Examen final de Cálculo Diferencial de la asignatura Matemáticas del curso 2010-11 - Prof., Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Examen final de Cálculo Diferencial de la asignatura Matemáticas del curso 2010-11 - Prof. y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Introducció al Càlcul Diferencial Matemàtiques Examen Final (Primera Part) Curs 2010-11 ESCRIVIU LA RESPOSTA A CADA PREGUNTA EN UN FULL DIFERENT ESCRIVIU ELS VOSTRES NOM, COGNOMS I GRUP EN CADA FULL 1. Considereu la funció definida per f(x) = √ 4− x2 x2 − 9 . (a) Calculeu el domini de f , D(f). (b) Calculeu el recorregut de f . Indicació: Feu la divisió entera del polinomi 4− x2 entre el polinomi x2 − 9. (c) Comproveu que f/D(f)∩[0,+∞) és injectiva. (d) Calculeu la inversa de f/D(f)∩[0,+∞). Justifiqueu detalladament les respostes. 2. Per a cada α, β ∈ R considerem la funció f(x) =  x2 sin(1/x), si x < 0, xα√ 1 + x− 1 , si 0 < x < 1, βx2, si x ≥ 1. a) Proveu que f és cont́ınua en cada punt a ∈ R \ {0, 1}. b) Determineu per a quins α, β ∈ R és possible definir el valor f(0) a fi que la funció f sigui cont́ınua a tot R. Justifiqueu detalladament les respostes. 3. (a) Definiu el concepte de ĺımit finit d’una funció en un punt finit. (b) Demostreu que si a ∈ R, f : R→ R és una funció acotada i g : R→ R és una funció tal que lim x→a g(x) = 0, aleshores lim x→a f(x)g(x) = 0. ESCRIVIU LA RESPOSTA A CADA PREGUNTA EN UN FULL DIFERENT ESCRIVIU ELS VOSTRES NOM, COGNOMS I GRUP EN CADA FULL