Enmergía electrostática y capacidad. Tipler Problemas resueltos, Ejercicios de Física

¡Descarga Enmergía electrostática y capacidad. Tipler Problemas resueltos y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity! Energía electrostática y capacidad Energía potencial electrostática 1. Tres cargas puntuales se encuentran sobre el eje x: q1 en el origen, q2 en x = 3 y q3 en x = 6 m. Determinar la energía potencial electrostática de esta distribución de cargas si: a) 𝒒𝟏 = 𝒒𝟐 = 𝒒𝟑 = 𝟐 𝝁𝑪 . b) 𝒒𝟏 = 𝒒𝟐 = 𝟐 𝝁𝑪 𝒚 𝒒𝟑 = −𝟐 𝝁𝑪 . c) 𝒒𝟏 = 𝒒𝟑 = 𝟐 𝝁𝑪 𝒚 𝒒𝟐 = −𝟐 𝝁𝑪. a) 𝑼 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝒓𝟏𝟐 + 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟑 𝒓𝟏𝟑 + 𝒌 ∗ 𝒒𝟐∗𝒒𝟑 𝒓𝟐𝟑 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ ( 𝟏 𝟑 + 𝟏 𝟔 + 𝟏 𝟑 ) 𝑼 = 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝑱 b) 𝑼 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ ( 𝟏 𝟑 − 𝟏 𝟔 − 𝟏 𝟑 ) = −𝟓. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟑𝑱 c) 𝑼 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ (− 𝟏 𝟑 + 𝟏 𝟔 − 𝟏 𝟑 ) = −𝟏. 𝟖𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝑱 2. En los vértices de un triángulo equilátero de lado 2,5 m se encuentran las cargas q1, q2 y q3. Determinar la energía potencial electrostática de esta distribución de carga si a) 𝒒𝟏 = 𝒒𝟐 = 𝒒𝟑 = 𝟒. 𝟐 𝝁𝑪 . b) 𝒒𝟏 = 𝒒𝟐 = 𝟒. 𝟐 𝝁𝑪 𝒚 𝒒𝟑 = −𝟒. 𝟐 𝝁𝑪. c) 𝒒𝟏 = 𝒒𝟐 = −𝟒. 𝟐 𝝁𝑪 𝒚 𝒒𝟑 = 𝟒. 𝟐 𝝁𝑪. a) 𝑼 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝒓𝟏𝟐 + 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟑 𝒓𝟏𝟑 + 𝒌 ∗ 𝒒𝟐∗𝒒𝟑 𝒓𝟐𝟑 𝑼 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒. 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ ( 𝟏 𝟐.𝟓 + 𝟏 𝟐.𝟓 + 𝟏 𝟐.𝟓 ) = 𝟎. 𝟏𝟗𝟎 𝑱 b) 𝑼 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒. 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ ( 𝟏 𝟐.𝟓 − 𝟏 𝟐.𝟓 − 𝟏 𝟐.𝟓 ) = −𝟔. 𝟑𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝑱 c) 𝑼 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒. 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ ( 𝟏 𝟐.𝟓 − 𝟏 𝟐.𝟓 − 𝟏 𝟐.𝟓 ) = −𝟔. 𝟑𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝑱 3. ¿Cuál es la energía potencial de un conductor esférico aislado de radio 10 cm cargado a 2 kV? 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸 ∗ 𝑽 𝑽 = 𝒌 ∗ 𝑸 𝑹 ; 𝑸 = 𝑽∗𝑹 𝒌 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑽∗𝑹 𝒌 ∗ 𝑽 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑽𝟐∗𝑹 𝒌 = 𝟏 𝟐 ∗ (𝟐∗𝟏𝟎𝟑) 𝟐 ∗𝟎.𝟏 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗 = 𝟐. 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑱 4. Cuatro cargas puntuales de magnitud 2 µC se encuentran en los vértices de un cuadrado de lado 4 m. Determinar la energía potencial electrostática si a) Todas las cargas son negativas. b) Tres de las cargas son positivas y una negativa. c) Dos son positivas y dos negativas. a) 𝑼 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝒓𝟏𝟐 + 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟑 𝒓𝟏𝟑 + 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟒 𝒓𝟐𝟑 + 𝒌 ∗ 𝒒𝟐∗𝒒𝟑 𝒓𝟏𝟐 + 𝒌 ∗ 𝒒𝟐∗𝒒𝟒 𝒓𝟏𝟐 + 𝒌 ∗ 𝒒𝟑∗𝒒𝟒 𝒓𝟏𝟐 𝑼 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ ( 𝟏 𝟒 + 𝟏 𝟒∗√𝟐 + 𝟏 𝟒 + 𝟏 𝟒 + 𝟏 𝟒∗√𝟐 + 𝟏 𝟒 ) = 𝟒. 𝟖𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝑱 b) 𝑼 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ ( 𝟏 𝟒 + 𝟏 𝟒∗√𝟐 − 𝟏 𝟒 + 𝟏 𝟒 − 𝟏 𝟒∗√𝟐 − 𝟏 𝟒 ) = 𝟎 𝑱 c) 𝑼 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ ( 𝟏 𝟒 − 𝟏 𝟒∗√𝟐 − 𝟏 𝟒 − 𝟏 𝟒 − 𝟏 𝟒∗√𝟐 + 𝟏 𝟒 ) = −𝟏. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝑱 5. En los vértices de un cuadrado centrado en el origen hay distribuidas cuatro cargas del modo siguiente: q en (-a, +a); 2q en (a, a); -3q en (a, -a) y 6 q en (-a, -a). Una quinta carga +q se sitúa en el origen y se deja libre desde el reposo. Determinar su velocidad cuando se encuentra a gran distancia del origen. Calculamos el potencial en el origen del sistema de cuatro cargas del cuadrado: 𝑽(𝟎) = 𝒌 ∗ 𝒒 √𝟐∗𝒂 + 𝒌 ∗ 𝟐∗𝒒 √𝟐∗𝒂 − 𝒌 ∗ 𝟑∗𝒒 √𝟐∗𝒂 + 𝒌 ∗ 𝟔∗𝒒 √𝟐∗𝒂 = 𝒌 ∗ 𝟔∗𝒒 √𝟐∗𝒂 La energía potencial de la carga situada en el origen será: 𝑼 = 𝒒 ∗ 𝑽(𝟎) = 𝒌 ∗ 𝟔∗𝒒𝟐 √𝟐∗𝒂 = 𝒌∗𝟑∗√𝟐∗𝒒𝟐 𝒂 Si dejamos la carga libre, su energía potencial se convertirá en cinética en el infinito: 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝒌∗𝟑∗√𝟐∗𝒒𝟐 𝒂 𝒗 = 𝒒 ∗ √𝒌∗𝟔∗√𝟐 𝒂∗𝒎 6. Cuatro partículas idénticas, cada una de carga Q, se encuentran en los vértices de un cuadrado de lado L. Las partículas se liberan de una en una ordenadamente en sentido a) 𝑪 = 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 ∶ 𝑨 = 𝑪∗𝒅 𝜺𝒐 = 𝟏∗𝟎.𝟏𝟓∗𝟏𝟎−𝟑 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟏. 𝟔𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟕 𝒎𝟐 b) 𝑳 = √𝑨 = √𝟏. 𝟔𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟕 = 𝟒. 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟑𝒎 Almacenamiento de energía eléctrica 12. Verdadero o falso: La energía electrostática por unidad de volumen en un punto es proporcional al cuadrado del campo eléctrico en ese punto. Verdadero, la energía electrostática por unidad de volumen es: 𝒖𝒆 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑬𝟐 13. Si la diferencia de potencial de un condensador de placas paralelas se duplica variando la separación de las placas si modificar la carga, ¿en qué factor cambia la energía eléctrica almacenada? 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸 ∗ ∆𝑽 Como Q es constante, al duplicar ∆𝑽 se duplica la energía almacenada. 14. Sin modificar su capacidad se reduce a la mitad la carga de un condensador. ¿Qué fracción de su energía almacenada se extrae del condensador junto con su carga? 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸 ∗ ∆𝑽 ∆𝑽 = 𝑸 𝑪 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝑪 La energía almacenada se reducirá a la cuarta parte, se extraerán ¾. 15. Un condensador de aire de placas paralelas se conecta a una batería de voltaje constante. Si la separación entre las placas del condensador se duplica mientras el condensador permanece conectado a la batería, la energía almacenada en el condensador a) Se cuadriplica. b) Se duplica. c) Permanece invariable. d) Se reduce a la mitad de su valor anterior. e) Se reduce a la cuarta parte de su valor anterior. Inicialmente: 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟏 ∗ ∆𝑽 En la situación final: 𝑼𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 ∗ ∆𝑽 Al duplicar d la carga entre placas se hará la mitad: 𝑪𝟏 = 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 = 𝑸𝟏 ∆𝑽 𝑪𝟐 = 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝟐∗𝒅 = 𝑪𝟏 𝟐 = 𝑸𝟐 ∆𝑽 El voltaje es el mismo en los dos casos, la carga en el segundo caso será la mitad: 𝑸𝟐 = 𝑸𝟏 𝟐 La energía se hará la mitad. Respuesta d. 16. Si el conductor del problema 15 se desconecta de la batería antes de que se duplique la separación entre las placas, la energía almacenada Enel condensador después de la separación a) Se cuadriplica. b) Se duplica. c) Permanece invariable. d) Se reduce ala mitad de su valor anterior. e) Se reduce a la cuarta parte de su valor anterior. 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸 ∗ ∆𝑽 Al separar las placas la diferencia de potencial cambiará: ∆𝑽 = 𝑬 ∗ 𝒅 La diferencia de potencial se hará doble, la carga no varía al estar desconectado. La respuesta correcta es la b. 17. a) Un condensador de 3 µF se carga a 100 V. ¿Cuánta energía se almacena Enel condensador? b) ¿Cuánta energía adicional se necesita para cargar el condensador desde 100 a 200 V? a) 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸 ∗ ∆𝑽 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪 ∗ ∆𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ (𝟏𝟎𝟎)𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟓 𝑱 b) Para cargarlo a 200 V: 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ (𝟐𝟎𝟎)𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟔 𝑱 La diferencia es: ∆𝑼 = 𝟎. 𝟎𝟔 − 𝟎. 𝟎𝟏𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟓 𝑱 18. Se carga un condensador de 10 µF hasta Q=4µC. a) ¿Cuánta energía almacena? b) Si se elimina la mitad de la carga, ¿Cuánta energía resta? a) 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝑪 = 𝟏 𝟐 ∗ (𝟒∗𝟏𝟎−𝟔) 𝟐 𝟏𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝑱 b) 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝑪 = 𝟏 𝟐 ∗ ( 𝟒∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐 ) 𝟐 𝟏𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝑱 19. a) Hallar la energía almacenada en un condensador de 20 pF cuando se carga hasta 5 µC. b) ¿Cuánta energía adicional se requiere para aumentar la carga desde 5 hasta 10 µC? a) 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝑪 = 𝟏 𝟐 ∗ (𝟓∗𝟏𝟎−𝟔) 𝟐 𝟐𝟎∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟐𝟓 𝑱 b) 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝑪 = 𝟏 𝟐 ∗ (𝟏𝟎∗𝟏𝟎−𝟔) 𝟐 𝟐𝟎∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟐. 𝟓 𝑱 ∆𝑼 = 𝟐. 𝟓 − 𝟎. 𝟔𝟐𝟓 = 𝟏. 𝟖𝟕𝟓 𝑱 20. Determinar la energía por unidad de volumen que existe en un campo eléctrico igual a la resistencia dieléctrica del aire (3 MV/m). 𝒖𝒆 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑬𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟖. 𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ (𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟔) 𝟐 = 𝟑𝟗. 𝟖𝟑 𝑱/𝒎𝟑 21. Un condensador de placas paralelas tiene las placas de 2 m2 de área y una separación de 1,0 mm. Se carga hasta 100 V. a) ¿Cuál es el campo eléctrico existente ente las placas? b) ¿Cuál es la energía por unidad de volumen en el espacio situado ente las placas? c) Hallar la energía total multiplicando la respuesta dada a la parte (b) por el volumen entre las placas. d) Hallar la capacidad C. e) Calcular la energía total a partir de 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪 ∗ ∆𝑽𝟐comparando el resultado con el de la parte (c). a) ∆𝑽 = 𝑬 ∗ 𝒅 ; 𝑬 = ∆𝑽 𝒅 = 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 b) 𝒖𝒆 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑬𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟖. 𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ (𝟏𝟎𝟓) 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟒𝟐𝟓 𝑱/𝒎𝟑 c) 𝑼 = 𝒖𝒆 ∗ 𝑽 = 𝒖𝒆 ∗ 𝑨 ∗ 𝒅 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟒𝟐𝟓 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟖. 𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟓𝑱 d) 𝑪 = 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 = 𝟖. 𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟐 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟏. 𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑭 e) 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪 ∗ ∆𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏. 𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟐 = 𝟖. 𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟓𝑱 22. Los exploradores de energía de un planeta distante están inspeccionando la Tierra para decidir si vale la pena apoderarse de sus recursos energéticos eléctricos. Sus medidas revelan que el campo eléctrico terrestre se extiende hasta 1000 m por encima de su superficie y tiene un valor medio de 200 V/m. Estimar la energía eléctrica almacenada en la atmósfera (Sugerencia: La atmósfera puede tratarse como un bloque plano con un área igual al área superficial de la Tierra. ¿Por qué?). 𝑼 = 𝒖 ∗ 𝑽 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑬𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟏 𝟐 ∗ (𝒓𝟐 − 𝒓𝟏) = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑬𝟐 ∗ 𝒓𝟏 𝟐 ∗ (𝒓𝟐 − 𝒓𝟏) 𝑼 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟖. 𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟐𝟎𝟎𝟐 ∗ 𝟔. 𝟑𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟒. 𝟐 𝑱 23. Un condensador de placas paralelas con placas de área 500 cm2 se carga con una diferencia de potencial V y después se desconecta de la fuente de voltaje. Cuando las placas se separan 0,4 cm, el voltaje entre ellas se incremente en 100 V. a) ¿Cuánto vale la carga Q depositada sobre la placa positiva del condensador? b) ¿En cuánto ha crecido la energía almacenada en el condensador por causa del movimiento de las placas? a) 𝑪 = 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅𝟏 = 𝑸 𝑽 𝑪 = 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅𝟐 = 𝑸 𝑽𝟐 𝒅𝟐 − 𝒅𝟏 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑽𝟐 − 𝑽 = 𝟏𝟎𝟎 Dividiendo las dos primeras y despejando 𝒅𝟐: 𝒅𝟐 = 𝑽𝟐 𝑽 ∗ 𝒅𝟏 Substituyendo en 𝒅𝟐 − 𝒅𝟏 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑: ( 𝑽𝟐 𝑽 − 𝟏) ∗ 𝒅𝟏 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 Utilizando 𝑽𝟐 − 𝑽 = 𝟏𝟎𝟎 : ( 𝟏𝟎𝟎+𝑽 𝑽 − 𝟏) ∗ 𝒅𝟏 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 Despejando d1: 𝒅𝟏 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝑽 Despejando la carga de 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅𝟏 = 𝑸 𝑽 : Para la rama superior: 𝟏 𝑪𝒔 = 𝟏 𝟑∗𝟏𝟎−𝟔 + 𝟏 𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟑 𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 ; 𝑪𝒔 = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑭 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒆𝒙𝒊ó𝒏 𝒈𝒍𝒐𝒃𝒂𝒍 𝒆𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐: 𝑪𝑻 = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 + 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟏𝟎−𝟓 𝑭 29. Tres condensadores se conectan en forma de una red triangular como indica la figura. Determinar la capacidad equivalente entre los terminales a y c. Tenemos una rama con dos condensadores en serie, el 1 y el 3, la capacidad de esta rama es: 𝟏 𝑪𝟏𝟑 = 𝟏 𝑪𝟏 + 𝟏 𝑪𝟑 = 𝑪𝟏+𝑪𝟑 𝑪𝟏∗𝑪𝟑 ; 𝑪𝟏𝟑 = 𝑪𝟏∗𝑪𝟑 𝑪𝟏+𝑪𝟑 Este ramal está conectado en paralelo con C2: 𝑪𝟏𝟐𝟑 = 𝑪𝟏∗𝑪𝟑 𝑪𝟏+𝑪𝟑 + 𝑪𝟐 30. Un condensador de 10,0 µF y otro de 20,0 µF se conectan en paralelo y se aplica al conjunto una batería de 6,0 V. a) ¿Cuál es la capacidad equivalente de esta combinación? b) Hallar la carga de cada condensador. c) Hallar la diferencia de potencial en cada condensador. a) 𝑪𝑻 = 𝟐𝟎 + 𝟏𝟎 = 𝟑𝟎, 𝟎 𝝁𝑭 b) La diferencia de potencial para cada condensador es de 6,0 V. 𝑪𝟏 = 𝑸𝟏 ∆𝑽 ; 𝑸𝟏 = 𝑪𝟏 ∗ ∆𝑽 = 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟔 = 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 𝑪𝟐 = 𝑸𝟐 ∆𝑽 ; 𝑸𝟐 = 𝑪𝟐 ∗ ∆𝑽 = 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟔 = 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 c) Es la misma de 6,0 V. 31. Se conecta un condensador de 10,0 µF en serie con otro de 20,0 µF y se aplica al conjunto una batería de 6,0 V. a) ¿Cuál es la capacidad equivalente de esta combinación? b) Hallar la carga de cada condensador. c) Hallar la diferencia de potencial en cada condensador. a) 𝟏 𝑪𝑻 = 𝟏 𝑪𝟏 + 𝟏 𝑪𝟐 = 𝑪𝟏+𝑪𝟐 𝑪𝟏∗𝑪𝟐 ; 𝑪𝑻 = 𝑪𝟏∗𝑪𝟐 𝑪𝟏+𝑪𝟐 = 𝟏𝟎∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟐𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟏𝟎∗𝟏𝟎−𝟔+𝟐𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟔. 𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑭 b) 𝑪𝑻 = 𝑸 ∆𝑽 ; 𝑸 = 𝑪𝑻 ∗ ∆𝑽 = 𝟔. 𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟔 = 𝟒, 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 La carga de cada condensador es de 𝟒, 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪. c) 𝑪𝟏 = 𝑸 ∆𝑽𝟏 ; ∆𝑽𝟏 = 𝑸 𝑪𝟏 = 𝟒,𝟎∗𝟏𝟎−𝟓 𝟏𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟒 𝑽 𝑪𝟐 = 𝟐 𝑽 32. Tres condensadores idénticos se conectan de modo que su capacidad equivalente máxima es 15 µF. a) Describir como se han conectado los condensadores. b) Existen otras formas de combinar los tres condensadores en un circuito. ¿Cuáles son las capacidades equivalentes de cada combinación? a) La capacidad es máxima si se conectan en paralelo. 𝑪𝑻 = 𝟑 ∗ 𝑪 ; 𝑪 = 𝑪𝑻 𝟑 = 𝟓 𝝁𝑭 b) Conexión en serie: 𝟏 𝑪𝑻 = 𝟏 𝑪𝟏 + 𝟏 𝑪𝟐 + 𝟏 𝑪𝟑 ; 𝑪𝑻 = 𝟏 𝟏 𝑪𝟏 + 𝟏 𝑪𝟐 + 𝟏 𝑪𝟑 = 𝟏 𝟑 𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟏. 𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑭 Conexión de dos en paralelo y uno en serie con los anteriores: 𝑪𝟐𝟑 = 𝑪𝟐 + 𝑪𝟑 = 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝝁𝑭 𝟏 𝑪𝑻 = 𝟏 𝑪𝟐𝟑 + 𝟏 𝑪𝟏 ; 𝑪𝑻 = 𝟏 𝟏 𝑪𝟐𝟑 + 𝟏 𝑪𝟏 = 𝟏 𝟏 𝟏𝟎∗𝟏𝟎−𝟔+ 𝟏 𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟑, 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑭 Conexión dos en serie y uno en paralelo: 𝟏 𝑪𝟐𝟑 = 𝟏 𝑪𝟐 + 𝟏 𝑪𝟑 ; 𝑪𝟐𝟑 = 𝟏 𝟏 𝑪𝟐 + 𝟏 𝑪𝟑 = 𝟏 𝟐 𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟐. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑭 𝑪𝑻 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝟑 = 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 + 𝟐. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟕. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔𝑭 33. Calcular para el dispositivo que se muestra en la figura: a) La capacidad total efectiva entre los terminales. b) La carga almacenada en cada uno de los condensadores. c) La energía total almacenada. a) 𝟏 𝑪𝟐𝟑 = 𝟏 𝑪𝟐 + 𝟏 𝑪𝟑 ; 𝑪𝟐𝟑 = 𝟏 𝟏 𝑪𝟐 + 𝟏 𝑪𝟑 = 𝟏 𝟏 𝟒∗𝟏𝟎−𝟔+ 𝟏 𝟏𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟑. 𝟏𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑭 𝑪𝑻 = 𝟑. 𝟏𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 + 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟏𝟓. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑭 b) Para el de 12 µF: 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = 𝑸𝟏 𝟐𝟎𝟎 ; 𝑸𝟏 = 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟐. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑪 Para la otra rama: 𝑸𝟐𝟑 = 𝑪𝟐𝟑 ∗ ∆𝑽 = 𝟑. 𝟏𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟐𝟎𝟎 = 𝟔. 𝟑𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑭 Al estar en serie esta será la carga de cada uno de los condensadores. c) 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝑻 ∗ ∆𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏𝟓. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟐𝟎𝟎𝟐 = 𝟎, 𝟑𝟎𝟒 𝑱 34. a) Demostrar que la capacidad equivalente de dos condensadores en serie puede escribirse en la forma 𝑪𝒆𝒒 = 𝑪𝟏𝑪𝟐 𝑪𝟏+𝑪𝟐 b) Utilizar esta expresión para demostrar que 𝑪𝒆𝒒 < 𝑪𝟏 y 𝑪𝒆𝒒 < 𝑪𝟐. c) Demostrar que la capacidad equivalente de tres condensadores en serie es 𝑪𝒆𝒒 = 𝑪𝟏𝑪𝟐𝑪𝟑 𝑪𝟏𝑪𝟐+𝑪𝟐𝑪𝟑+𝑪𝟏𝑪𝟑 a) 𝟏 𝑪𝒆𝒒 = 𝟏 𝑪𝟏 + 𝟏 𝑪𝟐 = 𝑪𝟐+𝑪𝟏 𝑪𝟐∗𝑪𝟏 ; 𝑪𝒆𝒒 = 𝑪𝟐∗𝑪𝟏 𝑪𝟐+𝑪𝟏 b) 𝑪𝒆𝒒 = 𝑪𝟐 𝑪𝟐+𝑪𝟏 ∗ 𝑪𝟏 < 𝑪𝟏 𝑪𝒆𝒒 = 𝑪𝟏 𝑪𝟐+𝑪𝟏 ∗ 𝑪𝟐 < 𝑪𝟏 𝑷𝒐𝒓 𝒔𝒆𝒓 𝑪𝟏 𝑪𝟐+𝑪𝟏 < 𝟏. c) 𝟏 𝑪𝒆𝒒 = 𝟏 𝑪𝟏 + 𝟏 𝑪𝟐 + 𝟏 𝑪𝟑 = 𝑪𝟐∗𝑪𝟑+𝑪𝟏∗𝑪𝟑+𝑪𝟏∗𝑪𝟐 𝑪𝟏∗𝑪𝟐∗𝑪𝟑 ; 𝑪𝒆𝒒 = 𝑪𝟏∗𝑪𝟐∗𝑪𝟑 𝑪𝟐∗𝑪𝟑+𝑪𝟏∗𝑪𝟑+𝑪𝟏∗𝑪𝟐 35. Calcular para el dispositivo de la figura: a) La capacidad total efectiva entre los terminales. b) La carga almacenada en cada uno de los condensadores. c) La energía total almacenada. Para tener una capacidad global de 2 µF, hemos de tener en cuenta que un grupo de 4 condensadores en serie tiene una capacidad de: 𝟏 𝑪𝟒 = 𝟒 𝟐 ; 𝑪𝟒 = 𝟐 𝟒 = 𝟎, 𝟓 𝝁𝑭 Para tener una capacidad global de 2 µF necesitamos 4 grupos de estos en paralelo, de forma que: 𝑪𝑻 = 𝟒 ∗ 𝟎. 𝟓 = 𝟐 𝝁𝑭 39. Hallar todas las capacidades efectivas posibles que pueden obtenerse utilizando tres condensadores de 1,0 ; 2,0 y 4,0 µF en cualquier combinación que incluya a los tres o a dos cualquiera de los condensadores. Combinaciones de 2 condensadores: Serie: 𝟏 𝑪𝟏,𝟒 = 𝟏 𝟏 + 𝟏 𝟒 ; 𝑪𝟏,𝟒 = 𝟏 𝟏 𝟏 + 𝟏 𝟒 = 𝟎, 𝟖 𝝁𝑭 𝟏 𝑪𝟏,𝟐 = 𝟏 𝟏 + 𝟏 𝟐 ; 𝑪𝟏,𝟐 = 𝟏 𝟏 𝟏 + 𝟏 𝟐 = 𝟎, 𝟔𝟕 𝝁𝑭 𝟏 𝑪𝟐,𝟒 = 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟒 ; 𝑪𝟐,𝟒 = 𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟒 = 𝟏, 𝟑𝟑 𝝁𝑭 Paralelo: 𝑪𝟏,𝟐 = 𝟑 𝝁𝑭 𝑪𝟏,𝟒 = 𝟓 𝝁𝑭 𝑪𝟐,𝟒 = 𝟔 𝝁 𝑭 Combinaciones de tres condensadores: Serie: 𝟏 𝑪𝒆𝒒 = 𝟏 𝑪𝟏 + 𝟏 𝑪𝟐 + 𝟏 𝑪𝟑 = 𝑪𝟐∗𝑪𝟑+𝑪𝟏∗𝑪𝟑+𝑪𝟏∗𝑪𝟐 𝑪𝟏∗𝑪𝟐∗𝑪𝟑 ; 𝑪𝒆𝒒 = 𝑪𝟏∗𝑪𝟐∗𝑪𝟑 𝑪𝟐∗𝑪𝟑+𝑪𝟏∗𝑪𝟑+𝑪𝟏∗𝑪𝟐 𝑪𝒆𝒒 = 𝟏∗𝟐∗𝟒 𝟏∗𝟐+𝟏∗𝟒+𝟐∗𝟒 = 𝟎. 𝟓𝟕 𝝁𝑭 Combinaciones de 2 en serie y uno en paralelo: - 1 y 2 en serie: 𝑪𝟏,𝟐 = 𝟎, 𝟔𝟕 𝝁𝑭 , con 4 en paralelo: 𝑪𝒆𝒒 = 𝟎, 𝟔𝟕 + 𝟒 = 𝟒. 𝟔𝟕 𝝁𝑭 - 1 y 4 en serie: 𝑪𝟏,𝟒 = 𝟎, 𝟖 𝝁𝑭 , con 4 en paralelo: 𝑪𝒆𝒒 = 𝟎, 𝟖 + 𝟒 = 𝟒. 𝟖 𝝁𝑭 - 2 y 4 en serie: 𝑪𝟐,𝟒 = 𝟏, 𝟑𝟑 𝝁𝑭 , con 4 en paralelo: 𝑪𝒆𝒒 = 𝟏. 𝟑𝟑 + 𝟒 = 𝟓. 𝟑𝟑 𝝁𝑭 Combinación de dos en paralelo y uno en serie: - 1 y 2 en paralelo: 𝑪𝟏,𝟐 = 𝟑 𝝁𝑭 , con 4 en serie: ; 𝑪𝒆𝒒 = 𝑪𝟏𝟐∗𝑪𝟒 𝑪𝟏,𝟐+𝑪𝟒 = 𝟑∗𝟒 𝟕 = 𝟏, 𝟕 𝝁𝑭 - 1 y 4 en paralelo: 𝑪𝟏,𝟒 = 𝟓 𝝁𝑭 , , con 2 en serie: ; 𝑪𝒆𝒒 = 𝑪𝟏𝟒∗𝑪𝟐 𝑪𝟏,𝟒+𝑪𝟐 = 𝟓∗𝟐 𝟕 = 𝟏, 𝟒 𝝁𝑭 - 2 y 4 en paralelo: 𝑪𝟐,𝟒 = 𝟔 𝝁𝑭 , , con 1 en serie: ; 𝑪𝒆𝒒 = 𝑪𝟐𝟒∗𝑪𝟏 𝑪𝟐,𝟒+𝑪𝟏 = 𝟔∗𝟏 𝟕 = 𝟎. 𝟖𝟔 𝝁𝑭 Condensadores de placas paralelas 40. Un condensador de placas paralelas tiene una capacidad de 2,0 µF y la separación entre las placas es de 1,6 mm. a) ¿Qué diferencia de potencial puede establecerse entre las placas del condensador antes de que se produzca la ruptura del aire? ( 𝑬𝒎𝒂𝒙 = 𝟑 𝑴𝑽/𝒎). b) ¿Cuál es el valor de la carga máxima que puede almacenar el condensador antes de que se produzca esta ruptura? a) ∆𝑽 = 𝑬 ∗ 𝒅 ; ∆𝑽 = 𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟔 ∗ 𝟏, 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟒, 𝟖𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑽 b) 𝑪 = 𝑸 ∆𝑽 ; 𝑸 = 𝑪 ∗ ∆𝑽 = 𝟐. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟒, 𝟖𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑 = 𝟗, 𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑪 41. Entre las placas de un condensador de placas paralelas circulares existe un campo eléctrico de 2 104 V/m, siendo de 2 mm la separación de las placas. a) ¿Cuál es el voltaje a través del condensador? b) ¿Qué radio deben tener las placas para que la carga almacenada sea de 10 µC? a) ∆𝑽 = 𝑬 ∗ 𝒅 = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟒𝟎. 𝟎 𝑽 b) 𝑪 = 𝑸 ∆𝑽 ; 𝜺𝟎 ∗ 𝑨 𝒅 = 𝑸 ∆𝑽 ; 𝑨 = 𝑸 ∆𝑽 ∗ 𝒅 𝜺𝟎 ; 𝝅 ∗ 𝑹𝟐 = 𝑸 ∆𝑽 ∗ 𝒅 𝜺𝟎 ; 𝑹 = √ 𝑸∗𝒅 ∆𝑽∗ 𝜺𝟎∗ 𝝅 𝑹 = √ 𝟏𝟎∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟑 𝟒𝟎∗ 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗ 𝝅 = 𝟒. 𝟐𝟒 𝒎 42. Un condensador de placas paralelas, separadas por aire, tiene una capacidad de 0,14 µF. Las placas están separadas entre sí 0,5 mm. a) ¿Cuál es el área de cada placa? b) ¿Cuál es la diferencia de potencial si sobre una de las placas existe una carga de 3,2 µC y sobre la otra una carga de -3,2 µC? c) ¿Cuánta energía hay almacenada? d) ¿Qué cantidad de carga puede transportar el condensador antes de que tenga lugar la ruptura dieléctrica entre las placas? a) 𝑪 = 𝜺𝟎 ∗ 𝑨 𝒅 ; 𝑨 = 𝑪∗𝒅 𝜺𝟎 = 𝟎.𝟏𝟒∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟓∗𝟏𝟎−𝟑 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟕. 𝟗𝟏 𝒎𝟐 b) ∆𝑽 = 𝑸 𝑪 = 𝟑.𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟏𝟒∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟐𝟐. 𝟗 𝑽 c) 𝑬 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪 ∗ ∆𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟎. 𝟏𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ (𝟐𝟐. 𝟗)𝟐 = 𝟑𝟔. 𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑱 d) ∆𝑽𝒎𝒂𝒙 = 𝑬𝒎𝒂𝒙 ∗ 𝒅 𝑸𝒎𝒂𝒙 = ∆𝑽𝒎𝒂𝒙 ∗ 𝑪 = 𝑬𝒎𝒂𝒙 ∗ 𝒅 ∗ 𝑪 = 𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟔 ∗ 𝟎. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟎. 𝟏𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑸𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝟏𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 43. Diseñar un condensador de placas paralelas de capacidad 0,1 µF con aire entre las placas que pueda cargarse hasta una diferencia de potencial máxima de 1000 V. a) ¿Cuál es la mínima separación entre las placas? b) ¿Qué área mínima deben tener las placas del condensador? a) ∆𝑽 = 𝑬 ∗ 𝒅 ; 𝒅 = ∆𝑽 𝑬 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟑∗𝟏𝟎𝟔 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟑𝒎 b) 𝑪 = 𝜺𝟎 ∗ 𝑨 𝒅 ; 𝑨 = 𝑪∗𝒅 𝜺𝟎 = 𝟎.𝟏∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟎−𝟑 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟑. 𝟕𝟔 𝒎𝟐 Condensadores cilíndricos 44. Un cable coaxial entre dos ciudades tiene un radio interior de 0,8 mm y un radio exterior de 6 mm. Su longitud es de 8 105 m (aproximadamente 500 millas). Considerar este cable como un condensador cilíndrico y calcular su capacidad. 𝑪 = 𝟐∗𝝅∗𝜺𝟎∗𝑳 𝒍𝒏( 𝒓𝟐 𝒓𝟏 ⁄ ) = 𝟐∗𝝅∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝟖∗𝟏𝟎𝟓 𝒍𝒏(𝟔 𝟎.𝟖⁄ ) = 𝟐. 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑭 45. Un tubo Geiger se compone de un alambre de 0,2 mm de radio y una longitud de 12 cm con un conductor cilíndrico coaxial de la misma longitud y 1,5 cm de radio. a) Hallar su capacidad admitiendo que el gas en el interior del tubo tiene una constante dieléctrica de 1. b) Hallar la carga por unidad de longitud sobre el alambre en el caso que el condensador se cargue a 1,2 kV. a) 𝜺 = 𝜺𝒓 ∗ 𝜺𝟎 = 𝜺𝟎 𝑪 = 𝟐∗𝝅∗𝜺𝟎∗𝑳 𝒍𝒏( 𝒓𝟐 𝒓𝟏 ⁄ ) = 𝟐∗𝝅∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝟏𝟐∗𝟏𝟎−𝟐 𝒍𝒏(𝟏𝟓 𝟎.𝟐⁄ ) = 𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝑭 b) 𝑸 = 𝑪 ∗ ∆𝑽 = 𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟏. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟑 = 𝟏. 𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 𝑪 𝝀 = 𝑸 𝑳 = 𝟏.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟗 𝟎.𝟏𝟐 = 𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑪/𝒎 46. Un condensador cilíndrico se compone de un hilo largo de radio R1 y longitud L con una carga + Q y una corteza cilíndrica exterior de radio R2, longitud L y carga – Q. a) Hallar el campo eléctrico y la densidad de energía en un punto cualquiera del espacio. b) ¿Cuánta energía existe en la corteza cilíndrica de radio r y espesor dr y volumen 2πLdr existente entre los conductores? c) Integrar la expresión obtenida en la parte (b) para hallar la energía total almacenada en el condensador y comparar el resultado con la obtenida a partir de U=1/2CV2. a) Para las regiones fuera de las láminas E=0. Aplicando Gauss a la superficie cilíndrica punteada entre las capas cilíndricas: 𝑬 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 = 𝑸 𝜺𝒐 ; 𝑬 = 𝑸 𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳∗𝜺𝒐 𝒖 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑬𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜺𝒐 ∗ ( 𝑸 𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳∗𝜺𝒐 ) 𝟐 = 𝟏 𝟖 ∗ 𝑸𝟐 𝝅𝟐∗𝑳𝟐∗𝜺𝒐∗𝒓𝟐 b) 𝒅𝑼 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 ∗ 𝒖(𝒓) ∗ 𝒅𝒓 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 ∗ 𝟏 𝟖 ∗ 𝑸𝟐 𝝅𝟐∗𝑳𝟐∗𝜺𝒐∗𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝒅𝑼 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝑸𝟐 𝝅∗𝑳∗𝜺𝒐∗𝒓 ∗ 𝒅𝒓 = 𝒌 ∗ 𝑸𝟐 𝑳∗𝒓 ∗ 𝒅𝒓 c) 𝑼 = ∫ 𝒌 ∗ 𝑸𝟐 𝑳∗𝒓 ∗ 𝒅𝒓 𝑹𝟐 𝑹𝟏 = 𝒌 ∗ 𝑸𝟐 𝑳 ∗ 𝒍𝒏 ( 𝑹𝟐 𝑹𝟏 ) Usando la expresión 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪 ∗ ∆𝑽𝟐: 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝟐 ∗ ( 𝟏 𝒓 − 𝟏 𝑹 ) = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝟐 ∗ 𝟏 𝑹 ( 𝟏 𝒓 − 𝟏 𝑹 ) = 𝟏 𝑹 ; 𝟏 𝒓 = 𝟐 𝑹 ; 𝒓 = 𝟐 ∗ 𝑹 51. Repetir el problema 50 suponiendo ahora que la carga Q reside, no sobre una corteza esférica, sino que está distribuida uniformemente en un volumen esférico de radio R. (Véase problema 24). Para r<R: 𝑬 = 𝒌 ∗ 𝑸∗𝒓 𝑹𝟑 𝒖 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑬𝟐 = 𝜺𝒐∗𝒌𝟐∗𝑸𝟐∗𝒓𝟐 𝟐∗𝑹𝟔 Para r>R: 𝑬 = 𝒌 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 𝒖 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑬𝟐 = 𝜺𝒐∗𝒌𝟐∗𝑸𝟐 𝟐∗𝒓𝟒 𝑼𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟑 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝟐 𝟓∗𝑹 𝑼(𝒓 < 𝑹) = ∫ 𝒌 ∗ 𝑸𝟐∗𝒓𝟒 𝟐∗𝑹𝟔 ∗ 𝒅𝒓 𝑹 𝟎 = 𝒌 ∗ 𝑸𝟐 𝟏𝟎∗𝑹 𝑼(𝒓 > 𝑹) = ∫ 𝒌 ∗ 𝑸𝟐 𝟐∗𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝑹 = 𝒌 ∗ 𝑸𝟐 𝟐 ∗ ( 𝟏 𝑹 − 𝟏 𝒓 ) 𝑼𝒓 = 𝒌 ∗ 𝑸𝟐 𝟏𝟎∗𝑹 + 𝒌 ∗ 𝑸𝟐 𝟐 ∗ ( 𝟏 𝑹 − 𝟏 𝒓 ) Imponiendo la condición 𝑼𝒓 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑼𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 : 𝒌 ∗ 𝑸𝟐 𝟏𝟎∗𝑹 + 𝒌 ∗ 𝑸𝟐 𝟐 ∗ ( 𝟏 𝑹 − 𝟏 𝒓 ) = 𝟑 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝟐 𝟓∗𝑹 De esta ecuación obtendremos: 𝒓 = 𝟓 ∗ 𝑹 𝟑 Condensadores desconectados y reconectados 52. Un condensador de 2,0 µF se carga a una diferencia de potencial de 12,0 V y a continuación se desconecta de la batería. Cuando se conecta un segundo condensador (inicialmente sin cargar) en paralelo a este condensador, la diferencia de potencial disminuye hasta 4,0 V. ¿Cuál es la capacidad del segundo condensador? Para el proceso de carga tendremos: 𝑸𝟏 = 𝑪 ∗ ∆𝑽 = 𝟐. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟐. 𝟎 = 𝟐𝟒. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 Al conectarlo con el segundo condensador tendremos una asociación en paralelo de los dos condensadores, para el condensador equivalente será: 𝑪𝑻 = 𝑸𝟏 ∆𝑽 = 𝟐𝟒.𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟒.𝟎 = 𝟔. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑭 Al estar en paralelo: 𝑪𝑻 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 ; 𝑪𝟐 = 𝑪𝑻 − 𝑪𝟏 = 𝟔. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 − 𝟐. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟒. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑭 53. La carga de dos condensadores uno de 100 pF y otro de 400 pF es de 2,0 kV. Están desconectados de la fuente de voltaje y conectados entre sí en paralelo uniendo sus lados positivos y sus lados negativos. a) Calcular la diferencia de potencial resultante a través de cada uno de los condensadores. b) Calcular la energía perdida al realizar las conexiones. a) Al conectar en paralelo los dos condensadores tendremos cada uno de ellos a 2,0 kV. b) Cuando tenemos los condensadores individualmente conectados a 1 kV: 𝑬𝟏𝟎𝟎 𝒑𝑭 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪 ∗ ∆𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟐 = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 𝑬𝟒𝟎𝟎 𝒑𝑭 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪 ∗ ∆𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟒𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟐 = 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 La energía inicial es: 𝑬 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 + 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 = 𝟏. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 Al conectarlos entre sí en paralelo, tendremos una capacidad equivalente de: 𝑪𝑻 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟒𝟎𝟎 = 𝟓𝟎𝟎 𝒑 𝑭 La energía final será: 𝑬𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝑻 ∗ ∆𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟐 = 𝟏. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 La energía es la misma, no hay perdida. 54. Dos condensadores de capacidad C1= 4 µF y C2= 12 µF se encuentran conectados en serie y alimentados por una batería de 12 V. Se desconectan cuidadosamente sin que se descarguen y se conectan en paralelo uniendo sus lados positivos y sus lados negativos. a) Calcular la diferencia de potencial a través de cada uno de los condensadores después de ser conectados. b) Hallar la energía inicial y final almacenada en los condensadores. a) La capacidad equivalente del sistema es: 𝟏 𝑪𝑻 = 𝟏 𝑪𝟏 + 𝟏 𝑪𝟐 ; 𝑪𝑻 = 𝑪𝟐∗𝑪𝟏 𝑪𝟐+𝑪𝟏 = 𝟒∗𝟏𝟐 𝟒+𝟏𝟐 = 𝟑 𝝁𝑭 La carga total depositada: 𝑸𝑻 = 𝑪𝑻 ∗ ∆𝑽 = 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟐 = 𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 Esta es la carga de cada uno de los condensadores. Al conectarlos en paralelo, tendremos una carga total de 𝟐 ∗ 𝑸𝑻 = 𝟕𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 La capacidad del sistema de los dos condensadores en paralelo es de: 𝑪𝑻,𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍 = 𝟒 + 𝟏𝟐 = 𝟏𝟔 𝝁𝑭 ∆𝑽 = 𝑸 𝑪𝑻,𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍 = 𝟕𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟏𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟒. 𝟓 𝑽 b) En la situación inicial: 𝑬𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝒊𝒏𝒊𝒄 ∗ ∆𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟐𝟐 = 𝟐. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 Para la final: 𝑬𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 ∗ ∆𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟒. 𝟓𝟐 = 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 55. Un condensador de 1,2 µF se carga a 30 V. Después de la carga, se desconecta de la fuente de voltaje y se conecta a otro condensador descargado. El voltaje final es de 10 V. a) ¿Cuál es la capacidad del segundo condensador? b) ¿Cuánta energía se perdió al realizar la conexión? a) En la situación inicial: 𝑸𝒊𝒏𝒊 = 𝑪 ∗ ∆𝑽 = 𝟏. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟑𝟎 = 𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 En la situación final: 𝑪𝑻 = 𝑸𝒊𝒏𝒊 ∆𝑽 = 𝟑𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 𝟏𝟎 = 𝟑. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑭 Como la conexión es en paralelo: 𝑪𝑻 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 ; 𝑪𝟐 = 𝑪𝑻 − 𝑪𝟏 = 𝟑. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 − 𝟏. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟐. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑭 b) 𝑬𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝟏 ∗ ∆𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟑𝟎𝟐 = 𝟓. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 𝑬𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 ∗ ∆𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟑. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟐 = 𝟏. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 ∆𝑬 = 𝟓. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 − 𝟏. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 = 𝟑. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 56. Repetir el problema 53 para el caso en que los condensadores se conectan de modo que la placa positiva de uno se une a la placa positiva del otro después de haber sido cargados con una batería de 2,0 kV. Durante el proceso de carga: 𝑸𝟏𝟎𝟎 = 𝑪 ∗ ∆𝑽 = 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝑸𝟒𝟎𝟎 = 𝑪 ∗ ∆𝑽 = 𝟒𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 Al unirlos: 𝑸 = 𝑸𝟒𝟎𝟎 − 𝑸𝟏𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 ∆𝑽 = 𝑸 𝑪𝑻 = 𝑸 𝑪𝟏+𝑪𝟐 = 𝟎.𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 𝟓𝟎𝟎∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝑽 ∆𝑬 = 𝑬𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 − 𝑬𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝟏 ∗ ∆𝑽𝒊 𝟐 + 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝟐 ∗ ∆𝑽𝒊 𝟐 − 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝑻 ∗ ∆𝑽𝒇 𝟐 ∆𝑬 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟐 + 𝟏 𝟐 ∗ 𝟒𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟐 − 𝟏 𝟐 ∗ 𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟐 ∆𝑬 = 𝟔. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 57. Repetir el problema 54 si los dos condensadores se conectan primero en paralelo a través de la batería de 12 V y después uniendo la placa positiva de cada condensador con la placa negativa del otro. En la situación inicial: 𝑸𝟏 = 𝑪𝟏 ∗ ∆𝑽 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟐 = 𝟒. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 𝑸𝟐 = 𝑪𝟐 ∗ ∆𝑽 = 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟐 = 𝟏. 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑪 Al reconectarlos: 𝑸 = 𝑸𝟐 − 𝑸𝟏 = 𝟏. 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 − 𝟒. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 = 𝟗. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 En esta situación: ∆𝑽𝒇 = 𝑸 𝑪𝑻 = 𝟗.𝟔∗𝟏𝟎−𝟓 𝟏𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟔 𝑽 𝑬𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝟏 ∗ ∆𝑽𝒊 𝟐 + 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝟐 ∗ ∆𝑽𝒊 𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟐𝟐 + 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟐𝟐 𝑬𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝟏. 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑱 𝑬𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 ∗ ∆𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟔𝟐 = 𝟐. 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 58. Un condensador de 20 pF se carga hasta 3,0 kV y luego se conecta en paralelo con un condensador descargado de 50 pF. a) ¿Qué carga adquiere cada uno de los condensadores? b) Calcular la energía inicial almacenada en el condensador de 20 pF y la energía almacenada en los dos condensadores. ¿Se pierde o se gana energía al conectar los dos condensadores? a) En la carga inicial: 𝑸𝒊 = 𝑪𝟏 ∗ ∆𝑽 = 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟑𝟎𝟎𝟎 = 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑪 Al conectarlo al segundo condensador en paralelo las dos diferencias de potencial serán iguales: 𝑸𝟏 𝑪𝟏 = 𝑸𝟐 𝑪𝟐 𝑸𝒊 = 𝑸𝟏 + 𝑸𝟐 De las dos ecuaciones obtenemos las cargas finales: 𝑸𝟏 = 𝑪𝟏 𝑪𝟏+𝑪𝟐 ∗ 𝑸𝒊 = 𝟐𝟎∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝟕𝟎∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 = 𝟏. 𝟕𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑪 𝚫𝑽 = 𝝀 𝟐∗𝝅∗𝜺 ∗ 𝒍𝒏 ( 𝑹 𝒓 ) = 𝟒𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒏 ( 𝟏.𝟓 𝟎.𝟐 ) = 𝟏. 𝟕𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑽 b) 𝑬 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝜿∗𝒓 ; 𝝀 = 𝑬∗𝜿∗𝒓 𝟐∗𝒌 = 𝟐∗𝟏𝟎𝟔∗𝟏.𝟖∗𝟎.𝟐∗𝟏𝟎−𝟑 𝟐∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗 = 𝟒. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑪/𝒎 63. Repetir el problema 49 suponiendo que el espacio comprendido entre las cortezas esféricas se llena con un dieléctrico de constante 𝜿. a) El campo fuera del condensador es cero. En la región interior: 𝑬 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 = 𝑸 𝜿∗𝜺𝒐 ; 𝑬 = 𝒌 𝜿 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 𝒖 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑬𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝒌𝟐 𝜿𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝒓𝟒 = 𝒌𝟐∗𝑸𝟐∗𝜺𝒐 𝟐∗𝜿∗𝒓𝟒 b) 𝒅𝑼 = 𝒖 ∗ 𝒅𝑽 = 𝒌𝟐∗𝑸𝟐∗𝜺𝒐 𝟐∗𝜿∗𝒓𝟒 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌 𝜿 ∗ 𝑸𝟐 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 d) 𝑼 = ∫ 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌 𝜿 ∗ 𝑸𝟐 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌 𝜿 ∗ 𝑸𝟐 ∗ 𝑹𝟐 𝑹𝟏 ∫ 𝟏 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌 𝜿 ∗ 𝑸𝟐 ∗ ( 𝟏 𝑹𝟐 − 𝟏 𝑹𝟏 ) 𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌 𝜿 ∗ 𝑸𝟐 ∗ 𝑹𝟐−𝑹𝟏 𝑹𝟏∗𝑹𝟐 Por otra parte, usando 𝑪 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑹𝟏∗𝑹𝟐 𝑹𝟐−𝑹𝟏 : 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸 ∗ ∆𝑽 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝑪 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌 𝜿 ∗ 𝑸𝟐 ∗ 𝑹𝟐−𝑹𝟏 𝑹𝟏∗𝑹𝟐 64. Cierto dieléctrico de constante 𝜿 = 𝟐𝟒 puede resistir un campo eléctrico de 4 107 V/m. Con este dieléctrico se quiere construir un condensador de 0,1 µF que pueda resistir una diferencia de potencial de 2000 V. a) ¿Cuál es la separación mínima entre las placas? b) ¿Cuál debe ser el área de las placas? a) 𝚫𝐕 = 𝐄 ∗ 𝐝; 𝐝 = 𝚫𝑽 𝑬 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟒∗𝟏𝟎𝟕 = 𝟓𝟎. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝐦 b) 𝑪 = 𝜿 ∗ 𝝐𝒐∗𝑨 𝒅 ; 𝑨 = 𝑪∗𝒅 𝜿∗𝝐𝒐 = 𝟎.𝟏∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟓𝟎.𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐𝟒∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟑𝟓 𝒎𝟐 65. Un condensador de placas paralelas tiene sus placas separadas por una distancia s. El espacio ente las placas se llena con dos dieléctricos, uno de espesor1/4 s y constante dieléctrica 𝜿𝟏 u el otro de espesor ¾ s y constante dieléctrica 𝜿𝟐. Determinar la capacidad de este condensador en función de Co que es la capacidad sin dieléctricos. El sistema es equivalente a don condensadores en serie. 𝟏 𝑪𝑻 = 𝟏 𝑪𝟏 + 𝟏 𝑪𝟐 ; 𝑪𝑻 = 𝑪𝟐∗𝑪𝟏 𝑪𝟐+𝑪𝟏 𝑪𝟏 = 𝝐𝟏∗𝑨 𝒅𝟏 = 𝜿𝟏 ∗ 𝝐𝒐∗𝑨 𝟏 𝟒 ∗𝒔 𝑪𝟐 = 𝝐𝟐∗𝑨 𝒅𝟐 = 𝜿𝟐 ∗ 𝝐𝒐∗𝑨 𝟑 𝟒 ∗𝒔 𝑪𝑻 = 𝜿𝟏∗ 𝝐𝒐∗𝑨 𝟏 𝟒 ∗𝒔 ∗𝜿𝟐∗ 𝝐𝒐∗𝑨 𝟑 𝟒 ∗𝒔 𝜿𝟏∗ 𝝐𝒐∗𝑨 𝟏 𝟒 ∗𝒔 +𝜿𝟐∗ 𝝐𝒐∗𝑨 𝟑 𝟒 ∗𝒔 = 𝟏𝟔∗𝝐𝒐 𝟐∗𝑨𝟐 𝟑∗𝒔𝟐 ∗𝜿𝟏∗𝜿𝟐 𝜿𝟏∗ 𝟏𝟐∗𝝐𝒐∗𝑨 𝟑∗𝒔 +𝜿𝟐∗ 𝟒∗𝝐𝒐∗𝑨 𝟑∗𝒔 𝑪𝑻 = 𝟒∗𝝐𝒐∗𝑨∗𝜿𝟏∗𝜿𝟐 𝟑∗(𝜿𝟏+𝜿𝟐)∗𝒔 = 𝟒∗𝜿𝟏∗𝜿𝟐 𝟑∗(𝜿𝟏+𝜿𝟐) ∗ 𝝐𝒐∗𝑨 𝒔 = 𝟒∗𝜿𝟏∗𝜿𝟐 𝟑∗(𝜿𝟏+𝜿𝟐) ∗ 𝑪𝒐 66. Un condensador de placas paralelas sin dieléctrico posee una capacidad Co. Si la separación entre las placas es d y se inserta un bloque de constante dieléctrica 𝜿 y espesor t<d, determinar la nueva capacidad. Volvemos a tener dos condensadores en serie, de forma que: 𝑪𝑻 = 𝑪𝟐∗𝑪𝟏 𝑪𝟐+𝑪𝟏 𝑪𝟏 = 𝝐𝒐∗𝑨 𝒅−𝒕 𝑪𝟐 = 𝝐𝟏∗𝑨 𝒅𝟐 = 𝜿 ∗ 𝝐𝒐∗𝑨 𝒕 𝑪𝑻 = 𝜿∗ 𝝐𝒐∗𝑨 𝒕 ∗ 𝝐𝒐∗𝑨 𝒅−𝒕 𝜿∗ 𝝐𝒐∗𝑨 𝒕 + 𝝐𝒐∗𝑨 𝒅−𝒕 = 𝜿∗𝝐𝒐∗𝑨 𝜿∗𝒅−𝜿∗𝒕+𝒕 = 𝜿∗ 𝝐𝒐∗𝑨 𝒅 ∗𝒅 𝜿∗𝒅−𝜿∗𝒕+𝒕 𝜿 ∗ 𝑪𝒐 ∗ 𝒅 𝜿∗(𝒅−𝒕)+𝒕 67. La membrana del axón de una célula nerviosa es una delgada capa cilíndrica de radio r = 10-5 m, longitud L=0,1 m y espesor d = 10-8 m. La membrana tiene una carga positiva sobre uno de sus lados y una carga negativa sobre el otro y actúa como un condensador de placas paralelas de área 𝑨 = 𝟐𝝅𝒓𝑳 y separación d. Su constante dieléctrica es aproximadamente 𝜿 = 𝟑. a) Determinar la capacidad de la membrana. Si la diferencia de potencial a través de la membrana es 70 mV, determinar b) La carga sobre cada lado de la membrana. c) El campo eléctrico a través de la membrana. a) Como d<<r podemos considerar la membrana como un condensador plano. 𝑪 = 𝜺∗𝑨 𝒅 = 𝜿 ∗ 𝝐𝒐∗𝑨 𝒅 = 𝜿 ∗ 𝝐𝒐 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 𝒅 = 𝟑 ∗ 𝟖. 𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟐∗𝝅∗𝟏𝟎−𝟓∗𝟎.𝟏 𝟏𝟎−𝟖 𝑪 = 𝟏. 𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑭 b) 𝑪 = 𝑸 𝚫𝑽 ; 𝑸 = 𝑪 ∗ 𝚫𝑽 = 𝟏. 𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 ∗ 𝟎. 𝟎𝟕𝟎 = 𝟏. 𝟏𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 𝑪 c) 𝚫𝑽 = 𝑬 ∗ 𝒅 ; 𝑬 = 𝚫𝑽 𝒅 = 𝟎.𝟎𝟕 𝟏𝟎−𝟖 = 𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑵/𝑪 68. ¿Cuál es la constante dieléctrica de un aislante en el cual la densidad de carga inducida es a) El 80 por ciento de la densidad de carga libre sobre las placas de un condensador en el que se ha insertado dicho aislante, b) El 20 por ciento de la densidad de carga libre y c) El 98 por ciento de la densidad de carga libre? a) 𝝈𝒃 = (𝟏 − 𝟏 𝜿 ) ∗ 𝝈𝒇 𝜿 = 𝟏 𝟏− 𝝈𝒃 𝝈𝒇 = 𝟏 𝟏−𝟎.𝟖 = 𝟓. 𝟎𝟎 b) 𝜿 = 𝟏 𝟏−𝟎.𝟐 = 𝟏. 𝟐𝟓 c) 𝜿 = 𝟏 𝟏−𝟎.𝟗𝟖 = 𝟓𝟎. 𝟎 69. Dos placas paralelas poseen una carga Q y -Q. Si el espacio entre las placas está desprovisto de materia, el campo eléctrico es 2,5 105 V/m. Cuando el espacio se llena con un determinado dieléctrico, el campo se reduce a 1,2 105 V/m. a) ¿Cuál es la constante dieléctrica del dieléctrico? b) Si Q = 10 nC, ¿Cuál es el área de las placas? c) ¿Cuál es la carga total inducida en cada una de las caras del dieléctrico? a) 𝑬 = 𝑬𝒐 𝜿 ; 𝜿 = 𝑬𝒐 𝑬 = 𝟐.𝟓∗𝟏𝟎𝟓 𝟏.𝟐∗𝟏𝟎𝟓 = 𝟐. 𝟎𝟖 b) 𝜿 ∗ 𝜺𝒐∗𝑨 𝒅 = 𝑸 𝑬∗𝒅 ; 𝑨 = 𝑸 𝜿∗𝜺𝒐∗𝑬 = 𝟏𝟎∗𝟏𝟎−𝟗 𝟐.𝟎𝟖∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝟏.𝟐∗𝟏𝟎𝟓 = 𝟒. 𝟓𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 c) 𝝈𝒃 = (𝟏 − 𝟏 𝜿 ) ∗ 𝝈𝒇 𝝈𝒃 𝝈𝒇 = 𝑸𝒃 𝑸𝒇 = (𝟏 − 𝟏 𝜿 ) d) 𝑸𝒃 = (𝟏 − 𝟏 𝜿 ) ∗ 𝑸𝒇 = (𝟏 − 𝟏 𝟐.𝟎𝟖 ) ∗ 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 = 𝟓. 𝟏𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 C 70. Determinar la capacidad del condensador de placas paralelas indicado en la figura. El sistema se puede considerar formado por dos condensadores en serie, C1 y C2, y un tercero en paralelo con los otros dos, C3. 𝑪𝟏𝟐 = 𝑪𝟏∗𝑪𝟐 𝑪𝟏+𝑪𝟐 𝑪 = 𝑪𝟏𝟐 + 𝑪𝟑 𝑪𝟏 = 𝜿𝟏 ∗ 𝜺𝒐∗ 𝟏 𝟐 ∗𝑨 𝟏 𝟐 ∗𝒅 = 𝜿𝟏 ∗ 𝜺𝒐∗𝑨 𝒅 𝑪𝟐 = 𝜿𝟐 ∗ 𝜺𝒐∗ 𝟏 𝟐 ∗𝑨 𝟏 𝟐 ∗𝒅 = 𝜿𝟐 ∗ 𝜺𝒐∗𝑨 𝒅 𝑪𝟏𝟐 = 𝜿𝟏∗ 𝜺𝒐∗𝑨 𝒅 ∗𝜿𝟐∗ 𝜺𝒐∗𝑨 𝒅 𝜿𝟏∗ 𝜺𝒐∗𝑨 𝒅 +𝜿𝟐∗ 𝜺𝒐∗𝑨 𝒅 = 𝜺𝒐∗𝑨 𝒅 ∗ 𝜿𝟏∗𝜿𝟐 𝜿𝟏+𝜿𝟐 𝑪𝟑 = 𝜿𝟑 ∗ 𝜺𝒐∗ 𝟏 𝟐 ∗𝑨 𝒅 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜿𝟑 ∗ 𝜺𝒐∗𝑨 𝒅 𝑪 = 𝜺𝒐∗𝑨 𝒅 ∗ 𝜿𝟏∗𝜿𝟐 𝜿𝟏+𝜿𝟐 + 𝟏 𝟐 ∗ 𝜿𝟑 ∗ 𝜺𝒐∗𝑨 𝒅 = 𝜺𝒐∗𝑨 𝒅 ∗ ( 𝜿𝟏∗𝜿𝟐 𝜿𝟏+𝜿𝟐 + 𝟏 𝟐 ∗ 𝜿𝟑) 71. Un condensador de placas paralelas tiene unas placas de 600 cm2 de área y una separación de 4 mm. Se carga hasta 100 V y luego se desconecta la batería. a) Hallar el campo eléctrico Eo y la energía potencial electrostática U. Se inserta en su interior un dieléctrico de constante 𝜿 = 𝟒 que rellena por completo el espacio situado entre las placas. b) Hallar el nuevo campo eléctrico E y 77. El voltaje a través de un condensador de placas paralelas con una separación entre las placas de 0,5 mm es 1200 V. El condensador se desconecta de la fuente de voltaje y la separación entre las placas se incrementa hasta que la energía almacenada en el condensador se duplica. Determinar la separación final entre las placas. 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪 ∗ ∆𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 ∗ (𝑬 ∗ 𝒅)𝟐 El campo depende de la densidad de carga de las placas ( 𝑬 = 𝝈/𝜺𝒐), por tanto, es constante. 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 ∗ ( 𝝈 𝜺𝒐 ) 𝟐 ∗ 𝒅 Para doblar la energía hemos de doblar d. d= 1 mm. 78. Determinar la capacidad de cada una de las redes de condensadores indicadas en la figura: a) Para los condenadores en paralelo: 𝑪𝟏𝟐 = 𝑪𝒐 + 𝑪𝒐 = 𝟐 ∗ 𝑪𝒐 Ahora estos dos están en serie con el tercero: 𝟏 𝑪𝑻 = 𝟏 𝑪𝟏𝟐 + 𝟏 𝑪𝟑 ; 𝟏 𝑪𝑻 = 𝑪𝟑+𝑪𝟏𝟐 𝑪𝟑∗𝑪𝟏𝟐 ; 𝑪𝑻 = 𝑪𝟑∗𝑪𝟏𝟐 𝑪𝟑+𝑪𝟏𝟐 = 𝑪𝟎∗𝟐∗𝑪𝒐 𝑪𝒐+𝟐∗𝑪𝒐 = 𝟐 𝟑 ∗ 𝑪𝒐 b) Tenemos tres condensadores en paralelo: 𝑪 = 𝟑 ∗ 𝑪𝒐 c) La agrupación de dos en paralelo: 𝑪𝟏𝟐 = 𝟐 ∗ 𝑪𝒐 Tenemos una agrupación en serie, cada una de ellas con la capacidad anterior: 𝟏 𝑪𝑻 = 𝟏 𝑪𝟏𝟐 + 𝟏 𝑪𝟏𝟐 ; 𝟏 𝑪𝑻 = 𝑪𝟏𝟐+𝑪𝟏𝟐 𝑪𝟏𝟐∗𝑪𝟏𝟐 ; 𝑪𝑻 = 𝑪𝟏𝟐∗𝑪𝟏𝟐 𝑪𝟏𝟐+𝑪𝟏𝟐 = 𝟐∗𝑪𝟎∗𝟐∗𝑪𝒐 𝟐∗𝑪𝒐+𝟐∗𝑪𝒐 = 𝟐 ∗ 𝑪𝒐 79. La figura muestra cuatro condensadores conectados según una asociación llamada puente de capacidad. Los condensadores están inicialmente descargados. ¿Cuál debe ser la relación entre las cuatro capacidades para que la diferencia de potencial entre los puntos c y d sea cero al aplicar un voltaje V entre los puntos a y b? ∆𝑽𝟏 = 𝑸 𝑪𝟏 ; ∆𝑽𝟑 = 𝑸 𝑪𝟑 ∆𝑽𝟏 ∆𝑽𝟑 = 𝑪𝟑 𝑪𝟏 De igual manera, para la otra rama: ∆𝑽𝟐 = 𝑸′ 𝑪𝟐 ; ∆𝑽𝟒 = 𝑸′ 𝑪𝟒 ∆𝑽𝟐 ∆𝑽𝟒 = 𝑪𝟒 𝑪𝟐 Dividiendo: ∆𝑽𝟏∗∆𝑽𝟒 ∆𝑽𝟑∗∆𝑽𝟐 = 𝑪𝟑 𝑪𝟏 ∗ 𝑪𝟐 𝑪𝟒 Como entre los puntos c y d no hay diferencia de potencial: 𝟏 = 𝑪𝟑 𝑪𝟏 ∗ 𝑪𝟐 𝑪𝟒 ; 𝑪𝟑 ∗ 𝑪𝟐 = 𝑪𝟏 ∗ 𝑪𝟒 80. El área y la separación de las placas de los dos condensadores que se muestran en la figura son idénticos. La mitad de la región entre las placas del condensador C1 se llena con un dieléctrico de constante 𝜿. ¿Qué fracción del volumen del condensador C2 debe llenarse con el mismo material dieléctrico de modo que los dos condensadores tengan igual capacidad? En el primer caso tenemos dos condensadores en serie: 𝟏 𝑪𝟏 = 𝟏 𝜿∗𝜺𝒐∗ 𝑨 𝒅/𝟐 + 𝟏 𝜺𝒐∗ 𝑨 𝒅/𝟐 = 𝟏 𝜿∗𝜺𝒐∗ 𝟐∗𝑨 𝒅 + 𝜿 𝜿∗𝜺𝒐∗ 𝟐∗𝑨 𝒅 = (𝟏+𝜿) 𝜿∗𝜺𝒐∗ 𝟐∗𝑨 𝒅 𝑪𝟏 = 𝜿 𝟏+𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝟐∗𝑨 𝒅 En el segundo caso, tenemos conexión en paralelo: 𝑪𝟐 = 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨𝟏 𝒅 + 𝜺𝒐 ∗ 𝑨𝟐 𝒅 = (𝜿 ∗ 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) ∗ 𝜺𝒐 𝒅 Las dos capacidades han de ser iguales: 𝜿 𝟏+𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝟐∗𝑨 𝒅 = (𝜿 ∗ 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) ∗ 𝜺𝒐 𝒅 ; 𝜿 𝟏+𝜿 ∗ 𝟐 ∗ 𝑨 = (𝜿 ∗ 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) Las áreas cumplirán: 𝑨 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 El área sin dieléctrico: 𝑨𝟐 = 𝑨 − 𝑨𝟏 𝜿 𝟏+𝜿 ∗ 𝟐 ∗ 𝑨 = (𝜿 ∗ 𝑨𝟏 + 𝑨 − 𝑨𝟏) 𝜿 𝟏+𝜿 ∗ 𝟐 ∗ 𝑨 − 𝑨 = (𝜿 − 𝟏) ∗ 𝑨𝟏 𝜿−𝟏 𝟏+𝜿 ∗ 𝑨 = (𝜿 − 𝟏) ∗ 𝑨𝟏 ; 𝑨𝟏 = 𝟏 𝟏+𝜿 ∗ 𝑨 𝑽𝟏 = 𝑨𝟏 ∗ 𝒅 = 𝟏 𝟏+𝜿 ∗ 𝑨 ∗ 𝒅 = 𝟏 𝟏+𝜿 ∗ 𝑽 81. Repetir el problema 80 suponiendo ahora que la región llena de dieléctrico del condensador C1 es dos tercios del volumen entre las placas. 𝟏 𝑪𝟏 = 𝟏 𝜿∗𝜺𝒐∗ 𝑨 𝟐∗𝒅/𝟑 + 𝟏 𝜺𝒐∗ 𝑨 𝒅/𝟑 = 𝟏 𝜿∗𝜺𝒐∗ 𝟑∗𝑨 𝟐∗𝒅 + 𝜿 𝜿∗𝜺𝒐∗ 𝟑∗𝑨 𝒅 = (𝟐+𝜿) 𝜿∗𝜺𝒐∗ 𝟑∗𝑨 𝒅 𝑪𝟏 = 𝜿 𝟐+𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝟑∗𝑨 𝒅 En el segundo caso, tenemos conexión en paralelo: 𝑪𝟐 = 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨𝟏 𝒅 + 𝜺𝒐 ∗ 𝑨𝟐 𝒅 = (𝜿 ∗ 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) ∗ 𝜺𝒐 𝒅 Las áreas cumplirán: 𝑨 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 El área sin dieléctrico: 𝑨𝟐 = 𝑨 − 𝑨𝟏 Las dos capacidades han de ser iguales: 𝜿 𝟐+𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝟑∗𝑨 𝒅 = (𝜿 ∗ 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) ∗ 𝜺𝒐 𝒅 ; 𝜿 𝟐+𝜿 ∗ 𝟑 ∗ 𝑨 = (𝜿 ∗ 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) 𝜿 𝟐+𝜿 ∗ 𝟑 ∗ 𝑨 = (𝜿 ∗ 𝑨𝟏 + 𝑨 − 𝑨𝟏) 𝜿 𝟐+𝜿 ∗ 𝟑 ∗ 𝑨 − 𝑨 = (𝜿 − 𝟏) ∗ 𝑨𝟏 𝟐∗(𝜿−𝟏) 𝟐+𝜿 ∗ 𝑨 = (𝜿 − 𝟏) ∗ 𝑨𝟏 ; 𝑨𝟏 = 𝟐 𝟐+𝜿 ∗ 𝑨 𝑽𝟏 = 𝑨𝟏 ∗ 𝒅 = 𝟐 𝟐+𝜿 ∗ 𝑨 ∗ 𝒅 = 𝟐 𝟐+𝜿 ∗ 𝑽 82. Dos esferas conductoras de radio R están separadas por una gran distancia comparada con su tamaño. Una de ellas tiene inicialmente la carga Q y la otra está descargada. Un alambre delgado se conecta entre las esferas. ¿Qué fracción de la energía inicial se disipa? 𝑬𝒊 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝑪 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝟒∗𝝅∗𝜺𝒐∗𝑹 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌∗𝑸𝟐 𝑹 Al unir las esferas el potencial de las dos se igual, de forma que la carga se repartirá entre las dos, Q/2 en cada una. 𝑬𝒇 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌∗ 𝑸𝟐 𝟒 𝑹 + 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌∗ 𝑸𝟐 𝟒 𝑹 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝒌∗𝑸𝟐 𝑹 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒏𝒆𝒓𝒈í𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒅𝒊𝒅𝒂 = 𝑬𝒊−𝑬𝒇 𝑬𝒊 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌∗𝑸𝟐 𝑹 − 𝟏 𝟒 ∗ 𝒌∗𝑸𝟐 𝑹 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌∗𝑸𝟐 𝑹 = 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐 = 𝟏 𝟐 83. Un condensador de placas paralelas de área A y separación d se carga hasta una diferencia de potencial V y luego se desconecta de la fuente de carga. Las placas se 89. Supongamos ahora que el condensador del problema 88 se conecta a una fuente de voltaje constante de 20 V, ¿Hasta qué distancia debe empujarse el bloque dieléctrico para que la energía se reduzca a la mitad de su valor inicial? 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑳∗𝑳 𝒅 = 𝑸 𝚫𝑽 ; 𝑸𝒊 = 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑳∗𝑳 𝒅 ∗ 𝚫𝐕 𝑬𝒊 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝑪 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝒊 𝟐 𝜿∗𝜺𝒐∗ 𝑳∗𝑳 𝒅 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑳∗𝑳 𝒅 ∗ 𝚫𝑽𝟐 (𝜺𝒐 ∗ 𝑳∗𝒙 𝒅 + 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ (𝑳−𝒙)∗𝑳 𝒅 ) = 𝑸𝒇 𝚫𝑽 ; 𝑸𝒇 = (𝜺𝒐 ∗ 𝑳∗𝒙 𝒅 + 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ (𝑳−𝒙)∗𝑳 𝒅 ) ∗ 𝚫𝑽 𝑬𝒇 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝒇 𝟐 𝑪𝒇 = 𝟏 𝟐 ∗ (𝜺𝒐∗ 𝑳∗𝒙 𝒅 +𝜿∗𝜺𝒐∗ (𝑳−𝒙)∗𝑳 𝒅 ) 𝟐 ∗𝚫𝑽𝟐 𝜺𝒐∗ 𝑳∗𝒙 𝒅 +𝜿∗𝜺𝒐∗ (𝑳−𝒙)∗𝑳 𝒅 = 𝟏 𝟐 ∗ (𝜺𝒐 ∗ 𝑳∗𝒙 𝒅 + 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ (𝑳−𝒙)∗𝑳 𝒅 ) ∗ 𝚫𝑽𝟐 𝑬𝒇 = 𝟎. 𝟓 ∗ 𝑬𝒊 𝟏 𝟐 ∗ (𝜺𝒐 ∗ 𝑳∗𝒙 𝒅 + 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ (𝑳−𝒙)∗𝑳 𝒅 ) ∗ 𝚫𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏 𝟐 ∗ 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑳∗𝑳 𝒅 ∗ 𝚫𝑽𝟐 𝟐 ∗ 𝒙 + 𝟐 ∗ 𝜿 ∗ (𝑳 − 𝒙) = 𝜿 ∗ 𝑳 𝒙 = 𝜿∗𝑳 𝟐∗(𝜿−𝟏) = 𝟒¿𝟎,𝟏 𝟐∗(𝟒−𝟏) = 𝟎, 𝟎𝟔𝟕 𝒎 90. Una asociación en paralelo de dos condensadores de placas paralelas se conecta a una batería de 100 V. La batería se desconecta y la separación entre las placas de uno de los conductores se duplica. Determinar la carga depositada en cada uno de los condensadores. 𝑸 = (𝑪𝟏 + 𝑪𝟐) ∗ ∆𝑽 Cuando cambiamos la configuración de uno de los condensadores y siguen conectados entre ellos en paralelo: ∆𝑽𝟏 = ∆𝑽𝟐 𝑸𝟏 𝑪𝟏 = 𝑸𝟐 𝑪𝟐𝒇 ; 𝑸𝟏 𝑪𝟏 = 𝑸𝟐 𝟏 𝟐 ∗𝑪𝟐 ; 𝑸𝟏 𝑪𝟏 = 𝟐∗𝑸𝟐 𝑪𝟐 ; 𝑸𝟏 = 𝟐 ∗ 𝑪𝟏 𝑪𝟐 ∗ 𝑸𝟐 Por otra parte, 𝑸 = 𝑸𝟏 + 𝑸𝟐 ; 𝑸 = 𝟐 ∗ 𝑪𝟏 𝑪𝟐 ∗ 𝑸𝟐 + 𝑸𝟐 ; 𝑸𝟐 = 𝑸 𝟐∗ 𝑪𝟏 𝑪𝟐 +𝟏 = (𝑪𝟏+𝑪𝟐)∗∆𝑽 𝟐∗ 𝑪𝟏 𝑪𝟐 +𝟏 𝑸𝟐 = (𝑪𝟏+𝑪𝟐)∗∆𝑽 𝟐∗ 𝑪𝟏 𝑪𝟐 +𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 ∗ (𝑪𝟏+𝑪𝟐) 𝟐∗ 𝑪𝟏 𝑪𝟐 +𝟏 𝑸𝟏 = 𝟐 ∗ 𝑪𝟏 𝑪𝟐 ∗ (𝑪𝟏+𝑪𝟐)∗∆𝑽 𝟐∗ 𝑪𝟏 𝑪𝟐 +𝟏 = 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝑪𝟏 𝑪𝟐 ∗ (𝑪𝟏+𝑪𝟐) 𝟐∗ 𝑪𝟏 𝑪𝟐 +𝟏 91. Un condensador de placas paralelas tiene una capacidad Co y una separación entre las placas d. Se insertan entre las placas, como se indica en la figura dos láminas dieléctricas de constantes 𝜿𝟏 𝒚 𝜿𝟐 cada una de ellas de espesor 1/2d y de la misma área que las placas. Cuando la carga libre sobre las placas es Q, hallar a) El campo eléctrico en cada dieléctrico. b) La diferencia de potencial entre las placas. c) Demostrar que la nueva capacidad viene dada por C=[𝟐 𝜿𝟏 𝜿𝟐/(𝜿𝟏 + 𝜿𝟐) ]𝑪𝒐. d) Demostrar que este sistema puede considerarse como una asociación de dos condensadores en serie, cada uno de ellos de espesor d/2, respectivamente llenos de dieléctricos de constantes 𝜿𝟏 𝒚 𝜿𝟐. a) 𝑬 = 𝑬𝒐 𝜿 𝑬𝒐 = 𝝈 𝜺𝒐 = 𝑸/𝑨 𝜺𝒐 𝑬𝟏 = 𝑸/𝑨 𝜺𝒐∗𝜿𝟏 ; 𝑬𝟐 = 𝑸/𝑨 𝜺𝒐∗𝜿𝟐 b) 𝚫𝑽 = 𝚫𝑽𝟏 + 𝚫𝑽𝟐 𝚫𝑽𝟏 = 𝑬𝟏 ∗ 𝒅 𝟐 = 𝑸 𝑨 𝜺𝒐∗𝜿𝟏 ∗ 𝒅 𝟐 = 𝑸∗𝒅 𝟐∗𝑨∗𝜺𝒐∗𝜿𝟏 𝚫𝑽𝟐 = 𝑬𝟐 ∗ 𝒅 𝟐 = 𝑸 𝑨 𝜺𝒐∗𝜿𝟐 ∗ 𝒅 𝟐 = 𝑸∗𝒅 𝟐∗𝑨∗𝜺𝒐∗𝜿𝟐 𝚫𝑽 = 𝑸∗𝒅 𝟐∗𝑨∗𝜺𝒐∗𝜿𝟏 + 𝑸∗𝒅 𝟐∗𝑨∗𝜺𝒐∗𝜿𝟐 = 𝑸∗𝒅 𝟐∗𝑨∗𝜺𝒐 ∗ ( 𝟏 𝜿𝟏 + 𝟏 𝜿𝟐 ) c) 𝑪 = 𝑸 𝚫𝑽 = 𝟐∗𝑨∗𝜺𝒐 𝒅 ∗ 𝟏 ( 𝟏 𝜿𝟏 + 𝟏 𝜿𝟐 ) = 𝟐 ∗ 𝑪𝒐 ∗ 𝜿𝟏∗𝜿𝟐 𝜿𝟏+𝜿𝟐 d) 𝟏 𝑪 = 𝟏 𝑪𝟏 + 𝟏 𝑪𝟐 ; 𝑪 = 𝑪𝟏∗𝑪𝟐 𝑪𝟏+𝑪𝟐 𝑪𝟏 = 𝜿𝟏 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 𝟐 ; 𝑪𝟐 = 𝜿𝟐 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 𝟐 𝑪 = 𝟐 ∗ 𝜿𝟏∗𝜿𝟐 𝜿𝟏+𝜿𝟐 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 = 𝟐 ∗ 𝜿𝟏∗𝜿𝟐 𝜿𝟏+𝜿𝟐 ∗ 𝑪𝒐 92. Un condensador de placas paralelas tiene las placas con área A y separación entre ellas d. Se inserta entre las placas una lámina metálica de espesor t y área A. a) Demostrar que la capacidad viene dada por 𝑪 = 𝜺𝒐𝑨/(𝒅 − 𝒕), independientemente del sitio en donde se coloque la lámina de metal. b) Demostrar que este dispositivo puede considerarse como un condensador de separación a en serie con otro de separación b, siendo a+b+t=d. a) 𝑬 = 𝝈 𝜺𝒐 = 𝑸 𝜺𝒐∗𝑨 𝑪 = 𝑸 𝚫𝑽 = 𝑸 𝑬∗(𝒅−𝒕) = 𝜺𝒐∗𝑨 (𝒅−𝒕) b) 𝟏 𝑪 = 𝟏 𝑪𝟏 + 𝟏 𝑪𝟐 ; 𝑪 = 𝑪𝟏∗𝑪𝟐 𝑪𝟏+𝑪𝟐 𝑪𝟏 = 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒂 ; 𝑪𝟐 = 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒃 𝑪 = 𝜺𝒐∗ 𝑨 𝒂 ∗ 𝜺𝒐∗ 𝑨 𝒃 𝜺𝒐∗ 𝑨 𝒂 + 𝜺𝒐∗ 𝑨 𝒃 = 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒂∗𝒃 ∗ ( 𝒂∗𝒃 𝒂+𝒃 ) = 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅−𝒕 93. Se rellena un condensador de placas paralelas con dos dieléctricos de igual tamaño, como puede verse en la figura. Demostrar: a) Que este sistema puede considerarse como dos condensadores de área ½ A conectados en paralelo. b) Que la capacidad se ve aumentada en el factor 𝜿𝟏+𝜿𝟐 𝟐 . a) 𝑬𝟏 = 𝑸/𝟐 𝑨 𝟐 𝜺𝒐∗𝜿𝟏 ; 𝑬𝟐 = 𝑸/𝟐 𝑨 𝟐 𝜺𝒐∗𝜿𝟐 𝚫𝑽 = 𝑬𝟏 ∗ 𝒅 = 𝑸 𝑨 𝜺𝒐∗𝜿𝟏 ∗ 𝒅 = 𝑸 𝑨 𝜺𝒐∗𝜿𝟐 ∗ 𝒅 𝐂𝟏 = 𝐐𝟏 𝚫𝑽 = 𝑸/𝟐 𝑸 𝑨 𝜺𝒐∗𝜿𝟏 ∗𝒅 = 𝜺𝒐 ∗ 𝜿𝟏 ∗ 𝑨 𝟐∗𝒅 𝐂𝟐 = 𝐐𝟐 𝚫𝑽 = 𝑸/𝟐 𝑸 𝑨 𝜺𝒐∗𝜿𝟐 ∗𝒅 = 𝜺𝒐 ∗ 𝜿𝟐 ∗ 𝑨 𝟐∗𝒅 𝐂 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 = 𝜺𝒐 ∗ 𝜿𝟏 ∗ 𝑨 𝟐∗𝒅 + 𝜺𝒐 ∗ 𝜿𝟐 ∗ 𝑨 𝟐∗𝒅 = 𝜺𝒐 ∗ 𝑨/𝟐 𝒅 ∗ (𝜿𝟏 + 𝜿𝟐) b) 𝑪 = 𝑪𝒐 ∗ 𝟏 𝟐 ∗ (𝜿𝟏 + 𝜿𝟐) 94. A un condensador de placas paralelas de área A y separación x se le suministra una carga Q y luego se separa de la fuente de carga. a) Hallar la energía electrostática almacenada en función de x. b) Hallar el aumento de energía dU debido al aumento de la separación de las placas dx a partir de 𝒅𝑼 = ( 𝒅𝑼 𝒅𝒙 ) 𝒅𝒙. c) Si F es la fuerza ejercida por una placa sobre la otra, el trabajo realizado para mover una placa la distancia dx es 𝑭 𝒅𝒙 = 𝒅𝑼. Demostrar que 𝑭 = 𝑸𝟐/𝟐𝜺𝒐𝑨. d) Demostrar que la fuerza hallada en la parte (c) es igual a 1/2EQ, siendo Q la carga en cada placa y E el campo eléctrico existente entre ellas. Estudiar la razón que justifique la presencia del factor ½ en este resultado. a) 𝑪 = 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒙 𝑬 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝑪 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝜺𝒐∗ 𝑨 𝒙 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐∗𝒙 𝜺𝒐∗𝑨 b) 𝒅𝑼 = 𝒅𝑼 𝒅𝒙 ∗ 𝒅𝒙 = 𝒅 𝒙 ( 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐∗𝒙 𝜺𝒐∗𝑨 ) ∗ 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝜺𝒐∗𝑨 ∗ 𝒅𝒙 c) 𝑾 = 𝑭 ∗ 𝒅𝒙; 𝑭 = 𝒅𝑼 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝜺𝒐∗𝑨 d) 𝚫𝑽 = 𝑬 ∗ 𝒙 ; 𝑬 = 𝚫𝑽 𝒙 𝐂 = 𝐐 𝚫𝑽 = 𝑸 𝑬∗𝒙 ; 𝑬 = 𝑸 𝑪∗𝒙 = 𝑸 𝜺𝒐∗ 𝑨 𝒙 = 𝑸 𝜺𝒐∗𝑨 ; 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 = 𝑸 𝑪 𝐅 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝜺𝒐∗𝑨 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝑸 𝑬 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸 ∗ 𝑬 El campo E se debe a la suma de los campos de las cargas +Q y –Q en las placas opuestas del capacitor Cada placa produce un campo ½ E y la fuerza es el producto de la carga Q y el campo ½ E. b) Si disponemos de un dieléctrico que pueda resistir 3 108 V/m y su constante dieléctrica es 5, ¿qué volumen de este dieléctrico situado entre las placas del condensador se necesitará para almacenar 100 kJ de energía? a) 𝑪 = 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈í𝒂 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪 ∗ 𝚫𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 ∗ (𝑬𝒓𝒖𝒑𝒕𝒖𝒓𝒂 ∗ 𝒅) 𝟐 ; 𝑨 ∗ 𝒅 = 𝟐∗𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈í𝒂 𝜺𝒐∗𝑬𝒓𝒖𝒑𝒕𝒖𝒓𝒂 𝟐 𝑨 ∗ 𝒅 = 𝟐∗𝟏𝟎𝟎∗𝟏𝟎𝟑 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗(𝟑∗𝟏𝟎𝟔)𝟐 = 𝟐. 𝟓𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝒎𝟑 b) 𝑪 = 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈í𝒂 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪 ∗ 𝚫𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 ∗ (𝑬𝒓𝒖𝒑𝒕𝒖𝒓𝒂 ∗ 𝒅) 𝟐 ; 𝑨 ∗ 𝒅 = 𝟐∗𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈í𝒂 𝜿∗𝜺𝒐∗𝑬𝒓𝒖𝒑𝒕𝒖𝒓𝒂 𝟐 𝑨 ∗ 𝒅 = 𝟐∗𝟏𝟎𝟎∗𝟏𝟎𝟑 𝟓∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗(𝟑∗𝟏𝟎𝟖)𝟐 = 𝟓. 𝟎𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝒎𝟑 102. Dos condensadores de placas paralelas C1 y C2 se conectan en paralelo. Los condensadores son idénticos excepto que C2 tiene un dieléctrico entre sus placas. El sistema se carga mediante una fuente con una diferencia de potencial de 200 V y luego se desconecta. a) ¿Cuál es la carga de cada condensador? b) ¿Cuál es la energía total almacenada en los condensadores? c) El dieléctrico se extrae de C2. ¿Cuál es la energía total almacenada de los condensadores? d) ¿Cuál es el voltaje final a través de los condensadores? a) 𝑪𝟏 = 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 ; 𝑪𝟐 = 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 = 𝜿 ∗ 𝑪𝟏 𝑸𝟏 = 𝑪𝟏 ∗ 𝚫𝑽 = 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝑪𝟏 𝑸𝟐 = 𝑪𝟐 ∗ 𝚫𝑽 = 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝜿 ∗ 𝑪𝟏 b) 𝑬 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝟏 ∗ 𝚫𝑽𝟐 + 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝟐 ∗ 𝚫𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝟏 ∗ 𝟐𝟎𝟎𝟐 ∗ (𝟏 + 𝜿) = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝑪𝟏 ∗ (𝟏 + 𝜿) c) Al ser iguales los dos condensadores se cargan cada uno con la misma carga Q: 𝑸 + 𝑸 = 𝑸𝟏 + 𝑸𝟐 = 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝑪𝟏 + 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝜿 ∗ 𝑪𝟏 𝑸 = 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝑪𝟏 ∗ (𝟏 + 𝜿) 𝑬 = 𝟐 ∗ 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝑪𝟏 = (𝟏𝟎𝟎∗𝑪𝟏∗(𝟏+𝜿)) 𝟐 𝑪𝟏 = 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝑪𝟏 ∗ (𝟏 + 𝜿)𝟐 d) La capacidad del sistema es 2*C1. La carga total es 2*Q. 𝚫𝑽𝒇 = 𝟐∗𝑸 𝟐∗𝑪𝟏 = 𝟏𝟎𝟎∗𝑪𝟏∗(𝟏+𝜿) 𝑪𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 ∗ (𝟏 + 𝜿) 103. Un condensador está formado por dos cilindros concéntricos de radios a y b (b>a), siendo su longitud L >>b. El cilindro interior posee una carga +Q y el cilindro exterior – Q. La región comprendida entre los dos cilindros se llena con un dieléctrico de constante 𝜿. a) Determinar la diferencia de potencial que existe entre los dos cilindros. b) Hallar la densidad de carga 𝝈𝒇 sobre el cilindro interior y sobre el cilindro exterior. c) Determinar la densidad de carga ligada 𝝈𝒃 sobre la superficie cilíndrica interior del dieléctrico y la superficie exterior del mismo. d) Calcular la energía electrostática total almacenada. e) Si el dieléctrico se desplaza sin fricción, ¿Cuánta energía mecánica se necesitaría para extraer la capa cilíndrica dieléctrica? a) Para un condensador cilíndrico: 𝑪 = 𝟐∗𝝅∗𝜿∗𝜺𝟎∗𝑳 𝒍𝒏(𝒃 𝒂⁄ ) 𝑪 = 𝑸 𝚫𝑽 ; 𝚫𝑽 = 𝑸 𝑪 = 𝑸∗𝒍𝒏(𝒃 𝒂⁄ ) 𝟐∗𝝅∗𝜿∗𝜺𝟎∗𝑳 b) 𝝈𝒇(𝒂) = 𝑸 𝟐∗𝝅∗𝒂∗𝑳 ; 𝝈𝒇(𝒃) = −𝑸 𝟐∗𝝅∗𝒃∗𝑳 c) El campo resultante es: 𝑬 = 𝑬𝒐 − 𝑬𝒃 = 𝑬𝒐 𝜿 El campo en el dieléctrico es: 𝑬𝒃 = 𝑬𝒐 ∗ 𝜿−𝟏 𝜿 Usando 𝑬𝒃 = 𝝈𝒃 𝜺𝒐 y 𝑬𝒐 = 𝝈𝒇 𝜺𝒐 : 𝝈𝒃 = 𝜿−𝟏 𝜿 ∗ 𝝈𝒇 = (𝟏 − 𝟏 𝜿 ) ∗ 𝝈𝒇 Por inducción en la cara a la carga del dieléctrico es negativa y en b positiva: 𝝈𝒃(𝒂) = −𝑸 𝟐∗𝝅∗𝒂∗𝑳 ∗ (𝟏 − 𝟏 𝜿 ) 𝝈𝒃(𝒃) = 𝑸 𝟐∗𝝅∗𝒃∗𝑳 ∗ (𝟏 − 𝟏 𝜿 ) d) 𝑬 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸 ∗ 𝚫𝑽 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸 ∗ 𝑸∗𝒍𝒏(𝒃 𝒂⁄ ) 𝟐∗𝝅∗𝜿∗𝜺𝟎∗𝑳 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 ∗ 𝒍𝒏(𝒃 𝒂⁄ ) 𝟐∗𝝅∗𝜿∗𝜺𝟎∗𝑳 e) 𝑾 = 𝚫𝑬 = 𝜿 ∗ 𝑼 − 𝑼 = (𝜿 − 𝟏) ∗ 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 ∗ 𝒍𝒏(𝒃 𝒂⁄ ) 𝟐∗𝝅∗𝜿∗𝜺𝟎∗𝑳 104. Dos condensadores de placas paralelas tienen la misma separación e igual área superficial. La capacidad de cada uno de ellos es inicialmente 10 µF. Insertando un dieléctrico en el espacio completo entre las placas de uno de los condensadores, éste incrementa su capacidad a 35 µF. Los condensadores de 35 µF y 10 µF se conectan en paralelo y se cargan con una diferencia de potencial de 100 V. La fuente de voltaje se desconecta a continuación. a) ¿Cuál es la energía almacenada en este sistema? b) ¿Cuáles son las cargas de los dos condensadores? c) Se extrae el dieléctrico del condensador. ¿Cuáles son las nuevas cargas sobre las placas del condensador? d) ¿Cuál es la energía final almacenada por el sistema? a) 𝑪𝟏 = 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 ; 𝑪𝟐 = 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 ; 𝜿 = 𝑪𝟐 𝑪𝟏 = 𝟑. 𝟓 𝑪 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 = 𝟒𝟓 𝝁𝑭 𝑬 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪 ∗ 𝚫𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟒𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟐𝟓 𝑱 b) 𝑸𝟏 = 𝑪𝟏 ∗ 𝚫𝑽 = 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎−𝟑 𝑪 𝑸𝟐 = 𝑪𝟐 ∗ 𝚫𝑽 = 𝟑𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑪 c) Al extraer el dieléctrico la carga inicial se repartirá entre los dos condensadores, al ser de igual capacidad cada uno tendrá la misma carga Q. 𝑸 = 𝟑.𝟓∗𝟏𝟎−𝟑+𝟏𝟎−𝟑 𝟐 = 𝟐. 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑪 d) La nueva capacidad es de 20 µF, la carga Enel sistema es 4.5*10-3 C: 𝑬 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝑪 = 𝟏 𝟐 ∗ (𝟒.𝟓∗𝟏𝟎−𝟑) 𝟐 𝟐𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟎. 𝟓𝟎𝟔 𝑱 105. Un globo meteorológico esférico construido con “mylar” aluminizado y lleno de helio a la presión atmosférica puede levantar una carga de 0,2 kg. Determinar la capacidad del globo, (Despreciar la masa de “mylar”). 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝝆𝑯𝒆 ∗ 𝑽 ∗ 𝒈 ; 𝒎 = 𝝆𝑯𝒆 ∗ 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟑 ; 𝑹 = √ 𝟑∗𝒎 𝟒∗𝝅∗𝝆𝑯𝒆 𝟑 𝑪 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑹 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝜺𝒐 ∗ √ 𝟑∗𝒎 𝟒∗𝝅∗𝝆𝑯𝒆 𝟑 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟖. 𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ √ 𝟑∗𝟎.𝟐 𝟒∗𝝅∗𝝆𝑯𝒆 𝟑 106. Los dos condensadores de la figura poseen capacidades C1= 0,4 µF y C2= 1,2 µF. Los voltajes aplicados a los dos condensadores son V1 y V2 respectivamente, y la energía total almacenada en los dos condensadores es 1,14 mJ. Si los terminales b y c se conectan entre sí, el voltaje 𝑽𝒂 − 𝑽𝒅 = 𝟖𝟎 𝑽 , si el terminal a se conecta a b y c se conecta a d, el voltaje 𝑽𝒂 − 𝑽𝒅=20 V. Determinar los voltajes iniciales V1 y V2. Para cada condensador por separado: 𝑽𝟏 = 𝑸𝟏 𝑪𝟏 ; 𝑽𝟐 = 𝑸𝟐 𝑪𝟐 Para la conexión de los terminales b y c: 𝑸𝟏 𝑪𝟏 + 𝑸𝟐 𝑪𝟐 = 𝟖𝟎 𝑽 La segunda conexión es una conexión en paralelo: 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 = 𝑪 𝑸𝟏+𝑸𝟐 𝑪𝟏+𝑪𝟐 = 𝟐𝟎 𝑽 Poniendo los valores de la capacidad: 𝑸𝟏 𝟎.𝟒∗𝟏𝟎−𝟔 + 𝑸𝟐 𝟏.𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟖𝟎 𝑸𝟏+𝑸𝟐 𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟐𝟎 Resolviendo el sistema: 𝑸𝟏 = 𝟑. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 ; 𝑸𝟐 = 𝟎 𝑪 𝑽𝟏 = 𝑸𝟏 𝑪𝟏 = 𝟑.𝟐∗𝟏𝟎−𝟓 𝟎.𝟒∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟖𝟎 𝑽 𝑽𝟐 = 𝑸𝟐 𝑪𝟐 = 𝟎 𝟏.𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟎 𝑽 107. Antes de cerrar el interruptor S de la figura, la diferencia de potencial entre los terminales del interruptor es 120 V y el voltaje aplicado al condensador de 0,2 µF es de 40 V. La energía almacenada total en los dos condensadores es 1440 µJ. Después de cerrar el interruptor, el voltaje entre las placas de cada condensador es 80 V y la energía almacenada por ambos condensadores cae a 960 µJ. Determinar la capacidad de C2 y la carga sobre cada uno de ellos antes de que el interruptor se cerrase. para la compresión de 5 106 N/m2. La capacidad del condensador en el límite 𝑽 → 𝟎 es Co. a) Deducir una expresión de la capacidad en función del voltaje aplicado. b) ¿Cuál es el máximo voltaje que puede aplicarse al condensador? (Suponer que 𝜿 no varía con la compresión). c) ¿Qué fracción de la energía total del condensador es energía del campo electrostático y qué fracción es energía de tensión mecánica almacenada en el dieléctrico comprimido cuando el voltaje aplicado al condensador está justamente por debajo del voltaje de ruptura? a) 𝑪 = 𝑸 𝚫𝑽 Para la situación en que el dieléctrico llena todo el volumen: 𝑪𝒐 = 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅 = 𝟑. 𝟎 ∗ 𝟖. 𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝑨 𝟎.𝟐∗𝟏𝟎−𝟑 = 𝟎. 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝑨 𝑪(𝒙) = 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒙 𝑸(𝒙) = 𝑪(𝒙) ∗ 𝑽 = 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒙 ∗ 𝑽 𝑪(𝑽) = 𝑸 𝑽 = 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒙 = 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅−𝚫𝒙 En el problema 94-(c) hemos encontrado para la fuerza sobre el dieléctrico: 𝑭 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝜺𝒐∗𝑨 𝑭 = (𝜿∗𝜺𝒐∗ 𝑨 𝒙 ∗𝑽) 𝟐 𝟐∗𝜺𝒐∗𝑨 = 𝜿∗𝜺𝒐∗𝑨∗𝑽𝟐 𝟐∗𝒙𝟐 El sentido de la fuerza es en el de disminuir x (signo -). Aplicando la ley de Hooke: 𝒀 = 𝑭/𝑨 𝚫𝒙/𝒙 ; 𝚫𝒙 𝒙 = 𝑭 𝒀∗𝑨 = − 𝜿∗𝜺𝒐∗𝑨∗𝑽𝟐 𝟐∗𝒙𝟐 𝒀∗𝑨 = − 𝜿∗𝜺𝒐∗𝑽𝟐 𝟐∗𝒀∗𝒙𝟐 𝚫𝒙 = − 𝜿∗𝜺𝒐∗𝑽𝟐 𝟐∗𝒀∗𝒙 ≈ − 𝜿∗𝜺𝒐∗(𝑬𝒎𝒂𝒙∗𝒅)𝟐 𝟐∗𝒀∗𝒅 𝚫𝒙 = − 𝟑∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗( 𝟒𝟎∗𝟏𝟎𝟑 𝟏𝒎𝒎∗ 𝟏 𝒎 𝟏𝟎𝟑𝒎𝒎 ∗𝟎.𝟐∗𝟏𝟎−𝟑) 𝟐 𝟐∗𝟓∗𝟏𝟎𝟔∗𝟎.𝟐∗𝟏𝟎−𝟑 = 𝟖. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝒎 Usando la ecuación: 𝑪(𝑽) = 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅−𝚫𝒙 = 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅− 𝜿∗𝜺𝒐∗(𝑽)𝟐 𝟐∗𝒀∗𝒅 𝑪(𝑽) = 𝜿 ∗ 𝜺𝒐 ∗ 𝑨 𝒅∗(𝟏− 𝜿∗𝜺𝒐∗𝑽𝟐 𝟐∗𝒀∗𝒅𝟐 ) = 𝑪𝒐 ∗ 𝟏 (𝟏− 𝜿∗𝜺𝒐∗𝑽𝟐 𝟐∗𝒀∗𝒅𝟐 ) b) 𝑽𝒎𝒂𝒙 = 𝑬𝒎𝒂𝒙 ∗ (𝒅 − ∆𝒙) = 𝟒𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟔 ∗ (𝟎. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 − 𝟖. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟕) = 𝟕. 𝟗𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑽 c) La fracción de energía mecánica es: 𝒇 = 𝑬𝑴 𝑬𝑴+𝑬𝑬 𝑬𝑬,𝒎𝒂𝒙 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪(𝑽𝒎𝒂𝒙)𝑽𝟐 𝒎𝒂𝒙 𝑪(𝑽𝒎𝒂𝒙) = 𝑪𝒐 ∗ 𝟏 (𝟏− 𝜿∗𝜺𝒐∗𝑽𝒎𝒂𝒙 𝟐 𝟐∗𝒀∗𝒅𝟐 ) = 𝟎. 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝑨 ∗ 𝟏 (𝟏− 𝟑∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗(𝟕.𝟗𝟕∗𝟏𝟎𝟑) 𝟐 𝟐∗𝟓∗𝟏𝟎𝟔∗( 𝟎.𝟐∗𝟏𝟎𝟑) 𝟐 ) = 𝑪(𝑽𝒎𝒂𝒙) = 𝟎, 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝑨 𝑬𝑬,𝒎𝒂𝒙 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟎, 𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝑨 ∗ (𝟕. 𝟗𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑) 𝟐 = 𝟒. 𝟐𝟐 ∗ 𝑨 𝑬𝑴 = 𝟏 𝟐 ∗ ∆𝒙𝟐∗𝒀 𝒅 ∗ 𝑨 = 𝟏 𝟐 ∗ (𝟖.𝟓∗𝟏𝟎−𝟕) 𝟐 ∗𝟓∗𝟏𝟎𝟔 𝟎.𝟐∗𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝑨 = 𝟖. 𝟗𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝑨 𝒇 = 𝟖.𝟗𝟐∗𝟏𝟎−𝟑∗𝑨 𝟖.𝟗𝟐∗𝟏𝟎−𝟑∗𝑨+𝟒.𝟐𝟐∗𝑨 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟐 = 𝟎, 𝟐 % La fracción de energía eléctrica es: 1-f=98,2 % 112. Una esfera conductora de radio R1 posee una carga libre Q. La esfera está rodeada por una capa dieléctrica esférica concéntrica sin carga, de radio interior R1, radio exterior R2 y constante dieléctrica 𝜿. El sistema está alejado de otros objetos. a) Determinar el campo eléctrico en cualquier punto del espacio. b) ¿Cuál es el potencial de la esfera conductora relativa a V=0 en el infinito? c) Determinar la energía electrostática del sistema. a) Para r<R1: Aplicando Gauss a superficie esférica en el interior, como la carga está en el exterior de la esfera: 𝑬 = 𝟎 Para R1<r<R2: Aplicamos Gauss a superficie esférica en la región: 𝑬 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝜿∗𝜺𝒐 = 𝑸 𝜿∗𝜺𝒐 ; 𝑬 = 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝜿∗𝜺𝒐 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 Para r>R2: 𝑬 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝜺𝒐 = 𝑸 𝜺𝒐 ; 𝑬 = 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝜺𝒐 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 b) 𝑽(𝑹𝟏) = − ∫ 𝑬 ∗ 𝒅𝒓 𝑹𝟏 ∞ = − ∫ 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝜺𝒐 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝑹𝟐 ∞ − ∫ 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝜿∗𝜺𝒐 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑽(𝑹𝟏) = 𝑸 𝟒∗𝝅∗𝜺𝒐 ∗ ([ 𝟏 𝒓 ] ∞ 𝑹𝟐 + [ 𝟏 𝜿∗𝒓 ] 𝑹𝟐 𝑹𝟏 ) = 𝑸 𝟒∗𝝅∗𝜺𝒐 ∗ ( 𝟏 𝑹𝟐 + 𝟏 𝜿∗𝑹𝟏 − 𝟏 𝜿∗𝑹𝟐 ) 𝑽(𝑹𝟏) = 𝑸 𝟒∗𝝅∗𝜺𝒐 ∗ (𝜿−𝟏)∗𝑹𝟏+𝑹𝟐 𝜿∗𝑹𝟏∗𝑹𝟐 c) 𝑼 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸 ∗ 𝑽(𝑹𝟏) = 𝑸𝟐 𝟖∗𝝅∗𝜺𝒐 ∗ (𝜿−𝟏)∗𝑹𝟏+𝑹𝟐 𝜿∗𝑹𝟏∗𝑹𝟐 113. Un condensador variable sin dieléctrico como el que se muestra en la fotografía posee una capacidad que varía entre 0,02 y 0,12 µF cuando su eje gira un ángulo de 180º. Entre las placas del condensador se mantiene un voltaje de 100 V. Inicialmente el condensador se encuentra en su posición de capacidad mínima. a) ¿Cuánto trabajo debe realizarse para hacer girar el eje hasta su posición de capacidad máxima? b) La forma de las placas está diseñada para que la capacidad sea una función lineal del ángulo de rotación. ¿Qué momento mecánico debe aplicarse en la rotación del condensador para mantenerle en la posición correspondiente a C=0,07 µF? a) 𝑬𝟏 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝟏 ∗ 𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟎. 𝟎𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟐 = 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 𝑬𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝟐 ∗ 𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟎. 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟐 = 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 𝑾 = 𝚫𝑬 = 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 b) 𝚫𝑪 = 𝑨 ∗ 𝚫𝜽 ; 𝑨 = 𝚫𝑪 𝚫𝜽 = (𝟎.𝟏𝟐−𝟎.𝟎𝟐)∗𝟏𝟎−𝟔 𝝅 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪 ∗ 𝑽𝟐 = 𝑴 ∗ 𝜽 ; 𝟏 𝟐 ∗ 𝑨 ∗ 𝜽 ∗ 𝑽𝟐 = 𝑴 ∗ 𝜽 ; 𝑴 = 𝑨∗𝑽𝟐 𝟐 = (𝟎.𝟏𝟐−𝟎.𝟎𝟐)∗𝟏𝟎−𝟔 𝝅 ∗𝟏𝟎𝟎𝟐 𝟐 𝑴 = 𝟏. 𝟓𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑵 ∗ 𝒎 114. Repetir el problema 113 con un voltaje aplicado de 100 V y después desconectado cuando el condensador está totalmente cargado. a) 𝑬𝟏 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝟏 ∗ 𝑽𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟎. 𝟎𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟐 = 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 𝑸 = 𝑪𝟏 ∗ 𝑽 = 𝟎. 𝟎𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 En la situación final, la carga es la misma, la capacidad es de 0,12*10-6 F: 𝑬𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝑸𝟐 𝑪𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ (𝟐∗𝟏𝟎−𝟔) 𝟐 𝟎.𝟏𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟏. 𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑱 𝑽𝟐 = 𝑸 𝑪𝟐 = 𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟏𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝟏𝟔. 𝟕 𝑽 𝑾 = 𝚫𝑬 = 𝟏𝟎−𝟒𝟏. 𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 − 𝟏𝟎−𝟒 = −𝟖. 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑱 b) 𝟏 𝟐 ∗ 𝑪𝟐 ∗ 𝑽𝟐 𝟐 = 𝑴 ∗ 𝜽 ; 𝟏 𝟐 ∗ 𝑨 ∗ 𝜽 ∗ 𝑽𝟐 𝟐 = 𝑴 ∗ 𝜽 ; 𝑴 = 𝑨∗𝑽𝟐 𝟐 𝟐 = (𝟎.𝟏𝟐−𝟎.𝟎𝟐)∗𝟏𝟎−𝟔 𝝅 ∗𝟏𝟔.𝟕𝟐 𝟐 𝑴 = 𝟔. 𝟑𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑵 ∗ 𝒎