El campo Magnético. Tipler. Problemas, Ejercicios de Física

¡Descarga El campo Magnético. Tipler. Problemas y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity! El campo magnético. Fuerza ejercida por un campo magnético 1. Cuando un tubo de rayos catódicos se sitúa horizontalmente en un campo magnético dirigido verticalmente hacia arriba, los electrones emitidos desde el cátodo siguen una de las líneas punteadas de la figura hasta incidir en la pantalla del tubo. La trayectoria correcta es a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. Aplicando la regla de la mano izquierda, la fuerza sobre una carga positiva estaría dirigida hacia la izquierda, como las cargas son negativas el sentido sería el contrario, hacia 2. Respuesta b. 2. ¿Por qué no se define B en la dirección de F, como se hace en el caso de E? Experimentalmente se ve que la fuerza siempre es perpendicular al campo. 3. Hallar la fuerza magnética que actúa sobre un protón que se mueve con velocidad 4.46 Mm/s en el sentido positivo de las x en el interior de un campo magnético de 1,75 T dirigido en el sentido positivo de las z. 𝑭𝑭�⃗ = 𝒒𝒒 ∗ �𝒗𝒗�⃗ ⨂𝑩𝑩��⃗ � = 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟒𝟒.𝟒𝟒𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟕𝟕 � 𝑭𝑭�⃗ = −𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒.𝟒𝟒𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝒋𝒋 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑵𝑵 ∗ 𝒋𝒋 4. Una carga q=-3.64 nC se mueve con velocidad de 2,75 106 m/s 𝒊𝒊. Hallar la fuerza que actúa sobre la carga si el campo magnético es a) 𝑩𝑩��⃗ = 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑻𝑻 𝒋𝒋. b) 𝑩𝑩��⃗ = 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑻𝑻 𝒊𝒊 �⃗ + 𝟏𝟏.75 T 𝒋𝒋. c) 𝑩𝑩��⃗ = 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟕𝟕 𝑻𝑻 𝒊𝒊. d) 𝑩𝑩��⃗ = 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑻𝑻 𝒊𝒊 �⃗ + 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑻𝑻 𝒌𝒌�⃗ a) 𝑭𝑭�⃗ = 𝒒𝒒 ∗ �𝒗𝒗�⃗ ⨂𝑩𝑩��⃗ � = −𝟑𝟑.𝟔𝟔𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟏 � 𝑭𝑭�⃗ = −𝟑𝟑.𝟔𝟔𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒌𝒌�⃗ = −𝟑𝟑.𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝑵𝑵 ∗ 𝒌𝒌�⃗ b) 𝑭𝑭�⃗ = −𝟑𝟑.𝟔𝟔𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟏𝟏 � = −𝟕𝟕.𝟕𝟕𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝑵𝑵 ∗ 𝒌𝒌�⃗ c) 𝑭𝑭�⃗ = −𝟑𝟑.𝟔𝟔𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟕𝟕 𝟏𝟏 𝟏𝟏 � = 𝟏𝟏 d) 𝑭𝑭�⃗ = −𝟑𝟑.𝟔𝟔𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟕𝟕 � e) 𝑭𝑭�⃗ = −𝟑𝟑.𝟔𝟔𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏 ∗ �−𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� ∗ 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟕𝟕.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝑵𝑵 ∗ 𝒋𝒋 5. Un campo magnético uniforme de valor 1,48 T está en la dirección y sentido positivo del eje de las z. Hallar la fuerza que actúa sobre un protón si su velocidad es a) 𝒗𝒗�⃗ = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒔𝒔 𝒊𝒊. b) 𝒗𝒗�⃗ = 𝟑𝟑.𝟕𝟕𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒔𝒔 𝒋𝒋. c) 𝒗𝒗�⃗ = 𝟔𝟔.𝟑𝟑𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒔𝒔 𝒌𝒌�⃗ . d) 𝒗𝒗�⃗ = 𝟒𝟒.𝟏𝟏𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒔𝒔 𝒊𝒊 + 𝟑𝟑.𝟏𝟏𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒔𝒔 𝒋𝒋 . a) 𝑭𝑭�⃗ = 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟐𝟐.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟑𝟑 � 𝑭𝑭�⃗ = 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ −�𝟐𝟐.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟑𝟑� ∗ 𝒋𝒋 = −𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑵𝑵 ∗ 𝒋𝒋 b) 𝑭𝑭�⃗ = 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟏𝟏 𝟑𝟑.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟑𝟑 � 𝑭𝑭�⃗ = 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝟑𝟑.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟑𝟑� ∗ 𝒊𝒊 = 𝟑𝟑.𝟕𝟕𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑵𝑵 ∗ 𝒊𝒊 c) 𝑭𝑭�⃗ = 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟔𝟔.𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟑𝟑 � = 𝟏𝟏 d) 𝑭𝑭�⃗ = 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟒𝟒.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟑𝟑.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟑𝟑 � 𝑭𝑭�⃗ = −𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ ��𝟑𝟑.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟑𝟑� ∗ 𝒊𝒊 − 𝟒𝟒.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟑𝟑 ∗ 𝒋𝒋� 𝑭𝑭�⃗ = (𝟕𝟕.𝟏𝟏 ∗ 𝒊𝒊 − 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟕𝟕 ∗ 𝒋𝒋) ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑵𝑵 6. Un electrón se mueve con velocidad 2.75 Mm/s en el plano xy formando un ángulo de 60º con el eje x y un ángulo de 30º con el eje y. Un campo magnético de 0.85 T está dirigido en el sentido de las y. Hallar la fuerza que actúa sobre el electrón. 𝒗𝒗�⃗ = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝟔𝟔𝟏𝟏 ∗ 𝒊𝒊 + 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝟑𝟑𝟏𝟏 ∗ 𝒋𝒋 𝒗𝒗�⃗ = 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝒊𝒊 + 𝟐𝟐.𝟑𝟑𝟑𝟑𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝒋𝒋 𝑭𝑭�⃗ = −𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟐𝟐.𝟑𝟑𝟑𝟑𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟕𝟕 𝟏𝟏 � 𝑭𝑭�⃗ = −𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝒌𝒌�⃗ = 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝑵𝑵 ∗ 𝒌𝒌�⃗ 7. Un segmento de conductor recto de 2 m de largo forma un ángulo de 30º con un campo magnético uniforme de 0.37 T. Hallar la fuerza que actúa sobre el conductor si por él circula una corriente de 2 A. 𝑭𝑭 = 𝑰𝑰 ∗ 𝒍𝒍 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟑𝟑𝟏𝟏) = 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟒𝟒 𝑵𝑵 𝑩𝑩��⃗ = 𝑩𝑩𝒌𝒌�⃗ perpendicular al plano de la espira (figura). Demostrar que la fuerza que actúa sobre la espira es 𝑭𝑭 = 𝟐𝟐𝑰𝑰𝟐𝟐𝑩𝑩𝒋𝒋. 𝒅𝒅𝑭𝑭 = 𝑰𝑰 ∗ 𝒅𝒅𝒍𝒍 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒔𝒔 ∗ 𝑩𝑩 Por componentes: 𝒅𝒅𝑭𝑭𝒙𝒙 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒅𝒅𝒔𝒔 𝒅𝒅𝑭𝑭𝒚𝒚 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒅𝒅𝒔𝒔 Por simetría la componente x global se anula. Para la componente y del semicírculo tenemos: 𝑭𝑭𝒚𝒚,𝒔𝒔𝒔𝒔𝑴𝑴𝒔𝒔𝒄𝒄í𝒂𝒂𝒄𝒄𝒓𝒓𝒍𝒍𝒄𝒄 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝑩𝑩 ∗ ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒅𝒅𝒔𝒔𝝅𝝅 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝑩𝑩 Aplicando la regla de la mano izquierda determinamos dirección y sentido, si la corriente circula por el semicírculo de izquierda a derecha tenemos dF en el sentido indicado. 14. Un alambre de 10 cm de longitud transporta una corriente de 4,0 A en la dirección z positiva. La fuerza que actúa sobre este cable por causa de un campo magnético B es 𝑭𝑭�⃗ = (−𝟏𝟏.𝟐𝟐 𝒊𝒊 + 𝟏𝟏.𝟐𝟐 𝒋𝒋)𝑵𝑵. Si este alambre se gira de tal modo que la corriente fluye en dirección x positiva, la fuerza sobre el alambre es 𝑭𝑭�⃗ = 𝟏𝟏.𝟐𝟐 𝒌𝒌�⃗ 𝑵𝑵.Determinar el campo magnético B. 𝑭𝑭�⃗ = −𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ 𝒊𝒊 + 𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ 𝒋𝒋 = 𝟒𝟒.𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟏𝟏 𝑩𝑩𝒙𝒙 𝑩𝑩𝒚𝒚 𝑩𝑩𝒛𝒛 � −𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ 𝒊𝒊 + 𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ 𝒋𝒋 = 𝟒𝟒.𝟏𝟏 ∗ (−𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒚𝒚 ∗ 𝒊𝒊 + 𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒙𝒙 ∗ 𝒋𝒋) 𝟏𝟏.𝟐𝟐 = 𝟒𝟒.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒚𝒚 ; 𝑩𝑩𝒚𝒚 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝟏𝟏.𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟕𝟕 𝑻𝑻 𝟏𝟏.𝟐𝟐 = 𝟒𝟒.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒙𝒙 = 𝑩𝑩𝒚𝒚 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝟏𝟏.𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟕𝟕 𝑻𝑻 𝑭𝑭�⃗ = 𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌�⃗ = 𝟒𝟒.𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝑩𝑩𝒙𝒙 𝑩𝑩𝒚𝒚 𝑩𝑩𝒛𝒛 � 𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌�⃗ = 𝟒𝟒 ∗ (−(𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒛𝒛) ∗ 𝒊𝒊 + 𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒚𝒚 ∗ 𝒌𝒌�⃗ ) 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒛𝒛 = 𝟏𝟏; 𝑩𝑩𝒛𝒛 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒚𝒚 ; 𝑩𝑩𝒚𝒚 = 𝟏𝟏.𝟕𝟕 𝑻𝑻 𝑩𝑩��⃗ = 𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝒊𝒊 + 𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝒋𝒋 15. Un segmento de alambre de 10 cm de longitud transporta una corriente de 2,0 A en la dirección x positiva. La fuerza que actúa sobre este alambre debido a la presencia de un campo magnético B es 𝑭𝑭�⃗ = �𝟑𝟑,𝟏𝟏 𝒋𝒋 + 𝟐𝟐,𝟏𝟏 𝒌𝒌�⃗ �𝑵𝑵. Si el alambre se gira, de modo que la corriente fluye ahora en la dirección y positiva, la fuerza sobre el alambre es 𝑭𝑭�⃗ = �− 𝟑𝟑,𝟏𝟏 𝒊𝒊 − 𝟐𝟐,𝟏𝟏 𝒌𝒌�⃗ �𝑵𝑵. Determinar el campo magnético B. 𝑭𝑭�⃗ = 𝟑𝟑.𝟏𝟏 ∗ 𝒋𝒋 + 𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ 𝒌𝒌�⃗ = 𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝑩𝑩𝒙𝒙 𝑩𝑩𝒚𝒚 𝑩𝑩𝒛𝒛 � 𝟑𝟑.𝟏𝟏 ∗ 𝒋𝒋 + 𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ 𝒌𝒌�⃗ = 𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ (−𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒛𝒛 ∗ 𝒋𝒋 + 𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒚𝒚 ∗ 𝒌𝒌�⃗ ) 𝟑𝟑.𝟏𝟏 = −𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒛𝒛 ; 𝑩𝑩𝒛𝒛 = − 𝟑𝟑.𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟏𝟏 = −𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑻𝑻 𝟐𝟐.𝟏𝟏 = 𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒚𝒚 ; 𝑩𝑩𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑻𝑻 𝑭𝑭�⃗ = −𝟑𝟑.𝟏𝟏 ∗ 𝒊𝒊 − 𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ 𝒌𝒌�⃗ = 𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝑩𝑩𝒙𝒙 𝑩𝑩𝒚𝒚 𝑩𝑩𝒛𝒛 � −𝟑𝟑.𝟏𝟏 ∗ 𝒊𝒊 − 𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ 𝒌𝒌�⃗ = 𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ (𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒛𝒛 ∗ 𝒊𝒊 − 𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒙𝒙 ∗ 𝒌𝒌�⃗ ) −𝟑𝟑.𝟏𝟏 = 𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒛𝒛; 𝑩𝑩𝒛𝒛 = − 𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟏𝟏 = −𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑻𝑻 −𝟐𝟐.𝟏𝟏 = −𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝑩𝑩𝒙𝒙 ; 𝑩𝑩𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑻𝑻 𝑩𝑩��⃗ = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒊𝒊 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒋𝒋 − 𝟏𝟏𝟕𝟕 ∗ 𝒌𝒌�⃗ 16. Un alambre cerrado según una forma arbitraria transporta una corriente I dentro de un campo magnético uniforme B. Demostrar explícitamente que la fuerza total que actúa sobre la parte del alambre desde un punto a a otro punto b es 𝑭𝑭�⃗ = 𝑰𝑰 𝒍𝒍 ⨂ 𝑩𝑩��⃗ , en donde l es el vector de a a b. 𝒅𝒅𝑭𝑭�⃗ = 𝑰𝑰 ∗ 𝒅𝒅𝒍𝒍 ⨂ 𝑩𝑩��⃗ 𝑭𝑭�⃗ = ∫ 𝑰𝑰 ∗ 𝒅𝒅𝒍𝒍 ⨂ 𝑩𝑩��⃗𝒃𝒃 𝒂𝒂 = 𝑰𝑰 ∗ �∫ 𝒅𝒅𝒍𝒍𝒃𝒃 𝒂𝒂 �⨂ 𝑩𝑩��⃗ = 𝑰𝑰 ∗ 𝒍𝒍 ⨂𝑩𝑩��⃗ Movimiento de una carga puntual en un campo magnético 17. Verdadero o falso: La fuerza magnética no acelera a una partícula porque es perpendicular a la velocidad de la partícula. Falso, la partícula puede girar, y eso implica aceleración. 18. Una partícula cargada móvil entra en una región en la que experimenta una desviación súbita perpendicular a su movimiento. ¿Cómo podemos saber si la desviación ha sido motivada por un campo magnético o por uno eléctrico? Si una partícula cargada móvil entra en una región en la que experimenta una desviación súbita perpendicular a su movimiento, podemos saber si la desviación ha sido motivada por un campo magnético o por uno eléctrico observando la trayectoria de la partícula. Si la trayectoria es circular, entonces la desviación ha sido motivada por un campo magnético. Si la trayectoria es rectilínea, entonces la desviación ha sido motivada por un campo eléctrico. 19. Un protón se mueve en una órbita circular de radio 65 cm perpendicular a un campo magnético uniforme de valor 0,75 T. a) ¿Cuál es el periodo correspondiente a este movimiento? b) Hallar la velocidad del protón. c) Hallar la energía cinética del protón. a) 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑴𝑴 ∗ 𝒗𝒗 𝟐𝟐 𝟐𝟐 ;𝒒𝒒 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑴𝑴 ∗ �𝟐𝟐∗𝝅𝝅𝑻𝑻 ∗𝟐𝟐� 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑴𝑴 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟑𝟑𝟕𝟕.𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏 𝒔𝒔 b) 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐 𝒗𝒗 ;𝒗𝒗 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟕𝟕 𝟑𝟑𝟕𝟕.𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏 = 𝟒𝟒.𝟔𝟔𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑴𝑴/𝒔𝒔 c) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟕𝟕 ∗ �𝟒𝟒.𝟔𝟔𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕�𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑱𝑱 20. Un electrón de energía cinética 45 keV se mueve en una órbita circular perpendicular a un campo magnético de 0,325 T. a) Hallar el radio de la órbita. b) Hallar la frecuencia angular y el periodo del movimiento. a) 𝒗𝒗 = �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝑴𝑴 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑴𝑴 ∗ 𝒗𝒗 𝟐𝟐 𝟐𝟐 ;𝟐𝟐 = 𝑴𝑴∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝑴𝑴∗�𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄𝑴𝑴 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝑴𝑴 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝟐𝟐 = �𝟐𝟐∗𝟒𝟒𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝒔𝒔𝒆𝒆∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒆𝒆 ∗𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏𝒌𝒌𝒈𝒈 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝟐𝟐.𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑴𝑴 b) 𝝎𝝎 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐 = �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝑴𝑴 𝟐𝟐 = �𝟐𝟐∗𝟒𝟒𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝒔𝒔𝒆𝒆∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒆𝒆 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏𝒌𝒌𝒈𝒈 𝟐𝟐.𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 = 𝟕𝟕.𝟕𝟕𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟏𝟏𝒔𝒔−𝟏𝟏 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐 �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝑴𝑴 = 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐 ∗ �𝟐𝟐∗𝑴𝑴 𝑬𝑬𝒄𝒄 𝑻𝑻 = 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐.𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ � 𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏𝒌𝒌𝒈𝒈 𝟒𝟒𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝒔𝒔𝒆𝒆∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒆𝒆 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏 𝒔𝒔 21. Un electrón procedente del Sol con una velocidad de 1 107 m/s entra en el campo magnético terrestre por encima del ecuador en donde el campo magnético es 4 10-7 T. El electrón se mueve aproximadamente según una circunferencia, excepto en una pequeña desviación a lo largo de la dirección del campo magnético terrestre hacia el polo norte. a) ¿Cuál es el radio del movimiento circular? b) ¿Cuál es el radio del movimiento circular cerca del polo norte donde el campo magnético es 2 10-5 T? a) 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑴𝑴 ∗ 𝒗𝒗 𝟐𝟐 𝟐𝟐 ;𝟐𝟐 = 𝑴𝑴∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝟐𝟐 = 𝑴𝑴∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟐𝟐 𝑴𝑴 b) 𝟐𝟐 = 𝑴𝑴∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 = 𝟐𝟐.𝟑𝟑𝟒𝟒 𝑴𝑴 22. Protones, deuterones (cada uno de carga +e) y partículas alfa (de carga +2e) de la misma energía cinética entran en un campo magnético uniforme B que es perpendicular a sus velocidades. Sean rp, rd y rα los radios de sus órbitas cirulares. Hallar los cocientes rd/rp y rα/rp.Admitir que mα=2 md=4 mp. 𝒅𝒅 = 𝒂𝒂 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟑𝟑 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏 𝑴𝑴 27. Supongamos que en la figura anterior B=0,6 T, la distancia d=0,4 m y ϴ=24º. Determinar la velocidad v y el ángulo ϕ si las partículas son a) Protones. B) Deuterones. a) Por simetría ϕ=24º. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 (𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝒔𝒔) = 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟐𝟐𝟒𝟒 = 𝒅𝒅/𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝒂𝒂 = 𝒅𝒅 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝟒𝟒 = 𝟏𝟏.𝟒𝟒 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐𝟒𝟒 = 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑴𝑴 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒂𝒂 ;𝒗𝒗 = 𝒒𝒒∗𝒂𝒂∗𝑩𝑩 𝑴𝑴 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟔𝟔 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝟐𝟐.𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑴𝑴/𝒔𝒔 b) 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟔𝟔 𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑴𝑴/𝒔𝒔 Selectores de velocidad 28. Un haz de partículas cargadas positivamente pasa sin desviarse de izquierda a derecha a través de un selector de velocidades en el cual el campo eléctrico está dirigido hacia arriba. El haz se invierte a continuación de modo que se propaga de derecha a izquierda. ¿Se desviará ahora el haz en el selector de velocidades? Si es así, ¿en qué dirección? En la situación inicial la fuerza eléctrica es compensada por la magnética. En esta situación, usando la regla de la mano izquierda, la velocidad está de izquierda a derecha, la fuerza magnética hacia arriba, el campo ha de estar dirigido hacia fuera del papel. Al ir en sentido contrario, la fuerza magnética cambia de sentido, es hacia arriba, igual que la eléctrica, por tanto, se desviará hacia arriba. 29. Un selector de velocidad tiene un camp magnético de valor 0,28 T perpendicular a un campo eléctrico de valor 0,46 MV/m. a) ¿Cuál deberá ser la velocidad de una partícula para pasar a través de dicho selector sin ser desviada? ¿Qué energía deberían tener b) Los protones? c) Los electrones para pasar a través del mismo sin ser desviados? a) 𝒒𝒒 ∗ 𝑬𝑬 = 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 ;𝒗𝒗 = 𝑬𝑬 𝑩𝑩 = 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟑𝟑 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑴𝑴/𝒔𝒔 b) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟕𝟕 ∗ (𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟐𝟐 = 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑱𝑱 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒆𝒆 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 = 𝟏𝟏𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒔𝒔𝒆𝒆 c) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟏𝟏 ∗ (𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑱𝑱 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒆𝒆 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 = 𝟕𝟕.𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒔𝒔𝒆𝒆 30. Un haz de protones se mueve a lo largo del eje x en su sentido positivo con una velocidad de 12.4 km/s a través de una región de campos cruzados equilibrados con desviación nula. a) Si existe un campo magnético de valor 0.85 T en el sentido positivo de las y, hallar el valor y dirección del campo eléctrico. b) ¿Serán desviados los electrones de la misma velocidad por estos campos? Si es así, ¿en qué dirección y sentido? a) Aplicando la regla de la mano izquierda, el campo eléctrico deberá estar dirigido en el sentido entrante del plano del papel para contrarrestar la fuerza magnética que va dirigida hacia fuera del plano del papel. 𝒗𝒗�⃗ = 𝟏𝟏𝟐𝟐.𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑴𝑴 𝒔𝒔 𝒊𝒊 𝑭𝑭�⃗𝑴𝑴 = 𝒒𝒒 ∗ � 𝒔𝒔 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟏𝟏𝟐𝟐.𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟕𝟕 𝟏𝟏 � = 𝒒𝒒 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝟐.𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝒌𝒌�⃗ 𝑭𝑭�⃗𝒔𝒔𝒍𝒍𝒔𝒔𝒄𝒄 = −𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝟐.𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝒌𝒌�⃗ = −𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟕𝟕 ∗ 𝒌𝒌�⃗ 𝑬𝑬��⃗ = 𝑭𝑭��⃗ 𝒔𝒔𝒍𝒍𝒔𝒔𝒄𝒄 𝒒𝒒 = −𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒌𝒌�⃗ = −𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒌𝒌�⃗ b) El resultado no depende de la masa, la fuera magnética iría en sentido contrario, la eléctrica también, el resultado es que no hay desviación. Medida de q/m 31. Las placas de un aparato Thomson q/m son de 6,0 cm de largo y están separadas por 1,2 cm. El extremo de las placas está a 30,0 cm de la pantalla del tubo. La energía cinética de los electrones es de 2,8 keV. a) Si se aplica un potencial de 25,0 V a través de las placas de deflexión, ¿en cuánto se desviará el haz? b) Hallar el valor de un campo cruzado que permita al haz pasar sin ser desviado. a) Calculamos la fuerza vertical y la aceleración cuando está entre las placas. 𝑭𝑭𝒚𝒚 = 𝒒𝒒 ∗ 𝑬𝑬 = 𝒒𝒒∗𝒆𝒆 𝒅𝒅 ;𝒂𝒂𝒚𝒚 = 𝒒𝒒∗𝒆𝒆 𝒅𝒅∗𝑴𝑴 En el eje de las x tenemos una velocidad constante: 𝒗𝒗𝒙𝒙 = �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝑴𝑴 El tiempo entre placas: 𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝒗𝒗𝒙𝒙 ∗ ∆𝒕𝒕𝟏𝟏;∆𝒕𝒕𝟏𝟏 = 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒗𝒗𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝟏𝟏 �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝑴𝑴 La velocidad vertical de salida de las placas: 𝒗𝒗𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝒚𝒚 ∗ ∆𝒕𝒕𝟏𝟏 = 𝒒𝒒∗𝒆𝒆 𝒅𝒅∗𝑴𝑴 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝑴𝑴 En el momento en que abandonan la zona entre placas la posición es: ∆𝒚𝒚𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝒂𝒚𝒚 ∗ (∆𝒕𝒕𝟏𝟏)𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒∗𝒆𝒆 𝒅𝒅 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 Una vez ha salido de las placas el electrón se moverá con m.r.u. 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝒗𝒗𝒙𝒙 ∗ ∆𝒕𝒕𝟐𝟐;∆𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝑴𝑴 ∆𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝒗𝒗𝒚𝒚 ∗ ∆𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝒒𝒒∗𝒆𝒆 𝒅𝒅∗𝑴𝑴 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝑴𝑴 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐 �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝑴𝑴 = 𝒒𝒒∗𝒆𝒆 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏∗𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒄𝒄 El punto de colisión será: ∆𝒚𝒚𝟏𝟏 + ∆𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝒒𝒒∗𝒆𝒆 𝒅𝒅 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒄𝒄 + 𝒒𝒒∗𝒆𝒆 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏∗𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∆𝒚𝒚𝟏𝟏 + ∆𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒∗𝒆𝒆 𝒅𝒅∗𝑬𝑬𝒄𝒄 ∗ �𝒙𝒙𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐� ∆𝒚𝒚𝟏𝟏 + ∆𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟐𝟐𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟐𝟐.𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏.𝟑𝟑� ∆𝒚𝒚𝟏𝟏 + ∆𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟕𝟕.𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝑴𝑴 b) La fuerza magnética contrarrestará a la eléctrica: El campo magnético estará dirigido hacia dentro del plano del papel. 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝒒𝒒 ∗ 𝑬𝑬 𝑩𝑩 = 𝑬𝑬 𝒗𝒗 = 𝒆𝒆/𝒅𝒅 �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝑴𝑴 = 𝟐𝟐𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 �𝟐𝟐∗𝟐𝟐.𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟏𝟏 = 𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 𝑻𝑻 Espectrómetro de masas 32. El cloro tiene dos isótopos estables, 𝑪𝑪𝒍𝒍𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟑𝟑𝟕𝟕 𝒚𝒚 𝑪𝑪𝒍𝒍𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟑𝟑𝟕𝟕 cuyas abundancias naturales son, respectivamente, 76 % y 24 % (aproximadamente). El gas cloro ionizado con una sola carga ha de separarse en sus componentes isotópicos mediante un espectrómetro de masas. El campo magnético del espectrómetro es 1,2 T. ¿Cuál es el valor mínimo del potencial a través del cual deben acelerarse estos iones para que la separación entre ellos sea de 1,4 cm? En el campo eléctrico la velocidad: 𝒒𝒒 ∗ ∆𝒆𝒆 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ;𝒗𝒗 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒 ∗ ∆𝒆𝒆 𝑴𝑴 En el campo magnético: 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑴𝑴𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟕𝟕 ; 𝒒𝒒 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑴𝑴𝟑𝟑𝟕𝟕∗𝒗𝒗 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟕𝟕 ;𝟐𝟐𝟑𝟑𝟕𝟕 = 𝑴𝑴𝟑𝟑𝟕𝟕∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝑴𝑴𝟑𝟑𝟕𝟕∗� 𝟐𝟐∗𝒒𝒒∗∆𝒆𝒆 𝑴𝑴𝟑𝟑𝟕𝟕 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = �𝟐𝟐∗∆𝒆𝒆∗𝑴𝑴𝟑𝟑𝟕𝟕 𝒒𝒒∗𝑩𝑩𝟐𝟐 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑴𝑴 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝑴𝑴𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑𝟕𝟕 = 𝑴𝑴𝟐𝟐𝟑𝟑𝟕𝟕∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝒅𝒅𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝒅𝒅𝟐𝟐𝟑𝟑𝟕𝟕 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑𝟕𝟕 = 𝟐𝟐∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 ∗ (𝑴𝑴𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑 −𝑴𝑴𝟐𝟐𝟑𝟑𝟕𝟕) 𝒅𝒅𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝒅𝒅𝟐𝟐𝟑𝟑𝟕𝟕 = 𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ �𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝟑𝟑.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟕𝟕 − 𝟑𝟑.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟕𝟕� 𝒅𝒅𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝒅𝒅𝟐𝟐𝟑𝟑𝟕𝟕 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑴𝑴 El ciclotrón 37. Un ciclotrón para acelerar protones tiene un campo magnético de 1,4 T y un radio de 0,7 m. a) ¿Cuál es la frecuencia del ciclotrón? b) Hallar la energía máxima de los protones cuando salen del mismo. c) ¿En que variará la respuesta a este problema si se utilizan deuterones, que tienen la misma carga, pero doble masa, en lugar de protones? a) El periodo de la partícula es: 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑴𝑴 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 ;𝒒𝒒 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑴𝑴 ∗𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 ;𝒒𝒒 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑴𝑴 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟒𝟒 = 𝟒𝟒.𝟔𝟔𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒔𝒔 ;𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝑯𝑯𝒛𝒛 b) 𝟐𝟐 = 𝑴𝑴∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 ;𝒗𝒗 = 𝒒𝒒∗𝑩𝑩∗𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒 𝟐𝟐∗𝑩𝑩𝟐𝟐 𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ �𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟐𝟐 ∗𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟐𝟐 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟕𝟕.𝟑𝟑𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟐𝟐𝑱𝑱 = 𝟒𝟒.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝒔𝒔𝒆𝒆 c) 𝒇𝒇 = 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐∗𝑴𝑴𝒑𝒑 = 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟔𝟔𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝑯𝑯𝒛𝒛 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐∗𝑩𝑩𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝑴𝑴𝒑𝒑 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 = 𝟐𝟐.𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝒔𝒔𝒆𝒆 38. Un determinado ciclotrón tiene un campo magnético de 1,8 T y está proyectado para acelerar protones hasta 25 MeV. a) ¿Cuál es la frecuencia del ciclotrón? b) ¿Cuál deberá ser el radio mínimo del imán para obtener una energía de salida de 25 MeV? c) Si se aplica un potencial alternativo a las des con un valor máximo de 50 kV, ¿Cuántas vueltas orbitales deberán realizar los protones antes de emerger con la energía de 25 MeV? a) 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑴𝑴 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 ;𝒇𝒇 = 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝟐𝟐∗∗𝝅𝝅∗𝑴𝑴 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏,𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝟐𝟐𝟕𝟕.𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝑯𝑯𝒛𝒛 b) 𝒗𝒗 = �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝑴𝑴 𝟐𝟐 = 𝑴𝑴∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝑴𝑴∗�𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄𝑴𝑴 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝑴𝑴 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = �𝟐𝟐∗𝟐𝟐𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝒔𝒔𝒆𝒆∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒆𝒆 ∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑪𝑪∗𝟏𝟏.𝟑𝟑 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑴𝑴 c) 𝑵𝑵 = 𝟐𝟐𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝒔𝒔𝒆𝒆∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒆𝒆 𝑬𝑬𝒂𝒂𝒔𝒔𝒗𝒗 En 1 vuelta el portón pasa 2 veces por el campo eléctrico: 𝑬𝑬𝒂𝒂𝒔𝒔𝒗𝒗 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒 ∗ ∆𝒆𝒆 = ( 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟕𝟕𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑)𝑱𝑱 𝑵𝑵 = 𝟐𝟐𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝒔𝒔𝒆𝒆∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒆𝒆 𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟕𝟕𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟐𝟐∗𝟕𝟕𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝟕𝟕𝟏𝟏 39. Demostrar que la frecuencia del ciclotrón es la misma para deuterones que para partículas alfa y que es la mitad de la correspondiente a un protón en el interior del mismo campo magnético (véase problema 22). 𝒇𝒇 = 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑴𝑴 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝑫𝑫𝒔𝒔𝒓𝒓𝒕𝒕𝒔𝒔𝒂𝒂𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔: 𝒒𝒒𝒅𝒅 = 𝒒𝒒𝒑𝒑 ;𝑴𝑴𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗𝑴𝑴𝒑𝒑 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒑𝒑𝒂𝒂𝒂𝒂𝒕𝒕í𝒄𝒄𝒓𝒓𝒍𝒍𝒂𝒂𝒔𝒔 𝒂𝒂𝒍𝒍𝒇𝒇𝒂𝒂: 𝒒𝒒𝒂𝒂𝒍𝒍𝒇𝒇𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒𝒑𝒑 ;𝑴𝑴𝒂𝒂𝒍𝒍𝒇𝒇𝒂𝒂 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑴𝑴𝒑𝒑 Por tanto, en los dos casos la frecuencia es la misma. 𝒇𝒇 = 𝒒𝒒𝒅𝒅∗𝑩𝑩 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑴𝑴𝒅𝒅 = 𝒒𝒒𝒂𝒂𝒍𝒍𝒇𝒇𝒂𝒂∗𝑩𝑩 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑴𝑴𝒂𝒂𝒍𝒍𝒇𝒇𝒂𝒂 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒𝒑𝒑∗𝑩𝑩 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑴𝑴𝒑𝒑 40. Demostrar que el radio de la órbita de una partícula cargada en un ciclotrón es proporcional a la raíz cuadrada del número de órbitas recorridas. 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝑵𝑵 ∗ 𝑬𝑬𝒂𝒂𝒔𝒔𝒗𝒗 = 𝑵𝑵 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒 ∗ ∆𝒆𝒆 𝟐𝟐 = 𝑴𝑴∗𝒗𝒗 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝑴𝑴∗�𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄𝑴𝑴 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = �𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝑴𝑴 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = �𝟐𝟐∗𝑵𝑵∗𝟐𝟐∗𝒒𝒒∗∆𝒆𝒆 ∗𝑴𝑴 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝟐𝟐 ∗ �𝒒𝒒∗∆𝒆𝒆 ∗𝑴𝑴 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 ∗ √𝑵𝑵 Pares de fuerzas sobre espiras e imanes 41. ¿Qué orientación debe tener una espira de corriente para que el momento del par sea máximo? 𝝉𝝉 = 𝑰𝑰 ∗ 𝒂𝒂 ∗ 𝒃𝒃 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 El momento será máximo cuando ϴ=90º; o sea el plano de la espira paralelo al campo. 42. Una bobina circular pequeña de 20 vueltas de alambre está en un campo magnético uniforme de 0,5 T de modo que la normal al plano de la bobina forma un ángulo de 60 º con la dirección de B. El radio de la bobina es 4 cm y por ella circula una corriente de 3 A. a) ¿Cuál es el valor del momento magnético de la bobina? b) ¿Qué momento o par de fuerzas se ejerce sobre la bobina? a) 𝝁𝝁 = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟒𝟒𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑨𝑨 ∗𝑴𝑴𝟐𝟐 b) 𝝉𝝉 = 𝝁𝝁 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟔𝟔𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏 𝑵𝑵 ∗𝑴𝑴 43. ¿Cuál es el momento del par máximo que actúa sobre una bobina circular de 400 vueltas de radio 0,75 cm que transporta una corriente de 1,6 mA y está situada en un campo magnético uniforme de 0,25 T? 𝝉𝝉 = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝑩𝑩 = 𝟒𝟒𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟕𝟕𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝟐𝟐.𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕𝑵𝑵 ∗𝑴𝑴 44. Un alambre conductor se dobla en forma de un cuadrado de lado L=6 cm y se sitúa en el plano xy. Transporta una corriente I=2,5 A. ¿Cuál es el momento del par que actúa sobre el conductor si existe un campo magnético de 0,3 T a) En la dirección z. b) En la dirección x? a) 𝝉𝝉�⃗ = 𝝁𝝁�⃗ ⊗ 𝑩𝑩��⃗ = � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝑩𝑩 � = 𝟏𝟏 b) 𝝉𝝉�⃗ = 𝝁𝝁�⃗ ⊗ 𝑩𝑩��⃗ = � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝟏𝟏 𝟏𝟏 � = 𝑩𝑩 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒋𝒋 = 𝟏𝟏.𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐 ∗ 𝒋𝒋 𝝉𝝉�⃗ = 𝟐𝟐.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝒋𝒋 El signo de + o – en el eje y dependerá del sentido de la corriente en la espira. 45. Repetir el problema 44 para el caso en que el alambre se dobla en forma de un triángulo equilátero de lado 8 cm. a) 𝝉𝝉�⃗ = 𝝁𝝁�⃗ ⊗ 𝑩𝑩��⃗ = � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝑩𝑩 � = 𝟏𝟏 d) 𝝁𝝁�⃗ = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔��⃗ = 𝟕𝟕𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 ∗ (𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟔𝟔) (𝒊𝒊 + 𝒋𝒋) √𝟐𝟐 � 𝝁𝝁�⃗ = 𝟑𝟑𝟒𝟒 ∗ (𝒊𝒊 + 𝒋𝒋) 𝝉𝝉�⃗ = 𝝁𝝁�⃗ ⊗ 𝑩𝑩��⃗ = � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟒𝟒 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟐𝟐.𝟏𝟏 𝟏𝟏 � = 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟒𝟒 ∗ 𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ 𝒌𝒌�⃗ = 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟑𝟑 ∗ 𝒌𝒌�⃗ Momentos magnéticos 49. La unidad SI correspondiente al momento magnético de una espira es A m2. Utilizar esta expresión para demostrar que 1 T=1 N/A m. 𝝉𝝉 = 𝝁𝝁 ∗ 𝑩𝑩 ; [𝑩𝑩] = �𝝉𝝉 𝝁𝝁 � = 𝑵𝑵∗𝑴𝑴 𝑨𝑨∗𝑴𝑴𝟐𝟐 = 𝑵𝑵 𝑨𝑨∗𝑴𝑴 50. Un pequeño imán de longitud 6,8 cm se coloca formando un ángulo de 60º respecto a la dirección de un campo magnético uniforme de valor 0,04 T. El momento del par observado tiene el valor 0,10 N m. Hallar el momento magnético del imán. 𝝉𝝉 = 𝝁𝝁 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ; 𝝁𝝁 = 𝝉𝝉 𝑩𝑩∗𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟒𝟒∗𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟔𝟔𝟏𝟏 = 𝟐𝟐.𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑨𝑨 ∗𝑴𝑴𝟐𝟐 51. Una espira de alambre está formada por dos semicírculos conectados por dos segmentos rectos (figura). Los radios interior y exterior son 0,3 y 0,5 m, respectivamente. Por el circuito fluye una corriente de 1,5 A, siendo su sentido horario en el semicírculo exterior. ¿Cuál es el momento magnético de esta espira de corriente? 𝝁𝝁 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝝅𝝅 𝟐𝟐 (𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟐𝟐 − 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟐𝟐) = 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑨𝑨 ∗ 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝑫𝑫𝒔𝒔𝒂𝒂𝒔𝒔𝒈𝒈𝒔𝒔𝒅𝒅𝒄𝒄 𝒉𝒉𝒂𝒂𝒄𝒄𝒂𝒂 𝒍𝒍𝒂𝒂 𝒑𝒑á𝒈𝒈𝒔𝒔𝒔𝒔𝒂𝒂. (Regla mano derecha) 52. Un alambre de longitud L se arrolla en una bobina circular de N espiras. Demostrar que cuando esta bobina transporta una corriente I, su momento magnético tiene la magnitud 𝑰𝑰𝑳𝑳𝟐𝟐/𝟒𝟒𝝅𝝅𝑵𝑵. 𝑳𝑳 = 𝑵𝑵 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒂𝒂 ; 𝒂𝒂 = 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑵𝑵 𝝁𝝁 = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝑵𝑵 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑵𝑵 � 𝟐𝟐 = 𝑰𝑰∗𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝑵𝑵 53. Una partícula de carga q y masa m se mueve en una circunferencia de radio r con una velocidad angular ω. a) Demostrar que la corriente media es 𝑰𝑰 = 𝒒𝒒𝝎𝝎/𝟐𝟐𝝅𝝅 y que el momento magnético tiene por valor 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏/𝟐𝟐𝒒𝒒𝝎𝝎𝒂𝒂𝟐𝟐. b) Demostrar que el momento angular de esta partícula tiene el valor 𝑳𝑳 = 𝑴𝑴𝒂𝒂𝟐𝟐𝝎𝝎 y que los vectores de momento magnético y momento angular están relacionados por 𝝁𝝁 = � 𝒒𝒒 𝟐𝟐𝑴𝑴 �𝑳𝑳. a) 𝑰𝑰 = 𝒒𝒒 ∆𝒕𝒕 = 𝒒𝒒 𝑻𝑻 = 𝒒𝒒 ∗ 𝒇𝒇 = 𝒒𝒒∗𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝁𝝁 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝒒𝒒∗𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒂𝒂𝟐𝟐 b) 𝑳𝑳 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝎𝝎 = 𝑴𝑴 ∗ 𝒂𝒂𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝑳𝑳 𝑴𝑴 ∗ 𝝎𝝎 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑳𝑳 𝑴𝑴∗𝝎𝝎 = � 𝒒𝒒 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 � ∗ 𝑳𝑳 54. Una espira única de alambre se sitúa en circunferencia alrededor de un cartón de forma rectangular cuya longitud y anchura son 70 y 20 cm, respectivamente. El cartón se dobla entonces a lo largo de la línea perpendicular a su longitud que pasa por el punto medio entre los dos extremos, de tal modo que los dos planos formados por el cartón doblado forman un ángulo de 90º. Si la espira de alambre transporta una corriente de 0,2 A, ¿Cuál es la magnitud el momento magnético de este sistema? Supongamos que al área de la espira es A La normal en el plano xz estará dirigida según el eje y positivo, la otra mitad, del plano xy , tendrá n dirigido hacia el eje z positivo. 𝝁𝝁�⃗ = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 𝟐𝟐 ∗ �𝒋𝒋 + 𝒌𝒌�⃗ � Si suponemos que el radio de la espira es de 20 cm: 𝑨𝑨 = 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏𝟒𝟒 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝝁𝝁�⃗ = 𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏𝟒𝟒 𝟐𝟐 ∗ �𝒋𝒋 + 𝒌𝒌�⃗ � = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏𝟒𝟒 ∗ �𝒋𝒋 + 𝒌𝒌�⃗ � 55. Repetir el problema 54 para el caso en que la línea de doblez está a 40 cm de un extremo. En este caso las dos áreas no son iguales, En nuestro caso h=0.05 cm y c=0,1 𝜶𝜶 = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝒉𝒉 𝟐𝟐 � = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏.𝟏𝟏 � = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏º 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ �𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏∗𝝅𝝅 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏 − 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏� = 𝟔𝟔.𝟏𝟏𝟒𝟒𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 − 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏𝟒𝟒 − 𝟔𝟔.𝟏𝟏𝟒𝟒𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟕𝟕𝟑𝟑 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝝁𝝁�⃗ = �𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔.𝟏𝟏𝟒𝟒𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝒋𝒋 + 𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟕𝟕𝟑𝟑 ∗ 𝒌𝒌�⃗ � En módulo: 0.0052 A*m2. 56. Un cilindro hueco de longitud L posee los radios Ri interior y Ro exterior (figura). El cilindro tiene una densidad de carga uniforme ρ. Deducir una expresión para el momento magnético en función de la velocidad angular de rotación del cilindro alrededor de su eje. Consideramos un elemento diferencial del cilindro de radio r, espesor dr y carga dq. 𝒅𝒅𝝁𝝁 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒅𝒅𝑰𝑰 𝑨𝑨 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒒𝒒 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒂𝒂 ∗ 𝒅𝒅𝒂𝒂 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝎𝝎 𝒅𝒅𝑰𝑰 = 𝒅𝒅𝒒𝒒 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑳𝑳∗𝝆𝝆∗𝒂𝒂∗𝒅𝒅𝒂𝒂 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝎𝝎 = 𝝎𝝎 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒂𝒂 ∗ 𝒅𝒅𝒂𝒂 𝒅𝒅𝝁𝝁 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒅𝒅𝑰𝑰 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒂𝒂𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒂𝒂 ∗ 𝒅𝒅𝒂𝒂 = 𝝅𝝅 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒂𝒂𝟑𝟑 ∗ 𝒅𝒅𝒂𝒂 𝝁𝝁 = 𝝅𝝅 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝆𝝆 ∗ ∫ 𝝆𝝆 ∗ 𝒂𝒂𝟑𝟑 ∗ 𝒅𝒅𝒂𝒂𝟐𝟐𝒄𝒄 𝟐𝟐𝒔𝒔 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝆𝝆 ∗ �𝟐𝟐𝒄𝒄𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟒𝟒� 57. Una varilla no conductora de masa M y longitud l tiene una carga uniforme por unidad de longitud λ y se hace girar con velocidad angular ω alrededor de un eje que pasa a través de uno de sus extremos y es perpendicular a la varilla. a) Considerar un pequeño segmento de longitud dx y carga dq=λdx a una distancia x del eje de giro (figura). Demostrar que el momento magnético de este segmento es 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝝀𝝀𝝎𝝎𝒙𝒙𝟐𝟐𝒅𝒅𝒙𝒙. b) Integrar el resultado para demostrar que el momento magnético total de la varilla es 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝝀𝝀𝝎𝝎𝒍𝒍𝟑𝟑. 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒓𝒓𝒔𝒔𝒂𝒂 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒂𝒂𝒕𝒕𝒔𝒔𝒛𝒛𝒂𝒂 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒇𝒇é𝒂𝒂𝒔𝒔𝒄𝒄𝒂𝒂: 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑳𝑳 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 = 𝝈𝝈∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝟐𝟐𝟒𝟒 ∗ 𝝎𝝎 60. Una esfera sólida de radio R posee una densidad de carga uniforme ρ. La esfera gira alrededor de su diámetro con velocidad angular ω. Determinar el momento magnético de la esfera giratoria. 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 𝑸𝑸 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒆𝒆 = 𝝆𝝆 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟑𝟑 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐 𝟕𝟕 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑳𝑳 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 𝟕𝟕 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 = 𝝆𝝆∗𝟒𝟒𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐 𝟕𝟕 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟕𝟕 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝟐𝟐𝟕𝟕 ∗ 𝝎𝝎 61. Un cilindro sólido de radio R y longitud L posee una densidad de carga uniforme +ρ entre r=0 y r=Rs y una densidad igual de carga de signo opuesto, - ρ, entre r=Rs y r = R. ¿Cuál debe ser el radio Rs para que al girar el cilindro alrededor de su eje el momento magnético sea cero? Utilizamos: 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 Para el cilindro interior, de carga positiva: 𝝁𝝁 = 𝝆𝝆∗𝒆𝒆 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝝎𝝎 = 𝝆𝝆∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐𝒔𝒔𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 Para el parte con carga negativa, corteza cilíndrica, tendremos: 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 = 𝝆𝝆∗𝒆𝒆 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑰𝑰 ∗ 𝝎𝝎 Para el momento de inercia: En nuestro caso: 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ (𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟐𝟐) 𝝁𝝁 = 𝝆𝝆∗𝝅𝝅∗(𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟐𝟐𝒔𝒔𝟐𝟐)∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ (𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟐𝟐) ∗ 𝝎𝝎 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝅𝝅 ∗ (𝟐𝟐𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟒𝟒) ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 Los dos han de ser iguales en valor absoluto: 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 = 𝝆𝝆∗𝝅𝝅∗(𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟐𝟐𝒔𝒔𝟐𝟐)∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ (𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟐𝟐) ∗ 𝝎𝝎 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟒𝟒 = (𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟐𝟐) ∗ (𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟐𝟐) 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟒𝟒 = 𝟐𝟐𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟒𝟒 ; 𝟐𝟐𝒔𝒔 = 𝟐𝟐𝟒𝟒 √𝟐𝟐𝟒𝟒 62. Un cilindro sólido de radio R y longitud L posee una densidad de carga negativa uniforme 𝝆𝝆 = −𝝆𝝆𝒄𝒄 entre r=0 y r=1/2 R y una densidad de carga positiva de igual magnitud + ρo entre r=1/2R y r=R (figura). El cilindro gira alrededor de su eje con velocidad angular w. Deducir una expresión para el momento magnético del cilindro. Usando los resultados del problema anterior. Para el cilindro interior, de carga negativa: 𝝁𝝁𝟏𝟏 = −𝝆𝝆𝒄𝒄∗𝝅𝝅∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟒𝟒 ∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟒𝟒 = − 𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆𝒄𝒄 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 Para la corteza exterior: 𝝁𝝁𝟐𝟐 = 𝝆𝝆𝒄𝒄∗𝝅𝝅∗(𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟒𝟒 )∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴 ∗ �𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟒𝟒 � ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆𝒄𝒄 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝟐𝟐𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟔𝟔 � ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 𝝁𝝁𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟔𝟔𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆𝒄𝒄 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 El momento resultante será: 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟔𝟔𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆𝒄𝒄 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 − 𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆𝒄𝒄 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟕𝟕 𝟑𝟑𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆𝒄𝒄 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 63. Una corteza cilíndrica de longitud L con radio interno Ri y radio externo Ro posee una densidad de carga no uniforme, +ρo, entre Ri y el radio Rs y y una densidad de carga de signo opuesto, - ρo, entre Rs y Ro. El cilindro gira alrededor de su eje con velocidad angular ω. Deducir una expresión para el momento magnético de este cilindro. Usando el resultado del problema 61 para las dos cortezas esféricas: Corteza interior: 𝝁𝝁𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆𝒄𝒄 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝟐𝟐𝒔𝒔𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟒𝟒� ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 Corteza exterior: 𝝁𝝁𝟐𝟐 = −𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆𝒄𝒄 ∗ 𝝅𝝅 ∗ (𝟐𝟐𝒄𝒄𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟒𝟒) ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 El momento resultante, en valor absoluto: 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆𝒄𝒄 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 ∗ �(𝟐𝟐𝒄𝒄𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟒𝟒) − �𝟐𝟐𝒔𝒔𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟒𝟒�� 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝝆𝝆𝒄𝒄 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝝎𝝎 ∗ (𝟐𝟐𝒄𝒄𝟒𝟒 − 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟒𝟒 + 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟒𝟒) 64. Una esfera sólida de radio R posee una densidad de carga uniforme +ρo entre r=0 y r=Rs y una densidad de carga igual de signo opuesto -ρo, entre r=Rs y r=R. L esfera gira alrededor de su diámetro con velocidad angular ω. Determinar Rs de modo que el momento magnético de la esfera sea cero. ¿Cuál es la carga neta que posee la esfera? Para la esfera interior: 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 = 𝝆𝝆𝒄𝒄∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐𝒔𝒔 𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ �𝟐𝟐 𝟕𝟕 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟐𝟐� ∗ 𝝎𝝎 = 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟕𝟕 ∗ 𝝆𝝆𝒄𝒄 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝒔𝒔𝟕𝟕 ∗ 𝝎𝝎 Para la corteza esférica exterior: 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐 𝟕𝟕 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐𝟕𝟕−𝟐𝟐𝒔𝒔𝟕𝟕 𝟐𝟐𝟑𝟑−𝟐𝟐𝒔𝒔𝟑𝟑 𝝁𝝁 = 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ 𝑳𝑳 = − 𝝆𝝆𝒄𝒄∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗�𝟐𝟐 𝟑𝟑−𝟐𝟐𝒔𝒔𝟑𝟑� 𝟐𝟐∗𝑴𝑴 ∗ �𝟐𝟐 𝟕𝟕 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐 𝟕𝟕−𝟐𝟐𝒔𝒔𝟕𝟕 𝟐𝟐𝟑𝟑−𝟐𝟐𝒔𝒔𝟑𝟑 � ∗ 𝝎𝝎 𝒗𝒗𝒅𝒅 = 𝑰𝑰 𝒔𝒔∗𝒒𝒒∗𝑨𝑨 A=w*t 𝑩𝑩 = 𝒆𝒆𝑯𝑯 𝒗𝒗𝒅𝒅∗𝒘𝒘 = 𝒆𝒆𝑯𝑯 𝑰𝑰 𝒔𝒔∗𝒒𝒒∗𝑨𝑨∗𝒘𝒘 = 𝒆𝒆𝑯𝑯∗𝒔𝒔∗𝒒𝒒∗𝑨𝑨 𝑰𝑰∗𝒘𝒘 = 𝒆𝒆𝑯𝑯∗𝒔𝒔∗𝒒𝒒∗𝒘𝒘∗𝒕𝒕 𝑰𝑰∗𝒘𝒘 = 𝒆𝒆𝑯𝑯∗𝒔𝒔∗𝒒𝒒∗𝒕𝒕 𝑰𝑰 𝑩𝑩 = 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗𝟑𝟑.𝟒𝟒𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟔𝟔 𝑻𝑻 b) 𝑩𝑩 = 𝟕𝟕.𝟐𝟐𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗𝟑𝟑.𝟒𝟒𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟏𝟏 = 𝟑𝟑.𝟕𝟕𝟔𝟔 𝑻𝑻 c) 𝑩𝑩 = 𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗𝟑𝟑.𝟒𝟒𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟏𝟏 = 𝟕𝟕.𝟒𝟒𝟐𝟐 𝑻𝑻 69. La sangre contiene iones cargados de modo que al moverse desarrolla un voltaje Hall a través del diámetro de una artería. Una arteria gruesa con un diámetro de 0,85 cm tiene una velocidad de flujo de 0,6 m/s. Si una sección de esta arteria se encuentra en un campo magnético de 0,2 T, ¿Cuál es la diferencia de potencial a través del diámetro de la arteria? 𝒆𝒆𝑯𝑯 = 𝒗𝒗𝒅𝒅 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒘𝒘 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟕𝟕 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝒆𝒆 70. El coeficiente Hall R viene definido por 𝟐𝟐 = 𝑬𝑬𝒚𝒚 𝑱𝑱𝒙𝒙𝑩𝑩𝒛𝒛 , en donde Jx es la corriente por unidad de área enla dirección del conductor, Bz es el campo magnético en la dirección z y Ey es el campo Hall en la dirección y. Demostrar que el coeficiente Hall es 1/nq, en donde q es la carga de los portadores, -1.6 10-19 C si se trata de electrones. (Los coeficientes Hall de los metales monovalentes, tales como el cobre, la plata y el sodio, son por tanto, negativos). 𝑬𝑬𝒚𝒚 = 𝒆𝒆𝑯𝑯 𝒘𝒘 𝑱𝑱𝒙𝒙 = 𝑰𝑰 𝒘𝒘∗𝒕𝒕 = 𝒔𝒔 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗𝒅𝒅 𝟐𝟐 = 𝑬𝑬𝒚𝒚 𝑱𝑱𝒙𝒙∗𝑩𝑩𝒛𝒛 = 𝒆𝒆𝑯𝑯 𝒘𝒘 𝒔𝒔∗𝒒𝒒∗𝒗𝒗𝒅𝒅∗𝑩𝑩𝒛𝒛 Usando 𝒆𝒆𝑯𝑯 = 𝒗𝒗𝒅𝒅 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒘𝒘 𝟐𝟐 = 𝒆𝒆𝑯𝑯 𝒘𝒘 𝒔𝒔∗𝒒𝒒∗𝒗𝒗𝒅𝒅∗𝑩𝑩𝒛𝒛 = 𝒗𝒗𝒅𝒅∗𝑩𝑩𝒛𝒛∗𝒘𝒘 𝒔𝒔∗𝒒𝒒∗𝒗𝒗𝒅𝒅∗𝑩𝑩𝒛𝒛∗𝒘𝒘 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔∗𝒒𝒒 71. El aluminio tiene una densidad de 2,7 103 kg/m3 y una masa molar de 27 g/mol. El coeficiente Hall del aluminio es R=-0.3 10-10 m3/C (véase el problema 70para la definición de R). Determinar el número de electrones de conducción por átomo de aluminio. 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔∗𝒒𝒒 ;𝒔𝒔 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝒒𝒒 Usando el número de átomos por unidad de volumen: 𝒔𝒔𝒂𝒂 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑵𝑵𝑨𝑨 𝑴𝑴 Por otra parte: 𝑵𝑵 = 𝒔𝒔 𝒔𝒔𝒂𝒂 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝒒𝒒 𝝆𝝆∗𝑵𝑵𝑨𝑨𝑴𝑴 = 𝑴𝑴 𝟐𝟐∗𝒒𝒒∗𝑵𝑵𝑨𝑨∗𝝆𝝆 = 𝟐𝟐𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 �−𝟏𝟏.𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏�∗�−𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏�∗𝟔𝟔.𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑∗𝟐𝟐.𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟑𝟑.𝟒𝟒𝟔𝟔 72. El magnesio es un metal divalente. Su densidad es 1,74 103 kg/m3 y su masa molar 24,3 g/mol. Suponiendo que cada átomo de magnesio contribuye con dos electrones de conducción, ¿Cuál sería el coeficiente Hall del magnesio? Comparar el resultado obtenido con el valor experimental de -0.94 10-10 m3/C. 𝑵𝑵 = 𝑴𝑴 𝟐𝟐∗𝒒𝒒∗𝑵𝑵𝑨𝑨∗𝝆𝝆 𝟐𝟐 = 𝑴𝑴 𝑵𝑵∗𝒒𝒒∗𝑵𝑵𝑨𝑨∗𝝆𝝆 = 𝟐𝟐𝟒𝟒.𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟐𝟐∗�−𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏�∗𝟔𝟔.𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑∗𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = −𝟕𝟕.𝟐𝟐𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑴𝑴𝟑𝟑/𝑪𝑪 El resultado es menor que el experimental, podríamos considerar que el número de electrones de conducción por átomo sea algo menor que 2. Pero son del mismo orden de magnitud las dos cifras. Problemas generales 73. Verdadero o falso a) La fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada móvil es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. b) El momento del par que actúa sobre un imán tiende a alinear el momento magnético en la dirección del campo magnético. c) Una espira de corriente en un campo magnético uniforme se comporta como un pequeño imán. d) El período de una partícula que se mueve en círculo en un campo magnético es proporcional al radio del círculo. e) La velocidad de desplazamiento de los electrones en un alambre puede determinarse a partir del efecto Hall. a) Verdadero: 𝑭𝑭�⃗ = 𝒒𝒒 ∗ (𝒗𝒗�⃗ ⊗ 𝑩𝑩��⃗ ) b) Verdadero, el par de fuerzas tiende a alinear el momento del imán con el campo magnético. c) Verdadero, la espira crea un campo magnético que tenderá a orientarse con el campo magnético externo. d) 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝑴𝑴 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 ;𝒒𝒒 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝟐𝟐 = 𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 ;𝑻𝑻 = 𝑴𝑴∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒒𝒒∗𝑩𝑩∗𝟐𝟐∗𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 Falso, es inversamente proporcional. e) 𝒆𝒆𝑯𝑯 = 𝒗𝒗𝒅𝒅 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒘𝒘 Correcto. 74. Demostrar que la fuerza sobre un elemento de corriente es la misma en dirección y magnitud independientemente de que las cargas que crean la corriente sean positivas, negativas o una mezcla de cargas positivas y negativas. La dirección de la fuerza será la misma, dado que por ejemplo si las cargas son positivas y se mueven hacia la derecha, en el caso de ser negativas se moverán hacia la izquierda bajo la misma diferencia de potencial, el resultado es que la fuerza que actúa sobre el elemento de corriente es la misma. 75. Un protón con una carga +e se mueve con velocidad v formando un ángulo de 50º con la dirección de un campo magnético B. El componente de la fuerza resultante sobre el protón en la dirección de B es a) EvBsen50cos50 b) evBcos50 c) cero d) evBsen50 d) ninguno de los anteriores. 𝑭𝑭�⃗ = 𝒒𝒒 ∗ �𝒗𝒗�⃗ ⊗ 𝑩𝑩��⃗ � La fuerza es perpendicular a B, por tanto,en la dirección de B su componente es cero. Respuesta c. 76. Si el vector campo magnético está dirigido hacia el norte y una partícula cargada positivamente se mueve hacia el este, ¿Cuál es la dirección de la fuerza magnética sobre la partícula? Si consideramos el norte como eje y el este como eje x, la fuerza estar dirigida según el eje z. 77. Una partícula cargada positivamente se mueve hacia el norte en un campo magnético. La fuerza magnética sobre la partícula es hacia el noreste. ¿Cuál es la dirección del campo magnético? a) Hacia arriba. b) Hacia el oeste. c) Hacia el sur. d) Hacia abajo. e) Esta situación no es posible. Según lo indicado, considerando el norte como eje y y el este como eje x: 𝑭𝑭𝒙𝒙 ∗ 𝒊𝒊 + 𝑭𝑭𝒚𝒚 ∗ 𝒋𝒋 = � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟏𝟏 𝒗𝒗 𝟏𝟏 𝑩𝑩𝒙𝒙 𝑩𝑩𝒚𝒚 𝑩𝑩𝒛𝒛 � Al desarrollar el determinante vemos que la componente j es nula siempre, por tanto, la situación es imposible. 78. Un núcleo de 𝑳𝑳𝒔𝒔𝟑𝟑 𝟕𝟕 con una carga de +3e y una masa de 7 u (1u=1,66 10-27 kg) y un protón de carga +e y masa 1 u se mueven en un plano perpendicular a un campo magnético B. Las dos partículas tienen la misma cantidad de movimiento. La relación que existe entre el radio de curvatura de la trayectoria del protón Rp y el del núcleo de 𝑳𝑳𝒔𝒔𝟑𝟑 𝟕𝟕 ; RLi es a) 𝟐𝟐𝒑𝒑 𝟐𝟐𝑳𝑳𝒔𝒔 = 𝟑𝟑 b) 𝟐𝟐𝒑𝒑 𝟐𝟐𝑳𝑳𝒔𝒔 = 𝟏𝟏/𝟑𝟑 c) 𝟐𝟐𝒑𝒑 𝟐𝟐𝑳𝑳𝒔𝒔 = 𝟏𝟏/𝟕𝟕 d) 𝟐𝟐𝒑𝒑 𝟐𝟐𝑳𝑳𝒔𝒔 = 𝟑𝟑/𝟕𝟕 e) Ninguna de las anteriores. 𝟐𝟐𝑳𝑳𝒔𝒔 = 𝑴𝑴𝑳𝑳𝒔𝒔∗𝒗𝒗𝑳𝑳𝒔𝒔 𝒒𝒒𝑳𝑳𝒔𝒔∗𝑩𝑩 𝟐𝟐𝒑𝒑 = 𝑴𝑴𝒑𝒑∗𝒗𝒗𝒑𝒑 𝒒𝒒𝒑𝒑∗𝑩𝑩 𝟐𝟐𝒑𝒑 𝟐𝟐𝑳𝑳𝒔𝒔 = 𝑴𝑴𝒑𝒑∗𝒗𝒗𝒑𝒑 𝑴𝑴𝑳𝑳𝒔𝒔∗𝒗𝒗𝑳𝑳𝒔𝒔 ∗ 𝒒𝒒𝑳𝑳𝒔𝒔 𝒒𝒒𝒑𝒑 𝑪𝑪𝒄𝒄𝑴𝑴𝒄𝒄 𝒍𝒍𝒂𝒂𝒔𝒔 𝒄𝒄𝒂𝒂𝒔𝒔𝒕𝒕𝒔𝒔𝒅𝒅𝒂𝒂𝒅𝒅𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒔𝒔 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒗𝒗𝒔𝒔𝑴𝑴𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒕𝒕𝒄𝒄 𝒔𝒔𝒄𝒄𝒔𝒔 𝒔𝒔𝒈𝒈𝒓𝒓𝒂𝒂𝒍𝒍𝒔𝒔𝒔𝒔: b) Demostrar que la partícula tarda un tiempo 𝒕𝒕 = 𝟐𝟐𝝅𝝅𝑴𝑴/𝒒𝒒𝑩𝑩 en completar una órbita alrededor de la hélice. a) 𝑭𝑭�⃗ = 𝒒𝒒 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝒗𝒗𝒄𝒄𝒙𝒙 𝒗𝒗𝒄𝒄𝒚𝒚 𝟏𝟏 𝑩𝑩 𝟏𝟏 𝟏𝟏 � = −𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗𝒄𝒄𝒚𝒚 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒌𝒌�⃗ La partícula avanza en el eje x de forma uniforme y gira en el plano yz . 𝑴𝑴 ∗ 𝒗𝒗𝒄𝒄𝒚𝒚 𝟐𝟐 𝒂𝒂 = 𝒒𝒒 ∗ 𝒗𝒗𝒄𝒄𝒚𝒚 ∗ 𝑩𝑩 ; 𝒂𝒂 = 𝑴𝑴∗𝒗𝒗𝒄𝒄𝒚𝒚 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 b) 𝒂𝒂 = 𝑴𝑴∗𝒗𝒗𝒄𝒄𝒚𝒚 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 = 𝑴𝑴∗𝝎𝝎∗𝒂𝒂 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 ;𝒒𝒒 ∗ 𝑩𝑩 = 𝑴𝑴 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 ;𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑴𝑴 𝒒𝒒∗𝑩𝑩 86. Una barra metálica de masa M está apoyada sobre un par de varillas conductoras horizontales separadas una distancia L y unidas a un dispositivo que suministra una corriente I al circuito, según se ve en la figura. Se establece un campo magnético uniforme B del modo indicado. a) Si no existe rozamiento y la barra parte del reposo cundo t=0, demostrar que en el instante t la barra tiene una velocidad 𝒗𝒗 = (𝑩𝑩𝑰𝑰𝒍𝒍 𝑴𝑴 )𝒕𝒕. b) ¿En qué sentido se moverá la barra? c) Si el coeficiente de rozamiento estático es μs, hallar el valor mínimo el campo B necesario para hacer que se ponga la barra en movimiento. a) La fuerza sobre la barra, actúa hacia la derecha horizontalmente, su valor: 𝑭𝑭 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝑩𝑩 𝒂𝒂 = 𝑭𝑭 𝑴𝑴 = 𝑰𝑰∗𝑳𝑳∗𝑩𝑩 𝑴𝑴 𝒗𝒗 = 𝒂𝒂 ∗ 𝒕𝒕 = 𝑰𝑰∗𝑳𝑳∗𝑩𝑩 𝑴𝑴 ∗ 𝒕𝒕 b) La barra se moverá hacia la derecha. c) 𝝁𝝁𝒔𝒔 ∗ 𝑴𝑴 ∗ 𝒈𝒈 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝑩𝑩 𝑩𝑩 = 𝝁𝝁𝒔𝒔∗𝑴𝑴∗𝒈𝒈 𝑰𝑰∗𝑳𝑳 87. En la figura anterior admitir que los conductores de apoyo carecen de rozamiento pero están inclinados hacia arriba de modo que forman un ángulo ϴ con la horizontal. a) ¿Qué campo magnético vertical B se necesita para que la barra no se deslice hacia abajo por los conductores? b) ¿Cuál es la aceleración de la barra si B es el doble del valor hallado en (a)? a) 𝑭𝑭 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝑴𝑴 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝑰𝑰 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝑴𝑴 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝑩𝑩 = 𝑴𝑴∗𝒈𝒈∗𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝑰𝑰∗𝑳𝑳∗𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝑴𝑴∗𝒈𝒈 𝑰𝑰∗𝑳𝑳 ∗ 𝒕𝒕𝒈𝒈𝒔𝒔 ;𝒅𝒅𝒔𝒔𝒂𝒂𝒔𝒔𝒈𝒈𝒔𝒔𝒅𝒅𝒄𝒄 𝒉𝒉𝒂𝒂𝒄𝒄𝒔𝒔𝒂𝒂 𝒂𝒂𝒃𝒃𝒂𝒂𝒋𝒋𝒄𝒄 b) 𝑩𝑩 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴∗𝒈𝒈 𝑰𝑰∗𝑳𝑳 ∗ 𝒕𝒕𝒈𝒈𝒔𝒔 𝑭𝑭 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔 −𝑴𝑴 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝑴𝑴 ∗ 𝒂𝒂 𝑰𝑰 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴∗𝒈𝒈 𝑰𝑰∗𝑳𝑳 ∗ 𝒕𝒕𝒈𝒈𝒔𝒔 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔 −𝑴𝑴 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝑴𝑴 ∗ 𝒂𝒂 𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒕𝒕𝒈𝒈𝒔𝒔 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔 −𝑴𝑴 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 − 𝒈𝒈 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒈𝒈 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 88. Una barra magnética larga y estrecha que posee un momento magnético μ paralelo a su eje longitudinal está suspendida de su centro como la aguja de una brújula sin rozamiento. Situada en un campo magnético B la aguja se alinea con el campo. Si se desplaza un pequeño ángulo ϴ, demostrar que la aguja oscilará alrededor de su posición de equilibrio con una frecuencia 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝝅𝝅 �𝝁𝝁𝑩𝑩 𝑰𝑰 , en donde I es el momento de inercia al punto de suspensión. 𝝉𝝉 = 𝑰𝑰 ∗ 𝜶𝜶 −𝝁𝝁 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝑰𝑰 ∗ 𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒕𝒕𝟐𝟐 Para ángulos pequeños sen𝜭𝜭 ≈ 𝜭𝜭 −𝝁𝝁 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔 = 𝑰𝑰 ∗ 𝒅𝒅 𝟐𝟐𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒕𝒕𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝝁𝝁∗𝑩𝑩 𝑰𝑰 ∗ 𝒔𝒔 = −𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔 𝝎𝝎 = �𝝁𝝁∗𝑩𝑩 𝑰𝑰 𝒇𝒇 = 𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 ∗ �𝝁𝝁∗𝑩𝑩 𝑰𝑰 89. Un alambre conductor es paralelo al eje y. Se mueve en la dirección x positiva con una velocidad de 20 m/s en un campo magnético B=0.5 T 𝒌𝒌�⃗ . a) Determinar la magnitud y la dirección de la fuerza magnética que actúa sobre un electrón del conductor. b) Debido a esta fuerza magnética, los electrones se mueven a un extremo del conductor, dejando el otro extremo positivamente cargado hasta que el campo eléctrico ejerce una fuerza sobre los electrones que equilibra la fuerza magnética. Determinar la magnitud y dirección de este campo eléctrico ene estado estacionario. c) Suponemos que el cable móvil tiene 2 metros de longitud. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre sus dos extremos debido a este campo eléctrico? a) 𝑭𝑭�⃗ = 𝒒𝒒 ∗ � 𝒊𝒊 𝒋𝒋 𝒌𝒌�⃗ 𝟐𝟐𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟕𝟕 � = −(−𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏) ∗ 𝟐𝟐𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝒋𝒋 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒋𝒋 b) La fuerza sobre los electrones será en sentido contrario a la magnética, por tanto, tendrá sentido -𝒋𝒋. Al ser los electrones de carga negativa el campo estará dirigido en sentido contrario a la fuerza anterior, sentido 𝒋𝒋. 𝒒𝒒 ∗ 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒒𝒒 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵/𝑪𝑪 𝑬𝑬��⃗ = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒋𝒋 c) ∆𝒆𝒆 = 𝑬𝑬 ∗ ∆𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟏𝟏 𝒆𝒆 90. La estructura rectangular de la figura puede girar libremente alrededor del eje A-A horizontal. La estructura es de 16 cm de longitud y 6 cm de anchura y su masa por unidad de longitud es de 20 g/cm. Un campo magnético uniforme B=0.2 T tiene la dirección indicada. Por medio de los alambres superiores puede enviarse una corriente que circule por la estructura. a) Si no pasa corriente por la estructura, ¿Cuál es el período de este péndulo físico para pequeñas oscilaciones? b) Si una corriente de 8.0 A pasa a través de la estructura rectangular en la dirección indicada por la flecha, ¿Cuál es el período de este péndulo físico? c) Suponer que la dirección de la corriente es opuesta a la indicada. La estructura se desplaza de la vertical un cierto ángulo ϴ. ¿Cuál debe ser la magnitud de la corriente para que esta estructura se encuentre en equilibrio? −𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝑰𝑰𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒂𝒂𝒄𝒄𝒔𝒔𝒂𝒂 ∗ 𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒕𝒕𝟐𝟐 Para ángulos pequeños senϴ≈ϴ: 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝑩𝑩 ∗ 𝒔𝒔 = 𝑰𝑰𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒂𝒂𝒄𝒄𝒔𝒔𝒂𝒂 ∗ 𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒕𝒕𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒕𝒕𝟐𝟐 = − 𝑰𝑰∗𝑨𝑨∗𝑩𝑩 𝑰𝑰𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒂𝒂𝒄𝒄𝒔𝒔𝒂𝒂 ∗ 𝒔𝒔 = − 𝑰𝑰∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝑩𝑩 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝑴𝑴∗𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔 = −𝟐𝟐∗𝑰𝑰∗𝝅𝝅∗𝑩𝑩 𝑴𝑴 ∗ 𝒔𝒔 = −𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔 𝝎𝝎 = �𝟐𝟐∗𝑰𝑰∗𝝅𝝅∗𝑩𝑩 𝑴𝑴 ;𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝑴𝑴 𝟐𝟐∗𝑰𝑰∗𝝅𝝅∗𝑩𝑩 94. Un pequeño imán en forma de barra posee un momento magnético μ que forma un ángulo ϴ con el eje x y se encuentra en un campo magnético no uniforme dado por 𝑩𝑩 = 𝑩𝑩𝒙𝒙(𝒙𝒙) 𝒊𝒊+ 𝑩𝑩𝒚𝒚(𝒚𝒚)𝒋𝒋. Utilizar 𝑭𝑭𝒙𝒙 = −𝒅𝒅𝑼𝑼 𝒅𝒅𝒙𝒙 y 𝑭𝑭𝒚𝒚 = −𝒅𝒅𝑼𝑼 𝒅𝒅𝒚𝒚 para demostrar que sobre el imán actúa una fuerza neta que viene dada aproximadamente por 𝑭𝑭�⃗ = 𝝁𝝁𝒙𝒙 𝜹𝜹𝑩𝑩𝒙𝒙 𝜹𝜹𝒙𝒙 𝒊𝒊 + 𝝁𝝁𝒚𝒚 𝜹𝜹𝑩𝑩𝒚𝒚 𝜹𝜹𝒚𝒚 𝒋𝒋 𝑭𝑭�⃗ = 𝑭𝑭𝒙𝒙 ∗ 𝒊𝒊 + 𝑭𝑭𝒚𝒚 ∗ 𝒋𝒋 𝝁𝝁�⃗ = 𝝁𝝁𝒙𝒙 ∗ 𝒊𝒊 + 𝝁𝝁𝒚𝒚 ∗ 𝒋𝒋 + 𝝁𝝁𝒛𝒛 ∗ 𝒌𝒌�⃗ 𝑼𝑼 = −𝝁𝝁�⃗ ∗ 𝑩𝑩��⃗ = −𝝁𝝁𝒙𝒙 ∗ 𝑩𝑩𝒙𝒙(𝒙𝒙) − 𝝁𝝁𝒚𝒚 ∗ 𝑩𝑩𝒚𝒚(𝒚𝒚) 𝑭𝑭𝒙𝒙 = −𝒅𝒅𝑼𝑼 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝝁𝝁𝒙𝒙 ∗ 𝜹𝜹𝑩𝑩𝒙𝒙 𝜹𝜹𝒙𝒙 𝑭𝑭𝒚𝒚 = −𝒅𝒅𝑼𝑼 𝒅𝒅𝒚𝒚 = 𝝁𝝁𝒚𝒚 ∗ 𝜹𝜹𝑩𝑩𝒚𝒚 𝜹𝜹𝒚𝒚 𝑭𝑭�⃗ = 𝝁𝝁𝒙𝒙 𝜹𝜹𝑩𝑩𝒙𝒙 𝜹𝜹𝒙𝒙 𝒊𝒊 + 𝝁𝝁𝒚𝒚 𝜹𝜹𝑩𝑩𝒚𝒚 𝜹𝜹𝒚𝒚 𝒋𝒋