FÍSICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA , Apuntes de Física

¡Descarga FÍSICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity! SEXTA EDICIÓN VOLUMEN 1 Mecánica/Oscilaciones y ondas/Termodinámica Paul A. Tipler Gene Mosca FÍSICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA Barcelona • Bogotá • Buenos Aires • Caracas • México Título de la obra original: Physics for Scientists and Engineers, Sixth Edition. Edición original en lengua inglesa publicada por W. H. FREEMAN AND COMPANY, New York and Basingstoke 41 Madison Avenue, New York (NY) -- U.S.A. Copyright © 2008 by W. H. Freeman and Company. All Rights Reserved Edición en español: © Editorial Reverté, S. A., 2010 ISBN: 978-84-291-4429-1 Volumen 1 ISBN: 978-84-291-4428-4 Obra completa Versión española: COORDINADOR Y TRADUCTOR Dr. José Casas-Vázquez Catedrático de Física de la Materia Condensada TRADUCTORES Dr. Albert Bramon Planas Catedrático de Física Teórica Dr. Josep Enric Llebot Rabagliati Catedrático de Física de la Materia Condensada Dr. Fernando M. López Aguilar Catedrático de Física Aplicada Dr. Vicenç Méndez López Profesor Agregado de Física de la Materia Condensada Departamento de Física Universidad Autónoma de Barcelona España MAQUETACIÓN: REVERTÉ-AGUILAR CORRECCIÓN DE ESTILO: CARLOS CISTUÉ SOLÁ Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15. Local B Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 08029 Barcelona. ESPAÑA reverte@reverte.com www.reverte.com Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprogra- fía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes. Impreso en España - Printed in Spain Depósito Legal: B-25919-2010 Impresión y encuadernación: Liberdúplex, S.L.U. Registro bibliográfico (ISBD) Tipler, Paul A. [Physics for scientists and engineers. Español] Física para la ciencia y la tecnología. Mecánica, oscilaciones y ondas, termodinámica / Paul A. Tipler, Gene Mosca ; coordinador y traductor: José Casas Vázquez; traductores: Albert Bramon Planas… [et al.]. – Barcelona : Reverté, 2010. XXIV , 456, [12] p. : il. col. ; 27 cm. Índice. DL B-25919-2010. – ISBN 978-84-291-4429-1 1. Física. I. Mosca. Gene, coaut. II. Casas-Vázquez, José, coord., trad. III. Bramon Planas, Albert, trad. IV. Título. 53 La sexta edición de Física para la ciencia y la tecnología presenta un texto y herra- mientas online completamente integrados que ayudarán a los estudiantes a apren- der de un modo más eficaz y que permitirá a los profesores adaptar sus clases para enseñar de un modo más eficiente. El texto incluye un nuevo enfoque estratégico de resolución de problemas, un apéndice de matemáticas integrado y nuevas herramientas para mejorar la com- prensión conceptual. Los nuevos temas de actualidad en física destacan temas innovadores que ayudan a los estudiantes a relacionar lo que aprenden con las tec- nologías del mundo real. CARACTERÍSTICAS CLAVE ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS En la sexta edición destaca una nueva estrategia de resolución de problemas en la que los Ejemplos siguen un formato sistemático de Planteamiento, Solución y Comprobación. Este formato conduce a los estudiantes a través de los pasos im- plicados en el análisis del problema, la resolución del problema y la comprobación de sus respuestas. Los Ejemplos a menudo incluyen útiles secciones de Observa- ción que presentan formas alternativas de resolución de problemas, hechos intere- santes, o información adicional relativa a los conceptos presentados. Siempre que se considera necesario, los Ejemplos van seguidos de Problemas Prácticos para que los estudiantes puedan evaluar su dominio de los conceptos. En esta edición, las etapas de resolución de problemas siguen contando con las ecuaciones necesarias al lado, de manera que a los estudiantes les resulte más fácil seguir el razonamiento. Prefacio NU EVO ! Después de cada enunciado del problema, los estudiantes van al Planteamiento del problema. Aquí, el problema se analiza tanto conceptualmente como visualmente. En la sección Solución, cada paso de la solución se presenta con un enunciado escrito en la columna de la izquierda y las ecuaciones matemáticas correspondientes en la columna de la derecha. La Comprobación recuerda a los estudiantes que han de verificar que sus resultados son precisos y razonables. La Observación sugiere una forma distinta de enfocar un ejemplo o da información adicional relevante para el ejemplo. A la solución le sigue normalmente un Problema Práctico, lo que permite a los estudiantes comprobar su comprensión. Al final del capítulo se incluyen las respuestas para facilitar una comprobación inmediata. xiv Prefacio En casi todos los capítulos se incluye un recuadro llamado Estrategia de resolución de problemas para reforzar el for- mato Planteamiento, Solución y Comprobación para solucio- nar satisfactoriamente los problemas. APÉNDICE DE MATEMÁTICAS INTEGRADO Esta edición ha mejorado el apoyo matemático a los estudiantes que estudian Ma- temáticas al mismo tiempo que introducción a la Física o a los estudiantes que re- quieren repasar las Matemáticas. El Apéndice de Matemáticas completo • revisa resultados básicos de álgebra, geometría, trigonometría y cálculo, • relaciona conceptos matemáticos con conceptos físicos del libro, • proporciona Ejemplos y Problemas Prácticos para que los estudiantes pue- dan comprobar su comprensión de los conceptos matemáticos. NU EVO ! Prefacio xv PEDAGOGÍA PARA ASEGU- RAR LA COMPRENSIÓN CONCEPTUAL Se han añadido herramientas prácticas para los estudiantes para facilitar un mejor comprensión conceptual de la física. • Se han introducido nuevos Ejemplos conceptuales, para ayudar a los estudiantes a comprender en profundidad conceptos físicos esenciales. Estos ejemplos utilizan la estrategia Planteamiento, Solución y Comprobación, de modo que los estudiantes no sólo obtienen una comprensión conceptual básica sino que tienen que evaluar sus respuestas. Además, las notas al margen permiten a los estudiantes ver fácilmente la rela- ción entre los conceptos físicos del texto y los conceptos matemáticos. NU EVO ! • Las nuevas Comprobaciones de conceptos facilitan a los estudiantes com- probar su comprensión conceptual de conceptos físicos mientras leen los capítulos. Las respuestas están situadas al final de cada capítulo para per- mitir una comprobación inmediata. Las comprobaciones de conceptos se colocan cerca de temas relevantes, de modo que los estudiantes puedan re- leer inmediatamente cualquier material que no comprendan del todo. • Los nuevos avisos de errores frecuentes, identificados mediante signos de exclamación, ayudan a los estudiantes a evitar errores habituales. Estos avisos están situados cerca de los temas que habitualmente causan confu- sión, de manera que los estudiantes puedan resolver de inmediato cual- quier dificultad. Acerca de los autores Paul Tipler nació en la pequeña ciudad agrícola de Antigo, Wisconsin, en 1933. Realizó sus estudios medios en Oshkosh, Wisconsin, en donde su padre era superintendente de las Escuelas Públicas. Recibió el título de Bachelor of Science en la Universidad de Purdue en 1955 y obtuvo su Ph.D. en la Universidad de Illi- nois, en donde estudió la estructura del núcleo. Impartió la enseñanza durante un año en la Wesleyan University de Connecticut mientras redactaba su tesis. Después se trasladó a la Universidad de Oakland en Michigan, donde fue uno de los pri- meros miembros del Departamento de Física, y desempeñó un papel importante en el desarrollo de los planes de estudio. Durante los siguientes 20 años, enseñó casi todas las disciplinas de la física y escribió la primera y segunda ediciones de sus ampliamente difundidos textos Física Moderna (1969, 1978) y Física (1976, 1982). En 1982, se mudó a Berkeley, California, donde ahora reside y donde escribió Física preuniversitaria (1987) y la tercera edición de Física (1991). Además de la física, sus aficiones incluyen la música, excursionismo y camping. Es un excelente pianista de jazz y un buen jugador de póker. Gene Mosca nació en la ciudad de Nueva York y se crió en Shelter Island, en el Estado de Nueva York. Estudió en la Universidad de Villanova, en la Uni- versidad de Michigan y en la Universidad de Vermont, donde obtuvo su Ph.D. en física. Recientemente jubilado, Gene Mosca ha sido profesor en la U.S. Naval Aca- demy, donde fue el impulsor de numerosas mejoras en la enseñanza de la Física, tanto en los laboratorios como en las aulas. Proclamado por Paul Tipler como "el mejor crítico que he tenido", Mosca se ha convertido en coautor del libro a partir de su quinta edición. xxii Medida y vectores 1.1 La naturaleza de la física 1.2 Unidades 1.3 Conversión de unidades 1.4 Dimensiones de las magnitudes físicas 1.5 Cifras significativas y órdenes de magnitud 1.6 Vectores 1.7 Propiedades generales de los vectores L a humanidad siempre ha sentido curiosidad por el mundo que le rodea. Co- mo demuestran los primeros documentos gráficos, siempre hemos buscado el modo de imponer orden en la enmarañada diversidad de los sucesos obser- vados, el color del cielo, el cambio del sonido de un coche cuando pasa, el ba- lanceo de un árbol, la salida y la puesta del Sol, el vuelo de un ave o de un avión. Esta búsqueda para entender ha adoptado distintas formas: una es la religión, otra es el arte y otra es la ciencia. Aunque el vocablo ciencia viene del latín y significa “saber”, la ciencia no sólo es saber sino, especialmente, comprensión del mundo natural. La Física pretende describir los fundamentos del universo y cómo funciona. Es la ciencia de la materia y de la energía, del espacio y del tiempo. Como toda ciencia, la Física se estructura de una forma específica y racional. Los físicos construyen, prueban y relacionan modelos con el objetivo de describir, ex- plicar y predecir la realidad. Este proceso comporta elaborar hipótesis, llevar a cabo repetidamente experimentos y observaciones y, en consecuencia, elaborar nuevas hipótesis. El resultado final es un conjunto de principios fundamentales y de leyes que describen el mundo. Estas leyes y principios se aplican tanto a fenómenos exó- 1 C A P Í T U L O ¿Cuántos granos de arena hay en su playa favorita? (Véase el ejemplo 17.) ? 1 EN UNA PLAYA HAY DEMASIADOS GRANOS DE ARENA PARA CONTARLOS UNO POR UNO, PERO SE PUEDE OBTENER EL NÚMERO APROXIMADO POR MEDIO DE HIPÓTESIS RAZONABLES Y CÁLCULOS SENCILLOS. (Corbis.) P A R T E I MECÁNICA 2 | C A P Í T U L O 1 Medida y vectores ticos como los agujeros negros, la energía oscura y partículas con nombres tan pe- culiares como leptoquarks o bosones como a la vida cotidiana. Como veremos, hay innumerables cuestiones de nuestro entorno cotidiano que pueden explicarse con un conocimiento básico de física. ¿Por qué el cielo es azul? ¿Por qué los astronautas flotan en el espacio? ¿Cómo funcionan los reproductores de discos compactos? ¿Por qué un oboe suena distinto de una flauta? ¿Por qué un helicóptero debe tener dos rotores? ¿Por qué los objetos metálicos parecen más fríos que los objetos de madera a igual temperatura? ¿Por qué los relojes que se mueven van más lentos? En este libro, aplicaremos los principios de la física para contestar estas y otras cuestiones. Estudiaremos los temas clásicos de la física, la mecánica, el sonido, la luz, el calor, la electricidad, el magnetismo, la física atómica y nuclear. También aprenderemos algunas técnicas útiles para la resolución de problemas. En este pro- ceso esperamos que el lector tome conciencia de la importancia de la física y apre- cie toda su belleza. En este capítulo, empezaremos a prepararnos estudiando algunos conceptos previos que se necesitan para el estudio de la física. Examinaremos breve- mente la naturaleza de la física, estableceremos algunas definiciones básicas, introduciremos los sistemas de unidades y aprenderemos a usarlos y presen- taremos una introducción a la matemática de los vectores. También tratare- mos de la exactitud de las medidas, las cifras significativas y las estimaciones. 1.1 LA NATURALEZA DE LA FÍSICA El vocablo física procede del griego y significa el conocimiento del mundo natural. Por lo tanto, no nos ha de sorprender que los primeros esfuerzos registrados por el ser humano para reunir sistemáticamente el conocimiento sobre el movimiento de los cuerpos procedan de la antigua Grecia. En la filosofía natural establecida por Aristóteles (384–322 a.C.), las explicaciones de los fenómenos físicos se deducían de hipótesis sobre el mundo y no de la experimentación. Por ejemplo, una hipótesis fundamental afirmaba que toda sustancia tenía un “lugar natural” en el universo. Se estableció que el movimiento era el resultado del intento de una sustancia de al- canzar su lugar natural. El acuerdo entre las deducciones de la física aristotélica y los movimientos observados en el universo físico, y la falta de una tradición expe- rimental que derrocase la física antigua, hizo que el punto de vista de los griegos fuera aceptado durante casi dos mil años. Fue el científico italiano Galileo Galilei (1564–1642) quien, con sus brillantes experimentos sobre el movimiento, estableció para siempre la absoluta necesidad de la experimentación en la física e inició la de- sintegración de la física de Aristóteles. Unos cien años después, Isaac Newton ge- neralizó los resultados experimentales de Galileo en sus tres leyes fundamentales del movimiento, y el reino de la filosofía natural de Aristóteles se extinguió. Durante los siguientes doscientos años la experimentación aportó innumerables descubrimientos y surgieron nuevas preguntas. Se descubrieron los fenómenos tér- micos y eléctricos, y algunos relacionados con la expansión y la compresión de los gases. Estos descubrimientos y las nuevas preguntas que planteaban inspiraron el desarrollo de nuevos modelos para su explicación. A finales del siglo XIX, las leyes de Newton referentes a los movimientos de los sistemas mecánicos se asociaron a las igualmente impresionantes leyes de James Maxwell, James Joule, Sadi Carnot y otros científicos, para describir el electromagnetismo y la termodinámica. Los temas que ocuparon a los físicos durante la última parte del siglo XIX —mecánica, luz, calor, sonido, electricidad y magnetismo— constituyen lo que se denomina fí- sica clásica. Dado que necesitamos la física clásica para comprender el mundo ma- croscópico donde vivimos, le dedicaremos las partes I a V de este libro. El notable éxito alcanzado por la física clásica llevó a muchos científicos al con- vencimiento de que la descripción del universo físico se había completado. Sin embargo, el descubrimiento de los rayos X realizado por Wilhelm Roentgen en 1895 y el de la radiactividad por Antoine Becquerel y Marie y Pierre Curie poco Si las unidades de una cantidad y el factor de conversión no se simplifican para dar las unidades deseadas, significa que la conversión no se ha realizado correctamente. ! 6 | C A P Í T U L O 1 Medida y vectores (a) (b) (a) Haces de láser emitidos desde el Observatorio Macdonald para medir la distancia hasta la Luna. Esta distancia se mide con un error de pocos centímetros midiendo el tiempo transcurrido en el viaje de ida y vuelta del rayo láser a la Luna después de reflejarse en un espejo (b) allí emplazado por los astronautas del Apolo 14. (a, McDonald Observatory; b, Bruce Coleman). mental de fuerza. En el capítulo 4, veremos que la masa es una elección mejor que la fuerza como unidad fundamental, por tratarse de una propiedad intrínseca de un objeto que es independiente de su localización. Actualmente, el sistema técnico inglés se define en base a las unidades del SI. 1.3 CONVERSIÓN DE UNIDADES Cuando se usan distintos sistemas de unidades es importante saber cómo conver- tir magnitudes expresadas en una unidad de un sistema en unidades de otro sis- tema. Cuando estas magnitudes se suman, se multiplican o se dividen en una ecuación algebraica, las unidades pueden tratarse como cualquier otra magnitud algebraica. Por ejemplo, supongamos que deseamos hallar la distancia recorrida en 3 horas (h) por un coche que se mueve con una velocidad constante de 80 kilóme- tros por hora (km/h). La distancia x es precisamente la velocidad v multiplicada por el tiempo t: Eliminamos la unidad de tiempo, la hora, igual que haríamos con cualquier otra magnitud algebraica para obtener la distancia en la unidad de longitud corres- pondiente, el kilómetro. Este método permite fácilmente pasar de una unidad de distancia a otra. A continuación, supongamos que queremos convertir los kilóme- tros (km) en millas (mi). Teniendo en cuenta que 1 mi  1,609 km (véase el apén- dice A). Si dividimos los dos miembros de esta igualdad por 1,609 km se obtiene Obsérvese que el factor anterior es una fracción igual a 1. El factor (1 mi)/(1,609 km) se denomina factor de conversión. Todos los factores de conversión tienen el valor de 1 y se utilizan para pasar una magnitud expresada en una unidad de medida a su equivalente en otra unidad de medida. Escribiendo de forma explícita las unidades, no es necesario pensar si hay que multi- plicar o dividir por 1,609 para pasar de kilómetros a millas, ya que las unidades indi- can si hemos escogido el factor correcto o el incorrecto. 240 km  240 km  1 mi 1,609 km  149 mi 1 mi 1,609 km  1 x  vt  80 km h  3 h  240 km Dimensiones de las magnitudes físicas S E C C I Ó N 1 . 4 | 7 Ejemplo 1.1 Uso de los factores de conversión Un empleado de una empresa con sede en Estados Unidos ha de viajar, por encargo de su em- presa, a un país donde las señales de tráfico muestran la distancia en kilómetros y los velocíme- tros de los coches están calibrados en kilómetros por hora. Si con su vehículo viaja a 90 km por hora, ¿a cuánto equivale su velocidad expresada en metros por segundo y en millas por hora? PLANTEAMIENTO Utilizaremos el hecho de que 1000 m  1 km, 60 s  1 min y 60 min  1 h para convertir los kilómetros por hora en metros por segundo. Se multiplica la magnitud 90 km/h por una serie de factores de conversión de valor 1 de modo que el valor de la velocidad no varía. Para convertir la velocidad en millas por hora, se utiliza el factor de conversión (1 mi)/(1,609 km)  1. SOLUCIÓN 1. Multiplicar 90 km/h por los factores de conversión que transforman los kilómetros en metros y las horas en segundos: 25 m>s90 km h  1 h 3600 s  1000 m 1 km  2. Multiplicar 90 km/h por 1 mi/1,61 km: 56 mi>h90 km h  1 mi 1,609 km  COMPROBACIÓN Verificar que las unidades, al final de cada paso, son las correctas. Si no se han tenido en cuenta los factores de conversión de forma correcta, por ejemplo si se mul- tiplica por 1 km/1000 m en vez de por 1000 m/1 km, las unidades al final no son las co- rrectas. OBSERVACIÓN El primer paso puede simplificarse sustituyendo 1 h/3600 s por 1h/3,6 ks y eliminando los prefijos en ks y km. Es decir Eliminar estos prefijos equivale a dividir el numerador y el denominador por 1000. Puede resultar útil memorizar los resultados de este ejemplo, ya que puede facilitar la conversión de velocidades habituales rápidamente Conocer estos valores puede ser útil para convertir de forma más rápida las ve- locidades a unidades con las que esté más familiarizado. 1.4 DIMENSIONES DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS Dar un valor de una magnitud física comporta dar un número y la unidad en que está expresado. La unidad indica el estándar que se usa para la medida y la cifra nos muestra la comparación con una cantidad estándar. No obstante, para saber lo que se está midiendo hay que conocer la dimensión de la magnitud física. La longitud, el tiempo y la masa son dimensiones. La distancia entre dos objetos tiene dimensiones de longitud y expresamos esta relación como [d] L, donde [d] representa la dimen- sión de la distancia d y L es la dimensión de la longitud. Todas las dimensiones se re- presentan con una letra mayúscula; así, T y M representan, respectivamente, las dimensiones del tiempo y de la masa. Las dimensiones de muchas magnitudes físicas pueden expresarse en función de estas tres dimensiones fundamentales. Por ejemplo, el área A de una superficie. Puesto que el área es el producto de dos longitudes, se dice que tiene dimensiones de longitud por longitud, o longitud al cuadrado, que suele es- cribirse En esta ecuación, [A] representa la dimensión de A, y L es la di- mensión de la longitud. La velocidad tiene dimensiones de longitud dividida por tiempo o L/T. Las dimensiones de otras magnitudes, tales como fuerza o energía, se escriben en función de las magnitudes fundamentales longitud, tiempo y masa. La suma de dos magnitudes físicas sólo tiene sentido si ambas tienen las mismas di- 3A4  L2. 25 m>s  90 km>h  160 mi>h2 25 m>s90 km h  1 h 3,6 ks  (Eunice Harris/Photo Researchers.) La coherencia dimensional es una condición necesaria, pero no suficiente, para que una ecuación sea correcta. Al expresar el área de un círculo el análisis dimensional no indicará si la expresión correcta es o . (La expresión correcta es .)pr 22pr 2 pr 2 ! 8 | C A P Í T U L O 1 Medida y vectores mensiones. Por ejemplo, no podemos sumar un área a una velocidad y obtener una suma que signifique algo. Si tenemos una ecuación como las magnitudes A, B y C deben tener las tres las mismas dimensiones. La suma de B y C exige que las dos magnitudes estén además expresadas en las mismas uni- dades. Por ejemplo, si B es un área de 500 cm2 y C es 4 m2, debemos convertir B en m2 o C en cm2 para hallar la suma de las dos áreas. A veces pueden detectarse errores en un cálculo comprobando las dimensiones y unidades de las magnitudes que intervienen en él. Supóngase, por ejemplo, que estamos utilizando erróneamente la fórmula para el área de un círculo. Veremos inmediatamente que esto no puede ser correcto, ya que , tiene dimen- siones de longitud, mientras que el área tiene dimensiones de longitud al cuadrado. Ejemplo 1.2 Las dimensiones físicas de la presión La presión de un fluido en movimiento depende de su densidad r y de su velocidad v. Determinar una combinación sencilla de densidad y velocidad que nos dé las dimensiones correctas de la presión. PLANTEAMIENTO En la tabla 1.2 se ve que la presión tiene dimensiones de M/(LT2), la densidad es M/L3 y la velocidad L/T. Además, se observa que tanto la presión como la den- sidad tienen unidades de masa en el numerador, mientras que la velocidad no contiene la di- mensión M. Por lo tanto, tenemos que multiplicar o dividir dimensiones de densidad y dimensiones de velocidad para obtener la masa en las dimensiones de la presión. Para de- terminar con exactitud la relación comenzaremos dividiendo las unidades de presión por las de densidad e inspeccionemos el resultado con respecto a las dimensiones de la velocidad. SOLUCIÓN 1. Se dividen las unidades de presión por las de densidad: 2pr A  2pr A  B  C 3P4 3r4  M>LT2 M>L3  L2 T2 2. El resultado tiene dimensiones de v2. Las dimensiones de la presión son las mismas que las de densidad multiplicadas por las de velocidad al cuadrado: COMPROBACIÓN Dividir las dimensiones de la presión por las dimensiones de la veloci- dad al cuadrado y el resultado tiene dimensiones de densidad  1.5 CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y ÓRDENES DE MAGNITUD Muchos de los números que se manejan en la ciencia son el resultado de una medida y, por lo tanto, sólo se conocen con cierta incertidumbre experimental. La magnitud de esta incertidumbre, que depende de la habilidad del científico y del aparato utilizado, frecuentemente sólo puede estimarse. Se suele dar una indicación aproximada de la incertidumbre de una medida mediante el número de dígitos que se utilizan. Por ejemplo, si decimos que la longitud de una mesa es 2,50 m, queremos indicar que probablemente su longitud se encuentra entre 2,495 m y 2,505 m; es decir, conocemos su longitud con una exactitud aproxi- mada de ±0,005 m  ±0,5 cm de la longitud establecida. Si utilizamos un metro en el que se puede apreciar el milímetro y medimos esta misma longitud de la mesa cuidadosamente, podemos estimar que hemos medido la longitud con una precisión de ±0,5 mm, en lugar de ±0,5 cm. Indicamos esta precisión utili- zando cuatro dígitos, como por ejemplo, 2,503 m, para expresar la longitud. Recibe el nombre de cifra significativa todo dígito (exceptuando el cero cuando M>L3  3r4. 3P4>3v24  1M>LT22>1L2>T22 Tabla 1.2 Dimensiones de las magnitudes físicas Magnitud Símbolo Dimensión Área A L2 Volumen V L3 Velocidad L T Aceleración a L T2 Fuerza F ML T2 Presión (F A) p M LT2 Densidad (M V) r M L3 Energía E ML2 T2 Potencia (E T) P ML2 T3>> > >> >> > > >v M LT2 M L3  L2 T2  3P4  3r43v24  ML3  a L T b 2 Cifras significativas y órdenes de magnitud S E C C I Ó N 1 . 5 | 11 Ejemplo 1.4 ¿Cuánta agua? Un litro (L) es el volumen de un cubo de 10 cm  10 cm  10 cm. Si una persona bebe 1 L de agua, ¿qué volumen en centímetros cúbicos y en metros cúbicos ocupará este líquido en su estómago? PLANTEAMIENTO El volumen de un cubo de lado es V  El volumen en cm3 se de- termina directamente a partir de Para determinar el volumen en m3 hay que transformar los cm3 en m3 utilizando el factor de conversión 1 cm  102 m.   10 cm. 3. COMPROBACIÓN La respuesta puede verificarse estimando que si se necesitan aproxima- damente 1022 segundos para contar los átomos en un gramo de carbono y un año son unos 107 segundos, se necesitarían 1022/107 1015 años. OBSERVACIÓN El tiempo requerido es, aproximadamente, 100 000 veces la edad del uni- verso. PROBLEMA PRÁCTICO 1.4 Si dividiéramos esta tarea de modo que cada persona contase átomos diferentes, ¿cuántos años tardaría un equipo formado por 5000 millones (5  109) de personas para contar los átomos que contiene 1 g de carbono? SOLUCIÓN 1. Calcular el volumen en cm3: 2. Convertir a m3: El factor de conversión (igual a 1) puede elevarse a la tercera potencia sin modificar su valor, permitiéndonos cancelar las unidades implicadas. 103 cm3V  3  110 cm23  1000 cm3  103 m3  103 cm3  106 m3 1 cm3  103 cm3  103 cm3  a 102 m 1 cm b 3 SOLUCIÓN 1. El tiempo es igual al número total de átomos N dividido por la tasa de recuento R  1 átomo/s: 2. Determinar el número de átomos de carbono en 1 g: 3. Calcular el número de segundos necesarios para contar los átomos si contamos 1 por segundo: 4. Calcular el número de segundos que contiene un año: 5. Utilizar el factor de conversión 3,15  107 s/a (una magnitud que conviene recordar) y convertir la respuesta del paso 3 en años: n  365 d 1,00 a  24 h 1 d  3600 s 1 h  3,15  107 s>a t  N R  5,02  1022 átomos 1 átomo>s  5,02  10 22 s  5,02  1022 átomosN  6,02  1023 átomos 12,0 g N  Rt 1,59  1015 a  5,02 3,15  10227 a  t  5,02  1022 s  1,00 a 3,15  107 s COMPROBACIÓN Obsérvese que las respuestas se dan en m3 y en cm3. Estas respuestas son consistentes con el hecho de que el volumen es una longitud elevada al cubo. Obsérvese también que 103 es mayor que 103, lo cual es consistente con que el metro es mayor que el centímetro. Ejemplo 1.5 Recuento de átomos En 12 g de carbono existen átomos de esta sustancia (número de Avogadro). Si contáramos un átomo por segundo, ¿cuánto tiempo tardaríamos en contar los átomos de 1 g de carbono? Expresar el resultado en años. PLANTEAMIENTO Necesitamos determinar el número total de átomos, N, que hemos de contar y tener en cuenta que el número contado es igual a la tasa de recuento R multiplicada por el tiempo t. NA  6,02 : 1023 12 | C A P Í T U L O 1 Medida y vectores ORDEN DE MAGNITUD Cuando se realizan cálculos aproximados o comparaciones se suele redondear un nú- mero hasta la potencia de 10 más próxima. Tal número recibe el nombre de orden de magnitud. Por ejemplo, la altura de un pequeño insecto, digamos un hormiga, puede ser 8  104 m ó, aproximadamente, 103 m. Diremos que el orden de magnitud de la altura de una hormiga es de 103 m. De igual modo, como la altura de la mayoría de las personas se encuentra próxima a 2 m, podemos redondear este número y decir que el orden de magnitud de la altura de una persona es h  100, donde el símbolo  significa “es del orden de magnitud de”. Esto no quiere decir que la altura típica de una persona sea realmente de 1 m, sino que está más próxima a 1 m que a 10 m ó 101  0,1 m. Podemos decir que una persona típica es tres órdenes de magnitud más alta que una hormiga típica, queriendo decir con esto que el cociente entre las alturas es, aproximadamente, igual a 103 (relación 1000 a 1). Un orden de magnitud no pro- porciona cifras que se conozcan con precisión; es decir, debemos considerar que no tiene cifras significativas. La tabla 1.3 especifica los valores de los órdenes de magni- tud de algunas longitudes, masas y tiempos relacionados con la Física. En muchos casos, el orden de magnitud de una cantidad puede estimarse me- diante hipótesis razonables y cálculos simples. El físico Enrico Fermi era un maestro en el cálculo de respuestas aproximadas a cuestiones ingeniosas que parecían a pri- mera vista imposibles de resolver por la limitada información disponible. El siguiente es un ejemplo de problema de Fermi. El diámetro de la galaxia Andrómeda es del orden de 1021 m. (Smithsonian Institution.) Distancias familiares en nuestro mundo cotidiano. La altura de la muchacha es del orden de 100 m y la de la montaña de 104 m. (Kent and Donnan Dannon/Photo Researchers.) Tabla 1.3 El universo por órdenes de magnitud Tamaño o distancia (m) Masa (kg) Intervalo de tiempo (s) Protón 1015 Electrón 1030 Tiempo invertido por la luz en atravesar un núcleo 1023 Átomo 1010 Protón 1027 Periodo de la radiación de luz visible 1015 Virus 107 Aminoácido 1025 Periodo de las microondas 1010 Ameba gigante 104 Hemoglobina 1022 Periodo de semidesintegración de un muón 106 Nuez 102 Virus de la gripe 1019 Periodo del sonido audible más alto 104 Ser humano 100 Ameba gigante 108 Periodo de las pulsaciones del corazón humano 100 Montaña más alta 104 Gota de lluvia 106 Periodo de semidesintegración de un neutrón libre 103 Tierra 107 Hormiga 104 Periodo de rotación terrestre 103 Sol 109 Ser humano 102 Periodo de revolución terrestre Distancia Tierra-Sol 10 11 Cohete espacial Saturno 5 106 alrededor del Sol 10 7 Sistema solar 1013 Pirámide 1010 Vida media de un ser humano 109 Distancia de la estrella 1016 Tierra 1024 Periodo de semidesintegración del plutonio 239 1012 más cercana Sol 1030 Vida media de una cordillera 1015 Galaxia Vía Láctea 1021 Galaxia Vía Láctea 1041 Edad de la Tierra 1017 Universo visible 1026 Universo 1052 Edad del universo 1018 Moléculas de benceno del orden de 1010 m de diámetro, vistas mediante un microscopio electrónico de barrido. (IBM Research, Almaden Research Center.) Cifras significativas y órdenes de magnitud S E C C I Ó N 1 . 5 | 13 (Corbis.) Ejemplo 1.6 Desgaste de los neumáticos ¿Qué espesor de la banda de caucho de un neumático de automóvil se ha desgastado en un re- corrido de 1 km? PLANTEAMIENTO Supongamos que el espesor de la banda de un neumático nuevo es de 1 cm. Quizás varíe en un factor de 2, pero desde luego no es 1 mm, ni tampoco 10 cm. Como los neumáticos deben reemplazarse cada 60 000 km, podemos admitir que la banda está gas- tada completamente después de recorrer esta distancia, es decir, que su espesor disminuye a razón de 1 cm cada 60 000 km. SOLUCIÓN Utilizar la estimación de desgaste de 1 cm por cada 60 000 km de recorrido para calcular la disminución de espesor en 1 km: 2  107 m de desgaste por km recorrido  desgaste de 1 cm 60000 km recorrido  desgaste de 1,7  105 cm 1 km recorrido COMPROBACIÓN Para comprobar la respuesta, divídase el volumen de la playa por el número de granos que se ha calculado. El resultado es 1,5  105 m3/3  1014 granos  5  1010 m3/grano. Este resultado coincide con el volumen estimado de un grano de arena o 4/[3p(5  104)3]. OBSERVACIÓN Una forma de determinar el volumen del espacio entre los granos consiste en llenar un recipiente de un litro con arena seca. Una vez lleno echar agua en el recipiente hasta que la arena esté saturada de agua. Si suponemos que con 100 cm3 de agua la arena del recipiente se satura, el volumen real de la arena es de 900 cm3. Por lo tanto, hemos sobreestimado el número de granos de la playa. Teniendo en cuenta que la arena ocupa el 90% del volumen de su conte- nedor, en la playa hay un 90% de los granos calculados en el paso 3 de la solución del problema. EJERCICIO PRÁCTICO 1.5 ¿Cuántos granos de arena hay en una playa que ocupa una zona de 2 km de longitud y de 500 m de anchura? Suponer que la arena ocupa un espesor de 3,00 m y que el diámetro medio de los granos de sal es de 1,0 mm. Póngalo en su contexto por lo tanto 3  1014 2,9  1014 N  3VB 4pR3  31500 m21100 m213 m2 4p10,5  103 m23 VB  NVG  N 4 3 pR3 COMPROBACIÓN Si se multiplica 1,7  105 cm/km por 60 000 km se obtiene, aproxima- damente, 1 cm, que es el espesor de la banda de un neumático nuevo. OBSERVACIÓN El diámetro de los átomos es de unos Así, el grosor desgas- tado por cada kilómetro de recorrido es equivalente a 1000 diámetros atómicos. Ejemplo 1.7 ¿Cuántos granos de arena hay en una playa? Para evitar caer en la somnolencia durante una clase después de un día cargado de activi- dades, no hay nada mejor que este reto que propone un profesor de física a sus alumnos con- sistente en estimar cuántos granos de arena hay en una playa. PLANTEAMIENTO Primero tenemos que plantearnos qué características asumimos que tiene la playa y su arena. Suponemos que la playa ocupa una zona de forma rectangular de 500 m de largo, 100 de ancho y que la arena tiene unos 3 m de profundidad. Una búsqueda intensa mediante Internet nos lleva a estimar que los granos de arena tienen diámetros que oscilan entre 0,04 mm y 2 mm, pero en nuestro problema consideramos que los granos de arena son esferas con un diámetro medio de 1 mm. Por otra parte, suponemos que los gra- nos están tan juntos entre ellos, que el volumen del espacio entre ellos es despreciable com- parado con el volumen de la arena. SOLUCIÓN 1. El volumen VB de la playa es igual al número N de granos por el volumen de un grano VG: 2. Usando la fórmula del volumen de una esfera, se calcula el volumen de un grano de arena: 3. Se despeja el número de granos. En nuestro cálculo los números tienen una cifra significativa únicamente, por lo que la respuesta también viene expresada con esta precisión: VG  4 3 pR3 VB  NVG 2  1010 m. (Corbis.) Conceptual N E C 5,00 km B 4,00 km A 3,00 km θ 0 1 CENTÍMETROS M-108 2 3 4 F I G U R A 1 . 1 1 Propiedades generales de los vectores S E C C I Ó N 1 . 7 | 17 Ejemplo 1.8 Desplazamiento Una persona se mueve 3 km hacia el este y luego 4 km hacia el norte. ¿Cuál es el desplaza- miento resultante? PLANTEAMIENTO El desplazamiento de la persona es el vector que va desde la posición inicial a la posición final. Para encontrar el desplazamiento resultante, se suman gráfica- mente los dos vectores desplazamiento. Para dibujar la resultante con exactitud, usamos una escala tal que 1 cm corresponda a un desplazamiento de 1 km. SOLUCIÓN 1. Sean y los desplazamientos de 3,00 km hacia el este y de 4 km hacia el norte, respectivamente, y sea Dibuje y con el origen de en el extremo de como se muestra en la figura 1.11. Usar la escala 1 cm  1 km e incluir los ejes que señalan al norte y al este. 2. Determinar el módulo y la dirección de usando el dibujo, teniendo en cuenta la escala 1 cm  1 km, y un transportador. C S A S , B S B S A S C S  A S  B S . B S A S A 1θ AS = A cos 1θ S AS (a) B 2θ θ BS = B cos 2 = −B cos θ θ S BS (b) F I G U R A 1 . 1 2 La componente de un vector en una dirección especificada es igual al módulo del vector multiplicado por el coseno del ángulo entre la dirección del vector y la dirección especificada. La componente del vector en la dirección positiva de S es As siendo As positiva. La componente del vector en la dirección positiva de S es Bs siendo Bs negativa. B S A S La flecha que representa a mide 5,00 cm, por lo que el módulo de es de 5,00 km. La dirección de es, aproximadamente, de 53° al noroeste. C S C S C S COMPROBACIÓN La distancia recorrida es 3,00 km  4,00 km  7,00 km y el módulo del desplazamiento neto es de 5 km. Este resultado es consistente con la frase “la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta”. Igualmente, si nos movemos 3 km hacia el este y des- pués 4 km hacia el norte es de esperar que estemos más de 45° al norte de nuestro punto de partida. OBSERVACIÓN Un vector viene descrito por su módulo y dirección. En este ejemplo el des- plazamiento resultante es un vector de longitud 5 km en una dirección 53,1° al norte del este. PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR La expresión donde es un vector arbitrario, corresponde a la suma es decir, Un vector multiplicado por un escalar s es el vector que tiene de módulo y es paralelo a si s es positivo, y an- tiparalelo a si s es negativo. Las dimensiones de sA son las de s multiplicadas por las de . (Además, dividir por un escalar s equivale a multiplicar por 1/s.) COMPONENTES DE UN VECTOR La suma y la resta algebraica de vectores se lleva a cabo expresando los vectores en función de sus componentes. La componente de un vector a lo largo de una línea en el espacio es la longitud de la proyección del vector sobre dicha línea. Se obtiene trazando una línea perpendicular a la línea desde el extremo o flecha de un vector, como indica la figura 1.12. Cuando se determinan las componentes x, y y z de un A S A S A S A S A S ƒs ƒAB S  sA S , A S A S  A S  A S  3A S .A S  A S  A S , A S 3A S , Póngalo en su contexto Propiedades generales de los vectores S E C C I Ó N 1 . 7 | 19 N C B x y A 60,0° 140°40,0° θφ F I G U R A 1 . 1 6 SOLUCIÓN (a) 1. Dibujamos el diagrama de suma de vectores a escala (figura 1.16). Primero trazamos los ejes coordenados correspondientes de modo que el eje x señale hacia el este y la dirección del eje y hacia el norte. A continuación, trazamos el primer vector desplazamiento de 3,00 cm de largo formando un ángulo de 60° con el eje x, es decir, apuntando hacia el nordeste. Luego, a partir del extremo de dibujamos el segundo vector de 4,00 cm de largo, con un ángulo de 40° con la dirección oeste. (Necesitará un transportador para medir los ángulos). Finalmente, dibuje el vector resultante uniendo el origen de con el extremo de 2. Determine la longitud de Usando un transportador, mida el ángulo entre la dirección de y la dirección -x:C S C S . B S :A S C S B S A S A S mide 5,40 cm de longitud. Por lo tanto, el módulo del desplazamiento resultante es de El ángulo entre el vector y el eje x es, aproximadamente, de 73,2°. Por consiguiente, hay que caminar 5,40 km hacia el noroeste con un ángulo de 73,2° respecto a la dirección noroeste. C S 5,40 km. C S (b) 1. Para resolver el problema utilizando las componentes vectoriales, sea el primer desplazamiento y elegimos el eje x positivo en la dirección este y el eje y positivo en la dirección norte. Calculamos Ax y Ay de las ecuaciones 1.2 y 1.3: A S Ay  13,00 km2 sen60°  2,60 km Ax  13,00 km2 cos60°  1,50 km 2. De igual modo calculamos las componentes del segundo desplazamiento El ángulo entre la dirección de y la dirección x es 180,0°  40,0°  140° B S B S . By  14,00 km2 sen140°  2,57 km Bx  14,00 km2 cos140°  3,06 km 3. Las componentes del desplazamiento resultante se obtienen por suma: C S  A S  B S Cy  Ay  By  2,60 km  2,57 km  5,17 km Cx  Ax  Bx  1,50 km  3,06 km  1,56 km 4. El teorema de Pitágoras nos permite obtener la magnitud de C S : 5,40 km C 429,2 km2   11,56 km22  15,17 km22  29,2 km2 C2  Cx2  Cy2 5. El cociente entre Cy y Cx es igual a la tangente del ángulo u entre y la dirección positiva de x. Al hacer los cálculos vaya con cuidado, ya que al valor de arctg que le devuelve la calculadora podría tener que sumarle 180°: C S por lo tanto, o o 107°  o bien  73,2° 173,2°  180°2  o bien  73,2° u  arctg 5,17 km 1,56 km  arctg13,312 tg u  Cy Cx 6. Cy es positiva y Cx es negativa; por lo tanto, el ángulo u nos lleva al segundo cuadrante: u  107º en la dirección contraria a las agujas de un reloj 73,2° hacia el noroeste f  COMPROBACIÓN El paso 4 del apartado (b) da de módulo 5,40 km y el apartado 6 con- cluye que la dirección es de 73,2° hacia el noroeste. Estos resultados están de acuerdo con los resultados del apartado (a) dentro de la exactitud de nuestras medidas. OBSERVACIÓN Para especificar un vector se necesita saber el módulo y la dirección o todas sus componentes. En este ejemplo precisamente se ha practicado como calcularlas. Ejemplo 1.9 El mapa del tesoro Suponga que usted trabaja en un centro turístico en una isla tropical y está encargado de di- señar una actividad para los turistas de búsqueda de un tesoro. Dispone de un mapa que le indica las direcciones a seguir para enterrar un “tesoro” en un lugar determinado. Usted no desea malgastar el tiempo dando vueltas por la isla, porque quiere acabar pronto para ir a la playa y hacer surfing. Las instrucciones son ir 3,00 km en dirección hacia el nordeste 60° y des- pués moverse 4,00 km en dirección noroeste con un ángulo de 40° respecto del oeste. ¿En qué dirección debe moverse y cuánto tendrá que caminar para cumplir su objetivo con la máxima rapidez? Determine la respuesta (a) gráficamente y (b) usando componentes vectoriales. PLANTEAMIENTO En ambos casos hay que determinar la resultante del desplazamiento. En el apartado (a) use el método gráfico dibujando a escala cada uno de los desplazamientos y mi- diendo el desplazamiento resultante. Para el apartado (b) hay que descomponer cada vector en sus componentes individuales y utilizarlas para calcular el desplazamiento resultante. B A sA 20 | C A P Í T U L O 1 Medida y vectores VECTORES UNITARIOS Un vector unitario es un vector sin dimensiones de módulo unidad. El vector es un ejemplo de vector unitario que apunta en la dirección de Los vectores unitarios se escriben en negritas con un pequeño ángulo o acento circun- flejo en su parte superior. Los vectores unitarios que apuntan en la direcciones x, y y z son adecuados para expresar los vectores en función de sus componentes rec- tangulares. Normalmente, se escriben y respectivamente. Así, el vector tiene módulo y apunta en la dirección x positiva si Ax es positiva (o la direc- ción x negativa si Ax es negativo). Un vector A, en general, puede escribirse como suma de tres vectores, cada uno de ellos paralelo a un eje coordenado (figura 1.17): 1.7 La suma de dos vectores y puede escribirse en función de vectores unita- rios en la forma 1.8 Las propiedades generales de los vectores se resumen en la tabla 1.4. PROBLEMA PRÁCTICO 1.7 Dados dos vectores y , determi- nar (a) A, (b) B, (c) y (d) A S  B S .A S  B S , B S  12,00 m2in  13,00 m2jnAS  14,00 m2in  13,00 m2jn  1Ax  Bx2in  1Ay  By2jn  1Az  Bz2kn A S  B S  1Ax in  Ay jn  Azkn2  1Bx in  By jn  Bzkn2 B S A S A S  Ax i n  Ay j n  Azk n ƒAx ƒ Ax i nkn,jn,in, A S .An  A S>A y x z A Ay ^ j Ax ^ i Az ^ k (b) ^ j ^ i ^ k (a) y x z A B C A B –BC BA A B Tabla 1.4 Propiedades de los vectores Propiedad Explicación Figura Representación de las componentes Igualdad  si  y sus Ax  Bx direcciones y sentidos Ay  By son iguales Az  Bz Adición   Cx  Ax  Bx Cy  Ay  By Cz  Az  Bz Negativo  si  y su Ax  Bx de un vector sentido es opuesto Ay  By Az  Bz Sustracción   Cx  Ax  Bx Cy  Ay  By Cz  Az  Bz Multiplicación  tiene el módulo  Bx  sAx por un escalar y la misma dirección que By  sAy si s es positivo o si s es negativo Bz  sAzA S A S ƒs ƒ ƒA S ƒƒB S ƒsA S B S B S A S C S ƒA S ƒƒB S ƒB S A S B S A S C S ƒB S ƒƒA S ƒB S A S F I G U R A 1 . 1 7 (a) Los vectores unitarios y en un sistema de coordenadas cartesiano (rectangular). (b) El vector en función de los vectores unitarios: A S  Ax i n  Ay j n  Azk n. A S knjn,in, Problemas | 23 Respuestas a las comprobaciones conceptuales 1.1 5 Respuestas a los problemas prácticos 1.1 (a) 300 ns, (b) 40 Mm 1.2 (a) 0,05, (b) 3,9, (c) 0,003 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 (a) (b) (c) (d) A S  B S  12,00 m2in  16,00 m2jn A S  B S  16,00 m2in,B  3,61 m,A  5,00 m, Ax  17,3 km, Ay  10,0 km 6  1015 3,2  105 años 2,39  102 Problemas En algunos problemas se dan más datos de los realmente necesarios; en otros pocos, deben aportarse algunos datos a partir de conocimientos generales, fuentes externas o estimaciones lógicas. En los datos numéricos sin coma decimal se deben considerar significativos todos los dígitos, incluidos los ceros a la derecha del último diferente de cero. • Concepto simple, un solo paso, relativamente fácil •• Nivel intermedio, puede exigir síntesis de conceptos ••• Desafiante, para alumnos avanzados La solución se encuentra en el Manual de soluciones Los problemas consecutivos que están sombreados son problemas relacionados. SSM PROBLEMAS CONCEPTUALES 1 • ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas no es una de las fundamentales del Sistema Internacional (SI)? (a) Masa. (b) Longitud. (c) Energía. (d) Tiempo. (e) Todas ellas son magnitudes físicas funda- mentales. 2 • Al hacer un cálculo, el resultado final tiene las dimensiones m/s en el numerador y m/s2 en el denominador. ¿Cuáles son las uni- dades finales? (a) (b) (c) (d) s, (e) m/s. 3 • El prefijo giga significa: (a) 103, (b) 106, (c) 109, (d) 1012, (e) 1015. 4 • El prefijo mega significa: (a) 109, (b) 106, (c) 103, (d) 106, (e) 109. 5 • Demostrar que un pie equivale a 30,48 cm. ¿Cuántos centí- metros hay en una milla? 6 • El número 0,000 513 0 tiene ______ cifras significativas. (a) una, (b) tres, (c) cuatro, (d) siete, (e) ocho. 7 • El número 23,0040 tiene ______ cifras significativas. (a) dos, (b) tres, (c) cuatro, (d) cinco, (e) seis. 8 • Una fuerza tiene dimensiones de masa por aceleración. La aceleración tiene dimensiones de velocidad dividida por tiempo. La pre- sión es una fuerza dividida por un área. ¿Cuáles son las dimensiones de la presión? 9 • Verdadero o falso: para multiplicar dos magnitudes es con- dición necesaria que tengan las mismas dimensiones. 10 • Un vector tiene la componente x negativa y la componente y positiva. Su ángulo medido en la dirección contraria a las agujas del reloj desde el eje x está (a) entre cero y 90 grados, (b) entre 90 y 180 gra- dos, (c) más allá de los 180 grados. 11 • Un vector señala en la dirección positiva del eje x. Mostrar gráficamente tres posibles elecciones para un vector de forma que señale en la dirección positiva del eje y. SSMB S  A S B S A S SSM s3>m2,1>s,m2>s3, SSM 12 • Un vector señala en la dirección positiva del eje y. Mostrar gráficamente tres elecciones para un vector de forma que se- ñale en la dirección positiva del eje x. 13 • ¿Es posible que tres vectores del mismo módulo sumen cero? Si lo es, muestre la respuesta gráficamente. En caso contrario, explique por qué no es posible. CÁLCULO Y APROXIMACIONES 14 • El ángulo subtendido por el diámetro de la Luna en un punto de la Tierra es aproximadamente 0,524° (figura 1.18). Con este dato y sabiendo que la Luna dista 384 Mm de la Tierra, hallar su diá- metro. (El ángulo u subtendido por la Luna es, aproximadamente, igual a D/rl, donde D es el diámetro de la Luna y rl es la distancia a la misma.) SSM B S  A S B S A S 0,524° F I G U R A 1 . 1 8 Problema 14 15 • APLICACIÓN BIOLÓGICA Si se supone que el cuerpo humano está formado esencialmente de agua se puede hacer una sencilla estima- ción. La masa de una molécula de agua es 29,9  1027 kg. Estimar las moléculas de agua que forman una persona de 60 kg de masa. SSM 24 | C A P Í T U L O 1 Medida y vectores 16 •• APLICACIÓN A LA INGENIERÍA En 1989, científicos de la compa- ñía IBM consiguieron mover átomos con un microscopio de barrido de efecto tunel (STM). El público pudo apreciar esta tecnología cuando vio las letras IBM formadas a partir de átomos de xenon sobre una superficie de niquel. Las letras IBM se extendían una distancia que equivalía a unos 15 átomos de xenon. Si el espacio entre los centros de átomos de xenon adyacentes es de 5 nm (5  109 m), estimar cuántas veces puede escri- birse la palabra “IBM” en una página de 21,6 cm de ancho. CONVERSIÓN DE UNIDADES 25 • MÚLTIPLES PASOS A partir de la definición original de metro en función de la distancia del Ecuador al polo Norte hallar en me- tros (a) la circunferencia de la Tierra y (b) el radio de la Tierra. (c) Con- vertir las respuestas dadas en (a) y (b) de metros a millas. 26 • La velocidad del sonido en el aire es 343 m/s. ¿Cuál es la ve- locidad de un avión supersónico que se mueve con una velocidad doble a la del sonido? Dar la respuesta en kilómetros por hora y millas por hora. 27 • Un jugador de baloncesto tiene una altura de 6 ft y 10,5 in. ¿Cuál es su altura en centímetros? 28 • Completar las siguientes igualdades: (a) 100 km/h  ______ mi/h, (b) ______ in, (c) ______ m. 29 • La mayor separación entre dos soportes del puente Golden Gate es de 4200 pies. Expresar esta distancia en kilómetros. 30 • Hallar el factor de conversión para convertir millas por hora en kilómetros por hora. 31 • Completar las siguientes expresiones: (a) 1,296  105 km/h2  ______ (b) ______ (c) ______ (d) ______ 32 • Una milla cuadrada tiene 640 acres. ¿Cuántos metros cua- drados tiene un acre? 33 •• PÓNGALO EN SU CONTEXTO Supongamos que usted es un repartidor de una compañía que comercializa agua mineral. Su camión transporta 4 palés cada uno de los cuales contiene 60 cajas de agua. Cada caja contiene 24 botellas de agua de un litro y la carretilla que usa para transportar el agua a los comercios tiene un límite de peso de 250 lb (114 kg.) (a) Si un mililitro de agua tiene una masa de 1 g, y un kilo- gramo pesa 2,2 libras, ¿cuál es el peso en libras de toda el agua del ca- mión? (b) ¿Cuántas cajas llenas de agua puede transportar en la carreti- lla? 34 •• Un cilindro circular recto tiene un diámetro de 6,8 in y una altura de 2 ft. ¿Cuál es el volumen del cilindro en (a) pies cúbicos, (b) metros cúbicos, (c) litros? 35 •• En las siguientes expresiones, x está en metros, t en segun- dos, v en metros por segundo y la aceleración a en metros por segundo cuadrado. Determinar las unidades del SI de cada combinación: (a) (b) (c) DIMENSIONES DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS 36 • ¿Cuáles son las dimensiones de las constantes que aparecen en cada uno de los apartados del problema 23? 37 • La ley de desintegración radiactiva es donde N0 es el número de núcleos radiactivos en el instante t  0, N(t) es el nú- mero que permanece sin desintegrar en el tiempo t, y es la llamada constante de desintegración. ¿Qué dimensiones tiene 38 •• La unidad del SI de fuerza, el kilogramo-metro por segundo cuadrado , se denomina newton (N). Hallar las dimensiones y las unidades del SI de la constante G en la ley de Newton de la gravi- tación 39 •• Cuando un muelle se estira una distancia x a partir de su po- sición de equilibrio, el módulo de la fuerza (F) viene dado por (ley de Hooke). (a) ¿Cuáles son las dimensiones de la constante k? (b) ¿Cuáles son las dimensiones y las unidades SI de 40 •• Demostrar que el producto de la masa por la aceleración y la velocidad tiene las dimensiones de una potencia. kx2? F  kx F  Gm1m2 >r2. 1kg # m>s22 l? l N1t2  N0elt, SSM 1 2 at2.1x>a , v2>x, SSM m>s.60 mi>h ft>s, 60 mi>hm>s2,1,296  105 km>h2 km>(h # s), 100 yd 60 cm  (Gentileza de IBM Reasearch, Almaden Research Center.) 17 •• Se ha debatido públicamente con frecuencia cuáles son las consecuencias ambientales de usar pañales desechables o pañales reuti- lizables de tela. (a) Supóngase que un bebé, desde que nace y hasta los 2,5 años, usa tres pañales al día. Estimar cuántos pañales desechables se usan cada año en los Estados Unidos. (b) Calcular el volumen de verte- dero ocupado por los pañales, suponiendo que 1000 kg de estos resi- duos ocupan 1 m3. (c) Calcular la superficie que ocuparían anualmente estos residuos si se supone que necesitan una profundidad media en el vertedero de 10 m. 18 •• (a) Estimar cuántos litros de gasolina usan los automóviles cada día en los Estados Unidos y el coste asociado. (b) Si de un barril de crudo se obtienen 73,45 L de gasolina, calcular cuántos barriles de pe- tróleo deben importarse en un año en los Estados Unidos para fabricar la gasolina necesaria para la automoción. ¿Cuántos barriles por día su- pone esta cifra? 19 •• APLICACIÓN A LA INGENIERÍA Un megabyte (MB) es una unidad de almacenamiento en la memoria de los ordenadores. Un CD tiene una capacidad de almacenamiento de 700 MB y puede almacenar 70 minutos de música de alta calidad. (a) Si una canción típica dura 5 minu- tos, ¿cuántos megabytes ocupa una canción? (b) Si una página de texto im- preso ocupa aproximadamente 5 kilobytes, estimar cuántas novelas se pueden guardar en un CD. UNIDADES 20 • Expresar las siguientes magnitudes usando los prefijos que se recogen en la tabla 1.1 y las abreviaturas de la página 5 (tabla 1.1); por ejemplo, 10 000 metros  10 km. (a) 1 000 000 watts, (b) 0,002 gramos, (c) 3  106 metros, (d) 30 000 segundos. 21 • Escribir cada una de las siguientes magnitudes sin usar pre- fijos: (a) (b) 4 ns, (c) 3 MW, (d) 25 km. 22 • Escribir las siguientes magnitudes (que no se expresan en unidades del SI) usando prefijos (pero no sus abreviaturas). Por ejemplo, 103 metros  1 kilómetro: (a) 1012 abucheos, (b) 109 mugidos, (c) 106 te- léfonos, (d) 1018 chicos, (e) 106 teléfonos, (f) 109 cabras, (g) 1012 toros. 23 •• En las ecuaciones siguientes, la distancia x está en me- tros, el tiempo t en segundos y la velocidad v en metros por se- gundo. ¿Cuáles son las unidades del SI de las constantes C1 y C2? (a) (b) (c) (d) (e) 24 •• Si en el problema 23 se expresa x en pies, t en segundos y v en pies por segundo, ¿cuáles son las dimensiones de las constantes C1 y C2? SSMv2  2C1v  1C2x22. x  C1 cos C2t,v 2  2C1x,x  1 2C1t 2,x  C1  C2t, 40 mW, SSM Problemas | 25 41 •• El momento lineal o ímpetu de un objeto es el producto de su masa por su velocidad. Demostrar que esta magnitud tiene las dimensiones de una fuerza multiplicada por el tiempo. 42 •• ¿Qué combinación de la fuerza y otra magnitud física tiene las dimensiones de la potencia? 43 •• Cuando un objeto cae a través del aire, se produce una fuerza de arrastre que depende del producto del área superficial del ob- jeto y del cuadrado de su velocidad, es decir, donde C es una constante. Determinar las dimensiones de C. 44 •• La tercera ley de Kepler relaciona el periodo de un planeta con su radio r, la constante G de la ley de gravitación de Newton y la masa del Sol, MS. ¿Qué combinación de estos facto- res ofrece las dimensiones correctas para el periodo de un planeta? NOTACIÓN CIENTÍFICA Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS 45 • Expresar los siguientes números como números decimales sin utilizar la notación de potencias de diez: (a) 3  104, (b) 6,2  103, (c) 4  106, (d) 2,17  105. 46 • Escribir en notación científica los siguientes valores: (a) ______ km, (b) ______ MW, (c) ______ s, (d) ______ mm. 47 • Realizar las siguientes operaciones, redondeando hasta el número correcto de cifras significativas, y expresar el resultado en no- tación científica: (a) (1,14)(9,99  104), (b) (2,78  108) – (5,31  109), (c) 12p/(4,56  103), (d) 27,6  (5,99  102). 48 • Efectuar las siguientes operaciones redondeando al nú- mero correcto de cifras significativas y expresando el resultado en notación científica: (a) (200,9)(569,3), (b) (0,000 000 513) (62,3  107), (c) 28,401  (5,78  104), (d) 63,25/(4,17  103). 49 • APLICACIÓN BIOLÓGICA Una membrana celular posee un espesor de 7 nm. ¿Cuántas membranas de este espesor deberían api- larse para conseguir una altura de 1 pulgada? 50 •• APLICACIÓN A LA INGENIERÍA Hay que perforar un agujero circu- lar de 8,470 101 cm de radio en el panel frontal de un monitor. La tole- rancia es de 1,0 103 cm, lo cual significa que el radio del agujero real no puede diferir en una magnitud superior a esta cantidad. Si el agujero real excede al radio deseado precisamente en el margen de tolerancia, ¿cuál es la diferencia entre el área real del agujero y el área requerida para el mismo? 51 •• APLICACIÓN A LA INGENIERÍA Un taco cuadrado debe ajustarse a un orificio de forma cuadrada. El lado del taco mide 42,9 mm y el del ori- ficio 43,2 mm. (a) ¿Cuál es el área del espacio entre el taco y el orificio? (b) Si se hace el taco de forma rectangular limando 0,10 mm de material de un lado, ¿cuál es ahora el área vacia entre el taco y el orificio? VECTORES Y SUS PROPIEDADES 52 • MÚLTIPLES PASOS Se suman dos vectores de 7,0 y 5,5 uni- dades de longitud. El resultado es un vector de 10,0 unidades. (a) Mostrar gráficamente al menos una forma mediante la cual puede llevarse a cabo la suma. (b) Use el diagrama del apartado anterior para determinar el ángulo entre los dos vectores originales. 53 • Determinar las componentes x e y de los tres vectores si- guientes del plano xy. (a) Un vector desplazamiento de 10 m que forma un ángulo de 30° en la dirección de las agujas de un reloj con la dirección positiva del eje y. (b) Un vector velocidad de 25 m/s que forma un ángulo de 40° contrario a las agujas del reloj con la dirección x. (c) Un vector fuerza de 40 lb que forma un ángulo de 120° en la dirección contraria a las agujas de un reloj con la dirección y. SSM SSM SSM SSM 3,0 m 54,32 ps  12 340 kW 1345 100 m SSM (F  Gm1m2 >r2), SSM Faire  CAv 2, SSM 54 • Reescriba los vectores siguientes en función de su mag- nitud y su ángulo (en el sentido contrario a las agujas del reloj con respecto a la dirección x). (a) Un vector desplazamiento con 8,5 m de componente x, y 5,5 m de componente y. (b) Un vector veloci- dad con 75 m/s de componente x y 35 m/s de componente y. (c) Un vector fuerza de 50 lb de módulo situado en el tercer cuadrante con una componente x cuyo módulo es de 40 lb. 55 • CONCEPTUAL Una persona camina 100 m siguiendo una línea recta sobre el plano horizontal. Si la persona se mueve 50 m hacia el este, ¿cuáles son los movimientos posibles de la persona hacia el norte o hacia el sur? ¿Cuáles son los ángulos posibles con respecto de la dirección este que el camino recorrido por la persona puede haber alcanzado? 56 • APROXIMACIÓN El destino final de un paseo está a 300 m en la dirección este considerada a partir del punto de partida. La primera etapa coincide con el paseo descrito en el problema anterior. La segunda etapa se desarrolla a lo largo de una línea recta. Estimar gráficamente la longitud y dirección de esta segunda etapa. 57 •• Dados los vectores siguientes: y (a) Determinar el vector en función de los vectores unitarios, de modo que (b) Expresar la respuesta del apartado ante- rior en función del módulo y del ángulo con respecto la dirección posi- tiva del eje x. 58 •• Dados los vectores siguientes: de 25 lb de módulo y que forma un ángulo de 30° en el sentido de las agujas del reloj con la di- rección positiva del eje x, y de 42 lb de módulo y que forma un án- gulo de 50° en el sentido de las agujas del reloj con la dirección positiva del eje y, (a) construir un esquema y estimar visualmente el módulo y el ángulo del vector de forma que sea un vector de 35 lb de módulo orientado según la dirección positiva del eje x. (b) Repetir el cálculo del apartado (a) usando el método de las componentes y com- parar el resultado con el estimado a partir del apartado (a). 59 •• Expresar en función de y el vector de módulo unidad opuesto a la dirección de cada uno de los vectores , y del pro- blema 57. 60 •• Los vectores unitarios y señalan al este y al norte, res- pectivamente. Calcular expresándolo en función de ellos, el vector unitario en las direcciones siguientes: (a) nordeste (b) 70° en la direc- ción de las agujas del reloj contados a partir de la dirección del eje y; (c) sudoeste. PROBLEMAS GENERALES 61 • En las misiones Apolo a la Luna durante los años 60 y 70, el viaje de la Tierra a la Luna duraba unos tres días desde el momento en que la cápsula abandonaba la órbita terrestre. Estimar la velocidad media del vehículo espacial en kilómetros por hora, millas por hora y metros por segundo. 62 • Muchas de las carreteras de Canadá limitan la velocidad de los vehículos a 100 km/h. ¿Cuál es la velocidad límite en mi/h? 63 • Contando dólares a razón de 1 $ por segundo, ¿cuántos años necesitaríamos para contar 1000 millones de dólares? 64 • (a) La velocidad de la luz en el vacío es 186 000 mi/s  3  108 m/s. Utilizar este dato para hallar el número de kilómetros que tiene una milla. (b) El peso de un pie cúbico de agua es 62,4 libras y 1,00 pie  30,5 cm. Utilizar este dato y el hecho de que 1 cm3 de agua tiene una masa de 1 g para hallar el peso en libras de 1 kg de masa. 65 • La masa de un átomo de uranio es 4,0 1026 kg. ¿Cuántos átomos de uranio hay en 8 g de uranio puro? 66 •• Durante una tormenta cae un total de 1,4 pulgadas de lluvia. ¿Cuánta agua ha caído sobre un acre de tierra? (1 mi2  640 acres.) Expresar la respuesta en: (a) pugadas cúbicas, (b) pies cúbicos, (c) metros cúbicos, y (d) kilogramos. Obsérvese que la densidad del agua es 1000 kg/m3. SSM jnin SSM C S B S A S jnin 2A S  C S  B S C S B S A S D S  2A S  3C S  4B S  0. D S C S  5,4in  19,12jn.BS  17,72in  3,2jn, A S  3,4in  4,7jn,