Análisis de Frecuencia en Hidrología: Distribuciones Discretas y Continuas, Esquemas y mapas conceptuales de Matemáticas

¡Descarga Análisis de Frecuencia en Hidrología: Distribuciones Discretas y Continuas y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Matemáticas solo en Docsity! ANALISIS DE FRECUENCIA EN HIDROLOGIA (3) Profesor Luis F. Carvajal Universidad Nacional de Colombia Facultad de Minas Escuela de Geociencias y Medio Ambiente Distribuciones de Probabilidad * Distribuciones discretas - Distribución Binomial - Distribución Poisson - Distribución Geométrica * Distribuciones continuas - Distribución Exponencial - Distribución Normal - Distribución Log Normal - Distribución Gamma - Distribución Log Pearson tipo !l!! - Distribución General de Valor Extremo n! n Xx xl(n- x)! p es la probabilidad de ocurrencia de un evento, por ejemplo la probabilidad de éxito en lanzar una moneda, q es la probabilidad de falla. q =1- p x es la variable o el número de ensayos con éxito. 5D la tol tr Suponga que una presa tiene una vida útil de 50 años y se desea evaluar la probabilidad que una inundación, con un periodo de retorno de 100 años, ocurra una vez durante la vida útil de la presa. p =1/T =0.01 q =1- p =0.99 50 x=1 pú) = ; 0.1'0.99% =0.306 n=50 Por lo tanto, es alrededor de 31% de probabilidad que un evento de tal magnitud pueda ocurrir una vez en la vida útil de la presa Distribución Poisson Una expansión binomial es un pequeño inconveniente para calcular números grandes. . Pes pequeño (p < 0.1) * nes grande (n > 30) + La media np es constante. * p>0,1q>1,n>0 Ne? (p+q > e! e =e*+21e ?+ he. 2! Esta es conocido como la expansión Poisson y es generalmente escrita como: xp A _ e px) = x! DOTA MCU er RECORDANDO: En una secuencia de Bernoulli, el número de ensayos hasta que un evento específico ocurra por primera vez es modelado por la distribución geométrica. Éxito = ensayo t+n Falla => ensayo t - 1 Si T => v.a. apropiada: P(T =0) =pq'* t=1,2,.... Periodo de retorno > Tiempo de recurrencia promedio para que un evento de cierta magnitud sea igualado o excedido. DISTRIBICIONES DE 6 ROBABILIDAD CONTINUA DOTA dd de Consideraciones: + Proceso de eventos aleatorios (los parámetros no cambian con el tiempo). + No es posible tener mas de un evento en cualquier instante. » Descripción de un proceso Poisson. * Lav.a.t representa el tiempo entre tormentas. f(0) =1e",t0 Función de Densidad£(t) =1/2 La media es: o” (t) =1/2% La varianza es: La función de distribución acumulada es: F(0) = [2e “dr =1- e* DEIA TN ol En general, cuando la variable aleatoria X es el producto de un gran número de otras variables aleatorias, la distribución de los logaritmos de X puede aproximarse a la Normal, ya que los logaritmos de X son la suma de los logaritmos de los factores contribuyentes. Si se tiene una variable aleatoria X y In X = Y, se ajusta a una distribución Normal, se dice que la variable aleatoria X es log normalmente distribuida. Asumiendo Y = log, (X) A IIA Al AS AE + Media (Parámetro de escala) + Desviación estandar (Parámetro de forma) yz | Inox) My +Koy Kes la misma de la distribución normal 10 y Ay =y2199.%) Sy = [2 lioa.xo- My Si se quiere trabajar con la variable no transformada en el campo logarítmico se tiene que: o exilio roy Cv - 1 gm ño [2 Es el inverso de la función de distribución -1 . F, 1-7 — Normal estandarizada acumulada y Cv es el coeficiente de variación 1 * Intervalos de confianza a: Nivel de confianza o significancia S,: Error estándar Inox) HU a/2 Sr OY 3 Il E + y NZL Distribución Gamma (2 Parámetros) Una de las mas usadas en Hidrología. B-1 — 1 se Crecientes máximas anuales fla x)= |a | r(6 rl | e Caudales mínimos Volúmenes de flujo anuales y estacionales Valores de precipitaciones extremas Volúmenes de lluvia de corta duración Tiene 2 ó 3 parámetros (Pearson Tipo I1!). A IIA Al AS AE Y a (Parámetro de escala) 00 Y B > 0 (Parámetro de forma) T(P) = f27 e*dz V T (P) es la función Gamma completa Estimación de parámetros: Método de los momentos u=ap p= * o? =a%p a = KK, HKE- y ¿MK ely 0-1) my EH Distribución Gamma (3 Parámetros) - Función de distribución de probabilidad ! op [a] (8) - Función de densidad acumulada X-Xo X-Xo fo) = a =] P(X <x) = L vel e 0 B-1 Xx Xo dx O a(6) *- Parámetros a y B, parámetros de escala y forma respectivamente. X. parámetro de localización. T(B) = f27*e*dz O VENTE MERA MTL Y T,=2 T,=5 T,=10 | T,=20 | T,=50 | T,=100 0.0 1.0801 11608 | 1.3748 | 16845 | 2.1988 | 2.6363 0.1 1.0808 | 1.2006 | 114367 | 1.7810 | 2.3425 | 2.8168 0.2 1.0830 | 1.2300 | 1.4080 | 1.8815 | 24086 | 3.0175 0.3 1.0865 | 12609 | 15610 | 1.9852 | 2.6656 | 3.2365 0.4 10913 | 12905 | 1.6227 | 2.0915 | 2.8423 | 3.4724 0.5 1.0087 | 131908 | 16838 | 21908 | 3.0277 | 3.7238 0.6 1.1073 | 13492 | 1.7441 2.3004 | 3.2209 | 3.9895 0.7 11179 | 13785 | 18032 | 24108 | 3.1208 | 4.2684 0.8 1.1304 | 14082 | 1.8609 | 2.5303 | 3.6266 | 4.5595 0.9 1.1449 | 14385 | 1.9170 | 2.6403 | 3.8374 | 4.8618 1.0 11614 | 14699 | 10714 | 2.7492 | 4.0522 | 5.1741 1.1 1.1799 | 15030 | 2.0240 | 2.8564 | 4.2699 | 5.4952 1.2 1.2003 | 15382 | 2.0747 | 2.9613 | 4.499 | 5.8240 1.3 1.2223 | 15764 | 2.1237 | 3.0631 | 4.7100 | 6.1592 1.4 1.2157 | 16181 | 2.1711 3.1615 | 4.9301 | 6.4992 15 1.2701 1.6643 | 2.2173 | 3.2557 | 5.1486 | 6.0427 1.6 1.2052 | 1.7157 | 2.2627 | 3.3455 | 5.3644 | 7.1881 17 1.3204 | 17732 | 2.3081 3.4303 | 5.5761 | 7.5339 1.8 1.3452 | 18374 | 2.3541 3.5100 | 5.7827 | 7.8783 1.9 1.3690 | 1.9091 | 24018 | 3.5844 | 5.9829 | 8.2196 2.0 13013 | 10888 | 24525 | 3.6536 | 6.1755 | 8.5562 JETA MER Hallar el Qrr-100. Si la distribución de los caudales de la estación de Nare es Gamma. p = 94,35 m/s y O = 22.45 m/s, y = 0.845 Hy= 4.52 y 0y= 0.2337, yy= 0.0069 De tabla: K= 2.32 Qrr=100 = 94.35 + 2.32*22.45 = 146.4 Intervalos de confianza: Xr Hu, 0/2 Sr De tabla 56=4.7, N= 36 datos. —> ¿Y Sr =5— T ÁN S, = 17.6 De tabla uos=1.6 146,4+ 1.6*17.6 146.4 + 28.16 m3/s Distribución General de Valor Extremo Los valores extremos son valores máximos y mínimos seleccionados de un conjuntos de datos. Las distribuciones de valores extremos seleccionados de conjuntos de muestras de cualquier distribución de probabilidad convergen en una de las tres formas de distribución de valor extremo, llamadas: Tipo |: Gumbel, g=1.14 Tipo Il: Frechet g<=1.14 Tipo lIl: Weibull g>=1.14 F(x) = exp| - 1 Función de Distribución pl para la GEV Donde: x, By a.son parámetros que deben ser determinados. Los tres casos limitantes son: 1. xk =0-> Distribución de Valor Extremo Tipo | (Gumbel) x-B a x-P Q 1) = 1 exp -eXp a Rango: - 0<X<00 > 6 Estimación de parámetros =x- 0.57720 q 6, T 2.x« < 0 > Distribución de Valor Extremo Tipo ll (Frechet) 1) = exp| -|1-k x- BP Bl q Rango: (B+a/k)<x<o 3.x > 0 > Distribución de Valor Extremo Tipo !Il (Weibull) 16) = exp|-| 1-k x- BP Bl a Rango: - %<x<(fP+a/k)