Ejercicios resueltos de estaditica I primer parcial, Ejercicios de Administración de Empresas

¡Descarga Ejercicios resueltos de estaditica I primer parcial y más Ejercicios en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity! RELACIÓN N? 2: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL. CORRELACIÓN PROBLEMA N'? 1 Se ha encuestado a 100 familias en una ciudad sobre su gasto mensual en ocio (Y), y sus ingresos mensuales (X). En la siguiente tabla se presentan los resultados obtenidos, donde la variable X viene expresada en miles de unidades monetarias, y la variable Y en unidades monetarias. ingresos mensuales gasto mensual en ocio (Y) (9 0-2000 | 2000-8000 [ 8000-20000 [ 20000-80000 60-100 4 1 1 - 100-150 9 8 3 - 150-200 9 12 20 3 200-300 5 8 12 3 300-500 1 1 - - Se pide: a) Obtenga el ingreso mensual medio de estas 100 familias. b) Calcule el índice de Gini de la distribución de ingresos de las familias cuyo gasto en ocio es superior a las 8.000 unidades monetarias. c) Discuta cuál de las dos distribuciones marginales es más homogénea. d) Razone si X e Y son independientes estadísticamente. e) Obtenga qué valores determinan el gasto en ocio del 50% central de las familias cuyos ingresos no superan las 200.000 unidades monetarias. SOLUCIÓN: X : "Ingresos mensuales (en miles de u.m.) de las 100 familias" Y : "Gasto mensual (en u.m.) de las 100 familias" Yi | [0,2000] (2000,8000] | (8000,20000] | (20000,80000] Mio Xi 1000 5000 14000 50000 : [60, 100] | 80 4 1 1 0 6 (100, 150] | 125 9 8 3 0 20 (150, 200] | 175 9 2 20 3 44 (200, 300] | 250 5 8 2 3 28 (300, 500] | 400 1 1 0 0 2 Dj 28 30 36 6 100 a) yc) Xi | Mi | XiMje Xi Ni» =_ Y Xi _ 18480 _ . 30 6 480 38400 x= N 00 =184,8 miles de u.m. 125| 20| 2500 | 312500 , en. , 3768400 , 175| 44 | 7700 | 1347500 S.= Line x= oo 848 =3532,96 250 | 28 | 7000 | 1750000 400 2 800 | 320000 S, =/3532,96 =59,4387 miles de um. 100 | 18480 | 3768400 _59,4387 cv, 24887 03216 Xx 184,8 x RELACIÓN N? 2: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL. CORRELACIÓN Yi Dj | yy y My 1000 | 28 | 28000 28000000 5000 | 30 | 150000 750000000 14000 | 36 | 504000 | 7056000000 50000 6 | 300000 | 15000000000 100 | 982000 | 22834000000 Y yo, _ 982000 y= N =9820 u.m. s?= 2 yin — y? 22834000000 _ 0820? 131907600 N 100 S, =131907600 =11485,1034 u.m. _5, _ 11485,1034 y Cv, = =1,1696 9820 Como CV, < CV, la distribución marginal de X más homogénea que la de Y. b) ¿ l, de (X/Y >8000) ? 4] 0] N | 2 U; Pi 4; so| 1| 1 80 80 | 0,0238 | 0,0097 125| 3| 4| 375| 455 | 0,0952 | 0,0552 175 [23 | 27 | 4025 | 4480 | 0,6429 | 0,5443 250 | 15 | 42/3750 | 8230 42 8230 0,7619 | 0,6092 r-1 2% 06092 l¿=1-E—==1-2 = 0,2004 y 0,7619 Y», i=l d) ¿X, Y independientes ? iy = ss My _ Mi My XeYindep. > fi=f. fj Vij e NN NW e Como, por ejemplo, para i=1, j=4 0700 100 las variables son dependientes. e) ¿Q, y Q, de (Y/X <200) ? y/x<200 Ci m|N [O, 2000] 2000 |22|22 (2000, 8000] | 6000 21 | 43 (8000, 20000] | 12000 | 24 | 67 (20000, 80000] | 60000 | 3 |70 70 RELACIÓN N? 2: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL. CORRELACIÓN Luego, la distribución de frecuencias absolutas conjuntas de (X,Y) es: Y 2 4 6 Me Xx 1 2 5 3 10 2 9 6 5 20 3 6 9 0 15 A; 17 20 8 N=45 La distribución de (X /Y =2) es: X/Y=2 | Mxjr=>) Fw) 1 2 2/17 2 9 9117 3 6 6/17 17 1 b) X/Y=2 n; Xx; xn, 1 2 2 2 2 9 18 36 3 6 18 54 17 38 92 . 38 Media de (X /Y =2) = 77 2,2353 Varianza de (X /Y =2) = 2.38 =0,4152 17 117 Media de (2X -1/Y =2) = 21 2-2,2353—1=3,4706 Varianza de (2X —1/Y=2) = 2?-0,4152=1,6608 RELACIÓN N? 2: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL. CORRELACIÓN PROBLEMA N? 3 Se han estudiado 50 empresas que por primera vez invertían en publicidad, observándose para cada una de ellas los beneficios obtenidos (Y) en millones de euros y el capital invertido (X) en miles de euros. Y Xx [0,20] (20,50] (30, 100] (100, 200] 2,4] 13 2 2 0 (4, 10] 0 1 10 0 (10, 15] 0 0 3 8 (15, 20] 0 0 1 10 a) ¿Cuál de las dos distribuciones resulta más homogénea en torno a su media?, ¿por qué? b) Calcular la inversión en publicidad más frecuente para las empresas cuyo beneficio se sitúa entre 50 millones y 100 millones de euros. Cc) ¿Qué volumen de inversión en publicidad delimitan el 80% central de las empresas que han obtenido un beneficio entre 50 millones y 100 millones de euros? d) ¿Son ambas variables estadísticamente independientes? €) Ajuste una recta de regresión que permita predecir los beneficios en función del capital invertido en publicidad. f) ¿Qué beneficios se esperan si se invierte en publicidad 8.000 €? 2) Estudie la bondad del ajuste. SOLUCIÓN: X : "Capital invertido en publicidad ( en miles de €)" Y : "Beneficios obtenidos (en millones de €)" [0,20] | (20,50] | (50, 100] | (100, 200] Yi Do Xx 10 35 75 150 in 2.4] 3 13 2 2 0 17 (4, 10] 7 0 1 10 0 11 (10, 15] 12,5 0 0 3 8 11 (15, 20] 17,5 0 0 1 10 11 ny 13 3 16 18 50 RELACIÓN N? 2: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL. CORRELACIÓN a) Para estudiar la homogeneidad de las distribuciones calculamos los coeficientes de variación marginales de X y de Y: Xi | Mi | XiMj Xi Mio x= 2 Hilti» - 458 =9,16 miles de € 3 |) 51 | 153 NN, 5% 7 1111 77 | 539 52 2 2 57195 016 31.6844 12,55 | 11 | 137,5 | 1718,75 N 50 17,5 | 11 | 192,5 | 3368,75 S, = 4/31,6844 = 5,6289 miles de € 50| 458 | 57795 S. 56280 cv, =%=20%%2 0,6145 x 916 Y ym, 4135 5 <l mi na ym vias N o =82,7 millones de € 10 | 13 | 130 1300 > 35 3 105 3675 y y PD 827? 3160.21 75 | 16 | 1200 90000 Ny 50 150 | 18 | 2700 | 405000_| 5 =./3160,21=56,2157 millones de € so_| 4135 | 499975 $ ev, = 3 562157 _ 0.6798 5 827 Como CV, < CV, la distribución marginal de X es un poco más homogénea que la de Y. b) Nos piden la MODA de la distribución condicionada (X /Y e (50, 100]) x/ ye (50,100] | n; | ci | hi=n/c; | Ni" [2, 4] 2|2 1 2 Intervalo modal = [4, 10) (4, 10] 10|6| 1,67 | 12 mo= 241 _3 mil € (10, 15] 3|15| 06 | 15 (15, 20] 1|5/ 02 |16 16 e) Seguimos con la variable (X /Y e (50, 100)) 10% , 80% , 10% , 2 Pio Pso 20 ¿Pro? 1%) Calculamos EN = 10N = 10-16 =1.56 ga 100 100 RELACIÓN N? 2: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL. CORRELACIÓN PROBLEMA N* 4 En una determinada región se observó el precio del trigo (en €/kg) y la cantidad producida (en miles de toneladas) durante algunos años, obteniéndose la siguiente tabla: Precio | 35 31 42 60 52 49 61 50 55 58 Cantidad | 100 140 120 110 200 200 110 160 160 200 Se pide: a) Con un precio de 50 €, ¿cuál sería la cantidad de producción esperada? ¿qué fiabilidad presenta dicha predicción? b) ¿En cuánto se incrementaría la producción si el precio aumentase en 2 €/Kg. c) Exprese la varianza total como descomposición de varianza no explicada y varianza explicada. SOLUCIÓN: a) Llamemos X : Precio del trigo (€/kg); Y: Cantidad producida (miles de toneladas) Para estimar Y dado que X=50 necesitamos la recta de regresión de Y sobre X. Xi i xi i XiYi 35 | 100 | 1225 | 10000 | 3500 31 | 140 | 961 19600 | 4340 42 | 120 | 1764 | 14400 | 5040 60 | 110 | 3600 | 12100 | 6600 52 | 200 | 2704 | 40000 | 10400 49 | 200 | 2401 | 40000 | 9800 61 | 110 | 3721 | 12100 | 6710 50 | 160 | 2500 | 25600 | 8000 55 | 160 | 3025 | 25600 | 8800 58 | 200 | 3364 | 40000 | 11600 493 | 1500 | 25265 | 239400 | 74790 12-93 493€1kg y 22% 50 150.7. N 10 N 10 Si= QA yo 25265 -49,3? = Si= 2 y 240 150 > N 10 N 10 =2526,5— 2430,49 =96,01(€/kg)” = 23940 — 22500 =1440 (m.T.y? 5, =/96,01 =9,7985 € / kg 5, = /1440 =37.9473 m.T. __ 74790 —49,3-150=7479 —7395=84 (€ /kg)-(m.T.) -x- = S,= DIA N RELACIÓN N? 2: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL. CORRELACIÓN Como S,, >0 hay correlación positiva entre las dos variables. Sa - 84 Recta de regresión de Y sobre X: =y= —x); -150= gresi IY GR =D; y 96.05 Y .! (149.5) 84 Para x=50€/kg > y*(50)=150+ 2 y (50) 96.01 (50-49,3) =150+0,6124 =150,6124 m.T. Fiabilidad de la predicción: So 84 S,-S, 9,7985-37,9473 x r= =0,2259 => Muy poca fiabilidad. S 9. pp 34 b) SiAr=2, Ay=b:Ax="%.Ax= s 96,01 :2=1,75 La producción se incrementaría en 1,75 miles de toneladas. c) Descomposición de la varianza total: VIT =VE+VNE > Si=8S7,+8S7 Ss Por definición: R?= + =2 = (0,2259) =0,051= VE z => VE=73,44 s 1440 VNE =VT — VE =1440— 73,44 =1366,56 Así pues: V. TOTAL (1440) = V. EXPLICADA (73,44) + V. NO EXPLICADA (1366,56) El porcentaje de participación de la varianza explicada y de la no explicada en la varianza total es respectivamente: 7344 109= 51% y 1366,56 -100 =94,9 % 1440 RELACIÓN N? 2: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL. CORRELACIÓN PROBLEMA N? 5 A partir de un conjunto de datos sobre una variable estadística bidimensional, se ha calculado la recta de regresión de X sobre Y, obteniéndose los siguientes resultados: X=2Y-18; R*=09 Y=19 Obtener, por deducción lógica, la recta de regresión de Y sobre X. SOLUCIÓN Datos: Recta de regresión de X sobre Y: x=2y-18 Coeficiente de determinación: R? =0,9 Media marginal de Y: y=19 Objetivo: obtener la recta de regresión de Y sobre X. y Sabemos que la ecuación de esta recta es: y=Y= lxa—X); ¿Xx? ¿b=2=2? Ss ces? x Como la recta de regresión de X sobre Y (4/y) pasa por el punto (x, y), para y= y =19 será x=x=2-19-18=20. A ua ua Sabemos que R? =%5==2.2 =b.b'=09. Ss 2=2, 09=b-2 => b=22 045. En consecuencia, la recta de regresión de Y sobre X es: y-19=0,45(x-20) + y=19+0,45x-0,45:-20 + y=10+0,45x RELACIÓN N? 2: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL. CORRELACIÓN PROBLEMA N? 8 En un grupo de 100 empresas se ha estudiado el “ingreso mensual” y el “consumo mensual de electricidad”, obteniéndose los siguientes datos: Electricidad ( miles de €) 15-25 25-50 50-75 75-100 Ingresos (miles de €) 100, 150 4 2 2 - 150, 200 3 8 5 4 200, 300 2 10 10 20 300, 400 - 6 10 14 Se pide: a) Calcular el ingreso medio mensual y el consumo medio mensual de las empresas consideradas en el estudio. Estudiar la representatividad de ambas medias. b) c) electricidad más común. d) Calcular la covarianza, ¿son las variables dependientes? Entre las empresas con un ingreso inferior a 200 mil euros, obtener el gasto en Obtener la recta de regresión que relacione el consumo en electricidad en función de los ingresos. Si una empresa tiene unos ingresos de 175.000€ ¿qué gasto en electricidad se espera que tenga según la recta de regresión anterior? e) Discutir la bondad del ajuste anterior, indicando la parte de varianza de la variable “consumo mensual de electricidad” que no es explicado por la regresión. SOLUCIÓN: X : “Ingreso mensual de 100 empresas (en miles de €)” Y : “Consumo mensual de electricidad (en miles de €)” Intervalos | [15-25] — (25-50] (50-751 (75-100] y 20 37,5 62,5 87,5 Intervalos Xi Mi» [100, 150] | 125 4 2 2 - 8 (150, 200] | 175 3 8 5 4 20 (200, 300] | 250 2 10 10 20 42 (300, 400] | 350 - 6 10 14 30 My 9 26 27 38 100 ¿EX Y, S, S,, CV,, CV, ? Xi Mie XiMje Xi Mio x= Zi 25500 _ 255 miles de € 125| 8 | 1000 | 125000 N 100 175| 20 | 3500 | 612500 > NM 2 7037500 o 250 42 | 10500 | 2625000 1 0 3501 30 1050013675000 5 =./5350=73,14 miles de € N=100 | 25500 | 7037500 Ss 714 Cv, == - 0,2868 x 255 RELACIÓN N? 2: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL. CORRELACIÓN y= Y 81675 _ 61,675 miles de € N 100 Yi Dj Yi Yi My 20 9 180 3600 y > 36568.75 M, 375 | 26 | 975 | 365625 | g2_2WYWtu_ 72 48056875 ¿1 67152 561,882 62,5 27 1687,5 | 105468,75 N 100 87,5 | 38 | 3325 | 299375 | s =./561,882 =23,704 miles de € 100 [6167.5 | 436568,75 Como CV, < CV, la distribución de X está menos dispersa que la de Y y por tanto la media de X es más representativa que la media de Y. b) ¿Sy? ZE 1 Si = 2 MX Y = 7125 -20-44125-37,5-2+4...+350-62,5-10+350-87,5-14)-255-61,675 = N 100 L0S76873 15707125=649,75 (miles de € 100 20 37,5 62,5 87,5 54 2.2 - 10000 9375 15625 - 35000 17153 8 5 4 | => |10500 52500 54687,5 61250 | | 178937,5 25012 10 10 20 10000 93750 156250 437500 | 697500 350|- 6 10 14 - 78750 218750 428750| | 726250 1637687,5 Como S,, 40, las variables X e Y son dependientes ( X, Y indep. S,, =0) Otra manera de comprobar la dependencia: My NN, X eY indep. e So f, Vij eo L=T. , bib ? N NN Como, por ejemplo, para i=1, j=4 es 0% 1 las variables son dependientes. RELACIÓN N? 2: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL. CORRELACIÓN c) Nos piden la moda de la distribución de Y condicionado por x<200. Interv Yi | c |n/x<200 | hi Intervalo modal = [15, 25] [15,25] [20 [10 7 0,7 ba (25,501 |1375|25| 10 [04 Moa A (50,75] [62,5 | 25 7 0,28 a (75, 100] | 87,5 | 25 4 0,16 =15+ 24 10225 +0, El gasto en electricidad más común en empresas con un ingreso inferior a 200 mil euros es de 25 mil euros. d) Recta de regresión de Y sobre X: - Sy _ y-F=< (+-x) 2 x Sustituyendo: y=61,675= 649,75 5350 (x-255) Despejando: y =30,71+0,1214x El gasto en electricidad para x=175 mil euros será: $175) =30,71+0,1214-175=51,96 miles de euros . . 2 649,75" e) La bondad del ajuste se mide con R* == =_—— =0,14 SiS; 5350:561,882 Ajuste bastante malo. Descomposición de la varianza total: VI =VE+VNE + Si=S%.+S/ eo pa VES Por definición: R“= = > 0,14 > VE=78,66 vrs 7 561.882