El objetivo de cualquier teoría molecular de la materia es entender las propiedades micros, Monografías, Ensayos de Física

¡Descarga El objetivo de cualquier teoría molecular de la materia es entender las propiedades micros y más Monografías, Ensayos en PDF de Física solo en Docsity! Teoría cinética de los gases TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES. El objetivo de cualquier teoría molecular de la materia es entender las propiedades microscópicas de la materia en términos de su estructura y comportamiento atómicos o moleculares. En el caso de interés se tiene que este modelo cinético-molecular representa el gas como un gran número de partículas que rebotan dentro de un recipiente cerrado. Con la finalidad de interpretar las propiedades macroscópicas de los sistemas gaseosos en función del comportamiento microscópico de las partículas que los forman, los fisicoquímicos estudian detalladamente las propiedades macroscópicas y luego, haciendo uso de su imaginación y su ingenio, construyen un modelo formado por partículas que interaccionan entre ellas, aplican las leyes de la Física y de la Estadística para pronosticar las propiedades macroscópicas del sistema y posteriormente prueban este modelo contrastando sus predicciones con las propiedades observadas del sistema. Hasta el siglo XIX la explicación molecular del comportamiento de los gases estaba basada en el concepto propuesto por Newton, quien creía que las moléculas gaseosas estaban fijas en su posición y que la presión del gas se debía a las repulsiones intermoleculares. La imagen básica correcta de la estructura de un gas fue presentada por Daniel Bernoulli (1738) pero fue completamente ignorada durante mucho tiempo; en 1857 fue redescubierta y aceptada. Entre 1848 y 1898, Joule, Clausius, Maxwell y Boltzmann desarrollaron la teoría cinética de los gases utilizando las leyes de la mecánica clásica. POSTULADOS DE LA TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES 1. Un recipiente con volumen V contiene un número muy grande N de moléculas idénticas, cada una con masa m. 2. Los gases están formados por partículas de masa m y diámetro d que se comportan como partículas puntuales; su tamaño es despreciable comparado con las distancias recorridas entre colisiones. Teoría cinética de los gases 3. Las moléculas están en constante movimiento, y obedecen las leyes del movimiento de Newton. Las moléculas chocan ocasionalmente con las paredes del recipiente. Tales choques son perfectamente elásticos. 4. Las paredes del recipiente son perfectamente rígidas y con masa infinita; no se mueven. PRESIONES Y ENERGÍAS CINÉTICAS MOLECULARES Figura 1. Choque elástico de una molécula de gas con la pared de un recipiente Durante los choques, las moléculas ejercen fuerzas sobre las paredes del recipiente las cuales son el origen de la presión del gas sobre dicho recipiente. Se puede mostrar con ayuda de la definición de momento y la segunda ley de Newton que la presión ejercida por el gas sobre el recipiente que lo contiene es: 𝑝 = 𝐹 𝐴 = 𝑛𝑚𝑣𝑥 2 𝑉 (1) Donde se puede ver que dicha presión se relaciona con las velocidades de las moléculas, N representa la cantidad de moléculas, V es el volumen del gas y m la masa de cada molécula. Teoría cinética de los gases izquierda debe terminar en cero (puesto que una molécula no puede tener velocidades menores que cero). La ecuación matemática para la distribución de Maxwell-Boltzmann es: 𝑓(𝑣) = 4𝜋 ( 𝑚 2𝜋𝑘𝐵𝑇 ) 3/2 𝑣2𝑒−𝑚𝑣2/2𝑘𝐵𝑇 (6) La cantidad f(v) es la densidad de probabilidad como función de la velocidad v. Esta ecuación establece que la densidad de probabilidad depende de la temperatura T del gas, la masa m de las moléculas y la constante de Boltzmann kB. La densidad de probabilidad es la probabilidad por unidad de velocidad de encontrar una partícula con una velocidad cercana a v. Teoría cinética de los gases 55 eo SSM (a) Calcular la v,,, de un átomo de argón si un mol de este gas se encuentra en un recipiente de | L a 10 atm. (Para el argón M = 40 x 107? kg/mol). (hb) Compárese este resultado con la v.,, del gas helio en las mismas condiciones (el peso molecular del helio es de 4 x 107 kg/mol.) *.5 . Picture the Problem We can express the rms speeds of argon and helium atoms by combining PV =nRT and v,,,, = Y3RT/M to obtain an expression for vrs in terms of P, Y, and M. Express the rms speed of an atom as a 3RT function of the temperature: Vins = M From the ideal-gas law we have: rr ”n Substitute to obtain: 3PV Vans = A 7 nM (a) Substitute numerical values and evaluate vo, for an argon atom: vnfAr)= 3(10atm)(101.3kPa/atm)(10m') _ nz Pa (Umol)[40x10*kg/mol) (b) Substitute numerical values and evaluate Vims for a helium atom: vi (He), ¿U0atm)(101.3kPa/atm 10?) > (1 mol)(4x10"* kg/mol Teoría cinética de los gases 56 o 1 Y Hallar la energía cinética de traslación total de 1 L de gas oxígeno a una temperatura de O 2C y una presión de | atm. s6 + Picture the Problem We can express the total translational kinetic energy of the oxygen gas by combining K =nRT and the ideal-gas law to obtain an expression for K in terms of the pressure and volume of the gas. Relate the total translational kinetic K=3nRT energy of translation to the temperature of the gas: Using the idcal-gas law, substitute K=iPV for ART to obtain: Substitute numerical values and K =3(101.3kPa)(107 m*)=| 1523 evaluate K: Teoría cinética de los gases 61 ses SSM Enuna vasija cúbica de 15 cm de lado tenemos oxígeno (0) a la temperatura de 300 K. Comparar la energía cinética media de una molécula del gas con la variación que experimentaría su energía potencial si cayera desde la parte superior al fondo del recipiente. *61 » Picture the Problem We can use K =3kT and AU = mgh = Mgh/N, to express the ratio of the average kinetic energy of a molecule of the gas to the change in its gravitational potential energy if it falls from the top of the container to the bottom. Express the average kinctic energy K=+4kT of a molecule of the gas as a function of its temperature: Letting h represent the height of the E container, express the change in the N, potential energy of a molecule as it falls from the top of the container to the bottom: Express the ratio of K to AU and K _3KT _3N,kT simplify to obtain: AU Mgh 2Mgh Substitute numerical values and evaluate K/AU: K£ _al6.022x10* )f1.381x10* J/K)[300K) _ 7.95x10* au 232x107 kg)o.s1mvs'Xo.15m) Ñ Teoría cinética de los gases 62 es Demostrar que la función flv) dada por la ecuación 17.37 es un máximo cuando v= /2kT/m. Sugerencia: Hacer df/dv =0 y despejar v. The Distribution of Molecular Speeds 62 « Picture the Problem Equation 17-37 gives the Maxwell-Boltzmann speed distribution. Setting its derivative with respect to v equal to zero will tell us where the function's extreme values lic. Diffcrentiate Equation 17-37 with dí al 4 m y E '] Amen de dv| Jr Ar respect to v: de de AAN Y sr Var N2KT KT Set dfidv= 0 for extrema and solve y 2kT m for v: NOA y= m Examination of the graph of Áw) makes it clear that this extreme value is, in fact, a maximum. See Figure 17-16 and note that itis concave downward at v=/247/m. Remarks: An alternative to the examination of A) in order to conclude that v=,/2kT/m maximizes the Maxwell-Boltzmann speed distribution function is to show that ¿fidw <0 atv = /2kT/m. Teoría cinética de los gases 63 ee S5M Como flv) dv da la fracción de moléculas que tienen velocidades en el intervalo dv, la integral de Av) dv extendida a todos los inter- valos posibles de velocidades debe ser igual a 1. Dada la integral E ve dy = 2 aa o = demostrar que 1 f(w) dv = 1, en donde fiv) viene dada por la ecuación 17.37. *63 .. Picture the Problem We can show that Av) is normalized by using the given integral to integrate it over all possible speeds. Express the integral of Equation 17-37: pita Let a =m/2KT to obtain: Í SM =E Lan [ve Use the given integral to obtain: joo) 4 L.e.. flv) is normalized.