Ejercicios y problemas resueltos de asociación de condensadores planos, Apuntes de Física Médica

¡Descarga Ejercicios y problemas resueltos de asociación de condensadores planos y más Apuntes en PDF de Física Médica solo en Docsity! EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PLANOS Antonio Zaragoza López Página 1 Ejercicio resuelto Nº 1 La capacidad total de dos condensadores conectados en paralelo es de 40 μF, sabiendo que uno de ellos tiene 10 μF. ¿Que valor tendrá el otro condensador? Resolución CE = 40 μF = 40 . 10 -6 F C1 = 10 μF = 10 . 10 -6 F +q1 C1 -q1 +q12 C12 -q12  A +q2 C2 –q2 B A B CE = C1 + C2 ; 40 . 10 -6 F = 10 . 10 -6 F + C2 C2 = 40 . 10 -6 F – 10 . 10 -6 F = 30 . 10 -6 F Ejercicio resuelto Nº 2 Calcula la capacidad del condensador equivalente del circuito de la figura. C1 = 2μF 1000 V C2 = 3 μF C3 = 4 μF C4 = 5 μF Resolución EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PLANOS Antonio Zaragoza López Página 2 Los condensadores C2 y C3 se encuentran asociados en paralelo dando lugar al condensador C23, cuyo valores: C2 + C3 = 3μF + 4 μF = 7 μF La nueva asociación de condensadores queda de la forma: C1 = 2μF 1000 V C23 =n 7 μF C4 = 5 μF La nueva situación es de tres condensadores en serie: C1 C23 C4 A B C D (VA – VD) = 1000 V C1 = 2 μF 1 / CE = 1 / C1 + 1 / C23 + 1 / C4 C23 = 7 μF 1 / CE = 1 / 2 + 1 / 7 + 1 / 5 C4 = 5 μF m.c.m = 2 . 7 . 5 . CE 2 . 7 . 5 = 7 . 5 CE + 2 . 5 CE + 2 . 7 . CE 70 = 35 CE + 10 CE + 14 CE 70 = 59 CE ; CE = 70 / 59 F = 1,18 μF EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PLANOS Antonio Zaragoza López Página 5 Tercer Paso: C12 A C3 B Al estar C12 y C3 en paralelo los dos condensadores están bajo la misma diferencia de potencial. Luego: C3 = Q3 / (VA – VB) ; Q3 = C3 . (VA – VB) Q3 = 1/2 . 10 -6 F . 100 V = 0,5 . 10 -4 C Q3 = ½ . 10 -4 C Como C12 y C3 se encuentran en paralelo, se cumple: QT = Q12 + Q3 10 -4 C = Q12 + 0,5 . 10 -4 C Q12 = 10 -4 C – 0,5 . 10 -4 C ; Q12 = 10 -4 C – 0,5 . 10 -4 C = ½ . 10 -4 C Como C1 y C2 estan inicialmente asociados en serie las cargas que soportan los dos condensadores es la misma. Luego: Q1 = ½ . 10 -4 C Q2 = ½ . 10 -4 C EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PLANOS Antonio Zaragoza López Página 6 Q3 = ½ . 10 -4 C Recordemos la ecuación de la energía de un condensador plano: Ep = ½ . Q 2 / Co Ep1 = ½ . (½ . 10 -4 C) 2 / (3/2 . 10 -6 F) = 1/8 . 10 -8 C 2 . 2 / 3 . 10 -6 F = =2/24 . 10 -2 J = 0,083 . 10 -2 J = 8,3 . 10 -4 J Ep2 = ½ . (1/2 . 10 -4 C) 2 / (3/4 . 10 -6 F) = 1/8 . 10 -8 C 2 / (3/4 . 10 -6 F) = = 4/24 . 10 -2 J = 0,17 . 10 -2 J = 17 . 10 -4 J Ep3 = ½ . ( ½ . 10 -4 ) 2 / ( ½ . 10 -6 F) = ¼ . 10 -2 J = 0,25 . 10 -2 = = 25 . 10 -4 J Ejercicio resuelto Nº 4 Un condensador de 1 μF se carga a 1000 V mediante una batería . Se desconecta de la batería, y se conecta inmediatamente a los extremos de otros dos condensadores, previamente descargados, de 2 y 8 μF de capacidad, respectivamente, conectados entre si como se muestra en la figura. Calcular: C1 = 1 μF C2 = 2 μF C3 = 8 μF a) La diferencia de potencial entre las placas del primer condensador después de la conexión a los otros dos b) La variación de energía electrostática asociada al proceso. EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PLANOS Antonio Zaragoza López Página 7 Resolución a) El condensador C1 de capacidad conocida y de diferencia de potencial también conocidase carga eléctricamente con una cantidad de Culombios: C = Q / ∆V  Q = C . ∆V  Q = 1. 10-6 F . 1000 V Q = 1 . 10 -3 C El condensador C1 aporta a la asociación una carga de 1 . 10 -3 C. Esta carga se repartirá entre los tres condensadores. C2 y C3 por estar asociados en serie tendrán una carga exactamente igual. Se debe de cumplir: QAntes = QDespués La asociación inical puede pasar a: C1 = 1 . 10 -6 F C23 El valor de C23 lo podemos calcular: 1/C23 = 1/C2 + 1/C3  1/C23 = 1/2 + 1/8 1/C23 = (4 + 1) / 8  1/C23 = 5 / 8 5 C23 = 8  C23 = 8 / 5  C23 = 1,6 μF EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PLANOS Antonio Zaragoza López Página 10 c) C1 C3 C12 C3 A B A B C2 C12 = C1 + C2 = 1 + 16 = 17 μF C123 A B 1/C123 = 1/C12 + 1/C3 1/C123 = 1/17 + 1/10 1/C123 = 0,059 + 0,1 = 0,158 ; C123 = 1/0,158 = 6,33 μF Ejercicio resuelto Nº 6 Determinar el condensador equivalente de los condensadores: Q1= 1 μF Q2= 16 μF Q3= 10 μF Q4= 20 μF Distribuidos en las siguientes asociaciones: a) C1 C1 C3 C2 C4 C2 C34 EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PLANOS Antonio Zaragoza López Página 11 1/C34 = 1/C3 + 1/C4 C1 1/C34 = 1/10 + 1/20 1/C34 = 0,1 + 0,05 ; 1/C34 = 0,15 ; C34 = 1/0,15 ; C34 = 6,66 μF C234 C234 = C2 + C34 ; C234 = 16 + 6,7 C234 = 22,7 μF C1 C234 1/C1234 = 1/C1 + 1/C234 C1234 1/C1234 = 1/1 + 1/22,7 1/C1334 = 1 + 0,044 1/C1234 = 1,044 ; C1234 = 1/1,044 C1234 = 0,95 μF Ejercicio resuelto Nº 7 Tres condensadores de capacidades 2, 4 y 6 F están conectados en serie. Primero se aplica un voltaje de 200 V al sistema. Calcular la carga de cada condensador, la diferencia de potencial y la energía almacenada en cada uno. Resolución C1 = 4 μf C1 C2 C3 C2 = 6 μf A B C D C3 = 8 μf EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PLANOS Antonio Zaragoza López Página 12 a) (VA – VD) = (VA – VB) + (VB – VC) + (VC – VD) QT . CE = q1 . C1 + q2 . C2 + q3 . C3 VA – VB = q1 . C1 C = Q /V ; V = Q/C VB –VC = q2 . C2 VC – VD = q3 . C3 C123 A D QT = CE . (VA – VD) (1) 1/CE = 1/C1 + 1/C2 + 1/C3 ; 1/CE = ¼ . 10 -6 + 1/6 . 10 -6 + 1/8 . 10 -6 1/CE = 0,25 . 10 -6 + 0,17 . 10 -6 + 0,125 . 10 -6 1/CE = 0,545 . 10 -6 ; CE = 1/0,545 . 10 -6 ; CE = 1,83 . 10 -6 F Volvemos a (1): QT = CE . (VA – VD) ; QT = 1,83 . 10 -6 F . 200 V = 250 . 10 -6 C En la sociación en serie se cumple que todos los condensadores tienen la misma carga e igual a QT = Q1 = Q2 = Q3 = 250 . 10 -6 C b) Las diferencias de potencial: VA – VB = C1 . q1 = 4 . 10 -6 F . 250 . 10 -6 C = 1000 . 10 -12 V VB – VC = C2 . q2 = 6 . 10 -6 F . 250 . 10 -6 C = 1500 . 10 -12 V VC – VD = C3 . q3 = 8 . 10 -6 F . 250 . 10 -6 C = 2000 . 10 -12 V c) EP = ½ . QT / C C1 = 4 . 10-6 F C2 = 6 . 10-6 F C3 = 8 . 10-6 F EP1 = ½ . (250 . 10 -6 C) 2 / 4 . 10 -6 F = 7812,5 . 10 -6 J EP2 = ½ (250 . 10 -6 C) 2 / 6 . 10 -6 F = 5208,33 . 10 -6 J EP3 = ½ . (250 . 10 -6 C) 2 / 8 . 10 -6 F = 3906,25 . 10 -6 J EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PLANOS Antonio Zaragoza López Página 15 Ejercicio resuelto Nº 9 Tres condensadores se asocian como se indica en la figura : a) si C1 = 7 μF ¡cuánto debe valer C2 para que la capacidad del conjunto sea igual a C2? b) Si se aplica entre los puntos A y B una diferencia de potencial de 300 V , encontrar la carga y la diferencia de potencial de cada condensador. C1 A D C1 C2 F = B B C1 C12 a) A D B C12 = C1 + C2 ; C12 = 7 + C2 C123 = CE = C2 A B EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PLANOS Antonio Zaragoza López Página 16 1/C123 = 1/C1 + 1/C12 ; 1/CE = 1/7 + 1/(7 + C2) 1/C2 = 1/7 + 1/(7 +C2) ; 7 . (7 + C2) = 7 C2 + C2 2 + 7 C2 49 + 7 C2 = C2 . (7 + C2) + 7 C2 ; C2 2 + 7 C2 – 49 = 0 Resolviendo la ecuación: C2 = 4,32 μF b) C1 C12 A D B VA – VB = VA – VD + VD – VB C123 = CE = C2 = 4,32 μF A B Recordemos: C = Q / V ; Q = C . V  Q = CE . (VA – VB) Q = 4,32 . 10 -6 F . 300 V = 1296 . 10 -6 C Los condensadores C1 y C12, por estar en serie, soportan la misma carga e igual a 1296 . 10 -6 C. VA – VD = Q/C1 ; VA – VB = 1296 . 10 -6 C / 7 . 10 -6 F = 185,14 V VD – VB = Q / C12 ; (VA – VB) = (VA – VD) + (VD – VB) 300 V = 185,14 V + (VD – VB) VD – VB = 114,86 V EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PLANOS Antonio Zaragoza López Página 17 c) C1 D B C2 Q1 = C1 . (VD – VB) = 7 . 10 -6 F . 114,86 V = 804,02 . 10 -6 C Q2 = C2 . (VD – VB) = 4,32 . 10 -6 F . 114,86 V = 496,19 . 10 -6 C Ejercicio resuelto Nº 10 Tres condensadores C1 = 20 μF, C2 = 30 μF y C3 = 60 µF se asocian en serie y el conjunto se carga a 300V. Calcular: a)La capacidad equivalente de la asociación. b) La carga de cada condensador. Resolución a) C1 C2 C3 A B C D C123 A D 1/C123 = 1 / C1 + 1 / C2 + 1 / C3 1 / CE = 1 / 20 + 1 / 30 + 1 / 60 60 = 3 CE + 2 CE + CE 60 = 6 CE ; CE = 60 / 6 = 10 μF EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PLANOS Antonio Zaragoza López Página 20 La carga de CAB se repartirá entre el condensador CA y el CB: QAB = QA + QB Conociendo las diferencias de potencial podemos conocer la QA y QB. En la anterior asociación se cumple: (VA – VC) = (VA – VB) + (VB – VC) En el condensador CC se cumple: CC = QC / (VB – VC) ; (VB – VC) = QC / CC (VB – VC) = 6 . 10 -3 C / 60 . 10 -6 F = 100 V Si nos vamos a la ecuación: (VA – VC) = (VA – VB) + (VB – VC) 200 V = (VA – VB) + 1 . 10 -2 V ; (VA - VB) = 200 V – 100 V (VA – VB) = 100 V Si nos vamos a la primera asociación: CA CC A B C CB EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PLANOS Antonio Zaragoza López Página 21 Los condensadores CA y CB pore star en paralelo están bajo la misma diferencia de potencial (VA – VB) = 100 V. Las cargas QA y QC las podremos conocer aplicando la ecuación: C = Q / V  Q = C . V  QA = CA . (VA – VB) QA = 20 . 10 -6 F . 100 V = 2 . 10 -3 C QB = CB . (VA – VB) = 40 . 10 -6 F . 100 V = 4 . 10 -3 C Ejercicio resuelto Nº 12 Dados los condensadores C1 = 2/3 μF, C2 = 1 μF, C3 = 1 μF y C4 = 1 μF. Se asociación según el esquema: C2 A C1 C3 C4 B En los extremos de la asociación se establece una diferencia de potencial de 1000V. ¿Qué carga almacena cada condensador? Resolución Los condensadores C2, C3 y C4 se encuentran asociados en serie. Su condensador equivalente C234 vale: 1 / C234 = 1 / C2 + 1 / C3 + 1 / C4 1 / C234 = 1 / 1 + 1 /1 + 1 / 1 1 / C234 = 3 ; C234 = 1/3 μF EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PLANOS Antonio Zaragoza López Página 22 La asociación inicial queda de la forma: A C1 C234 Esta asociación es totalmente equivalente a: C234 A C1 B Los condensadores C234 y C1 se encuentran asociados en paralelo y podemos obtener su condensador equivalente: C1234 = CE A B La capacidad del condensador equivalente se obtendrá: CE = C1 + C234 = 2/3 + 1/3 = 1 μF El condensador equivalente habrá almacenado una carga eléctrica de: QT = CE . (VA – VB) = 1 . 10 -6 F . 1000 V = 1 . 10 -3 C