Espacio Tridimensional y Geometría Analítica en ℝ3, Transcripciones de Matemáticas Aplicadas

¡Descarga Espacio Tridimensional y Geometría Analítica en ℝ3 y más Transcripciones en PDF de Matemáticas Aplicadas solo en Docsity! 1 / 10 MATEMATICAS III. ESPACIO VECTORIAL Sistemas de Coordenadas Rectangulares: En el sistema de tres dimensiones se construye un sistema de coordenadas rectangulares utilizando tres ejes mutuamente ortogonales (perpendiculares). El punto donde se cortan los tres ejes se llama Origen. El punto 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) se puede representar por una triada (terna) de números reales (𝑎, 𝑏, 𝑐) llamadas coordenadas cartesianas rectangulares del punto donde los números 𝑎, 𝑏, 𝑐 se denominan coordenadas de (𝑥, 𝑦, 𝑧) del punto 𝑃 respectivamente. Toda terna ordenada (𝑎, 𝑏, 𝑐) de números reales representa un punto en el espacio y recíprocamente todo punto del espacio es una terna ordenada de números reales, así el conjunto formado por todas las ternas de números reales se llama el Espacio Tridimensional y se denota por ℝ3, se define: ℝ3 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑥⁄ , 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ}. Entonces si 𝑃 es un punto definido por 𝑎, 𝑏, 𝑐 perteneciente al espacio, entonces: 1) 𝑎 es la distancia orientada del plano 𝑦𝑧 al punto 𝑃. 2) 𝑏 es la distancia orientada del plano 𝑥𝑧 al punto 𝑃. 3) 𝑐 es la distancia orientada del plano 𝑥𝑦 al punto 𝑃. Planos coordenados:  Plano 𝑥𝑦 o 𝑧 = 0.  Plano 𝑥𝑧 o 𝑦 = 0.  Plano 𝑦𝑧 o 𝑥 = 0. Los planos coordenados dividen el espacio tridimensional en ocho partes conocidos como Octantes. El Octante entre las tres coordenadas positivas de un punto se les llama el primer Octante, es decir, es donde las variables 𝑥, 𝑦, 𝑧 son positivas. Aun no existe un acuerdo para denominar los otros siete Octantes. 𝑧 𝑦 𝑥 0 𝑎 𝑏 𝑐 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) 2 / 10 Distancia entre dos puntos en el espacio: Dado dos puntos 𝑃1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y 𝑃2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), la distancia o segmento de recta no dirigido entre estos puntos viene dado por: 𝑃1𝑃2 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2 Punto medio: El punto medio entre 𝑃1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y 𝑃2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) se obtiene por: 𝑃𝑀 ( 𝑥1 + 𝑥2 2 , 𝑦1 + 𝑦2 2 , 𝑧1 + 𝑧2 2 ) ESPACIO VECTORIAL: ℝ3 COMO UN ESPACIO VECTORIAL. Nociones básicas: 1. Dados dos puntos P(p1,p2,p3) y Q(q1,q2,q3)son puntos del espacio ℝ 3 , el segmento orientado 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ tiene por punto inicial a P y por punto final a Q y denotamos su longitud mediante: ‖𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √(𝑞1 − 𝑝1)2 + (𝑞2 − 𝑝2)2 + (𝑞3 − 𝑝3)2. 2. Dos segmentos orientados de la misma longitud se llama equivalentes. 3. El conjunto de todos los segmentos orientados que son equivalentes a uno dado lo llamamos vector del espacio y lo escribimos 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑣 . 4. Componente de un vector: si 𝑣 es un vector en el espacio cuyo punto inicial es el origen (0,0,0)y cuyo punto final es (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3), entonces el vector en forma de componente viene dado por: 𝑣 = 〈𝑣1, 𝑣2, 𝑣3〉. 𝑧 𝑦 𝑥 0 Plano 𝑥𝑦 Plano 𝑥𝑧 Plano 𝑦𝑧 𝑥1 𝑧 𝑦 𝑥 0 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑃1(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1) 𝑃2(𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2) 𝑧1 𝑦1 𝑃1𝑃2 ̅̅ ̅̅ ̅̅ 5 / 10 Por definición de norma tenemos: ‖𝑥 − 𝑦 ‖ = √(𝑥 − 𝑦 ) ∙ (𝑥 − 𝑦 ) = √𝑥 ∙ 𝑥 − 𝑥 ∙ 𝑦 − 𝑦 ∙ 𝑥 + 𝑦 ∙ 𝑦 ‖𝑥 − 𝑦 ‖ = √‖?⃗? ‖2 − 2𝑥 ∙ 𝑦 + ‖?⃗? ‖2 De acuerdo a la ley del coseno tenemos: ‖𝑥 − 𝑦 ‖ = √‖?⃗? ‖2 − 2‖?⃗? ‖‖?⃗? ‖𝑐𝑜𝑠𝜃 + ‖?⃗? ‖2 Entonces: √‖?⃗? ‖2 − 2𝑥 ∙ 𝑦 + ‖?⃗? ‖2 = √‖?⃗? ‖2 − 2‖?⃗? ‖‖?⃗? ‖𝑐𝑜𝑠𝜃 + ‖?⃗? ‖2, simplificando esta ecuación nos queda: 𝑥 ∙ 𝑦 = ‖?⃗? ‖‖?⃗? ‖𝑐𝑜𝑠𝜃, la cual es una definición alterna del producto escalar. Y de allí podemos obtener el ángulo 𝜃: 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑥 ∙ 𝑦 ‖?⃗? ‖‖?⃗? ‖ ⟹ 𝜃 = cos−1 ( 𝑥 ∙ 𝑦 ‖?⃗? ‖‖?⃗? ‖ ) Ortogonalidad: Si dado dos vectores 𝑥 y 𝑦 se dice que son ortogonales o perpendiculares si el producto escalar de ellos es igual a cero. 𝑥 ∙ 𝑦 = 0 ó 𝑥 ⊥ 𝑦 si y solo si 𝑥 ∙ 𝑦 = 0. Cosenos directores: Sea el vector 𝑣 = 〈𝑣1, 𝑣2, 𝑣3〉 perteneciente a ℝ 3 y los vectores básicos 𝑖 = 〈1,0,0〉; 𝑗 = 〈0,1,0〉; ?⃗? = 〈0,0,1〉, entonces 𝑣 = 𝑣1𝑖 + 𝑣2𝑗 + 𝑣3?⃗? , de aquí: Donde α, β, γ son los ángulos en dirección de 𝑣 Los cosenos directores son: 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑣1 ‖?⃗? ‖ ; 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑣2 ‖?⃗? ‖ ; 𝑐𝑜𝑠𝛾 = 𝑣3 ‖?⃗? ‖ ?⃗? ?⃗? = 𝑣1 ‖?⃗? ‖ 𝑖 + 𝑣2 ‖?⃗? ‖ 𝑗 + 𝑣3 ‖?⃗? ‖ ?⃗? = 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑗 + 𝑐𝑜𝑠𝛾?⃗? 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 = 1 Componentes de un vector: Sea ?⃗? y 𝑣 vectores no nulos y ?⃗? = ?⃗⃗? 1 + ?⃗⃗? 2 donde ?⃗⃗? 1 es paralelo a 𝑣 y ?⃗⃗? 2 es ortogonal a 𝑣 . 1. ?⃗⃗? 1es un vector que es combinación lineal del vector 𝑣 (esta sobre el vector 𝑣 , es un vector componente de ?⃗? sobre 𝑣 , también se llama Proyección de ?⃗? y se denota por: ?⃗⃗? 1 = 𝑃𝑟𝑜𝑦 ?⃗? ?⃗? . 2. ?⃗⃗? 2 es un vector ortogonal a 𝑣 , ?⃗⃗? 2 = ?⃗? − ?⃗⃗? 1, vecor componente de ?⃗? ortogonal a 𝑣 . 𝑥 𝑦 𝑥 − 𝑦 θ 𝑣 γ β α y x z 𝑗 𝑖 ?⃗? ?⃗⃗? 2 ?⃗? ?⃗⃗? 1 ?⃗⃗? 2 ?⃗⃗? 1 𝑣 θ 6 / 10 Teorema: (Proyección ortogonal utilizando el producto escalar). Si ?⃗? y 𝑣 son vectores no nulos, entonces la proyección de ?⃗? sobre 𝑣 viene dada por: ?⃗⃗? 1 = 𝑃𝑟𝑜𝑦 ?⃗? 𝑣 = ( ?⃗? ∙ 𝑣 ‖𝑣 ‖2 )𝑣 La proyección de ?⃗? puede escribirse como un múltiplo escalar de un vector unidad de 𝑣 . ?⃗⃗? 1 = ( ?⃗? ∙ 𝑣 ‖𝑣 ‖2 )𝑣 = ( ?⃗? ∙ 𝑣 ‖𝑣 ‖ ) 𝑣 ‖𝑣 ‖ = 𝑐 𝑣 ‖𝑣 ‖ Donde c es la componente de ?⃗? en la dirección de 𝑣 , luego: 𝑐 = ?⃗? ∙ ?⃗? ‖?⃗? ‖ = ‖?⃗? ‖𝑐𝑜𝑠𝜃. PRODUCTO VECTORIAL (CRUZ) DE DOS VECTORES: Def.: Dado dos vectores ?⃗? , 𝑣 ∈ ℝ3 donde ?⃗? = 〈𝑢1, 𝑢2, 𝑢3〉; 𝑣 = 〈𝑣1, 𝑣2, 𝑣3〉. El producto vectorial denotado ?⃗? × 𝑣 se define por: ?⃗? × ?⃗? = | 𝒊 𝒋 ?⃗? 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 | = (𝒖𝟐𝒗𝟑 − 𝒖𝟑𝒗𝟐)𝒊 − (𝒖𝟏𝒗𝟑 − 𝒖𝟑𝒗𝟏)𝒋 + (𝒖𝟏𝒗𝟐 − 𝒖𝟐𝒗𝟏)?⃗? Propiedades del Producto Vectorial: Si ?⃗? , 𝑣 , ?⃗⃗? ∈ ℝ3 y α ∈ ℝ, entonces: 1) ?⃗? × 𝑣 = −𝑣 × ?⃗? 2) ?⃗? × (𝑣 + ?⃗⃗? ) = ?⃗? × 𝑣 + ?⃗? × ?⃗⃗? 3) (?⃗? + 𝑣 ) × ?⃗⃗? = ?⃗? × ?⃗⃗? + 𝑣 × ?⃗⃗? 4) ?⃗? × (𝛼𝑣 ) = 𝛼(?⃗? × 𝑣 ) = (𝛼?⃗? ) × 𝑣 5) ?⃗? × ?⃗? = ?⃗? 6) ?⃗? × ?⃗? = ?⃗? 7) ?⃗? ∙ (𝑣 × ?⃗⃗? ) = (?⃗? × 𝑣 ) ∙ ?⃗⃗? = (?⃗⃗? × ?⃗? ) ∙ 𝑣 (Triple producto escalar). De acuerdo a la propiedad 5 tenemos: 𝑖 × 𝑖 = ?⃗? ; 𝑗 × 𝑗 = ?⃗? ; ?⃗? × ?⃗? = ?⃗? . Teorema: Dos vectores no nulos ?⃗? y ?⃗? se dice que son paralelos si y solo si el Producto Vectorial entre ellos es igual a cero, esto es: ?⃗? × 𝑣 = ?⃗? o ?⃗? = 𝛼𝑣 . El Producto Vectorial de cualquier par de vectores básicos 𝑖 , 𝑗 , ?⃗? se obtiene mediante lo siguiente: 𝑖 × 𝑗 = ?⃗? 𝑗 × ?⃗? = 𝑖 ?⃗? × 𝑖 = 𝑗 De acuerdo a la propiedad 1, se tiene: 𝑗 × 𝑖 = −?⃗? ?⃗? × 𝑗 = −𝑖 𝑖 × ?⃗? = −𝑗 ?⃗? 𝑣 ?⃗? × 𝑣 𝑣 𝜃 y x z 𝑗 𝑖 ?⃗? 7 / 10 Propiedades Geométricas del Producto Vectorial: 1) ?⃗? × 𝑣 es ortogonal tanto a ?⃗? como a 𝑣 . 2) ?⃗? × 𝑣 = ?⃗? si y solo si ?⃗? y 𝑣 son múltiplo escalar uno a otro o son paralelos (?⃗? ∥ 𝑣 ). 3) ‖?⃗? × 𝑣 ‖ = ‖?⃗? ‖‖𝑣 ‖𝑠𝑒𝑛𝜃: área del paralelogramo que tiene ?⃗? y 𝑣 como lados adyacentes. 4) |?⃗? ⋅ (𝑣 × ?⃗⃗? )|: volumen de un paralelepípedo con vectores ?⃗? , 𝑣 𝑦 ?⃗⃗? como lados adyacentes. Si ?⃗? = 〈𝑢1, 𝑢2, 𝑢3〉; 𝑣 = 〈𝑣1, 𝑣2, 𝑣3〉; ?⃗⃗? = 〈𝑤1, 𝑤2, 𝑤3〉, entonces: 𝑽 = |?⃗? ⋅ (?⃗? × ?⃗⃗⃗? )| = | 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒘𝟏 𝒘𝟐 𝒘𝟑 | RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO: Rectas en el Espacio: Supongamos que ℒ es una Recta en el espacio, que pasa por el punto 𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) y es paralela a un vector ?⃗? diferente de cero. Donde: ?⃗? = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐?⃗? o ?⃗? = 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 Entonces ℒ es el conjunto de los puntos 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) para los cuales el vector 𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ es paralelo al vector ?⃗? , lo que indica que el punto P esta sobre la recta ℒ si y solo si 𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑡?⃗? , esto es: 〈𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0〉 = 𝑡〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 ⟹ 〈𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0〉 = 〈𝑎𝑡, 𝑏𝑡, 𝑐𝑡〉 𝑥 − 𝑥0 = 𝑎𝑡 𝑦 − 𝑦0 = 𝑏𝑡 𝑧 − 𝑧0 = 𝑐𝑡 } ⟹ 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒂𝒕 𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒃𝒕 𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝒄𝒕 } Ecuaciones Paramétricas de la Recta ℒ con un punto 𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) y el parámetro 𝑡. ?⃗? es el vector director de la recta ℒ, los números 𝑎, 𝑏, 𝑐 son números directores. Si estos números son no nulos, entonces: 𝑎𝑡 = 𝑥 − 𝑥0 ⟹ 𝑡 = 𝑥−𝑥0 𝑎 ; 𝑏𝑡 = 𝑦 − 𝑦0 ⟹ 𝑡 = 𝑦−𝑦0 𝑏 ; 𝑐𝑡 = 𝑧 − 𝑧0 ⟹ 𝑡 = 𝑧−𝑧0 𝑐 𝒙−𝒙𝟎 𝒂 = 𝒚−𝒚𝟎 𝒃 = 𝒛−𝒛𝟎 𝒄 } Ecuación simétrica de la recta 𝓛. Distancia de un Punto a una Recta en el Espacio: La distancia de un punto 𝑄(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) a una recta en el espacio está dada por: 𝑫 = ‖𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ×?⃗⃗? ‖ ‖?⃗⃗? ‖ = ‖𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖𝒔𝒆𝒏𝜽. ?⃗? 𝑣 ?⃗⃗?