + y2 − y x2 + y2 i = x+ x x2 + y2 + i µ y − y x2 + y2 ¶ para que sea imaginario puro, tiene que ser: x+ x x2 + y2 = 0 = x µ 1 + 1 x2 + y2 ¶ ⇔ x = 0 Ejemplo: ¿Qué condiciones tiene que cumplir z para que z + 1 z sea real? z + 1 z = x+ iy + x x2 + y2 − y x2 + y2 i = x+ x x2 + y2 + i µ y − y x2 + y2 ¶ 2 para que sea un número real, tiene que verificar: y − y x2 + y2 = 0 = y µ 1− 1 x2 + y2 ¶ ⇒  y = 01− 1 x2 + y2 = 0⇒ 1 = x2 + y2 o z es un número real o bien su afijo se encuentra sobre la circunferencia unidad de centro (0, 0). Ejemplo: Dado el polinomio x2 + 3x + 1 = p(x), demuestra que p(z) = p(z) cualesquiera que sean los z para los que p(z) ∈ R Sea z = a + bi, por las propiedades de la conjugación, sabemos que p(z) = p(z) = p (z) ⇔ p (z) ∈ R, luego, (a+ bi)2 + 3 (a+ bi) + 1 ∈ R a2 − b2 + 2abi+ 3a+ 3bi+ 1 ∈ R⇔2ab+ 3b = 0 Ejemplo: Calcula el producto i · i2 · i3 · · · · · i100 y la suma i+ i2 + i3 + · · ·+ i100. i · i2 · i3 · · · · · i100 = i1+2+···+100 = i5050 = i2+4·1262 = i2 · ¡i4¢1262 = i2 = 1 i+ i2 + i3 + · · ·+ i100 = i · i 100 − i i− 1 = i− i i− 1 = 0 Ejemplo: Representa en el plano complejo los números que verifican: 1. z + z = 1 2 2. z − z = 1 2 i Solución.- 1. z + z = 1 2 ⇒ x+ iy + x− iy = 2x = 1 2 ⇔ x = 1 4 2. z − z = 1 2 i⇒ x+ iy − (x− iy) = 2yi = 1 2 i⇔ y = 1 4 Ejemplo: Describe el conjunto de puntos z tal que: 1. Re (z) = 0; Re (z) > 0; |z| = 1; |z| > 1; Im (z) = 1; Im (z) < 1; 1 < |z| < 2. 2. |z − 1| = 2; |z − 1| < 2; |z − 1| = |z + 1| 3. |Re (z)|+ |Im (z)| = 1; |z − 2| = Re (z) + 2; |z − 5|− |z + 5| = 6; |z − 3|+ |z + 3| = 8 Solución.- 1. Si z = x + iy ⇒ Re (z) = x = 0 que representa una recta, el eje de ordenadas; Re (z) = x > 0 es un semiplano.|z| =px2 + y2 = 1 ⇒ x2 + y2 = 1 circunferencia de centro (0, 0) y radio 1.1 < |z| < 2 es una corona circular de radios 1 y 2 respectivamente. 4.1. TEMA 4.5 COMPLEJOS 5 y multiplicando sinx sin 2x = eix − e−ix 2i ei2x − e−i2x 2i = 1 −4 ¡ e3ix − e−ix − eix + e−3ix¢ = = 1 −4 £¡ e3ix + e−3ix ¢− ¡eix + e−ix¢¤ = −1 2 · (e3ix + e−3ix) 2 − (e ix + e−ix) 2 ¸ = = −1 2 [cos 3x− cosx] Ejercicios Ejemplo: Hallar z = (1+i) 100 ( √ 1−i)50 z = (1 + i)100¡√ 1− i¢50 = z = (1 + i) 100 (1− i)25 Pasamos los número complejos a su forma polar z0 = 1 + i⇒ ½ arg (z0) = arctan 1 1 = π 4 |z0| = √ 12 + 12 = √ 2 ¾ ⇒ z0 = √ 2π 4 ⇒ z1000 = √ 2 100 100π 4 = 25025π z1 = 1− i⇒ ( arg (z0) = arctan −1 1 = −1 4 π |z1| = q 12 + (−1)2 = √2 ) ⇒ z1 = √ 2−π 4 ⇒ z1000 = √ 2 25 −25π 4 z = 25025π√ 2 25 −25π 4 = √ 2 75 75π 4 = √ 2 75 3π 4 = 237 √ 2 µ cos 3π 4 + i sin 3π 4 ¶ = 237 √ 2 (−1 + i) Ejemplo: Calcular f (n) = ³ 1+i√ 2 ´n + ³ 1−i√ 2 ´n para n = 1, 2, 3, 4 y probar que f (n+ 4) = −f (n) (n > 0 entero) f (n) = µ 1 + i√ 2 ¶n + µ 1− i√ 2 ¶n = ¡ e π 4 i ¢n + ¡ e− π 4 i ¢n = e nπ 4 i + e− nπ 4 i = = cos ³nπ 4 ´ + i sin ³nπ 4 ´ + cos ³ −nπ 4 ´ + i sin ³ −nπ 4 ´ = = cos ³nπ 4 ´ + i sin ³nπ 4 ´ + cos ³nπ 4 ´ − i sin ³nπ 4 ´ = 2 cos ³nπ 4 ´ de donde f (1) = 2 cos ³π 4 ´ = 2 √ 2 2 = √ 2 f (2) = 2 cos µ 2π 4 ¶ = 0 f (3) = 2 cos µ 3π 4 ¶ = −√2 6 f (4) = 2 cos µ 4π 4 ¶ = −2 f (n+ 4) = 2 cos µ (n+ 4)π 4 ¶ = 2cos ³nπ 4 + π ´ = −2 cos nπ 4 = f (n) Ejemplo: Girar 45o el vector z = 3 + 4i y extenderlo el doble. Girar una figura o un vector 45o, equivale a multiplicarlo por el número complejo z = 145o = 1π 4 = cos π 4 + i sin π 4 = 1 2 √ 2 + 1 2 i √ 2 y para extenderlo el doble basta con multiplicar por 2. (3 + 4i) µ 1 2 √ 2 + 1 2 i √ 2 ¶ 2 = − √ 2 + 7i √ 2 Ejemplo: Calcular la suma cos a+ cos 2a+ cos 3a+ · · ·+ cosna Consideramos z = cos a+ cos 2a+ cos 3a+ · · ·+ cosna+ i (sin a+ sin 2a+ · · ·+ sinna) = = cos a+ i sin a+ cos 2a+ i sin 2a+ · · ·+ cosna+ i sinna = = eia + ei2a + · · ·+ eina = ½ suma de n términos de una progresión geométrica ¾ = einaeia − eia eia − 1 = = eia eina − 1 eia − 1 = e ia cosna+ i sinna− 1 cos a+ i sin a− 1 = e ia−1 + cosna+ i sinna −1 + cos a+ i sin a = = eia − sin2 na 2 + i2 sin na 2 cos na 2 − sin2 a 2 + i2 sin a 2 cos a 2 = eia sin na 2 sin a 2 · − sin na 2 + i2 cos na 2 − sin a 2 + i2 cos a 2 = = eia sin na 2 sin a 2 · −i sin na 2 + i22 cos na 2 −i sin a 2 + i22 cos a 2 = eia sin na 2 sin a 2 · − sin na 2 − 2 cos na 2 − sin a 2 − 2 cos a 2 = = eia sin na 2 sin a 2 · ei(na2 −a2) = sin na 2 sin a 2 · ei(na2 +a2) = sin na 2 sin a 2 · ei (n+1)a2 = = sin na 2 sin a 2 · µ cos n+ 1 2 a+ i sin n+ 1 2 a ¶ de donde, igualando la parte real y la imaginaria, tendremos: cos a+ cos 2a+ cos 3a+ · · ·+ cosna = sin na 2 sin a 2 · cos n+ 1 2 a sin a+ sin 2a+ sin 3a+ · · ·+ sinna = sin na 2 sin a 2 · sin n+ 1 2 a Ejercicio: Demostrar las fórmulas de Moivre: 1 + cos 2π n + cos 4π n + · · ·+ cos 2 (n− 1)π n = 0 sin 2π n + sin 4π n + · · ·+ sin 2 (n− 1)π n = 0 4.1. TEMA 4.5 COMPLEJOS 7 Ejercicio: Hallar las raices de la ecuación (1 + i) z3 − 2i = 0 Ejercicio: Escribir en forma binómica e √ i. Ejercicio: Resolver la ecuación z4 − 16 = 0. Ejercicio: Resolver la ecuación z4 + 16 = 0. Ejercicio: Resolver la ecución (z + 1)3 + i (z − 1)3 = 0.