Elementos de Máquinas, Apuntes de Mecánica

¡Descarga Elementos de Máquinas y más Apuntes en PDF de Mecánica solo en Docsity! ELEMENTOS DE MÁQUINAS Los elementos de máquinas tales como roblones, chavetas, poleas, resortes, engranajes, etc. son partes constitutivas de distintos mecanismos, que cumplen distintas funciones en éste último, ya sea de unión entre las piezas, de soporte de órganos en movimiento, de transmisión del movimiento, etc. Por tal motivo están expuestos a solicitaciones de distinta índole, principalmente mecánicas, como esfuerzos, choques, rozamientos, deformaciones, etc. por lo que deben cumplir con distintos requisitos técnicos a los efectos de soportar estas exigencias y lograr el comportamiento lo más eficiente del mecanismo. Deben por lo tanto ser calculados de acuerdo a principios teóricos y experimentales de la mecánica. Los mismos deben tener suficiente resistencia y duración funcionando con el menor desgaste y reparación posibles y cumplir su finalidad con el costo mínimo de fabricación y mantenimiento. Pueden agruparse los mismos como elementos “activos”, que son aquellos que transmiten movimiento (poleas, ruedas dentadas, etc.) y “pasivos” los que tienen como misión soportar, sujetar o guiar los anteriores (roblones, cuñas, tornillos, etc.) En este capítulo analizaremos distintos elementos, a excepción de los engranajes que por su importancia, merecen un estudio aparte. Órganos de unión Se deben distinguir dos tipos de uniones, las fijas o inamovibles, que para ser retiradas deben ser destruidas, no pudiéndose usarlas nuevamente, y las movibles, que pueden ser retiradas sin deterioro y usadas nuevamente. Uniones fijas o inamovibles Se tienen dos tipos de uniones fijas: 1) roblones y remaches, y 2) soldaduras. Roblones y remaches Se los utilizan generalmente para unir chapas, planchuelas, perfiles, etc. En el roblón pueden distinguirse las siguientes partes (Fig.3.1): el cuerpo o vástago de longitud l y diámetro d el cual se expande hasta un diámetro d1 luego del roblonado y que es el que se utiliza para el cálculo de la resistencia del roblón, la cabeza propia de diámetro D y altura K, generada con un radio R en los de cabeza esférica, presentando en la unión con el vástago un radio r para evitar la concentración de tensiones en las aristas agudas, y la cabeza estampada o de cierre. En los roblones denominados de cabeza perdida y gota de sebo la cabeza corresponde a un tronco de cono de ángulo α. La cabeza propia está hecha de antemano en uno de los extremos del vástago, y la estampada se la realiza luego de introducido éste último en el agujero correspondiente practicado previamente en las piezas a unir, constituyéndose así la unión. El material utilizado en la construcción de los roblones y remaches es generalmente hierro dulce, acero, cobre, aluminio, etc., según el tipo de material a unir y la resistencia deseada. 3 La forma y tamaño del roblón dependen de las características de la unión, recibiendo distintas denominaciones según el tipo de cabeza propia que posea. Así, en las construcciones metálicas (puentes, torres, edificios, etc.) se tienen (a) roblones cabeza redonda, (b) roblones cabeza perdida y (c) roblones cabeza gota de cebo (Fig.3.2) y en las construcciones mecánicas (calderas, máquinas, etc.), en las cuales el tamaño de los roblones por lo general no sobrepasan los 13 mm de diámetro d del vástago, se tienen (a) roblones cabeza redonda, (b) roblones cabeza perdida, (c) roblones cabeza troncocónica y (d) roblones cabeza chata (Fig.3.3). Las dimensiones de los roblones están dadas en milímetros o pulgadas. El largo del vástago depende del espesor a remachar, estando normalizado el mismo de acuerdo al tipo de cabeza. Generalmente este largo es igual al espesor de las chapas más 1,5d1. Para la ejecución del roblonado se practican previamente los agujeros ya sea a punzón o taladro y luego, calentando previamente el roblón se lo introduce a presión remachándose con una remachadora o estampadora el extremo del vástago, estampando de esa forma la cabeza de cierre (Fig.3.4). Según el destino del roblonado o remachado se lo puede clasificar en: 1) Roblonado para calderas de vapor: debe resistir elevadas presiones y temperaturas y ofrecer al mismo tiempo hermeticidad. 2) Roblonados para recipientes herméticos y sometidos a grandes presiones: deben asegurar su cierre hermético y la resistencia mecánica del mismo. 3) Roblonado para construcciones metálicas y mecánicas: deben resistir la acción de grandes cargas o momentos de fuerzas considerables. El Roblonado cuando se practica entre dos perfiles o chapas solapadas se denomina roblonado por recubrimiento o solape (Fig.3.5a) y cuando se utilizan chapas o planchuelas adicionales se denomina roblonado a cubrejuntas, pudiendo ser a simple (Fig.3.5b) o doble (Fig.3.5c) cubrejuntas. Cálculo de los roblones El cálculo se hace considerando la resistencia al corte simple que presenta la sección t dt St Sdt Atotalción Adebilitadación v 11 . ).( sec sec − = − = ′ = (3.13) Cuanto mayor es v el roblonado resulta de mejor calidad, siendo el valor de la fuerza transversal admisible por centímetro de ancho de la plancha, indicada como P1, para una tensión admisible σadm,, el dado por la expresión:      − = cm kg S t dt P admσ 1 1 (3.14) En el roblonado se deben respetar ciertas dimensiones mínimas a los efectos de lograr la resistencia y comportamiento adecuado de las chapas y roblones, como son las distancias del agujero a los bordes, la cantidad z de roblones que se consideran por paso t, algunas de las cuales se indican en la figura (Fig.3.8): A los efectos de facilitar los cálculos existen tablas, como las que presenta el Manual del Constructor de Máquinas de H. Dubbel, que dan los valores de P1 en función de v, del diámetro d1 y según la disposición del roblonado y el tipo de esfuerzos y condiciones a los cuales estará expuesta la pieza. Se distingue especialmente el roblonado para calderas atendiendo a la variación que presentan las dimensiones del vástago de los roblones al estar sometidos a solicitaciones por variaciones térmicas además de las mecánicas. Cálculo de verificación al aplastamiento El vástago del roblón presiona contra las paredes de las chapas deformándose o causando la deformación de éstas, ovalándose los agujeros hasta que se raja la pared y se destruye la unión. La presión se supone se ejerce en forma uniforme sobre la sección del plano diametral de la chapa (Fig.3.9) la que está dada por la expresión: A = d1.S (3.15) Donde es A la sección de aplastamiento. Si es σ la tensión unitaria de compresión a la que está sometido el roblón y la chapa, la fuerza P que soportan está dada por la expresión: P = σ.d1.S (3.16) Si fueran z roblones los que soportan el esfuerzo P : P = zσ.d1.S (3.17) Si la tensión unitaria de compresión admisible fuera σadm debe cumplirse: adm Sdz P σσ ≤= .. 1 (3.18) Cálculo de verificación al desgarramiento En este caso el roblón produce el desgarramiento de las chapas a lo largo de las superficies laterales A’ paralelas a las generatrices de los extremos del diámetro d1 del mismo(Fig.3.10): A’ = S.l (3.19) A = A’ = 2.S.l (3.20) Si es τc el esfuerzo unitario al corte al cual está sometida la chapa, la fuerza P será: P = 2.S.l.τc (3.21) Debiendo verificarse que sea: τc ≤ τadm (3.22) Si las chapas estuvieran unidas por z roblones, el esfuerzo de corte sería: admc zlS P ττ ≤= ...2 (3.23) Para el caso de más de una fila de roblones se debe considerar la sección debilitada de la chapa. Roblonado a cubrejuntas La metodología de cálculo es similar a lo visto para roblonado por solape. Se debe tener en cuenta que el roblón en la doble cubrejuntas, al ser solicitada las chapas por la fuerza P, presenta dos secciones que resisten el corte, soportando cada una la fuerza P/2, al igual que las cubrejuntas (Fig.3.11): Debido a las condiciones favorables de solicitación de la chapa en la primera fila de roblones se utilizan cubrejuntas desiguales, lo que además expone a la misma a menor peligro de rotura en los borde calafateados con respecto a la doble cubrejuntas iguales. La Fig.3.12 indica el calafateado o retacado del borde de la chapa superior, lo que aumenta el rozamiento entre ambas, lo que como ya se mencionara, ofrece resistencia a la solicitación a la que se somete a las chapas. El calafateado también se puede realizar en la cabeza de los roblones. Fórmulas de cálculo de roblones El cálculo de roblones se realiza por lo general con fórmulas semiempíricas que tienen en cuenta la gran experiencia existente al respecto y que han sido recopiladas en tablas o manuales lo que facilita la selección del roblonado a ejecutar y asegura su resultado. A continuación se transcribe las expresiones utilizadas para un caso de los mencionados anteriormente (Fig.3.13). Suponemos un recipiente hermético de diámetro D y longitud l sometido a una presión interior p. El diámetro de los roblones se determina en función del espesor de la chapa. El esfuerzo al que se someterán los roblones se contrarresta en parte por la resistencia al deslizamiento que existe entre las chapas por efecto del rozamiento. Las expresiones y valores utilizadas para este caso son: La fuerza P que solicita a la chapa, en función de la presión interna p, el diámetro D y la longitud l del recipiente es igual a: P = p.D.l (3.24) τc = 950 kg/cm 2 esfuerzo unitario de corte para doble sección de corte y considerando el rozamiento. d1 = S5 -0,6 cm (3.25) t = 3,5d1 + 1,5 cm (3.26) S1 = 0,8S (3.27) e = 1,5 d1 (3.28) e1 = 0,5t (3.29) e2 = 0,9e (3.30) p lD P dtS d n r == − = .)( 4 1 2π τ σ (3.31) Uniones soldadas La soldadura constituye una unión fija entre dos o más piezas metálicas, por lo general de igual material, las cuales por medio de calor entregado a las mismas, y casi siempre a un material adicional de aporte, se funden y se combinan resultando una unión por cohesión en las denominadas soldaduras fuertes y por adhesión en las denominadas soldaduras blandas. Por lo tanto se tienen soldaduras con aporte y sin aporte de material, siendo las primeras las que se unen por simple fusión de cada uno de los materiales, o del material de aporte, y las segundas las que además de la fusión necesitan que se ejerza presión entre ellas para que se realice la unión. Las soldaduras fuertes se realizan mediante soldadura oxiacetilénica (soldadura autógena), soldadura eléctrica por arco voltaico, soldadura aluminotérmica y por resistencia eléctrica y presión. Las soldaduras blandas son las estañadas, donde el material aportado es de menor resistencia y dureza que los que se unen. Actualmente existen soldaduras plásticas que cada día son de mayor utilización tanto en la industria como en aplicaciones hogareñas. En este curso se estudiarán solo las denominadas soldaduras fuertes. pequeño y quema el material en tanto que, con exceso de acetileno el núcleo se agranda, el material se carbura y se producen sopladuras, siendo la soldadura defectuosa. Para soldar aleaciones de CuZn se utiliza generalmente un exceso de oxígeno y para soldar fundición gris se utiliza un exceso de acetileno. El material de aporte utilizado depende del tipo de material a soldar, utilizándose varillas de hierro dulce para soldar acero y de bronce para soldar fundición. Según el espesor de las piezas a soldar y de acuerdo a la temperatura que se quiere alcanzar, la boquilla debe suministrar un determinado caudal de acetileno en la unidad de tiempo, para lo que se utilizan diferentes tamaños de boquillas, las que por lo general son intercambiables en el soldador a los efectos de permitir con un mismo equipo realizar distintos tipos de soldaduras. En la siguiente tabla (Tabla I) se puede observar la relación existente entre los espesores a soldar, los consumos, presiones y tiempos de soldadura del oxígeno y acetileno: Espesor de piezas a soldar Presión de oxígeno (atmósferas) Consumo de acetileno por hora en litros Consumo horario de oxígeno en litros Consumo de acetileno en litros por mm de soldadura Tiempos de soldadura en minutos por mm 1 1 80 90 10 5 2 1 140 175 25 8 3 1 220 270 40 11 3 a 5 1,2 290 360 70 16 5 a 7 1,4 430 500 150 24 7 a 9 1,7 570 700 220 42 9 a 10 1,8 950 1.000 300 60 10 a 12 2 1.400 1.500 400 72 12 a 15 2,2 2.000 2.100 600 105 15 a 25 3 2.400 2.700 2.000 165 Tabla I Métodos de soldaduras: Existen diferentes métodos de soldadura según los casos que se presenten por la disposición de las piezas a soldar con respecto al soldador (Fig.3.19): a) a) Soldadura en planta horizontal: es una de las formas más sencilla de soldar puesto que el material de aporte se deposita, luego de fundido, por gravedad, facilitándose su combinación con el material de las piezas a soldar. b) b) Soldadura horizontal sobre pared: adquiere un grado de dificultad ya que debido a que el material fundido tiende a escurrirse hacia abajo. c) c) Soldadura vertical: presenta un grado de dificultad similar al anterior. d) d) Soldadura sobre cabeza: es la que presenta mayor dificultad debido a que el metal fundido tiende a desprenderse por su propio peso. También se distingue 1) la soldadura a izquierda, cuando la varilla del material de aporte se desplaza por delante de la llama, ambas en forma de zigzag, la que por efecto de soplado empuja el material fundido hacia adelante, utilizada para soldar materiales de hasta 3 mm de espesor, presentado los inconvenientes de pérdida de calor, enfriamiento rápido y textura con defectos y 2) la soldadura a derecha, para espesores de más de 3 mm, donde la varilla del material de aporte se desplaza siguiendo a la llama, ambas en forma circular, la cual calienta la zona de fusión, reteniendo el material fundido por efecto de soplado (Fig.3.20). Para efectuar la soldadura se comienza primero por abrir la válvula del tubo de acetileno y luego la del tubo de oxígeno, en ambos casos muy lentamente. A continuación en el soplete se abre levemente la válvula que corresponde al oxígeno y a continuación la del acetileno iniciando la combustión con un mechero o chispero. Las piezas a soldar deben estar limpias y previamente calentadas. Al finalizar la soldadura se cierra en el soplete primero la válvula del acetileno y luego la del oxígeno. Se debe tener especial cuidado de no engrasar ni aceitar las roscas u otras partes del equipo ya que éstos arden muy fácilmente con el oxígeno. Además el soldador debe utilizar los elementos de protección, como ser antiparras, guantes de cuero y delantal, todos ellos confeccionados especialmente para esta operación. Soldadura eléctrica por arco voltaico Se realiza por la fusión de las piezas a soldar y el material de aporte utilizando el calor que desarrolla el arco voltaico que se produce al circular una corriente eléctrica, a través del aire, entre los electrodos positivo y negativo, constituidos por la pieza a soldar que actúa de ánodo y la pinza con la varilla del material de aporte que es el cátodo, elevándose la temperatura hasta aproximadamente 3600°C. Para simplificar se denomina electrodo a la pinza con la varilla de aporte de material y pieza al material a soldar. Por lo general se utiliza corriente continua, con tensiones entre 50 V y 70 V para encender el arco siendo necesario para mantenerlo durante el trabajo tensiones de 20 V y 30 V, circulando corrientes entre 50 a 500 amperes. La corriente eléctrica se produce, ya sea en un transformador-rectificador conectado a la red eléctrica industrial o en un generador de corriente continua movido por un motor eléctrico o motor de combustión interna (Fig.3.21). El electrodo, en la soldadura manual por arco eléctrico, está constituido por una varilla de acero o aleación, las que actualmente vienen todas revestidas o recubiertas con un material especial, como pueden ser el óxido de titanio (revestimiento de rutilo), el ferromanganeso (revestimiento ácido), el carbonato cálcico (revestimiento básico) o la celulosa (revestimiento orgánico). Al producirse la elevación de la temperatura, el revestimiento se funde y forma una envoltura gaseosa que impide la penetración del nitrógeno y del oxígeno del aire, que causarían, el primero la fragilidad del material y, el segundo, inclusiones de óxidos, que debilitan la soldadura. Además el revestimiento contiene elementos que suplen las materias eliminadas por la combustión, como por ejemplo el manganeso y el carbono. También, al ionizar el aire, estabiliza el arco eléctrico. Forma escorias que cubren el cordón de soldadura, disminuyendo la velocidad de enfriamiento con lo que se reducen las tensiones en el material además de absorber las impurezas del baño de fusión. Los electrodos están normalizados según Normas IRAM, DIN, SAE, etc., las que dan sus dimensiones y características (Fig.3.22), como ser el diámetro de las varillas, tanto del alma como del revestimiento, su longitud total l y su longitud l’ correspondiente a la zona donde es sujetada por la pinza y la cual no tiene revestimiento para permitir el contacto directo y con ello la circulación de la corriente eléctrica. Se utilizan distintos diámetros de electrodos para cada espesor de pieza a soldar, con una tensión y una intensidad de corriente adecuadas a los efectos de generar el calor necesario y suficiente que permitan la correcta fusión del electrodo y de la pieza. En la tabla II se dan distintos espesores de chapas con sus correspondientes diámetros de electrodos con revestimiento y las intensidades de corrientes. Espesor en mm de la Chapa Diámetro en mm del electrodo Intensidad de la corriente en A Energía en kwh absorbida Consumo en kg de electrodos 2 2 40 – 60 0,8 0,100 4 3 a 4 80 – 120 1,2 0,200 6 3 a 5 130 – 180 2 0,400 8 3 a 5 130 – 200 3 0,600 10 4 a 6 140 –210 4 0,800 12 4 a 6 150 – 220 5 1,000 14 4 a 6 160 – 230 6 1,200 16 4 a 6 170 – 240 7 1,400 18 4 a 6 175 – 250 8 1,600 20 4 a 6 175 – 260 9 1,800 22 4 a 6 180 – 260 10 2,100 24 4 a 6 185 – 260 11 2,400 26 4 a 8 190 – 260 12 2,700 30 4 a 8 200n – 260 14 3,300 Tabla II Proceso de soldadura En el proceso de soldadura, al fundirse el metal por la elevada temperatura, el arco eléctrico produce en la pieza una pequeña depresión, llamada cráter. Al mismo tiempo, la extremidad del electrodo se funde por el calor del arco eléctrico y se desprende en forma de gotas, depositándose el metal en el cráter e incorporándose al metal base de la pieza. Para que se produzca una correcta soldadura el metal del electrodo y de la pieza deben mezclarse íntimamente, debiendo existir, como ya se dijera anteriormente, una unión por cohesión. Es de fundamental importancia la penetración, o sea la profundidad o espesor del metal base que se funde por la acción del arco, ya que cuanto mayor sea ésta, mejor resultado se obtiene en la L = d +2e (3.46) Siendo e la distancia desde el extremo del diámetro del punto de soldadura hasta los extremos de la pieza, dándose el e máximo para: emax = d (3.47) Se utilizan tensiones del orden de los 2V a los 10V e intensidades de 3.000 A a 50.000 A, con la aplicación de fuerzas desde los 90 daN a los 900 daN. Soldadura por costura: está compuesta por una serie de soldaduras por puntos realizadas en forma continua por un electrodo circular que rueda sobre las piezas a unir al mismo tiempo que se aplica una tensión eléctrica y una fuerza mecánica (Fig.3.27). Las dimensiones que se deben aplicar para el solape y la distancia a los extremos de las piezas desde el extremo de la soldadura, son las mismas que para la soldadura por puntos. Los electrodos están constituidos por dos ruedas o rodillos de cobre de diámetros que varían, según el espesor del material a soldar, de 5 cm a 60 cm y aún más. Soldadura con resaltos: cuando se deben soldar una cantidad de piezas fabricadas en serie, a los efectos de facilitar y hacer más veloz la ejecución del trabajo, se utilizan matrices con formas especiales, las que constituyen los electrodos, tomando formas especiales con resaltos, según sea la forma de las piezas a soldar. Una de estas formas se puede observar en la figura (Fig.3.28). Soldadura al tope: se denomina así a la soldadura por resistencia de dos barras que se unen enfrentadas por sus extremos (Fig.3.29), las cuales son sujetadas por los electrodos, los que son al mismo tiempo mordazas, y por las cuales circula una corriente debido a la diferencia de potencial V, calentándose por la mayor resistencia de las dos superficies en contacto, fundiéndose éstas y luego, desconectando la corriente, con una presión mecánica se unen ambas. Se usa en aceros con bajo contenido de carbono, para metales no ferrosos como el cobre, aluminio y aleaciones de cobre y zinc. Soldadura por arco de chisporroteo: es similar a la soldadura al tope, con la diferencia que en este caso se colocan las piezas en contacto ligero y se hace circular la corriente (Fig.3.30); luego se separan levemente una pequeña distancia para producir el chisporroteo del arco eléctrico que forma la corriente al seguir circulando a través del espacio entre ambas superficies con lo que aumenta la temperatura fundiéndose el metal de las superficies en contacto. Luego de obtenido el estado casi líquido del metal, se desconecta la corriente, se aplica una presión con lo que se obliga a despedir el mismo y se realiza la soldadura en el metal en estado pastoso que está detrás del fundido. Con esto se logra que la soldadura quede libre de impurezas, siendo apropiado para aceros con alto contenido de carbono. Cálculo de soldadura por fusión Según sean las formas en que deban unirse dos o más piezas, los cordones de soldadura a realizar con el material aportado presentan distintos tipos. Se pueden observar en la figura (Fig.3.31) algunas de las formas adoptadas. Cuando se realiza una soldadura, se debe conocer previamente si la misma cumplirá con el fin propuesto, esto es que tenga la resistencia adecuada, pudiendo ser menor, igual o mayor que la resistencia propia del material de las piezas que se están uniendo. Por este motivo, es necesario realizar el cálculo de la sección del cordón de soldadura que se deberá ejecutar a los efectos de su dimensionamiento adecuado, teniendo en cuenta las características del metal a unir, las del electrodo a utilizar y las condiciones de trabajo a la que estará sometida la pieza. Además es necesario en otras ocasiones, conocer la resistencia de cordones de soldaduras ya existentes en elementos que serán sometidos a diferentes esfuerzos, motivo por el cual se debe verificar si soportarán los mismos. Supongamos las piezas de espesores t y t1 según muestra la figura (Fig.3.32) las cuales se encuentran unidas por cordones angulares de soldaduras de espesores a y longitudes l1 como se indica. La longitud efectiva de la costura es l ya que por los efectos de borde se introducen por lo general defectos que debilitan la soldadura, motivo por el cual se descuentan los extremos en una longitud aproximadamente igual al espesor de la soldadura y no se los considera para el cálculo de la resistencia de la misma, guardando las siguientes proporciones: a) amin = 3mm; b) amax = 11 7,0 2 1 tt = ; c) l = l1 – 2a (3.48) Donde es t1 el espesor de la pieza más delgada. Para el caso de unión de dos piezas a tope en V (Fig.3.33 a), el cálculo de la resistencia de la soldadura se hace considerando la sección de la mis- ma correspondiente a la pieza de menor espesor y la lon- gitud efectiva l del cordón soldadura se obtiene descontan- do a la longitud total l1 los extremos a iguales al espesor de la pieza más delgada. Para el caso que se coloque un refuerzo debajo de ambas piezas de mayor ancho que las mismas (Fig.3.33b), la longitud del cordón l1 se realiza de la misma longitud que éste ancho, motivo por el cual la longitud efectiva l del cordón es igual al ancho de las piezas. La resistencia de un cordón de soldadura a las solicitaciones a los cuales estará sometido dependerá de la resistencia unitaria admisible del material de aporte y de la sección que el cordón presente a estas solicitaciones. En todos los casos deberá verificarse que la resistencia unitaria a la cual esté sometido el cordón de la soldadura deberá ser menor que la resistencia unitaria admisible del material que constituya éste, es decir: a) σsold ≤ σsold.admisible y b) τsold ≤ τsold.admissible (3.49) Para el caso de varios cordones de soldaduras expuestos a una fuerza F, la sección resultante que soportará esta fuerza, será la sumatoria de las secciones que estén en posición de resistir la misma. Para el caso de la figura (Fig.3.34), el cordón de soldadura sometido a la fuerza F es A = a.l resultando por lo tanto las tensiones unitarias de resistencia a la tracción o compresión y al corte respectivamente, las siguientes: admisiblesoldsold la F . . σσ ≤= (3.50) y admisiblesoldsold la F . . ττ ≤= (3.51) Para el caso de más de una sección se tendrá: ( )22 4 2 1 τσσσ ++=sold (3.62) La ecuación (3.62) debe verificarse ya sea para un esfuerzo cortante Q correspondiente a un momento flector máximo Mmáx : admisiblesold sold máx sold máx sold la Q W M W M . 22 ).( 4 2 1 σσ ≤                   +      += ∑ (3.63) O para un momento flector M correspondiente al máximo esfuerzo transversal Qmáx: admisiblesold máx soldsold sold la Q W M W M . 22 ).( 4 2 1 σσ ≤                   +      += ∑ (3.64) Además debe cumplirse que sea: admisiblesold máx sold la Q . ).( ττ ≤= ∑ (3.65) En este tipo de uniones con perfiles, ya sean [, I, L u otros similares, se supone que el esfuerzo de corte Q solo lo soportan las costuras que están en posición de resistir esfuerzos cortantes, siendo para este caso, según muestra la figura (Fig.3.37), solo las costuras h1 del alma. Si las costuras angulares de la soldadura se vieran además sometidas a esfuerzos longitudinales o normales N además del momento flector M (Fig.3.38), se manifestarán tensiones dadas por la expresión admisiblesoldN la N . ).( σσ ≤= ∑ (3.66) Y se deberá verificar también: admisiblesold sold máx sold la N W M . ).( σσ ≤+= ∑ (3.67) Todas aquellas costuras que debido a su difícil accesibilidad no puedan soldarse en forma correcta, deberán omitirse en el cálculo de la resistencia. Según las Normas DIN por defectos de ejecución y concentración de tensiones se deben disminuir las tensiones admisibles según se indica en el siguiente cuadro: Tipos de Tensiones Defectos de ejecución Concentración de tensiones Total Tracción 15% 10% 25% Compresión 15% - 15% Flexión 15% 5% 20% Corte 15% 5% 20% Cuando se tratan de soldaduras delicadas y que exigen un alto grado de perfección se comprueban las calidades de las mismas mediante ensayos especiales, siendo los más comunes las radiografías, ultrasonido y tintas penetrantes. Uniones Movibles (tornillos de fijación) El tornillo es el elemento más empleado en estas clases de unión. Se trata de un perno o cilindro con resaltos en forma helicoidal que forma la rosca del tornillo, que le permite penetrar sujetando dos o más piezas, o con otro elemento adicional, la tuerca, la que también tiene una rosca interna de la misma característica que la del tornillo y en la cual se enrosca este último. Suponemos en la figura (Fig.3.39) el ángulo AOB = α y la longitud horizontal OB = 2π r de uno de sus lados. En el mismo plano el eje xx’ distante una distancia r del vértice O del ángulo. Si se enrolla el plano del ángulo alrededor del eje xx’ manteniendo constante la distancia r, el lado OB engendra una circunferencia de radio r normal a xx’ y el lado OA engendra una hélice con una inclinación α respecto de la horizontal, designándose a h como el paso de la hélice, y que es la distancia vertical entre dos puntos homólogos consecutivos de la hélice, y de acuerdo a la figura anterior su longitud es: h = 2 π r tgα (3.68) La hélice puede ser derecha o izquierda según sea el sentido en el cual se enrolla el plano del ángulo alrededor del eje xx’. Para este caso es de izquierda. AB es la altura h del triángulo AOB, y se definió como el paso, siendo este el avance completo que experimenta un punto de la hélice al dar una vuelta completa. También puede considerarse la hélice como la trayectoria de un punto animado de un movimiento compuesto de traslación y rotación, correspondiendo la elevación h para una vuelta completa. Con el movimiento de rotación de tres o cuatro puntos dispuestos sobre dos cilindros concéntricos, estando unidos entre sí estos puntos mediante rectas, se obtiene el tornillo, formando las aristas que generan los puntos unidos entre sí en la traslación, la rosca cuyo perfil será triangular, rectangular o de un perfil cualquiera, generalizando el procedimiento. En la figura (Fig.3.40) se observan una rosca (a) triangular y una (b) rectangular. Se observan además los ejes xx’ de los tornillos, sus diámetros interiores d1, correspondientes a sus núcleos y los diámetros exteriores d correspondientes a los filetes de las roscas. Tipos de roscas Según el perfil generado las roscas se clasifican en dos grandes grupos: a) Roscas para tornillos de fijación, es decir para unir o sujetar una o más piezas. b) Roscas para tornillos de transmisión de movimiento, como pueden ser elevadores, prensas, etc. Del grupo a) las más comúnmente utilizadas son las roscas Whitworth, cuyas dimensiones están en pulgadas, y la Internacional, cuyas dimensiones están en milímetros. Rosca Whitworth Su perfil básico es un triángulo isósceles de ángulo en el vértice α = 55º (Fig.3.41). Las dos más comunes son : roscas regulares o sin juego en los vértices y roscas finas con juego en los vértices, siendo en estas últimas el paso menor que en las regulares. Se identifican en las roscas sus parámetros constructivos, los que generalmente están en función del paso h, siendo las principales las siguientes: - h: paso de la rosca en pulgadas. - t: altura del triángulo generador. - t1: profundidad del filete. Se redondea el vértice del triángulo generador en la base a los efectos de eliminar la concentración de tensiones en los cantos vivos. - z: número de filetes por pulgada inglesa. - r: radio de redondeo del fondo de la rosca en el vértice del triángulo generador. - d: diámetro exterior del tornillo. - d1: diámetro interior del tornillo. - d2: diámetro medio de la rosca. - a: juego o huelgo existente entre el extremo del filete y el fondo de la rosca en la rosca Whitworth fina (no se muestra en la figura). En la rosca sin juego en los vértices teóricamente no existe huelgo, pero debido a problemas constructivos existe una tolerancia, por lo que siempre se tiene en este tipo de roscas un pequeño huelgo. Si se toma el número de filetes z por pulgada, el paso h será igual a: z h ''1 = (3.69) Luego se tendrá en función de h los medidas de los otros parámetros: t = 0,96049h (3.70) t1 = 0,64033h (3.71) r = 0,13733h (3.72) a= 0,074h (3.73) d1 = d – 1,28h = d – 2t1 (3.74) d2 = 22 11 t d dd −= + (3.75) Rosca Internacional El perfil básico es un triángulo equilátero de ángulo en el vértice α = 60º (Fig.3.42). También en éstas se distinguen las de roscas corrientes de las de roscas finas. Sus parámetros característicos, al igual que en la rosca Whitworth, están en función del paso h, el cual está en milímetros, siendo los principales los siguientes: - h: paso de la rosca en milímetros. - t: altura del triángulo generador. d) Rosca redonda h: paso a) t = 1,86603h b) t1 = 0,5 c) a = 0,05h d) r = 0,25597h (3.85) Cálculo de la resistencia de un tornillo El cálculo de la resistencia de un tornillo permite su dimensionado a los efectos de que ofrezca la resistencia necesaria a los esfuerzos al cual estará sometido. Una forma sencilla y rápida de realizarlo consiste en considerar, el giro del tornillo con una carga P que soporta la rosca, equivalente a elevar una carga igual por el plano inclinado de la hélice. Se parte de la hipótesis de que el esfuerzo máximo que experimenta el tornillo tanto en su núcleo como en sus filetes se deben a esfuerzos de tracción. Suponiendo el caso de un tornillo que sujeta dos piezas con una tuerca, la cual es apretada por una llave a la cual se le aplica una fuerza P1 con un brazo de palanca a (Fig.3.49), según la expresión ya vista (2.215) el momento ejercido considerando la existencia del rozamiento es: Mm = P1.a Este momento hace que se ejerza una fuerza de cierre P de tracción sobre el tornillo. Si se denomina M0 al momento ejercido por una fuerza P0 sin considerar el rozamiento, sobre el mismo brazo de palanca a, resulta: M0 = P0.a (3.86) y el rendimiento según la (2.220), estaba dado por: 1 0 1 00 . . P P aP aP M M m ===η < 1 (3.87) De la (3.86) se obtiene: P0 = ηP1 (3.88) La fuerza de cierre, según la expresión (2.228), será: m m m rh hr r aP P πµ µπ 2 2.1 + − = (3.89) Donde es rm el radio medio del tornillo, h es el paso y µ el coeficiente de roce entre los filetes de la rosca del tornillo y de la tuerca. Si no existiera rozamiento, la fuerza de cierre P en función de P0, haciendo en la (3.89) µ= 0 resulta: h a PP π2 0= (3.90) y reemplazando P1 por su valor dado por la (3.88) se obtiene: h a PP π η 2 1= (3.91) Conocida la fuerza P se puede dimensionar el tornillo. Sean df, dn y dm los diámetros del filete , del núcleo y medio del filete respectivamente, (Fig.3.50) del tornillo. Si es σt la resistencia o esfuerzo unitario a la tracción, se tiene que la fuerza que puede resistir el núcleo del tornillo está dada por la expresión: t ndP σ π 4 2 = (3.92) de donde es: t n P d σπ 4 = (3.93) Para obtener el diámetro del filete df , teniendo en cuenta que es aproximadamente: 65,0 2 2 ≅ f n d d (3.94) y aplicando en la (3.91) el artificio de multiplicar y dividir por 2 fd se obtiene: 22 2 22 2 22 51,0 4 65,0 44 ftft f n t f f f t n dd d dd d dd P σσ π σ π σ π ≅=== (3.95) De donde resulta: t f P d σ 2 = (3.96) Si además el tornillo está sometido a torsión, el valor de la resistencia unitaria σt’ para este caso se toma: σt’= ¾σt (3.97) Por lo que el valor de P resulta: P = 0,5. tfft dd σσ 22 375,0 4 3 = (3.98) Si además debe el tornillo resistir esfuerzos dinámicos, como por ejemplo vibraciones, será la resistencia unitaria σt” aún menor, adoptándose el valor: tt σσ ′=′′ 4 3 (3.99) De donde resulta: 2 28,0 ft dP σ= (3.100) Por lo tanto, para el tornillo sometido a esfuerzo de tracción, torsión y esfuerzos dinámicos es: t f P d σ 57,3 = (3.101) Tiene mucha importancia el sistema constructivo de la rosca, por ejemplo, para roscas hechas al torno, si se aplica para valores conocidos de σt según estado de carga II según Bach, por ejemplo para acero dulce y cargas variables y el valor de la tensión σt= 600 a 800 kg/cm2 , o para hierro forjado y cargas variables y σt = 600 kg/cm 2 es, según la (3.95): P = 0,51.600. 2 fd = 300. 2 fd (3.102) Para roscas hechas con tarraja se toma, para df > 40 mm, σt = 540 kg/cm 2, es: P = 0,5.540. 2 fd = 270. 2 fd (3.103) Y para df < 40 mm, σt = 480 kg/cm 2: P = 0,5.480. 2 fd = 240. 2 fd (3.104) Cálculo de la altura de la tuerca Se supone que el mayor esfuerzo que soportan los filetes de la tuerca es el de flexión. Según la teoría de la Resistencia de Materiales, considerando al filete de la tuerca como una ménsula, la fuerza P que actúa a una distancia l, provocará un momento flector M, el cual será soportado por la sección resistente W. Si se analiza la figura (Fig.3.51) para rosca internacional, la cual se muestran las medidas de los filetes de la tuerca, se tiene que según la hipótesis de carga, la fuerza P está aplicada a una distancia l del diámetro del filete del tornillo igual a: tl 16 7 = (3.105) El Módulo Resistente del filete de la rosca, W es, según la figura (Fig.3.52): 2 8 7 6 ..       = h dz W fπ (3.106) Siendo, en la (3.106): z: número de pasos del filete que comprenden la altura de la tuerca. z.π.df : base del rectángulo de la sección que resiste el esfuerzo P. h 8 7 : altura del rectángulo de la sección que resiste el esfuerzo P. Por lo tanto, el Momento Flector será: M = P.l = W.σf (3.107) Reemplazando en la (3.107) los valores de l y de W dados por las (3.105) y (3.106) respectivamente se obtiene: f f h dz tP σ π 2 8 7 6 .. 16 7       = (3.108) Para un muelle en general, de características rectilíneas o no, (curva 2 de la figura Fig.3.55) es: df dF tg =2α (3.123) Para el muelle de características elásticas se puede escribir: 2 . 2 . 2fcfF T == (3.124) Estando T en kgcm oNm, correspondiente al área rayada del triángulo de la figura (Fig.3.55). Cálculo de muelles Muelles de tracción y compresión Considerando un resorte de sección constante A y de longitud l, medidos en cm2 y en cm respectivamente. Si se designa con ±∆l = f el alargamiento o acortamiento del resorte debido a la carga F que actúa en la dirección del eje del muelle (Fig.3.55 c). Si es σ la tensión de tracción o compresión y E el modulo de elasticidad del material (para el acero es E = 2,1.106 kg/cm2 = 205,8 Gpa) , ambos en kg/cm2 o N/m2, en el campo de las deformaciones elásticas se verifica que el alargamiento o acortamiento unitario es: l f l l E = ∆ == σ ε (3.125) De la (3.125), operando se obtiene la deformación en función de la tensión, del módulo de elasticidad y de la longitud del resorte: E l f .σ = (3.126) Si es: F = σ.A (3.127) Luego el trabajo total de deformación dado por la expresión (3.124) en la que se reemplazan los valores de F y f dados por las expresiones (3.126) y (3.126) respectivamente será: lA E T . 2 2σ = (3.128) Para su cálculo debe tenerse en cuenta que la máxima tensión de tracción o compresión que en los muelles tenga lugar no debe sobrepasar las tensiones admisibles; es decir que debe verificarse: a) σmax ≤ σ tracción admisible b) σmax ≤ σcompresión admisible (3.129) Además si el volumen del muelle es: V = A.l (3.130) Se tendrá que para los muelles trabajando a tracción y compresión, la energía absorbida en el proceso total de deformación, o sea el trabajo elástico, valdrá: V E T 2 max 2 1 σ = (3.131) Muelles de anillos elásticos: es un ejemplo de muelle que trabaja a la tracción y compresión (Fig.3.56). Consiste en una serie de anillos concéntricos de secciones cónicas unas interiores y otras exteriores, superpuestos unos sobre otros, con los de diámetro menor introducidos dentro de los de diámetro mayor. Los internos trabajan a la compresión y los externos a la tracción, existiendo además, entre las superficies en contacto rozamiento. Las tensiones a las que están sometidos los anillos están dadas por las siguientes expresiones: a) Para los anillos externos ( )ϕβπ σ + = tgA P e e (3.132) b) Para los anillos internos ( )ϕβπ σ + = tgA P i i (3.133) La deformación de los anillos es: ( ) E P A r A r tgtg z f i i e e       + + = ϕββπ (3.134) El volumen del resorte es: V = 2π (ne re Ae + ni ri Ai) (3.135) Siendo en la (3.132), (3.133) y (3.134) Ae y Ai las áreas de las secciones de cada anillo externo e interno respectivamente; re y ri los radios desde el centro de gravedad de cada uno de los anillos externo e interno respectivamente; ne el número de anillos externos y ni el número de anillos internos; z el número de superficies cónicas en contacto; β el ángulo que forma el eje del resorte con la cara cónica de un anillo; µ = tgϕ el coeficiente de rozamiento. Por lo general , para anillos de acero, es µ ≈ 0,16, debiendo verificarse β > ϕ. Muelles de plato (de flexión) Los muelles de plato, también llamados Belleville, son arandelas de forma cónica, que cuando se cargan axialmente trabajan a la flexión (Fig.3.57). Se utilizan cuando hay que absorber grandes cargas y ser pequeño el espacio disponible para el recorrido del resorte. Varios de estos discos pueden superponerse simplemente formando paquetes o combinarse para formar columnas (Fig.3.58). La tensión admisible que pueden soportar es un 75% de la tensión de bloque, siendo esta última la que comprime el plato hasta dejarlo horizontal (plano). Se pueden utilizar, con mucha aproximación, las ecuaciones para el cálculo a la flexión de una placa anular, para los valores prácticos siguientes: 4º ≤ α ≤ 7º (3.136) siendo el valor óptimo: αopt = 6,5º (3.137) 06,003,0 ≤≤ D s (3.138) Si es D s < 0,03 existe el peligro de doblado y para D s > 0,06 no se puede aplicar el cálculo como placa anular. Los valores de la tensión admisible σ0 y de la deformación f del muelle están dados por expresiones que contienen factores obtenidos experimentalmente en función de la relación D d =ε , siendo las mismas las siguientes: 120 k s P =σ (3.139) y para 2 D R = , es: 3 2 21 . . s RP kkf = (3.140) El trabajo de deformación T absorbido por el resorte, para la tensión σ de trabajo a la cual está sometido el plato, está dado por la expresión: 22 35,0 σsRkT = (3.141) La máxima deformación experimentada por el plato al ser sometido a una carga que produce la tensión de σbloque es la altura h0 y está dada por la expresión siguiente: s Rk h bloque 2 1 0 ..σ = (3.142) Los factores k1, k2 y k3 están diagramados para longitudes dadas en milímetros, según se muestra en la figura (Fig.3.59). Muelles de flexión de ballesta rectos Son utilizados por los general en vehículos, denominados comúnmente elásticos, formando paquetes de hojas o ballesta, superpuestas unas encimas de las otras. Pueden ser de forma rectangular, trapecial o triangular. El triangular constituye un sólido de igual resistencia a la flexión de altura h constante, siendo el momento de inercia y su sección resistente el de la sección empotrada. Se logra la flexión constante obteniendo de esta forma el máximo aprovechamiento del material. La línea elástica en este caso corresponde aproximadamente a un arco de círculo. Analizando la figura (Fig.3.60), si actúa la fuerza F en el extremo del muelle, a la distancia l, y siendo el momento de inercia de la sección empotrada el V G T 2 4 1 maxτ= (3.164) b) Muelles helicoidales de sección circular: el resorte helicoidal está formado por el arrollamiento de un alambre o varilla de sección uniforme, alrededor de un cilindro. El eje del alambre forma una hélice, manteniendo una distancia constante entre las espiras sucesivas. Si la distancia entre espiras es pequeña, se dice que es un resorte de espiras cerradas, y considerando la tensión a la que está expuesto el material del mismo, puede aplicarse la teoría de la torsión. Por lo tanto, considerando al resorte una sucesión de muelles de torsión unidos en el espacio (Fig.3.63a), de diámetro del alambre d, diámetro de una espira D y radio de la misma R y sometido a una fuerza F, para que exista equilibrio debe ser igualada esta fuerza externa por las fuerzas internas del material. Por ser la pendiente del muelle pequeña, se puede suponer sin cometer mucho error, que la fuerza F actúa perpendicular a la línea helicoidal (Fig.3.63b), y calculando por torsión con un radio R de la espira, siendo W la sección resistente polar dada por la (3.159), se tiene: Mt = F.R = W. τ (3.165) Despejando τ de la (3.165) y reemplazando W según la (3.159) se tiene: 33 . .8 . 16 d DF d FR ππ τ == (3.166) Para obtener la desviación f se recurre a la figura (Fig.3.64) en la que se considera un elemento diferencial dL del muelle, el cual es igual a: dL = R.dα (3.167) Siendo: R = OS (3.168) el radio de la espira del resorte. Bajo la acción del momento Mt el radio OA de la sección transversal de la barra girará el ángulo dθ hasta ocupar la posición OB describiendo el arco CD dado por la expresión: Arco CD = OC. dθ (3.169) El punto de aplicación de la fuerza F descenderá la distancia CE. Por tratarse de un elemento diferencial se puede suponer que el arco CD se confunde con la secante CD, resultando: arco OC.dθ = secante ____ CD (3.170) De la (3.170) se obtiene: CE = OC.dθ .cosβ = OC. .dθ OC R (3.171) Operando en la (3.171) resulta: CE = R. .dθ (3.172) Siendo CE la deformación del elemento diferencial dL del resorte y dθ el ángulo de torsión que corresponde al giro de la sección del elemento dL por efecto de la fuerza F. A los efectos de obtener el valor de dθ en función del momento torsor Mt, de la longitud dL del elemento de resorte considerado, del diámetro d del alambre y del módulo G de elasticidad a la torsión del material, se observa en la figura (Fig.3.65) que es: θγ d d dLd 2 . = (3.173) De donde resulta: dL dd d θ γ 2 = (3.174) Siendo dγ la deformación que sufre a lo largo de su generatriz el elemento dL, que en función de el esfuerzo unitario de corte τ y el módulo G de elasticidad a la torsión es igual a: G d τ γ = (3.175) Igualando los segundos miembros de la (3.174) y de la (3.175) por tener iguales los primeros miembro, se obtiene: dL dd G θτ 2 = (3.176) Despejando τ de la (3.176) es: dL dd G θ τ 2 = (3.177) Por otra parte es: W M t=τ (3.178) Siendo W la sección resistente polar, de donde reemplazando su valor dado por la (3.159) en la (3.178), resulta: 3 16 d M t π τ = (3.179) Reemplazando en la (3.179) el valor de τ dado por la (3.177) obtenemos: 3 16 2 d M dL dd G t π θ = (3.180) Despejando de la (3.180) dθ se obtiene: 32 4 d G dLM d t π θ = (3.181) Pero en la (3.181) es: 32 4 d I p π = (3.182) Donde es Ip el momento de inercia polar de la sección del alambre. Reemplazando en la (3.181) π.d4/32 por Ip se obtiene: p t IG dLM d . . =θ (3.183) Reemplazando en la (3.183) el valor de Mt y de dL dados por las (3.165) y (3.167) respectivamente y en la (3.172) el valor de dθ dado por la (3.183), obtenemos: p t IG dRFM CE . ... 3 α = (3.184) Como se dijo, CE es la deformación para la longitud dL del resorte. La deformación f para el largo total 2π.n del resorte, siendo n el número de espiras del resorte, se obtiene integrando CE para α variando desde 0 hasta 2π.n: ∫ ∫∫ === n n pp n d IG FR d IG FR CEf π ππ αα 2 0 2 0 33 2 0 .. (3.185) Integrando la (3.185) se obtiene: pIG nFR f . .2 3π = (3.186) Y reemplazando Ip por su valor según la (3.182) se obtiene finalmente, para la deformación total f del resorte: 4 3 64 Gd nFR f = (3.187) El trabajo de deformación absorbido por el resorte será: G nR dfF T 4 2 4 . 2 . 22 τ π π == (3.188) Como el volumen V del resorte es: nR d V ..2 4 . 2 π π = (3.189) Además, como debe ser para la mayor solicitación a la que está expuesto el resorte: τ = τmax ≤ τadm (3.190) La (3.188) resulta: V G T 2 max 4 1 τ = (3.191) La (3.191) permite calcular el trabajo de deformación, no influyendo la curvatura de la barra.