ELECTROSTATICA - EJERCICIOS RESUELTOS, Ejercicios de Física

¡Descarga ELECTROSTATICA - EJERCICIOS RESUELTOS y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity! EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 1 Ejercicios resueltos de electrostática: Ley de Coulomb. Campo Eléctrico. Potencial Eléctrico Ejercicio resuelto Nº 1 ( pág. Nº 1) Determinar la fuerza que se ejerce entre las cargas q1 y q2 distantes una de la otra 5 cm Datos: K = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 (en el vacío) q1 = + 1. 10 -6 C q2 = + 2,5 . 10-6 C r = 5 cm . 1 m/100cm = 0,05 m Resolución Las dos cargas tienen el mismo signo y por lo tanto se repelerán. Cuerpo 1 Cuerpo 2 F21 F12 0,05 m F12 es la fuerza repulsiva que ejerce el cuerpo 1 sobre el cuerpo 2. F21 es la fuerza repulsiva que ejerce el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1. Se cumple que: |F12| = |F21| Nos vamos a la ecuación de Coulomb y sustituimos datos: F = K . |q1|. |q2| / r 2 F = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 1 . 10 -6 C . 2,5 . 19 -6 C/ (0,05 m) 2 F = 9 . 10 9 . 1 . 10 -6 . 2,5 . 10 -6 / 0,0025 N . m 2 /C 2 . C 2 /m 2 + + EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 2 F = 9000 . 10 9 . 10 -12 N = 9000 . 10 -3 N = 9 N N (Newton) = Unidad de Fuerzae en el Sistema Internacional de unidades Conclusión: Los dos cuerpos se repelen con una fuerza de intensidad: F = 9 N Ejercicio resuelto Nº 2 ( pág. Nº 2) (Fuente Enunciado: Oscar Contreras. Resolución: A. Zaragoza) Determinar la fuerza que actúa sobre las cargas eléctricas q1 = -1,25 . 10 -9 C. y q2 = +2 x 10 -5 C. que se encuentran en reposo y en el vacío a una distancia de 10 cm. Datos: K = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 q1 = - 1,25 . 10 -9 C q2 = 2 . 10 -5 C r = 10 cm . 1 m/ 100cm = 0,1 m Cuerpo 1 Cuerpo 2 F21 F12 0,1 m En este caso, al ser las dos cargas eléctricas de distinto signo se ATRAERÁN, con una intensidad de fuerza que nos la proporcionará la ley de Coulomb: F = K . |q1| . |q2| / r 2 Llevando datos: F = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 1,25 . 10 -9 C .2 . 10 -5 C / (0,1 m) 2 F = 22,5/0,01 . 10 -5 N.m 2 /C 2 . C 2 / m 2 = 2250 . 10 -5 N Conclusión: Los dos cuerpos se atraen con una fuerza de intensidad 2250 . 10 -5 N EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 5 q1 = 3 . 10 -6 C Como las dos cargas son del mismo signo (+) existirá q2 = 4 . 10 -6 C una fuerza de REPULSIÓN R = 0,5 m Según la ecuación de Coulomb: F = K . q1. q2 / R 2 Llevando datos: Estamos en S.I F = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 3 . 10 -6 C . 4 . 10 -6 C/(0,5 m) 2 F = 432 . 10 -3 N . m 2 /C 2 . C 2 /m 2 F = 432 . 10 -3 N = 0,432 N Ejercicio resuelto Nº 6 (pág. Nº 5) Fuente de enunciado: Fisicanet Calcular la carga de dos partículas igualmente cargadas, que se repelen con una fuerza de 0,1 N, cuando están separadas por una distancia de 50 cm en el vacío. Resolución Si las cargas se repelen es porque tienen el mismo signo ( positivas o negativas). 50 cm = 0,5 m Además se cumple que |q1| = |q2| = q q1 q2 0,5 m F F q Q q EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 6 Según Coulomb: F = K . q1 . q2 / R 2 ; q1 = q2  F = K . q . q /R 2 F = K . q 2 /R 2 ; q 2 = F . R 2 / K q = [0,1 N . (0,5 m) 2 / 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 ] 1/2 q = [0,0028 . 10 -9 N . m 2 . C 2 /N . m 2 ] 1/2 q = [2,8 . 10 -3 C 2 ] 1/2 ; q = 0,059 . 10 -3 C q1 = q2 = q =5,9 . 10 -2 . 10 -3 C = 5,9 . 10 -5 C Ejercicio resuelto Nº 7 ( pág. Nº 6) Fuente Enunciado: Fisicanet Hallar el valor de la carga Q de una partícula tal que colocada a 1 m de otra, cuya carga es de 2.10 -8 C, la atrae con una fuerza de 2 N. Realiza un croquis de la acción entre las dos cargas Resolución 1 m q = 2 . 10 -8 C R = 1 m F = 2 N La carga Q debe ser NEGATIVA puesto que atrae a q que es POSITIVA. El módulo de Q lo obtendremos mediante la ecuación de Coulomb: F = K . Q . q /R 2 ; Q = F . R 2 / K . q   Q = 2 N . (1 m)2 / [9 . 109 N . m2/C2] . 2 . 10-8 C  Q = 0,111 N . 10-1 m2 . C2 / N . m2 . C = 0,0111 C  Q = - 1,1 . 10-2 C Q q EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 7 Ejercicio resuelto Nº 8 ( pág. Nº 7) Fuente de Enunciado: Fisicanet Calcular la distancia “r” que separa dos partículas cargadas con 2.10 -2 C cada una, sabiendo que la fuerza de interacción entre ambas es de 9.10 5 N. Resolución q1 = q2 = 2 . 10 -2 C F = 9 . 10 5 N Según la ecuación de Coulomb: F = K . q1 . q2 / r 2 ; F . r 2 = K . q1 . q2 ; r = ( K . q1 . q2 / F ) 1/2 r = [ 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 2 . 10 -2 C . 2 . 10 -2 C / 9 . 10 5 N] 1/2 r = (4 . 10 9 . 10 -2 . 10 -2 . 10 -5 m 2 ) 1/2 ; r = 2 m Ejercicio resuelto Nº 9 ( pág. Nº 7 ) Determinar la fuerza que se ejerce entre las cargas q1 = +1 . 10 -6 C y q2 = + 2,5 . 10 -6 C distantes una de la otra 5 cm. La permitividad relativa del medio es de 4 Resolución 5 cm . 1 m / 100 Cm = 0,05 m Según la Ley de Coulomb: F = K/εr . q1 . q2 / R 2 F = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 / 4 . 1 . 10 -6 C . 2,5 . 10 -6 C / (0,05 m) 2 F = 2250 . 10 -3 N . m 2 . C 2 /C 2 . m 2 = 2,250 N EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 10 La fuerza resultante sobre la q2 tendrá el valor: FR = F12 + F32 FR = 0,050 N + 0,215 N = 0,265 N a) Sobre la carga q3 Sobre la q3 actúan dos fuerzas, creadas por q1 y q2. La carga q2 repele a la q3 por tener el mismo signo mientras que la q1 atraerá a la q3 por signos contrarios. La atracción o repulsión de cargas se realizara mediante las F13 y F23. El diagrama de fuerzas resultante es: F31 F12 F13 F23 100 cm 220 cm Se obtienen dos fuerzas de la misma dirección pero de sentido contrario: FR = Fmayor - Fmenor Cálculo de F13: F = K . q1 . q3 / R 2 F = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 2 . 10 -6 C . 6 . 10 -6 C / (2,20 m) 2 F = 34,86 . 10 -3 N . m 2 . C 2 / C 2 F = 34,86 . 10 -3 N + ─ ─ EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 11 b) Sobre la q1: 120 cm 100 cm 220 cm Por la razones explicadas para q2 y q3 obtenemos un diagrama de fuerzas: q1 F21 F31 q2 q3 120 cm 100 cm 220 cm La fuerza resultante sobre q1 se obtendrá mediante la ecuación: FR = F21 + F31 Cálculo de F21: F21 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 4 . 10 -6 C . 2 . 10 -6 C / (1,20 m) 2 F21 = 50 . 10 -3 N . m 2 /C 2 . C 2 /m 2 = 50 . 10 -3 N Cálculo de F31: F31 = 9 . 109 N . m 2 /C 2 . 6 . 10 -6 C . 2 . 10 -6 C / (2,20 m) 2 F31 = 22,31 . 10 -3 N Fuerza resultante sobre q1: FR = F21 + F31 + ─ ─ + ─ ─ EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 12 FR = 50 . 10 -3 N + 22,31 . 10 -3 N = 72,31 . 10 -3 N Ejercicio resuelto Nº 12 ( pág. Nº 12) En los vértices de un trángulo equilátero de 50 cm de lado existen tres cargas de: q1 = - 2,5 μC ; q2 = - 1,5 μC y q3 = 3 . 10 -8 C, según el esquema: q1 50 cm q2 q3 Determinar la fuerza resultante que se ejerce sobre la carga q1. IMPORTANTE: Cuando no especifican el medio consideraremos siempre el vacío o el aire. Resolución q1 = - 2,5 . 10 -6 C q2 = - 1,5 . 10 -6 C q3 = 3 . 10 -8 C R = 50 cm . 1 m / 100 cm = 0,5 m q1 (-) 50 cm q2 (+) q3 (-) El diagrama de fuerzas será: 50 cm q2 (+) q3 (-) EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 15 Al ser la carga “q” de signo ( - ) y la carga “Q” de signo ( + ), la carga “q” será atraída por “Q” con una fuerza: F = E . q F = 200 . 10 3 N/C . 4 . 10 -6 C = 800 . 10 -3 N = 0,8 N Ejercicio resuelto Nº 14 (pág. Nº 15) (Fuente Enunciado:www.edu.xunta.es/centro. Resolución: A. Zaragoza) Calcula la intensidad del campo eléctrico creado en el vacío por una carga eléctrica de + 5 μC a una distancia de 20 centímetros. Resolución Q = +5 μC = + 5 . 10 -6 C r = 20 cm = 0,20 m 20 cm + E = K . Q/r 2 E = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 5 . 10 -6 C/(0,20 m) 2 = 1125 . 10 3 = 45/0,04 N . m 2 /C 2 . C/m 2 = 1125 . 10 3 N/C = 1,125 . 10 6 N/C Ejercicio resuelto Nº 15 ( pág. Nº 15) (Fuente enunciado www.edu.xunta.es/centro. Resolución: A. Zaragoza López) Indica cuál es la magnitud, la dirección y el sentido de un campo eléctrico en el que una carga de - 2 μC experimenta una fuerza eléctrica de 0,02 N dirigida verticalmente hacia arriba. Resolución q = -2 μC = - 2 . 10 -6 C F = 0,02 N EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 16 Para que se den las condiciones del problema se debe cumplir el siguiente esquema F q = (-) Líneas de campo r Campo Q = (-) eléctrico Para que la carga “q” sufra la acción de una fuerza vertical y hacia arriba obliga a que la carga que crea el campo “Q” sea negativa para que se origine una fuerza repulsiva verticalmente hacia arriba. La dirección del campo viene determinada por la recta “r”, el sentido hacia abajo ( lo explicó el profesor cuando trataba con las líeas de campo. Si la carga que crea el campo es negativa las líneas del campo tienen sentido radial en sentido hacia la carga creadora del campo) F verticalmente hacia arriba En lo referente a la magnitud del Campo Eléctrico sabemos que: F = E . q E = F / q ; E = 0,02 N /. 2 . 10 -6 C = 2 . 10 -2 N / 2 . 10 -6 C = 10 4 N/C E = 10000 N/C EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 17 Ejercicio resuelto Nº 16 (pág. Nº 16) ( Fuente Enunciado: Abolog ) Una carga de 2μC se coloca en un campo eléctrico y experimenta una fuerza de 8 . 10 -4 N. ¿cuál es la magnitud de la intensidad del campo eléctrico? + Resolución q = 2 μC = 2 . 10 -6 C Q + F = 8 . 10 -4 N El enunciado no especifíca si se trata de una fuerza atractiva o repulsiva. Yo supuse que Q es positiva y aparece una fuerza repulsiva sobre q. En cuanto al valor de la Intensidad de Campo: F = E . q ; E = F / q ; E = 8 . 10 -4 N / 2 . 10 -6 C = 400 N/C Ejercicio resuelto Nº 17 (pág. Nº 16) ( Fuente enunciado: www.ono.com. Resolución: A. Zaragoza ) Una carga eléctrica de 62,8 . 10 -6 C está colocada en el origen de coordenadas cartesianas. Determine el campo eléctrico que origina esta carga: a) sobre el eje x =2 m y b) sobre el eje y en y =-3 m. Resolución EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 20 Resolución ●q2(+) Q = 5 . 10 -9 C 0,3 m R1 = 30 cm = 0,30 m q2 = 4 . 10-10 C ● R2 = 30 cm + 30 cm = 60 cm = 0,60 m 0,3 m Q a) Cálculo de la Intensidad de Campo: E = K . Q / R 2 ; E = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 5 . 10 -9 C / (0,3 m) 2 E = 500 N/C b) A una distancia de 60 cm = 0,60 m la Intensidad de campo valdrá: E = K . Q/R2 2 E = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 5 . 10 -9 C / (0,60 m) 2 = 125 N/C La fuerza será: F = E . q2 ; F = 125 N/C . 4 . 10 -10 C = 500 . 10 10 N Ejercicio resuelto Nº 21 (pág. Nº 20) Al situar una carga de +0,3 μC en un punto P de un campo eléctrico, actúa sobre ella una fuerza de 0,06 N. Halla: a) La intensidad del campo eléctrico en el punto P ; b) La fuerza que actuaría sobre una carga de –3 μC situada en ese punto del campo. EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 21 Resolución q1 = + 0,3 μC = + 0,3 . 10 -6 C F = 0,06 N P ●q1(+) q2 = - 3 μC = - 3 . 10 -6 C ●q2(-) R R Q a) E = F / q1 ; E = 0,06 N / 0,3 . 10 -6 C = 0,2 . 106 N/C = = 2 . 105 N/C b) F = E . q2 ; F = 2 . 10 5 N/C . 3 . 10 -6 C = 0,6 N Recordar que en las ecuaciones que utilizamos NUNCA ponemos los signos de las cargas. Sí debemos saber si se produce una fuerza atractiva o repulsiva. Ejercicio resuelto Nº 22 (pág. Nº 21) Un campo eléctrico está creado por una carga puntual de –3 μC. Calcula: a) La intensidad del campo eléctrico en un punto P situado a 6 dm de la carga en el vacío ; b) La fuerza sobre una carga de –7 μC situada en el punto P. DATO: K = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 Resolución Q = - 3 μC = - 3 . 10-6 C F q1 = - 7 μC = - 7 . 10-6 C P●q1 R = 6 dm . 1 m / 10 dm = 0,6 m 0,6 m Q = - 3 . 10 -6 C ─ EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 22 a) Intensidad de Campo eléctrico en P: E = K . Q / R 2 E = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 3 . 10 -6 C / (0,6 m) 2 E = 75 . 10 3 N/C b) La F se dirije hacia arriba porque las dos cargas son negativas y por lo tant se REPELEN F = E . q F = 75 . 10 3 N/C . 7 . 10 -6 C = 525 . 10 -3 N Ejemplo resuelto Nº 23 (pág. Nº 22) Según el esquema siguiente: Q1 50 cm Q2 En donde: Q1 = - 2,5 μC = - 2,5 . 10 -6 C Q2 = - 4,75 μC = - 4,75 . 10 -6 C Determinar: a) La Intensidad de Campo Eléctrico en el punto medio que une a las dos cargas b) A 30 cm a la derecha de Q2 c) A 30 cm a la izquierda de Q1 Resolución a) Diagrama de Campos Eéctricos: Los puntos de aplicación de los campos parciales se encuentran en la unidad de carga positiva (+). EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 25 Calculo de los vectores campo parciales: E1 = K . Q1/R1 2 ; E1 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 2,5 . 10 -6 C / (0,30 m) 2 E1 = 250 . 10 3 N/C E2 = K . Q2/R2 2 ; E 2 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 4,75 . 10 -6 C/(0,8 m) 2 E2 = 66,79 .10 3 N/C Obtenemos dos vectores campo de la misma dirección y sentido, de: a) Módulo: ER = E2 + E1 ; ER = 66,79 . 10 3 N/C + 250 . 10 3 N/C = 316,79 . 10 3 N/C b) Dirección la recta de unión delas dos cargas c) Sentido hacia la derecha Ejemplo resuelto Nº 24 (pág. Nº 25) Tenemos un triángulo equilátero, de 75 cm de lado, con dos cargas eléctricas en los vértices de la base de + 3,5 μC. Determinar la Intensidad de Campo Eléctrico en el vértice superior. DATO: K = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 Resolución q1 = q2 = 3,5 μC = 3,5 . 10 -6 C (+) R = 0,75 m 3,5 . 10-6 C = q1 q2 = 3,5 . 10-6 C EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 26 Diagrama de Campos parciales: ER E2 E1 60 o (+) ángulos opuestos por el vértice son iguales 60 o R = 0,75 m 3,5 . 10-6 C = q1 q2 = 3,5 . 10-6 C Como se trata de un triángulo equilátero los tres ángulos son iguales (180:3 = 60º). Por el teorema del coseno podemos conocer ER: ER = [ (E1) 2 + (E2) 2 + 2 . E1 . E2 . cos α] 1/2 (1) E1 = E2 = K . Q/R 2 E1 = E2 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 3,5 . 10 -6 C/(0,75 m) 2 = = E1 = E2 = 56,25 . 10 3 N/C Nos vamos a la ecuación (1) y sustituímos valores: ER = [ (56,25 . 10 3 N/C)2 + (56,25 . 10 3 N/C)2 + 2 . 56,25 . 10 3 N/C . 56,25 . 10 3 N/C . cos 60º] 1/2 = = ( 6328,125 . 10 6 N 2 /C 2 + 112,5 . 10 6 N 2 /C 2 ) 1/2 = = (6440,625 . 10 6 N 2 /C 2 ) 1/2 = 80,25 . 10 3 N/C EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 27 Ejercicio resuelto Nº 25 (pág. Nº 27) Dado el esquema siguiente: q1 = 1,5 μC q4 = 7,5 μC q2 = 3,5 μC q3 = 5,5 μC Determinar la Intensidad de Campo Eléctrico en el centro geométrico del rectángulo. Resolución q1 = - 1,5 μC 10 cm q4 = - 7,5 μC 20 cm q2 = - 3,5 μC q3 = + 5,5 μC (-) (-) (+) (-) (+) EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 30 Ecuación de la cual conocemos todo excepto el angulo “α”. Para conocer “α” nos iremos al triángulo BAC: B c 0,11 m 0,20 m a α A b 0,11 m C El teorema del coseno nos dice que: a 2 = b 2 + c 2 – 2 . b . c . cos α (0,20 m) 2 = (0,11 m) 2 + (0,11 m) 2 – 2 . 0,11 m . 0,11 m cos α 0,04 m 2 = 0,012 m 2 + 0,012 m 2 – 0,024 cos α 0,04 – 0,012 – 0,012 = - 0,024 cos α ; 0,016 = - 0,024 cos α cos α = 0,016 / - 0,024 = - 0,67 α = 132,07 o Conocida “α” podemos volver a la ecuación: ER = [ (E1+E3) 2 + (E4 – E2) 2 + 2 . (E1+E3) . (E4 – E2) . cos α] 1/2 ER = [(5250 . 10 3 N/C) 2 + (3000 . 10 3 N/C) 2 + + 2 . 5250 . 10 3 N/C . 3000 . 10 3 N/C . cos α] 1/2 ER = ( 27562500 . 10 6 N 2 /C 2 + 9000000 . 10 6 N 2 /C 2 + + 4,65 . 10 21 . cos 132,07 o ) 1/2 EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 31 ER = 36562500 . 10 6 N 2 /C 2 + 4,65 . 10 21 . (-0,67)] 1/2 Eliminamos el primer membro de la derecha en la ecuación por considerarlo muy pequeño respecto al segundo miembro: ER = (- 3,11 . 10 21 N2/C2) 1/2 Es ahora cuando surge un problema: La raíz de un número negativo NO EXISTE. No PODEMOS CONOCER ER. Analizar todo el problema desde el principio sería perder mucho tiempo en ello. El prodemiento seguido es el correcto pero en algún sitio, después de tantos cálculos matemáticos, me he equivocado y no podemos conocer ER, lo siento chicos. Si os consuela, EL PROCEDIMIENTO ES CORRECTO. Ejercicio resuelto Nº 25 ( pág. Nº 31) En un punto de un campo eléctrico, una carga eléctrica de 12 . 10 -8 C, adquiere una energía potencial de 75 . 10 -4 J. Determinar el valor del Potencial Eléctrico en ese punto. Resolución En los ejercicios de potencial elétrico Energía Potencial es sinónimo de trabajo, lo mismo que ocurre con el Campo Gravitatrio, es decir para llevar la carga de 12 . 10 -8 C hasta el punto considerado se ha realizado un trabajo de 75 . 10 -4 J. Recordemos: V = Ep /q = w /q = 75 . 10-4 J / 12 . 10-8 C = 6,25 . 104 V EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 32 Ejercicio resuelto Nº 26 (pág. Nº 32) A una distancia de 10 cm se encuentra una carga de 6,5 . 10 -8 C determinar el valor del Potencial eléctrico a esa distancia. Resolución R = 10 cm . 1 m / 100 cm = 0,01 M El potencial en un punto creado por una carga eléctrica viene determinado por la ecuación: V = K . Q / R V = 9.10 9 N . m 2 /C 2 . 6,5 . 10 -8 C / 0,10 m ; V = 585 . 10 N . m / C = 5850 J/C = 5850 V Ejercicio resuelto Nº 27 (pág. Nº 32) Una carga de prueba se mueve del punto A al B como se indica en la figura: A B q Determinar la Diferencia de Potencial VAB, si la distancia del punto A a la carga Q de 4 μC es de 20 cm y la distancia del punto B a la carga Q es de 40 cm. Determinar el valor del trabajo realizado por el campo eléctrico que crea la carga Q para mover la carga de prueba “q” cuyo valor es de 9nC desde el punto A al punto B. Resolución 9 nC . 10 -9 C / 1 nC = 9 . 10 -9 C Q + EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 35 Voq = 0 X = 4 m Cuando q se encuentre en x = 4 m. La Energía cinética será igual al trabajo realizado: Ec = W Recordemos que en un campo eléctrico se cumple: F = E . q F = E . q = 200 N/C . 3 . 10 -6 C = 600 . 10 -6 N = 6 . 10 -4 N W = F . x = 6 . 10 -4 N . 4 m = 24 . 10 -4 J Luego: Ecf = 24 . 10 -4 J b) La energía potencial eléctrica tiene el mismo significado que el trabajo realizado pero como se realiza contra el campo será un trabajo negativo: W = - 24 . 10 -4 J c) (V4m – Vo)? W = q . (V4m – Vo) ; - 24 . 10 -4 J = 3 . 10 -6 C ( V4m – Vo) ( V4m – Vo ) = - 24 . 10 -4 J / 3 . 10 -6 C = - 8 . 10 2 J/C Problema resuelto Nº 30 (pág. Nº 35)( Fuente enunciado: Francisco Javier Seijas. Resolución: A. Zaragoza) Una carga positiva de valor 2μC está en el origen. ¿Cuál es el potencial eléctrico V en un punto a 4m del origen respecto al valor V=0 en el infinito? ¿Cuál es la energía potencial cuando se coloca una carga de +3μC en EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 36 r=4m? ¿Cuánto trabajo debe ser realizado por un agente exterior para llevar la carga de 3μC desde el infinito hasta r=4m admitiendo que se mantiene fija en el origen otra carga de 2μC? ¿Cuánto trabajo deberá ser realizado por un agente exterior para llevar la carga de 2μC desde el infinito hasta el origen si la carga de 3μC se coloca primeramente en r=4m y luego se mantiene fija? Resolución Q = + 2μC = + 2 . 10 -6 C A Q(+) ● 4 m a) V = K . Q /R ; V = 9 . 109 N . m2/C2 . 2 . 10-6 C / 4 m = = 4,5 . 10 3 J/C = 4,5 . 103 V b) Energía potencial en x = 4 ; q = 3 μC = 3 . 10-6 C Ep = K . Q . q / R Ep = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 2 . 10 -6 C . 3 . 10 -6 C / 4m Ep = 13,5 . 10 -3 N . m = 13,5 . 10 -3 J c) El trabajo realizado es sinónimo de Ep, pero como el trabajo se realiza contra el campo, este es negativo: EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 37 Ep = W = - 13,5 . 10 -3 J d) Es la misma pregunta que el ejercicio anterior: W = - 13,5 . 10 -3 J e) W = q . (VA – VB) VA = K . Q / R ; VA = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 2 . 10 -6 C/ 4m VA = 4,5 . 10 3 J/C El potencial en el origen vale 0 ; VB = 0 W = 3 . 10 -6 C . 4,5 . 10 3 J/C = 13,5 . 10 -3 J Ejercicio resuelto Nº 31 (pág. Nº 37) Dos cargas, q1 = 2 μC y q2 = - 2μC se encuentran a una distancia de 10 cm. Calcular: a) ¿Cuánto vale el potencial en el punto A y en el punto B? b) ¿Cuál es la diferencia de potrencial entre los puntos A y B? c) ¿Cuál es el valor del trabajo que debe realizar el Campo Eléctrico para mover una carga de – 3 μC del punto A al punto B? El diagrama del problema es el siguiente: q1 A q2 B + ● ─ ● 3 cm 7 cm 2 cm q1 = 2 μC = 2 . 10 -6 C q2 = - 2 μC = - 2 . 10 -6 C R1 = 3 cm = 0,03 R2 = 7 cm = 0,07 m + ─ EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 40 Vq1 = K . q1/R1 = 9 .10 9 N . m 2 /C 2 . 3 . 10 -6 C/ 3m = 9 . 10 3 V Vq2 = K . q2/R2 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 (- 3 . 10 -6 C)/ 3m = - 9 . 10 3 V VA = 9 . 10 3 V + ( - 9 .10 3 V) = 9 . 10 3 V – 9 . 10 3 V = 0 Para hallar el campo eléctrico en el punto A deberemos suponer que en dicho punto existe la unidad de carga positiva (+). q2 = - 3 μC = - 3 . 10 -6 C A ● (+) E12 E21 ● +q1 3m 3m - q2 Obtenemos dos campos eléctricosfuerzas, E12 y E21, de la misma dirección y del mismo sentido. La resultante será la suma de los módulos de estos dos campos: E12 = K . q1/R1 2 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 3 . 10 -6 C/(3m) 2 = 3 . 10 3 N/C E21 = K . q2/R2 2 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 10 -6 V / (3m) 2 = 3 . 103 N/C |ER| = |E12| + |E21| ER = 3 . 10 3 N/C + 3 . 10 3 N/C = 6 . 10 3 N/C EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 41 Ejercicio resuelto Nº 33 ( pág. Nº 41) Dos cargas puntuales q1=+2 ∙ 10‐ 9 C y q2= ‐ 25 ∙ 10‐ 9 C se encuentran situadas en los vértices del triángulo rectángulo de la Figura: q1 (+) 3 m ( - ) q2 A (+) 4 m a) La intensidad del campo eléctrico en el vértice A b) El potencial en el vértice A. DATO: K = 9,00 ∙ 10 9 N . m 2 /C 2 ) Resolución a) q1= +2 ∙ 10‐ 9 C y q2= ‐ 25 ∙ 10‐ 9 C q1 (+) ( - ) q2 A (+) Al existir dos cargas, q1 y q2, en el punto A se generarán dos campos parciales. Geométricamente y suponiendo la unidad decarga eléctrica positiva en el punto A: EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 42 q1 (+) ( - ) q2 A (+) α Regla del paralelogramo ET Por el teorema del coseno: ET = [ (E1) 2 + (E2) 2 + 2 . E1 . E2 cos α ] 1/2 como α = 90º  cos 90º = 0 La ecuación anterior nos queda de la forma: ET = [ (E1) 2 + ( E2) 2 ] 1/2 Calculemos los campos parciales: E1 = K . q1/R 2 ; E1 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 2 . 10 -9 C / (R1 m) 2 = 18 / (R1 m)2 E1 = 18 /9 N/C ; E1 = 2 N/C E2 = K . q2/R2 2 ; E2 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 25 . 10 -9 C/(4 m) 2 E2 = 225 / 16 N/C = 16,05 N/C Llevados estos valores a la ecuación de ET: ET =[ ( 2 N/C) 2 + (16,05 N/C) 2 ] 1/2 = 16,17 N/C EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 45 b) Potenciales elétricos en S y en T: Conoceremos los potenciales parciales y como el potencial elétrico es un escalar no necesitamos dibujos y el potencial total es igual a la suma de los potenciales parciales. Calculemos los potenciales parciales: VSq1 = K . q1/R1 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 50,0 . 10 -9 C/ 3 m = 150 V VSq2 = K . q2/R2 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 36 . 10 -9 C/ 5m = 64,8 V VS = VSq1 + VSq2 = 150 V + 64,8 V = 214,8 V En el vértice T: VT = VTq1 + VTq2 VTq1= K . q1/r1 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 50,0 . 10 -9 C/ 5 m = 90 V VTq2 = K . q2/R2 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 36 . 10 -9 C / 3 m = 108 V VT = 90 V + 108 V = 198 V Ejercicio resuelto Nº 35 ( pág. Nº 45) El potencial en un punto a una cierta distancia de una carga puntual es 600 V, y el campo eléctrico en dicho punto es 200N/C. ¿Cuál es la distancia de dicho punto a la carga puntual y el valor de la carga? Resolución V = 600 V Q ● x E = 200 N/C EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 46 Trabajaremos conjuntamente con las ecuaciones del Potencial y del Campo y veamos lo que podemos hacer: V = K . Q / R E = K . Q / R 2 Si dividimos miambro a miembro las dos ecuaciones nos queda: V / E = (K . Q / R) / ( K . Q / R 2 ) V / E = R ; 600 V / 200 N/C = R 600 J/C / 200 N/C = R ; 600 N . m/C / 200 N/C = R R = 3 m Para conocer el valor de Q podemos utilizar la ecuación del potencial o la del campo eléctrico. Es más comoda la del potencial eléctrico: V = K . Q / R ; Q = V . R / K = 600 V . 3 m / 200 N/C Q = 600 J/C . 3 m / 200 N/C = 600 N . m/C . 3 m / 200 N/C = 9 C Ejercicio resuelto Nº 36 (pág. Nº 46) Una carga puntual de 5 nC está situada en el origen de coordenadas de un sistema cartesiano. Otra carga puntual de -15 nC está situada en el eje OY a 30 cm del origen del mismo sistema. Calcula: a) La intensidad de campo electrostático en un punto A, situado en el eje OX, a 40 cm del origen. b) El valor del potencial electrostático en el punto A. Resolución EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 47 q1 = 5 nC = 5 . 10 -9 C q2 = - 15 nC = - 15 . 10 -9 C q2 ●( - ) A ● ● q1(+) 0,40 m En el punto A existirán dos campos parciales. q2 ●( - ) R 0,30 m E2 A ER ● α ● β E1 q1(+) 0,40 m (+) El valor de ER lo conoceremos por la ecuación: ER = [( E1 ) 2 + ( E2) 2 + 2 . E1 . E2 . cos β] 1/2 Hagamos los cáculos pertinentes: E1 = K . q1 / R1 2 ; E1 = 9 .10 9 N . m 2 /C 2 . 5 . 10 -9 C / (0,40 . m)2 E1 = 281,25 N/C R = [(0,30 m)2 + (0,40 m)2] 1/2 = 0,56 m E2 = K . q2 / R2 2 ; E2 = 9 . 10 9 N . m2/C2 . 15 . 10 -9 C / (0,56 m)2 E2 = 435,48 N/C EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 50 Volvemos a VA: VA = 2571.10 3 V+( - 2057.10 3 V) + ( 1285,4 .10 3 V) + (-771,4.103 V) = = 1028 V b) Epeléctrica = Epq1q2 + Epq2q3 + Epq3q4 + Epq4q1 Epq1q2 = k . q1 . q2 /Rq1q2 Epq2q3 = K . q2 . q3 /Rq2q3 Epq3q4 = K . q3 . q4 / Rq3q4 Epq4q1 = K . q4 . q1 / Rq4q1 EpT = Epq1q 2 + Epq2q3 + Eq3q4 + Epq4q1 Epq1q2 = 9.10 9 N.m 2 /C 2 . 10 . 10 -6 C . (-8 .10 -6 C) /0,05 m = = - 14400 . 10 -3 J Epq2q3 = K.q2.q3/Rq2q3 = 9.10 9 N.m 2 /C 2 .(-8.10 -6 C).5.10 -6 C/0,05 m = = - 7200 . 10 -3 J Epq3q4= K.q3.q4/Rq3q4 = 9.10 9 . 5 . 10 -6 . (-3 . 10 -6 ) /0,05 = = - 2700 . 10 -3 J Epq4q1=K.q4.q1/Rq4q1 = 9 .10 9 . (-3.10 -6 ) . 10 . 10 -6 / 0,05 = = - 5400 . 10 -3 J Volviendo a la ecuación: EpT = Epq1q2 + Epq2q3 + Eq3q4 + Epq4q1 EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 51 EPT = (- 14400.10 -3 J) + (-7200.10 -3 J) + (-2700.10 -3 J) + (- 5400 . 10-3 J)= = - 29700 . 10 -3 J Que nos aparezca una Energía Potencial Eléctrica negativa nos pone de manifiesto que las cuatro cargas han sido introducidas en el Campo Eléctrico. Esto implica un trabajo de (– 29700 . 10 -3 J) lo que nos dice que este trabajo lo hemos realizado nosotros contra el campo. Ejercicio resuelto Nº 38 (pág. Nº 51) En un vértice de un rectángulo de 3 por 4 cm se coloca una carga de -20x10-12 C y en los dos vértices contiguos, sendas cargas de 10-12 C. Hallar el potencial eléctrico en el cuarto vértice. Resolución q1= - 20.10 -12 C q2 = 10 -12 C 4 m 3 m 5 m Pitágoras VA? q3 = 10 -12 C El potencial eléctrico es un escalar y se cumple: VA = Vq1 + Vq2 + Vq3 + Vq4 Calculemos los potenciales parciales. Vq1 = K . q1 / R1 = 9 . 10 9 . (- 20 . 10 -12 C) / 3 = - 60 . 10 -3 V Vq2 = K . q2 / R2 = 9 . 10 9 . 10 -12 /5 = 1,8 . 10 -3 V Vq3 = K . q3 /R3 = 9 . 10 9 . 10 -12 / 4 = 2,25 . 10 -3 V EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 52 Si volvemos a la ecuación: VA = Vq1 + Vq2 + Vq3 + Vq4 VA = ( - 60 . 10 -3 V) + 1,8 . 10 -3 V + 2,25 . 10 -3 V VA = - 55,95 . 10 -3 V Ejercicio resuelto Nº 39 (pág. Nº 52) Una carga de 4 nC es transportada desde el suelo hasta la superficie de una esfera cargada, con un trabajo de 7 . 10 -5 J. Determinar el valor del potencial eléctrico en la esfera. Resolución q = 4 nC = 4 . 10 -9 C W = 7 . 10 -5 J W = q . VE ; W = q . VE 7 . 10 -5 J = 4 . 10 -9 C . VE ; VE = 7 . 10 -5 J / 4 . 10 -9 C VE = 1,75 . 10 4 V Ejercicio resuelto Nº 40 (pág. Nº 52) ¿Qué potencial existe en la superficie de una esfera de 45 cm de radio cargada con 25 μC? Datos: R = 0,45 m ; q = 25x10-6 C ; V = ? Resolución V? R = 45 cm = 0,45 m q = 25 μC = 25 . 10 -6 C EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 55 b) Las cargas son del mismo signo con lo que se producirá una repulsión entre ellas cuantificada por la ledy de Coulomb: (1) R (2) r F21 F12 F12 = K . q1 . q2 / R 2 F12 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 0,081 . 10 -9 C . 0,1 . 10 -9 C / ( 10 m)2 = = 0,000729 . 10 -9 N = 7,29 . 10 -23 N F21 = K . q1 . q2 / R 2 = F21 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 0,081 . 10 -9 C . 0,1 . 10 -9 C / (10 m)2 = = 0,000729 . 10-9 N = 7,29 . 10 -13 N Ejercicio resuelto Nº 44 (pág. Nº 55) Un coductor esférico tiene una carga de 5 nC y un diámetro de 30 cm. Dertminar: a) El Potencial eléctrico en la superficie de la esfera b) El potencial eléctrico a 50 cm de su superficie Resolución a) Q = 5 nC = 5 . 10 -9 C R D = 30 cm = 0,30 m R = 0,30 m / 2 = 0,15 m d = 50 cm = 0,50 m EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 56 V = K . Q / R ; V = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 5 . 10 -9 C / 0,15 m = 300 V b) En las esferas huecas la carga de la misma se considera acumulada en el centro de la esfera, razón por la cual a la distancia exterior hay que sumarle el rtadio de la esfera: 0,15 m 0,50 m D V = K . Q / D ; D = 0,15 m + 0,50 m = 0,65 m V = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 5 . 10 -9 C / = 0,65 m = 69,23 V Ejercicio resuelto Nº 45 ( pág. Nº 56) Calcular el potencial eléctrico en un punto situado a 1 nm de un núcleo atómico de helio cuya carga vale 2 protones. Datos: Qp+ = 1,6 . 10 -19 C Resolución R = 1 nm = 1 . 10 -9 m QT = 2 . 1,6 . 19 -19 C = 3,2 . 10 -19 C No sabemos si la distancia que nos proporcionan está dentro de la corteza electrónica. Pero sabemos que puede existir potencial eléctrico dentro de la esfera y por lo tanto dentro de la corteza electrónica. EJERCICIOS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA Profesor: A. Zaragoza López Página 57 V = K . QT / R V = 9 . 10 9 N . m 2 /C2 . 3,2 . 10 -19 C/ 10 -9 m V = 28,8 . 10 -1 V = 2,88 V Ejercicio resuelto Nº 46 (pág. Nº 57) Un pequeño objeto esférico tiene una carga de 8 nC. ¿A qué distancia del centro del objeto el potencial es igual a 100 V?, ¿50 V?, ¿25 V?, ¿el espaciamiento de las equipotenciales es proporcional al cambio de V? Datos: q = 8x10 -9 C V = K .Q / R ; V . R = K . Q ; R = K . Q / V (1) V1 = 100 V V2 = 50 V R1 = 9 .10 9 N . m 2 /C 2 . 8 . 10 -9 C / 100 V = 0,72 m V3 = 25 V R2 = 9 . 10 9 N . m 2 /C 2 . 8 . 10 -9 C / 50 V = 1,44 m R3 = 9 . 10 9 N . m2/C 2 . 8 . 10 -9 C / 25 m = 2,88 m Observamos que al disminuir el potencial la distancia AUMENTA. El potencial y la distancia al centro de la esfera son INVERSAMENTE PROPORCIONALES. Ejercicio resuelto Nº 47 (pág. Nº 57) Dos pequeñas esferas conductoras de radios r1=1’00 cm y r2=2’00 cm se encuentran cargadas con cargas q1=2’0 nC y q2= ‐5’0 nC respectivamente. Si la distancia que separa sus centros es 2’6m determinar el módulo de la fuerza electrostática que ejerce una esfera sobre la otra Resolución