Física condición de equilibrio interno, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Física condición de equilibrio interno y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 94 Apunte teórico: Unidad 4 DISEÑO DE INTERIORES Y MOBILIARIO 2023 MATEMÁTICA COMPOSITIVA Contenidos Esfuerzos y deformaciones; conceptos de tracción, compresión, flexión, torsión y corte. Deformación Elástica. Estudio de aplicaciones sobre mobiliario. Transformaciones rígidas del plano: Simetrías. Reflexiones. Traslaciones. Rotaciones. Análisis, reproducción, ampliación. Construcciones de frisos. Análisis, reproducción, ampliación y construcción de mosaicos, teselados y frisos utilizando diferentes formas y transformaciones geométricas. Morfología de obras artísticas como las de Escher, las de la Alhambra de Granada y otras Composición de movimientos. Escher Teselados M.C. Escher Symmetry Drawing (1948) APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 95 ESFUERZOS "Una estructura es un conjunto de elementos unidos entre sí, con la misión de soportar las fuerzas que actúan sobre ellos." Los elementos de cualquier estructura deben de aguantar, además de su propio peso, otras fuerzas y cargas exteriores que actúan sobre ellos. Dependiendo de su posición dentro de la estructura y del tipo de fuerzas que actúan sobre ellos, los elementos o piezas de las estructuras soportan diferentes tipos de esfuerzos. Entonces podemos decir que hay dos tipos de fuerzas en las estructuras: Fuerzas exteriores (las que necesitan soportar) a las que se denominan CARGAS y las Fuerzas interiores que se denominan ESFUERZOS, que son las que se generan por reacción de las fuerzas externas. Las cargas se clasifican en: - Cargas Fijas: las que no varían sobre la estructura. Siempre tienen el mismo valor. Por ejemplo, el propio peso de la estructura y el de los cuerpos que siempre están en la estructura. - Cargas Variables: las que pueden variar con el paso del tiempo. Ejemplos: la fuerza del aire, el peso de la gente, etc. Por ejemplo en el caso de un depósito de agua como el de la figura. - Cargas Fijas: peso de la estructura y el peso del depósito. - Cargas Variables: fuerza del viento y el peso del agua porque varía según el nivel que este. El esfuerzo es la fuerza interna que experimentan los elementos de una estructura cuando son sometidos a fuerzas externas. Los elementos de una estructura deben soportar estos esfuerzos sin romperse ni deformarse. APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 98 2) ESTABLE: es decir que no vuelque cuando está sometida a fuerzas externas. Se puede conseguir haciendo más ancha la base, o colocando tirantes. 3) RESISTENTE: es decir que cada elemento de la estructura sea capaz de soportar el esfuerzo al que se va a ver sometido (que no rompa). La combinación del tamaño, la forma y el material de cada elemento es lo que hará que soporten los esfuerzos. Para que aguanten más las vigas o tirantes se construyen con perfiles (formas). 4) LO MAS LIVIANA POSIBLE, así ahorraremos en material, tendrá menos cargas fijas y será más barata. Hay elementos que solo cambiando su forma son más ligeros y aguantan incluso más peso. Por ejemplo, la forma de las vigas, tirantes o barras se llama perfil. Aquí tienes algunos ejemplos de los perfiles de los diferentes tipos metálicos más comunes: El perfil en H y en T son de los más usados, ya que con poco material aguantan grandes esfuerzos. DEFORMACIONES Una fuerza sobre un objeto tiende a deformarlo, la deformación producida dependerá de la dirección, sentido y punto de aplicación donde esté colocada esa fuerza. Normalmente, cuando construimos una estructura lo hacemos para que ésta no se deforme cuando esté en uso. Sin embargo, hay algunas estructuras que su trabajo lo ejercen deformándose y recuperando más tarde su forma original, por ejemplo, camas elásticas, puffs, etc. Cuando un material se somete a una carga experimenta un esfuerzo y sufre una deformación. La deformación es el cambio en alguna o de algunas de sus dimensiones. Se puede medir en unidades de longitud (elongación), área o volumen. Por ejemplo: Δl, ΔS, ΔV APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 99 Cada uno de los tipos de solicitación puede provocar una deformación diferente sobre la pieza estructural. Todas las deformaciones, junto con las tensiones, en el límite causan la rotura de la pieza. Además, las deformaciones, si son demasiado grandes, modifican el modo de funcionar de la estructura. Lo anterior puede hacer que se modifiquen las condiciones de equilibrio. A continuación, enumeramos las deformaciones asociadas a cada uno de los tipos de solicitaciones (esfuerzos) en una estructura: 1. Normal (Tensión o tracción) genera acortamiento o alargamiento. 2. Cortante genera distorsiones angulares de la pieza. 3. Flexión genera la curvatura de la pieza estructural. 4. Torsión genera que se retuerza la pieza alrededor de su eje. Deformación unitaria: como la deformación está en relación con la magnitud asociada, por ejemplo no es lo mismo una deformación de 2 mm en el espesor de un aro 1 cm, que en un riel metálico de 1 Km de longitud. Para dar cifras significativas se define la deformación unitaria como la relación: 𝜀 = ∆𝑙. 𝑙0 Donde ∆𝑙 = 𝑙𝑓 − 𝑙0 con 𝑙𝑓: longitud final y 𝑙0 : longitud inicial La deformación también se expresa en tanto por ciento (%). APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 100 PROPIEDAD ELÁSTICA DE LOS MATERIALES Existen sólidos rígidos en los cuales la distancia entre dos puntos cualesquiera es constante, estos materiales no se deforman. Pero, en realidad, ocurre que cuando sobre un material se aplica una fuerza éste sí se deforma. La deformación depende del tipo de material (propiedades microscópicas), de la fuerza aplicada (módulo, dirección, sentido), del tiempo de aplicación, de las condiciones termodinámicas (temperatura, presión, …), etc. CUERPOS ELÁSTICOS Un cuerpo elástico es aquel que luego de aplicarle una fuerza, no presenta deformaciones permanentes, es decir el proceso es completamente reversible. Un cuerpo inelástico o plástico queda con deformación permanente después de desaparecer la fuerza, ejemplo la plastilina. Todos los materiales estructurales son elásticos en cierto grado. Si no lo fueran y quedará en la estructura una deformación residual una vez retiradas las cargas, nuevas cargas incrementarían dicha deformación y la estructura quedaría inutilizada. Ningún material estructural es perfectamente elástico: según el tipo de estructura y el tipo de cargas, las deformaciones permanentes son inevitables cuando las cargas sobrepasan ciertos valores. LEY DE HOOKE Robert Hooke (1635-1703), físico-matemático, químico y astrónomo inglés, fue el primero en demostrar el comportamiento sencillo relativo a la elasticidad de un cuerpo. Hooke estudió los efectos producidos por las fuerzas de tensión (por tracción), observó que había un aumento de la longitud del cuerpo que era proporcional a la fuerza aplicada. CURVA ESFUERZO-DEFORMACIÓN σ = f(ε) Las magnitudes (esfuerzo y deformación) que se representan en el gráfico, que se muestra en la figura, siguiente se han obtenido en un ensayo de tracción en una varilla a medida que se aumentaba la carga. Al principio del estiramiento, hasta el punto “A”, la deformación es proporcional al esfuerzo, es zona de validez de la Ley de Hooke, primer tramo recto, esto ocurre hasta que el esfuerzo aplicado alcanza un valor llamado “Límite de proporcionalidad” . Hasta este límite la relación entre la deformación unitaria y el esfuerzo es lineal. Más allá del límite de proporcionalidad la gráfica se desvía, cambia su pendiente, a APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 103 horizontal que existe entre el punto B y el C. La fragilidad se relaciona con deformación y se mide en % de deformación para una carga dada. Dureza. La dureza de un material es el resultado de muchas propiedades, entre ellas la resistencia a la compresión, el límite elástico, ductilidad y resistencia a la abrasión, por lo que es difícil de definir. La definición más adecuada de dureza es la oposición que realiza un material a ser penetrado, hendido o rayado. Para medir la dureza de un material se utiliza el durómetro o microdurómetro y consiste en medir la huella que se produce en el material al ser penetrado por un indentador duro. Lo contrario de duro es Blando y en este caso la huella será más grande. Resistencia al desgaste: El desgaste de un material es la pérdida de estructura superficial del mismo. El desgaste puede ser de origen mecánico, debido al raspado de la superficie por sustancias abrasivas (desgaste abrasivo) o a tensiones intermitentes o microtraumatismos (desgaste por fatiga) y de origen químico por disolución o corrosión (desgaste erosivo). En la resistencia al desgaste influye la dureza del material y también su estructura interna. Todas estas propiedades no se dan de manera absoluta ni aisladas dentro de cada material. El comportamiento mecánico de un material dado estará en función de la combinación y proporción de sus componentes. Ejemplo Determine el alargamiento de una barra de acero al carbono de diámetro 1 cm con longitud 60 cm sometida a una carga de tracción de 1000 N. TENSIÓN AXIAL 𝜎 = 𝐹 𝐴 DEFORMACIÓN AXIAL 𝜀 = ∆𝑙 𝑙0 1°) Calcular la Tensión Axial 𝜎 = 𝐹 𝐴 F: Fuerza de tracción que es dato. Entonces F = 100 N A: Es el área de la sección perpendicular a la fuerza, en este caso es circular de diámetro 1 cm A=πr2 donde r = 0,5 cm A= π (0,5 cm)2=π (0,005 m)2= 0,000079 m2 APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 104 𝜎 = 𝐹 𝐴 = 100𝑁 0,000079𝑚2 = 12658223 𝑁 𝑚2 = 1,26.107 𝑁 𝑚2 2°) Calcular la deformación unitaria por la ley de Hooke. 𝜎 = 𝐸. 𝜀 → 𝐸 = 𝜎 𝜀 De la tabla el Módulo de Young del Acero al Carbono es E = 20.1010 𝑁 𝑚2 1,26 . 107 𝑁 𝑚2 2.1011 𝑁 𝑚2 =ε 0,000063=ε 3°) Calcular el alargamiento. 𝜀= ∆𝑙 𝑙0 → 𝜀. 𝑙0 =∆L , entonces 0,000063.0,6 m=∆L ∆L= 0,0000378 m = 0,0378 mm = 37,8 μm El alargamiento que sufre es de aproximadamente 38 micrómetros. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL PLANO Una transformación del plano es una aplicación del plano en el mismo. Esto significa que es un procedimiento que, a todo punto M del plano, asocia un punto M’ y uno solo. Se dice que M’ es la imagen de M por la transformación. Así, mediante operaciones geométricas se generan nuevas figuras a partir de la figura original dada. La transformada se llama homóloga de la original. Clasificación de las transformaciones geométricas según el aspecto de la figura homóloga respecto a la original: ● Isométricas: cuando conservan las dimensiones y los ángulos. Se denominan también movimientos en el plano y son: simetría central y axial, traslación y rotación. Estas transformaciones generan figuras congruentes. ● Isomórficas: cuando conservan la forma de la original (los ángulos). Existe proporcionalidad entre las dimensiones de la figura original y de la homóloga (en la Unidad 4 veremos la homotecia). Esta transformación genera figuras semejantes. ● Anamórficas: cuando cambia la forma de la figura original. Ej.: Las Proyecciones. Se denominarán elementos dobles, a los homólogos de sí mismos en una misma transformación. En esta unidad se desarrollarán las transformaciones isométricas y las anamórficas. Transformaciones isométricas en el plano Estudiaremos aquí algunas transformaciones del plano y más particularmente las simetrías axiales y centrales, rotaciones y traslaciones. Para cada una de ellas daremos una definición “ingenua” (y en general útil para APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 105 reconocer si dos figuras se deducen una de la otra por esta transformación), una definición matemática y también sus propiedades. 1. La simetría axial (o simetría ortogonal en relación a una recta) 1.1 Definición “ingenua” 1.2 Definición matemática El simétrico de un punto M en relación a una recta (D) es el punto M’ tal que (D) sea la mediatriz del segmento MM’ si M no pertenece a (D); y es el mismo punto M si M pertenece a (D). M es también el simétrico de M’ en relación a (D). Se dice que M y M’ son simétricos. Se habla igualmente de figuras simétricas. Todos los puntos del eje de simetría son su propia imagen; se dice que son invariantes. 1.3 Métodos de trazado del simétrico de un punto en relación a una recta. Hay dos métodos que corresponden al trazado de la mediatriz de un segmento. Una figura (F’) es la simétrica de una figura (F) con relación a una recta (D) si cuando se pliega la hoja por (D), (F) y (F’) se superponen (por ejemplo por transparencia). Simbólicamente: SDM= M´ Se lee: simetría de eje D APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 108 2.3 Métodos de trazado del simétrico de un punto en relación a un punto. 2.4. Propiedades de la simetría central Si uno se refiere a la definición ingenua, sus propiedades son evidentes. ● La imagen de una recta por una simetría central es una recta. Se dice que la simetría central conserva la alineación. Contrariamente a lo que sucede en una simetría axial, la simetría central transforma una recta en otra paralela. ● La imagen de un segmento por una simetría central es un segmento de la misma longitud. Se dice que la simetría central conserva las longitudes. ● La imagen de un ángulo por una simetría central es un ángulo de igual amplitud. Se dice que la simetría central conserva los ángulos. ● La imagen del punto medio de un segmento por una simetría central es el punto medio de la imagen de ese segmento. Se dice que la simetría central conserva el punto medio. Estas propiedades permiten construir el simétrico de un polígono. Es suficiente trazar el simétrico de cada uno de los vértices del polígono y luego unir los puntos obtenidos (en el mismo orden). Permiten también decir que el simétrico de un círculo es un círculo de igual radio cuyo centro es el simétrico del centro dado. 2.5. Centro de simetría Una figura (F) admite un centro de simetría C si el simétrico de todo punto de (F) pertenece a (F). Un único método: Con regla y compás ( o regla graduada) Se traza la semirrecta MC Se ubica el punto M’ sobre esta semirrecta con el compás tal que MC=M’C SCM=M´ Se puede utilizar la definición 2.1 imaginando pivotear 180º la figura alrededor de un punto y verificar mentalmente que ella se superpone con la figura en la posición de partida. Se puede trazar con precisión el centro de simetría, si existe, tomando dos puntos de la figura que se consideran simétricos y determinando el medio del segmento que determinan. Hay que verificar luego que este punto es el centro de simetría de la figura. Si una figura, con segmentos en algunos de sus lados, admite un centro de simetría, entonces estos segmentos son paralelos dos a dos. Por lo tanto si un polígono no tiene lados paralelos dos a dos no tiene centro de simetría. SOM=M´ APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 109 Centro de simetría de las figuras Una figura tiene centro de simetría si al trazar una recta desde un punto de la figura al centro de simetría y prolongarla, se obtiene a igual distancia del centro otro punto de la misma figura. Tienen centro de simetría las siguientes figuras: el cuadrado, el rectángulo, el rombo, el paralelogramo, los polígonos regulares con número par de lados, la circunferencia, etc. 3. La rotación Una rotación es una transformación que asocia a cada punto del plano una imagen de acuerdo a un punto llamado centro de rotación y a un ángulo que podemos llamar ángulo de giro. Definir una rotación necesita en principio definir su “sentido”. Se habla de sentido antihorario si se gira o rota en el sentido inverso al movimiento de las agujas de un reloj. La medida de un ángulo de sentido antihorario es positivo y la de un ángulo de sentido horario es negativo. Se habla de un ángulo de + 45° (o simplemente 45°) o – 45°. Simbólicamente se escribe: 𝑅(𝑂,𝛼) que se lee: rotación de centro O y ángulo 𝛼. Rotaciones horarias o negativas Rotaciones antihorarias o positivas Ángulos positivos R(o; α)ABC=A´B´C´ (ángulo negativo) 3.1 Definición “ingenua” Una figura (F’) es la imagen de una figura (F) por una rotación de centro C y de ángulo α de sentido horario (o antihorario) si cuando se hace rotar la figura (F) un ángulo α de sentido horario (o antihorario) alrededor de C , ella se superpone con (F’). R(o; Ø)M=M´ APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 110 3.2 Definición matemática Dado un ángulo α (de sentido horario o antihorario) y un punto C, la imagen del punto M por la rotación de centro C y ángulo α es el punto M’ tal que CM’=CM y el ángulo ( CM,CM’) = α (de sentido horario o antihorario) si M es distinto a C, y es el punto M si M es C. La rotación de centro C y de ángulo α se designa 𝑅(𝐶,𝛼). Si M’ es la imagen de M por 𝑅(𝐶,𝛼) se escribe : M’ = 𝑀′ = 𝑅(𝐶,𝛼)(𝑀). En particular cuando α es 180° se trata de una simetría de centro C y en este caso la precisión del sentido de rotación no tiene importancia. 3.3 Métodos de trazado de la imagen de un punto por una rotación de centro C y ángulo α. 1-Se traza la semirrecta [C,x), tal que (CM,Cx)=α 2-Se ubica con el compás el punto M’ sobre [C,x) tal que CM=CM’ Observación: Si M’ es la imagen de M por una rotación de centro C, entonces C pertenece a la mediatriz del segmento MM’ porque CM=CM’ (propiedad de la mediatriz) R(C; Ø)M=M´ 3.4 Propiedades de las rotaciones La rotación transforma una recta en una recta, conserva las distancias, los ángulos y los medios. La imagen de un círculo es un círculo del mismo radio cuyo centro es la imagen del centro. 4. La traslación Noción de vector (ver Unidad 1) El triángulo A´B´C´ es la imagen del triángulo ABC por una rotación de centro “O” y ángulo α. 𝑅(𝑂,𝛼) R(o; Ø)ABC=A´B´C´ APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 113 que dejan invariantes las figuras. Las transformaciones en el plano afín reciben también el nombre de isometrías; la palabra isometría proviene del griego y significa “igual medida”. Podemos concluir entonces que las traslaciones, los giros y las simetrías son movimientos en el plano, y cualquier otro movimiento que se realice es composición de ellos. Todo movimiento en un plano es o bien la identidad o una traslación (movimientos directos, que no cambian la orientación del objeto después de aplicarle el movimiento), o bien una simetría o una simetría deslizante o una rotación (movimientos indirectos, que cambian la orientación). GRUPOS DE SIMETRÍAS DE LOS FRISOS Los frisos, elementos sustanciales de la ornamentación clásica, constan de un determinado módulo, figura o motivo que se repite a lo largo de una banda rectangular, dándose siempre una periodicidad sistemática en la repetición del módulo, que es la base del ritmo que el friso comunica. Sorprende que motivos similares aparezcan en lugares y tiempos muy diferentes y distantes. APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 114 En el diseño del friso existen dos grados de libertad: la elección del motivo y la elección de las transformaciones que aplicadas al motivo inicial permiten llenar la banda horizontal que contiene al friso. Estas transformaciones se limitan a una gama de siete tipos distintos de frisos. Esta limitación, lejos de frenar las posibilidades creativas, muestra la esencia geométrica que se esconde tras estos diseños. Aparecen a lo largo de toda la historia, siendo notables por su riqueza ornamental los frisos árabes. Vamos a crear, cada uno, su propio friso repitiendo el modelo dibujado en el primer cuadrado: APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 115 TEORÍA DE MOSAICOS Un mosaico es un recubrimiento especial del plano, que se genera con la repetición, en dos direcciones distintas, de un módulo que cumple ciertas características de acoplamiento y regularidad. Los mosaicos suelen estar fabricados en piedra, cerámica, yeso.... y las piezas que los componen encajan, sin huecos, recubriendo el plano u otra superficie. Kepler fue el primero, probablemente, en investigar las posibles maneras de llenar el plano con polígonos regulares. Sus trabajos fueron olvidados durante mucho tiempo. Las siguientes figuras aparecen en su libro Harmonoice Mundi publicado en 1619. Arabescos de la alhambra de granada En la historia de las Matemáticas los árabes ocupan un lugar destacado por sus aportaciones en el terreno de la Geometría, la Aritmética y la Astronomía. Gracias a ellos conocemos la mayoría de las obras de los griegos ya que trajeron a Europa los manuscritos traducidos de la Geometría Euclídea. Desde un punto de vista estético nos han dejado una importante herencia que culmina en los mosaicos de la Alhambra, auténticas joyas geométricas que hacen de este conjunto artístico el máximo exponente del arte nazarí. Este monumento, el más famoso islámico medieval, es un conjunto de edificios construido como acrópolis y ciudad de la corte de la dinastía nazarí que contiene exquisitas estancias y bellos jardines. Sus paredes, con yeserías interrumpidas por hileras de ventanas, tienen zócalos alicatados cerámicos e inscripciones ornamentales que hacen de la Alhambra la expresión más hermosa del arte geométrico. APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 118 Otro embaldosado creado por Robert Canete, estudiante de geometría, es el siguiente, donde se modifican los lados opuestos de un cuadrado: MOSAICOS DE ESCHER La Alhambra ha inspirado a muchos artistas a lo largo de los siglos, entre ellos se encuentra el holandés M. C. Escher. Su visita le sirvió para introducirse en el arte del recubrimiento de superficies. Al igual que los nazaríes, transforma polígonos regulares para obtener los elementos generadores de sus mosaicos. Aquí tenemos algunos ejemplos. APUNTE TEÓRICO UNIDAD 4 Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana 119 Aquí se observa la creación del pato a partir de modificaciones realizadas al polígono ABCD. En la página http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/funciones.htm encontraras ejemplos interactivos de cómo construir teselaciones del plano por M.C. Escher, con isometrías.