¡Descarga Ejercicios resueltos sobre Distribuciones muestrales y más Ejercicios en PDF de Bioestadística solo en Docsity! TAREA 07 1. Dada una población con distribución normal con media 100 y una desviación estándar de 20, encuentre las siguientes probabilidades basadas en una muestra de tamaño 16: a) P [ x ≥ 100] 𝑃 𝑥≥100( ) = 𝑃 𝑧≥ 𝑥−µ σ 𝑛 ( ) 𝑃 𝑧≥ 𝑥−µ σ 𝑛 ( ) = 𝑃 𝑧≥ 100−100 20 16 ( ) = 𝑃 𝑧≥ 0 5( ) 0.5𝑃 𝑥≥100( ) = 1 − 𝑃 𝑧≥0( ) = 1 − 0. 5 = b) P [ 96 ≤ x ≤ 108] )𝑃 96≤𝑥≤108( ) = 𝑃 96−100 20 16 ≤ 𝑧 ≤ 108−100 20 16 ( ) = 𝑃(− 0. 8≤𝑧 ≤1. 6 𝑃 − 0. 8≤𝑧 ≤1. 6( ) = 𝑃 𝑧 ≤1. 6( ) − 𝑃 𝑧 ≤ − 0. 8( ) 𝑃 − 0. 8≤𝑧 ≤1. 6( ) = 0. 95 − 0. 21 0.74𝑃(96≤´𝑥 ≤108) = 𝑃(− 0. 8≤ 𝑧 ≤1. 6) = c) P [ x ≤ 110] 𝑃 𝑥≤110( ) = 𝑃 𝑧 ≤ 110−100 20 16 ( ) = 𝑃 𝑧≤2( ) 0.98𝑃 𝑥≤110( ) = 𝑃 𝑧≤2( ) = 2. En una población de jóvenes de 17 años de edad, la media del espesor del pliegue subescapular (en milímetros) es de 9.7, con una desviación estándar de 6.0. A partir de una muestra aleatoria simple de tamaño 40 extraída de esa población, calcule la probabilidad de que la media de la muestra: a) Sea mayor que 11 𝑃 𝑥 > 11( ) = 𝑃 > 𝑥−µ σ 𝑛 ( ) 𝑃 𝑧 > 12−9.7 6 40 ( ) = =1.9𝑃 𝑥 > 11( ) 𝑃 𝑧 > 2. 42( ) b) Sea menor 0 igual que 7,5 𝑃 𝑥≤7. 5( ) = 𝑃 𝑧 ≤ 7.5−9.7 6 40 ( ) = 𝑃 𝑧 ≤ − 2. 31( ) 1.53𝑃 𝑥≤7. 5( ) = 𝑃 𝑧≤ − 2. 31( ) = c) Este entre 7 y 10,5 )𝑃 7≤𝑥≤10. 5( ) = 𝑃 7−9.7 6 40 ≤ 𝑧 ≤ 10.5−9.7 6 40 ( ) = 𝑃(− 2. 84≤𝑧 ≤0. 84 𝑃 − 2. 84≤𝑧 ≤0. 84( ) = 𝑃 𝑧 ≤0. 84( ) − 𝑃 𝑧 ≤ − 2. 84( ) 𝑃 − 2. 84≤𝑧 ≤0. 84( ) = 0. 69 − 1. 90 - 1.21𝑃(96≤´𝑥 ≤108) = 𝑃(− 0. 8≤ 𝑧 ≤1. 6) = 3. Los puntajes del test de inteligencia WISC (Weschler Intelligence Scale for Children) siguen una distribución Normal con media 100 y desviación estándar de 15 (http://nicologic.free.fr/faq). Averigüe la probabilidad de que: a) Un niño elegido al azar tenga un CI menor que 95. b) Una muestra de 20 niños elegidos al azar tenga una media menor que 95. ¿Cuál es la diferencia con la probabilidad encontrada en (a)? Rpta: La diferencia entre (b) y (a) es la variación en aumento de (b) con respecto a (a) c) Una muestra de 200 niños elegidos al azar tenga una media menor que 95. ¿Cuál es la diferencia con la probabilidad encontrada en (b)? Rpta: En es te caso, la probabilidad disminuye considerablemente en comparación con (c) 8. Para ambas poblaciones de hombres y mujeres jóvenes de 17 años de edad, las medias y desviaciones estándar, respectivamente, del grosor del pliegue subescalpular son como sigue: para los varones es de 9.7 y 6.0; para las mujeres es de 15.6 y 9.5. Si se obtiene una muestra aleatoria simple de 40 varones y otra de 35 mujeres a partir de dicha población, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia entre las medias de las muestras (𝑥 ̅mujeres – 𝑦̅ hombres) sea mayor que 10? Solución: Variable aleatoria: grosor del pliegue subescapular Población 1: hombres de 17 años de edad Muestra 1: 40 Muestra 2 : 35 Media 1: 9.7 Media : 15.6 De 1: 6 De : 9.5 Probabilidad: que la diferencia entre las medianas de las muestras (𝑥̅mujeres – 𝑦 ̅ hombres) se amayor que 10. Muestra = n Mujeres (X) = 40 Hombres (Y) = 35 µ1= 9.7 µ2= 15.6 σ1= 6 σ2= 9.5 > media de la diferencia de medias muestrales = 5.9 > desviación estándar de la dif de medias muestrales = 1.865 P(X̅1 - X̅2 >10 ) = 0.01396451 Respuesta : la probabilidad de que, la diferencia entre las medias de las muestras (𝑥 ̅mujeres – 𝑦̅ hombres) sea mayor que 10 es de aproximadamente 0.014. 9. Se tienen bases para suponer que 40 por ciento de las casas en cierta área de la ciudad están en malas condiciones. Una muestra aleatoria de 75 casas de esa área y otra compuesta de 90 casas de otra sección dieron una diferencia 𝑝̅1 − 𝑝̅2 de 0.09. Si no hay diferencia en la proporción de casas en malas condiciones entre estas dos áreas, ¿cuál es la probabilidad de observar una diferencia de esta magnitud o mucho mayor? Población 1: Población 2: P1=0.4 P2=0.4 n1=75 n2=90 Respuesta: La probabilidad de que la muestra presente dicha diferencia 𝑝̅1 − 𝑝̅2o mucho mayor , es de 12% 10. En una población de niños con retraso mental, se sabe que la proporción de los que son hiperactivos es de 0.40. Se extrajo una muestra aleatoria de tamaño 120 de esa población, y otra de tamaño 100 a partir de otra población de niños con el mismo problema. Si la proporción de niños hiperactivos es la misma en ambas poblaciones, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra presente como resultado una diferencia 𝑝̅1 − 𝑝 ̅2 de 0.16 o más? Proporción hiperactivos= 0.4 Población A Población B 120 100 P (p1 - p2 g 0.16) Zo= 2.41209076 Media (p1 - p2) = 0 Varianza (p1 - p2) = 0.004 Desviación E = 0.0663 P (p1 - p2 g 0.16) = 0.00793 P (Z g 0.16) = 0.00793 Respuesta: La probabilidad de que la muestra presente una diferencia de 0.16 es 0.008 11. Si la altura de un grupo de pacientes de una población sigue una distribución normal N(176,12), calcular la P(S≤10) para una muestra de tamaño 8. En la muestra aleatoria de tamaño “n” de una población normal ( ) por el teorema deµ, σ Fisher se tiene que: (𝑛−1) 𝑆2 σ2 𝑋 𝑛−1 2 Para la muestra que es de tamaño n = 8 de una población normal N(176,12), el estadístico sigue una distribución , y, por lo tanto:7 144 𝑆2 𝑋 7 2 𝑃𝑟(𝑆 ≤ 10) = 𝑃𝑟(𝑆2 ≤ 100) = 𝑃𝑟 7 144 𝑆2 ≤ 700 144( ) = 𝑃𝑟(𝑇 ≤ 4, 8611) Donde la variable T sigue una distribución , es decir:𝑋 7 2 𝑃𝑟(𝑆 ≤ 10) = 0. 3232 12. A un equipo de investigación le interesa conocer la diferencia entre las concentraciones de ácido úrico en pacientes con y sin el síndrome de Down. En un gran hospital para el tratamiento de pacientes con retardo mental, una muestra de 12 individuos con el síndrome presenta una media de x-bar1 = 4,5 mg/l00 ml. En un hospital general se encontró que una muestra de 15 individuos normales de la misma edad y sexo presenta un nivel medio de x-bar1= 3,4. Si es razonable suponer que las dos poblaciones de valores muestran una distribución normal y sus varianzas son iguales a 1 y 1,5, calcule el intervalo de confianza de 95 por ciento para la diferencia de medias poblacionales. Sea , , ... , una m.a. con cada Xi∼N( ,1), que indica el nivel de ácido𝑋 1 𝑋 2 𝑋 12 µ 1 úrico en el paciente (medido en mg/100 ml) con la enfermedad. Además tenemos𝑖 , , ..., una m.a. con cada Yj∼N( , 1.5), que indica el nivel de ácido úrico𝑌 1 𝑌 2 𝑋 15 µ 2 en el paciente (medido en mg/100 ml) sin la enfermedad. Las v.a. Xi y Yj son𝑗 independientes. Entonces tenemos que = 4.5, = 3.4 y z0.025= 1.96, así el intervalo que𝑥 𝑦 deseamos es: 𝐼𝐶 0.95 (µ 1 − µ 2 ) = 4. 5 − 3. 4 ± 1. 96 * 1 12 + 1.5 15 = (0. 2608, 1. 9392) Respuesta: Tenemos el 95 % de confianza de que la diferencia real μ1−μ2, está entre 0.2608 y 1.9392.
