Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas - Prof. Rioboo Leston, Diapositivas de Estadística

¡Descarga Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas - Prof. Rioboo Leston y más Diapositivas en PDF de Estadística solo en Docsity! 1 1 TEMA 9 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS 2 PROGRAMA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Tema 1: Análisis estadístico unidimensional Tema 2: Análisis estadístico bidimensional Tema 3: Números índices Tema 4: Introducción a las series temporales TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Tema 5: Teoría de la probabilidad. Aspectos generales Tema 6: Variables aleatorias unidimensionales Tema 7: Variables aleatorias bidimensionales Tema 8: Características de las distribuciones de probabilidad Tema 9: Distribuciones de probabilidad discretas y continuas Tema 10: Convergencia 2 3 OTROS EJEMPLOS 1. Familiarizarse con el uso de familias de distribuciones de probabilidad continuas y discretas. 2. Identificar las propiedades o características de las distribuciones de probabilidad de v.a. discreta y continuas más comunes. 3. Calcular probabilidades asociadas con sucesos específicos para las distribuciones que se estudian en el tema. 4. Utilizar las tablas de las distribuciones más comunes para calcular probabilidades. PRINCIPA E OBJETIVOS DEL TEMA OTROS EJEMPLOS • Distribuciones discretas. • Distribuciones continuas. • Tablas. PRINCIPA E CONCEPTOS DEL TEMA 4 OTROS EJEMPLOS 1- Introducción. 2- Distribuciones de probabilidad discretas 2.1- Distribución Binomial (0,1) o de Bernoulli 2.2- Distribución Binomial (n,p) 2.3- Distribución de Poisson (λ) 3- Distribuciones de probabilidad continuas 3.1- Distribución uniforme continua 3.2- Distribución Normal 3.3- Distribución Chi-cuadrado 3.4- Distribución F de Snedecor 3.5- Distribución t de Student ESTRUCTURA DEL TEMA 5 9  Se relaciona con un experimento de etapas múltiples  Un experimento binomial tiene cuatro propiedades: 1. El experimento consiste en una sucesión de n intentos idénticos. 2. En cada intento son posibles 2 resultados. Éxito o Fracaso. 3. La probabilidad de éxito, representado por p, no cambia de un intento a otro. En consecuencia, la probabilidad de fracaso, (1-p), no cambia de un intento a otro. Supuesto de estacionariedad. 4. Los intentos son independientes. ),1( ),(...21 pBiid pnB i n     2.2- Distribución Binomial (n,p) 10 Supongamos que el experimento consta de n intentos y definamos la variable aleatoria: X = Número de veces que ocurre A. En nuestro ejemplo: X = Número de veces que sale cara. Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n. Si consideramos que en x de los n intentos ocurre A y en n - x no, entonces la probabilidad de cada posible ordenación es pxqn-x y existen idénticas ordenaciones. Donde las permutaciones con repeticiones se obtienen: Función característica:       x n  nitpeqt )( )!(! ! xnx n x n        6 11 -- Función de cuantía: -- Momentos: Dado que xnxxnxxnx pp xnx n pp x n qp x n xP                 )1( )!(! ! )1()( npqpqpq VVVV nppp EEEE nn nn     ... )(...)()...()( ... )(...)()...()( 11 11   ),1( pBiidi  12 -- Probabilidad máxima o valor modal: Será el que verifique la siguiente desigualdad: Dado que este intervalo tiene amplitud igual a la unidad: a) Si los extremos no son nºs enteros la Mo será el único entero del intervalo. b) Si los extremos son enteros la distribución será bimodal pnpMoqnp  1)(  qpqnppnpL       pnp qnp Mo 7 13 -- Propiedad aditiva o reproductiva: Es reproductiva en el parámetro p. Sean n v.a. independientes ),( ),( 11 pnB pnB n i i n i i ii       14 Es una distribución de probabilidad que muestra la probabilidad de x ocurrencias de un evento en un intervalo especificado de tiempo o e espacio Las propiedades de un experimento de Poisson son:  La probabilidad de una ocurrencia es igual en dos intervalos cualesquiera de igual longitud  La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo Se utiliza como aproximación al modelo binomial cuando n es grande y p pequeño (ley de los sucesos raros), de ahí que sea conocida también como “la distribución de los sucesos raros”. p < 0.1 np < 5, tomando como parámetro λ = np 2.3- Distribución de Poisson (λ) 10 19 3- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS 20  Es una distribución continua en la que la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un valor en cualquier intervalo es igual para todo intervalo de igual longitud.  Siempre que la probabilidad sea proporcional a la longitud del intervalo, la variable tiene distribución uniforme.  La distribución uniforme o rectangular tiene densidad constante en un intervalo [a, b] y vale 0 fuera del mismo. ( )f x  1 0 b a      a x b x    3.1- Distribución Uniforme continua a b f(x) 11 21 Para este tipo de distribución: 12 )( )( 2 )( )( ),( 2ab V ba E bxa ab ax xF baU             )( )( abit ee t itaitb    22  De Moivre publicó en 1733 la Doctrina de las Probabilidades y dedujo la distribución normal de probabilidad como aproximación de la Binomial.  Gauss (1809) y Laplace (1812) le dieron el gran impulso.  Es la distribución continua más importante de probabilidad, ya que gran parte de los fenómenos aleatorios la tienen como patrón matemático.  Es la distribución límite de multitud de sucesiones de v.a. discretas y continuas.  De ella derivan: Chi-cuadrado, t-Student y F-Snedecor.  La función de densidad normal de probabilidad se expresa como: 3.2- Distribución Normal 2 2( ) / 21( ) 2 xf x e          Esperanza Desviación estándar   x 12 23 MOMENTOS RESPECTO A LA MEDIA: -- Todos los momentos de orden impar respecto a la media nulos. -- En cuanto a los momentos de orden par, destacamos: ASIMETRÍA Y CURTÓSIS: 03 0 4 4 2 3 3 1         4 4 3  2 2 1 )()( )( 2 1 )( ,2 1 )( ),( 22 22 2)( 22 2)(                        VE et xdxexF x exf N tit x x x Gráfica de Distribución Normal 15 29                 n j j n j j n j jn j jj iid j N ba N 1 2 1 1 21 , ... 0,1 ),(    Casos particulares: 30 ),( ... 0,1 ),( 1 21 nnN ba N n j jn j iid j          Casos particulares: 16 31                         nn N nn ba N n j j n j j n j j n j jj iid j 1 2 1 121 , ... 0,1 ),(       Casos particulares: 32               n N nn ba N n j j n j iid j       , ... 0,1 ),( 121 Casos particulares: P(Z 3 a)> Tablas P(Z>a)=1-P(Z <a) Pla<Z <b)= P(Z<b)-P[Z <a) Uh LL 5 z o HA s 17 20 39   2 )( 0 1 2 2 1 )( ... )1,0( 2 1 2 )( )1,0( 22 2 2 1 0 2 )(                                  n n V E n x n n n xf t n N n n n N n iid j n          Sean n+1 v.a. iid N(0,1) 3.4- Distribución t de Student 40 Grad. de libertad 10 t de Student Distribución -6 -4 -2 0 2 4 6 x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 d e n s id a d Está tabulada ,nt   )( ,nn ttP 21 n n n z t   2 )1,0( n Nz   Normal Chi-cuadrado de n grados de libertad 21 41 Sean n+M v.a. iid N(0,σ)   4 )4()2( )2(2 )( 2 )( 22 2 )( ... ... ),0( 2 2 2 1 2 22 ),( 22 2 2 1 22 2 2 1                                     nsi nnm nmn V n n E mxnx nm nm nm xf F n m N nmm nm nm n m iid j        3.5- Distribución F de Snedecor 42 Numerador g.l.,Denominador g.l. 10,10 F (índice de varianza) Distribución 0 1 2 3 4 5 x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 d e n s id a d Está tabulada pnnF ,, 21 pFFP pnnnn  )( ,,, 2121 2 2 1 2 , / / 2 1 21 n n F n n nn    2 1n  2 2n  Chi-cuadrado con n1 grados de libertad Chi-cuadrado con n2 grados de libertad