Física Tipler Mosca 2, Apuntes de Física

¡Descarga Física Tipler Mosca 2 y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity! SISTEMAS DE MEDIDA Capítulo 1.1 Unidades 1.2 Conversión de unidades 1.3 Dimensiones de las magnitudes físicas 1.4 Notación científica 1.5 Cifras significativas y órdenes de magnitud En una playa hay 1a para contarlos uno por u tener el número aproximado por m emasiados gr: lio de hipótesis razonables y ¿Cuántos granos de arena hay en su playa favorita? (Véase el ejemplo 1.6.) E 1 hombre siempre ha sentido curiosidad por el mundo que le rodea. Como demues- tran los primeros documentos gráficos, el hombre siempre ha buscado el modo de im- poner orden en la enmarañada diversidad de los sucesos observados. La ciencia es un método de búsqueda de los principios fundamentales y universales que gobiernan las causas y los efectos en el universo. El método científico consiste en construir, probar y relacionar modelos con el objetivo de describir, explicar y predecir la realidad. Esta me- todología comporta establecer hipótesis, realizar experimentos que se puedan repetir y observar y formular nuevas hipótesis. El criterio esencial que determina el valor de un modelo científico es su simplicidad y su utilidad para elaborar predicciones o para ex- plicar observaciones referidas a un amplio espectro de fenómenos. Generalmente consideramos la ciencia como dividida en diversos campos separa- dos, aunque esta división sólo tuvo lugar a partir del siglo XIX. La separación de siste- mas complejos en categorías más simples que pueden estudiarse más fácilmente, constituye uno de los mayores éxitos de la ciencia. La biología, por ejemplo, estudia los organismos vivos. La química trata de las interacciones de los elementos y compuestos. La geología es el estudio de la Tierra, La astronomía estudia el sistema solar, las estre- llas y las galaxias, y el universo en su conjunto. La física es la ciencia que trata de la materia y de la energía, del espacio y del tiempo. Incluye los principios que gobiernan el movimiento de las partículas y las ondas, las interacciones de las partículas y las pro- piedades de las moléculas, los átomos y los núcleos atómicos, así como los sistemas de mayor escala, como los gases, los líquidos y los sólidos. Algunos consideran que la fí- sica es la más fundamental de las ciencias porque sus principios son la base de los otros campos científicos. = 4 | Capítulo 1 Sistemas de medida La física es la ciencia de lo exótico y la ciencia de la vida cotidiana. En el extremo de lo exótico, los agujeros negros ponen retos a la imaginación. En la vida diaria, inge- nieros, músicos, arquitectos, químicos, biólogos, médicos, etc.. controlan temas tales como transmisión del calor, flujo de fluidos, ondas sonoras, radiactividad y fuerzas de tensión en edificios o en huesos para realizar su trabajo diario. Innumerables cuestiones respecto a nuestro mundo pueden responderse con un conocimiento básico de la física. ¿Por qué un helicóptero tiene dos rotores? ¿Por qué los astronautas flotan en el espa- cio? ¿Por qué los relojes que se mueven van más lentos? ¿Por qué el sonido se propaga alrededor de las esquinas, mientras la luz se propaga en línea recta? ¿Por qué un oboe sue- na distinto de una flauta? ¿Cómo funcionan los lectores de discos compactos (CD)? ¿Por qué no hay hidrógeno en la atmósfera? ¿Por qué los objetos metálicos parecen más fríos que los objetos de madera a igual temperatura? ¿Por qué el cobre es un conductor eléctri- co mientras que la madera es un aislante? ¿Por qué el litio, con sus tres electrones, es enor- memente reactivo, mientras que el helio, con dos electrones, es químicamente inerte? «En este capítulo empezaremos a prepararnos para contestar a algunas de estas preguntas examinando las unidades y sus dimensiones. Cada vez que se realiza una medida, debe saberse con qué precisión se ha hecho. Si un indicador del contenido de combustible de un depósito indica que hay 100 litros, ello no significa que haya exactamente 100 litros. Por lo tanto, ¿qué significa en realidad este dato, y cómo tenemos que expresarlo? Física clásica y moderna Los primeros esfuerzos registrados por el ser humano para reunir sistemáticamente el cono- cimiento sobre el movimiento de los cuerpos proceden de la antigua Grecia. En la filosofía natural establecida por Aristóteles (384-322 a.C.) las explicaciones de los fenómenos físicos se deducían de hipótesis sobre el mundo y no de la experimentación. Por ejemplo, una hipó- tesis fundamental afirmaba que toda sustancia tenía un “lugar natural” en el universo, Se estableció que el movimiento era el resultado del intento de una sustancia de alcanzar su lugar natural. El acuerdo entre las deducciones de la física aristotélica y los movimientos observados en el universo físico, y la falta de una tradición experimental que derrocase la física antigua, hizo que el punto de vista de los griegos fuera aceptado durante casi dos mil años. Fue el científico italiano Galileo Galilei (1564-1642). quien con sus brillantes experi- mentos sobre el movimiento estableció para siempre la absoluta necesidad de la experimen- tación en la física e inició la desintegración de la física de Aristóteles. Unos cien años después, Isaac Newton generalizó los resultados experimentales de Galileo en sus tres leyes fundamentales del movimiento, y el reino de la filosofía natural de Aristóteles se extinguió. Durante los siguientes doscientos años la experimentación aportó innumerables descu- brimientos que inspiraron el desarrollo de las teorías físicas para su explicación. A finales del siglo XIX, las leyes de Newton referentes a los movimientos de los sistemas mecánicos se asociaron a las igualmente impresionantes leyes de James Maxwell, James Joule, Sadi Car- not y otros para describir el electromagnetismo y la termodinámica. Los temas que ocuparon a los físicos durante la última parte del siglo XIx —mecánica, luz, calor, sonido, electricidad y magnetismo— constituyen lo que se denomina física clásica. Como lo que necesitamos para comprender el mundo macroscópico donde vivimos es la física clásica, ésta domina en las partes La V de este texto. El notable éxito alcanzado por la física clásica llevó a muchos científicos al convenci- miento de que la descripción del universo físico se había completado. Sin embargo, el descu- brimiento de los rayos X realizado por Wilhelm Roentgen en 1895 y el de la radiactividad por Antoine Becquerel y Marie y Pierre Curie los años siguientes parecían estar fuera del marco de la física clásica. La teoría de la relatividad especial propuesta por Albert Einstein en 1905 con- tradecía las ideas de espacio y tiempo de Galileo y Newton. En el mismo año, Einstein sugirió que la energía luminosa estaba cuantizada; es decir, que la luz se propaga en paquetes discretos y no en forma ondulatoria y continua como suponía la física clásica. La generalización de esta idea a la cuantización de todos los tipos de energía es un concepto fundamental de la mecánica cuántica, con sorprendentes e importantes consecuencias. La aplicación de la relatividad espe- Otros sistemas de unidades Otro sistema decimal que aún se utiliza, pero que está siendo reemplazado gradualmente por el sistema del SI, es el sistema cgs, basado en el centímetro, el gramo y el segundo. El centí- metro se define ahora como 0,01 m y el gramo como 0,001 kg. Originalmente el gramo se definió como la masa de 1 cm* de agua a 4 “C, (Según esta definición un kilogramo es la masa de 1000 centímetros cúbicos o un litro de agua.) Existen otros sistemas de unidades como el sistema técnico inglés utilizado en los EE.UU. y otros países de habla inglesa, en el que se toma la libra como unidad fundamental de fuerza. La libra se define en función de la atracción gravitatoria de la Tierra en un lugar determinado sobre un cuerpo patrón. La unidad de masa se define entonces en función de la libra. La unidad fundamental de longitud en este sistema es el pie (ft) y la unidad de tiempo es el segundo con la misma definición que la unidad del SI. El pie se define como un tercio de una yarda (yd), y ésta se define ahora en función del metro como: Lyd = 0,9144 m (1.1) l pie = ] yd = 0,3048 m (1.2) Esto hace que la pulgada sea exactamente 2,54 cm. Este sistema no es decimal y es menos con- veniente que el SI o cualquier otro sistema decimal, pues los múltiplos comunes de sus unida- des no son potencias de 10. Por ejemplo 1 yarda = 3 pies y 1 pie = 12 pulgadas. En el capítulo 4 veremos que la masa es una elección mejor que la fuerza como unidad fundamental, por tra- tarse de una propiedad intrínseca de un objeto que es independiente de su localización. En el Apéndice A se dan las relaciones entre el sistema técnico inglés y el SI, 1.2 Conversión de unidades Todas las magnitudes físicas contienen un número y una unidad. Cuando estas magnitudes se suman, se multiplican o se dividen en una ecuación algebraica, la unidad puede tratarse como cualquier otra magnitud algebraica. Por ejemplo, supóngase que deseamos Hallar la distancia recorrida en 3 horas (h) por un coche que se mueve con una velocidad constante de 80 kilómetros por hora (km/h). La distancia x es precisamente la velocidad v multiplicada por el tiempo £: dd 3) = 240 km Eliminamos la unidad de tiempo, la hora, igual que haríamos con cualquier otra magnitud algebraica para obtener la distancia en la unidad de longitud correspondiente, el kilómetro. Este método permite fácilmente pasar de una unidad de distancia a otra. Supóngase que quisiéramos convertir nuestra respuesta de 240 km en millas (mi). Teniendo en cuenta que 1 mi = 1,61 km, si dividimos los dos miembros de esta igualdad por 1,61 km se obtiene Como toda magnitud puede multiplicarse por 1 sin modificar su valor, podemos cambiar 240 km en millas multiplicando por el factor (1 mi)/(1,61 km): 1 mi 1,61 kr 240 km = 240 kx = 149 mi El factor (1 mi)/(1,61 km) se denomina factor de conversión. Todos los factores de conver- sión tienen el valor de 1 y se utilizan para pasar una magnitud expresada en una unidad de medida a su equivalente en otra unidad de medida. Escribiendo explícitamente las unidades, no es necesario pensar si hay que multiplicar o dividir por 1,61 para pasar de kilómetros a millas, ya que las unidades indican si hemos escogido el factor correcto o el incorrecto. 1.2 Conversión de unidades | 7 8 | capítulo 1 Sistemas de medida la) (b) (a) Haces de láser emitidos desde el Ob torio Macdonald para medir la distancia hasta la Luna. Esta distancia se mide con un error de pocos centímetros midiendo el tiempo transcurrido en el viaje de ida y vuelta del rayo láser a la Luna después de reflejarse en un espejo (6) allí emplazado por los astronautas del Apolo 14, Uso de los factores de conversión EJEMPLO 1.1 Un empleado de una empresa con sede en Estados Unidos ha de viajar, por encargo de su empresa, a un país donde las señales de tráfico muestran la distancia en kilómetros y los velocí- metros de los coches están calibrados en kilómetros por hora. Si con su vehículo viaja a 90 km por hora, ¿a cuánto equivale su velocidad expresada en metros por segundo y en millas por hora? Planteamiento del problema Utilizaremos el hecho de que 1000 m = 1 km, 60 s min y 60 min = 1 h para convertir los kilómetros por hora en metros por segundo. Se multiplica la magnitud 90 km/h por una serie de factores de conversión de valor 1 de modo que el valor de la velocidad no varía. Para convertir la velocidad en millas por hora, se utiliza el factor de conversión (1 mi)/(1,61 km) = 1. 90krí _ 1000 m 1 | mi 1. Multiplicar 90 km/h por una serie de factores de conversión que trans- A E e 60 pan 60 forman los kilómetros en metros y las horas en segundos: AI da : 90m i 2. Multiplicar 90 km/h por 1 mi/1.61 km: , E 2 DET Ejercicio ¿Cuál es el equivalente de 65 mi/h en metros por segundo? (Respuesta 29.1 m/s.) 1.3 Dimensiones de las magnitudes físicas El área de una figura plana se encuentra multiplicando una longitud por otra. Por ejemplo, el NESTPORT A área de un rectángulo de lados 2 m y 3 mes A =(2 m)(3 m) =6 m?. La unidad de esta área es pepe el metro cuadrado. Puesto que el área es el producto de dos longitudes, se dice que tiene NT AN dimensiones de longitud por longitud, o longitud al cuadrado, que suele escribirse £?, La AN idea de dimensiones se amplía fácilmente a otras magnitudes no geométricas. Por ejemplo, la velocidad tiene dimensiones de longitud dividida por tiempo o L/T. Las dimensiones de Otras magnitudes. tales como fuerza O energía, se escriben en función de las magnitudes fun- damentales longitud, tiempo y masa. La suma de dos magnitudes físicas sólo tiene sentido si ambas tienen las mismas dimensiones. Por ejemplo. no podemos sumar un área a una veloci- dad y obtener una suma que signifique algo. Si tenemos una ecuas A=B+C  1.4 Notación científica | 9 las magnitudes A, B y C deben tener las tres las mismas dimensiones. La suma de By C-— TABLA 1.2 Dimensiones de las magnitudes exige que las dos magnitudes estén además expresadas en las mismas unidades. Por ejemplo, físicas si B es un área de 500 cm? y C es 4 m?, debemos convertir B en m? o C en cm? para hallar la suma de las dos áreas. Magnitud A A veces pueden detectarse errores en un cálculo comprobando las dimensiones y unida- Área A P des de las magnitudes que intervienen en él. Supóngase, por ejemplo, que estamos utilizando Volumen v E erróneamente la fórmula A = 277 para el área de un círculo. Veremos inmediatamente que Velocidad v UT esto no puede ser correcto, ya que 21r, tiene dimensiones de longitud, mientras que el área Aceleración a ur tiene dimensiones de longitud al cuadrado. La coherencia dimensional es una condición Fuerza F MUP. necesaria, pero no suficiente para que una ecuación sea correcta. Una ecuación puede tener Presión(F/A) P MILP las dimensiones correctas en cada término, pero no describir una situación física. La tabla Densidad (M/V) p MIL? 1,2 relaciona las dimensiones de algunas magnitudes corrientes en física. Energía E MT Potencia (E/7) P MIYP EJEMPLO 1.2 | Las dimensiones físicas de la presión La presión de un fluido en movimiento depende de su densidad p y su velocidad y. Determinar una combinación sencilla de densidad y velocidad que nos dé las dimensiones correctas de la presión. Planteamiento del problema En la tabla 1.2 se observa que tanto la presión como la densidad tienen unidades de masa en el numerador, mientras que la velocidad no contiene la dimensión M. Dividamos las unidades de presión por las de densidad e inspeccionemos el resultado. 1. Se dividen las unidades de presión por las de densidad: 2. El resultado tiene dimensiones de v?. Las dimensiones de la presión son las mismas que las de densidad multiplicadas por las de velocidad al cuadrado: Observación Cuando estudiemos los fluidos en el capítulo 13, veremos que según la ley de Ber- nouilli aplicada a un fluido que se mueve a una altura constante, p + py? es constante, en donde p es la presión del fluido, Esto también se conoce como el efecto Venturi. 1.4 Notación científica El manejo de números muy grandes o muy pequeños se simplifica utilizando la notación científica. En esta notación, el número se escribe como el producto de un número compren- dido entre 1 y 10 y una potencia de 10, por ejemplo 10? (= 100) ó 10* (= 1000), etc. Por ejemplo, el número 12000000 se escribe 1,2 x 107; la distancia entre la Tierra y el Sol, 150000000 000 m aproximadamente, se escribe 1,5 x 10'! m. El número 11 en 10'! se llama exponente. Cuando los números son menores que 1 el exponente es negativo. Por ejemplo, 0,1 = 107! y 0,0001 = 10—*, Por ejemplo, el diámetro de un virus es aproximadamente igual a 0,00000001 m=1x 108 m. Al multiplicar dos números con notación científica, los exponentes se suman; en la divi- sión se restan. Estas reglas pueden comprobarse fácilmente en los siguientes ejemplos: 102x103 = 100x 1000 = 100000 = 10% De igual forma, 102 _ 100 _ 1 103 — 1000 10 En la notación científica, 10% se define como 1. En efecto, dividamos por ejemplo 1000 por sí mismo. Resulta 1000 _ 103 _ ES 3-3 = 100 = 1000 10% 10 19 ! 1 | Capítulo 1 Sistemas de medida EJEMPLO 1.5 l Cifras significativas Determinar la suma 1,040 + 0,21342. Planteamiento del problema El primer número, 1.040, tiene sólo tres cifras significativas des- pués de la coma decimal, mientras que el segundo, 0,21342, tiene cinco. De acuerdo con la regla anterior, la suma sólo puede tener tres cifras significativas después de la coma decimal. Sumar los números manteniendo sólo 3 dígitos más allá de la coma deci- 1,040 + 0,21342 mal: Ejer tes operaciones: (a) 1,58 < 0,03; (b) 1.4+ 2,5. (c) 2,39 x 10?,) Distancias familiares en nuestro mundo cotidiano. La altura de la muchacha es del orden de 10% m y la de la montaña de 10* m. EXPLORANDO ¿Cuántos afinadores de piano hay en Chicago? Averigite esto, y más, en www.whfreeman.com/tiplerS jo Aplicar la regla apropiada para determinar el número de cifras significativas en las siguien- y (6) 2,34 x 107 + 4,93. (Respuestas (a) 0,05. (b) 3. 9; Los datos de la mayor parte de los ejemplos y ejercicios de este texto se dan con tres (y en algunas ocasiones cuatro) cifras significativas, pero en ciertos casos éstas no se han espe- cificado y se dice. por ejemplo, que las dimensiones del tablero de una mesa son de 1 y 3 m en lugar de expresar las longitudes como 1,00 m y 3,00 m. A no ser que se indique lo contra- rio, puede suponerse que cualquier dato que se utilice en un problema o ejercicio se conoce con tres cifras significativas. Esta misma suposición vale para los datos de los problemas de final de capítulo. Cuando se realizan cálculos aproximados o comparaciones se suele redon- dear un número hasta la potencia de 10 más próxima. Tal número recibe el nombre de orden de magnitud. Por ejemplo, la altura de un pequeño insecto, digamos un hormiga, puede ser 8 x 10m =10-* m. Diremos que el orden de magnitud de la altura de una hormiga es de 103 m. De igual modo, como la altura de la mayoría de las personas se encuentra próxima a 2 m. podemos redondear este número y decir que el orden de magnitud de la altura de una persona es de 10” m. Esto no quiere decir que la altura típica de una persona sea realmente de 1 m, sino que está más próxima a 1 m que a 10 m ó 107! =0,1 m. Podemos decir que una persona típica es tres órdenes de magnitud más alta que una hormiga típica, queriendo decir con esto que el cociente entre las alturas es aproximadamente igual a 10* (relación 1000 a 1). Un orden de magnitud no proporciona cifras que se conozcan con precisión. Debe pensarse que no tiene cifras significativas. La tabla 1.3 especifica los valores de los órdenes de magni- tud de algunas longitudes. masas y tiempos relacionados con la fís En muchos casos el orden de magnitud de una cantidad puede estimarse mediante hipó- tesis razonables y cálculos simples. El físico Enrico Fermi era un maestro en el cálculo de respuestas aproximadas a cuestiones ingeniosas que parecían a primera vista imposibles de resolver por la limitada información disponible. El siguiente es un ejemplo de problema de Fermi. ca. La Tierra, con un diámetro del orden de 107 m, El diámetro de la galaxia Andrómedaees del vista desde el espacio. orden de 102! m. Resumen B TABLA 1.3 El universo por órdenes de magnitud IE EE (kg) Intervalo de tiempo (5) Protón 1015. Electrón 1030 Tiempo invertido por la luz en atravesar un núcleo 10-28 Átomo 10719 Protón 10-27 Periodo de la radiación de luz visible 10-15 Virus 107 Aminoácido 10-25 Periodo de las microondas 10-10 Ameba gigante 107% Hemoglobina 102 Periodo de semidesintegración de un muón 107% Nuez 10? Virus de la gripe 1071% Periodo del sonido audible más alto 107 Ser humano 100 Ameba gigante 1078 Periodo de las pulsaciones del corazón humano 10% Montaña más alta 10+ Gota de lluvia 109 Periodo de semidesintegración de un neutrón libre 10% Tierra 107 Hormiga 10% Periodo de rotación terrestre 10% Sol 10? Ser humano 10? Periodo de revolución terrestre 107 Distancia Tierra-Sol 101! Cohete espacial Saturno 5 10% Vida media de un ser humano 10% Sistema solar. 105 Pirámide 1010 Periodo de semidesintegración del plutonio 239 102 Distancia de la estrella más cercana — 101% Tierra 10% Vida media de una cordillera 1015 Galaxia Vía Láctea 10% Sol 1030. Edad de la Tierra 1017 Universo visible 10% Galaxia Vía Láctea 104 Edad del universo 1018 Universo 10% EJEMPLO 1.6 | Desgaste de los neumáticos ¿Qué espesor de la banda de caucho de un neumático de automóvil se ha desgastado en un reco- rrido de 1 km? Planteamiento del problema Supongamos que el espesor de la banda de un neumático nuevo es de 1 cm. Quizás varíe en un factor de 2, pero desde luego no es 1 mm, ni tampoco 10 cm. Como los neu- máticos deben reemplazarse cada 60.000 km, podemos admitir que la banda está gastada completamente después de recorrer esta distancia, es decir, que su espesor disminuye a razón de 1 em cada 60000 km. e cd As Desgaste de lem. _ Desgaste de 1,7 x 1073 em Utilizar la estimación de desgaste de 1 cm por cada 60000 km de recorrido. ¿0000 km recomidos — Emuecomido para calcular la disminución de espesor en 1 km: =0,2 Jam de desgaste por km recorrido Ejercicio ¿Cuántos granos de arena hay en un tramo de playa de 0.50 km de largo por 100 m de ancho? Sugerencia: supóngase que hay arena hasta una profundidad de 3 m. El diámetro de un grano de arena es del orden de 1,00 mm. (Respuesta =2x 101%.) Resumen Las unidades fundamentales del SI son el metro (m), el segundo (s), el kilogramo (kg), el kelvin (K), el amperio (A), el mol (mol) y la candela (cd). La unidad (o las unidades) de cualquier magnitud física siempre puede(n) expresarse en función de estas unidades fundamentales. TEMA OBSERVACIONES Y ECUACIONES RELEVANTES 1. Unidades La magnitud de una cantidad física (por ejemplo, longitud, tiempo, fuerza y energía) se expresa mediante un número y una unidad. Unidades fundamentales Las unidades fundamentales del Sistema Internacional (SI) son el (m), el segundo (s), el kilogramo (kg), el Kelvin (K), el amperio (A), el mol (mol) y la candela (cd). La unidad (o las unidades) de toda magnitud física puede(n) expresarse en función de estas unidades fundamentales. Las unidades en las ecuaciones Las unidades en las ecuaciones se tratan de igual modo que cualquier otra magnitud algebraica. Conversión Los factores de conversión, que son siempre igual a 1, proporcionan un método conveniente para convertir un tipo de unidad en otra. 14 | capítulo 1 Sistemas de medida 2. Dimensiones Los dos miembros de una ecuación deben tener las mismas dimensiones. 3. Notación científica Por conveniencia, los números muy grandes y muy pequeños se escriben por medio de un factor que multi- plica a una potencia de 10. 4. Exponentes Al multiplicar dos números, los exponentes se suman. Multiplicación División Potencia Al dividir dos números, los exponentes se restan. Cuando un número que contiene un exponente se eleva a otro exponente, los exponentes se multiplican. 5. Cifras significativas Multiplicación y división El número de cifras significativas en el resultado de una multiplicación o división nunca será mayor que el menor número de cifras significativas de cualquiera de los factores. Adición y sustracción El resultado de la suma o resta de dos números no tiene cifras significativas más allá de la última cifra deci- mal en que ambos números originales tienen cifras significativas. 6. Orden de magnitud Un número redondeado a la potencia más próxima de 10 se denomina orden de magnitud. El orden de mag- nitud puede estimarse mediante hipótesis razonables y cálculos simples. Problemas e Concepto simple, un solo paso, relativamente fácil. Nivel intermedio, puede exigir síntesis de conceptos. Desafiante, para alumnos avanzados. La solución se encuentra en el Student Solutions Manual. En algunos problemas se dan más datos de los realmente necesarios; en otros pocos, deben extraerse algunos datos a partir i Problemas que pueden encontrarse en el servicio ¡SOLVE de tareas para casa. de conocimientos generales, ¡ Y Estos problemas del servicio “Checkpoint” son problemas de control, que impulsan alos fuentes externas o estimaciones estudiantes a describir cómo se llega a la respuesta y a indicar su nivel de confianza. lógicas. 7 .' ii El número 23.0040 tiene cifras significativas Problemas conceptuales 1.0. sm i ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas no es una de las fundamentales del Sistema Internacional? (a) Masa. (b) Longitud. (e) Fuerza. (d) Tiempo. (e) Todas ellas son magnitudes físicas fundamentales. 2 .'i Al hacer un cálculo, el resultado final tiene las dimen- siones m/s en el numerador y ns? en el denominador. ¿Cuáles son las unidades finales? (a) m/s. (b) Us. (c) s/m?. (d) s. (e) m/s. 3 ei El prefijo giga significa (a) 10%, (b) 10%, (c) 10%, (4) 10%, (ey Lot. 4 ./'¡i El prefijo mega significa (a) 10. (b) 10%, (c) 107, (d) 10%, (e) 10% s e. sm i (e) 107, (d) 10%, (e) 10% El prefijo pico significa (a) 10-1, (b) 10%, 6 ./¡i El múmero 0,0005130 tiene 7 cifras significativas. (a) una, (b) tres, (c) cuatro, (d) siete, (e) ocho. (a) dos, (b) tres, (c) cuatro, (d) cinco, (e) seis. 8 e ¿Cuálesson las ventajas e inconvenientes de utilizar la longitud de un brazo como unidad estándar de longitud? 9 we Verdadero o falso: (a) Para sumar dos magnitudes es condición necesaria que tengan las mismas dimensiones. (b) Para multiplicar dos magnitudes es condición necesaria que tengan las mis- mas dimensiones, (e) Todos los factores de conversión tienen el valor 1. Cálculo y aproximaciones 10 ee ssM El ángulo subtendido por el diámetro de la Luna en un punto de la Tierra es aproximadamente 0,524* (figura 1.2). Con este dato y sabiendo que la Luna dista 384 Mm de la Tierra, hallar su diámetro. (El ángulo obtenida en este papel es 1.) (5) ¿Qué datos se desvían más de la representa- ción en línea recta de T en función de m1"? Masam,kg 0,10 0,20 0,40 0,50 0,75 1,00 1,50 Periodo T,s 0,56 0,83 1,05 1,28 1,55 1,75 2,22 61 La tabla adjunta da el periodo 7 y el radio r de la órbita correspon- dientes a los movimientos de cuatro satélites que giran alrededor de un asteroide pesado y denso. (a) Estos datos se relacionan mediante la fórmula 7 = Cr”. Hallar C y n. (b) Se descubre un quinto satélite que tiene un periodo de 6,20 años. Determinar la órbita de este satélite que se ajuste a la misma fórmula. Periodo T, años 0,44 1,61 3,88 7,89 Radio 7, Gm 0,088 0,208 0,374 0,600 Problemas | 17 62 eee ssM El periodo T de un péndulo simple depende de la longi- tud L del péndulo y la aceleración y de la gravedad (dimensiones 1/77). (a) Hallar una combinación sencilla de L y g que tenga las dimensiones de tiempo. (b) Comprobar la dependencia existente entre el periodo 7 y la longitud L midiendo el periodo (tiempo para una ida y vuelta completa) de un péndulo para dos valores diferentes de L. (c) En la fórmula correcta que relaciona T.con £ y g interviene una constante que es un múltiplo de 7 y que no puede obtenerse mediante el análisis dimensional de la parte (a). Puede hallarse experimental- mente como en la parte (b) si se conoce g. Utilizando el valor g=9.81 m/s? y los resultados experimentales de la parte (b), hallar la fórmula que relaciona 7. con L ye 63 eee 1 Y Laatmósfera de la Tierra ejerce una presión sobre la superficie terrestre de valor 14,7 libras por pulgada cuadrada de superficie. ¿Cuál es el peso en libras de la atmósfera terrestre? (El radio de la Tierra es 6370 km, aproximadamente.) EL MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION El movimiento en una dirección se asemeja al movimiento a lo largo de una línea recta, como el de un coche en una carretera recta. La conductora se encuentra con semáforos y distintos límites de velocidad en su camino por la carretera hacia la escuela. ¿Cómo puede estimar el tiempo que tardará en llegar? (Véase el ejemplo 2.2.) (o el estudio del universo físico examinando los objetos en movimiento. El estudio del movimiento, cuyo análisis experimental comenzó hace más de 400 años, dando lugar al nacimiento de la física, se denomina cinemática. «” Partiremos del caso más simple, el movimiento de una partícula a lo largo de una línea recta, como el de un coche que se mueve a lo largo de una carretera horizontal, recta y estrecha. Una partícula es un objeto cuya posición puede describirse por un solo punto. Cualquier cosa puede considerarse como una partícula —una molécula, una persona o una galaxia— siempre que podamos ignorar razonablemente su es- tructura interna. 2.1 Desplazamiento, velocidad y módulo de la velocidad? La figura 2.1 muestra un coche que está en la posición x, en el instante 1, y en la posición x, en un instante posterior !;. La variación de la posición del coche x,— xy, se denomina despla- zamiento. Es costumbre utilizar la letra griega A (delta mayúscula) para indicar la variación o incremento de una magnitud. Así pues, la variación de x se escribe Ax: 1. En inglés se usan los términos velocity y speed para denominar la velocidad vectorial y la velocidad escalar o módulo de la velocidad, Aunque se han hecho intentos para denominar ce/eridad al módulo de la velocidad, se suele nombrar los dos conceptos como velocidad, Capítulo 74) 202 2.3 2.4 Desplazamiento, velocidad y módulo de la velocidad Aceleración Movimiento con aceleración constante Integración 20 | capítulo 2 El movimiento en una dimensión == o x, xp 4 Figura2.1 Un automóvilse mueve en línea recta en un sistema de coordenadas formado por una lí- nea en la que se escoge un punto O como origen. A 2.1) DEsINICIÓN —DESPLAZAMIENTO: La notación Ax (léase “delta de x”) corresponde a una sola magnitud, el incremento de x (no al producto de A por x, como tampoco cos 0 es el producto del cos por 6). Por convenio, la variación experimentada por una magnitud es siempre su valor final menos su valor inicial. Se define la velocidad media de la partícula v,,, como el cociente entre el desplaza- cada punto de la línea se asigna un número x, cuyo valor es proporcional a la distancia a O. Los puntos a la derecha de O son positivos y a la izquierda, ne- gativos. Cuando el coche se desplaza desde el punto x; al punto x¿, su desplazamiento es Ár=xp— xj. miento Ax y el intervalo de tiempo Af = f;— tj; HA 22) DEFINICIÓN —VELOCIDAD MEDIA El desplazamiento y la velocidad media pueden ser positivas o negativas. Un valor positivo indica el movimiento en la dirección x positiva. La unidad del SI de velocidad es el m/s. EJEMPLO 2.1 l Desplazamiento y velocidad de un cometa Un cometa que viaja directamente hacia el Sol es detectado por primera vez en x; =3,0 x 102 'm respecto al Sol (figura 2.2). Exactamente un año después se encuentra en x,=2,1 102 m. Determinar su desplazamiento y velocidad media. Planteamiento del problema Los cometas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol. Aquí se considera la distancia desde el Sol como si el cometa se moviese en una dimensión. Conoce- Figura 2.2 mos x, y ay Si elegimos 1,=0 será, 1,=1 año =3,16x 107 s. La velocidad media es Ax/Ar. 1. El desplazamiento se obtiene de su definición: Ar = xx, = (2,.1x 102 m)-(3.0x 102 m) = -9x 101! m Ax _ -9x 10! m 2. La velocidad media es el desplazamiento dividido por el intervalo de — 1 = tiempo: Observación Ambas magnitudes, desplazamiento y velocidad media, son negativos, pues el cometa se mueve hacia los valores más pequeños de x. Obsérvese que las unidades, m para Ar y m/s o Km/s para vy,, son partes esenciales de las respuestas. Carece de significado decir que “el desplaza- miento es -9 X 101%” o “la velocidad media de una partícula es 28,5”. Ejercicio. Un avión de reacción sale de Detroit a las 2:15 p.m. y llega a Chicago, a 483 km de dis- tancia, completando el viaje con una velocidad media de 500 km/h. ¿A qué hora llega a Chicago? (Respuesta 3:13 p.m. hora de Detroit, que es en realidad 2:13 p.m. hora de Chicago.) EJEMPLO 2.2 | Camino de la escuela Habitualmente tardamos 10 minutos en ir de casa a la escuela situada a 5 km de distancia, yendo por una calle recta. Si un día, salimos de casa 15 min antes del comienzo de la clase, pero nos encontramos con un semáforo estropeado que hace que la velocidad durante los 2 primeros kilómetros sea de 20 km/h, ¿legaremos a tiempo? Planteamiento del problema A fin de resolver el problema hay que encontrar el tiempo total que necesitamos para llegar a la escuela. Para ello, hay que calcular el tiempo At> yyy durante el cual vamos a 20 km/h y el tiempo Af; yyy del resto del trayecto, durante el cual la velocidad es la habitual. Ar 3,16x1075 = -2,85 x 10% m/s = 8,5 km/s ¡PÓNGALO EN SU CONTEXTO! 2.1 Desplazamiento, velocidad y módulo de la velocidad 'gente es el límite de la relación Ax/Ar cuando At y, por lo tanto, Ax se aproximan a cero. Así podremos decir, La velocidad instantánea es el límite de la relación Ax/At cuando Ar se aproxima al valor cero, v(t) = lim po pendiente de la línea tangente a la curva x función de 1! (2.4) Ar=>0 Af DEFINICIÓN —VELOCIDAD INSTANTÁNEA. Este límite se denomina derivada de x respecto a £. La notación usual para la derivada es dx/dt: Ax _ dx (2.5) v= lim => ar>0 Ar dt Esta pendiente puede ser positiva, negativa o nula; por consiguiente, en un movimiento unidimensional la velocidad instantánea puede ser positiva (x creciente) o negativa (x decre- ciente) o nula (no hay movimiento). Su módulo lo denominamos módulo de la velocidad instantánea. EJEMPLO 2.5 | Posición de una partícula en función del tiempo La posición de una partícula viene descrita por la función indicada en la figura 2.6. Hallar la velocidad instantánea en el instante £ =2 s. ¿Cuándo es mayor la velocidad? ¿Cuándo es nula? ¿Es negativa alguna vez? Planteamiento del problema En la figura 2.6 hemos dibujado la línea de tangente a la curva en el instante 1= 2 s. La pendiente de la línea tangente es la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo dado. Puede utilizarse esta figura para medir la pendiente de la línea tangente. Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo Pasos Respuestas 1. Determinar los valores x; y x2 sobre la línea tangente en los instantes 1=4m, ti=2syh=53s. y - E 8,5 2. Calcular la pendiente de la línea tangente a partir de estos valores. Esta — y = pendiente == pendiente es igual a la velocidad instantánea en 1=2 5. Según la figura, la pendiente (y por lo tanto, la velocidad instantánea) es mayor en aproximadamente 1=4 s. La pendiente y la velocidad son cero para 1=0 y 1=6 s y son negativas antes de O y después de 6 s. sa 1,17 m/s.) Ejercicio ¿Cuál es la velocidad media de esta partícula entre 1=2 s y t=5 s? (Respuesta EJEMPLO 2.6 | Caída de una piedra desde un acantilado La posición de una piedra que a partir del reposo se deja caer desde un acantilado viene dada por x= 5f, en donde x se mide en metros y hacia abajo desde la posición inicial cuando f = 0, y £ se expresa en segundos. Hallar la velocidad en un instante f cualquiera. (Se omite la indica- ción explícita de la unidades para simplificar la notación.) Planteamiento del problema Podemos calcular la velocidad de un instante determinado £ cal- culando la derivada dx/dr directamente a partir de su definición en la ecuación 2.4. En la figura 2.7 se muestra la curva correspondiente que nos da x en función de £. Las líneas tangentes están dibujadas en los tiempos 1, f> y 13. Las pendientes de estas líneas tangentes crecen uniformemente, indicando que la velocidad instantánea crece uniformemente con el tiempo. 1. La pendiente de la línea tangente a la curva suele llamarse de un modo más simple “pendiente de la curva”. 23 Figura 2.5 Gráfico de x en función de £. Obs vese la secuencia de intervalos de tiempo sucesiva- mente más pequeños Af, Af, Afy, .... La velocidad media de cada intervalo es la pendiente de la línea recta para dicho intervalo. A medida que los inter- valos se hacen más pequeños, estas pendientes se aproximan a la pendiente de la tangente a la curva en el punto 1. La pendiente de esta línea se define como la velocidad instantánea en el tiempo 1. ¡INTÉNTELO USTED MISMO! X [OS-WLRNAI E Figura 2.6 4m zm 400 350 250 BASIC INES Figura 2.7 24 | Capítulo 2 El movimiento en una dimensión 1. Por definición la velocidad instantánea es: v) = lim 2 = lim *0440-:0 ar>0. Ar 40 Ar 2. Podemos calcular el desplazamiento Ar a partir de la función posición —x(1) = 5P 0): 3. Enun tiempo posterior £ + Ar, la posición x(1 + Ar) viene dada por: x0+AD) = 5U1+A1? = 519 +21 Ar+ (AN?] = 58+101 Ar+ 5(Ar)? 4. El desplazamiento para este intervalo de tiempo será: Ax = xt+A0)-x0) = [5 +101 Ar+ S(Ar?] - 5 = 101 Ar+5(A1)? 5. Dividir Ax por Ar para determinar la velocidad media en este intervalo — v,, = z = rara = 101+5 Ar de tiempo: 6. A medida que consideramos intervalos de tiempo cada vez máscortos, — (1) = lim Y = Jim, (10£+5Ar) ES ar=0 At Ar se aproxima a cero y el segundo termino, 5Ar, tiende a cero; en cam- bio, el primer término, 10r, permanece invariable: Observación Si hubiéramos hecho Ar=0 en los pasos 4 y 5, el desplazamiento hubiera sido Ax=0, en cuyo caso la relación Ax/At quedaría indefinida. En su lugar, hemos dejado Ar como una variable hasta el paso final, cuando el límite Ar — 0 está bien definido. Aviones repostando en pleno vuelo. Cada uno de ellos está prácticamente en reposo respecto al otro, si bien ambos aparatos se mueven a gran velocidad con respecto al suelo. Para determinar las derivadas rápidamente se utilizan reglas basadas en estos pasos al límite (véase Apéndice Tabla D.4). Una regla particularmente útil es Six=Cr”, entonces o = Cn! (2.6) en donde € y » son constantes, Utilizando esta regla en el ejemplo 2.6 resulta x =Sf y v= dx/dt = 101, de acuerdo con los resultados anteriores. Velocidad relativa Si usted está sentado en un avión que se mueve a 800 km/h hacia el este, su velocidad tam- bién es de 800 km/h hacia el este. Sin embargo, 800 km/h hacia el este podría ser su veloci- dad relativa a la superficie de la Tierra o su velocidad relativa al aire exterior del aparato. (Si el avión vuela dentro de una corriente en chorro, estas dos velocidades podrían ser distintas.) Además, su velocidad es cero si se mide respecto del avión. Por lo tanto, para especificar la velocidad de una partícula, debe también especificarse el sistema de referencia. En esta dis- cusión se han concretado tres sistemas de referencia: la superficie de la Tierra, el aire exte- rior del avión y el propio aparato. Un sistema de referencia es un objeto material cuyas partes están en reposo entre sí. DEFINICIÓN —SISTEMA DE REFERENCIA Para medir la posición de un objeto se usan ejes de coordenadas fijos a sistemas de referen- cia. La posición de un viajero, si éste está sentado en su asiento, es constante, en relación a un sistema de coordenadas horizontal fijo respecto del avión. Sin embargo, para un sistema de coordenadas horizontal fijo respecto de la superficie de la Tierra o para un sistema de coordenadas horizontal fijo respecto de un globo que flota en el aire exterior al avión, la posición del viajero cambia continuamente. Si tiene problemas para imaginarse un sistema de coordenadas fijo en el aire exterior, imagínese un sistema de coordenadas ligado a un globo que flota en el aire. El aire y el globo están en reposo mutuo, por lo cual forman un sis- tema de referencia único. Si una partícula se mueve con velocidad v,, en relación al sistema de coordenadas A y éste a su vez se mueve con velocidad vag en relación a otro sistema de coordenadas B, la velocidad de la partícula relativa a B es Vos = Vpa + VaB (2.7a) Por ejemplo, si una persona nada en un río paralelamente a la dirección de la corriente, su velocidad relativa a la orilla, v,,, es igual a la velocidad vectorial relativa al agua, vp,, más la velocidad del agua relativa a la orilla, v,: Vpo = Vpa + Vao :ontra la corriente y la velocidad vectorial del agua relativa a la 0,8 m/s, en Si la persona nada a 2 m/s orilla es de 1,2 m/s, su velocidad respecto a la orilla será v,, =-2 m/s + 1,2 m/s = donde hemos escogido la dirección de la corriente como sentido positivo. Una gran sorpresa para los científicos de nuestro siglo fue el descubrimiento de que la ecuación 2.7a es sólo una aproximación. Un estudio de la teoría de la relatividad nos muestra que la expresión exacta para las velocidades relativas es Von + Y, DATA (2.76) Ya E a Vanbél 1+vpaVan/c pB en donde c=3 X 10% m/s es la velocidad de la luz en el vacío. En todos los casos cotidianos con objetos macroscópicos, Vpa Y Vag Son velocidades mucho menores que c, con lo cual las ecuaciones 2.7a y 2.7b coinciden, pero si se trata de velocidades muy elevadas, tales como la velocidad de un electrón o la velocidad de las galaxias distantes que se alejan de la Tierra, la diferencia entre estas dos ecuaciones puede ser importante. La ecuación 2.7b tiene la intere- sante propiedad de que si Vpa entonces v¿g también es igual a c, lo cual es un postulado de la relatividad, a saber, la velocidad de la luz es la misma en todos los sistemas de referen- cia que se mueven con velocidad constante relativa entre sí. Ejercicio Use la ecuación 2.7b sustituyendo c por v,, y resuelva para vpp. Observe enton- ces que la ecuación 2.7b está de acuerdo con el resultado que dice “la velocidad de la luz es la misma en todos los sistemas de referencia”. 2.2 Aceleración La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad instantánea. Cuando, por ejemplo, un con- ductor aprieta el pedal del acelerador de su coche, espera cambiar su velocidad. La acelera- ción media en un intervalo particular de tiempo Af = 1, — f,, se define como el cociente Av/Af, en donde Av y a z (2.8) DEFINICIÓN —ACELERACIÓN MEDIA La aceleración tiene las dimensiones de una longitud dividida por el tiempo al cuadrado. La unidad en el SI es m/s?. (En la ecuación 2.8, si el numerador está en m/s y el denominador en s, las unidades de Av/Ar son (m/s)/s. Multiplicando el numerador y el denominador por 1 s, encontramos que las unidades de Av/At son m/s?.) Podemos escribir la ecuación 2.8 como Av= At. Por ejemplo, si decimos que una partícula tiene una aceleración de 5,1 m/s”, ello quiere decir que, si parte del reposo, después de 1 s se moverá con una velocidad de 5,1 m/s; después de 2 s, lo hará con una velocidad de 10,2 m/s y así sucesivamente. La aceleración instantánea es el límite del cociente Av/Ar cuando Ar tiende a cero. Si representamos la 2.2 Aceleración | 25 Fotografía estroboscópica de la caída de una man- zana a 60 destellos por segundo. La aceleración de la manzana viene indicada por el mayor espaciado que se observa en las imágenes inferiores. 28 Capítulo 2 El movimiento en una dimensión El desplazamiento Ax = x — xy en el intervalo de tiempo Ar =1-—0 es Ax = (2.13) Para una aceleración constante, la velocidad varía linealmente con el tiempo y la velocidad media es el valor medio de las velocidades inicial y final. (Esta relación es válida sólo si la aceleración es constante.) Si v, es la velocidad inicial y v la velocidad final, la velocidad media es 30 +v) (2.14) ACELERACIÓN CONSTANTE, Va El desplazamiento es, por lo tanto, Ax = Xx=X9= Voy! = (Vp + v): (2.15) Podemos eliminar y sustituyendo v = v, + at de la ecuación 2.12: Ax = Lv) + v)r = Lv, +vy+ar)t= vot+ lar “Va de cero a 60 en unos 3 segundos.” O Sydney Harris El desplazamiento es, así: Xy = Yot+ lar (2.16) ACELERACIÓN CONSTANTE, x(1) El término vt representa el desplazamiento que tendría lugar si a fuera cero y el término lar? es el desplazamiento adicional debido a la aceleración constante, Ñ 12 y 2.14 se obtiene una expresión entre Áx, a, v y Vy. stituyendo en la ecuación 2.14 se obtiene Eliminando r entre las ecuacione: De la ecuación 2.12, 1 =(v—vp)/a y A) a es decir = v¿+2a Ax (2.17) ACELERACIÓN CONSTANTE La ecuación 2.17 es útil, por ejemplo, si se trata de determinar la velocidad de una pelota que se ha dejado caer desde cierta altura x cuando no nos interesa conocer el tiempo de caída. Problemas con un objeto Muchos problemas prácticos se refieren a objetos en caída libre, es decir, objetos que caen bajo la única influencia de la gravedad. Todos los objetos en caída libre que parten de la misma velocidad inicial se mueven de forma idéntica. Como se ve en la figura 2,9, se sueltan desde el reposo, simultáneamente, una pluma y una manzana en una cámara de vacío, de modo que caen con el mismo movimiento. Ambos objetos tienen la misma aceleración. El módulo de la aceleración causada por la gravedad se designa por g, cuyo valor aproximado es g=9,81 m/s? Como g es el módulo de una aceleración, siempre es positiva. Si la dirección hacia abajo se Figura 2.9 considera positiva, la aceleración debida a la gravedad es a = g; si se considera positiva hacia arriba, entonces a =-g. EJEMPLO 2.9 | El birrete volador Un estudiante de física contento por su graduación lanza su birrete hacia arriba con una velo- cidad inicial de 14,7 m/s. Considerando que su aceleración es 9,81 m/s? hacia abajo (desprecia- mos la resistencia del aire), (a) ¿cuánto tiempo tardará el birrete en alcanzar su punto más alto? (b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? (c) Suponiendo que el birrete se recoge a la misma altura de la que ha salido, ¿cuánto tiempo permanece en el aire? Planteamiento del problema Cuando el birrete alcanza su punto más alto, su velocidad instantá. nea es cero. Así convertimos la expresión “punto más alto” a la condición matemática y =0. y (a) 1. Dibujar el birrete en su posición inicial y en el punto más alto de su trayectoria. Incluir un eje de coordenadas y señalar el origen y las dos posiciones del birrete. 2. El tiempo se relaciona con la velocidad y la aceleración: 3. Calcular el tiempo que tarda el birrete en alcanzar su altura máxima. Para ello hacer v=0 y despejar: (b) — Determinar la distancia recorrida a partir del tiempo £ y la veloci- dad media: (c) 1. Para calcular el tiempo total hacemos Ay =0 en la ecuación 2.16 y despejamos f: 2.3 Movimiento con aceleración constante 29 Y máx v= vw +al Yo O=Yo _ —14,7 m/s a -9,81 m/s? t= Figura 2.10 Ay = Vat = 00 +v)e =1(14,7 m/s +0)(1,50 s) LO Ay = wit lar O = (vo + lane 2. Hay dos soluciones para f cuando Ay=0. La primera corresponde 1 =0 (primera solución) al tiempo en que se lanza el birrete y la segunda corresponde al 2% 2(14,7.m/s) JE tiempo en que se recoge: e (segunda solución) 4% . e ss > . > 30), m Altura Observación — La solución £= 3 s también resulta de la simetría del sistema. El tiempo que tarda el 1 birrete en caer desde la altura máxima es el mismo que transcurre hasta alcanzar dicha altura (figura 10 2.11). En realidad, el birrete no está sometido a una aceleración constante debido a que la resistencia 5 del aire sobre un objeto ligero como es el birrete ejerce un efecto significativo. Si la resistencia del o aire no es despreciable, el tiempo de caída es mayor que el de subida, 0 1 2 34 Ejercicio Calcular ys — yo utilizando (a) la ecuación 2.15 y (b) la ecuación 2.16. (c) Determinar la velocidad del birrete cuando vuelve a su punto de partida. (Respuestas . (a) y (D) Ymax Yo = 11,0 m, +0, E Velocidad (e) 14,7 m/s; obsérvese que la velocidad final es la misma que la velocidad inicial.) 0 Ejercicio ¿Cuál es la velocidad del birrete (a) 0,1 s antes de que alcance su punto más alto y (b) 0,1 s 5 después de alcanzar su punto más alto? (c) Calcular Av/Ar para este intervalo de tiempo de 0,2 s. do E IAE (Respuestas (a) +0,981 m/s, (b) -0,981 ms, (c) [(0.981 m/s — (+0,981 m/s)1/(0.2 s) =-9.81 m/s.) e pa Ejercicio. Un coche acelera desde el reposo 2 8 m/s”. (a) ¿Qué velocidad lleva al cabo de 10 s? Ed5 (b) ¿Qué distancia ha recorrido después de 10 s? (c) ¿Cuál es su velocidad media en el intervalo e 1=0a1= 105? (Respuestas (a) 80 m/s, (b) 400 m, (c) 40 m/s.) Figura 2.11 El ejemplo siguiente se refiere a la distancia de frenado de un coche, es decir, al espacio que recorre desde que comienza a frenar hasta que se detiene. EJEMPLO 2.10 | Distancia de frenado de un vehículo Una persona que conduce un vehículo de noche por una autopista ve de pronto a cierta distan- cia un coche parado y frena hasta detenerse con una aceleración de 3 m/s? (una aceleración que reduce la velocidad suele llamarse desaceleración). ¿Cuál es la distancia de frenado del vehículo si su velocidad inicial es (a) 13 m/s o (b) 30 m/s? 30 | Capítulo 2 El movimiento en una dimensión Planteamiento del problema — Si elegimos la dirección del movimiento como positiva, la dis- tancia de frenado y la velocidad inicial son positivas pero la aceleración es negativa. Así, la veloci- dad inicial es vy = 15 m/s. la velocidad final es v = 0 y la aceleración es a ==5 m/s”. Queremos determinar la distancia recorrida, Ax. Como no necesitamos conocer el tiempo que tarda el coche en detenerse, utilizamos la ecuación 2.17 como la más conveniente. (a) Hacemos v=0 en la ecuación 2.17: Despejamos Ax: v¿+2a Ax poro tanto (b) A partir del apartado anterior vemos que si v=0, Ar==v9/(2a). Así, Ax es proporcional al cuadrado de la velocidad inicial, Haciendo uso de esta observación y del resultado del apartado (a). encontrar la dis- tancia de frenado para una velocidad inicial el doble de la del apar- tado anterior, Observación La respuesta (b) también puede obtenerse sustituyendo directamente la velocidad inicial de 30 11/s en la expresión de Ax deducida en el apartado (4). Noventa metros es una distancia considerable, aproximadamente la longitud de un campo de fútbol. El incremento de yy en un factor 2 modifica la distancia de frenado en un factor 2?=4 (ver figura 2.12). La consecuencia práctica de esta dependencia cuadrática es que incluso incrementos modestos en la velocidad originan aumentos importantes en la distancia de frenado. Yo, ms de los apartados (a) y (b). EJEMPLO 2.11 | Distancia de frenado En el ejemplo 2.10, (a) ¿cuánto tiempo tarda el coche en detenerse si su velocidad inicial es 30 m/s? (b) ¿Qué distancia recorre el coche durante el último segundo? Planteamiento del problema (a) Excepto en los valores, este ejemplo coincide con el apartado (a) del ejemplo 2.9. Utilizar el mismo procedimiento que se ha mostrado en el ejemplo 2.10. (b) Como la velocidad disminuye en 5 m/s cada segundo, la velocidad que tendrá el coche 1 s antes de dete nerse debe ser de 5 m/s. Determinar la velucidad media durante el último segundo y con ella calcular la distancia recorrida. Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo Pasos Respuestas (a) Determina: el tiempo total de frenado. 1 (b) 1. Calcular la velocidad media durante el último segundo, Ma 2. Calcular la distancia recorrida a partir de Ax =vp At. A ES mís3) Figura 2.12 Distancia de frenado en función de la velocidad inicial. La curva muestra el caso del ejem- plo 2.10, en que la aceleración es a =-5,0 m/s?; los puntos que se muestran en la curva son las soluciones ¡ÍNTÉNTELO USTED MISMO! 2,3 Movimiento con aceleración constante 33 Problemas con dos objetos A continuación exponemos algunos problemas que incluyen dos objetos que se mueven con aceleración constante. Vehículo infractor » Vehículo de policía EJEMPLO 2.15 | Ala caza de un coche con exceso de velocidad de = vt Y Y Un coche lleva una velocidad de 25 m/s (=90 km/h) en una zona escolar. Un coche de policía que está parado, arranca cuando el infractor le adelanta y acelera con una velocidad cons- tante de 5 m/s?. (a) ¿Cuánto tiempo tarda el coche de policía en alcanzar al vehículo infrac- tor? (5) ¿Qué velocidad lleva el coche de policía cuando le alcanza? Planteamiento del problema Para determinar cuando los dos coches se encuentran en la misma posición, expresamos las posiciones xy del vehículo infractor y xy del coche de policía en fun-— Figura 2.13 Las dos curvas muestran la posi- ción del tiempo y despejamos 1 para x, = xp. ción del coche infractor y del coche de policía. Tienen la misma posición en el instante inicial, 1=0, y de nuevo cuando £ (a) 1. Funciones de posición del infractor y del coche policía; 2. Hacer x, =x, y resolver para el tiempo 1, para 1, >0: _ 2, _ 205 ms) A Ss? (b) 1. La velocidad del coche de policía viene expresada por V=Yy +af, — v) = ap! = (5 mís?)(10s) en donde vy = 0: Observación La velocidad final del coche de policía en (b) es exactamente el doble que la del coche infractor. Como los dos coches cubren la misma distancia en igual tiempo, ambos hicieron el recorrido con igual velocidad media. La velocidad media del infractor es, naturalmente de 25 m/s. Como el policía parte del reposo y su velocidad media es de 25 m/s, debe alcanzar una velocidad final de 50 m/s. Ejercicio ¿Qué distancia han recorrido los coches cuando el policía alcanza al infractor? (Respuesta 250 m.) EJEMPLO 2.16 | Elcoche de policía ¡INTÉNTELO USTED MISMO! ¿Qué velocidad lleva el coche de policía del ejemplo 2.15 cuando se encuentra a 25 m por E detrás del vehículo infractor? eñtulo Itactor Planteamiento del problema La velocidad viene expresada por v, = af, en donde 1, es el = Vehículo de policía tiempo en el cual D=x, —x,=25 m. Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo Xy Pasos Respuestas %o GA 1. Dibujar una curva x-f que muestre las posiciones de los dos coches en el tiempo +, (figura 2.14). . £ 2. Utilizar las ecuaciones para x y x, del ejemplo 2.15 y despejar f, cuando —/ Xy xp =25 m. Hay dos soluciones, una que corresponde a pocos instan- Figura 2.14 tes después del inicio del movimiento y otra que corresponde a poco antes de que el vehículo con exceso de velocidad sea alcanzado, v 3. Utilizar », =a,f para calcular la velocidad del coche de policía cuando y t=h. Observación En la figura 2.14 se observa que la distancia entre los dos coches al principio es cero, crece hasta un valor máximo y luego disminuye. La separación en cualquier momento es D= xx) =Vt 342. Cuando la separación es máxima, dD/dt=0, lo cual ocurre en el instante 1=5 s. Para intervalos de tiempo iguales antes y después de 1='5 s, las separaciones son las mismas. 34 | Capítulo 2 El movimiento en una dimensión EJEMPLO 2.17 | Un ascensor en movimiento $4 Una persona en un ascensor ve un tornillo que cae del techo. La altura del ascensor es de 3 m. ¿Cuánto tiempo tarda el tornillo en chocar contra el suelo si el ascensor asciende con una ace- leración constante a, =4,0 m/s?? Planteamiento del problema Expresar las posiciones del tornillo y, y del suelo y, en función del tiempo. Cuando el tornillo choca contra el suelo, y,=y,. Tomar como origen la posición inicial del suelo y designar como dirección positiva la dirección hacia arriba. 1. Dibujar el ascensor y el tornillo como se muestra en la figura 2.15. Añadir un eje de coordenadas que nos sirva para indicar las posiciones del tornillo y del suelo del ascensor: | or 2. Escribir las funciones de la posición del ascensor y del tornillo; Y: Yos = Yost+ la, pa Figura 2.15 El eje de coordenadas YY = Vol + a está fijo al edifi 3. Cuando t = 1, el tomillo llega al suelo. En ese instante las posiciones Y= son: 1 2 1 2 Jos H Vota HAL] = Yos + Vogt +50507 4, Cuando 1 =0, el suelo del ascensor y el tornillo tienen la misma veloci- — Yo: = Yo dad. Usar este hecho para simplificar el resultado del paso 3: Peblo tanto Joe Vort1 FAR = dos + Vos + Ja 1 2 1 A 5. Usar la información obtenida para simplificar: Yu =0, a, = 40m? Yu =h=3m, a =-8 por lo tanto h-jet =0+ la? 2+a)7 a 21 23) 6. Despejar el tiempo: E == 3 e Observación El tiempo de caída depende de la aceleración del ascensor, pero no de la velocidad. En el sistema de referencia del ascensor hay una “gravedad efectiva” g/= g + a,. En el caso (supues- tamente hipotético) en que el ascensor estuviera en caída libre, es decir a, =—g”, el tiempo de caída sería infinito y el tornillo parecería “ingrávido”. jste == Cuando un buen jugador de béisbol corre entre bases va a una velocidad de 9,5 m/s. La dis- E tancia entre las bases es de 26 m y el lanzador está a unos 18.5 m de la base. Si un jugador GUA esta unos Den de la primera base y comienza a correr hacia la segunda base en el mismo instante en que el lanzador lanza la bola, ¿cuál es la probabilidad de que el jugador llegue a la segunda base antes que la bola? EJEMPLO 2.18 l Un ascensor en movimiento ¡INTÉNTELO USTED MISMO! Considerar el ascensor y el tornillo del ejemplo 2.17. Suponer que la velocidad de subida del ascensor es de 16 m/s cuando el tornillo se desprende del techo y empieza a caer. (a) ¿Qué dis- tancia recorre el ascensor mientras el tornillo cae? ¿Qué distancia recorre el tornillo? (b)¿Cuál es la velocidad del tornillo y del ascensor en el momento del impacto de aquél en el suelo? (c) ¿Cuál es la velocidad relativa del tornillo con respecto al suelo del ascensor? Planteamiento del problema El tiempo de vuelo del tornillo se ha obtenido en la solución del ejemplo 2.17. Usar este tiempo para resolver los apartados (a) y (b), Por lo que se refiere al apartado | (c), la velocidad del tornillo respecto del edificio es igual a la suma de la velocidad del tornillo con respecto al ascensor más la velocidad del ascensor respecto al edificio. Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo Pasos Respuestas (a) 1. Usar la ecuación 2.16 para calcular la distancia que se mueve el suelo del ascensor durante el tiempo 1;. Vote la 2. El tornillo se desprende a tres metros del suelo. (b) Usar la ecuación 2.12 para encontrar la velocidad del impacto del tor- yv = vy+at, porlo tanto nillo con el suelo del ascensor. WS Vio=8h Y, = Yo Ha (c) Usar la ecuación 2.7a para determinar la velocidad relativa del tornillo. Ye = Y +Vo respecto del ascensor. porlo tanto Ya = vv = 9,53 m/s — 18,6 m/s -E] Observación El tomillo impacta con el suelo del ascensor 8,4 m por encima de su posición ini- cial. Con respecto al edificio, en el momento del contacto, el tornillo todavía está subiendo, Nótese que en el momento del impacto la velocidad del tomillo relativa al edificio es positiva. 2.4 Integración Para determinar la velocidad a partir de una determinada aceleración, observemos que la velocidad es la función v(r) cuya derivada es la aceleración a(t): 20 = als) dv(t) di Si la aceleración es constante, la velocidad es aquella función del tiempo que cuando se deriva es igual a esta constante. Por ejemplo v=at, a = constante De un modo más general, podemos añadir a la función af cualquier constante sin que se modifique la derivada respecto al tiempo. Llamando c a esta nueva constante, resulta v=at+c Cuando 1 =0, v=c. Así pues, c es la velocidad inicial v;. Análogamente, la función posición x(1) es aquella función cuya derivada es la velocidad: dx A Cada uno de estos términos puede tratarse separadamente. La función cuya derivada es una constante v, es v,f más cualquier constante. La función cuya derivada es at es lar más cualquier constante. Llamando xy a la suma combinada de todas estas constantes arbitrarias resulta x= xp ++ zar Cuando 1 =0, x = xy. Así pues, xy es la posición inicial. 2.4 Integración | 35 38 | Capítulo 2 El movimiento en una dimensión «0 v=w+ar vt) v(0) Área 0 0 hi Figura 2.20 El área bajo la curva v-r.es el despla- zamiento Ax= x(17) —x(0). v 1 MORO Figura 2.21 EJEMPLO 2.19 | Un transbordador Un transbordador lleva una velocidad constante v, =8 m/s durante 60 s. A continuación para sus motores y se acerca a la costa. Su velocidad es entonces una función del tiempo dada por la expresión y = vpf/P, siendo f, =60 s. ¿Cuál es el desplazamiento del transbordador en el inter- valo 0 <t<0o0? Planteamiento del problema La función velocidad viene representada por la figura 2.20. El desplazamiento total se calcula sumando el desplazamiento Ax; correspondiente al intervalo 0 <1< 1, =60 s y el desplazamiento durante el intervalo 1, <+< es, donde v= v(1) y vy= (0). Para obtener la ecuación 2.23, se sustituye vp + af por ven la ecua- ción 2.18 con 1; = 0. Esto nos lleva a x(t7) —x(0) =f: v¿ + at)dt Esta integral es igual al área bajo la curva v-1 (figura 2.20). Evaluando la integral y resol- viendo para x nos da x(12)-x(0) = j (vo +at)ldt = vyr+ lar . = vol +1 ar o E 2 donde 1, es arbitrario. Poniendo 1, = f obtenemos X= xp Hwy 4 ar donde x= x(1) y xy =x(0). Una vez deducidas las ecuaciones cinemáticas de aceleración constante sin ninguna refe- rencia a la velocidad media, podemos demostrar que para el caso especial de aceleración constante, la velocidad media es el valor medio entre las velocidades inicial y final (ecuación 2.14). Sea v, la velocidad inicial en 1 =0 y v la velocidad final en el tiempo £. De acuerdo con la definición de velocidad media, el desplazamiento es Ax im Al = Va (1-0) = Vipt (2.24) 3 resulta Igualmente, de la ecuación ey li Ax =vp! +3 at Podemos eliminar la aceleración según la ecuación 2.12 utilizando a = (v— vp)/t. Es decir (2.25) Comparando este resultado con Ax = vn? (ecuación 2.24) resulta y. = My , Vn = ¿(V)+v,) que coincide con la ecuación 2.14. Puede visualizarse la velocidad media mediante el uso de la curva v-f (figura 2.21). El desplazamiento Ax corresponde al área bajo la curva. Sin embargo, la velocidad media es el área bajo la curva v= v;, por el mismo intervalo de tiempo. Así, la altura de la curva v = Y, es tal que las áreas bajo las dos curvas coinciden. Esto implica que las áreas de los dos trián- gulos grises sean iguales y que v;, = 2 (v] + 2). m 2.4 Integración | 39 0 60 120 180 240 300 ts Figura 2.22 1. La velocidad del transbordador es constante durante los primeros 60 Ax, = vyAt = vo! = (8 m/s)(60 5) = 480 m segundos; así, el desplazamiento es simplemente el producto dela velocidad por el tiempo transcurrido: ho. votf 2 2 2. El desplazamiento restante viene dado por la integral de la velocidad Ax, = [7 vdr=f 2 Dr = 017 fi dr = vet E E desde 1 = 1, hasta 1 ==. Utilizamos la ecuación 2.18 para calcular la lt integral: 0 res: =vi[2-?)= vofi = (8 m/s)(605) = 480 m ; El desplazamiento total es la suma de los dos desplazamientos anterio- Ax = Ax, +Ax, = 480 m+480 m =[960m] Observación El área bajo la curva de v en función del tiempo es finita. Así, aunque el transborda- dor nunca deja de moverse, viaja sólo una distancia finita. Una representación mejor de la velocidad de un buque que bordea la costa con los motores parados sería una función exponencialmente decreciente v= ve “=10, donde b es una constante positiva. En este caso el buque se acercaría a la costa también una distancia finita en el intervalo 60 s <1<0o, Resumen El desplazamiento, la velocidad y la aceleración son magnitudes cinemáticas definidas importantes, TEMA OBSERVACIONES Y ECUACIONES RELEVANTES 1. Desplazamiento (2.1) Interpretación gráfica 2. Velocidad Velocidad media Ya = Z (2.2) q im Ax _ dx Velocidad instantánea ve = lim, a” a (2.5) Interpretación gráfica La velocidad instantánea se representa gráficamente por la pendiente de la curva x en función de 1. Velocidad relativa Si una partícula se mueve con velocidad v,, respecto a un sistema de coordenadas A, el cual a su vez se mueve con velocidad vay respecto a otro sistema de coordenadas B, la velocidad de la partícula relafíva a B es Von = Vpa + Van (2.7) 3. Módulo de la velocidad Módulo de la velocidad media Módulo.de la velocidsd media = Estancia total _.s (23) tiempo total 1 40 | Capítulo 2 El movimiento en una dimensión 4. Aceleración Aceleración media Aceleración instantánea Interpretación gráfica Aceleración debida a la gravedad _Av == (2.8) dv _ dix =$ (2.10) La aceleración instantánea se representa gráficamente por la pendiente de la curva v en función del tiempo ?. La aceleración de un objeto próximo a la superficie de la Tierra en caída libre bajo la influencia de la grave- dad está dirigida hacia abajo y su módulo es g = 981 ms = 322 pies/s* El desplazamiento y la velocidad como integrales El desplazamiento se representa gráficamente por el área bajo la curva v en función del tiempo. Esta área es la integral de v extendida al tiempo, desde cierto valor inicial 1, a cierto valor final 1, y se expresa del modo siguiente: Ar= lim Ev, Ar, = (2.18) Igualmente, el cambio de velocidad durante cierto tiempo se representa gráficamente por el área bajo la curva a en función de £: Velocidad Desplazamiento en función de Y, Desplazamiento en función de a ven función de a y Ar Problemas Av= lim, E a, At,= fía de (2.21) y= w+ar (2.12) LO +v)e (2.15) Ax =x-x = vob+jan (2.16) v¿+2a Ax (2.17) £ Concepto simple, un solo paso, relativamente fácil. Nivel intermedio, puede exigir síntesis de conceptos. Desafiante, para alumnos avanzados. La solución se encuentra en el Student Solutions Manual. 1 Problemas que pueden encontrarse en el servicio ¡SOLVE de tareas para casa. Estos problemas del servicio ““Checkpoint” son problemas de control, que impulsan a los fuentes externas o estimaciones estudiantes a describir cómo se llega a la respuesta y a indicar su nivel de confianza. En algunos problemas se dan más datos de los realmente necesarios; en otros pocos, deben extraerse algunos datos a partir de conocimientos generales, lógicas. Usar en todos los problemas g = 9,81 m/s? para la aceleración de la gravedad y despreciar, a menos que se indique lo contrario, el rozamiento y la resistencia del aire. Problemas conceptuales 1 e ¿Cuáles la velocidad media del recorrido de “ida y vuelta” de un Objeto que se lanza verticalmente hacia arriba y que vuelve a caer en el mismo sitio desde donde ha sido lanzado? 2 e SssmM Unobjeto lanzado verticalmente hacia arriba vuelve al suelo T segundos más tarde. Su altura máxima es H metros y su altura en el momento de soltarlo es despreciable. Su velocidad media durante estos 7 segundos es (a) H/T, (b) 0, (c) F/2T, (d) 2H/T. 3.0.1 Para evitar una caída demasiado rápida durante el.ate- rrizaje, un avión debe mantener una mínima velocidad relativa de vuelo (velo- cidad del avión respecto al aire). Sin embargo, cuanto menor sea la velocidad con respecto del suelo durante el aterrizaje, más segura es la maniobra. ¿Qué opción es más segura para un avión, aterrizar a favor del viento o con el viento en contra? 4 e Dé un ejemplo de un movimiento en una dimensión donde (a) la velocidad sea positiva y la aceleración sea negativa y, (b) donde la velocidad sea negativa y la aceleración sea positiva. 39 es ssM Lañfgura2.30 representa la posición de un coche en fun- ción del tiempo. ¿En cuál de los tiempos entre 1, y 1; la velocidad es (a) nega- tiva, (b) positiva, (c) cero ¿En cuál de los tiempos la aceleración es (a) negativa, (b) positiva, (c) cero? Figura 2.30 Problema 39 e Representar las curvas v en función de 1 para cada una de las siguientes condiciones: (a) La aceleración es cero y constante, pero la veloci- dad no es nula. (b) La aceleración es constante, pero no cero. (c) La velocidad y la aceleración son ambas positivas. (d) La velocidad y la aceleración son ambas negativas. (e) La velocidad es positiva y la aceleración negativa. (/) La veloci- dad es negativa y la aceleración positiva. (g) La velocidad es momentánea- mente nula, pero la aceleración no lo es. 41 es Enla figura 2.31 se representan nueve gráficos de posición, velo- cidad y aceleración para objetos en movimiento lineal. Indicar los gráficos que cumplen las siguientes condiciones: (a) La velocidad es constante. (b) La velo- cidad invierte su dirección. (c) La aceleración es constante. (d) La aceleración no es constante, (e) ¿Qué gráficos de posición, velocidad y aceleración son mutuamente coherentes? x x a S t t t (a) (b) (c) y v v 1 1 1 (d) (e) 0 a a a 7 1 7 (2) (h) m Figura 2.31 Problema 41 Estimaciones y aproximaciones 42 e Mida su propio pulso (número de latidos del corazón por minuto). El pulso típico de un adulto está entre 60 y 80 pulsaciones por minuto. (a) ¿Cuán- tas veces late su corazón durante el tiempo que invierte en conducir un kilóme- Problemas 43 tro a la velocidad de 60 km/h? (b) ¿Si vive 95 años. cuántos latidos realizará su corazón en el curso de toda su vida? 43 eo ssm 1 Ocasionalmente tenemos noticia de personas que sobreviven a caídas desde grandes alturas cuando la superficie sobre la que caen es blanda. Durante una escalada por la vía norte del Eiger (montaña de los Alpes suizos), una fijación del montañero Carlos Ragone cedió y precipitó al escalador a una caída de 150 m sobre la nieve. Sorprendentemente sufrió única- mente unas pocas magulladuras y un tirón en el hombro. (a) ¿Qué velocidad final tenía antes del choque con la nieve? (Despreciar la resistencia del aire). (b) Suponiendo que su impacto dejó un agujero de 122 cm en la nieve, estimar la aceleración a la que estuvo sometido durante el frenado. (Se supone que la ace- leración fue constante.) Expresarla como múltiplo de g (aceleración de caída libre en la superficie de la Tierra). 44 '*+ Cuando se resuelven problemas relacionados con la caída libre en la atmósfera de la Tierra, es importante recordar que siempre se da la resisten- cia del aire. Por lo tanto, si para simplificar, suponemos que los objetos caen con aceleración constante, podemos obtener resultados erróneos en varios órde- nes de magnitud. ¿Qué criterio podemos aplicar para suponer que un objeto cae con aceleración (prácticamente) constante? Cuando un cuerpo cae, partiendo del reposo, a través del aire, a medida que su velocidad aumenta, su aceleración disminuye. La velocidad se aproxima, aunque nunca la alcanza, a la velocidad terminal o velocidad límite, que depende de la masa y del área transversal del objeto. A la velocidad terminal, la fuerza de la gravedad y la fuerza ejercida por tencia del aire se igualan. Para un paracaidista, una estimación razonable de la velocidad terminal es de unos 50 m/s. Si el paracaidista lleva la mitad de esta velocidad, su aceleración es ¿ g. (a) Tomemos la mitad de la velocidad límite como un límite superior por encima del cual no podemos usar las fórmulas de la aceleración constante para calcular la velocidad y el desplaza- miento. ¿Cuánto debe caer el paracaidista para que podamos utilizar la aproxi- mación de aceleración constante? (a) Repita el análisis para un ratón, que tiene una velocidad terminal de 1 m/s. 45 es El 16dejunio de 1999 Maurice Greene de los Estados Unidos esta- bleció un nuevo récord del mundo en los 100 m lisos con una marca de 9,79 s. Supongamos que aceleró desde el reposo a aceleración constante a y que alcanzó su velocidad máxima en 3,00 s, la cual mantuvo hasta llegar a la meta. ¿Cuál fue su aceleración en la prueba del récord? 46 es ssM Lafgura2.32 muestra la fotografía tomada con tiempos de apertura cortos (1/30s) de un malabarista con dos pelotas de tenis en el aire La pelota de tenis que está a mayor altura está menos borrosa que la otra. ¿Por qué? ¿Puede estimarse la velocidad de esta última pelota? Figura 2.32 Problema 46 44 | capítulo 2 El movimiento en una dimensión 47 ee Busque enla velocidad a la que un impulso nervioso recorre nues- tro cuerpo. Estimar el tiempo transcurrido desde que el pie tropieza con una piedra y la sensación de dolor que se produce. Desplazamiento, velocidad y módulo de la velocidad 48 e (a) Un electrón de un tubo de televisión recorre los 16 cm de dis- tancia de la rejilla a la pantalla con una velocidad media de 4 x 107 nvs. ¿Qué tiempo transcurre en ese trayecto? (b) Un electrón en un conductor por el que circula una corriente se mueve con una velocidad media de 4 x 103 m/s. ¿Qué tiempo tarda en recorrer 16 cm? 49 e ssM Unatleta corre 2,5 km en línea recta en 9 min y luego tarda 30 min en volver andando al punto de partida. (a) ¿Cuál es la velocidad media durante los primeros 9 minutos? (b) ¿Cuál es la velocidad media durante el tiempo que camina? (c) ¿Cuál es la velocidad media a lo largo de todo el recorrido? (d) ¿Cuál es el valor del módulo de la velocidad media para todo el recorrido? so e. Un coche viaja en línea recta con velocidad media de 80 km/h durante 2,5 h y luego con velocidad media de 40 km/h durante 1,5 h. (a) ¿Cuál es el desplazamiento total en el viaje de 4 h? (6) ¿Cuál es la velocidad media del viaje completo? s1 e Una ruta aérea muy concurrida a través del Océano Atlántico tiene una longitud aproximada de 5500 km. (a) ¿Cuánto tiempo tarda un reac- tor supersónico que vuela al doble de la velocidad del sonido en recorrer esta ruta? Utilizar el valor 340 m/s como velocidad del sonido. (b) ¿Cuánto tardaría un avión subsónico en realizar el mismo viaje volando a 0,9 veces la velocidad del sonido? (c) Suponiendo que se utilizan 2 h al final del viaje para el trans- porte por tierra, controles y manipulación del equipaje ¿Cuál es la velocidad media “puerta a puerta” cuando se viaja en el avión supersónico? (d) ¿Cuál es la velocidad media en el avión subsónico? 52 e ssM Laluzsepropaga con una velocidad de c=3 x 10* m/s. (a) ¿Cuánto tiempo tarda la luz en ir del Sol a la Tierra al recorrer una distancia de 1,5 x 101! m? (b) ¿Cuánto tiempo tarda la luz en recorrer la distancia Luna- Tierra que es de 3,84 x 10* m? (c) Un año luz es una unidad de distancia que equivale al camino recorrido por la luz en 1 año. Determinar la distancia equi- valente a 1 año luz en kilómetros y en millas. 53 e La estrella Proxima Centauri es una enana roja muy poco lumi- nosa próxima a las estrellas Alfa Centauri y situada a 4,1 x 10'? km de distan- cia. Desde la proximidad de esta estrella, Gregor manda una orden a la empresa Tony's Pizza de Hoboken, New Jersey, para lo cual utiliza una señal de comuni- cación luminosa. La nave más rápida de Tony viaja a la velocidad de 10c (véase problema 52). (a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar la orden a la empresa? (b) ¿Cuánto tiempo tendrá que esperar Gregor entre que envía la señal y recibe la pizza? Si las normas de distribución de Tony dicen que la tardanza máxima en servir la pizza es de 1000 años y que si sobrepasa este plazo, el servicio será gratuito, ¿tendrá Gregor que pagar la pizza? 54 e Uncoche que ha de recorrer 100 km cubre los primeros 50 km a 40 km/h. ¿A qué velocidad debe recorrer los segundos 50 km para que la velo- cidad media en todo el trayecto sea de 50 km/h? 55 es ssM Unarquero lanza una fiecha que produce un ruido sordo al impactar en el blanco. Si el arquero oye el ruido del impacto exactamente | después del disparo y la velocidad media de la flecha es de 40 m/s, ¿qué distan- cia separa el arquero del blanco? Use para la velocidad del sonido el valor de 340 m/s. 56 es John puede correr a 6 m/s. Marcia puede correr un 15% más que John. (a) En una carrera de 100 m, ¿qué ventaja en metros sacará Marcia sobre John? (b) ¿Y en segundos? s e 1 La figura 2.33 muestra la posición de una partícula en función del tiempo. Determinar la velocidad media en los intervalos de tiempo a. b, c y diindicados en la figura. Figura 2.33 Problema 57 58 Se sabe que las galaxias se alejan de la Tierra a una velocidad pro- porcional a su distancia de nuestro planeta: ley de Hubble. La velocidad de una galaxia a la distancia r es v = Hr, siendo H la constante de Hubble, de valor 1,58 x 10—1! s”!, Determine la velocidad de una galaxia (a) que dista 5 x 10% m de la Tierra y (b) otra que dista 2 x 10% m de la Tierra. (c) Si cada una de estas galaxias viaja con velocidad constante, ¿cuánto tiempo ha transcurrido desde que ambas estuvieron en el mismo lugar que la Tierra? s9 sm 1 Un leopardo puede correr a v; =113 km/h, un halcón puede volar a v, = 161 km/h y un atún puede nadar a vy=105 km/h. Si nos imaginamos que los tres animales forman un equipo y corren una carrera de relevos, cada uno recorriendo una distancia L a su velocidad máxima, ¿cuál sería la velocidad media del equipo? Comparar el resultado obtenido con la media de las tres velocidades. 60 Dos coches circulan a lo largo de una carretera recta. El coche A mantiene una velocidad constante de 80 km/h; el coche B mantiene una veloci- dad constante de 110 km/h. En 1 = 0, el coche B está a 45 km detrás del coche A. ¿A qué distancia medida desde el punto en que 1= 0 el coche B adelantará al coche A? 61 ee ssMm Un coche que marcha con una velocidad constante de 20 ms pasa por un cruce en el instante 1 = 0 y 5 segundos después pasa por el mismo cruce un segundo coche que viaja en el mismo sentido pero a 30 m/s. (a) Hacer un gráfico de las funciones de posición x;(1) y x(1) de ambos coches. (b) Hallar cuándo el segundo coche adelanta al primero. (c) ¿Cuánto han reco- rrido ambos coches desde el cruce al ocurrir el adelantamiento? (d) ¿Dónde se encuentra el primer coche cuando el segundo pasa el cruce? 62 e Joey Sally siempre discuten cuando viajan. Un día al llegar a la plataforma móvil del aeropuerto apuestan sobre quien llegará antes al final de la plataforma. Aunque saltan sobre la plataforma al mismo tiempo, Joe decide estar de pie y dejarse llevar, mientras Sally opta por seguir andando. Sally al final llega en 1 min, mientras Joe tarda 2 min. Si Sally hubiera andado con velocidad doble, ¿en cuánto tiempo hubiera hecho el recorrido? 63 ee Margaret tiene el combustible justo para llegar con su lancha al puerto deportivo en un viaje de 4.0 h en contra de la corriente. Al llegar, resulta que el puerto está cerrado y pasa las siguientes 8,0 h flotando a fawor de la corriente hasta llegar a su tienda de campaña. El viaje completo es pues de 12,0 h. ¿Cuánto tiempo hubiera invertido si hubiese encontrado combustible en el puerto? Aceleración e ./ li Un coche deportivo BMW M3 acelera con la tercera marcha de 48,3 km/h a 80,5 km/h en 3,7 s. (a) ¿Cuál es su aceleración media en m/s?? (b) Si el coche continúa con esta aceleración otro segundo, ¿cuál será su velocidad?  65 e Enel instante 1 =5 s, un objeto en x= 3 m se mueve a +5 m/s. Para f =8 s, se encuentra en x= 9 m y su velocidad es —1 m/s. Determinar la aceleración media para este intervalo. 66 Una partícula se mueve con velocidad v = (8 m/s?) 1-7 m/s, en donde v se expresa en metros por segundo y + en segundos. (a) Determinar la aceleración media a intervalos de un segundo comenzando en 1=3 5 y t=4 5. (b) Representar v en función de 1. ¿Cuál es la aceleración instantánea en cual- quier momento? 67 LY La posición de una partícula depende del tiempo según la ecuación x(t) = 17 — 51 + 1, donde x se expresa en metros y f en segun- dos, (a) Determinar el desplazamiento y la velocidad media durante el inter- valo 3 s S 1 < ds. (b) Encontrar la fórmula general para el desplazamiento durante el intervalo entre £ y £ + At. (c) Determinar la velocidad instantánea para cualquier tiempo £ haciendo el límite cuando A? tiende a cero. 68 ssm 1 La posición de un objeto está relacionada con el tiempo por la expresión x =Ar — Br + C, en donde A=8 m/s”, B=6 m/s y C=4 m. Determinar la velocidad instantánea y la aceleración como funciones del tiempo. 69 El movimiento unidimensional de una partícula viene represen- tado en la figura 2,34, (a) ¿Cuál es la aceleración en los intervalos AB, BC y CE? (b) ¿A qué distancia de su punto de partida se encuentra la partícula al cabo de 10 s? (c) Representar el desplazamiento de la partícula en función del tiempo; indicar en ella los instantes A, B, C, D y E. (d) ¿En qué instante la par- tícula se mueve más lentamente? Figura 2.34 Problema 69 Aceleración constante y caída libre 70 e ssm Un objeto lanzado hacia arriba con velocidad inicial vg alcanza una altura h. Otro objeto lanzado en las mismas condiciones con velocidad inicial 2vy alcanzará una altura de (a) 4h, (b) 3h, (a) 2h, d)h. 71 e Uncoche parado en la posición x =50 m acelera con aceleración constante de 8 m/s”. (a) ¿Transcurridos 10 s, cuál es su velocidad? (b) ¿Qué dis- tancia ha recorrido? (c) ¿Cuál es su velocidad media en el intervalo O < 1 < 105? 72 . e Unobjeto con una velocidad inicial de 5 m/s posee una acelera- ción constante de 2 m/s?. Cuando su velocidad es de 15 m/s, ¿qué espacio ha recorrido? 73 e ssM Un objeto con aceleración constante posee una veloci- dad de 10 m/s cuando se encuentra en x=6 m y de 15 m/s cuando se encuentra enx= 10m. ¿Cuál es su aceleración? 74 e La velocidad de un objeto aumenta a una tasa constante de 4 m/s cada segundo. Su velocidad es 1 m/s cuando 1= 0, en cuyo instante está en x=7m. ¿Con qué velocidad se mueve cuando está en x=8 m? ¿Cuándo sucederá esto? 75 e. 1ooY Selanza una pelota hacia afriba con una velocidad inicial de 20 m/s. (a) ¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire? (Despreciar la altura del punto de lanzamiento.) (b) ¿Cuál es la mayor altura alcanzada por la Problemas | 45 pelota? (c) ¿Cuándo está la pelota a 15 m por encima del punto de lanza- miento? 76 ...Í Y En el corrimiento de tierras de Blackhawk, en Cali- fornia, una masa de rocas y barro cayó 460 m al desprenderse de una montaña y luego recorrió 8 km a través de una llanura sobre una capa de vapor de agua. Suponiendo que esta masa cayó con la aceleración de la gravedad y después se deslizó horizontalmente con desaceleración constante, (a) ¿cuánto tiempo tardó en caer los 460 m? (b) ¿Cuál era su velocidad al llegar al fondo? (c) ¿Cuánto tiempo tardó en deslizarse horizontalmente a lo largo de los 8 km? 77 ee ssM Una grúa levanta una carga de ladrillos a la velocidad «constante de 5 m/s, cuando a 6 m del suelo se desprende un ladrillo de la carga. (a) Describir el movimiento del ladrillo desprendido haciendo un esquema de x0). (b) ¿Cuál es la altura máxima respecto al suelo que alcanza el ladrillo? (c) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? (d) ¿Cuál es su velocidad en el "momento de chocar contra el suelo? 78 ee Un:tomillo se desprende del fondo exterior de un ascensor que se mueve hacia arriba a la velocidad de 6 m/s. El tornillo alcanza el fondo del hueco del ascensor en 3 s. (a) ¿A qué altura estaba el ascensor cuando se des- prendió el tomillo? (b) ¿Qué velocidad tiene el tornillo al chocar contra el fondo del hueco del ascensor? 79 ee ssM Unobjetocaede una altura de 120 m. Determinar la dis- tancia que recorre durante su último segundo en el aire. 80 es Un objeto cae de una altura h, Durante el segundo final de su caída recorre 38 m. ¿Cuánto vale h? 81 e ssm Una piedra cae verticalmente desde un acantilado de 200 m de altura, Durante el último medio segundo de su caída la piedra recorre una distancia de 45 m. Determinar la velocidad inicial de la piedra. 82 'e Un objeto en caída libre desde una altura / recorre 0,4 h durante el primer segundo de su descenso. Determinar la velocidad media del objeto durante su caída. 83 'e Un autobús acelera a 1,5 m/s? desde el reposo durante 12 s. A continuación se mueve a velocidad constante durante 25 s, después de los cua- les disminuye su velocidad con una aceleración de — 1,5 m/s”. (a) ¿Qué distan- cia total recorrió el autobús? (b) ¿Cuál fue su velocidad media? 84 '6 SSM Para resolver ciertas clases de problemas de física es relativamente fácil usar un programa como el Microsoft Excel, con una hoja de cálculo. Por ejemplo, probablemente ha resuelto el problema 75 usando álge- bra; aquí resolveremos aquel problema de una forma diferente usando una hoja de cálculo. Aunque éste no es el caso, hay muchas situaciones en física don- de se ha de recurrir como única alternativa a la solución de un problema me- diante métodos numéricos. (a) Usando una hoja de cálculo, generar un gráfico altura— tiempo para la pelota del ejercicio 75 (lanzada hacia arriba con una velo- cidad vertical inicial de 20 m/s). Determinar la altura máxima alcanzada, el tiem- po que ha estado en el aire, y el tiempo durante el cual la bola está en el aire por encima de los 15 m de altura (con la ayuda de la gráfica). (b) Imponga que la velocidad inicial sea 10 m/s y encuentre la altura máxima que alcanza la bola y el tiempo que ésta está en el aire. 85 .. ssm 1 Al y Bert han salido a correr por un camino que discurre por el interior de un bosque. Mantienen una velocidad de 0,75 m/s. “Al ve que el final del camino y del bosque se encuentra a unos 35 m y acelera con una aceleración constante de 0,5 m/s”, dejando atrás a Bert, que continua a velocidad constante. (a) ¿Cuánto le cuesta a Al llegar al final del camino? (a) Cuando alcanza la meta, inmediatamente se da la vuelta y deshace el camino a la velocidad constante de 0,85 m/s. ¿Cuánto tiempo transcurre hdsta que se cruza con Bert? (c) ¿A qué distancia del final del camino se encuentran cuando se cruzan? 86 e Resuelva las preguntas (b) y (c) del problema 85 usando una hoja de cálculo, 87 Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba con una aceleración de 20 m/s?. Al cabo de 25 s el combustible se agota y el cohete continúa como una partícula libre hasta que alcanza el suelo. Calcular (a) el punto más alto 48 | Capítulo 2 El movimiento en una dimensión 120 ee Lafgura2.38 muestra un gráfico v en función de r para una partí- cula que se mueve sobre una recta, La posición de la misma en el instante 17 =0 es xp =5 m, (a) Hallar x para varios tiempos £ contando cuadrados y dibujar x en función de 1. (b) Hacer un dibujo aproximado de la aceleración a en función des. 1234567 809 U10ts Figura 2.38 Problema 120 121 es ssM La figura 2.39 muestra un gráfico de x en función de + para un cuerpo que se mueve en línea recta. Dibujar gráficos aproximados de v en función de £ y a en función de £ para este movimiento. Figura 2.39 Problema 121 122 es Laaceleración de un cohete viene dada por a =b1. donde b es una constante positiva. (a) Determinar la posición en función del tiempo x(2). (b) Calcular la posición y la velocidad cuando 1=3 ssix=0 y v=0 cuando 1=0, y si b=3m/s" 123 ee ¡ La aceleración de una partícula que se mueve en una dimensión durante el intervalo de tiempo comprendido entre 0,0 y 10,0 s viene dada por a=(0,20 m/s')r. Si la partícula inicia su movimiento desde el reposo y en el origen, (a) calcular primero su velocidad instantánea en cualquier instante de tiempo comprendido dentro del intervalo indicado. (b) Calcular su velocidad media durante el intervalo de tiempo entre 2.0 s y 7.05. 124 e Considere el movimiento de una partícula que está sometida a una aceleración no constante a dada por a = ag + bt, donde ag y b son constantes. (a) Calcular la velocidad instantánea en función del tiempo. (b) Determinar la posición en función del tiempo. (c) Calcular la velocidad media en el mismo intervalo de tiempo, entre un tiempo inicial O y un tiempo final arbitrario £. Problemas generales 125 eee ¡ En una clase de ciencias, con el objetivo de determinar la aceleración de caída libre de los cuerpos, se monta el siguiente dispositivo experimental: se colocan dos células fotoeléctricas, una en el borde de una mesa de 1,0 m de altura y otra 0,5 m exactamente debajo. Se suelta una canica desde el borde de la mesa de modo que, cuando pasa por la primera célula, pone en marcha el reloj y, cuando pasa por la segunda, lo para. El valor de la ace- leración de caída libre g se determina mediante la expresión gexp = (1 MAP, donde Ares el tiempo medido por el cronómetro. Un estudiante paco cuidadoso coloca la primera célula 0,5 em por debajo la mesa. (Suponga que la segunda célula está bien colocada.) ¿Qué valor de gexp Obtendrá? ¿Qué porcentaje de diferencia habrá entre el valor obtenido y el valor común de esta magnitud al nivel del mar? 126 eee ssM La posición de un cuerpo que oscila sobre un muelle viene dada por x=A sen 6x, en donde A y £%son constantes de valores A =5 cm y 0=0,1755"!. (a) Representar x en función de £ para O < 1 < 36 s. (b) Medir la pendiente del gráfico en (=0 para determinar la velocidad en ese instante, (c) Calcular la velocidad media para una serie de intervalos que comienzan en £=0 y terminan en 1=6, 3,2, 1, 0,5 y 0,25 s. (d) Calcular dx/d: y determinar la velo- cidad en el instante 1=0. Comparar los resultados con los apartados (c) y (d). 127 ee. ¡ Considere un objeto cuyo motor le da una velocidad descrita por la ecuación y = Vx sin(x), donde c) se expresa en radianes!s. (a) ¿Cuál es la aceleración del objeto? ¿Es constante? (b) Cuando 1=0, la posición €s xy. ¿Cuál es la posición en función del tiempo? 128 eee Suponga que la aceleración de una partícula es una función de x, donde a(x) = (257) x. (a) Si la velocidad cuando x =1 m es cero, ¿cuál es la velocidad de la partícula en x =3 m? (b) ¿Cuánto tiempo invierte la partícula en moverse desde x= 1 m hasta x=3 m2? 129 Suponga que una partícula se mueve en una línea recta de forma que, en cada instante de tiempo, su posición y su velocidad tienen el mismo valor numérico expresado en unidades del SI. (a) Exprese la posición en fun- ción del tiempo. (b) Demuestre que en cada instante de tiempo la aceleración tiene el mismo valor numérico que la posición y la velocidad. 130 ees Una piedra se hunde en el agua con una aceleración que decrece exponencialmente con el tiempo según a(t) = ge”", donde b es una constante positiva que depende de la forma y del tamaño de la piedra y de las propiedades físicas del agua. Basándose en este resultado, deduzca una expresión para la posición de la piedra en función del tiempo, suponiendo que su velocidad cial es cero. 131 ese ssM Enel problema 130 una piedra cae en el agua con una aceleración que viene dada por a(t) = ge”, donde bh es una constante positiva. En física, habitualmente, se suele conocer la aceleración en función de la posi- ción o de la velocidad, pero no se suele tener información sobre la aceleración en función del tiempo. Supongamos que la función que nos da la aceleración en función de la velocidad es a = g — bv donde g es el módulo de la aceleración de la gravedad y v es la velocidad de la piedra. Demuestre que, si la piedra parte del reposo, la función que da la aceleración en función del tiempo es la que se da al comienzo del problema. 132 La aceleración de una paracaidista que se lanza al vacío desde un avión viene dada, antes de abrir el paracaídas, por la fórmula a = y —cv”, donde Ces una constante que depende del área transversal de la saltadora y de la den- sidad de la atmósfera que la rodea. (a) Si su velocidad inicial en el momento del salto es 0, demostrar que su velocidad en función del tiempo sigue la fór- mula v(r) = v, tanh (4/7), donde v, es la velocidad límite (v, = ./g/c) y T=vég es la escala que determina cuánto tiempo le cuesta alcanzar la velocidad termi- nal. (b) Use un programa de una hoja de cálculo para representar v(?) en fun- ción del tiempo, usando una velocidad terminal de 56 m/s (use este valor para calcular c y T). ¿Tiene sentido la curva resultante?  MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES Los barcos a vela no navegan en línea recta hacia su destino sino que siguen u en zig-zag contra el viento. El barco de la foto que se dirige hacia un puerto situac sudeste navega primero hacia el este, después hacia el sur para acabar torciendo fin hacia el este ¿Cómo podemos calcular el desplazamiento y la velocidad medias? (Véase el ejemplo 3.3.) En este capítulo extenderemos las ideas del capítulo anterior a dos y tres dimensiones. Para llevar a cabo esta extensión, introduciremos los vectores y mostraremos cómo se usan para analizar y describir el movimiento. 7 El objetivo principal de este capítulo es desarrollar el concepto del vector acele- ración, un concepto fundamental para el desarrollo de las leyes de Newton en los ca- pítulos 4 y 5. 3.1 El vector desplazamiento Cuando hay movimiento, el desplazamiento de una partícula tiene una dirección en el espa- a compren- nto. Se cio y un módulo. La magnitud que expresa la dirección y la distancia en línea re dida entre dos puntos del espacio es un segmento lineal llamado vector desplaz representa gráficamente por una flecha cuya dirección es la misma que la del vector despla- zamiento y cuya longitud es proporcional al módulo del vector desplazamiento. Des mos los vectores con letras negritas, como en A. (Cuando se indica mediante una flecha sobre el símbolo con se escribe [A] o simplemente A y, por ejemplo, el módulo del v dimensiones de longitud. El módulo de un vector no puede ser negativo. cribe a mano, un vector se siderado, por ejemplo, A.) El módulo de A tor desplazamiento tiene Capítulo El vector desplazamiento Propiedades generales de los vectores Posición, velocidad y aceleración Primer caso particular: movimiento de proyectiles Segundo caso particular: movimiento circular  so | Capítulo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones Suma de vectores desplazamiento sucesivos A y B: C=A+B La figura 3.1 muestra la trayectoria de una partícula que se mueve desde el punto P, hasta un segundo punto P, y luego a un tercer punto Py. El desplazamiento de P, a P, viene represen- tado por el vector A y el desplazamiento de P, a Py por B. Obsérvese que el vector desplaza- miento depende sólo de los puntos extremos y no de la trayectoria real de la partícula. El desplazamiento resultante de P, a Py, llamado C, es la suma de los dos desplazamientos 3.1) Dos vectores desplazamiento se suman gráficamente situando el origen de uno en el extremo del otro (figura 3.2). El vector resultante se extiende desde el origen del primer vec- a A+B=B+A=C Figura 3.3 Método del paralelogramo para la suma de vectores. Figura 3.1 tor al extremo final del segundo. Obsérvese que C no es igual a A + B a menos que A y B estén en la misma dirección. Es decir C =A +B no implica que C=A +B. Una forma equivalente de sumar vectores es el llamado método del paralelogramo, que consiste en desplazar B hasta que coincida su origen con el de A. La diagonal del paralelo- gramo formado por A y B es igual a C. Como puede verse en la figura 3.3, no existe diferen- cia en el orden en que sumemos los vectores; es decir A +B=B+A. E B A C=A+B Figura 3.2 Método para la suma de vec- tores que consiste en situar los dos vectores uno a continuación del otro. EJEMPLO 3.1 | Desplazamiento Una persona se mueve 3 km hacia el este y luego 4 km hacia el norte. ¿Cuál es el desplaza- miento resultante? Planteamiento del problema Los dos desplazamientos componentes y el desplazamiento resultante se muestran en la figura 3.4. Como A y B forman un ángulo recto entre sí y C=A +B es la hipotenusa del correspondiente triángulo rectángulo, el módulo C puede hallarse mediante el teo- Tema de Pitágoras. La dirección de C se obtiene por trigonometría. 3 km 1. El módulo del desplazamiento resultante está relacionado con los C*=A7+B* Figura 3.4 módulos de los dos desplazamientos por el teorema de Pitágoras: = (3km)?+(4 km)? = 25 km? y de aquí C=./25km? = 5km 2. Sea 6 el ángulo que forma el eje de dirección este con el desplaza tg 9 = : 1 miento C. Según sea la figura podemos determinar tg O y basta utilizar EN y de aquí una calculadora con funciones trigonométricas para obtener 6: 9= arg E = ares EE = 53, Observación Un vector viene descrito por su módulo y dirección. En este ejemplo el desplaza- miento resultante es un vector de longitud 5 km en una dirección 53,1* al norte del este.  3.2 Propiedades generales de los vectores | 53 (b) 1. Para resolver el problema utilizando las componentes vectoriales, sea A el primer desplazamiento y elegimos el eje x positivo en la dirección este y el eje y positivo en la dirección norte. Calculamos A, y A, de las ecuaciones 3.2 y 3.3: 2. De igual modo calculemos las componentes del segundo despla=— B, = (4km) cos 60? =2 km A B, = (4 km) sen 60? = 3,46 km 3. Las componentes del desplazamiento resultante C = C¿=A,+B, =-3km+2km=-1km bi : obtienen por suma: y FB, =0+2,/3 km= 3,46km 4. El teorema de Pitágoras nos permite obtener la magnitud de C: (2 =C24+C?= (1 km)+(2,/3 km 13,0 km? C= JB km Cy 5. El cociente entre C, y C, es igual a la tangente del ángulo Bentre— 2 9 = ¡ai C y la dirección negativa de x: E porlo tanto, arctg (2,/3) Observaciones Como el desplazamiento es una magnitud vectorial, la respuesta debe incluir el módulo y la dirección o ambas componentes. En (b) podríamos haber concluido el cálculo en el paso 3, ya que las componentes x e y definen completamente el vector desplazamiento. Se han convertido en el módulo y la dirección para comparar el resultado con la respuesta a la parte (a). Obsérvese que en el paso 5 de (b) se obtiene un ángulo de 74.”. Este resultado está de acuerdo con el de (a) dentro de la exactitud de nuestra medida. Vectores unitarios Un vector unitario es un vector sin dimensiones de módulo unidad. El vector ATÍA es un ejemplo de vector unitario que apunta en la dirección de A. (A veces, para evitar confusio- nes, los vectores unitarios se escriben en negritas con un pequeño ángulo en su parte supe- rior; por ejemplo, Á = A-!A.) Los vectores unitarios que apuntan en la direcciones x, y y z y son convenientes para expresar los vectores en función de sus componentes rectangulares. Usualmente se escriben i, j y k, respectivamente. Así, el vector Ai tiene módulo A, y apunta en la dirección x positiva si A, es positiva (o la dirección x negativa si A, es negativo). Un vector A en general puede escribirse como suma de tres vectores, cada uno de ellos paralelo a un eje coordenado (figura 3.12): A=Ai+Aj+Ak 3.7) La suma de dos vectores A y B puede escribirse en función de vectores unitarios en la forma A+B = (A/4+AG+A.k)+(B,1+B,j+B.k) an a. S 6.8) = (A, +BJi+(A, + B,)j+(4,+B,Jk Las propiedades generales de los vectores se resumen en la tabla 3.1. Ejercicio Dados dos vectores Figura 3.12 (a) Ve ken un A=(4mi+(3mj y B=(2mi-Gmj, determinar (a) A, (b) B, (c)A +B, y (d) A—B. (Respuestas (a) A=5m,(b) B=3,61 m, (c) A+B=(6m)i, (d) A-B=(2 mi +(6 m)j.) sistema de coordenadas rectangulares. (5) Vector A escrito en función de los vectores unitario Aji+Ajj+Ak 54 | Capítulo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones TABLA 3.1 Propiedades de los vectores SEN] TN Igualdad A=Bsi [A] = [B| y sus direcciones y sentidos son iguales a Adición C=A+B E A ds YH, Negativo de un vector A=-Bssi |B| = |A] y su sentido es opuesto » , 2. a o Sustracción C=A-B Multiplicación por un B=5A tiene el módulo [B| B = s]A] y la misma direc- Ae He escalar ción que A si es s positivo OA si 5 es negativo Penty Figura 3.13. El vector desplazamiento Ar es la diferencia de los vectores de posición Ar ri De igusl modo Ar es el vector que sumado a r, nos da el nuevo vector posición r> 3.3 Posi n, velocidad y aceleración Vectores posición y velocidad El vector posición de una partícula es un vector trazado desde el origen de un sistema de coordenadas hasta la posición de la partícula. Para una partícula en el punto (x, y) su vector posición r es r=xi+ pj 6.9) DEFINICIÓN —VECTOR POSICIÓN La figura 3.13 representa la trayectoria o camino real seguido por la partícula. (No con- fundir la trayectoria con los gráficos x en función de r del capítulo anterior.) En el instante 1,, la partícula se encuentra en P,, y su vector posición es r;; en el instante (q la partícula se ha movido a P, y el vector posición es r>. El cambio de posición de la partícula es el vector des- plazamiento Ar: Ár=r3-r, (3.10) DEFINICIÓN —VECTOR DESPLAZAMIENTO El cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo Af = 1, — 1, es el vector velocidad media. 6.11) DEFINICIÓN —VECTOR VELOCIDAD MEDIA Este vector apunta en la dirección del desplazamiento.  El módulo del vector desplazamiento es inferior a la distancia recorrida a lo largo de la curva a menos que la partícula se mueva en línea recta. Sin embargo, si consideramos inter- valos de tiempo cada vez más pequeños (figura 3.14), el desplazamiento se aproxima a la distancia real recorrida por la partícula a lo largo de la curva, y la dirección Ar se aproxima a la dirección de la línea tangente a la curva en el comienzo del intervalo. Definimos el vector velocidad instantánea como el límite del vector velocidad media cuando Ar tiende a cero: Ar Ar dr dt lim a 0 y DEFINICIÓN —VECTOR VELOCIDAD INSTANTÁNEA El vector velocidad instantánea es la derivada del vector posición respecto al tiempo. Su módulo es la velocidad escalar y apunta en la dirección del movimiento de la partícula a lo largo de la línea tangente a la curva. Para calcular la derivada en la ecuación 3.12 expresamos el vector posición en función de 's componentes. Ar =r3-T, = (2%9-x9Yi+(12-y1)j = Axi+Ayj Por lo tanto, y= lim 2 tim lim (- lim ( di Poor doo de ONO o UNDER es decir, EJEMPLO 3.3 | La velocidad de un velero Un barco de vela tiene las coordenadas (x, y¡) = (110 m, 218 m) en el instante £, = 60 s. Dos minutos más tarde, en el instante (,, sus coordenadas son (x,, y») =(130 m, 205 m). (a) Deter- minar la velocidad media en este intervalo de dos minutos. Expresar y, en función de sus componentes rectangulares. (5) Determinar el módulo y la dirección de esta velocidad media, (e) Para £ >20 s, la posición del barco en función del tiempo es x(0) =D, + bat e y() =0, + cl, donde by =100 m, b¿= E m/s, cy =200 y cz =1080 m -s. Calcular la velocidad instantánea en el tiempo genérico 12205. Planteamiento del problema — Se conocen las posiciones inicial y final del barco de vela. (a) El vector velocidad media apunta de la posición inicial a la final. (b) Las componentes de la velocidad instantánea se calculan a partir de la ecuación 3.13: v,=dw/dt y y, =dy/dh. (a) 1. Dibuje un sistema de coordenadas (figura 3.15) que muestre el desplazamiento del velero. La dirección del vector velocidad media y del vector desplazamiento coincide. 2. Las componentes xe y de la velocidad media Y, se calculan direc- — Pm = Vii 1+Yyom d tamente a partir de sus definiciones donde s 130 m-1 1205 Be 205 m—2 PA 120s por lo tanto 3.3 Posición, velocidad y aceleración La tangente a la curva en P, es por definición la dirección de ven P, Figura 3.14 Al considerar intervalos de tiempo cada vez más pequeños, la dirección del desplaza- miento se aproxima a la tangente a la curva. ym 230 22 Ar 2201 (110,218) 210| (130,205) 200 110 120 > Figura 3.15 10m — 0,167 m/s 15m = -0,108 m/s Y; =|(0,167 m/s) i- (0,108 m/s) j Y = in Oy)? 3. El módulo de v,y se deduce del teorema de Pitágor: s8 | capítulo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones 1. Las componentes x e y de la velocidad se obtienen derivando x e y. = “a 15m+(12m/s)1]= 12 m/s SE S 24 Se = LLO mis)r— (4,9 m/s2)e] 16 m/s — (9,8 m/s")e 2. Derivando de nuevo se obtienen las componentes de la aceleración: 3. Utilizando la notación vectorial, la velocidad y la aceleración son: Observación Este es un ejemplo del movimiento de proyectiles, tema que estudiaremos en la sección 3.4. Para que un vector sea constante, tanto su módulo como su dirección deben permanecer constantes. Si cualquiera de ellas cambia, el vector se modifica. Por lo tanto, si un coche toma una curva en la carretera con el módulo de la velocidad constante, experimenta una aceleración, ya que el vector velocidad se modifica debido al cambio de dirección. EJEMPLO 3.6 | Doblando una esquina Un coche se mueve hacia el este a 60 km/h. Toma una curva y 5 s más tarde viaja hacia el norte a 60 km/h. Determinar la aceleración media del coche. vr Planteamiento del problema Los vectores inicial y final se indican en la figura 3.18. Elegimos el vector unitario i hacia el este y el vector j hacia el norte y calculamos la aceleración media a partir o —— E de su definición, a = Av/A1. Obsérvese que Ay es el vector que sumado a y, nos da v;. 1. La aceleración media es el cociente entre la variación de velocidad y el — ay = Z intervalo de tiempo: 1 2. El cambio de velocidad viene relacionado con las velocidades inicialy Av = v¿—v, (a) final: 3.. Exprese las velocidades inicial y final como vectore: y, = (60 km/h)i al = (60 kn/n)j i 4. Sustituya los resultados anteriores para determinar la aceleración Av medi vi Y Observación El coche acelera, aunque el módulo de la velocidad no cambia. + Ejercicio Determinar el módulo y la dirección del vector aceleración media. (Respuesta dp = Figura 3,18 (17,0 km/h)/s, a 45? hacia el oeste del norte.) El movimiento de un objeto alrededor de una circunferencia es un ejemplo corriente de movimiento en el cual la velocidad de un objeto cambia, aunque su módulo permanezca constante. La dirección del vector aceleración En los ejemplos siguientes queremos mostrar cómo se determina la dirección del vector aceleración a partir de una descripción del movi- miento. Por ejemplo, analicemos el movimiento de una gimnasta saltando en una plataforma  loe eta le Yo o 8 pe |» * to qe ñ a. +. ev 1 Av O 10 lso (a) (5) lo Figura 3.19 (a) Diagrama del movimiento del Figura 3.20 Los puntos que repre- frenado de una saltadora cuando llega al suelo. Los sentan el ascenso de la saltadora se puntos se han dibujado a instantes de tiempo conse= dibujan a la derecha de aquellos que cutivos. (b) Dibujamos los vectores v> y y, en el representan su descenso con el obje- mismo punto y determinamos Ay como el vector tivo de que no se superpongan. Sin que une el extremo de v> con el punto que alcanz: embargo, el movimiento de la salta- va de modo que v, + Av = v,. La aceleración ay va dora está dirigido en la misma direc- en la misma dirección y sentido que Ay, ción aunque con sentido contrario. elástica cuando alcanza el punto más bajo de un salto y frena y, posteriormente, cambia el sentido de su velocidad iniciando un nuevo salto. Para determinar la dirección de la acelera- ción cuando está frenando, en la figura 3.19a dibujamos una serie de puntos que muestran su posición en sucesivos instantes de tiempo. Cuanto más rápido se mueve, mayor es la distan- cia que recorre en instantes de tiempo sucesivos y, por lo tanto, mayor es la distancia entre los correspondientes puntos de la figura. Numeramos los puntos correlativamente, empe- zando con el cero. En el instante 1, la saltadora está en el punto O, en el instante r, en el punto L y así sucesivamente. Para determinar la dirección de la aceleración en el instante 13 dibuja- mos los vectores que representan la velocidad de la saltadora en los instantes £> y 14. La acele- ración media en el intervalo entre /) y £, es AVAL donde Ay = v¿ — va y Ar = [4 — 1). Usamos estas expresiones para estimar la aceleración de la saltadora en el instante de tiempo +: decir, az = Av/At. Como az y Av van en la misma dirección, determinando la direc Av encontramos también la dirección de az. La dirección de Ay se obtiene usando la relación v¿+Av = v4 y dibujando el correspondiente diagrama de suma de vectores (figura 3.190). Como la saltadora se mueve más rápido en el instante , que en el instante 14 (los puntos están más separados), la longitud de v, es superior a la de v¿. A partir de la figura obtenemos la dirección de Av y, por lo tanto, la dirección de ay. Ejercicio La figura 3.20 es el diagrama del movimiento de la saltadora antes, durante y después del instante de tiempo (q, cuando se halla momentánemanete en reposo en el punto más bajo de su descenso. En el trozo mostrado de su ascenso la velocidad de la saltadora aumenta. Utilice este diagrama para determinar la dirección de la aceleración de la saltadora (a) en el instante 14 y (b) en el instante 19. (Respuesta - (a) hacia arriba, (b) hacia arriba) EJEMPLO 3.7 | Un birrete volador Un estudiante de física el día de su graduación lanza su birrete al aire con un ángulo ¡al de 60” por encima de la horizontal. Determinar la dirección de la aceleración del birrete durante su movimiento ascendente usando un diagrama del movimiento. Planteamiento del problema A medida que el birrete sube, pierde velocidad y varía su posi- ción. Dibujaremos el diagrama del movimiento y para determinar la dirección de Ay, es decir, la de la aceleración, haremos un esquema de la relación y, + Ay = v¡. 3.3 Posición, velocidad y aceleración | 59  $0 | capítulo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones diagrama de la figura 3.21a muestra el movimiento ascendente del birrete. Como a medida que asciende se frena, el espacio entre los pun- tos disminuye. 2. Enun punto de la figura se dibuja el vector velocidad en un instante de tiempo inmediatamente anterior y posterior al elegido, Nótese que los vectores se dibujan tangentes a la trayectoria del birrete. th 3. La representación gráfica de la relación y, + Ay = v¿ se obtiene dibu- jando los dos vectores velocidad en un mismo punto. Estos vectores — Ftp tienen el mismo módulo y dirección que los vectores dibujados en el paso 2. El vector Ay se obtiene uniendo sus extremos. (a) > El vector aceleración tiene la misma dirección que el vector Ay, pero no necesariamente la misma longitud, ya que a = Av/Ar. (b) a (d) Figura 3.21 Observación El método de determinar la dirección de la aceleración mediante el diagrama del movimiento no es preciso. Por consiguiente, el resultado solamente es una estimación de la acelera- culo exacto. ción, no un Ejercicio Usar el diagrama del movimiento para determinar la dirección de la aceleración del birrete del ejemplo 3.7 durante su caída. (Respuesta directamente hacia abajo) 3.4 Primer caso particular: movimiento de proyectiles arriba y x positiva hacia la derecha. Las componentes de la velocidad inicial son Va: = Vo COS Op o sen 8) Vo En ausenci mente hacia abajo: Figura 3.22 a, de la resistencia del aire, la aceleración es la de la gravedad, dirigida verti La figura 3.22 muestra el lanzamiento de una partícula con velocidad inicial vw, y formando un ángulo 8, con el eje horizontal. Sea (xp, yo) el punto de lanzamiento; y es 'a hacia (3.18a) (3.18b) (3.19a) + 3.19b) Como la aceleración es constante, podemos utilizar las ecuaciones cinemáticas discutidas en el capítulo 2. La componente x de la velocidad es constante, ya que no existe aceleración horizontal: (3.20a) (3.20b)  3.4 Primer caso particular: movimiento de proyectiles | 63 Esta expresión puede simplificarse utilizando la siguiente identidad trigonométi sen 20=2 sen cos 0 Por consiguiente, 2 vo R=% sen20, (323) g ALCANCE DE UN PROYECTIL PARA ELEVACIONES INICIAL Y FINAL IGUALES Ejercicio. Utilizar la ecuación 3.22 de la trayectoria para deducir la ecuación (Respuesta Hacer y(x) =0 y despejar x.) 23. La ecuación 3.23 es útil para determinar el alcance de proyectiles con elevaciones inicial y final iguales. Es importante destacar que esta ecuación muestra cómo el alcance depende de 6. Como el valor máximo de sen 2 9.s 1, cuando 2 0=90*, o sea, 0=45>, el alcance del proyectil es máximo cuando O = 45". En muchas aplicaciones prácticas las cotas de ¿ltura inicial y final pueden no ser iguales y son importantes otras consideraciones. Por ejemplo, en el lanzamiento de peso, la bola termina su recorrido cuando choca contra el suelo, pero ha sido proyectada desde una altura inicial de unos 2 m sobre el suelo, Esto hace que el alcance sea máximo para un ángulo algo inferior a 45”, como se indica en la figura 3.26. Los estu- dios realizados de los mejores lanzadores de peso muestran que el alcance máximo tiene lugar para un ángulo inicial de unos 42>. EJEMPLO 3.9 | La caída de un paquete de aprovisionamiento Un helicóptero deja caer un paquete con suministros a las víctimas de una inundación que se hallan en una balsa. Cuando el paquete se lanza, el helicóptero se encuentra a 100 m por encima de la balsa, volando a 25 m/s y formando un ángulo de 36,9" sobre la horizontal. (a) ¿Durante cuánto tiempo estará el paquete en el aire? (5) ¿Dónde caerá el paquete? (c) Si el helicóptero vuela a velocidad constante, ¿cuál será su posición en el instante en que el paquete llega al suelo? Planteamiento del problema _ La distancia horizontal recorrida por el paquete viene dada por la ecuación 3.21a, en donde res el tiempo que el paquete se encuentra en el aire. El valor de £ puede determinarse a partir de la ecuación 3.215. Escoger el origen directamente por debajo del helicóptero cuando el paquete se lanza. La velocidad inicial del paquete es la velocidad inicial del helicóptero. (a) 1. La trayectoria del paquete durante el tiempo que está en el aire se muestra en la figura 3.27. 2. Para determinar el tiempo que el paquete está en el aire escribi- mos y(1). 0 =vyt=lgr o Y '0y 3e despejando 3. Haciendo yy =0, podemos aplicar la fórmula para la resolución de la ecuación de segundo grado para 1: Voy E /véy 28: 2 4. Calculamos t cuando y(1) =-100 m. Paraello se calcula vy, y dado que el paquete se suelta cuando f = 0, el tiempo que transcurre : y sustituyendo hasta el impacto no puede ser negativo. Por lo tanto: (15 m/s)? —2(9,81 m/s?)(-100 m) E 9,81 m/s? 15 m/s + hay dos soluciones 3245 0 0) = yy +11 Len Trayectoria de ángulo de tiro 45" Trayectoria parabólica más aplanada Cota inicial Sillas cotas inicial y final fueran iguales, la trayectoria de 45* sería la de máximo alcance LE Y Cota final Figura 3.26 Si un proyectil toca el suelo en una cota inferior a la de proyección, el alcance máximo se alcanza bajo un ángulo de tiro algo menor de 45”. Figura 3.27 0= O) Voy = Yo Sen Oy = (25 m/s) sen 36,9 = 15 m/s 1 =:6,30s  64 | capítulo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones (b) Cuando el paquete choca con el agua, se ha movido una distancia horizontal x, donde x es la velocidad horizontal por el tiempo de caída del paquete. Primero calculamos la velocidad horizontal: (c) Las coordenadas de la posición del helicóptero en el momento del impacto del paquete con el agua son: Observación El tiempo positivo es el apropiado, zamiento del paquete (el cual tiene lugar para £ instante en que el paquete se encontraría a dad, como indica la figura cuando éste choca contra el agua (y en cualquier momento anterior). La figura 3.29 mu 25 m/s) cos 36,9% = 20 m/s Voy = Y cos O, = por lo tanto = (20 m/s)(6,30 5) Vox! = (20 m/s)(6,30 s. Ya = Yo + Yo! = 0+(15 m/s)(6,30 s El helicóptero está 194.5 m directamente por encima del paquete. 'a que corresponde a un tiempo posterior al lan- 0). La solución negativa del tiempo corresponde al =U si su movimiento hubiera comenzado con anteriori- 8. Obsérvese que el helicóptero se encuenira por encima del paquete stra un grá- fico de y en función de x para una serie de paquetes lanzados con diversos ángulos iniciales y. con una velocidad inicial de 25 m/s. La curva de ángulo inicial 36, que el máximo alcance tiene lugar bajo un ángulo menor que 45?. Figura 3.28 EJEMPLO 3.10 | Ala caza del ladrón es la de este ejemplo. Obsérvese 0=70 9=53,1 00 =45 0=369 9=20 x,m 100 120 Figura 3.29 ¡INTÉNTELO USTED MISMO! Un policía persigue a un consumado ladrón de joyas a través de los tejados de la ciudad. Ambos están corriendo a la velocidad de 5 m/s cuando llegan a un espacio vacío entre dos edificios que tiene 4 m de anchura y un desnivel de 3 m, tal como muestra la figura 3.30. El ladrón, que tiene algunos conocimientos de física, salta a 5 m/s con una inclinación de 45” y salva el hueco con facilidad, El policía nunca estudió física y piensa que lo mejor sería saltar con el máximo de velocidad horizontal, de modo que salta a 5 m/s horizontalmente. (a) ¿Conseguirá salvar el obstáculo? (5) ¿A qué distancia del borde del segundo edificio llegó el ladrón? Planteamiento del problema El tiempo en el aire durante el salto depende sólo del movi- miento vertical. Elegir como origen el punto de lanzamiento con la dirección positiva hacia arriba, para poder aplicar las ecuaciones 3.21. Utilizar la ecuación 3.21b para y(1) y deducir de ella el m para 6, = 0* y de nuevo para 8, = 45”. El valor de x correspondiente a tiempo para y este tiempo es la distancia horizontal recorrida. — Tm D Ú Ue a Figura 3.30  3.4 Primer caso particular: movimiento de proyectiles | 65 Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo Pasos Respuestas (2) 1. Escribir y(2) para el policía y calcular 1 cuando y =-3-m. 1 =0.782s 2. Determinar la distancia horizontal recorrida durante este tiempo. [391 m Como esta distancia e acto entre los edificios (b) 1. Escribir y(1) para el ladrón y sustituir y ==3m. y(1) es una ecua= 1 =-0.58 0 ción de segundo grado con dos soluciones, pero sólo una es acep-— Obviamente el ladrón table. f= 1925 2. Calcular la distancia horizontal correspondiente al valor positivo. —1=144=4,31 1 der. 3. Restar 4 m de esta distancia. 431 m Observación El ladrón probablemente sabía que debía saltar con una inclinación algo menor de 45", pero desde luego, no tuvo tiempo para resolver exactamente el problema. El policía realmente consiguió alcanzar el segundo edificio contrayendo sus músculos abdominales antes del impacto. Con ello subió sus pies algo más de 9 em, la distancia mínima necesaria para completar el salto sin accidentarse.. EJEMPLO 3.11 | Lanzamiento de suministros En el ejemplo 3.9, (a) determinar el tiempo t, que tarda el paquete en alcanzar su máxima altura h, (b) calcular esta altura máxima h y (c) determinar el tiempo (> transcurrido desde que el paquete alcanza su altura máxima hasta que llega al suelo. Tope la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo Pasos Respuestas (a) 1. Expresar v,(£) para el paquete 8 2. Hacer v,(1,)=0 y despejar 1. =[1:535] (b) 1. Determinar v;yy durante el tiempo en que el paquete se mueve 7,5 m/s hacia arriba. 2. Utilizar v, ,, para determinar la distancia recorrida haci continuación calcular /. (c) Hallar el tiempo transcurrido mientras el paquete cae la distancia / =[477 Observación De acuerdo con el ejemplo 3.9, 1, +1,=6,3 s. Ejercicio Resolver el apartado (b) del ejemplo 3.11 usando la expresión para y(r) de la ecuación 3.21b en vez de calcular Y; my> Las ecuaciones 3.19 y 3.19b pueden expresarse en forma vectorial. Multiplicando la cuación 3.19 por i y la ecuación 3.19b por j y después sumando ambas ecuaciones se obtiene a,i+a,j = —gj. o bien, a=8 (3.19c) donde g es el vector aceleración correspondiente a la caída libre. En la superficie de la Tierra el valor de g es g=9,81 m/s?. Las ecuaciones 3.204 y b también pueden expresarse en forma vectorial. Multiplicando la ecuación 3.204 pori y la ecuación 3.20b por j y sumando ambas ecuaciones se obtiene (v,i+v,3) = (Voyi + Voy3) —81j o bien v=vw:+gl 0 Av=gr (3.20c) ¡ÍNTENTELO USTED MISMO! s8 | capítulo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones 0) vi) y vie+ An) > y + An) 0) Figura 3.35 Vectores posición y velocidad de una partícula que se mueve en un círculo a veloci- dad escalar constante. EJEMPLO 3.14 | Movimiento circular uniforme El movimiento en un círculo a velocidad escalar constante se denomina movimiento circu- lar uniforme. Usaremos el método del ejemplo 3.13 para determinar la dirección de la ace- leración a fin de encontrar la expresión de la aceleración de una partícula que se mueve en un círculo a velocidad constante. Los vectores posición y velocidad de una partícula que se está moviendo en un círculo a velocidad constante se muestran en la figura 3.35. El ángulo AQ entre v(1) y v(t + Ar) es el mismo que entre r(1) y r(1 + An, ya que los vectores posición y velocidad deben girar el mismo ángulo para conservar su perpendicularidad mutua. Con los dos vectores velocidad y con Av se forma un primer triángulo isósceles. El segundo trián- gulo isósceles se forma con los dos vectores posición y con Ar. Para encontrar la dirección del vector aceleración examinamos el triángulo formado por los dos vectores velocidad y Av. La suma de los ángulos de un triángulo es 180? y los ángulos de la base de cualquier trián- gulo isósceles son iguales. En el límite en que Ar es muy pequeño, A8 también es muy pequeño por lo que en este límite los dos ángulos de la base se aproximan a 90”. Esto signi- fica que Ay es perpendicular a la velocidad. Si Av se dibuja en la posición de la partícula señala en la dirección centrípeta. Los dos triángulos son semejantes, por lo que JAv|/w = [Ar|/r (dado que las longitudes de formas semejantes son proporcionales). Dividiendo los dos términos por Ar y reorgani zando nos queda lAv] _ vlar] Art rAt En el límite cuando Ar es muy pequeño, el término |AW/Ar se parece cada vez más al módulo de la aceleración instantánea a, y el término |Ar|/Ar se parece a y, el módulo de la velocidad instantánea. Si sustituimos estas igualdades en el límite, (3.24) ACELERACIÓN CENTRÍPETA Habitualmente se describe el movimiento de una partícula en un círculo con velocidad constante a partir del tiempo 7 requerido para realizar una vuelta completa, magnitud que se denomina periodo. Durante un periodo, la partícula se mueve una distancia 270 (donde y es 1 radio del círculo), por lo que la velocidad de la misma está relacionada con r y con T mediante la expresión Movimiento de un satélite Un satélite se mueve con velocidad constante en una órbita circular alrededor del centro de la "Tierra y cerca de la superficie de la Tierra. Si su aceleración es g = 9,81 m/s?, determinar (a) su velocidad escalar y (9) el tiempo que invierte en una revolución completa. Planteamiento del problema Como el satélite tiene su órbita cerca de la superficie de la Tie- rra, consideraremos que el radio de la órbita es el radio de la Tierra, 7=6370 km. (a) La aceleración centrípeta v?/r se iguala a g y se despeja v: eriodo T se us ción 3.25. (b) Para calcular el valor del periodo 7'se usa la ecuación 3.25: : NE /(6370 km)(9,81 m/s?) 5060 s = 84,3 min  3.5 Segundo caso particular: movimiento circular Observación — La órbita real de los satélites se sitúa unos pocos centenares de kilómetros por encima de la superficie terrestre, es decir, r excede ligeramente el radio terrestre (6370 km). En con- secuencia la aceleración centrípeta es algo inferior a 9,81 m/s2 a causa del descenso de la fuerza gravi- tatoria con respecto a la distancia del centro de la Tierra. Muchos satélites están en estas órbitas y sus periodos son de unos 90 minutos. Ejercicio Un coche va a 48 km/h y sigue una curva de 40 m de radio. ¿Cuál es su aceleración cen- trípeta? (Respuesta 4,44 m/s?) Una partícula que se mueve en un círculo con velocidad variable tiene una componente de la in tangente a la trayectoria, dv/dt, y una componente según el radio, la aceleración centrípeta, v%/r. Al analizar, en general, el movimiento de una partícula a lo largo de una curva, la trayectoria se puede dividir en arcos de circunferencia (figura 3.36). La partícula en cada uno de estos arcos de circunferencia tiene una aceleración centrípeta v?/r dirigida hacia el centro de curvatura y, si varía la velocidad, tiene además una aceleración tangencial acelera dy e a=5 (3.26) ACELERACIÓN TANGENCIAL Figura 3.36 Cuando una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria curva se con- sidera que cada pequeño intervalo de tiempo se mueve siguiendo un arco de circunferencia distinto, El vector aceleración instantánea tiene una componente a, =1”/r dirigida hacia el centro de curvatura del arco y una componente a, = dv/dt tangencial a la curva Resumen TEMA OBSERVACIONES Y ECUACIONES RELEVANTES 69 1. Vectores Definición Los vectores son magnitudes que tienen módulo y dirección, Se suman como los desplazamientos. Componentes La componente de un vector a lo largo de una línea en el espacio es su proy forma un ángulo O con el eje x, sus componentes x e y son A cos O (3.2) 63) Módulo (3.5a) Suma gráfica de vectores Dos vectores cualesquiera cuyos módulos poseen las mismas unidades pueden sumarse gráficamente situando la cola de la flecha que representa a uno de ellos en el extremo o cabeza del otro, 1 de vectores mediante componentes Si C=A +B, entonces (3.6a) sobre dicha línea. Si A  70 | Capítulo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones Vectores unitarios Vector posición Vector velocidad instantánea Vector aceleración instantánea C,=4,+B, (3:6b) Un vector A puede escribirse en función de los vectores unitarios 1, j y k de módulo unidad dirigidos respec- tivamente a lo largo de los ejes x, y y z A=AJ+AJHAk 6.7) El vector posición r apunta desde el origen del sistema de coordenadas a la posición de la partícula. El vector velocidad y es la variación del vector posición respecto al tiempo. Su módulo es la velocidad y su dirección es la del movimiento. o Ar_dr O E un Av _ dy a (5:16) 2. Velocidad relativa Si una partícula se mueve con velocidad va, respecto a un sistema de coordenadas A, el cual a su vez se mueve con velocidad Y, respecto a otro sistema de coordenadas B, la velocidad de la partícula respecto a B es Vos = Yon + Vas (3.14) 3. Movimientos de proyectiles Independencia del movimiento Dependencia con el tiempo Alcance En las ecuaciones de esta sección se considera que la dirección positiva del eje x es horizontal y que la direc- ción positiva del eje y es vertical dirigida hacia arriba. En el movimiento de proyectiles, los movimientos horizontal y vertical son independientes. Así, a=0 y a=-8 Y(0=v9+ at 1 (0 =y +44 (2.14) x(0) = x+vt+ lar, (0) = tve lar (2.16) donde a, = 0, a, = —2. Yo, = Vo Cos O, y vo Sen 8,. Alternativamente, Av=gH Ar=vr+igr (3.20c, 3.210) donde g = -gj El alcance se obtiene multiplicando v, por el tiempo total del proyectil en el aire. 4. Movimiento circular Aceleración centrípeta (3.24) de a dy Aceleración tangencial == (3.26) donde v es la velocidad escalar Periodo y= = (3.25) Problemas Concepto simple, un solo paso, relativamente fácil. En algunos problemas se dan Nivel intermedio, puede exigir síntesis de conceptos. más datos de los realmente Desafiante, para alumnos avanzados. necesarios; en otros pocos, deben La solución se encuentra en el Student Solutions Manual. extraerse algunos datos a partir i Problemas que pueden encontrarse en el servicio ¡SOLVE de tarcas para casa. de conocimientos generales, i Y/ Estos problemas del servicio “Checkpoint” son problemas de control, que impulsan a los — fuentes externas o estimaciones estudiantes a describir cómo se llega a la respuesta y a indicar su nivel de confianza. lógicas.  33 e Verdadero o falso: Un objeto no se mueve en una trayectoria cir- cular si no está acelerado. 34 es Usando un esquema del movimiento, encontrar la dirección de la aceleración de la masa de un péndulo cuando la masa está en el punto donde cambia el sentido de su movimiento. 35 e Con un hate de béishol se golpea una pelota a 177 km/h. Supon- gamos que la pelota es bateada con un ángulo de 35%, que es un valor muy corriente en este deporte. Usando la ecuación 3.23 para calcular la distancia que alcanza una bola golpeada en las condiciones anteriormente mencionadas se obtiene que la pelota llega hasta 232 m pero, en realidad, la pelota apenas alcanzará los 80 m. Argumente porqué la ecuación 3.23 da una predicción tan mala en este caso, Si puede, considere el concepto de velocidad terminal o velocidad límite. Aproximaciones y estimaciones 36 eo ssM Estimarqué distancia alcanza una pelota si se lanza (a) horizontalmente desde el suelo, (b) con un ángulo de 45" desde el suelo, (c) horizontalmente desde la azotea de un edificio situada 12 m por encima de! nivel de la calle, (d) con un ángulo de 45” desde la azotea de un edificio situada 12 m por encima del nivel del suelo. 37 e. ¡ En 1978, Geoff Capes del Reino Unido, lanzó un ladrillo pesado una distancia horizontal de 44,5 m. Determinar la velocidad aproximada del ladrillo en el punto más alto de su trayectoria, sin considerar los efectos de la resistencia del aire. Vectores, suma de vectores y sistemas de coordenadas 38 e Laagujadelos minutos de un reloj de pared tiene 0,5 m de longi- tud y le de las horas tiene 0,25 m. Considerando el centro del reloj como origen y eligiendo un sistema de coordenadas apropiado, escríbase la posición de las agujas de las horas y de los minutos con vectores cuando el reloj señala (a) 12:00, (b) 3:30, (c) 6:30, (d) 7:15. (e) Si A es la posición del extremo de la aguja de los minutos y B es la posición del extremo de la aguja de las horas, calcular A-B para las horas dadas en los apartados (a)-(d) anteriores. 39 e ssm Unososemueve 12m hacia el nordeste y 12 m hacia el este. Muéstrese gráficamente cada desplazamiento y determínese gráficamente el desplazamiento total, como en el ejemplo 3.2(a). 40 e 1 Y. Unarcocircular está centrado en x=0.e (a) Una estudiante se mueve por el arco circular desde la posición x =5 m, y = 0 hasta la posición final x=0, y m. ¿Cuál es su desplazamiento? (b) Un segundo estudiante se mueve desde la misma posición inicial siguiendo el eje x hasta el origen para seguir después a lo largo del eje y hasta y =5 m y x=0. ¿Cuál es su desplazamiento? 41 o sm 1 Y Enel caso delos dos vectores A y B indicados en la figura 3.45, hallar gráficamente como en el ejemplo 3.2(a): (a) A +B, (b) A -B, (c) 2A +B, (d) B-A, (e) 2B-A. Aj 2m 450 309 E 2m B Figura 3.45 Problema 41 Problemas | 73 42 e Un muchacho explorador pasea 2,4 km hacia el este del campa- mento, luego se desvía hacia su izquierda y recorre 2,4 km a lo largo de un arco de círculo centrado en el campamento, (a) ¿A qué distancia del campamento se encuentra finalmente el muchacho? (5) ¿Cuál es la dirección de la posición del muchacho medida desde el campamento? (c) ¿Cuál es el cociente entre el des- plazamiento final y la distancia total recorrida? 43 e Un vector velocidad tiene una componente x de + 5,5 m/s y una componente y de —3,5 m/s. ¿Qué diagrama de la figura 3.46 representa la direc- ción del vector? y y 39,5 * Jsms* * (a) (b) (c) (d) (e) Ninguno de los anteriores. Figura 3.46 Problema 43 4 e 1 nentes xe y: A, = A+B+Ces(a) 33, (b) 5,0 Tres vectores A, B, y C tienen las siguientes compo- La magnitud de ,(c) 11,(07,8, (e) 14. 45 e Hallarlas componentes rectangulares de los vectores A, que es comprendidas en el plano xy y forman un ángulo .con el eje x, como se ve e la figura 3.47, para los siguientes valores de A y 0:(a) A = 10m, 0= 307 (b) A=5m, 0=45"; (c) A=7km, 9=60"; (d) A =5 km, 9=90";(e) A=15 km/s, 9= 150% ($) A =10 m/s, 0=240"; y (g) A=8 m/s”, 9=270%. Figura 3.47 Problema 45 46 e ssM UnvectorA tieneel módulo de 8 m y forma un ángulo de 37 con el eje x: el vector B = (3 m) i—(5 m) j: el vector C=(6m)1+(3 m)j Determinar los siguientes vectores: (a) D =A + C; (b) E=B-A; (c) F'= A - 2B +3C; (d) un vector G tal que G-B=A +2C+3G. 47 es Hallar el módulo y la dirección de los siguientes vectores: (a) A = Si +3); (b) B=101 7]; y (c) C=-2i-3j+ 4k. 48 e Hallarel módulo y dirección de A, B y C=A + Ben los casos (a) A Ti; B=3i-2j;y(b)A=1li-4j, B=2i+6j. 49 e Describirlos vectores siguientes utilizando los vectores unitarios y j: (a) una velocidad de 10 m/s con un ángulo de elevación de 60”; (b) un vec- tor A de módulo A =5 m y 0=225*; y (c) un desplazamiento desde el origen al punto x=14 m, y=-6m. 50 e Enelcasodel vectorA =3i+ dj, hallar otros tres vectores cuales- quiera B que estén también comprendidos en el plano xy y que tengan la pro- piedad de que A = B, pero A + B. Escribir los vectores en función de sus componentes y dibujarlos gráficamente. 51 ee ssM Uncubodeariste 3 m tiene sus caras paralelas a los pla- nos coordenados y un vértice en el origen. Una mosca situada en el origen se mueve a lo largo de tres aristas hasta llegar al vértice opuesto. Escribir el vector desplazamiento de la mosca utilizando los vectores i, j y k, y hallar el módulo de su desplazamiento.  74 | Capítulo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones 52 e ssm Unbarcoen alta mar recibe señales de radio emitidas desde dos transmisores A y B que están separados 100 km, uno al sur del otro. El localizador de direcciones detecta que la transmisión desde A está 30? al sudeste, mientras que la transmisión de B procede del este. Calcular la distan- cia entre el barco y el transmisor B. Vectores velocidad y aceleración 53 e Unoperador de radar fijo determina que un barco está a 10 km al sur de él. Una hora más tarde el mismo barco está a 20 km al sudeste. Si el barco se movió con velocidad constante siempre en la misma dirección, ¿cuál era su velocidad durante ese tiempo? 54 e Lascoordenadas de posición de una partícula (x, y) son (2 m, 3 m) cuando 1=0; (6 m, 7 m) cuando £=2 s; y (13 m, 14 m) cuando 1=5 s. (a) Hallar la velocidad media 1;, desde 1=0 hasta 1=2 s. (b) Hallar v,, desde 1=0 hasta r=5's. ss e ssm 1 Y Una partícula que se mueve a 4,0 m/s en la dirección x positiva experimenta una aceleración de 3.0 m/s? en la direc- ción y positiva durante 2,0 s. La velocidad final de la partícula es (a) -2,0 m/s, (b) 7,2 m/s, (c) 6,0 vs, (d) 10 m/s, (e) Ninguna de las anteriores. 56 e Inicialmente una partícula se mueve hacia el oeste con una veloci- dad de 40 mvs y 5 s después se está moviendo hacia el norte a 30 nvs. (a) ¿Cuál ha sido el cambio del módulo de las velocidades de la partícula durante este tiempo? (b) ¿Cuál ha sido la variación de la dirección de la velocidad? (c) ¿Cuáles son el módulo y dirección de Av en este intervalo? (d) ¿Cuáles son el módulo y dirección de a, en este intervalo? EYA € Cuando 1 = 0 una partícula situada en el origen tiene una veloci- dad de 40 m/s con 9=45". Parat=3 s, la partícula está en x= 100 m, y =80 m con velocidad de 30 m/s y 9= 50”. Calcular (a) la velocidad media y (b) la ace- leración media de la partícula durante este intervalo. 58 ee ssM RUIZ Unapartículase mueve en un plano xy.con aceleración constante. Para 1=0, la partícula se encuentra en la posición x=4m, y = 3 my posee la velocidad y = (2 m/s) ¡+ (- 9 m/s) j. La aceleración viene dada por el valor a = (4 m/s") 1+(3 m/s") J. (a) Determinar el vector velocidad en el instante 1 =2 . (b) Calcular el vector posición a £ =4 s. Expresar el módulo y la dirección del vector posición. 59 i El vector posición de una partícula viene dado por r= (301) i +(401— SF”) j, en donde rse expresa en metros y ren segundos. Determi- nar los vectores velocidad instantánea y aceleración instantánea en función del tiempo £. 60 ee Unapanícula tiene una aceleración constante a=(6 msi + (4 mus En el instante £=0, la velocidad es cero y el vector de posición es r, = (10 m)i (a) Hallar los vectores posición y velocidad en un instante cualquiera £. (9) Hallar la ecuación de la trayectoria en el plano xy y hacer un esquema de la misma. 61 i Cuando sale del muelle, una barca fuera borda pone rumbo hacia el norte durante 20 s con una aceleración de 3 m/s*, Posterior- mente la barca vira hacía el oeste y se mueve durante 10 s con la velocidad adquirida durante los 20 s anteriores. (a) ¿Cuál es la velocidad media de la barca durante los 30 segundos de movimiento? (5) ¿Cuál es la aceleración media en el mismo intervalo de tiempo?, (c) ¿Cuál es el desplazamiento de la barca desde su salida del muelle hasta pasados 30 s de iniciado el movimiento? 62 55M María y Roberto deciden encontrarse en el lago Michi- gan. María parte en su lancha de Petoskey a las 9:00 a.m. y viaja hacia el norte 28 mi/h. Roberto sale de su casa sobre la costa de Beaver Island, situada a 26 mi y 30* al oeste del norte de Petoskey a las 10:00 a.m. y viaja a una velocidad constante de 6 mi/h. ¿En qué dirección debe poner su-rumbo Roberto para interceptar a María y dónde y cuándo se verificará el encuentro? Velocidad relativa 63 ee Un avión vuela a la velocidad de 250 km/h respecto al aire en reposo. Un viento sopla a 80 km/h en dirección noreste (es decir, en dirección 45? al este del norte). (a) ¿En qué dirección debe volar el avión para que su rumbo sea norte? (b) ¿Cuál es la velocidad del avión respecto al suelo? 64 ee 1 Y Unanadadora intenta cruzar perpendicularmente un río nadando con una velocidad de 1,6 m/s respecto al agua tranquila. Sin embargo llega a la otra orilla en un punto que está 40 m más lejos en la direc- ción de la corriente. Sabiendo que el río tiene una anchura de 80 m (a) ¿cuál es la velocidad de la corriente del río? (b) ¿Cuál es la velocidad de la nadadora respecto a la orilla? (c) ¿En qué dirección debería nadar para llegar al punto directamente opuesto al punto de partida? 65 es ssM Unpequeño avión sale del punto A y se dirige a un aero- puerto en el punto B, a 520 km en dirección norte. La velocidad del avión res- pecto al aire es de 240 km/h y existe un viento uniforme de 50 km/h que sopla del noroeste al sureste. Determinar el rumbo que debe tomar el avión y el tiempo de vuelo. 66 e. EY Dosembarcideros están separados 2,0 km uno del otro sobre la misma orilla de un río, cuyas aguas fluyen a 1,4 km/h. Una lancha a motor hace el recorrido de ida y vuelta entre los dos embarcaderos en 50 min. ¿Cuál es la velocidad de la lancha respecto al agua? 67 ee Unconcurso de aeromodelismo tiene las siguientes normas: Cada avión debe volar hasta un punto situado a 1 km de la salida y regresar de nuevo. El vencedor será el avión que realice el circuito completo en el tiempo más corto. Los competidores tienen la libertad de escoger el recorrido que desean, siempre que el avión se aleje 1 km de la salida y después regrese, El día del concurso, un viento uniforme sopla del norte a 5 m/s. Uno de los modelos puede mantener una velocidad respecto al aire de 15 m/s y se considera que los tiempos de arranque, parada y giro son despreciables. Se plantea la cuestión siguiente: ¿debe planearse el vuelo a favor del viento y contra el viento en el circuito o con viento cruzado este y oeste? Analícese el plan sobre estas dos alternativas: (1) El avión vuela 1 km al norte y después regresa; (2) el avión recorre 1 km hacia el este al arrancar y después regresa. 68 ei El piloto de un pequeño avión mantiene una velocidad con respecto al aire de 150 nudos (un nudo corresponde a la velocidad de una milla náutica por hora) y quiere volar hacia el norte (000%) con respecto a la Tierra. Si sopla un viento de 30 nudos del este (0907), calcular que rumbo (aci- mut) debe tomarel piloto. 69 es ssM ElcocheA se mueve hacia el este a 20 mv/s y se dirige a un cruce, Cuando A cruza la intersección, el coche B parte del reposo 40 m al norte del cruce y se mueve hacia el sur con una aceleración constante de 2 m/s”, (a) ¿Qué posición ocupa B respecto a A 6 segundos después de que A cruza la intersección? (b) ¿Cuál es la velocidad de B respecto a A cuando 1 = 6 5? (c) ¿Cuál es la aceleración de B respectoa A para 1=65? 70 eee 5sM Unapelota está por encima de una raqueta de tenis colo- cada en posición horizontal. Al soltar la pelota, ésta rebota en las cuerdas de la raqueta alcanzando el 64% de su altura inicial. (a) Encontrar la expresión para la velocidad de la pelota, después de rebotar, en función de la velocidad de la pelota justo antes del choque con la raqueta. (5) La misma pelota y la misma raqueta se utilizan para jugar un partido de tenis. Un jugador, al sacar, golpea la pelota (que supuestamente tiene una velocidad inicial nula) moviendo la raqueta a 25 m/s. ¿Con qué velocidad impulsa el jugador la bola? (Sugerencia): Use el resultado del apartado (a) y calcule la velocidad de la bola en el sistema de referencia de la raqueta para, posteriormente, calcular la velocidad de ésta en el sistema de referencia del jugador. (c) Una bien conocida ley de la física nos dice que nunca podemos ver como una pelota rebota hasta una altura supe- rior de donde ha salido. A partir de este hecho, ¿puede encontrar un límite superior a la velocidad de una pelota en un servicio, independientemente del diseño de la raqueta? (Esta cuestión se podrá explicar más adelante en un con- texto diferente: la idea de la conservación del impetu). DN Hd UM  Movimiento circular y aceleración centrípeta 7 . es la acelera minutos en el reloj del problema 38? Expresarla como una fracción del módulo de la aceleración de la caída libre g. ión del extremo de la aguja que señala los 72 e Unacentrifugadora gira a 15.000 rev/min. (a) Calcular la acelera- ción centrípera en un tubo con ul ado a 15 cm del eje de rotación 16) Para conseguir la velocidad máxima de rotación, la centrifugadora acelera durante 1 min. y 15 s. Calcular el módulo de la aceleración tangencial mientra acelera, suponiendo que ésta sea constante. muestra s 73 e Unobjeto situado en reposo en el ecuador experimenta una acele- ración dirigida hacia el centro de la Tierra debido al movimiento rotacional de la Tierra alrededor de su eje y una aceleración dirigida hacia el Sol debida a movimiento orbital de la Tierra, Calcular los módulos de ambas aceleraciones y expresarlos como una fracción de la aceleración de caída libre de los cuerpos g Usar los valores de los datos físicos que se incluye al final de este libro. 74 ee ssM Determine la aceleración que experimenta la Luna debida a la Tierra, usando para ello los valores de la distancia media y del periodo orbital que aparecen en la tabla de datos físicos al final del libro. Suponga que la órbita es circular. Exprese esta aceleración como una fracción del módulo de la aceleración de caída libre. 75 e Unmuchacho hace girar una bola atada a una cuerda en un círculo horizontal de 0,8 m de radio. ¿Cuántas revoluciones por minuto realiza la bol si el módulo de su aceleración centrípeta es g (el módulo de la aceleración de da libre)? Proyectiles 76 e Unlanzador de béisbol lanz a 140 km/h hacia la base, que está a 18,4 m de distancia. Despreciando la resistencia del aire (no sería una buena cosa para el bateador), determinar cuánto ha descendido la pelota por causa de la gravedad en el momento en que alcanza la base. 77 e Selanza un proyectil con velocidad de módulo vy y ángulo y res- pecto a la horizontal. Hallar una expresión que dé la altura máxima que alcanz: por encima de su punto de partida en función de v, G, y 4. 78 ee SssM Unproyectl se dispara con una velocidad inicial yy bajo un ángulo de tiro de 30” sobre la horizontal desde una altura de 40 m por encima del suelo, El proyectil choca contra el suelo a una velocidad de 1,2 yy Determinar vy, 79 mínima inic suelo que está a 11,2 m por debajo de la posición inicial del mono e Enla figura 3,48, si x es 50 m y /=10 m, ¿cuál es la velocidad al del dardo para que choque contra el mono antes de llegar éste al Figura 3.48 - Problema 79 80 ee Un proyectil se dispara con una velocidad inicial de 53 m/s Determinar el ángulo de proyección necesario para qué la altura máxima del proyectil sea igual a su alcance horizontal Problemas | 75 81 eS Una bola lanzada al aire llega al suelo a una distancia de 40 m al cabo de 2,44 s. Determinar el módulo y la dirección de la velocidad inicial. 82 0. sm ¡ Demostrar que si un objeto se lanza con velo- cidad yy bajo un ángulo de tiro O por encima de la horizontal, el módulo de la velocidad a cierta altura h, v(/), es independiente de 9. 83 ee Alamitad de su altura máxima, la velocidad de un proyectil es 3/4 de su velocidad inicial. ¿Qué ángulo forma el vector velocidad inicial con la horizontal? 34 e ¡Y Unavión de transporte vuela horizontalmente a una altura de 12 km con una velocidad de 900 knvh cuando un carro de combate se desprende de la rampa trasera de carga. (a) ¿Cuánto tiempo tarda el tanque en chocar contra el suelo? (D) ¿A qué distancia horizontal del punto donde e encuentra el tanque cuando choca contra el suelo? (c) ¿A qué distan: tanque respecto al avión cuando choca contra el suelo, suponiendo que el av idad constante? ja es sigue volando con velos 85 ..e sm 1 Dos personajes de dibujos animados respon- den a su argumento habitual y uno persigue al otro. El coyote Wiley (Carnivo- rous hungribilous) intenta cazar de nuevo al Correcaminos (Speedibus cantcatchmi). Ambos, en su frenética carrera llegan al borde de un profundo barranco de 15m de ancho y 100 m de profundidad. El Correcaminos salta con un ángulo de 15? por encima de la horizontal y aterriza al otro lado del barranco sobrándole 1.5 m. (a) ¿Cuál era la velocidad del Correcaminos antes de iniciar el salto? Ignore la resistencia del aire. (/b) El Coyote, con el mismo objetivo de superar el obstáculo, salta también con la misma velocidad inicial, pero con distinto ángulo de salida. Para su desgracia, le faltan 0,5 m para poder alcanzar el otro lado del barranco, ¿Con qué ángulo saltó? (Supóngase que éste fue infe- rior a 15*.) 86 e Un cañón se ajusta con un ángulo de tiro de 45”. Dispara una bala con una velocidad de 300 mv. (a) ¿A qué altura llegará la bala? (b) ¿Cuánto ón 7 tia npo estará en el aire? (c) ¿Cuál es el alcance horizontal del 87 en Una piedra lanzada horizontalmente desde lo alto de una torre choca contra el suelo a una distancia de 18 m de su base. (a) Sabiendo que la altura de la torre es de 24 m, calcular la velocidad con que fue lanzada la pie- dra. (b) Calcular la velocidad de la piedra justo antes de que ésta golpee el suelo, sg ee i Se dispara un proyectil al aire desde la cima de una 200 m por encima de un valle (figura 3.49). Su velocidad inicial es del aire, montaña a de 60 m/s a 6U” respecto a la horizontal. Despreciando la resisten ¿dónde caerá el proyectil 200 m ———— hlcance Figura 3.49 Problema 88 89 alto de un monte es il velocidad cuando el proyectil choca contra el suelo? e. El alcance de un proyectil disparado horizontalmente desde lo al a la altura de éste. ¿Cuál es la dirección del vector 90 e Se dispara un proyectil con un ángulo de 60? por encima de la horizontal y con una velocidad inicial de 300 m/s. Calcular (a) la distancia l alcanzada des- horizontal recorrida por el proyectil y (5) la distan de transcurridos los primeros 6 s.  78 | Capítulo 3 Movimiento en dos y tres dimensiones una determinada altura /, encuentre la velocidad de despegue mínima Y Para realizar el salto con éxito. (b) ¿Cuál es vip para un ángulo de lanzamiento 9= 30" si la profundidad del pozo es de 8 m y la altura de la plataforma /=4 m? (c) Muestre que, independientemente del módulo de la velocidad de despegue, la altura máxima de la plataforma es /tya, <.x18 6. Interprete el resultado física» mente. (Desprecie los efectos de la resistencia del aire y trate la motocicleta como una partícula.) 120 Una pequeña lancha pone rumbo hacia un puerto situado a 32 km hacia el noroeste de su posición inicial cuando súbitamente se ve envuelta en una densa niebla. El capitán mantiene el rumbo al noroeste y una velocidad de 10 km/h relativa al agua. Tres horas más tarde, la niebla se levanta y el capitán observa que se encuentra exactamente a 4,0 km al sur del puerto. (a) ¿Cuál fue la velocidad media de la corriente durante aquellas tres horas? (b) ¿En qué dirección debería haber puesto su rumbo la lancha para alcanzar su destino en una trayectoria lineal? (c) Si hubiera seguido esta trayectoria lineal, ¿qué tiempo habría necesitado para realizar el viaje? 121 5sM Galileo indicó que, si se despreciaba la resistencia del aire, los alcances de los proyectiles lanzados con ángulos de tiro mayores de 45" en una determinada cantidad eran iguales a los alcances de proyectiles lan- zados con ángulos de tiro menores de 45* en la misma cantidad. Demostrarlo. 122 Desde la parte superior de un acantilado de altura /1 se lanzan dos pelotas con idéntica velocidad. Una de ellas se lanza hacia arriba con un ángulo ¡e respecto a la horizontal. La otra se lanza hacia abajo con un ángulo f res- pecto a la horizontal. Demostrar que ambas pelotas chocan contra el suelo con la misma velocidad y calcular el valor de esta velocidad en función de h y de la velocidad inicial vy. LEYES DE NEWTON Este avión esta acelerando antes del despegue. Las leyes de Newton relacionan la acelera- ción de un objeto con su masa y con las fuerzas que actúan sobre él. Si usted fuera un pasajero, ¿cómo usaría las leyes de Newton para determinar la aceleración del avión? (Véase el ejemplo 4.9.) Apo que ya hemos estudiado cómo se mueven los cuerpos en una, dos y tres dimen- siones, nos hacemos la siguiente pregunta, “¿por qué los objetos se ponen en movimien- to?” ¿Cuáles son las causas que hacen que un cuerpo en movimiento gane velocidad o cambie la dirección? La mecánica clásica relaciona las fuerzas que se ejercen los cuerpos entre sí, y tam- bién los cambios en el movimiento de un objeto con las fuerzas que actúan sobre él. Des- cribe los fenómenos utilizando las tres leyes del movimiento de Newton. Mientras que ya tenemos una idea intuitiva de algunas fuerzas, como las de empuje o de tracción ejer- cidas por nuestros músculos o por muelles o gomas elásticas, las leyes de Newton nos permiten refinar nuestra comprensión sobre las fuerzas en general. «En este capítulo, describiremos las tres leyes del movimiento de Newton y empe- zaremos a utilizarlas para resolver problemas que impliquen objetos en movimien- to y en reposo. Una versión moderna de las leyes de Newton es la siguiente: Primera ley Todo cuerpo en reposo sigue en reposo a menos que sobre él actúe una fuerza externa. Un cuerpo en movimiento continúa moviéndose con velocidad constante a menos que sobre él actúe una fuerza externa. PRIMERA LEY DE [NEWTON Capítulo 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Primera ley de Newton: ley de la inercia Fuerza, masa y segunda ley de Newton Fuerza debida a la gravedad: el peso Las fuerzas en la naturaleza Resolución de problemas: diagramas de fuerzas de sistemas aislados La tercera ley de Newton Problemas con dos o más objetos 80 | capítulo 4 Leyes de Newton El rozamiento se reduce grandemente mediante un colchón de aire que soporta el aerodeslizador. Segunda ley La aceleración de un cuerpo tiene la misma dirección que la fuerza externa neta que actúa sobre él. Es proporcional a la fuerza externa neta según Fyy;y = MA, donde m es la masa del cuerpo. La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo, también lla- mada fuerza resultante, es el vector suma de todas las fuerzas que sobre él actúan: Fo, = E E. Así pues, YF = ma (4.1) SEGUNDA LEY DE NEWTON Tercera ley Las fuerzas siempre actúan por pares iguales y opuestos. Si el cuerpo A ejerce una fuerza Fa, sobre el cuerpo B, éste ejerce una fuerza igual, pero opuesta Fp;a, sobre el cuerpo A. Así pues, Fosa = Fas (4.2) TERCERA LEY DE NEWTON 4.1 Primera ley de Newton: ley de la inercia Empujemos un trozo de hielo sobre una mesa: desliza y luego se para. Si la mesa está húmeda, el hielo recorre un espacio mayor antes de pararse. Si se trata de un trozo de hielo seco (dióxido de carbono congelado) sobre un colchón de vapor de dióxido de carbono, el deslizamiento es mucho mayor y el cambio de velocidad es muy pequeño. Antes de Galileo se creía que una fuerza, tal como un empuje o un tirón, era siempre necesaria para mantener un cuerpo en movimiento con velocidad constante, Galileo, y posteriormente Newton, reco- nocieron que si los cuerpos se detenían en su movimiento en las experiencias diarias era debido al rozamiento (o fricción). Si éste se reduce, el cambio de velocidad se reduce. Una capa de agua o un colchón de gas son especialmente efectivos para reducir el rozamiento, permitiendo que el objeto se deslice a gran distancia con un pequeño cambio en su veloci- dad. Si se eliminan todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo —razonaba Gali- leo— su velocidad no cambiará, una propiedad de la materia que él describía como su inercia. Esta conclusión restablecida por Newton como su primera ley, se llama también ley de la inercia. Sistemas de referencia inerciales La ley primera de Newton no distingue entre un objeto en reposo y un objeto que se mueve con velocidad constante distinta de cero. El hecho de que un objeto esté en reposo o en movimiento con velocidad constante depende del sistema de referencia en el cual se observa el objeto. Consideremos una pelota situada en la bandeja de su asiento de un avión que vuela en una trayectoria horizontal. En un sistema de coordenadas ligado al avión (es decir, en el sistema de referencia del avión) la pelota está en reposo, y permanecerá en reposo relativo al avión en tanto éste vuele con velocidad constante. Supongamos ahora que el piloto aumenta la potencia de los motores y el avión, de forma brusca, acelera (con respecto al suelo). Usted observará que la pelota, de repente, retrocede acelerando con respecto del avión incluso cuando no actúa ninguna fuerza sobre ella. Un sistema de referencia que acelera respecto de un sistema inercial, no es un sistema de referencia inercial, Así la primera ley de Newton nos proporciona el criterio para determi- nar si un sistema de referencia es inercial. De hecho, es útil pensar en la primera ley de Newton como un criterio que define cuando los sistemas de referencia son inerciales. 4,3 Fuerza debida a la gravedad: el peso 1. Aplicar Y F =ma para relacionar la fuerza neta con la masa y la acele-— F, ración: F,=ma. 2. Para determinar la aceleración, utilizamos la ecuación 2.15con»y=0: Ar= =vyf+ la, = zan - 2025m) - 2 ED 0,500 m/s: 3. Sustituir a, =0,500 m/s? y m= 68 kg para determinar la fuerza: = (68 kg)(0,500 m/s?) = Figura 4.1 EJEMPLO 4.3 l Fuerzas que actúan sobre una partícula ¡INTÉNTELO USTED MISMO! Una partícula de masa 0,4 kg está sometida simultáneamente a dos fuerzas F, =-2 Ni-4 Nj y F,=-2,6Ni +5 Nj. Si la partícula está en el origen y parte del reposo para f = 0, calcular (a) su vector posición r y (b) su velocidad y para £=1,6 s. Planteamiento del problema Como F, y F,son constantes, la aceleración de la partícula es constante, Por lo tanto, podemos utilizar las ecuaciones cinemáticas del capítulo 2 para determinar la posición de la partícula y la velocidad en función del tiempo. Tape la columna de la derecha e intente resolverlo usted mismo Pasos Respuestas (a) 1. Escribir la ecuación general del vector posición ren función del r = ry+vpf+ e tiempo / para una aceleración constante a en función de rg, Y y a, sustituyendo ry=Yp=0. 2. Utilizar Y F =ma para expresar la aceleración a en función de la 4= El fuerza resultante Y F y la masa m. 3. Calcular Y F a partir de las fuerzas dadas. 4. Determinar el vector aceleración a. 1 3 añ = 30,04 +la nj 5, Determinar el vector posición r para un tiempo cualquiera £. pus = 5,15 m/s i+ 1,25 mis? j 6. Determinar r para 1= 1,65. r =| -14,7 mi+3,20 mj (b) Escribir el vector velocidad y en función de la aceleración y el tiempo Y = ar = (-11,5m/s%i+ 2,5 m/s*j)1 y calcular sus componentes para f= 1,6 s. =|-18,4m/si+4.00 m/s j 4.3 Fuerza debida a la gravedad: el peso Si dejamos caer un objeto cerca de la superficie terrestre, el objeto acelera hacia la Tierra. Si podemos despreciar la resistencia del aire, todos los objetos poseen la misma aceleración, lla- mada aceleración de la gravedad g en cualquier punto del espacio. La fuerza que causa esta aceleración es la fuerza de la gravedad sobre el objeto, llamada peso del mismo, w.! Si el peso w.es la única fuerza que actúa sobre un objeto, se dice que éste se encuentra en caída libre. Si su masa es m, la segunda ley de Newton (ZF = ma) define el peso del cuerpo en la forma: 1 Referirse a la fuerza de gravedad como “el peso” es desafortunado ya que parece implicar que “el peso" es una propiedad del objeto más que de una fuerza externa que.actúa sobre él. Para evitar caer en esta interpretación aparente, cada vez que leamos “el peso” mentalmente traduciremos esta denominación como “la: fuerza gravita- toria que actúa”, 84 Capítulo 4 Leyes de Newton wW= mg (4.4) PESO Como g es idéntico para todos los cuerpos, llegamos a la conclusión de que el peso de un cuerpo es proporcional a su masa. El vector g se denomina campo gravitatorio terrestre y es la fuerza por unidad de masa ejercida por la Tierra sobre cualquier objeto. Es igual a la ace- leración en caída libre experimentada por un objeto.! Cerca de la superficie terrestre g tiene el valor g = 9,81 N/kg = 9,81 m/s? Medidas cuidadosas muestran que g varía con el lugar. En particular, en un punto por encima de la superficie terrestre, g apunta hacia el centro de la Tierra y varía en razón inversa con el cuadrado de la distancia a dicho centro. Así pues, un cuerpo pesa ligeramente menos cuando se encuentra en lugares muy elevados respecto al nivel del mar. El campo gravitatorio tam- bién varía ligeramente con la latitud debido a que la Tierra no es exactamente esférica, sino que está achatada en los polos. Por lo tanto, el peso, a diferencia de la masa no es una propiedad intrínseca del cuerpo. Aunque el peso de un cuerpo varía de un lugar a otro debido a las variaciones de g, esta variación es demasiado pequeña para ser apreciada en la mayor parte de las aplicaciones prácticas sobre o cerca de la superficie terrestre. Un ejemplo puede clarificar la diferencia entre masa y peso. Supongamos que en la Luna tenemos una bola pesada, como la de jugar a los bolos. Su peso es la fuerza gravitatoria que ejerce la Luna sobre ella, pero esta fuerza es sólo una sexta parte de la fuerza que se ejerce sobre la bola cuando está en la Tierra. En la Luna la bola pesa sólo una sexta parte de lo que pesa en la Tierra, por lo que para levantar la bola en ella se necesita una sexta parte de la fuerza. Sin embargo, lanzar la bola con cierta velocidad horizontal requiere la misma fuerza en la Luna que en la Tierra, o en el espacio libre. Aunque el peso de un objeto puede variar de un lugar a otro, en cualquier lugar determi- nado, su peso es proporcional a su masa. Así pues, podemos comparar convenientemente las masas de dos objetos en un lugar determinado comparando sus pesos. La sensación que tenemos de nuestro propio peso procede de las demás fuerzas que lo equilibran. Por ejemplo, al estar sentados en una silla, apreciamos la fuerza ejercida por ella que equilibra nuestro peso, y por lo tanto evita que nos caigamos al suelo. Cuando estamos situados sobre una balanza de muelles, nuestros pies aprecian la fuerza ejercida sobre noso- tros por la balanza. Esta balanza está calibrada de modo que registra la fuerza que debe ejer- cer (por compresión de su muelle) para equilibrar nuestro peso. La fuerza que equilibra nuestro peso se denomina peso aparente. Este peso aparente es el que viene dado por una balanza de muelle. Si no existiese ninguna fuerza para equilibrar nuestro peso, como sucede en la caída libre, el peso aparente sería cero. Esta condición denominada ingravidez, es la que experimentan los astronautas en los satélites que giran alrededor de la Tierra. La única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravedad (su peso). El astronauta está también en caída libre. La única fuerza que actúa sobre él es su peso, que produce la aceleración g. Como no existe ninguna fuerza que equilibre la fuerza de la gravedad, el peso aparente del astronauta es cero. Unidades de fuerza y masa La unidad SI de masa es el kilogramo. Como el segundo y el metro, el kilogramo es una uni- dad fundamental en el SI. La unidad de fuerza, el newton y las unidades de otras magnitudes que estudiaremos más adelante, tales como el momento lineal y la energía, se derivan de estas tres unidades fundamentales: segundo, metro y kilogramo. 1. gse refiere a la aceleración de la gravedad, que es la aceleración (de un objeto en caída libre) relativa al suelo. No _ es completamente correcto atribuir esta aceleración únicamente a la atracción gravitatoria de la Tierra. La distin- ción se discutirá más adelante en el capítulo 11. Como decíamos en la sección 4.2, el newton se define como la fuerza que produce la ace- leración de 1 m/s? cuando actúa sobre 1 kg. Según la segunda ley de Newton, LN = (Ikg)(l m/s?) = 1 kg - m/s? (4.5) Una unidad patrón conveniente de masa en la física atómica y nuclear es la unidad de masa unificada (u) que se define como la doceava parte de la masa del átomo neutro del car- bono-12 ('2C). La unidad de masa unificada está relacionada con el kilogramo por lu = 1,660 540 x 10-27 kg (4.6) La masa de un átomo de hidrógeno es aproximadamente 1 u, Aunque en este texto utilizaremos generalmente unidades SI, en los EE.UU. es habitual el uso de un sistema basado en el pie, el segundo y la libra (unidad de fuerza). Este sistema difiere del SI en que se escoge como unidad fundamental una unidad de fuerza en lugar de una unidad de masa. La libra se definió originalmente como el peso de un cuerpo patrón determinado en un lugar concreto. Ahora se define como una fuerza igual a 4,448222 N. Redondeando a tres cifras, tenemos 1 lb =4,45 N. Como 1 kg pesa 9,81 N, su peso en libras es 9,81 N = 2,20 lb (4.7) PESO DE 1 kG La unidad de masa en este sistema, llamada slug, se utiliza muy poco y se define como la masa de un objeto que pesa 32,2 lb. Cuando se trabaja en este sistema es más conveniente sustituir la masa m por w/g, en donde w es el peso en libras y g la aceleración de la gravedad en pies por segundo por segundo: g = 32,2 pies/s? (4.8) EJEMPLO 4.4 | Una estudiante acelerada La fuerza neta que actúa sobre una estudiante de 130 Ib es 25 lb fuerza. ¿Cuál es su acelera- ción? Planteamiento del problema Aplicar EF = ma y despejar la aceleración. La masa puede determinarse a partir del peso de la estudiante. De acuerdo con la segunda ley de Newton, su aceleración es la fuerza divi- a = dida por su masa: ESTA m Ejercicio ¿Qué fuerza es necesaria para suministrar una aceleración de 3 pies/s? a un bloque de 5 1b? (Respuesta 0,466 1b.) 4.4 Las fuerzas en la naturaleza La gran potencia de la segunda ley de Newton se manifiesta cuando se combina con las leyes de las fuerzas que describen las interacciones de los objetos. Por ejemplo, la ley de Newton de la gravitación, que estudiaremos en el capítulo 11, nos expresa la fuerza gravitatoria ejer- cida por un objeto sobre otro en función de la distancia que separa los objetos y las masas de ambos. Esta ley de gravitación combinada con la segunda ley de Newton nos permite calcu- lar las órbitas de los planetas alrededor del Sol,*el movimiento de la Luna y las variaciones con la altura de g, aceleración de la gravedad. 4.4 Las fuerzas en la naturaleza | 85 w/g — (1301b)/(32.2 pies/s?) 88 | capítulo 4 Leyes de Newton Figura 4.6 — (a) Modelo de un sólido formado por átomos conectados entre sí por muelles elásticos. Los muelles son muy rígidos (constante de fuerza grande) de modo que cuando un peso actúa sobre el sólido, su deformación no es visible. Sin embargo, la compresión producida por la mordaza sobre un bloque de plástico en (b), da lugar a procesos elás- ticos que se hacen visibles mediante luz polarizada. EJEMPLO 4.5 | Elmate La fuerza molecular de atracción entre los átomos de una molécula o un sólido varía de un modo aproximadamente lineal con el cambio de su separación (para pequeños cambios); la fuerza varía de modo muy parecido al de un muelle. Por ello es frecuente representar el modelo de una molécula diatómica por dos masas conectadas por un muelle y el modelo de un sólido mediante una serie de masas conectadas por muelles como se muestra en la figura 4.6. Un jugador de baloncesto de 110 kg se cuelga del aro del cesto después de un mate espectacu- lar (figura 4.7). Antes de dejarse caer, se queda colgando en reposo, con el anillo doblado hacia abajo una distancia de 15 cm. Suponiendo que el aro se comporta como un muelle elástico, cal- cular su constante de fuerza k. Planteamiento del problema Como la aceleración del jugador es cero, la fuerza neta ejercida sobre él es nula. La fuerza hacia arriba ejercida por el aro equilibra su peso (figura 4.6). Sea y =0 la posición original del aro, considerando y positiva hacia abajo. Por lo tanto, Ay es positivo, el peso mg es positivo y la fuerza ejercida por el aro, -k Ay es negativa. Aplicar Y F= ma al jugador, y despejar k: E F,=w,+F, = ma, mg+(=k Ay) = 0 | k = 78 - (10 kg)(9,81 N/kg) | Ay 0,15 m =|7,19x 103 N/m Observación Aunque el aro del cesto no se parece mucho a un muelle, el aro está colgado por una bisagra con un muelle que se deforma cuando el aro se inclina. Como resultado, la fuerza hacia arriba que hace el aro sobre las manos del jugador es proporcional a la inclinación del aro y en sen- tido opuesto. Obsérvese que hemos utilizado para g las unidades N/kg, de modo que kg se cancela, y obtenemos para k las unidades N/m. Para g siempre puede usarse, a nuestra conveniencia, 9,81 N/kg 09,81 m/s”, ya que 1 N/kg= 1 m/s”, Ejercicio Un racimo de plátanos de 4 kg está suspendido en reposo de una balanza de muelle, cuya constante de fuerza es k= 300 N/m. ¿Cuánto se ha estirado el muelle? (Respuesta 13,1 cm.) Ejercicio Un muelle, de constante de fuerza 400 N/m está conectado a un bloque de 3 kg que des- cansa sobre una pista de aire horizontal, de modo que el rozamiento es despreciable. ¿Qué alarga- miento debe experimentar el muelle para que al liberar el bloque éste posea una aceleración de 4 m/s?? (Respuesta 3,0 cm.) Ejercicio de análisis dimensional Un objeto de masa m oscila en el extremo de un muelle de constante de fuerza k. El tiempo correspondiente a una oscilación completa es el periodo 7. Supo- niendo que 7 depende de m y k, utilizar el análisis dimensional para determinar la forma de la rela- ción T=f (m, k), prescindiendo de las constantes numéricas. El método más simple es considerar las unidades. Obsérvese que las unidades de k son N/m = (kg - m/s?)/m = kg/s? y las unidades de m son kg. (Respuesta T= C./m/ken donde C es una constante sin dimensiones. La expresión correcta para el periodo, como veremos en el capítulo 14 es T=2x. ./m/k.) Figura 4.7 4.5 Resolución de problemas: diagramas de fuerzas de sistemas aislados | 89 Cuerdas Un cuerpo se puede arrastrar y mover mediante una cuerda. Se puede suponer que una cuerda es como un muelle pero con una constante de fuerza muy grande de forma que la deformación que adquiere al aplicar una fuerza es despreciable. Las cuerdas, sin embargo no son rígidas, ya que flexionan y se tuercen y, por lo tanto, no pueden usarse para empujar objetos como lo hacen los muelles sino que únicamente pueden tirar de ellos. La magnitud de la fuerza que un trozo de una cuerda ejerce sobre otro adyacente se denomina tensión. Por lo tanto, si se tira de un objeto con una cuerda, la magnitud de la fuerza coin- cide con la tensión. En la sección 4.7 se desarrolla con más detalle el concepto de tensión en una cuerda o en una cadena. Ligaduras Un tranvía se mueve por el rafl. Un caballo de madera de una atracción se mueve en un círculo. Un trineo se mueve por la superficie de un estanque helado en un plano horizontal. Todos estos condicionantes sobre el movimiento de los objetos se denominan ligaduras. 4.5 Resolución de problemas: diagramas de fuerzas de sistemas aislados Imaginemos un trineo tirado por un perro que avanza por un terreno helado, El perro tira de una cuerda ligada al trineo (figura 4.8) con una fuerza horizontal que hace que éste gane velocidad. Podemos pensar en el trineo y la cuerda como un único cuerpo. ¿Qué fuerzas actúan sobre el cuerpo trineo-cuerda? Tanto el perro como el hielo tocan el cuerpo, de modo que ambos ejercen fuerzas sobre él. También sabemos que la Tierra ejerce una fuerza gravi- tatoria sobre el trineo y la cuerda (el peso del cuerpo). Resumiendo, estas tres fuerzas actúan sobre el cuerpo (suponiendo el rozamiento despreciable): 1. El peso del cuerpo trineo-cuerda, w. 2. La fuerza de contacto F,, ejercida por el hielo (sin rozamiento, esta fuerza es perpen- dicular al hielo). q Figura 4.8 (a) Un perro tira de un trineo. El pri- 3. La fuerza de contacto F ejercida por el perro. mer paso para resolver este problema es aislar el sis- tema que deseamos analizar. En este caso la curva cerrada de puntos aísla el cuerpo trineo-cuerda de sus alrededores. (b) Las fuerzas que actúan sobre el trineo de (a). Un diagrama que muestra esquemáticamente todas las fuerzas que actúan sobre un sistema, tal como el de la figura 4.8 b, se denomina diagrama del sistema aislado. Se denomina diagrama del sistema aislado porque el objeto (el cuerpo) se dibuja sin su entorno. Para dibu- jar a escala los vectores fuerza en un diagrama de fuerzas de sistema aislado es necesario determinar primero, usando métodos cinemáticos, la dirección del vector aceleración. Sabe- mos que el objeto se mueve hacia la derecha con velocidad creciente y por lo tanto, que el vector aceleración va en la dirección de su movimiento, hacia la derecha. Obsérvese que F,, y w en el diagrama tienen magnitudes iguales. Los módulos deben ser iguales, ya que el trineo no acelera verticalmente. Como prueba de la corrección del diagrama del sistema aislado que hemos realizado, dibujamos el diagrama de la adición vectorial (figura 4.9) verificando que la suma de los vectores fuerza coincide con la dirección del vector aceleración. La componente x de la segunda ley de Newton da Y Fr = Fnitwt FP, = 0+0+F = ma, mí E 1 3 3 tl a F F m Figura 4.9 y La componente y de la segunda ley de Newton expresa: -w+0=0 O sea, En este simple ejemplo hemos determinado dos magnitudes: la aceleración horizontal (a, = Flm), y la fuerza vertical F, ejercida por el hielo (F,, =w). 90 | Capítulo 4 Leyes de Newton EJEMPLO 4.6 | Una carrera de trineos Durante las vacaciones de invierno, un joven participa en una carrera de trineos donde los estu- diantes sustituyen a los perros. El joven comienza la carrera tirando de una cuerda atada al trineo con una fuerza de 150 N que forma un ángulo de 25” con la horizontal. La masa del cuerpo trineo- cuerda-pasajero es de 80 kg y el rozamiento entre el trineo y el hielo es despreciable. Determinar: (a) la aceleración del trineo y (b) la fuerza normal F, ejercida por la superficie sobre el trineo. Planteamiento del problema Tres fuerzas actúan sobre el cuerpo: su peso w, que actúa hacia abajo; la fuerza normal F,,, que actúa hacia arriba; y la fuerza con que el joven tira de la cuerda, F, en dirección 25” sobre la horizontal. Como las fuerzas no coinciden en la misma línea de dirección, estudiaremos el sistema aplicando la segunda ley de Newton a las direcciones x e y por separado, Escogemos x en la dirección del movimiento e y perpendicular al hielo. (a) 1. Dibujamos un diagrama de fuerzas (figura 4.10b) del trineo. Incluye un sistema de coordenadas en el cual und de los ejes de coordenadas apunta en la dirección de la aceleración del trineo. El objeto se mueve hacia la derecha con velocidad creciente, por lo que sabemos que la aceleración va en esa dirección: 2. Nota: Se añaden los vectores fuerza en el diagrama (figura 4.11) para verificar que su suma va en la dirección de la aceleración: 3. Se aplica la segunda ley de Newton al objeto. Se escribe la ecua- ción tanto en forma vectorial como en sus componentes: 4. Se escriben las componentes x de F,. w, y F: e Se sustituyen los resultados del paso 4 en la ecuación para la com- ponente x del paso 3. Se resuelve para la aceleración a? (b) 1. Se expresa la componente y de a: 2. Seescriben las componentes y de F,,, w, y F: Lo? Se sustituyen los resultados de los pasos b1 y b2 en la ecuación para la componente y del paso a3. Se resuelve entonces para F,, Figura 4.11 F,+w+F = ma o Fa +W¿+F, = ma, Fay +Wy+F, = ma; Fo, =0, al w.=0, y F,=Fcos0 0+0+Fcos 0 = ma, _Fcosó mm (150 N)(cos 25%) == 80 kg aj=0 Fa, =Fp wy==mg, y F,=Fsn0 Y F, = F,-mg+F sen0=0 F, = mg-F sen 0 = (80 kg)(9,81 N/kg) - (150 N)(sen 259) Observación Sólo la componente x de F, F'cos 6, es la causa de la aceleración del cuerpo. Obsér- vese también que el hielo soporta un peso inferior al peso total del cuerpo. pues la componente F sen O es soportada por la cuerda. Comprobar el resultado Si 9=0, el cuerpo es acelerado por una fuerza F y el hielo soporta todo su peso. Nuestros resultados concuerdan, ya que en este caso darían a, = F/m y F,=mMg. Ejercicio de la superficie? (Respuesta. F=1,86 KN.) ¿Si 0=25 cuál es la mayor fuerza F que puede aplicarse a la cuerda sin levantar el trineo El ejemplo 4.6 ilustra un método general para resolver problemas utilizando las leyes de Newton: 1. Dibujar un diagrama claro. 2. Aislar el objeto (partícula) que nos interesa y dibujar un diagrama que muestre todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. Si existe más de un objeto de interés en el problema, dibujar un diagrama análogo para cada uno de ellos. Elegir un sis- tema de coordenadas conveniente para cada objeto e incluirlo en el diagrama de fuerzas para este objeto. Si se conoce la dirección de la aceleración, se elige un eje de coordenadas que sea paralelo a ella, Para objetos que resbalan o que se deslizan por una superficie, hay que escoger un eje de coordenadas paralelo a la superficie y otro perpendicular a ella. 4.5 Resolución de problemas: diagramas de fuerzas de sistemas aislados | 93 2. Aplicar Y F = ma según el método de las componentes para el yo-yo: 3. Aplicar EF, = ma, al yo-yo. Mediante la trigonometría y w = mg, simplificar (figura 4.16c). La aceleración apunta en la dirección posi- tiva del eje x, por lo tanto a,=0: 4. Dividir el resultado del paso 2 por el del paso 3 y despejar la acelera- ción, El vector aceleración señala en la dirección positiva del eje x, con lo que a= ay: (b) Despejar la tensión, usando el resultado del paso 3: T¿+w, = ma, T sen 6+0= ma, o T sen 0 = ma, li 0 T,=w, = ma, ml) T cos 6-mg = 0 o Tcos 6 = mg (c) Figura 4.16 T sen 6 _ ma, Toosó mg o a = g1g 0 = (9,81 m/s?) tg 22? T= ME - (004 kg)9.81 m/s?) cos O cos 229 Observación Tes mayor que el peso del yo-yo (mg = 0,392 N), ya que la cuerda no sólo evita que caiga el yo-yo, sino que también lo acelera en dirección horizontal. En este caso utilizaremos para g las unidades m/s”, ya que estamos calculando una aceleración. Comprobar el resultado Para 9=0, resulta T=mg y a=0. Ejercicio ¿Para qué aceleración a la tensión de la cuerda sería igual a 3 mg? este caso? (Respuestas a=27,8 m/s”, 9=70,5",) ¿Cuánto valdría 8 en El ejemplo siguiente aplica las leyes de Newton a objetos que están en reposo relativo res- pecto a un sistema de referencia acelerado. EJEMPLO 4.10 | Su peso en un ascensor Un hombre de 80 kg está de pie sobre una balanza de muelle sujeta al suelo de un ascensor. La balanza está calibrada en newtons. ¿Qué peso indicará la balanza cuando (a) el ascensor se mueve con aceleración a hacia arriba; (b) el ascensor se mueve con aceleración descendente a”; (c) el elevador se mueve hacia arriba a 20 m/s, mientras su velocidad decrece a razón de 8 m/s?? a (abajo) (a) (b) Figura 4.17 94 | capítulo 4 Leyes de Newton Planteamiento del problema La lectura de la balanza es el módulo de la fuerza normal F,, ejercida por la balanza sobre el hombre (figura 4.17). Como el hombre está en reposo respecto al ascensor, tanto el uno como el otro poseen la misma aceleración. Sobre el hombre actúan dos fuer- zas: la fuerza de la gravedad hacia abajo, mg y la fuerza normal de la balanza, F,, hacia arriba. La suma de ambas es la causa de la aceleración observada sobre el hombre. Elegiremos como positiva la dirección hacia arriba. (a) 1. Dibujar un diagrama de fuerzas para el hombre: 2. Aplicar Y F =ma en la dirección y: Fay +Wy= ma, F,-mg = ma 50 Despejar F,. Esta es la lectura de la balanza (el peso aparente del — F, = mg+ma = hombre): (b) 1. Aplicar E F =ma en la dirección y para el caso en que el ascensor F,+Ww, = Ma, acelera hacia abajo con aceleración a”: F,—mg = m(=a') 2. Despejar F.: F, = mg=ma' =[m(¿-a)] (c) 1. Aplicar E F=ma en la dirección y. Obsérvese que la aceleración — F,, +1, = ma, del ascensor está dirigida hacia abajo: N Despejar F: F,—mg = ma, F, = m(g+a,) = (80 kg)(9,81 m/s? — 8,00 m/s?) Observación Cuando el ascensor acelera hacia arriba, ya sea en su ascenso o descenso, el peso aparente del hombre es mayor que mg en la cantidad ma. Para el hombre todo ocurre como si la gra- vedad se incrementase de g a g + a. Cuando el ascensor acelera hacia abajo, el peso aparente del hombre es menor que mg en la cantidad ma”. El hombre se siente más ligero, como si la gravedad fuera g —a”. Si al =g, el ascensor estaría en caída libre y el hombre experimentaría la ingravidez. Ejercicio Un ascensor que desciende a la planta baja-llega a una parada con una aceleración de 4 mí/s?, Si una persona de 70 kg se encuentra sobre una balanza en el interior de este ascensor, ¿qué peso marcará la balanza cuando el ascensor está deteniéndose? (Respuesta 967 N.) E ción ascensional a. La balanza mide 960 N. El hombre coge una caja de 20 kg. y la balanza Figura 4.19 e Ejercicio Un hombre está sobre una balanza dentro de un ascensor que tiene una acelera- mide entonces 1200 N. Determinar la masa del hombre, su peso, y la aceleración a. 4.6 La tercera ley de Newton Cuando dos cuerpos interaccionan mutuamente se ejercen fuerzas entre sí. La tercera ley de Newton establece que estas fuerzas son iguales en módulo y van en direcciones opuestas. Es decir, si un objeto A ejerce una fuerza sobre un objeto B, el objeto B ejerce una fuerza sobre el objeto A que es igual en módulo y opuesta en dirección. Así las fuerzas se dan en pares. Es común referirse a estas fuerzas como acción y reacción, sin embargo esta terminología es desafortunada porque parece como si una fuerza reaccionara a la otra, lo cual no es cierto, ya que ambas fuerzas actúan simultáneamente. Cada una de ellas puede denominarse acción o bien reacción. Si cuando una fuerza externa actúa sobre un objeto particular la llamamos fuerza de acción, la correspondiente fuerza de reacción debe actuar sobre un objeto dife- rente. Así en ningún caso dos fuerzas externas que actúan sobre un único objeto constituyen un par acción-reacción. En la figura 4.19 se ve una caja que descansa encima de una mesa. La fuerza hacia abajo que actúa sobre la caja es el peso w debido a la atracción de la Tierra. El bloque ejerce sobre la Tierra una fuerza igual y de signo contrario w” =—w. Estas fuerzas forman pues un par acción-reacción. Si fueran las únicas fuerzas presentes, el bloque se aceleraría hacia abajo y la Tierra se aceleraría hacia arriba. Sin embargo, la mesa ejerce sobre la caja una fuerza hacia arriba F, que compensa el peso. La caja también ejerce una fuerza sobre la mesa Ff, = —F,, hacia abajo. Las fuerzas F, y Ff, forman un par acción-reacción. 4.7 Problemas con dos o más objetos | 95 Ejercicio ¿Las fuerzas w y F, de la figura 4.19 forman un par acción-reacción? (Respuesta No, no lo forman. Estas fuerzas son externas y ambas actúan sobre el mismo objeto, la caja, Por lo tanto no pueden constituir un par acción-reacción.) EJEMPLO 4.11 | Elcaballo y el carro El caballo de la figura 4.204 rechaza tirar del carro porque razona: “de acuerdo con la tercera ley de Newton, cualquiera que sea la fuerza que ejerza sobre el carro, éste ejercerá una fuerza igual y de sentido contrario sobre mi, por lo que la fuerza neta será cero y no habrá ninguna opción para acelerarlo”. ¿Dónde está la incorrección en este argumento? Planteamiento del problema Estamos interesados en el movimiento del carro, y, por lo tanto, 7 dibujamos un diagrama de fuerzas para él (figura 4.20»). La fuerza ejercida por el caballo en los arreos se designa por F. (Los arreos están atados al carro, por lo que los consideramos como parte (a) TS TE del carro.) Hay otras fuerzas que actúan sobre el carro, como el peso w, la fuerza que ejerce el suelo F,, y la fuerza horizontal ejercida por el pavimento, f (fuerza de rozamiento). 1. Dibujar el diagrama de fuerzas para el carro (véase la figura 4.20c). El JE carro no acelera verticalmente, por lo que la suma de fuerzas en la dirección vertical es cero. Las fuerzas horizontales son F que va hacia la derecha y f que va hacia la izquierda. El carro acelerará si F >f. 2. Nótese que la fuerza de reacción a F, que denominamos F” se ejerce E ña sobre el caballo, no sobre el carro (figura 4.204), y no tiene ningún a efecto sobre el movimiento del carro, sino que afecta al movimiento (6) $ > F del caballo. Si el caballo acelera hacia la derecha, debe haber una fuerza F (hacia la derecha) ejercida por el pavimento sobre las pezu- (c) ñas del caballo mayor que F' . Observación Este ejemplo ilustra la importancia de dibujar un diagrama de fuerzas cuando se resuelven problemas de mecánica. Si el caballo lo hubiera hecho, hubiera comprendido que le bas- taba con empujar con fuerza sobre el pavimento para que éste le proporcionara la fuerza para moverlo hacia delante. P F, Ejercicio Colóquese frente a un amigo y pongan las palmas de sus manos una contra otra. ¿Su F, amigo puede ejercer sobre usted fuerza si usted no se resiste? Inténtelo. —_—__ Ejercicio Verdadero o falso: La fuerza ejercida por el carro sobre el caballo es igual y opuesta ala (4) fuerza ejercida por el caballo sobre el carro, pero sólo cuando el caballo y el carro no aceleran. Figura 4.20 (Respuesta ¡Falso! Un par de fuerzas acción-reacción describe la interacción entre dos objetos. Una fuerza no puede existir sin la otra. Ambas son siempre iguales y opuestas.) 4.7 Problemas con dos o más objetos Algunos problemas tratan de dos o más cuerpos que están en contacto o conectados a una cuerda o muelle. Estos problemas se resuelven dibujando un diagrama de fuerzas para cada cuerpo y después aplicando la segunda ley de Newton a cada uno de ellos. Las ecuaciones resul- tantes, junto con otras ecuaciones que describen las restricciones establecidas, se resuelven simultáneamente para las fuerzas o aceleraciones desconocidas. Si los cuerpos están en contacto directo, las fuerzas que se ejercen mutuamente deben ser iguales y opuestas, como establece la tercera ley de Newton. Dos cuerpos que se mueven en línea recta y que estén conectados por una cuerda tensa deben tener la misma componente de la aceleración paralela a la cuerda, ya que el movimiento paralelo a ésta de ambos cuerpos es idéntico. Si la cuerda pasa por una pinza o polea, la frase “paralela a la cuerda” significa paralela al segmento atado al objeto. Consideremos el movimiento de Steve y Paul en la figura 4.21. La velocidad con la cual Paul baja se iguala con la velocidad con la que Steve resbala por el glaciar, es decir, la com- ponente de la velocidad de Paul paralela al tramo de cuerda al que está sujeto se iguala con la componente de la velocidad paralela al tramo de la cuerda al que está sujeto Steve. Estas dos componentes de la velocidad deben ser siempre iguales y si Steve y Paul varían su velocidad Figura 4.21 lo deben hacer al unísono. Lo mismo ocurre con las componentes de la aceleración paralelas a la cuerda. 98 | capítulo 4 Leyes de Newton Observación El resultado del paso 5 es el mismo que obtendríamos si la fuerza Fa actuase sobre una sola masa igual a la suma de las masas de los dos bloques. En efecto, como las dos masas tienen igual aceleración, podemos considerarlas como un sistema único de masa my +m>. Ejercicio — (a) Determinar la aceleración y la fuerza de contacto si m; =2 kg, m,=3 kg y Fa =12N. (b) Determinar la fuerza de contacto para el caso en que los bloques se intercambian de modo que el primer bloque tiene una masa de 3 kg y el segundo bloque una masa de 2 kg. (Respuestas (a) a,= 2,4m/s?, F=7,2.N, (b) F=4,8N.) Resumen TEMA 1 Las leyes del movimiento de Newton son leyes fundamentales de la naturaleza que constituyen la base de la mecánica. 2 La masa es una propiedad intrínseca de todo cuerpo. La fuerza es una importante magnitud dinámica derivada. OBSERVACIONES Y ECUACIONES RELEVANTES 1. Leyes de Newton Primera ley Segunda ley Tercera ley Un objeto en reposo permanece en reposo a menos que sobre él actúe una fuerza externa neta, Un objeto en movimiento continúa moviéndose con velocidad constante a menos que sobre él actúe una fuerza externa neta, (Los sistemas de referencia en los que esto ocurre se llaman sistemas de referencia inerciales.) El módulo de la aceleración es proporcional al módulo de la fuerza neta externa Facya, de acuerdo con Fei = ma, donde m es la masa del objeto. La fuerza neta que actúa sobre un objeto, también denominada fuerza resultante, es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre él: Fe, = EF. Así: YF = ma (4.1) Las fuerzas se dan siempre por pares, iguales y opuestas. Si el objeto A ejerce una fuerza sobre el objeto B, una fuerza igual y opuesta ejerce el objeto B sobre el A. Fano = Esa (4.2) Sistemas de referencia inerciales Las leyes de Newton sólo son válidas en un sistema de referencia inercial, es decir un sistema de referencia para el cual un objeto en reposo permanece en reposo si no hay una fuerza neta que actúe sobre el objeto. Cualquier sistema de referencia que se mueva con velocidad constante relativa a un sistema de referencia inercial es también un sistema de referencia inercial. Un sistema de referencia que se mueve con aceleración relativa a un sistema inercial no es un sistema de referencia inercial. Un sistema de referencia ligado a la Tie- rra es aproximadamente un sistema de referencia inercial. Fuerza, masa y peso Fuerza Masa La fuerza se define en función de la aceleración que produce a un determinado objeto. Una fuerza de 1 newton (N) es la fuerza que produce una aceleración de 1 m/s? sobre una masa de 1 kilogramo (kg). La masa es la propiedad intrínseca de un objeto que mide su resistencia a la aceleración. La masa no depende de la localización del objeto. Las masas de dos objetos pueden compararse aplicando la misma fuerza a cada uno de los objetos y midiendo sus aceleraciones. La relación de las masas de los objetos es igual a la relación inversa de las aceleraciones producidas por la misma fuerza: m_a == 4.3, m 4; ( ) El peso w de un objeto es la fuerza de atracción gravitatoria ejercida por la Tierra sobre el objeto. Es propor- cional a la masa m del objeto y a la intensidad del campo gravitatorio g o aceleración de la caída libre debida ala gravedad. W= m8 (4.4) El peso no es una propiedad intrínseca de un objeto; depende de la localización del objeto. Problemas | 99 4. Fuerzas fundamentales mentales: pbuUN= La fuerza gravitatoria. La fuerza electromagnética. La fuerza nuclear fuerte (llamada también fuerza hadrónica). La fuerza nuclear débil. Todas las fuerzas observadas en la naturaleza pueden explicarse en función de cuatro interacciones funda- 5. Fuerzas de contacto Las fuerzas de contacto de soporte y rozamiento y las ejercidas por muelles y cuerdas, son debidas a las fuer- zas moleculares que surgen de la fuerza electromagnética básica. Ley de Hooke abr Problemas Cuando un muelle se comprime o se alarga en una pequeña cantidad Ax, la fuerza que ejerce es proporcional F -k Ax (4.9) 2 Concepto simple, un solo paso, relativamente fácil. Nivel intermedio, puede exigir síntesis de conceptos. Desafiante, para alumnos avanzados. La solución se encuentra en el Student Solutions Manual. 1 Problemas que pueden encontrarse en el servicio ¡SOLVE de tareas para casa, Estos problemas del servicio “Checkpoint” son problemas de control, que impulsan alos fuentes externas o estimaciones estudiantes a describir cómo se llega a la respuesta y a indicar su nivel de confianza. En algunos problemas se dan más datos de los realmente necesarios; en otros pocos, deben extraerse algunos datos a partir de conocimientos generales, lógicas. Usar en todos los problemas g = 9,81 m/s? para la aceleración de la gravedad y despreciar, a menos que se indique lo contrario, el rozamiento y la resistencia del aire, Problemas conceptuales 1 ee SS5M ¿Cómo se puede saber si un sistema de referencia deter- 'minado es un sistema de referencia inercial? 2 es Suponga que usted observa un objeto desde un determinado sis- tema de referencia y encuentra que cuando sobre él no actúan fuerzas el cuerpo tiene una aceleración a. ¿Cómo puede usar esta información para encontrar un sistema de referencia inercial? 3 e Si cuando se estudia un cuerpo desde un sistema de referencia inercial no se observa aceleración, ¿se puede concluir que sobre él no actúan fuerzas? 4 e SS5M Si sobre un objeto actúa una única fuerza distinta de cero, ¿debe tener una aceleración relativa a cualquier sistema de referencia inercial? ¿Puede tener incluso velocidad cero? 5 e Si sobre un objeto actúa una única fuerza conocida, ¿puede decirse sin tener información adicional en qué dirección se moverá? 6 e Se observa un objeto que se mueve a velocidad constante en un sistema de referencia inercial. Se concluye que (a) no actúan fuerzas sobre el objeto, (b) actúa una fuerza constante en la dirección del movimiento, (c) la fuerza neta que actúa sobre el objeto es cero, (d) la fuerza neta que actúa sobre el objeto es igual y opuesta a su peso. 7 e Imagínese que un objeto se envía al espacio exterior, lejos de cualquier galaxia, estrella u otro objeto estelar. ¿Cómo cambiará su masa? ¿Y su peso? 8 e SSM ¿Cómo podría un astronauta en una situación aparente de ingravidez ser consciente de su masa? 9 e SSM ¿En qué circunstancias su peso aparente será mayor que su peso real? 10 es Explicar por qué se dice que según la primera y la segunda ley de Newton es imposible utilizar las leyes de la mecánica para saber si estamos quietos o moviéndonos a velocidad constante. 11 e Supongamos que un bloque de masa mm, descansa sobre otro blo- que de masa m, y la combinación de ambos se apoya sobre una mesa, como se muestra en la figura 4,28. Encontrar la fuerza ejercida (a) por my sobre my, (b) por ma sobre my, (c) por m sobre la mesa, (d) por la mesa sobre my. Figura 4.28 Problema 11 100 | Capítulo 4 Leyes de Newton 12 0 SSM Verdaderoo falso. (a) Si dos fuerzas externas que son iguales en módulo y opuestas en dirección actúan sobre un mismo objeto, nunca serán fuerzas de acción-reacción. (b) La acción es igual a la reacción sólo si los cuerpos no están acelerándose. 13 e Unhombre de 80 kg patina sobre el hielo empujando a un mucha- cho de 40 kg, también sobre patines, con una fuerza de 100 N. La fuerza ejer- cida por el muchacho sobre el hombre es de (a) 200 N, (b) 100 N, (c) 50 N, (d) 40N. 14 e Unamuchacha sostiene un pájaro en su mano. La fuerza de reac- ción al peso del pájaro es (a) la fuerza gravitatoria de la Tierra sobre el pájaro, (b) la fuerza gravitatoria del pájaro sobre la Tierra, (c) la fuerza de contacto de la mano sobre el pájaro, (d) la fuerza de contacto del pájaro sobre la mano, (e) la fuerza gravitatoria de la Tierra sobre la mano. 15 + Un jugador de béisbol golpea la pelota con un bate. Si la fuerza con que éste golpea la pelota se considera como la fuerza de acción, ¿cuál es la fuerza de reacción? (a) La fuerza que el bate ejerce sobre las manos del batea- dor. (b) La fuerza sobre la pelota que ejerce el guante de la persona que consi- gue atraparla. (c) La fuerza que la pelota ejerce sobre el bate. (d) La fuerza que el lanzador ejerce sobre la bola mientras la lanza. (e) El rozamiento, ya que la pelota está en rotación hasta que se detiene. 16 e Considerar cualquier situación en la que se aplica una fuerza externa sobre un objeto, por ejemplo el empuje. Si la tercera ley de Newton requiere que por cada acción haya una reacción igual y opuesta, ¿por qué cada fuerza de reacción no anula siempre la fuerza aplicada, produciendo la inexis- tencia de una aceleración resultante? 17 e SSM Un cuerpo de 2,5 kg cuelga en reposo de una cuerda sujeta al techo. (a) Dibujar un diagrama que muestre las fuerzas que actúan sobre el cuerpo e indicar cada una de las fuerzas de reacción. (b) Hacer lo mismo con las fuerzas que actúan sobre la cuerda. 18 e ¿Cuál delos diagramas de fuerzas de la figura 4.29 representa un bloque que se desliza por una superficie inclinada sin rozamiento? (a) (b) (c) (d) Figura 4.29 Problema 18 19 e Identificar cuál o cuáles de las frases siguientes son verdad o son falsas suponiendo que se está en un sistema de referencia inercial. (a) Si no hay ninguna fuerza que actúa sobre un objeto, éste no se acelera. (b) Si un objeto no se acelera, no puede haber fuerzas que actúen sobre él. (c) El movimiento de un objeto va siempre en la dirección de la fuerza resul- tante. (d) La masa de un objeto depende de su localización. 20 e Una paracaidista de peso w salta cerca de la superficie terrestre. ¿Cuál es el módulo de la fuerza ejercida por su cuerpo sobre la Tierra? (a) w. (b) Mayor que w, (c) Menor que w. (d) 9,8w. (e) O. (f) Depende de la resistencia del aire. 21. 0 SSM Lafuerzaneta que actúa sobre un objeto en movimiento bruscamente se hace cero. En consecuencia, el objeto (a) se para de repente, (b) se para al cabo de un cierto tiempo, (c) cambia de dirección, (d) continúa a velocidad constante, (e) cambia de dirección de una forma impredecible. 22 + Una cuerda de tender ropa se tensa y se sujeta por sus dos extre- mos. Se coloca una toalla húmeda en el centro de la cuerda. ¿Es posible que la cuerda permanezca horizontal? Razonar la respuesta. 23 e ¿Quéefecto produce la velocidad de un ascensor sobre el peso aparente de una persona en el ascensor? Estimaciones y aproximaciones 24 Un coche que viaja a 90 km/h choca contra la parte trasera de un vehículo parado sin ocupantes. Afortunadamente el conductor llevaba puesto el cinturón de seguridad. Utilizando valores razonables para la masa del conduc- tor y la distancia de frenado, estimar la fuerza (supuesta constante) ejercida por el cinturón sobre el conductor. 25 55M Haciendo las consideraciones necesarias, determinar la fuerza normal y la fuerza tangencial ejercida por la carretera sobre las ruedas de una bicicleta (a) cuando el ciclista asciende por una carretera de pendiente 8% a velocidad constante y (b) cuando desciende por la misma pendiente a velocidad constante. (Una pendiente del 8% significa que el ángulo de inclina- ción 6 viene dado por tg 9=0,08.) La primera y la segunda ley de Newton: Masa, inercia y fuerza 26 + Una partícula de masa m se mueve con una velocidad inicial vy = 25,0 m/s. Cuando una fuerza neta de 15,0 N actúa sobre ella, alcanza el reposo después de recorrer 62,5 m. ¿Cuál es el valor de m? (a) 37,5 kg. (b) 3,00 kg. (c) 1,50 kg. (d) 6,00 kg. (e) 3,75 kg. 27 e (a) Unobjeto experimenta una aceleración de 3 m/s? cuando sobre él actúa una cierta fuerza Fo. ¿Cuál es su aceleración si la fuerza se duplica? (b) Un segundo objeto experimenta una aceleración de 9 m/s? bajo la influencia de la fuerza F'. ¿Qué relación existe entre las masas de los dos objetos? (c) Si los dos objetos se atan juntos, ¿qué aceleración producirá la fuerza Fy? 28 e Ío0oY Un remolcador arrastra un buque con una fuerza constante F. El incremento en la velocidad del buque en un intervalo de 10 s es de 4 km/h. Cuando un segundo remolcador aplica un segunda fuerza constante F, en la misma dirección su velocidad erece en 16 km/h cada intervalo de 10 s. ¿Qué relación existe entre los módulos de las dos fuerzas? (Despreciar la resis- tencia del agua.) 29 e. sm i Una bala de 1,8 x 10” kg de masa que lleva una velocidad de 500 m/s choca contra un gran bloque de madera y se intro- duce 6 cm en su interior antes de pararse. Suponer que la desaceleración de la bala es constante y calcular la fuerza ejercida por la madera sobre la bala. 30 ee SsM Unavagoneta de juguete está en una vía recta y horizon- tal y lleva un ventilador atado a uno de sus extremos. Se coloca la vagoneta en un extremo de la vía y se conecta el ventilador, La vagoneta, que estaba en reposo, empieza a moverse y en 4,55 s se ha movido 1,5 m. La masa de la vago- neta y del ventilador es de 355 g y suponemos que se mueve con aceleración constante. (a) ¿Cuál es la fuerza neta que se ejerce sobre la vagoneta? (b) Se van añadiendo pesos a la vagoneta hasta que tiene una masa de 722 e y se repite el experimento. ¿Cuánto le costará ahora a la vagoneta moverse los 1,5 m? Igno- rar los efectos del rozamiento. 31 e Una fuerza F, produce una aceleración de 3 m/s? cuando actúa sobre un objeto de masa m que desliza sobre una superficie sin rozamiento. Hallar la aceleración del mismo objeto cuando se ve sometido a las fuerzas que se muestran en la figura 4.304 y b.