Ejercicios resueltos matemáticas, Ejercicios de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

¡Descarga Ejercicios resueltos matemáticas y más Ejercicios en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity! Unidad 1. Álgebra de matrices Matemáticas | Resuelve Página 33 Vuelos internacionales = Aquí tienes ahora, representados mediante flechas, los vuelos que permiten viajar el martes desde el país B anterior hasta otro país C: B Cc Representa, mediante una tabla similar a la anteriormente descrita, la información recogida en el diagrama de vuelos entre los países B y C. B| C B| 3|2 B| 1|0 Bl1|0 B| 0|2 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | A Nomenclatura. Definiciones Página 35 1 Escribe las matrices traspuestas de: 31 135-1 A=(2 5 A C=[024 1 410 76 610 3 41 a 174 Dl i> E=[7 10 F=(5 46 1) 632 403 [1 06) 4 327 pr ca ce 321| 156) y cs 40P 7 113 [5 7206 174 4 D'= £21ap E'=17 0) F'= 6 1072 403 2 Escribe una matriz X tal que X= X; esto es, que sea simétrica. 1.2 -1 230) 104 Por ejemplo, X= 3 Escribe una matriz que describa lo siguiente: === 0 id O) y == D====" O O 21000| 01020 00110 00000 00012 loo0010 INTERES INNINSADAS E Matrices cuadradas Página 43 1 Calcula, utilizando el método de Gauss, la inversa de cada una de las siguientes matrices en el supuesto de que la tengan: 1 2 Ma -á alo 1) »(5 7 AD (2 23) do) > BID (13 0 BD (13 3 BBD (26) 4) ola 1 Así, ( a e) 9 2d :) > (o sl :) En la parte de la izquierda, la 2.1 fila está compuesta por ceros. 2 2-4 Así, ( Por tanto, la matriz ( ) no tiene inversa. 2 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices o averigua que no la tiene: 123 123 113 af456 bro 12 [121 789 124 200 un 1 3100 12 3/1 00 a 4 coto] 03 6410] 789/1001 0-6 -12|-7 0 1 12 3/1 00 0-3 -6/-4 1 o] 0.0 0|1 21 En la parte de la izquierda, la 3.1 fila está compuesta por ceros. 123 Por tanto, la matriz : S s) no tiene inversa. 789 1 b) [0 0 00 ano oo. oro =o2 “Y —— oo. o. AS Lo. oro “oo “Y Oro nono NO TER EOS Matemáticas |l 113/1100 11 3|100 ol121010) 01210) 200/0001 0-2 61-201 11.31.00 1.1311 0 0 032110] 03501 3 1] 00-10-42 1 0.0 1/2/5 -1/5 -1/10 1.1 0|-1/5 3/5 3/5 pps 0. 0 2/5 0.1.0 /-1/5 3/5 us) fosos 3/5 cvs) 0.0 1|2/5 -1/5 -1/10 0.0 1|2/5 -1/5 -1/10 113 0 2/5 12 - = ys 3/5 as] 200 2/5 -1/5 -1/10 Página 45 27 4 - 10 15 40 3 Para las matrices A= , B= , C= 11 comprueba: a) A-(B+C)=(4- B) +(4-C) b) (4+B)- C=(4-C)+(B.C) c)A-(B.C)=(4-B).C o e A (2 5) Y ABLA Jar 10 amacal, (0 (a Pee 315 741 10 b) 4+8-C (e cp 0- Lo ¿) 1 4.0+B.0o| y ) 15 3) lao ¿) A-(B+C)=(4-B)+(4-C) (4+B)-C=(4-C)+(B-C) lis A-(B-C)=(4:B).C ) A(B+C)=4 (; elos 5) ie (4-B)- col, 26 e 107 » 30 0.6 4 Scan A= (7 2) y 8=[; 2) Encuentra X que cumpla: 3.X-2.4=5-B, (o 2) (s a] ($ 2) 3X=5B+24= + - > X- E 10 ) 5 15) 110 2) 115 -17 5 17/13 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | 5 Encuentra dos matrices, A y B, de dimensión 2 x 2 que cumplan: 24 B=(, s) A a=[. o) +*2=20 2H 0 24 3-[) 5) +20 Samando: 34 (os) a- (07) 1 sumando: = 3 o > = 10 6 Encuentra dos matrices X e Y que verifiquen: 2X are, 5 Xx rl 0 _ “(4 3) _ > e) lo lo 2X -3Y = 42 2X-3Y= 42 xr e) arar, Ha 6) | 2 A 6 a -10 10 335 -4 5 x-[, e) y a 1) fs 35 Solución: X= ( 5 Y ye 2 10) Sumando: — '7 Averigua cómo ha de ser una matriz X que cumpla la siguiente condición: x l ») l 3) x “o 1/0 1)” sf) (6) X=X+Z Sn == = ES >= 7 = = mn o+ a Re si > x+y=y+t| x=t 2=2 z+t=f z=0 x Solución: X= ( 0 », donde x e y son números reales cualesquiera. x AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | E Complementos teóricos para el estudio de matrices Página 46 1 Considera ú(7,4,-2), v(5,0, 6), w(4,6,-3), a=8, b=-5, elementos de ¡R3 y de IR. Comprueba las ocho propiedades que se enumeran arriba. > Asociativa: (4 + V)+ w =u+(v + w) (5 + v) + w =(12, 4,4) + w =(16, 10, 1) U + (Y + w)= ú +0, 6, 3) = (16, 10, 1) + Conmutativa: U + V=V+Uu U+v=(12,44)=v+u > Vector nulo: v+0=v v+0 =(5,0,6) +(0,0,0)=(5,0,6)= v + Vector opuesto: + E Y) =0 y + (2v)= (5, 0, 6) + (55, 0,6) = (0, 0, 0) > Asociativa: (a- b). Y =a-(b. v) (a- 0) - y =(8- 55) -(5, 0,6) =-40- (5, 0, 6) = (200, 0, 240) a-(b. v)=8-+[5-(5, 0, 6)] = 8 - (25, 0, -30) = (200, 0, -240) + Distributiva E: (a+ b)-v =a- v +b.v (a+ b)- Y =3-(5, 0,6) = (15, 0, 18) av +b.v=8-(5,0,6)-5-(5, 0, 6) = (40, 0, 48) - (25, 0, 30) = (15, 0, 18) * Distributiva Il. a- G + Y) =a- ura Y a-(ú + v)=8- (12,4, 4) = (96, 32, 32) a. ú ra: v =8-(7,4,-2) +8- (5,0, 6) = (56, 32, -16) + (40, 0, 48) = (96, 32, 32) > Producto por l: 1 + Y =Y% 1. v =1-(5,0,6) =(5,0,6)= y Página 48 Comprueba si los siguientes conjuntos de 2-uplas son L.I. o L. D. 2 (3, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (3, 2, 1, 4) Aplicamos la propiedad fundamental: x(3, 0,0, 0) + y(0, 2, 0, 0) + (0, 0, 1, 0) + 1(3, 2, 1, 4) = (0, 0, 0, 0) Esta igualdad da lugar al siguiente sistema de ecuaciones: 3x+ 3t=0 2y+ 21=0 . sus soluciones son: x=0, y=0, 2=0, £=0 z+ t=0 4t=0 Por tanto, los vectores son L.!., pues la única combinación lineal de ellos que da lugar al vector cero es la que se obtiene con coeficientes todos nulos. AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | 3 (3, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 0), (0, O, 1, 0), (3, 2, 1, 0) Aplicamos la propiedad fundamental: x(3, 0, 0, 0) + y(0, 2, 0, 0) + (0, 0, 1, 0) + 1(3, 2, 1, 0) = (0, 0, 0, 0) Esta igualdad da lugar al siguiente sistema de ecuaciones: 3x+ 31=0 2y+ 2f=0j sus soluciones son: x=-—A y=-—A, z=2, t=k z+ t=0 Como hay soluciones distintas de la solución trivial, los vectores son L.D. 4 (2, -4,7), (1, 0, 2), (0, 1, 2) Aplicamos la propiedad fundamental: x(2,-4,7) + y(1, 0, 2) + (0, 1, 2) = (0, 0, 0) Operando, llegamos a: Qx+y-4x+z 7x+ 2y +22) = (0, 0, 0) Esta igualdad da lugar al sistema: 2r+ y =0 Láx+ 2=0 7x+2y+22=0 Este sistema tiene como solución única x= 0, y=0, z= 0. Por tanto, los vectores son linealmente independientes. 5 (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 0) Explica por qué si en un conjunto de vectores está el vector cero, entonces son L.D. + Aplicamos la propiedad fundamental: x(1, 0, 0) + y(L, 1, 0) + (0, O, 0) = (0, O, 0) Si hacemos x= 0, y=0, z puede tomar cualquier valor, por tanto, los vectores son linealmente de- y q pendientes. + Sien un conjunto de vectores uy, Uu), ..., U, está el vector cero, podemos conseguir una combina- ción lineal de ellos: x Uy =x9 074.0. +x, 10,1 +x,0 =(0,0,0, ..., 0) en la que x¡=x,=...=x,_1=0 y x, 0. Como no todos los coeficientes son nulos, los vectores son linealmente dependientes. INTERES AANAYAIAO 16| Rango de una matriz Página 50 1 Calcula el rango de las siguientes matrices: 114-1 13 1 1203 100.2 1-1 > A ZO 02-112 a 3 2 a -1 : 5 3 1 :) D= 11320 220 1 10 -8 2.15-1 08794 14-1 14 1 - 13 >) 0 7 3 0 1 72) >oran(A) = 3 220 0-6 :) 0 Zo 0 13 -1 1.3 -1 1.3 -1 B=|2 -—1 ,] 0 7 ,) 0 7 7) > ran(B)=2 1 10 -8 07 7, 0.0 7 1-20-3 1203 00] 1.31 .) 0.1 1 ») > mn(C)=2 2.15-1 0555 o o o : 1.0.2 1-1 10.2 1-1 02-112 02-112 P=li11320 01.5. 3-1 0.8794 08794 10.2 1-1 10 2 a 02-11 2 02-11 2 00-115 4 50) 00-115 4] 9 7(D)=3 00.11 5 -4 00.0. 0.0 NO TER EOS Matemáticas |l Página 54 9. Despejar una matriz multiplicando por las inversas de otras dos 1-1 4 1 Hazlo tú. Halla la matriz X que verifica AXB=A+B siendo A= l 1 ) y B= E o) Multiplicamos en los dos miembros de la ecuación AXB=A + B por A7! ala izquierda y por B7! ala derecha: AXB=A+B > X=A7UA+ B)B" =(ATA+ATLUB)BA =(1+ AUB)BA =BU + ABBA => X=B"+ 47 1 E E lo 1) Ho 1) Hao) Hr 4) lr 4 Ho 11 5 10. Ecuación matricial: sacar factor común 4 1-1 3 1 11 Hazlo tú. Dadas las matrices A = ( ) B ( ) C= ( ) halla la matriz X que verifica: 0 1 -11 10 AX-A=B-C AX-A=B-C > A(X-I1)=B-C Multiplicamos en los dos miembros por 47! a la izquierda: X-I=A"UB-C) > X=I+ A" (B-C) A) re EA 11. Potencia de una matriz 11 Hazlo tú. Dada la matriz A= fi 1 o e) caia) s) 0 ze) 12. Rango de una matriz ) calcula A”. da Hazlo tú. Estudia el rango de la siguiente matriz: 1 1 2 B=|m 1 2 1 m+1 0 sl los distintos valores de mm. [ l 1 >) l B= l on 2- a [ 1.2 [ l a 2) 0 0 m 2 0 Si m=-1 > ran(M) =2 porque las dos primeras filas son L.I. y la tercera es una fila de ceros. 2 ? 2-2m on. - Si m>=-1 > ran(M)=3 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | Ejercicios y problemas guiados Página 56 1. Matriz inversa igual a traspuesta a00 Dada la matriz A= l 1 0) calcular los valores de a y b para que la matriz inversa de A coin- 001 cida con su traspuesta. ATL=A* > AATU= AA! > 1=A4* 2a00 abo A=|1b1 0 >= [0 1] 0.01 0.01 a00 abo a a 0 A-A'= 230) 010)» ab b%+1 0 0.0 001 1 0 0-1 e a 01/100 a =1 ab b%+1 0J=[0 1 0) 0 a=+l, b=0 0. 01/1001 1?+1=1 2. Ecuación con matrices Calcular x, y, z tales que: Y) 37 x 2) ly 2) Lo 5 2 2 y r1=5 ( Dl 0? +1 AA 9 A Xx z 2 y x+jya haz Pass *Siy=2 x+22=0 , , 2.1 Pres DO x=2 2=-l;x=-2 2= *Si y=-2: x-22=0 , had Pres DO x=-2, 2=-1; x=2, 2= Soluciones: x; =2, y =2, 2, =-1 %=2p=2 2=1 322 p=2 2=-1 x4=2 J=-2 24=1 NO TER EOS Matemáticas |l 3. Ecuación matricial Determinar la matriz X_ que verifique AXA-— B=0, siendo: (2 2) 2-05) AXA-B=0 > AXA=B > X=A"BA"! Hallamos la inversa de 4: 515) HD ( |: -) HI» CITE A) X= AU BA? = e A SH 6 5) 4. Rango de una matriz y 0 la matriz nula de orden 2. Estudiar el rango de la matriz M según los valores del parámetro +t. 1.2 31 M=|[1 + 32 1 8-3t 3-2 1 [ 2.31 M=|1 £ 020 [oo] a) po] 0.0. 00 La tercera fila es L.D. de las otras dos, luego el rango no es 3. Las dos primeras filas son L.I., independientemente del valor de 2 luego ran(M) =2 para cualquier valor de +. 5. Ecuación con infinitas soluciones 8 — 9 ) hallar una matriz X tal que XAX-1 = BB. 20 Dadas las marics A= | 2) y B=( 7 XAX"=B => XA=BX U x= (0? ¡amamos = e d . loa o Ja) ax (i 9 (: o (a: 80-9d M6 7 e dJN6a-7c 6b-7d Igualando obtenemos un sistema de ecuaciones. 2a=8a4-9c 2a=8a-9c 2 2x=64-7c o 3. =b=8b-9d |? -b-8b-9d -d =6b-7d A E o ab Solución: Xara :) 31 De todas las posibles soluciones, podemos tomar 4=3 y b=1, y obtenemos X= ( ) 2 1 E Unidad 1. Álgebra de matrices INAB ACE LLL ERATO Matemáticas | 5-42 7 a) Comprueba que A?=2A-I, siendo A=| 2 -1 1 | e 7 la matriz unidad de orden 3. -4 4 1 b) Utiliza la igualdad anterior para calcular 44. a) 9-34 A =A-A=[4 3 2 | 88 -3 A?=2A4-1 10 -8 41 [1001 /9 -8 4 24-I=[4 2 2) o 1 0) 43 2 23.82) 1l001) 18 8 -3 b) Calculamos A% Af = (42? = QA-1? = QA-D)QA-1) =44?-24-24+1?= = 4Q4-1)-44+1=84-41-44+1=44-31= 5-4 2 100 20 -16 8 300 17 -16 8 =4| 2 -1 ¿alo 10). 8 -á4 so 30), 8 7 s) -4 4 -1 001 -16 16 -4 0.03) 1-16 16 7 0.3 4 1 -4-5 ) prueba que se verifica 43 + I= 0 y utiliza esta 13 4 8 Dada la siguiente matriz: A= igualdad para obtener 4*. 0.3 4Y /1.0 1 (1 5) 4 s) 13 4 1.3-3 1.0 1/0 3 41/10 0 AL 4 2 -4 Sho -1 o] 213-311 3 4) l0 0 -1 1.0 01/1001 /000 A+I=|0 -1 ooo 1 0joo o o -1/lo01/ 1000 Por tanto: > A =-1 A%=-I.A=-A A =-A-A=-A? A9=-A?.A=-4>=1 A =A ADA. AFA) =-A INTERES INNINSADAS Página 58 M Rango de una matriz 9 Estudia el rango de las matrices siguientes: 1234 n(130 A Ha 4-68 1 00 Ho Z 1 24 36 123 1030 001 D=(240 E=[0203 P=(1 00 360 0101 010 1234 1234 Al> 4-68 0.0016) > 0-2 1.30 Ba 70) >..0- 1.23 123 C= l 4 < lon l 0 o) > mn(C)=1 12 -24 36 0.00 123 123 123 p- O > mor 360 0.0-9 0.0 < F= 00 10 / > ran(E)=3 010 10 Estudia el rango de estas matrices y di, en cada caso, el número de columnas que son L.L.: 1112 213 1-3 -1 -1 11 1 1 1553 3 1-1 1-1 AUN POS C= 1111 D= 11-11 _ 3755 11 11 1.11 11.12 111 2 A= (2.35 0137] 0137] mana 1-16 2 0137) 0137) Hay 3 columnas linealmente independientes en A. 213 213 213 = 022) 0.0 7) 0.0 7) > ran(B) =2 63 2 997) 097 Hay 2 columnas linealmente independientes en B. INTERES INNINSADAS 11 1277 1.1 11 15 1.5 3 3 Ela EEE 37 375 5 1.1 11 1111 04 2 2 0422 0-4 22 ES > ran(C) =2 04 2 2 0000 Hay dos columnas linealmente independientes en C. 1.1 11 1-1 1-1 Pla 1.1 1-1 Las cuatro columnas de D son linealmente independientes. 1 2 1 1 o - 22 > ran(D)=4 0 2 ocoo.- 0 0 Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro m: 122 11 1 mms + A=|2 1 1 B=|2 -4 -m ( ) 2 2m m-1 21m 4 10 m 10 1 211 m-2 0 0 D=|0m 0 E= F=[| 0 m-1 1 m -—m 2 0 m-1 0 1 m 1-2 , 1 7 2 12 2 *A>|2 1 0 5 53) 05 -5 21 0 m-á 0 0 mel Si m=-1 > ran(A) =3 Si m=-1 > ran(A) =2 11 11 1 *B> (2-4 06m] 026 om] 24] 0-6 92 0.0 mim-6 m2m=6=0 > m=3, m=-2 Simz3 y mz=-2 > ran(B) =3 111 1 Si m= 3, la matriz transformada es | 0 -6 3) > ran(B)=2 0.0 0 1.1 1 Si m=-—2, la matriz transformada es [0 -6 o) > ran(B) =2 0.0.0 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | 1 10 15 Dadas las matrices M= ( 5) y N= E o) halla dos matrices X e Y que verifiquen estas condiciones: X-2M=3N M+N-Y=1I X-3N+2M l o) A 5) oe o) ( 2) =3N+2M= 343 ¿J+A_1 3J=l9 0) a 6)77 6 ra AA 11 16 Calcula una matriz X que conmute con la matriz A, esto es, A. X=X-A, siendo A= l :) ED) A) a+c=ad >c=0 brd=a+bj > a=d d= c+d )>c=0 x ls ] NO a 1'7 Considera las siguientes matrices: ai) 2-2.) c oz lo 2 -1 222 - 20 a) Calcula B”! por el método de Gauss. b) Halla X tal que BX-A=C. c) Determina la dimensión de una matriz M para poder calcular AMC. d) ¿Cuál debe ser la dimensión de N para que C'N sea una matriz cuadrada? )B 21/11 0] 05 2 1|1 0] 03-25 2 0/2 -11 (12 10|1 -1/2 227 20 1) es-as 0 1|-1 1/ 5 01[-1 1/05 01-11 O AL 1 b) BX-A=CY* > BX=C"+4 > X=B"(C*+4) Xx ( 12) C 0?) (7 Ha 1 lea 0J.o 2 1 O ( -1 >) ( 3 32) Ha 1) 4 als 5 1 O Arxa Mmm xa) M debe tener dimensión 3 X 3. d CiuxaNimxm = Mex) N debe tener dimensión 3 X 2. NO TER EOS Matemáticas |l 18 Sea la siguiente ecuación matricial AX- B+ C=0, donde ac g.(1 201 c- (01 21 Huop* Ha 110/41 030 a) Calcula 47! aplicando la definición. b) Resuelve la ecuación. dal 9) (0) ts) A) 4b+d=0 0-1 > a=0, b=-1, c=1,d=4>471= 1 a) b) AX-B+C=0 > AX=B-C > X=A4"(B-C) (pap 20-19 fo-1 2 M| (0-1) /1.3-2-2 (3 1-40 “1 4 Mz-110) 11.030) 1 4)J13-1 4 0-11 -1 14 2 110 19 Dada la matriz A=|0 1 0|: 201 a) Calcula A”. b) Halla la matriz X que verifique AX +24 =1. 110100 110100 0 1 010 0.1010 10 201/00 1 021/2011 a) o 110|1 1001-10 1-10 0100 0100 1.0] >471= 0] 000 10] 001/22 1 221 b) AX+24=1 => AX=1-2A > X=A"U1-24) 1-10 100 110 1-101/12 0 1-10 0 1 o) 010 Ja jo 0] 0 1 o) 0 -1 0) 0 -1 o] 201 22 1/1-4 0 -1 22- 221 0.01 -1 2 3-1 G Jr el 2) a) Despeja la matriz X en la ecuación XA-B =XC. b) Calcula X. a) XA-B=XC => XA-XC=B > X(4-C)=B > X=B(4-Cy! a AS) ki 5 Ja ki Sl cas > lo Ma 20) ' ,) (va o)" (a 1) X= 31 20 Sean a=( o» B Unidad 1. Álgebra de matrices INAB ACE LLL ERATO Matemáticas | . 23 1 -4 21 Dadas las matrices A = E 7) y B= A 5 ) a) Calcula las matrices X e Y que verifiquen 2X- Y=A y X-3Y=B. b) Halla la matriz Z tal que B+ ZA— B*=31 donde 1 es la matriz unidad de orden 2. ar) perla 2X- Y=A 35 (a 35 | x-3Y=8 > 1-4 203 28 xro, :) ax or [5 o) Sumamos: sr. (7 E ?) sro[) 5) “las 10) Hs 5) Has 5 La 0 Je ,) Y Hs sl a Despejamos X' en la segunda ecuación: xy) A) E) 3) “lo 5 Y Lo 5) 3d a JHl0 2 1-1 Las matrices solución son X= b 2 ) Y " _— vo Lo —— b) Despejamos Z de la ecuación: ZA=31+ B"-B Se podrá despejar Z si A se puede invertir. det(A)=1 > existe A7! (33) ELE A) -1 22 Sea la matriz A= k ) ly Z= a) Calcula 42. x+1 3) 2 -1) EN ls A A =x-y Ly y) Ary 1 a —l=x+l b) Determina x e y para que 4? = ( 2 =1 -x- 12 =x-y=-2 »(* ; De > O E xy 9-1 v+y> 2 1 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | 405) e) 1 0.3” Igual que en el caso anterior, para 2 =2 se cumple. Por tanto, B” = ( ) Lo probamos por inducción: Suponemos que es cierto para 2 — 1: Bro gn 2 () 0 Ml 9 2) - 2 No 3" lo 3 lo 3” 4 5 1 27 Dada la matriz A=|-3 -4 1 |, calcula 42, A3,..., 498, 3-40 4 4 1 A?=A.A=|3 -3 a) 0 1-1 100 AF=A?.A=|0 1 0) 001 AG=A5.A=I.A=A 4 4 1 AUDE 42:3+2- (492. 4212 .42=1.4?%=4?= ls 3 a) 0 1 -1 28 Determina, si es posible, un valor de para que la matriz (4— RI)? sea la matriz nula, siendo: 0 -1 -2 A=|-1 0 -2 111 3 0-12 001 [-e-1 -—2 A-=kI=|-1 0 2 de k 0) -1 —k 2) 1.1.3 00% 1 1 3-2 (A-ky=(|1 e 2 | -1-% -2 |=124-2 k?-1 4-4 -k 1 2] — 1 2] 2-1 2-2 4k-4 | 1.1. 3-11 1 3-£] 12-24 2-24 k-6k+5 29 Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro %: 1-1 -1 214 132-1 11102 M=|1-1 2 N=|2 1 3 P=|26 4 k Q=|1 310 21 2 11.22 412 8 -4 2 103% M=|(1-1 2] (09-45 0.0. 3 | > ran(M) = 3 para cualquier valor de % 1-11] (53 l 1 -1 2.1 4] 63-215 0.3 +2 INTERES INNINSADAS 2-14 N=|2 ! >) Jaro 0 si k=- 1 0] *Si 2 > ran(N)=2 Si k+-+ > mn(N)=3 132-1 132- 13 2011] 132- 00 4128 -4 132) 00 *Sik=2 > mn(P)=1 1.0.2 110 2 22 0.41 > 12 3 k+4 0.00%-2 2 o 0.0 0 2, «Si k=-2 > nn(P)=2 1.1 1o o . ol 2 30) *Sik=2 > ran(Q)=2 os *Sik=2 > ran(Q)=3 11 30 Calcula una matriz X que conmute con la matriz A, esto es, A. X=X-A, siendo A= l > Después, calcula 4? +24”! . X, 1Y fa db) [arc brd ab 01/McedVc d A -(: ¿)> x.a-(( » 1)> (: 2%) A X= ( han de ser iguales. a+c=ad c=0 ab bndcaeo d=a x-(; », con a, be lR d=c+d c=0 a xo(! 2 a a (s 6 <(! 2 xls b-a ¿ne 2+2b-2a 2 2 No 1JAo 1) o alo 1)Ao0 a PV 0 1+24 (Observamos que la matriz que hemos obtenido también es de las que conmutan con 4). 21 31 Sean las matrices A = E 2 10 ) y B= E >) Determina la matriz X que verifica AXA = 2BA. AXA=2BA => X= AUUQBAJA? => X=24"B Calculamos A“! Elo a) (115 Ja) 1 (2) > (53) 09 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | 32 Sean A y B las matrices dadas por: 520 abo A=|250 B=fcco0 001 001 a) Encuentra las condiciones que deben cumplir los coeficientes a, bh, c para que se verifique A-B=B-A. b) Para a=b=c=1, calcula BY, 520/4b0 ay A. B=|2 0) cc 0) 0 1/10 0 1 ab01/520 5a+2b 2a+5b 0 B.A=|cc 0) 25 0) Te 7e 0 0 0 1 0 1 0 0 1 u 2a+5c 2b+5c 0 0 0 1 5a+2c 5b+2c o) o Para que A+ B=B- A, debe cumplirse que: 5a+2c=5a+2b] c=b 5b+2c=2a+5b| c=a 2a+5c=70 7e=7c 2b+5c=7c 7e=70 110 wa (10) 001 a=b=c 20/10 /440 2220 B?=B?.B= 20) 10)s 60). 220 o 1/00 1/ loo 1/ lo o 1 220/20) /f880) /23 20 BÍ=B?.B?= 220) 220), 88 0) 220 oo1/l001/ 100 1/ lo o 1 220 Así, B1=|2% 22 0]. 0.01 33 Una matriz cuadrada se llama ortogonal cuando su inversa coincide con su traspuesta. Calcula x e y para que esta matriz A sea ortogonal: 35 x 0 A=| y 3150 0 0 1 Si A71 = A, ha de ser A+ A*= 1; entonces: 3/15 x 0 A.At=| y 3/50 0. 0 1 x 3/5 0|=|(3/5)y-(3/5)x y7+9/25 0. 0.1 0 0 1 3/15 y 0 915+x (3/5)y-(3/5)x 0] [100 ( » do 1 . 0.01 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | 39 En un edificio residencial hay tres tipos de viviendas: L3, Lá y L5. Las viviendas L3 tienen 4 ventanas pequeñas y 3 ventanas grandes; las Lá tienen 5 ventanas pequeñas y 4 grandes, y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes. Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4 bisagras, y las grandes, 4 cristales y 6 bisagras. a) Escribe una matriz que describa el número y el tamaño de las ventanas de cada vivienda y otra que exprese el número de cristales y bisagras de cada tipo de ventana. b) Calcula la matriz que expresa el número de cristales y de bisagras de cada tipo de vivienda. ) PG cr L3 [4 3 P 24 La (54% ¿(7 c) I516 5 b) PG CB CB 3/43 2.54 Bf? 34 14[54 5 (70) -14 26 44 I516 5 I5 132 54 Página 60 40 La tabla adjunta muestra la cantidad de vitaminas A, B y C que posee cada uno de los productos PQ, R, S por unidad de peso: ABC Pp/120 Q|io2 R|210 si111 a) Queremos elaborar una dieta en la que entren todos los productos, de manera que contenga 20 unidades de vitamina A, 25 de vitamina B y 6 de C. ¿Es posible hacerlo? ¿De cuántas for- mas? b) Obtén, en función de la cantidad de Q que entre en la dieta, las cantidades de los otros pro- ductos. ¿Entre qué valores habría de estar la cantidad de producto Q? a) Llamamos D a la matriz que indica las cantidades que queremos tomar de cada vitamina: ABC D= (20 25 6) Llamamos X a las cantidades que debemos tomar de cada alimento: PQRS X= 16 y2 1) Llamamos M a la matriz que indica la cantidad de vitaminas por producto: [12.0 M- 102 210 11 11 El producto XM indica la cantidad de vitaminas que hemos tomado, luego XM =D. 1 (ey 20) do j=(20 25 6) 11 on (v+y+22+1 2xrz00 2y+1)=(20 25 6) INTERES INNSABACA LL LERALO Matemáticas |l Obtenemos un sistema: x+ yr2art=20 2x+ 24125) 6=11-LA, y=3-Lh, 2=3, 1=h 2y+ t=6 Es un sistema compatible indeterminado, luego sí es posible hacerlo y hay infinitas formas de con- seguirlo. b) Si hacemos y =2, obtenemos: x=2, y=2 2=3, 1=6-2% Como las cantidades no pueden ser negativas, ha de ser 0<A<3. 41 a) Comprueba quesi A es una matriz cuadrada tal que 4?=24-—1, donde 7 es la matriziden- tidad, entonces A es invertible. ¿Cuál es la expresión de 471? 5-42 b) Utiliza el apartado anterior para calcular la inversa de la matriz A=| 2 -1 1 4 4 1 a) 42=24-1 > A2-24=-1 > -42+24=1 > A(A+21)=1 Por tanto, A es invertible y AT? =-A+2L b) Comprobamos que 4?=24-— £ 5-4 21/5 -4 21 /9 -8 4 A?= 2 fa pla >] 24 4 1/14 4 1/18 8 3 5-42 100 9-84 24-I=2| 2 -1 lora -4 4 001 8.83 Puesto que 4?=24-—1, por el apartado anterior, A es invertible y su inversa es: 5-4 2 100/34 2 TU =-A+21=-|2 -—1 eo 0) 23 a) -4 4 -1 001 4 -4 3 100 42 Dada la matriz A=|-3 1 -1 |, halla una matriz X que verifique la ecuación XA + A=47! 5-1 2 XA+A= AT > XA=AT-A > X= (47 - AJA = (47? De otra forma: (X+DA=471 > (X+1)= (47)? => X= (471)? Calculamos 47: 10.0/1100 10 0/1 EEE 5-1 2/|001 0 501 10 0/1 0310) 2 100? /10 1.00) /1001 /0.00 X=(AT?-I=|1 2 1) 01 : 1 53) 01 0) 14 3] 211 0.0 332) 1001/1331 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | Cuestiones teóricas 43 44 45 46 47 Justifica por qué no es cierta la igualdad: (4+ B) -(4-B)=4?-B? cuando A y B son dos matrices cualesquiera. (4+ B) - (4-B) =4?-AB+ BA- B? Para que la igualdad fuera cierta, tendría que ser AB= BA; y, en general, no es cierto para dos matrices cualesquiera. Sea A una matriz de dimensión 2 x 3. a) ¿Existe una matriz B tal que A- B sea una matriz de una sola fila? b) ¿Y para B- A? Pon un ejemplo para cada caso. a) No; A- B tendrá 2 filas necesariamente. Por ejemplo, tomando 4 1 nemos que: A-B= () b) Síz si tomamos una matriz de dimensión 1 x 2 (ha de tener dos columnas para poder multiplicar B- A), el resultado tendrá una sola fila. Por ejemplo: 100 s 4= (7 10 ) y B=(1 2), entonces B-A=(5 2 0). Sean A y B dos matrices cuadradas de igual orden. Si A y B son simétricas, ¿lo es también su producto A - B? Si la respuesta es afirmativa, justifícala, y si es negativa, pon un contraejemplo. Si A y B son dos matrices cuadradas de igual tamaño, simétricas, su producto, A- B, no tiene por qué ser una matriz simétrica. Por ejemplo: 120 113 1 5 1 1 SiA=|2 1 1| y B=[3 -1 0| >4-.B=|[2 5 1 | noessimétrica. 011 1.0 -1 4-1 -1 ¿Es posible encontrar una matriz A no nula tal que 4? sea la matriz nula? En caso afirmativo, pon un ejemplo. Sí, por ejemplo: aloopeo o) lo o) 0.3 4 Dada la matriz A=| 1 -4 -5 |, prueba que se verifica A? +J=0 yutiliza esta igualdad para 134 obtener 41%, * Haz AY = (A7)%.A y ten en cuenta que A? =-—L, 1.01 10.0 A=|1.4 4 4=0-1.0 1 3 3 0 0-1 000 > A+I= [0.0 o 000 Obtenemos 4? (teniendo en cuenta que 43+/=0 > A*=-J): 13-4 0 3-4 AA A 4 ] NO TER EOS INN ACH LL LERATO Matemáticas |l Página 61 54 12 Despeja la matriz X en la igualdad (X+4)?=X?+X4+L, y obtén X en el caso A= A o) (X+ AP? = XX XA +1 > (X+ AX A) = MX? XA4+ 1 > > X4XA+ AX+A?=X 24 XA4+ 1 > > AX+A4?=1 > AX=I-A? > X=4"UU-A?> Calculamos 47: A xa a o A a E A a) Demuestra que si A es una matriz regular, al despejar X' en la ecuación XA? + BA =A? se obtiene X= 1- BA”. XA?+BA=4? > XA?-A4?=-BA > (X-1)A? =-BA Mulriplicamos por A7! ala derecha (47! existe por ser A regular): O-DA=B > X-I=-BA" > X=-BA1+1 > X=I-BA" Halla una matriz cuadrada de orden 2, distinta de 7 y de —L, cuya inversa coincida con su traspuesta. ad els) 1=A > ALA ALA > ISA A? A ar, :) 2 Xo 1 2,p2_ (: ,) (s Je ac+bd al ») e o cdo dNaeród +2 No 1) 170057 2+da1 Buscamos matrices que verifiquen estas condiciones. Por ejemplo: a) (1) Veamos que ATL = 4% Eolo ea Es oo 1) lo al o) lo alo 0) AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | 56 Obtén la forma general de una matriz de orden 2 que sea antisimétrica. ab A= ( ) A es antisimétrica si A*=-A. cd ( 3 E %) a bdo ad) 977 d=0 0.5 A debe ser de la forma A = M o) 5'7 Una matriz cuadrada es mágica de suma l cuando la suma de los elementos de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales es, en todos los casos, igual a 2. ¿Cuánto vale % si una matriz mágica es antisimétrica? Halla todas las matrices mágicas antisimétricas de orden 3. + Hemos visto en el ejercicio anterior que, en una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son ceros. Por tanto, si la matriz es antisimétrica, k =0. + Buscamos las matrices mágicas antisimétricas de orden 3: (sabemos que, en este caso, la suma ha de ser cero). Veamos cómo es una matriz antisimétrica de orden 3: aboe ad og A=lde fl>A=lbe h gh i cfi A será antisimétrica si A*=-—A; es decir: beblí=ld-e $ |>4d= —b ee f efillass g =S ad 5 -a —b , a=-a b=d c=-g =-c 0bce Luego, una matriz antisimétrica de orden 3 es de la forma: A=|-b 0 f << 0 Para que A sea mágica, ha de tenerse que: b+ c=0| —b+ c=0 c=-b =b+f=0| b-f=0p, es decir: _ <-f=0) crf=0 f=0 Por tanto, las matrices mágicas antisimétricas de orden 3 son de la forma: 0. b-b A=|b 0 bh ) con be IR. boo INTERES INNINSADAS LERATO) MES 58 Obtén todas las matrices mágicas simétricas de orden 3 para k=0. aboe Una matriz simétrica de orden 3 es de la forma: A=|b d e | (pues A=4”). cef Para que sea mágica con £= 0, ha de ser: ar+b+e =0 111000|0 11 10000 b +dre =0 010110|0 0.1 0 110|0 Cc +e+rf=0 0010110 0.0 10110 a +d +f=0 1001010 0-1-1101/0 2c+d =0/ 1002100/00/ 10 0 2 100]0/ 1110000 11100 0/0 0101100 01011050 0010110 00101 1/0 00-12110 00022 2/0 100 2 100/0/ 100012 2/0) 1110000 as+bere 0101100 b +d +e = 0010110|> Cc +0 +f =0>c=0 0001110 drerf =0>ef 000300/0/ 3d =0> d=0 Ff0 Por tanto, una matriz mágica simétrica de orden 3 con k = 0, esdela forma A=| f 0 -Ff|, con felR. o 59 Obtén todas las matrices mágicas simétricas de orden 3 para =3. aboe Una matriz simétrica de orden 3 es de la forma: A=|b d e]. cof Para que sea mágica con l= 3, ha de ser: ar+b+e =3 111000/3 11. 1000/3 b +dre =3 0101103 01. .0.110/3 Cc +e+f=3 0010113 0.0. 1.011/3 a +d +f=3 100101/3 0-1-1101/0 2c +d = 00210013! 00 210013! 111.000/3 11100 0/3 11100/03 01.0.110/3 01011 0/3 0101103 00.1.011/3 00101 1/3 00101|13 00-1211/3 0002 2 2|6 0001 1/13 002 1003] 0001-2 -2|-3) 000300 3] arb+e =3 > a=3-b-c=3-f-1=2-f bo idre =3 > b=3d=e=3-1-2+f=f eo +erf=3 > e=3e-f=3-2+f-f=1 drerf=3 > e=3d-f=3-1-f=2-f 3d =3 > d=l Unidad 1. Álgebra de matrices Matemáticas | Resuelve Página 33 Vuelos internacionales = Aquí tienes ahora, representados mediante flechas, los vuelos que permiten viajar el martes desde el país B anterior hasta otro país C: B Cc Representa, mediante una tabla similar a la anteriormente descrita, la información recogida en el diagrama de vuelos entre los países B y C. B| C B| 3|2 B| 1|0 Bl1|0 B| 0|2 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | A Nomenclatura. Definiciones Página 35 1 Escribe las matrices traspuestas de: 31 135-1 A=(2 5 A C=[024 1 410 76 610 3 41 a 174 Dl i> E=[7 10 F=(5 46 1) 632 403 [1 06) 4 327 pr ca ce 321| 156) y cs 40P 7 113 [5 7206 174 4 D'= £21ap E'=17 0) F'= 6 1072 403 2 Escribe una matriz X tal que X= X; esto es, que sea simétrica. 1.2 -1 230) 104 Por ejemplo, X= 3 Escribe una matriz que describa lo siguiente: === 0 id O) y == D====" O O 21000| 01020 00110 00000 00012 loo0010 INTERES INNINSADAS E Matrices cuadradas Página 43 1 Calcula, utilizando el método de Gauss, la inversa de cada una de las siguientes matrices en el supuesto de que la tengan: 1 2 Ma -á alo 1) »(5 7 AD (2 23) do) > BID (13 0 BD (13 3 BBD (26) 4) ola 1 Así, ( a e) 9 2d :) > (o sl :) En la parte de la izquierda, la 2.1 fila está compuesta por ceros. 2 2-4 Así, ( Por tanto, la matriz ( ) no tiene inversa. 2 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices o averigua que no la tiene: 123 123 113 af456 bro 12 [121 789 124 200 un 1 3100 12 3/1 00 a 4 coto] 03 6410] 789/1001 0-6 -12|-7 0 1 12 3/1 00 0-3 -6/-4 1 o] 0.0 0|1 21 En la parte de la izquierda, la 3.1 fila está compuesta por ceros. 123 Por tanto, la matriz : S s) no tiene inversa. 789 1 b) [0 0 00 ano oo. oro =o2 “Y —— oo. o. AS Lo. oro “oo “Y Oro nono NO TER EOS Matemáticas |l 113/1100 11 3|100 ol121010) 01210) 200/0001 0-2 61-201 11.31.00 1.1311 0 0 032110] 03501 3 1] 00-10-42 1 0.0 1/2/5 -1/5 -1/10 1.1 0|-1/5 3/5 3/5 pps 0. 0 2/5 0.1.0 /-1/5 3/5 us) fosos 3/5 cvs) 0.0 1|2/5 -1/5 -1/10 0.0 1|2/5 -1/5 -1/10 113 0 2/5 12 - = ys 3/5 as] 200 2/5 -1/5 -1/10 Página 45 27 4 - 10 15 40 3 Para las matrices A= , B= , C= 11 comprueba: a) A-(B+C)=(4- B) +(4-C) b) (4+B)- C=(4-C)+(B.C) c)A-(B.C)=(4-B).C o e A (2 5) Y ABLA Jar 10 amacal, (0 (a Pee 315 741 10 b) 4+8-C (e cp 0- Lo ¿) 1 4.0+B.0o| y ) 15 3) lao ¿) A-(B+C)=(4-B)+(4-C) (4+B)-C=(4-C)+(B-C) lis A-(B-C)=(4:B).C ) A(B+C)=4 (; elos 5) ie (4-B)- col, 26 e 107 » 30 0.6 4 Scan A= (7 2) y 8=[; 2) Encuentra X que cumpla: 3.X-2.4=5-B, (o 2) (s a] ($ 2) 3X=5B+24= + - > X- E 10 ) 5 15) 110 2) 115 -17 5 17/13 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | 5 Encuentra dos matrices, A y B, de dimensión 2 x 2 que cumplan: 24 B=(, s) A a=[. o) +*2=20 2H 0 24 3-[) 5) +20 Samando: 34 (os) a- (07) 1 sumando: = 3 o > = 10 6 Encuentra dos matrices X e Y que verifiquen: 2X are, 5 Xx rl 0 _ “(4 3) _ > e) lo lo 2X -3Y = 42 2X-3Y= 42 xr e) arar, Ha 6) | 2 A 6 a -10 10 335 -4 5 x-[, e) y a 1) fs 35 Solución: X= ( 5 Y ye 2 10) Sumando: — '7 Averigua cómo ha de ser una matriz X que cumpla la siguiente condición: x l ») l 3) x “o 1/0 1)” sf) (6) X=X+Z Sn == = ES >= 7 = = mn o+ a Re si > x+y=y+t| x=t 2=2 z+t=f z=0 x Solución: X= ( 0 », donde x e y son números reales cualesquiera. x AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | E Complementos teóricos para el estudio de matrices Página 46 1 Considera ú(7,4,-2), v(5,0, 6), w(4,6,-3), a=8, b=-5, elementos de ¡R3 y de IR. Comprueba las ocho propiedades que se enumeran arriba. > Asociativa: (4 + V)+ w =u+(v + w) (5 + v) + w =(12, 4,4) + w =(16, 10, 1) U + (Y + w)= ú +0, 6, 3) = (16, 10, 1) + Conmutativa: U + V=V+Uu U+v=(12,44)=v+u > Vector nulo: v+0=v v+0 =(5,0,6) +(0,0,0)=(5,0,6)= v + Vector opuesto: + E Y) =0 y + (2v)= (5, 0, 6) + (55, 0,6) = (0, 0, 0) > Asociativa: (a- b). Y =a-(b. v) (a- 0) - y =(8- 55) -(5, 0,6) =-40- (5, 0, 6) = (200, 0, 240) a-(b. v)=8-+[5-(5, 0, 6)] = 8 - (25, 0, -30) = (200, 0, -240) + Distributiva E: (a+ b)-v =a- v +b.v (a+ b)- Y =3-(5, 0,6) = (15, 0, 18) av +b.v=8-(5,0,6)-5-(5, 0, 6) = (40, 0, 48) - (25, 0, 30) = (15, 0, 18) * Distributiva Il. a- G + Y) =a- ura Y a-(ú + v)=8- (12,4, 4) = (96, 32, 32) a. ú ra: v =8-(7,4,-2) +8- (5,0, 6) = (56, 32, -16) + (40, 0, 48) = (96, 32, 32) > Producto por l: 1 + Y =Y% 1. v =1-(5,0,6) =(5,0,6)= y Página 48 Comprueba si los siguientes conjuntos de 2-uplas son L.I. o L. D. 2 (3, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (3, 2, 1, 4) Aplicamos la propiedad fundamental: x(3, 0,0, 0) + y(0, 2, 0, 0) + (0, 0, 1, 0) + 1(3, 2, 1, 4) = (0, 0, 0, 0) Esta igualdad da lugar al siguiente sistema de ecuaciones: 3x+ 3t=0 2y+ 21=0 . sus soluciones son: x=0, y=0, 2=0, £=0 z+ t=0 4t=0 Por tanto, los vectores son L.!., pues la única combinación lineal de ellos que da lugar al vector cero es la que se obtiene con coeficientes todos nulos. AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | 3 (3, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 0), (0, O, 1, 0), (3, 2, 1, 0) Aplicamos la propiedad fundamental: x(3, 0, 0, 0) + y(0, 2, 0, 0) + (0, 0, 1, 0) + 1(3, 2, 1, 0) = (0, 0, 0, 0) Esta igualdad da lugar al siguiente sistema de ecuaciones: 3x+ 31=0 2y+ 2f=0j sus soluciones son: x=-—A y=-—A, z=2, t=k z+ t=0 Como hay soluciones distintas de la solución trivial, los vectores son L.D. 4 (2, -4,7), (1, 0, 2), (0, 1, 2) Aplicamos la propiedad fundamental: x(2,-4,7) + y(1, 0, 2) + (0, 1, 2) = (0, 0, 0) Operando, llegamos a: Qx+y-4x+z 7x+ 2y +22) = (0, 0, 0) Esta igualdad da lugar al sistema: 2r+ y =0 Láx+ 2=0 7x+2y+22=0 Este sistema tiene como solución única x= 0, y=0, z= 0. Por tanto, los vectores son linealmente independientes. 5 (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 0) Explica por qué si en un conjunto de vectores está el vector cero, entonces son L.D. + Aplicamos la propiedad fundamental: x(1, 0, 0) + y(L, 1, 0) + (0, O, 0) = (0, O, 0) Si hacemos x= 0, y=0, z puede tomar cualquier valor, por tanto, los vectores son linealmente de- y q pendientes. + Sien un conjunto de vectores uy, Uu), ..., U, está el vector cero, podemos conseguir una combina- ción lineal de ellos: x Uy =x9 074.0. +x, 10,1 +x,0 =(0,0,0, ..., 0) en la que x¡=x,=...=x,_1=0 y x, 0. Como no todos los coeficientes son nulos, los vectores son linealmente dependientes. INTERES AANAYAIAO 16| Rango de una matriz Página 50 1 Calcula el rango de las siguientes matrices: 114-1 13 1 1203 100.2 1-1 > A ZO 02-112 a 3 2 a -1 : 5 3 1 :) D= 11320 220 1 10 -8 2.15-1 08794 14-1 14 1 - 13 >) 0 7 3 0 1 72) >oran(A) = 3 220 0-6 :) 0 Zo 0 13 -1 1.3 -1 1.3 -1 B=|2 -—1 ,] 0 7 ,) 0 7 7) > ran(B)=2 1 10 -8 07 7, 0.0 7 1-20-3 1203 00] 1.31 .) 0.1 1 ») > mn(C)=2 2.15-1 0555 o o o : 1.0.2 1-1 10.2 1-1 02-112 02-112 P=li11320 01.5. 3-1 0.8794 08794 10.2 1-1 10 2 a 02-11 2 02-11 2 00-115 4 50) 00-115 4] 9 7(D)=3 00.11 5 -4 00.0. 0.0 NO TER EOS Matemáticas |l Página 54 9. Despejar una matriz multiplicando por las inversas de otras dos 1-1 4 1 Hazlo tú. Halla la matriz X que verifica AXB=A+B siendo A= l 1 ) y B= E o) Multiplicamos en los dos miembros de la ecuación AXB=A + B por A7! ala izquierda y por B7! ala derecha: AXB=A+B > X=A7UA+ B)B" =(ATA+ATLUB)BA =(1+ AUB)BA =BU + ABBA => X=B"+ 47 1 E E lo 1) Ho 1) Hao) Hr 4) lr 4 Ho 11 5 10. Ecuación matricial: sacar factor común 4 1-1 3 1 11 Hazlo tú. Dadas las matrices A = ( ) B ( ) C= ( ) halla la matriz X que verifica: 0 1 -11 10 AX-A=B-C AX-A=B-C > A(X-I1)=B-C Multiplicamos en los dos miembros por 47! a la izquierda: X-I=A"UB-C) > X=I+ A" (B-C) A) re EA 11. Potencia de una matriz 11 Hazlo tú. Dada la matriz A= fi 1 o e) caia) s) 0 ze) 12. Rango de una matriz ) calcula A”. da Hazlo tú. Estudia el rango de la siguiente matriz: 1 1 2 B=|m 1 2 1 m+1 0 sl los distintos valores de mm. [ l 1 >) l B= l on 2- a [ 1.2 [ l a 2) 0 0 m 2 0 Si m=-1 > ran(M) =2 porque las dos primeras filas son L.I. y la tercera es una fila de ceros. 2 ? 2-2m on. - Si m>=-1 > ran(M)=3 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | Ejercicios y problemas guiados Página 56 1. Matriz inversa igual a traspuesta a00 Dada la matriz A= l 1 0) calcular los valores de a y b para que la matriz inversa de A coin- 001 cida con su traspuesta. ATL=A* > AATU= AA! > 1=A4* 2a00 abo A=|1b1 0 >= [0 1] 0.01 0.01 a00 abo a a 0 A-A'= 230) 010)» ab b%+1 0 0.0 001 1 0 0-1 e a 01/100 a =1 ab b%+1 0J=[0 1 0) 0 a=+l, b=0 0. 01/1001 1?+1=1 2. Ecuación con matrices Calcular x, y, z tales que: Y) 37 x 2) ly 2) Lo 5 2 2 y r1=5 ( Dl 0? +1 AA 9 A Xx z 2 y x+jya haz Pass *Siy=2 x+22=0 , , 2.1 Pres DO x=2 2=-l;x=-2 2= *Si y=-2: x-22=0 , had Pres DO x=-2, 2=-1; x=2, 2= Soluciones: x; =2, y =2, 2, =-1 %=2p=2 2=1 322 p=2 2=-1 x4=2 J=-2 24=1 NO TER EOS Matemáticas |l 3. Ecuación matricial Determinar la matriz X_ que verifique AXA-— B=0, siendo: (2 2) 2-05) AXA-B=0 > AXA=B > X=A"BA"! Hallamos la inversa de 4: 515) HD ( |: -) HI» CITE A) X= AU BA? = e A SH 6 5) 4. Rango de una matriz y 0 la matriz nula de orden 2. Estudiar el rango de la matriz M según los valores del parámetro +t. 1.2 31 M=|[1 + 32 1 8-3t 3-2 1 [ 2.31 M=|1 £ 020 [oo] a) po] 0.0. 00 La tercera fila es L.D. de las otras dos, luego el rango no es 3. Las dos primeras filas son L.I., independientemente del valor de 2 luego ran(M) =2 para cualquier valor de +. 5. Ecuación con infinitas soluciones 8 — 9 ) hallar una matriz X tal que XAX-1 = BB. 20 Dadas las marics A= | 2) y B=( 7 XAX"=B => XA=BX U x= (0? ¡amamos = e d . loa o Ja) ax (i 9 (: o (a: 80-9d M6 7 e dJN6a-7c 6b-7d Igualando obtenemos un sistema de ecuaciones. 2a=8a4-9c 2a=8a-9c 2 2x=64-7c o 3. =b=8b-9d |? -b-8b-9d -d =6b-7d A E o ab Solución: Xara :) 31 De todas las posibles soluciones, podemos tomar 4=3 y b=1, y obtenemos X= ( ) 2 1 E Unidad 1. Álgebra de matrices INAB ACE LLL ERATO Matemáticas | 5-42 7 a) Comprueba que A?=2A-I, siendo A=| 2 -1 1 | e 7 la matriz unidad de orden 3. -4 4 1 b) Utiliza la igualdad anterior para calcular 44. a) 9-34 A =A-A=[4 3 2 | 88 -3 A?=2A4-1 10 -8 41 [1001 /9 -8 4 24-I=[4 2 2) o 1 0) 43 2 23.82) 1l001) 18 8 -3 b) Calculamos A% Af = (42? = QA-1? = QA-D)QA-1) =44?-24-24+1?= = 4Q4-1)-44+1=84-41-44+1=44-31= 5-4 2 100 20 -16 8 300 17 -16 8 =4| 2 -1 ¿alo 10). 8 -á4 so 30), 8 7 s) -4 4 -1 001 -16 16 -4 0.03) 1-16 16 7 0.3 4 1 -4-5 ) prueba que se verifica 43 + I= 0 y utiliza esta 13 4 8 Dada la siguiente matriz: A= igualdad para obtener 4*. 0.3 4Y /1.0 1 (1 5) 4 s) 13 4 1.3-3 1.0 1/0 3 41/10 0 AL 4 2 -4 Sho -1 o] 213-311 3 4) l0 0 -1 1.0 01/1001 /000 A+I=|0 -1 ooo 1 0joo o o -1/lo01/ 1000 Por tanto: > A =-1 A%=-I.A=-A A =-A-A=-A? A9=-A?.A=-4>=1 A =A ADA. AFA) =-A INTERES INNINSADAS Página 58 M Rango de una matriz 9 Estudia el rango de las matrices siguientes: 1234 n(130 A Ha 4-68 1 00 Ho Z 1 24 36 123 1030 001 D=(240 E=[0203 P=(1 00 360 0101 010 1234 1234 Al> 4-68 0.0016) > 0-2 1.30 Ba 70) >..0- 1.23 123 C= l 4 < lon l 0 o) > mn(C)=1 12 -24 36 0.00 123 123 123 p- O > mor 360 0.0-9 0.0 < F= 00 10 / > ran(E)=3 010 10 Estudia el rango de estas matrices y di, en cada caso, el número de columnas que son L.L.: 1112 213 1-3 -1 -1 11 1 1 1553 3 1-1 1-1 AUN POS C= 1111 D= 11-11 _ 3755 11 11 1.11 11.12 111 2 A= (2.35 0137] 0137] mana 1-16 2 0137) 0137) Hay 3 columnas linealmente independientes en A. 213 213 213 = 022) 0.0 7) 0.0 7) > ran(B) =2 63 2 997) 097 Hay 2 columnas linealmente independientes en B. INTERES INNINSADAS 11 1277 1.1 11 15 1.5 3 3 Ela EEE 37 375 5 1.1 11 1111 04 2 2 0422 0-4 22 ES > ran(C) =2 04 2 2 0000 Hay dos columnas linealmente independientes en C. 1.1 11 1-1 1-1 Pla 1.1 1-1 Las cuatro columnas de D son linealmente independientes. 1 2 1 1 o - 22 > ran(D)=4 0 2 ocoo.- 0 0 Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro m: 122 11 1 mms + A=|2 1 1 B=|2 -4 -m ( ) 2 2m m-1 21m 4 10 m 10 1 211 m-2 0 0 D=|0m 0 E= F=[| 0 m-1 1 m -—m 2 0 m-1 0 1 m 1-2 , 1 7 2 12 2 *A>|2 1 0 5 53) 05 -5 21 0 m-á 0 0 mel Si m=-1 > ran(A) =3 Si m=-1 > ran(A) =2 11 11 1 *B> (2-4 06m] 026 om] 24] 0-6 92 0.0 mim-6 m2m=6=0 > m=3, m=-2 Simz3 y mz=-2 > ran(B) =3 111 1 Si m= 3, la matriz transformada es | 0 -6 3) > ran(B)=2 0.0 0 1.1 1 Si m=-—2, la matriz transformada es [0 -6 o) > ran(B) =2 0.0.0 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | 1 10 15 Dadas las matrices M= ( 5) y N= E o) halla dos matrices X e Y que verifiquen estas condiciones: X-2M=3N M+N-Y=1I X-3N+2M l o) A 5) oe o) ( 2) =3N+2M= 343 ¿J+A_1 3J=l9 0) a 6)77 6 ra AA 11 16 Calcula una matriz X que conmute con la matriz A, esto es, A. X=X-A, siendo A= l :) ED) A) a+c=ad >c=0 brd=a+bj > a=d d= c+d )>c=0 x ls ] NO a 1'7 Considera las siguientes matrices: ai) 2-2.) c oz lo 2 -1 222 - 20 a) Calcula B”! por el método de Gauss. b) Halla X tal que BX-A=C. c) Determina la dimensión de una matriz M para poder calcular AMC. d) ¿Cuál debe ser la dimensión de N para que C'N sea una matriz cuadrada? )B 21/11 0] 05 2 1|1 0] 03-25 2 0/2 -11 (12 10|1 -1/2 227 20 1) es-as 0 1|-1 1/ 5 01[-1 1/05 01-11 O AL 1 b) BX-A=CY* > BX=C"+4 > X=B"(C*+4) Xx ( 12) C 0?) (7 Ha 1 lea 0J.o 2 1 O ( -1 >) ( 3 32) Ha 1) 4 als 5 1 O Arxa Mmm xa) M debe tener dimensión 3 X 3. d CiuxaNimxm = Mex) N debe tener dimensión 3 X 2. NO TER EOS Matemáticas |l 18 Sea la siguiente ecuación matricial AX- B+ C=0, donde ac g.(1 201 c- (01 21 Huop* Ha 110/41 030 a) Calcula 47! aplicando la definición. b) Resuelve la ecuación. dal 9) (0) ts) A) 4b+d=0 0-1 > a=0, b=-1, c=1,d=4>471= 1 a) b) AX-B+C=0 > AX=B-C > X=A4"(B-C) (pap 20-19 fo-1 2 M| (0-1) /1.3-2-2 (3 1-40 “1 4 Mz-110) 11.030) 1 4)J13-1 4 0-11 -1 14 2 110 19 Dada la matriz A=|0 1 0|: 201 a) Calcula A”. b) Halla la matriz X que verifique AX +24 =1. 110100 110100 0 1 010 0.1010 10 201/00 1 021/2011 a) o 110|1 1001-10 1-10 0100 0100 1.0] >471= 0] 000 10] 001/22 1 221 b) AX+24=1 => AX=1-2A > X=A"U1-24) 1-10 100 110 1-101/12 0 1-10 0 1 o) 010 Ja jo 0] 0 1 o) 0 -1 0) 0 -1 o] 201 22 1/1-4 0 -1 22- 221 0.01 -1 2 3-1 G Jr el 2) a) Despeja la matriz X en la ecuación XA-B =XC. b) Calcula X. a) XA-B=XC => XA-XC=B > X(4-C)=B > X=B(4-Cy! a AS) ki 5 Ja ki Sl cas > lo Ma 20) ' ,) (va o)" (a 1) X= 31 20 Sean a=( o» B Unidad 1. Álgebra de matrices INAB ACE LLL ERATO Matemáticas | . 23 1 -4 21 Dadas las matrices A = E 7) y B= A 5 ) a) Calcula las matrices X e Y que verifiquen 2X- Y=A y X-3Y=B. b) Halla la matriz Z tal que B+ ZA— B*=31 donde 1 es la matriz unidad de orden 2. ar) perla 2X- Y=A 35 (a 35 | x-3Y=8 > 1-4 203 28 xro, :) ax or [5 o) Sumamos: sr. (7 E ?) sro[) 5) “las 10) Hs 5) Has 5 La 0 Je ,) Y Hs sl a Despejamos X' en la segunda ecuación: xy) A) E) 3) “lo 5 Y Lo 5) 3d a JHl0 2 1-1 Las matrices solución son X= b 2 ) Y " _— vo Lo —— b) Despejamos Z de la ecuación: ZA=31+ B"-B Se podrá despejar Z si A se puede invertir. det(A)=1 > existe A7! (33) ELE A) -1 22 Sea la matriz A= k ) ly Z= a) Calcula 42. x+1 3) 2 -1) EN ls A A =x-y Ly y) Ary 1 a —l=x+l b) Determina x e y para que 4? = ( 2 =1 -x- 12 =x-y=-2 »(* ; De > O E xy 9-1 v+y> 2 1 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | 405) e) 1 0.3” Igual que en el caso anterior, para 2 =2 se cumple. Por tanto, B” = ( ) Lo probamos por inducción: Suponemos que es cierto para 2 — 1: Bro gn 2 () 0 Ml 9 2) - 2 No 3" lo 3 lo 3” 4 5 1 27 Dada la matriz A=|-3 -4 1 |, calcula 42, A3,..., 498, 3-40 4 4 1 A?=A.A=|3 -3 a) 0 1-1 100 AF=A?.A=|0 1 0) 001 AG=A5.A=I.A=A 4 4 1 AUDE 42:3+2- (492. 4212 .42=1.4?%=4?= ls 3 a) 0 1 -1 28 Determina, si es posible, un valor de para que la matriz (4— RI)? sea la matriz nula, siendo: 0 -1 -2 A=|-1 0 -2 111 3 0-12 001 [-e-1 -—2 A-=kI=|-1 0 2 de k 0) -1 —k 2) 1.1.3 00% 1 1 3-2 (A-ky=(|1 e 2 | -1-% -2 |=124-2 k?-1 4-4 -k 1 2] — 1 2] 2-1 2-2 4k-4 | 1.1. 3-11 1 3-£] 12-24 2-24 k-6k+5 29 Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro %: 1-1 -1 214 132-1 11102 M=|1-1 2 N=|2 1 3 P=|26 4 k Q=|1 310 21 2 11.22 412 8 -4 2 103% M=|(1-1 2] (09-45 0.0. 3 | > ran(M) = 3 para cualquier valor de % 1-11] (53 l 1 -1 2.1 4] 63-215 0.3 +2 INTERES INNINSADAS 2-14 N=|2 ! >) Jaro 0 si k=- 1 0] *Si 2 > ran(N)=2 Si k+-+ > mn(N)=3 132-1 132- 13 2011] 132- 00 4128 -4 132) 00 *Sik=2 > mn(P)=1 1.0.2 110 2 22 0.41 > 12 3 k+4 0.00%-2 2 o 0.0 0 2, «Si k=-2 > nn(P)=2 1.1 1o o . ol 2 30) *Sik=2 > ran(Q)=2 os *Sik=2 > ran(Q)=3 11 30 Calcula una matriz X que conmute con la matriz A, esto es, A. X=X-A, siendo A= l > Después, calcula 4? +24”! . X, 1Y fa db) [arc brd ab 01/McedVc d A -(: ¿)> x.a-(( » 1)> (: 2%) A X= ( han de ser iguales. a+c=ad c=0 ab bndcaeo d=a x-(; », con a, be lR d=c+d c=0 a xo(! 2 a a (s 6 <(! 2 xls b-a ¿ne 2+2b-2a 2 2 No 1JAo 1) o alo 1)Ao0 a PV 0 1+24 (Observamos que la matriz que hemos obtenido también es de las que conmutan con 4). 21 31 Sean las matrices A = E 2 10 ) y B= E >) Determina la matriz X que verifica AXA = 2BA. AXA=2BA => X= AUUQBAJA? => X=24"B Calculamos A“! Elo a) (115 Ja) 1 (2) > (53) 09 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | 32 Sean A y B las matrices dadas por: 520 abo A=|250 B=fcco0 001 001 a) Encuentra las condiciones que deben cumplir los coeficientes a, bh, c para que se verifique A-B=B-A. b) Para a=b=c=1, calcula BY, 520/4b0 ay A. B=|2 0) cc 0) 0 1/10 0 1 ab01/520 5a+2b 2a+5b 0 B.A=|cc 0) 25 0) Te 7e 0 0 0 1 0 1 0 0 1 u 2a+5c 2b+5c 0 0 0 1 5a+2c 5b+2c o) o Para que A+ B=B- A, debe cumplirse que: 5a+2c=5a+2b] c=b 5b+2c=2a+5b| c=a 2a+5c=70 7e=7c 2b+5c=7c 7e=70 110 wa (10) 001 a=b=c 20/10 /440 2220 B?=B?.B= 20) 10)s 60). 220 o 1/00 1/ loo 1/ lo o 1 220/20) /f880) /23 20 BÍ=B?.B?= 220) 220), 88 0) 220 oo1/l001/ 100 1/ lo o 1 220 Así, B1=|2% 22 0]. 0.01 33 Una matriz cuadrada se llama ortogonal cuando su inversa coincide con su traspuesta. Calcula x e y para que esta matriz A sea ortogonal: 35 x 0 A=| y 3150 0 0 1 Si A71 = A, ha de ser A+ A*= 1; entonces: 3/15 x 0 A.At=| y 3/50 0. 0 1 x 3/5 0|=|(3/5)y-(3/5)x y7+9/25 0. 0.1 0 0 1 3/15 y 0 915+x (3/5)y-(3/5)x 0] [100 ( » do 1 . 0.01 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | 39 En un edificio residencial hay tres tipos de viviendas: L3, Lá y L5. Las viviendas L3 tienen 4 ventanas pequeñas y 3 ventanas grandes; las Lá tienen 5 ventanas pequeñas y 4 grandes, y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes. Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4 bisagras, y las grandes, 4 cristales y 6 bisagras. a) Escribe una matriz que describa el número y el tamaño de las ventanas de cada vivienda y otra que exprese el número de cristales y bisagras de cada tipo de ventana. b) Calcula la matriz que expresa el número de cristales y de bisagras de cada tipo de vivienda. ) PG cr L3 [4 3 P 24 La (54% ¿(7 c) I516 5 b) PG CB CB 3/43 2.54 Bf? 34 14[54 5 (70) -14 26 44 I516 5 I5 132 54 Página 60 40 La tabla adjunta muestra la cantidad de vitaminas A, B y C que posee cada uno de los productos PQ, R, S por unidad de peso: ABC Pp/120 Q|io2 R|210 si111 a) Queremos elaborar una dieta en la que entren todos los productos, de manera que contenga 20 unidades de vitamina A, 25 de vitamina B y 6 de C. ¿Es posible hacerlo? ¿De cuántas for- mas? b) Obtén, en función de la cantidad de Q que entre en la dieta, las cantidades de los otros pro- ductos. ¿Entre qué valores habría de estar la cantidad de producto Q? a) Llamamos D a la matriz que indica las cantidades que queremos tomar de cada vitamina: ABC D= (20 25 6) Llamamos X a las cantidades que debemos tomar de cada alimento: PQRS X= 16 y2 1) Llamamos M a la matriz que indica la cantidad de vitaminas por producto: [12.0 M- 102 210 11 11 El producto XM indica la cantidad de vitaminas que hemos tomado, luego XM =D. 1 (ey 20) do j=(20 25 6) 11 on (v+y+22+1 2xrz00 2y+1)=(20 25 6) INTERES INNSABACA LL LERALO Matemáticas |l Obtenemos un sistema: x+ yr2art=20 2x+ 24125) 6=11-LA, y=3-Lh, 2=3, 1=h 2y+ t=6 Es un sistema compatible indeterminado, luego sí es posible hacerlo y hay infinitas formas de con- seguirlo. b) Si hacemos y =2, obtenemos: x=2, y=2 2=3, 1=6-2% Como las cantidades no pueden ser negativas, ha de ser 0<A<3. 41 a) Comprueba quesi A es una matriz cuadrada tal que 4?=24-—1, donde 7 es la matriziden- tidad, entonces A es invertible. ¿Cuál es la expresión de 471? 5-42 b) Utiliza el apartado anterior para calcular la inversa de la matriz A=| 2 -1 1 4 4 1 a) 42=24-1 > A2-24=-1 > -42+24=1 > A(A+21)=1 Por tanto, A es invertible y AT? =-A+2L b) Comprobamos que 4?=24-— £ 5-4 21/5 -4 21 /9 -8 4 A?= 2 fa pla >] 24 4 1/14 4 1/18 8 3 5-42 100 9-84 24-I=2| 2 -1 lora -4 4 001 8.83 Puesto que 4?=24-—1, por el apartado anterior, A es invertible y su inversa es: 5-4 2 100/34 2 TU =-A+21=-|2 -—1 eo 0) 23 a) -4 4 -1 001 4 -4 3 100 42 Dada la matriz A=|-3 1 -1 |, halla una matriz X que verifique la ecuación XA + A=47! 5-1 2 XA+A= AT > XA=AT-A > X= (47 - AJA = (47? De otra forma: (X+DA=471 > (X+1)= (47)? => X= (471)? Calculamos 47: 10.0/1100 10 0/1 EEE 5-1 2/|001 0 501 10 0/1 0310) 2 100? /10 1.00) /1001 /0.00 X=(AT?-I=|1 2 1) 01 : 1 53) 01 0) 14 3] 211 0.0 332) 1001/1331 AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | Cuestiones teóricas 43 44 45 46 47 Justifica por qué no es cierta la igualdad: (4+ B) -(4-B)=4?-B? cuando A y B son dos matrices cualesquiera. (4+ B) - (4-B) =4?-AB+ BA- B? Para que la igualdad fuera cierta, tendría que ser AB= BA; y, en general, no es cierto para dos matrices cualesquiera. Sea A una matriz de dimensión 2 x 3. a) ¿Existe una matriz B tal que A- B sea una matriz de una sola fila? b) ¿Y para B- A? Pon un ejemplo para cada caso. a) No; A- B tendrá 2 filas necesariamente. Por ejemplo, tomando 4 1 nemos que: A-B= () b) Síz si tomamos una matriz de dimensión 1 x 2 (ha de tener dos columnas para poder multiplicar B- A), el resultado tendrá una sola fila. Por ejemplo: 100 s 4= (7 10 ) y B=(1 2), entonces B-A=(5 2 0). Sean A y B dos matrices cuadradas de igual orden. Si A y B son simétricas, ¿lo es también su producto A - B? Si la respuesta es afirmativa, justifícala, y si es negativa, pon un contraejemplo. Si A y B son dos matrices cuadradas de igual tamaño, simétricas, su producto, A- B, no tiene por qué ser una matriz simétrica. Por ejemplo: 120 113 1 5 1 1 SiA=|2 1 1| y B=[3 -1 0| >4-.B=|[2 5 1 | noessimétrica. 011 1.0 -1 4-1 -1 ¿Es posible encontrar una matriz A no nula tal que 4? sea la matriz nula? En caso afirmativo, pon un ejemplo. Sí, por ejemplo: aloopeo o) lo o) 0.3 4 Dada la matriz A=| 1 -4 -5 |, prueba que se verifica A? +J=0 yutiliza esta igualdad para 134 obtener 41%, * Haz AY = (A7)%.A y ten en cuenta que A? =-—L, 1.01 10.0 A=|1.4 4 4=0-1.0 1 3 3 0 0-1 000 > A+I= [0.0 o 000 Obtenemos 4? (teniendo en cuenta que 43+/=0 > A*=-J): 13-4 0 3-4 AA A 4 ] NO TER EOS INN ACH LL LERATO Matemáticas |l Página 61 54 12 Despeja la matriz X en la igualdad (X+4)?=X?+X4+L, y obtén X en el caso A= A o) (X+ AP? = XX XA +1 > (X+ AX A) = MX? XA4+ 1 > > X4XA+ AX+A?=X 24 XA4+ 1 > > AX+A4?=1 > AX=I-A? > X=4"UU-A?> Calculamos 47: A xa a o A a E A a) Demuestra que si A es una matriz regular, al despejar X' en la ecuación XA? + BA =A? se obtiene X= 1- BA”. XA?+BA=4? > XA?-A4?=-BA > (X-1)A? =-BA Mulriplicamos por A7! ala derecha (47! existe por ser A regular): O-DA=B > X-I=-BA" > X=-BA1+1 > X=I-BA" Halla una matriz cuadrada de orden 2, distinta de 7 y de —L, cuya inversa coincida con su traspuesta. ad els) 1=A > ALA ALA > ISA A? A ar, :) 2 Xo 1 2,p2_ (: ,) (s Je ac+bd al ») e o cdo dNaeród +2 No 1) 170057 2+da1 Buscamos matrices que verifiquen estas condiciones. Por ejemplo: a) (1) Veamos que ATL = 4% Eolo ea Es oo 1) lo al o) lo alo 0) AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | 56 Obtén la forma general de una matriz de orden 2 que sea antisimétrica. ab A= ( ) A es antisimétrica si A*=-A. cd ( 3 E %) a bdo ad) 977 d=0 0.5 A debe ser de la forma A = M o) 5'7 Una matriz cuadrada es mágica de suma l cuando la suma de los elementos de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales es, en todos los casos, igual a 2. ¿Cuánto vale % si una matriz mágica es antisimétrica? Halla todas las matrices mágicas antisimétricas de orden 3. + Hemos visto en el ejercicio anterior que, en una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son ceros. Por tanto, si la matriz es antisimétrica, k =0. + Buscamos las matrices mágicas antisimétricas de orden 3: (sabemos que, en este caso, la suma ha de ser cero). Veamos cómo es una matriz antisimétrica de orden 3: aboe ad og A=lde fl>A=lbe h gh i cfi A será antisimétrica si A*=-—A; es decir: beblí=ld-e $ |>4d= —b ee f efillass g =S ad 5 -a —b , a=-a b=d c=-g =-c 0bce Luego, una matriz antisimétrica de orden 3 es de la forma: A=|-b 0 f << 0 Para que A sea mágica, ha de tenerse que: b+ c=0| —b+ c=0 c=-b =b+f=0| b-f=0p, es decir: _ <-f=0) crf=0 f=0 Por tanto, las matrices mágicas antisimétricas de orden 3 son de la forma: 0. b-b A=|b 0 bh ) con be IR. boo INTERES INNINSADAS LERATO) MES 58 Obtén todas las matrices mágicas simétricas de orden 3 para k=0. aboe Una matriz simétrica de orden 3 es de la forma: A=|b d e | (pues A=4”). cef Para que sea mágica con £= 0, ha de ser: ar+b+e =0 111000|0 11 10000 b +dre =0 010110|0 0.1 0 110|0 Cc +e+rf=0 0010110 0.0 10110 a +d +f=0 1001010 0-1-1101/0 2c+d =0/ 1002100/00/ 10 0 2 100]0/ 1110000 11100 0/0 0101100 01011050 0010110 00101 1/0 00-12110 00022 2/0 100 2 100/0/ 100012 2/0) 1110000 as+bere 0101100 b +d +e = 0010110|> Cc +0 +f =0>c=0 0001110 drerf =0>ef 000300/0/ 3d =0> d=0 Ff0 Por tanto, una matriz mágica simétrica de orden 3 con k = 0, esdela forma A=| f 0 -Ff|, con felR. o 59 Obtén todas las matrices mágicas simétricas de orden 3 para =3. aboe Una matriz simétrica de orden 3 es de la forma: A=|b d e]. cof Para que sea mágica con l= 3, ha de ser: ar+b+e =3 111000/3 11. 1000/3 b +dre =3 0101103 01. .0.110/3 Cc +e+f=3 0010113 0.0. 1.011/3 a +d +f=3 100101/3 0-1-1101/0 2c +d = 00210013! 00 210013! 111.000/3 11100 0/3 11100/03 01.0.110/3 01011 0/3 0101103 00.1.011/3 00101 1/3 00101|13 00-1211/3 0002 2 2|6 0001 1/13 002 1003] 0001-2 -2|-3) 000300 3] arb+e =3 > a=3-b-c=3-f-1=2-f bo idre =3 > b=3d=e=3-1-2+f=f eo +erf=3 > e=3e-f=3-2+f-f=1 drerf=3 > e=3d-f=3-1-f=2-f 3d =3 > d=l AO TER ES INN ADBACH LL LERBATO Matemáticas | 11 5 Determina todas las matrices A tales que AX= XA, siendo X= ki y A ( :) Ned ( A 1/11 ( A [e enla 5) edPli 1 Ur 1) le a) Nerd crdJlare brd ar+b=a+c a+b=b+d crd=ar+c c+d=b+d > a=d,b=c b Son todas las matrices de la forma A = c 7) 6 Dada la matriz C= E » halla dos matrices X e Y tales que verifiquen las siguientes ecuaciones: X+Y=C X-Y*=C* X+Y=C pe Y =C* + Sumamos las ecuaciones: oe ( ») ( 2 ») xa? 2). 1 2) See = 01) 13 2) 4215 2) lan 1 + Restamos las ecuaciones: ee AA AAA a o 0 ¿te = 01111 0)2% =2l1 oli o Ahora calculamos la inversa de Y? => (YFIyl= Y (: el: , (13 +2.(05) ( el: ») as) 12 0/01/05 12 0 |0 1) 2:03-4.3 1 -1/2/1 2] (13+05 1.00 2] 45 10|0 2 0 12 |-1 0/ 05 0 1/2/-1 0) 2:05 0 1|- L Y 0 2 uego Y= [2 g L ¿ces buscad. Xy, dr (25) as matrices buscadas son X= (3,, 1 )» Y=1_) q): NO TER EOS 121 7 a) Halla la inversa de la siguiente matriz: A=|0 1 1 210 1101 b) Resuelve la ecuación 2XA + B=A”, siendo B= : 0.2 3Ll 2-10 ora] l 1|1 ae es 110 o 210/0001 032/20 oo] eo) [pro 2 (00539 pleno o ess 22 001/23 0.0 2.31 001 31 -1 At=(2 2 2) 231 b)2X4+B=A" > 2X4=4A"-B > 2X=(A'-BJA"! > X= DS 102 11.0 M[|/1 1 1 2.0 1/1 1 1 Fa io 23 lr 2 )- 3 A 2) 2 a)- 110 210/12 3 1 32 0/12 3 1 24531 /2 52 32 = Ho 20) E] ve 1-11 12 12 1/2 8 Razona si es posible añadir una fila a esta matriz de forma que la nueva matriz tenga rango 4: 120 3 l 1-1 -2 2730 120 3 [a fora 0 1-1 A [poa 2 poo 2) > mn(M) =2 0) 22) 000 0 Si se añade una fila, puede tener, como máximo, rango 3, luego no es posible que la nueva matriz tenga rango 4. 9 Un industrial fabrica dos tipos de bombillas: transparentes (T) y opacas (O). De cada tipo se hacen cuatro modelos: M,, M,, Mz y My. TO M, /300 200 M) | 400 250 Esta tabla muestra la producción semanal M3|250 180 de bombillas de cada tipo y modelo. M4 1500 300 El porcentaje de bombillas defectuosas es el 2% en el modelo M,, el 5% en el M,, el 8% en el M; y el 10% en el M,. Calcula la matriz que expresa el número de bombillas transparentes y opacas, buenas y defectuo- sas, que se producen. TO M, M> M3 M¿ mM; /300 200) TOO TO 0,02 0,05 0,08 0,11 M2 [400 250 D[/[ 96 60,91 D/ 96 61 0,98 0,95 0,92 0,9) M3 |250 180|” (us e (ss so) Ma 1500 300 Matemáticas |l